6 PASSOS PARA TRAÇAR O DIAGRAMA DE DEC E DMF

Prévia do material em texto

6 PASSOS
Para traçar o
DEC e o DMF
de vigas isostáticas
Paulo Castelo Branco
Com Mapa
Mental
 
Sobre este e-book 
Este e-book ajudará você a compreender como funcionam os esforços 
internos em uma viga isostática e ainda como traçar facilmente os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor atuantes numa peça 
estrutural. São seis passos bastante simples que permitirão que você 
alcance o resultado pretendido com muito mais naturalidade. 
É importante lembrar que grande parte do conteúdo das disciplinas 
relacionadas à análise estrutural do curso de engenharia, principalmente 
engenharia civil, vai requerer o entendimento desses conceitos, que em 
sua essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental que você 
os tenha bastante sedimentado. 
Assim, o nosso objetivo é fazer você perceber que o bicho não é tão feio 
quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às dicas para 
confirmação de resultados, não tem como errar. Uma vez que você 
internalize o entendimento, e isso só se dá pela prática, o traçado dos 
diagramas de momento fletor e esforço cortante (DMF e DEC, para os 
íntimos) vai ser tranquilo, tranquilo. Além das boas notas que você vai 
conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que vai facilitar 
sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai atingir o seu o objetivo 
de seguir adiante e se tornar um excelente profissional. 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor 
Paulo Sérgio Castelo Branco Carvalho Neves 
 
Direitos Autorais© 2015 Paulo Castelo Branco 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 2 
Os 6 passos para traçar os diagramas de 
esforços internos de uma viga isostática 
 
Este e-book ajudará você a compreender como 
funcionam os esforços internos em uma viga isostática e ainda 
como traçar facilmente os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor atuantes numa peça estrutural. São seis 
passos bastante simples que permitirão que você alcance o 
resultado pretendido com muito mais naturalidade. 
É importante lembrar que grande parte do 
conteúdo das disciplinas relacionadas à análise estrutural do 
curso de engenharia, principalmente engenharia civil, vai 
requerer o entendimento desses conceitos, que em sua 
essência como já citei, são simples. Portanto, é fundamental 
que você os tenha bastante sedimentados. 
Assim, o nosso objetivo é fazer você perceber que o bicho não 
é tão feio quanto parece. Prestando atenção aos detalhes e às 
dicas para confirmação de resultados, não tem como errar. 
Uma vez que você internalize o entendimento, e isso só se dá 
pela prática, o traçado dos diagramas de momento fletor e 
esforço cortante (DMF e DEC, para os íntimos) vai ser 
tranquilo, tranquilo. Além das boas notas que você vai 
conquistar, o mais importante é que o aprendizado fica, o que 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 3 
vai facilitar sua vida acadêmica e profissional. Você deve e vai 
atingir o seu o objetivo de seguir adiante e se tornar um 
excelente profissional. 
 
