Elasticidade Feynman

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38–1 Lei de Hooke
Elasticidade trata do comportamento daquelas substâncias que têm a propriedade de 
recuperar seu tamanho e forma originais assim que retiramos as forças que produzem 
deformação. Esta propriedade elástica é, de alguma maneira, comum a todos os corpos 
sólidos. Se tivéssemos tempo de tratar esse assunto em sua totalidade, seria desejável 
examinar várias questões: o comportamento dos materiais, as leis gerais da elasticida-
de, a teoria geral da elasticidade, as propriedades atômicas que determinam as proprie-
dades elásticas e, fi nalmente, as limitações das leis elásticas quando as forças forem tão 
grandes a ponto de termos fraturas e deformações plásticas permanentes. Como pre-
cisaríamos de tempo demasiado para cobrir todos esses assuntos em detalhes, vamos 
abandonar certos aspectos. Por exemplo, não vamos discutir plasticidade ou limitações 
das leis elásticas. Já tocamos previamente nesses assuntos quando falamos de desloca-
mentos em metais. Também não seremos capazes de discutir os mecanismos internos 
da elasticidade – de modo que nosso tratamento não terá a mesma completude atingida 
em capítulos anteriores. Nosso principal objetivo é fazê-los conhecer alguns meios de 
tratar problemas práticos, tais como arqueamento de barras.
Quando você empurra um pedaço de material, ele cede – o material é deforma-
do. Se a força for pequena o sufi ciente, o deslocamento relativo nos vários pontos do 
material será proporcional à força – em cujo caso, dizemos que o comportamento é 
elástico. Vamos discutir apenas o comportamento elástico. Primeiro, escrevemos as 
leis fundamentais da elasticidade e, então, aplicamo-las a um determinado número de 
situações.
Suponha que tomemos um bloco retangular de material de comprimento l, largu-
ra w e altura h, conforme mostrado na Figura 38–1. Se puxarmos os fi nais com uma 
força F, o comprimento aumentará de uma quantidade ∇l. Vamos supor, em todos os 
casos, que a mudança no comprimento seja uma pequena fração do comprimento ori-
ginal. De fato, para materiais como madeira e aço, o material quebrará se a mudança 
no comprimento for maior que alguns centésimos do comprimento original. Para um 
grande número de materiais, a experiência mostra que, para variações de comprimento 
sufi cientemente pequenas, a força é proporcional a tal variação
 
 (38.1)
Esta relação é conhecida como lei de Hooke.
O aumento ∇l da barra também dependerá de seu comprimento. Podemos com-
preender como, através do seguinte argumento. Se colarmos dois blocos idênticos jun-
tos, um atrás do outro, com a mesma força agindo em cada bloco, cada um esticará por 
∇l. Portanto, o estiramento do bloco de comprimento 2l será duas vezes maior. A fi m 
de chegarmos a um número que seja mais característico do material e menos da forma 
particular, escolhemos tratar com a relação ∇l/l do estiramento em relação ao compri-
mento original. Esta relação é proporcional à força, mas independente de l
 
 (38.2)
A força F também dependerá da área do bloco. Suponha que coloquemos dois 
blocos, um ao lado do outro. Então, para um dado estiramento ∇l, necessitaríamos da 
força F em cada bloco, ou seja, duas vezes maior. A força para um dado estiramento 
deve ser proporcional à área da seção reta A do bloco. Para obtermos a lei onde o coe-
fi ciente de proporcionalidade seja independente das dimensões do corpo, escrevemos 
a lei de Hooke para um bloco retangular na forma
38
Elasticidade
38–1 A lei de Hooke
38–2 Deformações uniformes
38–3 Torção de barra; ondas de 
cisalhamento
38–4 O feixe torto
38–5 Vergadura
Revisão: Capítulo 47, Vol. I, Som. 
A Equação de Onda
Figura 38–1 O estiramento de uma barra sob 
tensão uniforme.
ÁREA A
38–2 Lições de Física
 
