Matematica Finananceira Solucaocap6a10

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CAPÍTULO 6: DEPRECIAÇÃO 
 
1) Temos que: 
� = ���1 − ��
	 ⇒ � = 8000. �1 − 0,2�� = 8.000 ∙ 0, 8�
 
 
2) � = ���1 − ��	 ⇒ � = 50000. �1 − 0,1�� 
� = 50000.0, 9� = 50000.0,729 = 36450 
 
3) � = ���
�
⇒� =
�� �!� 
� 
= 0,1 ; 
	�	 = � − #. � ⇒ �	 = 42000 − 200000 ∙ 0,1 
�	 = 22.000,00 
 
4) Valor residual: 20% de 45000 = 9000. Desta forma: 
2000
18
900045000
=
−
=
−
=
n
RVD
 
21000200012450000 =⋅−=⋅−= DtVV 
 
5) Temos que: 
S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 
E sabemos ainda que: 
)(1 RV
S
tnD t −
+−
=
 
 
40000)20000240000(
55
1110
1 =−
+−
=D 24000)20000240000(
55
1510
5 =−
+−
=D 
36000)20000240000(
55
1210
2 =−
+−
=D 20000)20000240000(
55
1610
6 =−
+−
=D 
32000)20000240000(
55
1310
3 =−
+−
=D 16000)20000240000(
55
1710
7 =−
+−
=D 
28000)20000240000(
55
1410
4 =−
+−
=D 
Assim, 
44000196000240000)( 7654321 =−=++++++−= DDDDDDDVVT 
Valor mais próximo: R$ 46.000,00 
 
Outro processo: 
S = 55 
$%&' =
#�2( + 1 − #�
2
=
7�2 ∙ 10 + 1 − 7�
2
= 49 
�	�	 = $%&' ∙
� − *
+
= 49 ∙
240000 − 20000
55
= 196000 
�	 = � − �	�	 = 240000 − 196000 = 44000 
CAPÍTULO 7: TAXAS 
 
1) Valor à vista: R$ 5000,00. 
Entrada : R$ 1000,00. 
Dívida real : R$ 4000,00. 
Valor pago : R$ 4500,00. (1 mês após a entrada) 
Juro pago em um mês: R$ 500,00 
 
Percentual de juro: , 
� 
∙ 100% = 12,5%. 
Obs.: Pudemos proceder desta forma direta pois o prazo era de apenas 1 período (1 
mês). 
 
2) (1+ir).(1+ii)=(1+ia) 
O custo efetivo que o texto diz representa a taxa aparente. 
(1+0,125).(1+ii) = (1+0,44) 
1,125 . (1+ii) = 1,44 
1 + ii = 1,44/1,125 
1 + ii = 1,28 ⇒ ii = 0,28 = 28%. 
 
3) A capitalização é mensal, logo a taxa nominal é 12 vezes a taxa efetiva mensal. 
Relação entre a taxa efetiva mensal e a trimestral: 
(1 + im)3 = (1 + it)1 ⇒ (1 + im)3 = (1 + 0,12) ⇒ 
1 + im = (1 + it)1/3 (ver obs. abaixo) 
 ⇒ im = (1,12)1/3 – 1. 
Taxa nominal: 12. im = 12.[(1,12)1/3 – 1] 
 Obs. √/01 = /
2
1
 
4) (1+ir).(1+ii)=(1+ia) 
(1 + ir).(1 + 0,25) = 1 + 0,44 
1 + ir = 1,44/1,25 
ir = 1,152 – 1 = 0,152 
ir = 15,2% 
 
5) 3 = 4�1 + �5���1 + �6� 
240786 = 200000�1 + 0,05���1 + �6� 
1 + �6 =
240786
200000 ∙ 1,157625
= 1,04 
�6 = 0,04 = 4%	no	trimestre 
 
6) (1+ir).(1+ii)=(1+ia) 
(1 + ir).(1 + 0,045) = 1 + 0,0925 
1 + ir = 1,045/1,0925 
ir = 1,0454 – 1 = 0,0454 
ir = 4,54% 
7) 113.01113,1)1(2000022260)1( 1 =⇒+=⇒+⋅=⇒+⋅= AAAtA iiiiCM 
Daí temos que: 
 
(1+ir).(1+ii)=(1+ia) 
(1 + ir).(1 + 0,05) = 1 + 0,113 
1 + ir = 1,113/1,05 
ir = 1,06 – 1 = 0,06 
ir = 6,0% 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8: DESCONTOS 
 