Introdução 
 
Acredito que você esteja passando por alguns 
problemas e tenha algumas dúvidas na hora de traçar os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor: 
a) Na hora de calcular as reações de apoio, muitas vezes 
você tem dúvidas em como colocar as setinhas (vetores-
força) que representam as reações, respeitando cada um 
dos tipos de vínculos (apoios); 
b) Depois que você calcula as reações de apoio, uma delas 
apresenta sinal negativo. Você então fica se perguntando 
se de fato fez os procedimentos de maneira correta; 
c) Calculadas as reações de apoio você pode não saber 
como fazer a confirmação. Erradas as reações, todos os 
demais esforços sofrerão alterações; 
d) Uma vez que você calculou corretamente as reações de 
apoio, existem detalhes no calculo dos esforços nas 
seções principais que também resultam comumente em 
erros. É o caso da presença de cargas concentradas que 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 4 
altera o cortante pela esquerda e direita e ainda de cargas 
momento; 
e) E o traçado do momento fletor? Existe uma correlação 
com o cortante? Porque dizer que traçamos o diagrama 
do momento fletor observando as fibras que estão sendo 
tracionadas? Será possível conferir as ordenadas do 
diagrama do momento fletor? O momento é o mesmo 
fazendo pela esquerda ou direita? 
Deixem-me contar uma história pra vocês. Eu 
também demorei, quando estudava engenharia, a entender 
alguns desses conceitos na sua essência. Passei pela 
disciplina Mecânica Geral sem maiores problemas. Quando 
comecei a cursar Isostática, a coisa apertou. Meu professor era 
recém-chegado da PUC-RJ e havia sido aluno do renomado 
José Carlos Sussekind. Isso mesmo, o autor da série Curso de 
Análise Estrutural. O professor explicava bem, e cobrava 
melhor ainda. Como alguns conceitos não estavam bem 
sedimentados na minha mente sofri e tirei uma nota ruim na 
primeira avaliação, apesar de haver me dedicado. Olha, na 
época as coisas eram mais difíceis. Eu falo de 1986, eu tinha 
18 anos, e não havia muitas fontes de pesquisa. Foi aí que um 
grande amigo meu, também professor da área de estruturas, 
me sugeriu que eu estudasse por um livrinho cheio de 
exercícios resolvidos. Debrucei-me quase todos os dias e 
praticamente resolvi todos os exercícios daquele livrinho que 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 5 
estava lá, escondido na biblioteca da universidade. O esforço 
valeu a pena. A mente abriu, e o que era difícil, ficou realmente 
bem mais fácil. Hoje, sei que o aprendizado se dá basicamente 
por duas formas: por repetição ou quando há alguma emoção 
associada. No nosso caso, a emoção presente era o medo da 
reprovação. Mas pra vencer o medo, a melhor estratégia é a 
ação. Assim foi e sempre será. Aja e o medo se dissipará. No 
meu caso funcionou. Experimente agir. O medo se transformou 
em outra emoção, a alegria em ter superado meu problema. 
O que faremos a partir de agora é mostrar um 
passo a passo para resolver qualquer viga isostática. 
Acompanha este e-book um mapa mental para que você 
memorize com mais facilidade os passos estudados. 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 6 
MÃOS À OBRA: Análise de uma viga isostática 
com carregamento misto e balanço 
 
Seja dada a viga isostática abaixo. Traçar os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor. 
 
 
 
1) Passo 1 – Fazer o diagrama de corpo livre (DCL) 
 
 
Observe que calculei a carga equivalente devido à 
distribuição de carga, e já a especifiquei no DCL (em 
verde), ou seja, a carga equivalente é de 5 kN/m.4m, 
sendo portanto de 20 kN, atuando no centroide da 
distribuição (exatamente na metade). Também foram 
arbitrados os sentidos das reações de apoio tanto no 
apoio A (apoio de 2º gênero que restringe dois 
movimentos), quanto no apoio B (apoio de 1º gênero, que 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 7 
restringe apenas um movimento, que no caso é o da 
vertical). 
 
2) Passo 2 – Cálculo das reações de apoio 
utilizando as 3 equações de equilíbrio. 
 
a) ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐻𝑎 = 0(1ª equação) 
Como não tenho nenhuma outra força externa na 
horizontal para equilibrar com reação a Ha, deduz-se 
que a mesma é igual a zero. 
 
b) ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 20 − 10 − 8 = 0 
Observe que arbitrei as duas reações de apoio (Va e 
Vb) no sentido positivo. As demais forças estão no 
sentido negativo (de cima pra baixo). 
Assim temos que: 
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 38 (2ª equação) 
 
c) ∑ 𝑀𝑎 = 0 
Aqui calcularemos os momentos produzidospor cada 
uma das forças em relação ao apoio A. Mas, 
poderíamos usar também o apoio B como referência, 
por que uma ou outra equação são interdependentes, o 
que não dispensa o uso da equação ∑ 𝐹𝑦 = 0 . 
Arbitraremos como momento positivo o sentido anti-
horário e negativo aquele que faz a estrutura girar em 
relação ao apoio A, no sentido horário (Regra da Mão 
Direita). Para a viga não tenha possibilidade de girar 
(sofrer rotação) a soma de todos os momentos atuantes 
sobre ela tem que ser nula. Assim, temos: 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 8 
𝑉𝑎. 0 − 20.2 − 10.4 + 𝑉𝑏. 6 − 8.7 = 0 (3ª equação) 
−40 − 40 + 6𝑉𝑏 − 56 = 0 
𝑉𝑏 =
136
6
= 22,67 𝑘𝑁 
d) Substituindo o valor de Vb na 2ª equação, chegamos 
até o valor de Va. 
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 = 38 
𝑉𝑎 + 22,67 = 38 
𝑉𝑎 = 38 − 22,67 = 15,33 𝑘𝑁 
 
OBS. Importante 1: Caso você deseje confirmar tais 
valores, basta fazer a soma dos momentos em relação 
ao apoio B. Dessa forma, você chegará até o valor de 
Va. 
OBS. Importante 2: Caso você encontre um dos valores 
negativos, trata-se de um valor algébrico e você deve 
substituí-lo dessa forma em outra equação. Lembre-se 
que as equações foram montadas respeitando o 
sentido das reações desconhecidas que arbitramos. Se 
o valor de uma reação resultou negativo, significa 
apenas que o sentido da mesma é o oposto. 
 
3) Passo 3 – definir as seções principais 
 
No caso da viga em análise definiremos as seções 
principais da seguinte forma: 
a) Inicio e término de uma carga distribuída; 
b) Onde houver a ocorrência de uma carga concentrada 
ou reação de apoio, afinal estas também são cargas 
concentradas. 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 9 
c) Se houvesse uma carga momento deveríamos definir 
neste ponto também uma seção para análise do 
momento fletor, visto que o que ocorre com a carga 
concentrada e seus efeitos no cortante, ocorre também 
em relação ao gráfico de momento fletor. No caso do 
exemplo analisado não há a presença de carga 
momento localizada. Assim temos, quatro seções 
principais a analisar: 
 
 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 10 
4) Passo 4 – Posicionar a viga com DCL 
(DIAGRAMA DE CORPO LIVRE) e os eixos sobre 
os quais serão traçados os diagramas esforço 
cortante e momento fletor. 
 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 11 
5) Passo 5 – Calcular e Marcar os esforços de 
cortante e fletor (ordenadas) 
 
5.1) Ordenadas de cortante 
 
Obs: Se nós isolarmos uma seção de uma viga e a 
resultante das forças anteriores a essa seção for positiva, 
então o cortante será positivo. 
 
 
 
Acima temos o efeito do cortante. Quando temos 
duas seções infinitamente próximas, uma tende a deslizar 
em relação à outra. Neste caso, a resultante antes da 
seção é positiva, portanto consideraremos por convenção 
o cortante sendo positivo. Lembrando que esforço 
cortante (força interna) é reativo, resistivo à resultante (e 
será para baixo, para equilibrar a seção). Observe que por 
esta configuração a parte da esquerda tende a “subir” e a 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 12 
parte da direita, a “descer”. Alguns autores analisam 
informando que se a seção tende a girar por conta do 
binário “resultante e cortante” em sentido horário, então o 
cortante é positivo. Caso contrário negativo. O importante 
ao analisar cada seção é lembrar que se a peça está em 
equilíbrio, então obrigatoriamente cada seção, cada 
pedacinho da viga também deve estar. Vamos ao cálculo 
do cortante em cada seção, lembrando que caso do 
cortante deve-se aferir o cortante na seção imediatamente 
anterior à carga concentrada e na seção imediatamente 
posterior, pois ela - a carga concentrada - produz uma 
descontinuidade no diagrama de cortante. 
5.1.1) Cálculo dos cortantes nas seções (da 
esquerda para a direita da viga) 
 
