Experimento do Pêndulo Simples

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UEMASUL

Gabriel Ferrari
03/05/2021
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Física Geral II

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DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE USANDO UM PÊNDULO
SIMPLES
Gabriel Fernandez Ferrari Melo1
1 INTRODUÇÃO
Um dos objetivos mais profundos da fı́sica reside na busca pela elementaridade, a ı́nfima
parte que constitui não apenas a matéria mas os fenômenos que a regem. Tal busca é um ele-
mento contı́nuo em pesquisas tanto teóricas quanto experimentais, em especial podemos desta-
car a própria teoria eletromagnética a qual, dotada de extrema elegância e sutileza, conseguiu,
em quatro equações, realizar uma descrição precisa dos fenômenos elétricos e magnéticos os
quais são advindos de uma das propriedades mais ı́nfimas da matéria: a carga elétrica. Por
conseguinte, ressaltamos os célebres trabalhos que Paul Dirac “The Quantum Theory of the
Electron” e “The Quantum Theory of the Electron – Part II” os quais realizam uma descrição
relativı́stica sobre o elétron trazendo um inı́cio da tentativa de unificar a relatividade com a
teoria quântica [1].
Ademais, cita-se, também, o advento da nanotecnologia a qual fora predita, de inı́cio, no
prestigioso after-dinner speech do encontro da Sociedade Americana de Fı́sica em que o pales-
trante: Richard Feynman descreveu uma nova possibilidade de engenharia, em que diferente-
mente de buscarmos a manipulação macroscópica como principal terı́amos o empenho cientı́fico
transladado para a modificação da estrutura da matéria em escala atômica, onde seriamos capa-
zes de miniaturizar a informação para nı́veis atômicos e como o próprio fı́sico problematizou:
”Por que não podemos escrever os 24 volumes inteiros da Enciclopédia Britânica na cabeça
de um alfinete?” [2].
Não obstante a isso temos o destaque ao Modelo Padrão, a qual é apontada como uma das
teorias fı́sicas mais sofisticadas matematicamente além de possuir um forte sentido fı́sico ao
passo que teoria que congrega a teoria quântica de campos, a fı́sica de partı́culas e a teoria
quântica de modo a realizar uma descrição precisa das partı́culas elementares: os Léptons,
Quarks e Bósons [3].
Até o presente momento, mencionamos a busca da elementaridade da fı́sica em certos espec-
tros de comportamento da matéria, os quais são regidos por forças fundamentais sendo esses,
até o momento: Força eletromagnética, Força Nuclear Fraca e Forte. Todavia, dentro as forças
que figuram as interações fundamentais da natureza há, ainda, a interação gravitacional sendo
essa a mais antiga estudada dentre as quatro. Entretanto, a mesma não é detentora de uma total
compreensão, de modo que ainda não temos a comprovação experimental do gráviton que seria
a hipotética partı́cula responsável pela transmissão da força gravitacional [4].
Sendo assim, a interação gravitacional bem como sua possı́vel unificação com outras forças
é um dos objetivos de interesse na fı́sica teórica, entretanto, tais questões são de um nı́vel de
extrema complexidade tanto teoricamente quanto de forma experimental. Mas, tal discussão
não restringe-se a um papel especulativo sobre teorias alternativas da gravitação a mesma é nos
serve como agentes motivadores para o estudo dos aspectos que compõe a gravitação como por
exemplo: a determinação da gravidade.
Nesse contexto, torna-se obrigatório citar a anedota da maçã que ao cair na cabeça de Isaac
Newton haveria desencadeado todo o desenvolvimento da teoria da gravitação newtoniana. Tal
anedota é claramente uma alegoria para o desenvolvimento dessa lei, todavia o teórico de cordas
1Gabriel Fernandez Ferrari Melo, graduando em Licenciatura em Fı́sica, 6º perı́odo, ga-
briel.melo@uemasul.edu.br.