 (38.3)
A constante Y é uma propriedade apenas do material; ela é conhecida como mó-
dulo de Young. Freqüentemente, você encontrará o módulo de Young como sendo E. 
Mas aqui usamos E para campos elétricos, energia e fems, de modo que preferimos 
uma outra letra neste caso.
A força por unidade de área é chamada de tensão, e o estiramento por unidade 
de comprimento chamaremos de deformação. A Equação (38.3) pode ser reescrita da 
seguinte maneira:
 
 (38.4)
Tensão = (Young’s) × (Deformação).
Há uma outra parte da lei de Hooke: quando você distende um material em uma 
direção, ele contrai a ângulos retos em relação à direção de distensão. A contração na 
largura é proporcional à largura e ao esforço. A contração lateral está na mesma pro-
porção, tanto para a largura quanto para a altura, sendo comumente escrita como
 
 (38.5)
onde a constante σ é uma outra propriedade do material, chamada de relação de Pois-
son. Ela é sempre positiva e menor que 1/2. É razoável que σ seja positiva, mas não é 
claro que deva sê-lo.
As duas constantes, Y e σ, defi nem completamente as propriedades elásticas de 
um material isotrópico e homogêneo (não cristalino). Em um material cristalino, as 
contrações e estiramentos podem ser diferentes em direções diferentes, de modo que 
pode haver mais de uma constante elástica. Vamos nos restringir temporariamente a 
materiais homogêneos e isotrópicos cujas propriedades podem ser descritas por Y e σ. 
Como de costume, há vários modos de descrever as coisas, algumas pessoas preferem 
descrever as propriedades elásticas de materiais por constantes diferentes. Duas são 
sempre necessárias e elas podem ser sempre relacionadas a σ e Y.
A última lei geral de que precisamos é o principio de superposição. Como as duas 
leis (38.4) e (38.5) são lineares nas forças e nos deslocamentos, a superposição vai 
funcionar. Se você tiver um conjunto de forças e calcular alguns deslocamentos, en-
tão, adicionando um novo conjunto de forças e calculando deslocamentos adicionais, 
os deslocamentos resultantes serão a soma daqueles obtidos pelos dois conjuntos de 
forças agindo independentemente.
Agora, temos todos os princípios gerais – o princípio da superposição e as Equa-
ções (38.4) e (38.5) – e isto é tudo o que há sobre elasticidade. Mas, dizer desta manei-
ra é como afi rmar que, tendo as leis de Newton, temos toda a mecânica. Ou, dadas as 
equações de Maxwell, temos toda a eletricidade. É verdade que esses princípios for-
mam o corpo principal porque, com nossas habilidades matemáticas atuais, podemos 
seguir um longo caminho. Todavia, vamos considerar algumas aplicações especiais.
38–2 Deformações uniformes
Como primeiro exemplo, vamos ver o que acontece com um pequeno bloco retangular 
sob pressão hidrostática uniforme. Vamos colocar um bloco sob a água, num tanque de 
pressão. Haverá uma força agindo sobre cada face do bloco proporcionalmente à área 
(ver Figura 38–2). Como a pressão hidrostática é uniforme, a pressão em cada face 
do bloco é a mesma. Primeiramente, vamos analisar a mudança de comprimento. Ela 
pode ser pensada como uma soma das mudanças em comprimento que ocorreria nos 
três problemas independentes delineados na Figura 38–3.
Figura 38–2 Uma barra sob pressão hidrostáti-
ca uniforme.
Figura 38–3 Pressão hidrostática é sobreposta a 
três compressões longitudinais.
Elasticidade 38–3
Problema 1. Se empurrarmos os fi nais do bloco com uma pressão p, a deformação 
de compressão será p/Y, e será negativo
Problema 2. Se empurrarmos os dois lados do bloco com pressão p, a deformação 
de compressão será novamente p/Y, mas, agora, queremos a deformação no compri-
mento. Podemos obtê-la por multiplicação por –σ. A deformação lateral será
portanto
Problema 3. Se pressionarmos em cima do bloco, a deformação será novamente p/Y e 
a deformação correspondente na direção lateral será novamente –σp/Y. Obtemos
Combinando os resultados dos três problemas – isto é, tomando l = Δl1 + Δl2 + Δl3 
–, obtemos
 
 (38.6)
O problema é, claramente, simétrico nas três direções; segue que
 
 (38.7)
A mudançano volume sob pressão hidrostática é de algum interesse. Como V = 
lwh, podemos escrever, para pequenos deslocamentos,
Usando (38.6) e (38.7), temos
 