1) Desconto racional: A → 100% 
D → i.t = 60% . 2 = 120% 
N = A + D = 100% + 120% = 220% 
Valor descontado = A 
 N D A 
R$ 110000 x 
% 220 120 100 
Regra de três: 
R$ 110000 – – – – – – x 
 % 220– – – – – - 100 
220x = 110000.100 ⇒ x = 50000 
R$ 50.000,00 
 
2) A = 534090 
i = 84%aa = 7% am 
t = 90 dias = 3 meses 
Desconto racional ⇒ A é a referência 
D = A.i.t = 534090.0,07.3 =112159,9 
N = A + D = 646248,90 
R$ 646.248,90 
 
3) Desconto comercial ⇒ N é a referência 
D = N – A = 30000 – 27910 = 2090 
D = N.i.t ⇒ 2090 = 30000.0,022.t 
660t = 2090 ⇒ t = meses 
6
19
 
dias 95 dias 30 
6
19
=⋅=t 
 
4) s =2% de 1000 = 20 
Desconto comercial ⇒ N é a referência 
D = N.i.t = 1000.0,03.4 = 120 
A = N – D – s = 1000 – 120 – 20 ⇒ A = 860 
R$ 860,00 
 
5) 150 dias = 5 meses 
DC – DR = DR . i . t 
12 = DR . 0,02 . 5 ⇒ DR = 120 
DC – DR = 12 ⇒ DC –120 = 12 
DC = 132. Mas DC = N.i.t 
Temos então que 
N.0,02.5 = 132 ⇒ N = 1320. 
R$ 1.320,00 
 
6) s = 2% de 5000 = 100 
Desconto comercial ⇒ N é a referência 
D = N.i.t = 5000.0,04.4 =800 
A = N – D – s = 5000 – 800 – 100 = 4100 
R$ 4.100,00 
 
7) Desconto racional composto 
N = A.(1 + i)t 
10000 = A.(1 + 0,02)3 ⇒ 1,061208.A = 10000 
A ≅ 9423,22 ⇒ D = 10000 – 9423,22 = 576,78. 
R$ 576,78 
 
8) A = N – D = 425000 – 24513 = 400487 
N = A.(1 + i)t 
425000 = 400487.(1 + 0,02)t 
1,02t = 1,0612 aproximadamente 
Como não são dados logaritmos nem tabelas, temos que resolver por tentativas: 
1,022 = 1,0404 
1,023 = 1,061208 que é um valor bem próximo. Então temos que o prazo é de 3 
meses = 90 dias. 
 
9) Desconto por fora = comercial ⇒ N é a referência 
D = N . i . t ⇒ D = 2400.0,008.6 = 115,2 
A = N – D = 2400 – 115,2 = 2284,80 
R$ 2.284,80 
 
10) 36% aa = 18% as 
6 meses = 1 semestre 
Desconto racional ⇒ A é a referência (100%) 
D → i.t = 18%. 1 = 18% 
 N D A 
R$ 29500 x 
% 118 18 100 
Regra de três: 
R$ 29500 – – – – – – x 
 % 118 – – – – – - 18 
x.118 = 18.29500 
x = 4500 
R$ 4.500,00 
 
11) A = 0,8.N 
D = N – A = N – 0,8N = 0,2N 
6 meses = 0,5 ano 
Desconto racional: A é a referência 
D = A. i . t 
0,2N = 0,8N. i . 0,5 ⇒ i = 0,5 = 50% 
 
12) DC – DR = DR . i . t = 3,00 
4 meses = 1/3 ano 
603
3
115,0 =⇒=⋅⋅ RR DD 
DC – 60 = 3 ⇒DC = 63 ⇒ N.i.t = 63 ⇒ 
126063
3
115,0 =⇒=⋅⋅ NN 
R$ 1.260,00 
 
13) 40 dias = 4/3 de mês 
Desconto comercial: N é a referência 
D = N.i.t = 1000
3
403,025000 =⋅⋅ 
A = N – D = 25000 – 1000 = 24000 
 
14) Desconto racional: A é a referência 
18% aa = 1,5% am = 0,015 
D = A.i.t = 21000.0,015.2 = 630 
N = A + D = 21000 + 630 = 21630 
 
Desconto comercial: N é a referência 
N = 2 . 21630 = 43260 
D = N.i.t = 43260 . 0,02 . 5 = 4326 
A = N – D = 43260 – 4326 = 38934 
R$ 38.934,00 
 
15) Desconto comercial ⇒ N é a referência 
48%aa = 4% am = 0,04 am 
D = N . i . t ⇒ D = 6900.0,04.3 = 828 
X = 6900 – 828 = 6072 
 