1
Michio Kaku realiza uma discussão sobre isso de modo a nos levar ao entendimento de por qual
razão, um cair de uma maçã seria responsável por um dos desenvolvimentos matemáticos que
revolucionariam o entendimento da ciência, sendo este: ”Se uma maçã cai, a lua cai?”. Essa
discussão, pode parecer absurda mas, o que de fato difere uma maçã da lua?, ambos são corpos,
possuem massa, mas ao instante que eu solto uma maça de uma determinada altura h ela cai,
enquanto que, a lua não cai na terra. A questão toda remete-se ao fato de que há, entre a terra e a
lua alguma relação que impeça que ela caia, tal relação é exatamente o que chamamos por força
gravitacional e relaciona exatamente as massas dos corpos, no caso da lua e da terra ocorre uma
situação de equilı́brio das forças o que impede que a mesma caia em nosso planeta.
Então, com o entendimento de que o fator que provoca a queda da maça é uma força a qual
denomina-se gravitacional, podemos pensar em entender o quão rápido a maçã atinge o solo ao
ser solta. Para tanto, podemos recorrer ao princı́pio fundamental da dinâmica como descrito na
Equação (1) −→
Fr = m1 · −→a 1 (1)
em que m1 seria a massa da maça e −→a 1 sua aceleração. Devido a terceira lei de Newton,
sabemos que para todo força há uma reação de mesma intensidade, direção e sentido oposto o
que nos fornece a Equação (2)
−→
Fr = m2 · −→a 2 = −m1 · −→a 1 (2)
em que m2 seria a massa da terra e −→a 2 a aceleração que a terra promove sobre a maçã.
De fato, poder calcular tal força via Equação (2) torna-se um tanto problemático, uma vez que
dependerı́amos de uma mensuração precisa da massa do nosso planeta, além de que o cálculo
de (1) necessita do conhecimento da aceleração −→a 1.
Dessa forma, torna-se necessário a contornar os problemas ofertados pelas Equações (1)
e (2) na determinação do valor da aceleração de modo a termos um meio que possibilite a
determinação precisa do valor de a1 (a notação sem o sı́mbolo de vetor denota o módulo da
grandeza), tal meio pode ser encontrado através de um aparato mecânico denominado pêndulo
simples.
Esse aparato consiste, basicamente, em corpo suspenso por um fio, inextensı́vel, que os-
cila num determinado plano. Todavia, o astrônomo Galileu Galilei observou que, a oscilação
pendular, permite uma descrição efetiva da aceleração advinda da interação gravitacional, que
agora chamaremos de gravidade e denotaremos por −→g e seu módulo por g, além disso, tal
determinação não necessita da massa do planeta, do corpo do pêndulo ou de qualquer outro
sistema o que contorna o problema da (2), não obstante, o mesmo necessita apenas do perı́odo
de oscilação e do comprimento do fio, as quais são grandezas facilmente mensuráveis a dados
instrumentos de medição comuns.
2 OBJETIVOS
No presente trabalho buscaremos realizar a averiguação da gravidade terrestre através da
análise do perı́odo de oscilação de pêndulo simples construı́do com objetos de baixo custo.
3 REFERENCIAL TEÓRICO
Nesta seção discutiremos os aspectos teóricos acerca do pêndulo simples do ponto de vista
da mecânica newtoniana como colocado em [5], isto é, desde sua modelagem em equação di-
2
ferencial não linear, sua aproximação para uma E.D.O linear e os aspectos fundamentais da
dinâmica de seu movimento. Tais resultados serão de importância para averiguação experimen-
tal e corroboram para a averiguação da gravidade além de promover justificativas importantes
para a validade das equações numa situação em que as forças dissipativas estão atuantes.
Trataremos do pêndulo Simples como sendo um aparato que consiste em um fio unidimen-
sional de comprimento l preso a uma superfı́cie fixa e sua outra extremidade é livre com uma
dado corpo de massa m. Podemos, então, esquematizar um modelo diagramático de forças para
o pêndulo simples o qual é ilustrado na Figura 1.
Figura 1: Esquematização para Pêndulo Simples em (a) e diagrama de forças em (b).