 (38.8)
Costuma-se chamar ΔV/V de deformação volumétrica, e escrevemos
A pressão volumétrica p é proporcional à deformação volumétrica – novamente a lei 
de Hooke. O coefi ciente K é chamado de módulo volumétrico; ele é relacionado às 
outras constantes por
 
 (38.9)
Como K é de interesse prático, muitos manuais fornecem Y e K, ao invés de Y e σ. Se 
você quiser σ, sempre poderá calculá-la da equação (38.9). Também podemos ver que 
a constante de Poisson, σ, deve ser menor que ½. Se isso não ocorresse, o módulo K 
do bloco seria negativo e o material se expandiria com o aumento da pressão. Isso nos 
permitiria obter energia mecânica a partir de um velho bloco – signifi caria que o bloco 
estaria em equilíbrio não estável. Se ele começasse a expandir, continuaria assim por 
si mesmo, com liberação de energia.
38–4 Lições de Física
Agora, queremos considerar o que acontece quando você faz uma torção sobre 
algo. Torção signifi ca o tipo de distorção mostrado na Figura 38–4. Preliminarmente, 
olhemos para as deformações de um cubo de material como mostrado na Figura 38–5. 
Podemos novamente quebrar o problema em duas partes: empurrões verticais e puxões 
horizontais. Chamando de A a área da face do cubo, para a mudança de comprimento 
horizontal, temos
 
 (38.10)
A mudança na altura vertical é o negativo dessa quantidade.
Suponha agora que temos o mesmo cubo e os sujeitemos às forças de torção mos-
tradas na Figura 38–6(a). Note que todas as forças devem ser iguais se não houver 
torques resultantes e o cubo estiver em equilíbrio. Forças análogas devem existir na 
Figura 38–4, já que o bloco está em equilíbrio. Elas são dadas pela “cola” que segura 
o bloco na mesa. Dizemos que o cubo está num estado de pura torção, mas note que, 
se cortamos o cubo por um plano a 45° – digamos ao longo da diagonal A da Figura –, 
a força total agindo no plano é normal ao plano, sendo igual a . A área sobre a 
qual essa força age é ; portanto, a tensão normal tensionante ao plano é simples-
mente G/A. De modo análogo, se examinarmos um plano a 45° no outro sentido – na 
diagonal B da Figura –, vemos que há uma tensão normal compressiva a este plano 
de valor –G/A. Disto vemos que a tensão resultante de uma torção pura é equivalente 
à combinação de tensionamento e compressão de mesma intensidade a ângulos retos 
uma a outra e a 45° das faces originais do cubo. As tensões e deformações internas 
são as mesmas que teríamos em um bloco maior de material, com as forças mostradas 
na Figura 38–6(b). Mas, já resolvemos esse problema. A mudança de comprimento da 
diagonal é dada pela equação
 
 (38.11)
Uma diagonal encurtou, a outra alongou-se.
É conveniente expressar uma torção em termos do ângulo em que o cubo é torcido 
– o ângulo θ na Figura 38–7. Da geometria da Figura, pode-se ver que o deslocamento 
horizontal δ da parte de cima é igual a . Portanto,
 
 (38.12)
A tensão de cisalhamento g é defi nida como a força tangencial em uma face dividida 
pela área, g = G/A. Usando as Equações (38.11) e (38.12), obtemos
Figura 38–5 Um cubo com forças de compres-
são em cima e em baixo e forças de estiramen-
to dos lados.
Figura 38–6 Os dois pares de forças de cisalhamento em (a) produzem a mesma tensão que as forças de compressão e estiramento em (b).
ÁREA A
ÁREA
Figura 38–4 Um tubo em cisalhamento uniforme.
Elasticidade 38–5
Ou, escrevendo na forma “tensão = constante vezes esforço”,
 (38.13)
O coefi ciente de proporcionalidade μ é chamado de módulo de cisalhamento ou, às 
vezes, coefi ciente de rigidez. Ele é dado em termos de Y e σ, por
 