 
Seção S1 
Q s1(dir) = Resultante = 15,33𝑘𝑁 
 
Seção S2 (imediatamente à esq. da carga de 10 kN) 
Q s2(esq) = Resultante = 15,33 − 20 = −4,67𝑘𝑁N 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 13 
Seção S2 (imediatamente à direita da carga de 10 kN) 
Q s2(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67𝑘𝑁 
(Observe que a diferença entre o valor imediatamente à 
esquerda e o valor imediatamente à direita é de 10 kN, ou seja, 
quando tenho uma carga concentrada na viga, a 
descontinuidade no cortante é igual ao valor da carga). No 
caso em estudo, tínhamos à esquerda um valor de 4,67 kN e 
após a carga de 10 kN, o cortante imediatamente à direita 
passou a ser de 14,67kN. 
Seção S3 (imediatamente à esq. da reação de apoio Vb) 
Qs3(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 = −14,67𝑘𝑁 
(Conclusão: no trecho descarregado, o cortante não se altera, 
obedecendo a uma função constante.) 
Seção S4 
 Qs3(dir) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8𝑘𝑁 
(observe novamente que devido à carga concentrada no apoio 
B cuja reação de apoio é igual a 22,67 kN, o cortante à direita 
da seção S3 se altera passando para o valor de 8kN). 
Seção S4 
Qs4(esq) =Resultante = 15,33 − 20 − 10 + 22,67 = 8𝑘𝑁 
(Olha aí de novo, o trecho descarregado. Como não há outros 
carregamentos o valor do cortante permanece o mesmo e 
coincide com o último carregamento, que é uma carga 
concentrada de valor igual a 8 kN. Quando isso acontece 
significa que não cometemos erros ao calcular os esforços 
cortantes na viga). 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 14 
ATENÇÃO: Mais uma observaçãozinha. Também podemos 
analisar a viga da direita para a esquerda. Ou ainda parte pela 
esquerda, parte pela direita, se encontrando em uma 
determinada seção de referência. Caso o façamos, devemos 
inverter os sinais das forças para calcularmos as resultantes. 
Portanto, analisando pela direita, consideraremos como 
positivo o vetor que se apresenta neste sentido e negativo o 
vetor com o sentido inverso . Dessa forma, preservaremos o 
sentido da deformação (corte), sem prejudicarmos a análise. 
 
5.2) Ordenadas de Momento Fletor 
 
No caso do cálculo dos momentos fletores, o 
faremos considerando apenas as seções principais. Se na 
viga, houvesse uma carga momento aplicada, então também 
deveríamos analisar as seções infinitamente próximas à 
esquerda e à direita. 
Para o cálculo do momento fletor consideraremos 
como positivo aquele momento que traciona as fibras inferiores 
e negativo os que tracionam as fibras superiores. 
Coincidentemente, se fizermos a análise da viga da esquerda 
para a direita as forças que tracionam as fibras inferiores, 
produzem um momento resultante no sentido horário. 
Ressalta-se aqui que o momento fletor é o esforço interno que 
surge como reação equilibrando o momento resultante na 
seção. O verbo fletir significa curvar, portanto o momento fletor 
é um momento que produz deformação curvando a seção. 
Observe o esquema a seguir: 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 15 
 
No caso seguinte, a tração se dá nas fibras superiores. 
Perceba a diferença. 
 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 16 
5.2.1) Cálculo dos momentos fletores nas seções 
(da esquerda para a direita da viga) 
 
 
 
Seção S1 
Mf S1= 𝑉𝑎 × 0 = 0 
 
Seção S2 
MfS2 = 15,33 × 4 − 20 × 2 = 21,32 kN.m (tração nas fibras 
inferiores) 
 
Seção S3 
MfS3 = 15,33 × 6 − 20 × 4 − 10 × 2 = −8 kN.m (tração nas 
fibras superiores) 
Observe aqui que se analisarmos a viga pela direita e 
multiplicarmos a carga de 8 kN pela distância de 1m até a 
seção S3, o momento encontrado é de 8 kN.m, tracionando as 
fibrassuperiores, o que confirma nosso cálculo. 
 