3.1 Equações de Movimento do pêndulo simples
Através do diagrama de forças esquematizado na Figura 1-(b) podemos realizar a descrição
da equação de movimento para o pêndulo simples. Para tanto, iremos considerar que nossa
função de posição será dada por θ(t) a qual define-se por θ(t) : D ⊂ R →R sendo contı́nua e
diferenciável até a segunda derivada.
Ademais, para prosseguirmos na modelagem da equação do pêndulo é imprescindı́vel que
separemos o movimento em duas componentes sendo estas: radial e angular. Em que, a primeira
corresponde a descrição do lugar geométrico do pêndulo, o qual é um arco de circunferência e a
segunda permite a determinação da posição do pêndulo em um sistema de coordenadas polares.
Dito isso, podemos descrever o vetor posição−→r , por uma função vetorial com componentes nos
eixos x e y sendo dado pela Equação (3) em termos dos vetores unitários e em coordenadas
polares.
−→r = x(t) · î+ y(t) · ĵ
= l cos(θ) · î+ l sin(θ) · ĵ (3)
De posse da Equação (3), podemos empregar o formalismo newtoniano através da Equação
(4) para determinarmos as equações de movimento do pêndulo. Em que, para esse caso teremos
duas equações sendo uma referente a parte radial do movimento e outra para o desvio angular
sofrido ao longo da trajetória.
−→
F (ext) =
d
−→
P
dt
(4)
Então, dada a consideração de que não há forças externas que atuam sobre o sistema e utili-
zando o o diagrama ilustrado Figura (1)-(b) podemos escrever, em forma matricial, as equações
de movimento para o pêndulo simples o qual é dado na Equação (5).
3
m ·
 ddtvθv2r
r
 = ( −→P x · î
(
−→
P y −
−→
T ) · ĵ
)
(5)
Em que, Px, Py descrevem as projeções do peso ao longo do sistema nos eixos x e y e T é
a tração exercida pelo fio. Agora, empregando as projeções do vetor força peso com auxı́lio da
da Equação (3) do vetor posição bem como descrevendo as velocidades do primeiro membro
da equação (5) por meio das posições de θ somos guiados a equação matricial (6) que é as
equações de movimento do pêndulo em sua forma final.
d2θ
dt2
ml
(
dθ
dt
)2
 =
(
−g
l
sin(θ)
mg cos(θ)−
−→
T
)
(6)
Donde, a primeira linha da matriz (6) possibilita a determinação dos estados de posição em
termos da variação angular θ e a segunda linha permite a determinação da tração no fio, a qual
é um vı́nculo que restringe o movimento do sistema.
3.2 Aspectos fı́sicos do pêndulo simples
A determinação da equação diferencial do pêndulo torna possı́vel uma ampla gama de estu-
dos acerca da dinâmica desse movimento, mesmo sem a determinação explı́cita de uma solução
para a mesma. Todavia, podemos empregar certas aproximações ao sistema de modo a termos,
não só uma certa precisão ao movimento, mas também, na possibilidade de melhor descrever
certas quantidades fı́sicas de interesse para a avaliação dos aspectos dinâmicos.
Então, empregaremos a expansão de Taylor para aproximarmos a função sin(θ) para uma
expressão consideravelmente mais simples de modo que nossa equação diferencial torne-se
linear. Dessa forma, façamos a expansão em série de sin(θ) centrada em zero dada pela Equação
(7).
sin(θ) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
θ2n+1 = θ + Ω(θ) (7)
O termo Ω(θ) engloba toda a expansão para termos de ordem 2 ou maior. Com isso, po-
demos empregar a condição de pequenas oscilações, isto é, consideraremos apenas pequenos
deslocamentos do ângulo θ de modo que o termo Ω(θ) da expansão em série irá tender a zero,
dessa forma, nossa aproximação implica que, para pequenas amplitudes de oscilação temos a
equação diferencial do movimento pendular explicitada pela Equação (8).