 (38.14)
Incidentalmente, o módulo de torção deve ser positivo – senão você poderia obter 
trabalho de um bloco que se auto-torce. Da equação (38.14), σ deve ser maior que –1. 
Sabemos, então, σ deve estar entre –1 e + ; na prática, ele é sempre maior que zero.
Como último exemplo do tipo de situação onde as tensões são uniformes através 
do material, consideremos o problema de um bloco que é esticado e ao mesmo tempo 
vinculado, de modo a não haver contração material. Tecnicamente é um pouco mais 
fácil comprimir impedido que os lados inchem, mas este é o mesmo problema. O que 
acontece? Deve haver forças laterais impedindo a mudança de espessura – forças que 
não sabemos de saída, mas que devemos calcular. É o mesmo tipo de problema que já 
solucionamos. Imaginemos forças de todos os lados, como na Figura 38–8; calculamos 
as mudanças nas dimensões e escolhemos as forças transversas de modo que largura e 
altura fi quem constantes. Pelos argumentos usuais, para as três deformações, obtemos
 
 (38.15)
 
 (38.16)
 
 (38.17)
Agora, como Δly e Δlz são zero, as equações (38.16) e (38.17) levam a duas rela-
ções entre Fy, Fz e Fx. Resolvendo-as, temos
 
 (38.18)
Substuindo em (38.15), temos
 
 (38.19)
Freqüentemente você verá essa equação escrita de outro modo e com os fatores de σ 
fatorados,
 
 (38.20)
Quando vinculamos os lados, o módulo de Young fi ca multiplicado por uma função 
complicada de σ. É fácil de ver da equação (38.19), que o fator na frente de Y é sempre 
maior que 1. É mais difícil esticar um bloco quando os lados forem vinculados – o que 
também signifi ca que um bloco é mais forte quando os lados forem vinculados.
38–3 Torção de barra; ondas de cisalhamento
Atentemos, agora, para um exemplo mais complicado, já que partes diferentes do ma-
terial são diferentemente tensionadas.
Consideramos uma barra torcida como, por exemplo, em uma manivela de alguma 
máquina ou em uma fi bra de quartzo suspensa usando um instrumento delicado. Como 
Figura 38–7 A deformação de cisalhamento θ é 
2ΔD/D.
Figura 38–8 Estiramento sem contração lateral.
38–6 Lições de Física
você sabe da experiência com o pêndulo de torção, o torque em uma barra torcida é 
proporcional ao ângulo – a constante de proporcionalidade dependendo do compri-
mento da barra e de seu raio, além das propriedades do material. A questão é: de que 
maneira? Estamos agora em posição de responder a esta questão; depende de alguma 
geometria.
A Figura 38–9(a) mostra uma barra cilíndrica de comprimento L e raio a com 
uma ponta torcida por um ângulo φ em relação à outra. Se quisermos relacionar as 
deformações àquilo que conhecemos, devemos pensar na barra como sendo feita de 
várias cascas cilíndricas e raciocinarmos separadamente para cada casca. Começamos 
olhando para um cilindro pequeno e fi no de raio r (menor que a) e espessura Δr, como 
na Figura 38–9(b). Agora, se olharmos um pedaço desse cilindro, originalmente um 
pequeno quadrado, vemos que ele foi distorcido em um paralelograma. Cada elemento 
desse cilindro está torcido por um ângulo θ dado por
A torção g no material é dada pela Equação (38.13),
 
 (38.21)
A torção é a força tangencial ΔF em uma ponta do quadrado dividida pela área Δl 
Δr da ponta, como na Figura 38–9(c)
A força ΔF em uma ponta de tal quadrado contribui com um torque Δ� em torno do 
eixo da barra igual a
 
 (38.22)
O torque total � é a soma dessas contribuições ao redor de uma circunferência com-
pleta do cilindro. Colocando junto pedaços sufi cientes, de forma que os Δls juntem até 
2πr, achamos que o torque total em um tubo oco é
 (38.23)
Ou, usando (38.21)
 
