AULA 8 CURSO APOIO

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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um fabricante se propõe a fazer caixas abertas a partir de folhas de papelão 
retangulares de 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Para tanto, devem ser cortados 
quadrados idênticos em cada canto da folha e, sendo que a parte restante dos lados deve 
ser dobrada de modo a se obter uma caixa sem tampa. O nosso problema consiste em 
determinar as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída com esta 
folha e calcular esse volume. Resp. V= 18 cm³. 
 
2)Um recipiente cilíndrico aberto em cima deve ter a capacidade de 375

cm
3
. O custo 
do material usado para base do recipiente é de R$ 0,15 por cm
2
 e o custo do material 
usado na lateral é de 0,05 cm
2
. Se não há perda de material, determine às dimensões que 
minimizam o custo do material para construí-lo. 
 Resp. r = 5 cm e h = 15 
cm 
3) Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior 
volume possível de um tal cilindro. 
 Resp. 
3
máx R
33
4
V


 
4) Um fabricante quer produzir latas de extrato de tomate no formato cilíndrico que 
tenham V= 327 cm
3
 = 327 ml. Desprezando a espessura das lâminas metálicas usadas 
para a fabricação da lata e admitindo que o custo de fabricação é proporcional à área da 
superfície da lata (área lateral mais as áreas das tampas de cima e de baixo), determine 
as dimensões (raio e altura) da lata cilíndrica que tenha esse volume e minimize o custo. 
 Resp. r = 3,73 cm e h = 7,48 
cm 
 
5) Um criador de gado dividiu suas pastagens em piquetes e deseja colocar em cada um 
deles um cocho para colocar água com capacidade de 500 litros. Se eles devem ter o 
formato de um paralelepípedo reto retângulo, quais devem ser suas dimensões para que 
o gasto na fabricação seja o menor possível? 
 Resp. x= 100cm e y = 50 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxas relacionadas 
 
Exercícios propostos: 
 
 
1)Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa 
de variação de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15 cm. 
Resp. (150cm²/s) 
 
2)Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5 cm/s. Achar a taxa 
de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10 cm. 
Resp. (3750cm³/s) 
 
3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um ocne onde a altura é igual ao 
raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 
hm /10 3
, a que razão aumenta 
a área da base quando a altura do monte é 4 m? 
Resp. 5m²/h 
 
4) Ao aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. 
Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que taxa esta variando a área de uma face 
Resp. 
min/
2
5 2cm

 
5) Um tanque em forma de cone com vértice para baixo mede 12 m de altura e tem no 
topo um diâmetro de 12m. Bombeia-se água à taxa de 
min/4 3m
. Ache a taxa com que 
o nível da água sobe: 
a) quando a água tem 2 m de profundidade Resp. 
min//4 m
 
b) quando a água tem 8 m de profundidade. Resp. 
min/4/1 m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise do comportamento da função 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo: 
 a) s(t) = 2t
3
 + t
2
 – 20t +4 
 b) f(x) = 4x
3
 – 5x2 – 42x + 7 
 c) g(w) = w
4
 – 32w 
 
2) Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções se 
existires, UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA. 
 a) y = 6x
3
 + 15x
2
 – 12x -5 
 b) 
88
7
4
)( 2  xxxf
 
 c) f(x) = - 9x
2
 + 14x +15 
3) Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções, 
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA. 
 a) f(x) = x
3
 – 12x2 + 45x +30 
 b) y = 8x
3
 – 51x -90x +1 
 c) y = -x
3
 – 9x2 + 81x – 6 
Respostas 
1) 
;2w)c
3/7x;
2
3x)b
2t,
3
5t)a



 
2) a) máx x = -2 e min x = 1/3 
 b) máx x = 7 
 c) máx x = 7/9 
 
3) a) máx x = 3 e min x = 5 
 b) máx x = -3/4 e min x = 5 
 c) máx x = 3 e min x = - 9 
4)Faça o estudo da variação da função e esboce o gráfico 
a) y = x
3
 – 9x 
Resp. Min 
 36;3
 Max 
 36;3 
 PI (0;0) 
b) f(x) = x
3
 – 3x2 – 24x +32 
Resp. Máx. (-2; 60) Min (4; -48) PI (1;6) 
c) f(x) = x
3
 – 4x 
Resp. Max 









9
316
;
3
32
 Min 









9
316
;
3
32
 PI (0;0) 
Cresc. 












 ;
3
32
3
32
;
 Desc. 







3
32
;
3
32
 
 
Regras de L´Hospital 
 
 
 
1) Calcule os limites aplicando a regra de L´Hospital, sempre que possível: 
 
a) 
xx e
tgx
 1
lim
0
 b) 
x
x
x ln
22
lim
1


 c) 
x
x
x
33
lim


 d) 
senx
x
x
cos1
lim
0


 
e) 
x
senx
x
1
.lim

 f) 
x
x
x
1
)93(lim 

 g) x
x x







 2
1
1lim
 h) x
x
x
cos
2
5
2
5
lim 