Seção S4 
MfS4 = 15,33 × 7 − 20 × 5 − 10 × 3 + 22,67 × 1 = 0 
Nesta seção se começarmos a análise pela direita o momento 
produzido em S4 pela força de 8 kN é nulo, confirmando 
portanto nosso resultado. 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 17 
6) Passo 6 – Traçado dos diagramas de esforço 
cortante e momento fletor (Plotagem dos 
diagramas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 18 
6.1 – Análise dos diagramas 
 
a) Observe que o trecho entre S1 e S2 é carregado por 
um carregamento distribuído, logo o cortante é regido 
por um gráfico linear, ou seja, obedece a uma equação 
do primeiro grau. Já o gráfico do momento fletor para o 
mesmo intervalo equivale a uma equação do 2º grau, 
por isso forma uma parábola. Veja ainda que no ponto 
onde o cortante é nulo, o momento fletor é máximo. 
Essa abscissa pode ser calculada por semelhança de 
triângulos no gráfico do cortante. Também é importante 
citar que no trecho distribuído é recomendável calcular 
pelo menos 3 ordenadas de momento para o traçado 
da parábola. Quando observamos uma seção de 
cortante nulo, deveremos verificar o comportamento do 
momento fletor naquele ponto. 
 
b) A área do cortante entre os trechos S1 e S2 é igual ao 
momento fletor em S2. 
AS1-S2= (𝟏𝟓, 𝟑𝟑 × 𝟑, 𝟎𝟕) ÷ 𝟐 − (𝟒, 𝟔𝟕 × 𝟎, 𝟗𝟑) = 𝟐𝟏, 𝟑𝟑 𝒌𝑵. 𝒎 
 
O valor é o correspondente ao valor do momento em 
S2, pois a área do diagrama de cortante é igual a 
diferença entre os momentos nas seções S1 e S2, 
respectivamente. Como o momento na seção S1= 0 e o 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 19 
momento na seção S2 = 21,33 kN.m , essa diferença 
Ms3 – MS1 = 21,33 kN.m, valor este que é igual, como já 
citado, à área do cortante entre as duas seções. Tal 
propriedade é válida para os demais trechos da viga. 
Área do cortante entre os trechos S1 e S3: 
A S2-S3 = −𝟏𝟒, 𝟔𝟕𝒙𝟐 = −𝟐𝟗, 𝟑𝟒 
MS3 – MS2 = −𝟖 − 𝟐𝟏, 𝟑𝟑 = −𝟐𝟗, 𝟑𝟑 (erro devido à 
aproximações) 
O mesmo acontece para o trecho S3-S4. 
. 
c) Observe ainda, que o valor da descontinuidade do 
cortante em S2 e S3 é exatamente o valor absoluto da 
carga concentrada nestes pontos, e que sempre onde 
há a presença de carga concentrada, temos uma 
angulosidade, uma mudança de inclinação, um “bico” 
no diagrama de momento fletor. 
 
d) Podemos ainda calcular todos os valores de cortante e 
momento fletor, deduzindo a equação do momento 
fletor e o esforço cortante para cada trecho da viga 
analisada. 
 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 20 
Bem, chegamos ao final deste passo a passo. A seguir 
apresentamos o mapa mental mencionado, para que você 
sempre que sentir necessidade, ou antes, de resolver 
exercícios, possa revisar rapidamente o conteúdo. Espero que 
este singelo trabalho seja útil nos seus estudos. 
Um grande abraço e muito sucesso pra você! 
 
Paulo Castelo Branco – Mecânica Geral 
 21