 (38.24)
Figura 38–9 (a) Barra cilíndrica sob torção. (b) Concha cilíndrica sob torção. (c) Cada pequena peça da concha sendo cisalhada.
Elasticidade 38–7
Obtemos então que a rigidez rotacional �/φ de um tubo vazio é proporcional ao cubo 
do raio r e à espessura Δr, e inversamente proporcional ao comprimento L.
Podemos imaginar uma barra sólida feita de tubos concêntricos, cada um torcido 
domesmo ângulo φ (embora as tensões internas sejam diferentes para cada tubo). O 
torque total é a soma dos torques necessários para rodar cada folha; para a barra sólida, 
temos
onde a integral vai de r = 0 a r = a, o raio da barra. Integrando, temos
 
 (38.25)
Para uma barra sob torção, o torque é proporcional ao ângulo e à quarta potência do 
diâmetro – uma barra duas vezes mais grossa é dezesseis vezes mais dura sob torção.
Antes de deixar o assunto torção de lado, apliquemos o que aprendemos a um 
problema interessante: ondas de torção. Se, repentinamente, torcemos a ponta de uma 
barra, uma onda de torção corre ao longo da barra, conforme a Figura 38–10(a). Isto é 
mais interessante que uma simples torção – vamos ver o que acontece.
Seja z a distância até um ponto na barra. Para uma torção estática, o torque é o 
mesmo em todo lugar da barra, sendo proporcional a φ/L, o ângulo de torção total sobre 
o comprimento total. O que importa para o material é o esforço torsional local, que 
será, compreensivelmente, ∂φ/∂z. Quando a torção ao longo da barra não for uniforme, 
devemos substituir (38.25) por
 
 (38.26)
Vamos agora ver o que acontece a um elemento de comprimento Δz, mostrado em 
detalhe na Figura 38–10(b). Há um torque �(z) na extremidade 1 do pequeno trecho de 
barra, e um torque diferente �(z + Δz) na extremidade 2. Se Δz for pequeno o sufi ciente, 
podemos usar a expansão de Taylor e escrever
 
 (38.27)
O torque resultante Δ�, agindo sobre o pequeno trecho de barra entre z e z +Δz, 
é a diferença entre �(z) e �(z + Δz), ou Δ� = (∂�/∂z)Δz. Derivando a Equação (38.26), 
temos
 
 (38.28)
O efeito desse torque resultante é uma aceleração angular no pequeno trecho de 
torque. A massa do trecho é
Figura 38–10 (a) Onda torcional em uma barra. (b) Elemento de volume da barra.
FINAL 1 FINAL 2
38–8 Lições de Física
onde ρ é a densidade do material. Obtivemos, no Capítulo 9 do Volume I, que o mo-
mento de inércia de um cilindro circular é mr2/2; chamando o momento de inércia de 
ΔI, obtemos
 
 (38.29)
A lei de Newton diz que o torque é igual ao momento de inércia vezes a aceleração 
angular,
 
 (38.30)
Colocando tudo junto, obtemos
ou
 
 (38.31)
Você agora pode reconhecer a equação de onda unidimensional. Achamos que as on-
das de torção se propagam com velocidade
 
Ccisalhamento (38.32)
Quando mais densa a barra – dada à rigidez –, mais vagarosa é a onda; e quanto 
mais rígida a barra, mais rápida a onda. A velocidade não depende do diâmetro da 
barra.
Ondas de torção são exemplos especiais de ondas de cisalhamento. Em geral, 
ondas de cisalhamento são aquelas em que os esforços não mudam o volume de qual-
quer parte do material. Nas ondas de torção, temos um tipo especial de tais tensões 
de cisalhamento, aquelas distribuídas sobre um círculo. Mas, para qualquer arranjo 
de tensões de cisalhamento, as ondas se propagam com a mesma velocidade – aquela 
dada por (38.32). Por exemplo, sismologistas encontram ondas de cisalhamento no 
interior da terra.
Podemos ter ainda outro tipo de onda no mundo elástico dentro de uma mate-
rial sólido. Se empurrarmos alguma coisa, uma onda longitudinal se inicia – também 
chamada onda compressional. São como ondas sonoras no ar ou na água – o deslo-
camento está na mesma direção da propagação da onda. Nas superfícies de corpos 
elásticos pode haver outros tipos de ondas – chamadas “ondas de Rayleigh”, ou “ondas 
de Love”. Nelas, as deformações não são puramente transversais nem puramente lon-
gitudinais. Não teremos tempo de estudá-las.
Falando em ondas, qual a velocidade de ondas puramente compressionais em 
corpos grandes como a terra? Dizemos “grande” porque a velocidade do som em um 
corpo grosso é diferente do que se obtém, por exemplo, ao longo de uma barra. Dize-
mos que um corpo é “grosso” se a dimensão transversa for maior que o comprimento 
de onda do som. Então, se empurrarmos o objeto, ele não pode se expandir para os 
lados. Felizmente, já trabalhamos sobre o caso especial de compressão de um material 
elástico vinculado. Também estudamos, no Capítulo 47 do Volume I, a velocidade 
do som em gases. Seguindo os mesmos argumentos que vimos antes, para a veloci-
dade do som em um sólido obtemos , onde Y' é o “módulo longitudinal” – ou 
pressão dividida pela mudança relativa de comprimento – para o caso vinculado. Isto 
é simplesmente a relação entre Δl/l e F/A, que obtivemos em (38.20). Então, a veloci-
dade das ondas longitudinais é dada por
Elasticidade 38–9
 