d2θ
dt2
+
(g
l
)
θ = 0 (8)
Com isso, transladamos o problema do movimento pendular para o movimento próximo ao
do oscilador harmônico simples. Disso, então temos que a frequência de oscilação ω será dada
pela Equação (9)
ω =
√
g
l
(9)
4
Ademais, por tratar-se de um movimento periódico com certo caráter circular podemos
ainda empregar a relação entre perı́odo e frequência angular a qual nos permite fazer o seguinte
desenvolvimento
τ =
2πr
v
τ =
2π
ω
τ = 2π ·
√
l
g
(10)
em que τ expressa o perı́odo de oscilação do pêndulo simples para as caracterı́sticas aqui
consideradas. Podemos, ainda determinar a aceleração da gravidade utilizando a Equação
acima, basta isolarmos o termo de g o qual nos fornece a Equação (11).
g = 4π2
l
τ 2
(11)
4 MÉTODOS ESTATÍSTICOS
Aferições experimentais são de suma significância para a averiguação da comprovação
teórica. Todavia, ao realizarmos medidas de cunho experimental estamos sujeitos a presença
de erros ou imprecisões na coleta de dados, advindas dos próprios equipamentos utilizados ou
mesmo da construção do aparato experimental.
Entretanto, com o emprego correto de métodos estatı́sticos para determinadas amostras de
dados podemos considerar a informação perdida por conta dos erros que nosso sistema está
sujeito. Além disso, podemos determinar um intervalo de confiança de modo a melhorar a
validade dos nossos dados e descrever de forma mais precisa as medidas por nós encontradas.
Tendo isso em vista, nessa seção apresentaremos, de forma sucinta, as principais relações
estatı́sticas para o tratamento dos dados de um sistema com n medições.
• Média (X):
X =
1
n
·
n∑
i=1
xi (12)
• Desvio médio (∆xi):
∆xi = xi −X (13)
• Desvio Padrão (σ):
σ =
√√√√ 1
n+ 1
·
n∑
i=1
(∆xi)2 (14)
• Erro para aparelhos digitais (∆y):
∆y = M.D.E (15)
• Erro para aparelhos analógicos (∆x):
∆x =
M.D.E
2
(16)
Em que, M.D.E descreve a menor divisão medida pelo aparelho em questão.
5
5 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
5.1 Materiais utilizados
Para a construção do aparato experimental buscamos utilizar materiais de baixo custo como
os recomendados pela atividade, com sutis modificações.
• Uma serra para cano PVC;
• Um metro de cano PVC Marrom 20mm;
• Três joelhos de 90° Marrom PVC Soldável 20mm;
• Um tê 90° Marrom PVC Soldável 20mm;
• Uma fita métrica;
• Um fio de 16cm;
• Um fio de 27cm;
• Um peso (conjunto de 10 arruelas);
• Um prego;
• Um giz para marcação.
Todos os materiais utilizados podem ser visto na Figura 2.
Figura 2: Materiais utilizados na construção experimental.
6
5.2 Construção do experimento
Nesta subseção mostraremos o passo a passo da construção do experimento. De inı́cio,
utilizando a serra fizemos uma divisão do cano PVC de modo a termos segmentos do cano, os
quais foram feitos com o auxı́lio da fita métrica e do giz para obtenção das distancias desejadas
que foram empregados para a constituição da base e da haste do pêndulo, conforme a imagem
3.
Figura 3: Segmentos de canos utilizados no experimento em (a) dois de 10cm, em (b) dois de
20cm e em (c) um de 30cm e 10cm.
Ademais, realizamos o acoplamento dos canos retratados na Figura 3-(a)-(b) com os joelhos
e o tê de modo a formarmos a base de sustentação do pêndulo conforme mostra a Figura 4.
Figura 4: Base de sustentação para o pêndulo.
Não obstante, com os canos que sobraram, isto é, os retratados na Figura 3-(c) encaixamos
os mesmos a um joelho de PVC Marrom e o conectamos a base de sustentação que é retratada
na Figura 4, de modo a termos uma base para a superfı́cie e uma certa altura para onde será
colocado o pêndulo.