16) AR – AC = DC – DR = 20000 – 19800 = 200 
 DC – DR = 200 
DC – DR = DR.i.t 
DR.i.4 = 200 ⇒ DR.i = 50 ⇒ A.i.4.i = 50 
⇒ 20000.i2.4 = 50 ⇒ 025,0
40
1
1600
12
==⇒= ii 
DR = A .i .t = 20000 . 0,025 . 4 = 2000 
N = 20000 + 2000 = 22000 
R$ 22.000,00 
 
 
CAPÍTULO 9: O valor do capital na linha do tempo 
 
1) 60%aa = 5% am = 0,05 
Primeiramente vamos “trazer” os dois títulos para a data focal zero. 
Título 1 
30 dias = 1 mês 
Dc = N.i.t = 7000.0,05.1 = 350 
A1 = 7000 – 350 = 6650 
Título 2 
120 dias = 4 meses 
Dc = N.i.t = 10500.0,05.4 = 2100 
A2 = 10500 – 2100 = 8400 
Título substituto 
A = 6650 + 8400 = 15050 
Na data focal zero, o desconto do novo título será: 
D = 21500 – 15050 = 6450. 
D = N.i.t ⇒ 21500.0,05.t = 6450 
1075.t = 6450 ⇒ t = 6 meses = 180 dias 
 
2) Taxa semestral = i = 10% = 0,1 ⇒ 
⇒ 1 + i = 1 + 0,1 = 1,1 
Adotando a data focal 2,5 anos (5 semestres), temos: 
Título 1 (na data focal teremos t = 1,5 anos = 3 semestres - capitalização) 
M1 = 5000.(1,1)3 = 5000.1,331 = 6655 
Título 2 (na data focal teremos t = 0,5 ano = 1 semestre - capitalização) 
M2 = 10000.(1,1)1 = 11000 
Como o terceiro título já está na data focal, então o valor nominal do título 
substituto deverá ser: 
N = 6655 + 11000 + 12000 = 29655 
R$ 29.655,00 
 
3) Taxa mensal = i = ..%2
12
%24
mai == ⇒ 
⇒ 1 + i = 1 + 0,02 = 1,02 
Adotando a data focal 3 meses, temos: 
Título 1 (na data focal teremos t = 1) 
1600
02,1
1632
)1( ==+= tA i
VV 
Título 2 (na data focal teremos t = 2) 
24,12495
02,1
05,13000
)1( 2 ==+= tA i
VV 
Desta forma, o valor nominal desta nova nota será: 
R$ 1.600,00 + R$ 12.495,24 = R$ 14095,24 
Valor mais próximo R$ 14.100,00 
 
4) Taxa mensal = i = ..%5,1
12
%18
mai == ⇒ 
⇒ 1 + i = 1 + 0,015 = 1,015 
Adotando a data focal 0 meses, temos: 
Título 1 (na data focal teremos t = 4) 
92,4710)015,1(
5000
)1( 4 ==+= tA i
VV 
Título 2 (na data focal teremos t = 6) 
34,7316)015,1(
8000
)1( 6 ==+= tA i
VV 
Desta forma, o valor nominal deste novo título será: 
R$ 4.710,92+ R$ 7.316,34 = R$ 12027,26 
Valor mais próximo R$ 12.000,00 
 
5) Adotando a data focal 2 anos, temos: 
Título 1 (na data focal teremos t = 1) 
18150)10,01(16500)1( 1 =+⋅=+⋅= tA iVV 
Título 2 (na data focal teremos t = 1) 
24200)1,1(
26620
)1( 1 ==+= tA i
VV 
Desta forma, o valor nominal deste novo título será: 
R$ 18.150,00 + R$ 24.200,00 = R$ 42.350,00 
CAPÍTULO 10: Rendas certas, anuidades ou séries de pagamentos 
 
1) Temos um caso de anuidade básica, mas com ainda um período a mais de 
investimento. 
 
 
3! = ?. @!�¬� 
@!�¬� =
�!B , ��CD�!
 , �
=
�!, ��CD�!
 , �
=
!,��E���!
 , �
=
 ,��E��
 , �
 
@!�¬� = 13,412 
P = 100 
3! = 100.13,412 = 1341,2 
3� = 3!. 1,02 = 1341,2.1,02 = 1368,02 
Resposta: R$ 1.368,00 
 
2) Entrada: 
150 ⇒ saldo devedor: 600 – 150 = 450 
 30 dias: 
Juros: 0,02 . 450 = 9 
Pagou: 159 
Saldo devedor: (450 +9) – 159 = 300 
 60 dias: 
Juros: 0,02 . 300 = 6 
Pagou: 206 
Saldo devedor: (300 +6) – 206 = 100 
 90 dias 
 Juros: 0,02 . 100 = 2 
 Para quitar: 100 + 2 = 102 
3) 20% aa = 10% as 
F = ? ∙ /�¬! 
0 1 2 12
PP P
M1 M2
1,02x
. . .
13
F = 66200 
/�¬! =
�!B ,!�G�!
 ,!∙�!B ,!�G
=
!,!G�!
 ,!∙!,!G
=
 ,��!
 ,!��!
 