 (38.33)
Enquanto σ estiver entre 0 e 1/2, o módulo de cisalhamento � será menor que o 
módulo de Young Y, e também Y' será maior que Y, de modo que
Isto signifi ca que as ondas longitudinais viajam mais rápido que as de cisalhamento. 
Um dos modos mais precisos de se medir as constantes elásticas de uma substância é 
pela medida da densidade do material e das velocidades de dois tipos de ondas. Desta 
informação podemos obter ambos, Y e σ. Incidentalmente, é, medindo-se a diferença 
entre os tempos de chegada de dois tipos de ondas em um terremoto, que os sismolo-
gistas estimam – mesmo para sinais em uma única estação – a distância ao epicentro.
38–4 O feixe torto
Queremos agora olhar para outra questão prática – o curvar de uma barra ou de um fei-
xe. Quais as forças que agem ao curvarmos uma barra de seção reta arbitrária? Vamos 
analisar a questão pensando em uma barra de seção reta circular, mas nossa resposta 
valerá em qualquer caso. Para ganhar tempo, vamos simplifi car certas coisas, de modo 
que nossa teoria será apenas aproximada. Nosso resultado será válido apenas se o raio 
de curvatura for muito maior que o comprimento da barra.
Suponha que tomemos as duas extremidades de uma barra reta e a entortemos, 
como na Figura 38–11. O que acontece dentro da barra? Bem, se ela se encurva, isto 
signifi ca que o material na parte interna da curva se comprime e o material na parte 
de fora se distende. Há uma superfície interna que nem se comprime nem se distende. 
Esta é chamada de superfície neutra. Poder-se-ia esperar que esta curva estivesse perto 
do meio da seção reta. Isto é verdade para o caso de curvatura “pura” – se não estiver-
mos esticando ou comprimindo o feixe ao mesmo tempo.
Para um curvar puro, uma fatia transversa do material é distorcida conforme visto 
na Figura 38–12(a). O material abaixo da superfície neutra tem uma deformação com-
pressiva proporcional à distância da superfície neutra; e, acima da superfície neutra, o 
material é esticado em proporção à distância a essa mesma superfície. Desse modo, o 
esticamento Δl é proporcional à altura y. A constante de proporcionalidade é simples-
mente l sobre o raio de curvatura da barra – veja a Figura 38–12:
Assim, a força por unidade de área – a tensão – em uma pequena tira em y é também 
proporcional à distância à superfície neutra
 
 (38.34)
Olhemos agora para as forças que produzem este esforço. As forças sobre o seg-
mento mostrado na Figura 38–12 são mostradas na Figura. Se pensarmos em qualquer 
corte transverso, as forças agindo no corte estão, em um lado, acima da superfície 
neutra e, de outro, abaixo. Elas vêm aos pares para formar um “momento de curvatura” 
 – o torque em relação à linha neutra. Podemos calcular o momento total integrando 
a força vezes a distância até a superfície neutra para uma das faces do segmento da 
Figura 38–12:
 