Além disso, realizamos um pequeno furo na extremidade do cano, para que fosse possı́vel
inserir o prego por esse orifı́cio para termos uma região em que seria acoplado o fio juntamento
ao peso utilizado como pêndulo como é retratado na Figura 5.
Por fim, destacamos que o processo para a construção do pêndulo em sı́ foi feito através de
amarrarmos as arruelas ao fio e prendê-lo ao prego. Essa esquematização pode ser melhor vista
na Figura 6.
7
Figura 5: Pêndulo simples montado.
Figura 6: Arruelas amarradas a linha.
5.3 Aquisição de dados
As medições foram feitas da forma como proposto pelo exercı́cio, isto é, realizamos dez
medições e cada uma tendo dez oscilações. Os dados levantados foram feitos com um cronômetro
digital, para dois fios um comprimento de 16cm e outro 27cm estão devidamente apresentados
na tabela 1 .
6 ANÁLISE DE DADOS
Para analisarmosos dados obtidos pela aferição experimental, seguimos o roteiro proposto em
que, calculamos a média das aferições e posteriormente dividimos por dez que remete-se a
8
Tempo de medição Pêndulo de 16cm (s) Pêndulo de 27cm (s)
tempo 1 8.22 10.24
tempo 2 8.10 10.30
tempo 3 8.25 10.37
tempo 4 8.04 10.30
tempo 5 8.16 10.32
tempo 6 7.98 10.38
tempo 7 8.24 10.37
tempo 8 8.23 10.34
tempo 9 8.16 10.31
tempo 10 8.15 10.38
Tabela 1: Tempos obtidos em 10 medições de 10 oscilações cada.
quantidade de dez oscilações que foram observadas. Em seguida, calculamos com o auxı́lio da
Equação (11) o valor da aceleração da gravidade, não obstante, incluı́mos, também, variações
desse parâmetro com o uso do desvio padrão dado pela Equação (14) medido em relação aos
tempos obtidos na tabela 1 e devidamente normalizados para o caso de dez oscilações e, adicio-
namos o erro analógico referente a medição do comprimento fio com uma amplitude de 0.05m
que é obtido por meio da expressão (16). Com isso, obtivemos os dados dispostos na tabela 2.
Comprimento (l) (m) g(m/s2) g − σ g + σ σ
l = 0.16 9.502652 9.493645 9.511658 0.090067
l = 0.27 9.987000 9.982528 9.9916427 0.045570
l = 0.16 + 0.05 9.799610 9.79060 9.8086168 0.090067
l = 0.27 + 0.05 10.17203 10.167474 10.1765888 0.045570
l = 0.16− 0.05 9.205694 9.196687 9.214701 0.090067
l = 0.27− 0.05 9.802139 9.797582 9.8066967 0.045570
Tabela 2: Calculo dos valores para a gravidade através da aferição experimental.
7 CONCLUSÃO
Com base nos resultados obtidos na tabela 2 podemos explicitar diversos pontos acerca da
experimentação realizada. De inı́cio, ressalta-se que para o comprimento dos fios sem amplitude
houve uma certa discrepância no valor datado pela literatura (g = 9.8m/s2), podemos atribuir
tais discrepâncias a própria construção experimental, sendo mais especı́fico na régua utilizada
para determinação do comprimento dos fios, visto que, nos resultados em que consideramos
a amplitude de erro analógico tivemos uma boa aproximação ao resultado buscado. Ademais,
um fator de interesse a ser destacado é acerca dos dados encontrados para o fios l = 0.27m e
l = 0.16m, pois com o uso do primeiro fio obtivemos uma aproximação do valor da constante de
aceleração gravitacional superestimado em todos os casos, em quanto que para o fio de menor
comprimento o resultado mostrou-se o oposto.