66200 = ? ∙
 ,��!
 ,!��!
⇒ ? = 26620 
4) Temos um caso de anuidades antecipadas. 
F = �1 + �� ∙ ? ∙ /�¬6 ⇒ F = �1 + 0,05� ∙ ? ∙ /�¬, 
F = 1,05 ∙ ? ∙
!, ,H�!
 , ,∙!, ,H
= ? ∙
!, ,G.!. ,�!
 , ,∙!, ,G
 
F = 11576,25 ∙
!,!,I��,∙!. ,�!
 , ,∙!,!,I��,
 
F = 200000 ∙ �1,21550625 − 1� 	= 43101,25 
 
5) Diferida de 3 anos ⇒ data zero coincide com 2 anos de juros sobre o principal. 
A0 = 662000 . 1,12 = 662000 . 1,21 
(Vamos deixar para fazer as contas depois. Motivo? Quem sabe dará para simplificá-las 
depois!) 
F = ? ∙
!,!G�!
 ,!∙!,!G
⇒ 662000 ∙ 1,21 = ? ∙
!,��!�!
 ,!∙!,��!
 
? = 662000 ∙ 1,21 ∙
 ,!∙!,��!
 ,��!
= 322102 
6) Observe que, como não haverá aumento de preço no período, o montante que queremos 
formar é exatamente o valor do veículo. O caso é de anuidade básica, mas com ainda um 
período a mais de investimento. 
 
M2 = M1 . 1,04 
3! = ?. @�¬� 
@�¬� =
�!B , ��H�!
 , �
=
�!, ��H�!
 , �
=
!,!�JJ�!
 , �
=
 ,!�JJ
 , �
 
3� = ?. @�¬� ∙ 1,04 ⇒ 44174 = ? ∙
 ,!�JJ
 , �
	 ∙ 1,04 
? =
44174 ∙ 0,04
0,1699 ∙ 1,04
= 10.000 
7) F = K
6
=
E� 
 , �
= 430000,00 
0 1 2 4
PP P
M1 M2
1,04x
53
P
8) M = C.(1+i)t 
27220 = 20000.(1+i)12 ⇒(1+i)12 = 1,361 
1 + i = 1,3611/12 ⇒ 1 + i = 1,026 ⇒ i = 0,026 ao mês 
Taxa nominal anual: iN = 12 . 0,026 = 0,312 = 31,2%. 
9) Aplicação I (montante postecipado) 
3! = ?. @�¬� = 2000 ∙
�!B , ��G�!
 , �
= 6.181,80 
Aplicação II (montante postecipado com mais um período de aplicação) 
3� = ?. @�¬�. �1 + 0,03� = 3000 ∙
�!B , ��D�!
 , �
∙ �1,03� 
3� = 3000 ∙
�!, ��D�!
 , �
∙ �1,03� = 6.272,70 
 Diferença: 
3� −3! = 6272,7 − 6181,8 = 90,90 
 
10) 36% aa = 3% am 
 
 Depósitos: 
 3 = ?. @E¬�. = 5000 ∙ 8,89 = 44450 
 Retiradas: 
3 = F = * ∙ /,¬� ⇒ * = 3 ∙ �/,¬��
�!
 
* = 44450 ∙ 0,22 = 9779 
 
11) 24% aa = 2% am 
Para facilitar, podemos entender o problema como sendo 8 depósitos de R$ 1000,00 mais 
quatro finais de R$ 250,00. 
 
3! = ?. @E¬�. = 1000 ∙ 8,58 = 8.580,00 
 
...
0 1 2 8
P P
0 1 2 4
..
.
P
53
M
M
R R R R R
...
0 1 2 8
P PP
M1
 
3� = ?. @�¬� = 250 ∙ 4,12 = 1.030,00 
Total: 
M = 8580 + 1030 = 9.610,00 
 
12) M = C.(1+i)t ⇒ 14520 = C.(1+0,1)2 
⇒ C = 14520 ÷ 1,21 
C = 12.000,00 
 
0 1 2 3 4
PP P P
M2