 (38.35)
Da Equação (38.34), dF=Yy/RdA, portanto,
Figura 38–11 Um feixe entortado.
Figura 38–12 (a) Pequeno segmento de um feixe 
entortado. (b) Seção reta do feixe.
SUPERFÍCIE
NEUTRA
SUPERFÍCIE
NEUTRA
38–10 Lições de Física
A integral de y2 é o que chamamos de “momento de inércia” da seção reta geométrica 
ao redor do eixo horizontal através do “centro de massa”1; chamaremos esta quanti-
dade de I:
 
 (38.36)(38.37)
A Equação (38.36) nos fornece a relação entre o momento de curvatura e a 
curvatura 1/R do feixe. A “rigidez” do feixe é proporcional a Y e ao momento de 
inércia I. Em outras palavras, se quisermos o feixe mais rígido possível com uma certa 
quantidade, digamos, de alumínio, devemos colocar o material o mais longe possível 
da superfície neutra para que o momento de inércia seja máximo. Não se pode levar 
a extremos porque o objeto não vai se curvar como supusemos – ele vai se vergar ou 
torcer e fi car mais fraco de novo. Agora pode-se compreender porque feixes estruturais 
são fabricados nas formas de um I ou de um H como na Figura 38–13.
Como exemplo do uso da equação do feixe (38.36), examinemos a defl exão de 
um cantilever com uma força W sobre a extremidade livre, como na Figura 38–14 (um 
cantilever é um feixe pregado em uma parede por cimento, com posição e caída fi xas 
na extremidade pregada). Qual é a forma do feixe? Defi namos como sendo z a defl exão 
a uma distância x da parede; queremos saber z(x). Vamos trabalhar apenas para peque-
nas defl exões. Admitimos que o feixe seja longo em comparação com sua seção reta. 
Da matemática, sabemos que a curvatura 1/R de uma curva qualquer z(x) é dada por
 
 (38.38)
Como estamos interessados em pequenas caídas – como de costume em engenharia – 
ignoramos o termo (dz/dx)2 em comparação com a unidade e temos
 
 (38.39)
Também precisamos saber o momento de curvatura . É uma função de x, sendo dado 
pelo torque em relação ao eixo neutro de qualquer seção reta. Ignoremos o peso do 
feixe e consideremos apenas a força W na extremidade (você pode considerar o peso 
se quiser). Então o momento de curvatura x será
já que este é o torque ao redor do ponto x exercido pelo peso W – o torque que o peso 
deve suportar de x, temos
ou
 
 (38.40)
Podemos integrar esta expressão, obtendo
1
 Na realidade, é o momento de inércia de uma fatia de massa unitária por unidade de área.
Figura 38–14 Um feixe cantilever com um peso 
em uma extremidade.
Figura 38–13 Um feixe em “I”.
Elasticidade 38–11
 
 (38.41)
convencionando que z(0) = 0 e que dz/dx é zero em x = 0. Esta é a forma do feixe. O 
deslocamento na extremidade é
 
 (38.42)
que aumenta com o cubo do comprimento.
Deduzindo nossa teoria aproximada, vamos supor que a seção de choque do 
feixe não muda quando o feixe se curva. Quando a espessura do feixe for pequena 
comparada com o raio de curvatura, a seção de choque muda muito pouco e o re-
sultado está correto. Mas, em geral, este efeito não pode ser ignorado, como você 
pode demonstrar curvando uma borracha suave em seus dedos. Se a seção reta for 
inicialmente retangular, você verá que, quando ela se curva, ela incha na parte de 
baixo (vejam a Figura 38–15). Isto acontece porque, quando comprimimos a borra-
cha, o material se expande para os lados – como descrito pela relação de Poisson. 
É fácil dobrar ou espichar a borracha, mas ela é como um líquido, é difícil mudar 
seu volume – conforme vemos quando entortamos uma borracha. Para um material 
incompressível, a relação de Poisson seria exatamente 1/2 – para a borracha é quase 
este valor.
38–5 Vergadura
Queremos usar a teoria dos feixes para compreender a teoria da “vergadura” dos fei-
xes, colunas e barras. Consideremos a situação desenhada na Figura 38–16, onde uma 
barra normalmente reta é vergada por duas forças opostas que empurram as extre-
midades da barra. Queremos calcular a forma da barra e a magnitude das forças nas 
extremidades.
Suponha que a defl exão da barra em relação à linha reta seja y(x), onde x é a dis-
tância até uma das extremidades. O momento de curvatura no ponto P, na Figura, é 
igual à força F multiplicada pelo braço do momento, que é a distância perpendicular y,
 