Todavia, mesmo com certa discrepância do valor esperado, conseguimos encontrar boas
aproximações para l = 0.16 + 0.05 em todas as situações possı́veis e de forma análoga para
l = 0.27 − 0.05, podemos pensar em atribuir tal fator ao ponto de que a utilização de um fio
9
de menor comprimento promove uma aproximação por falta enquanto o fio de maior compri-
mento promove uma aproximação de g por excesso. Outro ponto de interesse a ser destacado
nesse trabalho é que, com a aferição dos dados constatamos a relação de como uma constante
afeta uma equação, visto que obtivemos valores suficientemente próximos a g para fios de di-
ferentes tamanhos, o que explicita a compensação das grandezas τ e l ao longo da dinâmica do
movimento.
Não obstante a isso, devemos pontuar sobre a concordância dos nossos resultados com os
providos na Equação de movimento do pêndulo (8), tendo em vista que a mesma foi modelada
para uma situação sem ação de forças dissipativas. A equação do pêndulo, bem como sua
aproximação para pequenos ângulos nos fornece pequenos movimentos oscilatórios, os quais
geraram resultados suficientemente próximos ao valor da gravidade existente na literatura tal
fato pode ser justificado por dois motivos: a simetria do corpo de peso e a rapidez da oscilação.
Em relação ao primeiro, o formato da arruela bem como sua espessura corroboram para que o ar
não haja intensamente no corpo, dessa forma diminuindo os efeitos dissipativos e aproximando
os resultados experimentais do que fora proposto na modelagem das equações. Para o segundo
motivo, devemos evidenciar que o fenômeno de oscilação ocorre em um intervalo de tempo
suficientemente pequeno, não infinitesimal, mas pequeno suficiente para que o atrito possa ser
desconsiderado.
Por fim, como esperado pela aferição, encontramos resultados suficientemente próximos, no
entanto, destacamos que a escolha dos materiais utilizados para a elaboração experimental é de
suma significância para a correta averiguação do objetivo, pois, os mesmos podem descadear
erros nas medições de modo a nos afastarmos do valor desejado, mas ressaltamos ainda, a
necessidade do emprego de métodos estatı́sticos para uma melhor averiguação dos dados, uma
vez que, com a correta utilização desses meios conseguimos nos aproximar muito do valor de
g = 9.8m/s2.
Referências
[1] Helayël-Neto, J.A. Há 90 anos, Dirac combinava mecânica quântica e relatividade. So-
ciedade Brasileira de Fı́sica.São Paulo, 04 Janeiro 2018. Disponı́vel em: ¡http://
www.sbfisica.org.br/v1/home/index.php/pt/acontece/646¿. Acesso
em: 17 de fevereiro de 2021.
[2] SCHULZ, Peter A.. Há mais história lá embaixo - um convite para rever uma pales-
tra. Revista Brasileira de Ensino Fı́sisca., São Paulo , v. 40, n. 4, e4210, 2018 . Dis-
ponı́vel em <>. Acesso em 17 de fevereiro de 2021 https://doi.org/10.1590/
1806-9126-rbef-2017-0375.
[3] MOREIRA, Marco Antonio. O Modelo Padrão da Fı́sica de Partı́culas. Revista Brasileira
de Ensino Fı́sisca., São Paulo , v. 31, n. 1, p. 1306.1-1306.11, Apr. 2009 . Disponı́vel em
http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n1/v31n1a06.pdf.
[4] H. M. Nussenzveig: Curso de Fı́sica Básica. 1 Mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 4ª
edição, 2002.
[5] H. M. Nussenzveig: Curso de Fı́sica Básica. 2 Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor.São
Paulo: Edgard Blücher, 4ª edição, 2002
10
http://www.sbfisica.org.br/v1/home/index.php/pt/acontece/646
http://www.sbfisica.org.br/v1/home/index.php/pt/acontece/646
https://doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2017-0375
https://doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2017-0375
http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n1/v31n1a06.pdf
	INTRODUÇÃO
	OBJETIVOS
	REFERENCIAL TEÓRICO
	Equações de Movimento do pêndulo simples
	Aspectos físicos do pêndulo simples
	MÉTODOS ESTATÍSTICOS
	PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
	Materiais utilizados
	Construção do experimento
	Aquisição de dados
	ANÁLISE DE DADOS
	CONCLUSÃO