 (38.43)
Utilizando a equação do feixe (38.36), temos
 
 (38.44)
Para pequenas defl exões, podemos tomar 1/R = –d2y/dx2 (o sinal de menos aparece 
porque a curvatura está para baixo). Temos
 
 (38.45)
que é a equação diferencial de uma onda senoidal. Para pequenas defl exões, a curva de 
tais feixes é um seno. O comprimento de onda � da onda senoidal é o dobro do com-
primento L entre as extremidades. Se a vergadura for pequena, este é o comprimento 
da barra não vergada. Portanto, a curva é
sen
Tomando-se a segunda derivada,
Comparando com (38.45), temos que a força é Figura 38–16 Um feixe vergado.
Figura 38–15 (a) Uma borracha entortada. (b) 
Seção reta.
38–12 Lições de Física
 
 (38.46)
Para pequenas vergaduras a força é independente do deslocamento y!
Portanto, fi sicamente, temos o seguinte. Se a força for menor que F dada pela 
equação (38.46), a barra não se vergará. Se a força for um pouquinho maior que aque-
le valor, o material se vergará bastante – isto é, para forças acima de um valor crítico 
π2YI/L2 (freqüentemente chamada de “força de Euler”), o feixe verga-se. Se o peso no 
segundo andar de um edifício for maior que a força de Euler, o edifício vai colapsar. 
Um outro lugar onde a força de vergadura é muito importante é em foguetes espaciais. 
De um lado, o foguete deve ser capaz de sustentar seu próprio peso na plataforma de 
lançamento e suportar as tensões durante a aceleração; por outro lado, é importante 
manter o peso da estrutura em um valor mínimo, de modo que a carga útil e a capaci-
dade de combustível possam ser as maiores possíveis.
De fato, um feixe não necessariamente colapsará completamente quando a força 
exceder a de Euler. Quando os deslocamentos fi carem grandes, a força fi ca maior do 
que a que achamos, por causa dos termos em 1/R que ignoramos na Equação (38.38). 
Para acharmos as forças para uma grande vergadura do feixe, temos que retornar à 
equação exata (38.44), evitando o uso da relação aproximada entre R e y. A Equação 
(38.44) tem uma propriedade geométrica muito simples2. É um pouco complicado de 
se obter, mas muito interessante. No lugar de descrever a curva em termos de x e y, 
podemos usar duas novas variáveis S, a distância ao longo da curva, e θ, a declividade 
da tangente à curva, conforme a Figura 38–17. A curvatura é a taxa de variação do 
ângulo com a distância:
Podemos, portanto, escrever a equação exata (38.44) como
Se tomarmos a derivada dessa equação com respeito a S e substituirmos dy/dS por sen 
θ, obtemos
 
sen θ. (38.47)
Se θ for pequeno, obtemos novamente a Equação (38.45). Tudo parece certo.
2
 A mesma equação aparece incidentalmente em outras situações físicas, como por exemplo, o menis-
co na superfície de um líquido contido entre planos paralelos, quando a mesma solução geométrica 
pode ser utilizada.
Figura 38–17 As coordenadas S e θ para a cur-
va de um feixe entortado.
TAN
GEN
TE
Elasticidade 38–13
3
 As soluções podem ser expressas em termos de funções chamadas “funções elípticas de Jacob”, que 
já foram calculadas.
Figura 38–18 Curvas de uma barra entortada.
Agora você pode se deleitar ou não ao saber que a equação (38.47) é exatamente 
a mesma que você obtem para grandes amplitudes de oscilação de um pêndulo – com 
F/YI substituído por uma outra constante, é claro. Já aprendemos, no Capitulo 9 do 
Volume I, como achar soluções de tal equação através do cálculo numérico3. As res-
postas que você acha são curvas fascinantes – conhecidas como curvas da “elástica”. 
A Figura 38–18 mostra três curvas para diferentes valores de F/YI.