Funções que podem ser escritras como series

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CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE PRIMAVERA 
FACULDADE DE PRIMAVERA
INGRIDI TEIXEIRA DOS REIS
KALLYE SANCHES SILVA
SERGIO ALEX MAÇAHARU NAKATA
FUNÇÕES QUE PODEM SER ESCRITAS COMO SÉRIES
Primavera – SP
2019
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE PRIMAVERA
FACULDADE DE PRIMAVERA
INGRIDI TEIXEIRA DOS REIS
KALLYE SANCHES SILVA
SERGIO ALEX MAÇAHARU NAKATA
FUNÇÕES QUE PODEM SER ESCRITAS COMO SÉRIES
Trabalho da disciplina de Cálculo III, para obtenção de nota referente as avalições do curso de Engenharia Civil, do Centro de Ensino Superior de Primavera. 
Docente: Prof.ª Dra. Marilaine Colnago
Primavera – SP
2019
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO	3
2 FUNÇÕESTRIGONOMÉTRICAS	4
2.1 Função de Seno	5
2.1.1 Definição analítica............................................................................................6
2.2 Função de Cosseno	....7
2.2.1 Definição analítica............................................................................................7
 2.3 Função Exponenciasl.....................................................................................................8
 3 APLICAÇÕES..........................................................................................................8
REFERÊNCIAS............................................................................................................9
INTRODUÇÃO
Trigonometria e Série de Funções
Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Topologia, Engenharia Civil entre outros. Nesse trabalho veremos definições das funções seno, cosseno, e como podem ser escritas em séries de funções.
	 2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono (ângulos) e metron (medida); significando assim “medidas dos triângulos”.
Considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e Agrimensura (ciência que recolhe e analisa dados geográficos em medições de terrenos ou áreas); as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo foi estabelecido pelo astrônomo grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria.
As funções trigonométricas são funções angulares obtidas através do auxílio do círculo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
Função Seno;
Função Cosseno;
Função Exponencial.
	 Que podemos escreve-las em séries. Em análise matemática, uma série de funções é uma série sujos elementos são funções definidas em um domínio D. 
	 O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665. Logo em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para Seno, Cosseno, Tangente, Arco Seno, Arco Cosseno, Arco Tangente e a função ln(1+x).
	 
	 2.1 Função Seno
	 O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos iguais a 
{\displaystyle \theta ,}θ, define-se sem (θ) como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
{\displaystyle \theta ,}
	 sen θ = cateto oposto
	 		hipotenusa 
 Gráfico da função seno, em função do ângulo em radianos
	 Exemplo: um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10, ou seja, 0,6.
Fórmula:
f(x)= a⁰ + a1x¹ + a2x² + a3x³ +....
f(x)= sen (x)
Onde tiver x, iremos colocar 0,1,2.....
f(0)= a⁰ + a1 ∙ 0¹ + a2 ∙ 0² + a3 ∙ 0³....
f(0)= a⁰
f’(x)= sen (x)
f’(0)= cos (0)
f’(0)= 1
f’’(x)= cos (x)
f’’(0)= - sen (0)
f’’(0)= 0
Continuando o f’ 3, 4 e 5, obtemos que f’’’(0)= -1; f’’’’(0)= 0 e f’’’’’(0)= 1
Seguindo o mesmo raciocínio, chegamos a seguinte equação (já resolvida).
Sendo assim, podemos concluir que a expansão de sen tem um padrão, que é o expoente variando de 3 em três, e uma sequência infinita entre positivo e negativo.
	 2.1.1 Definição analítica
	 Pode-se definir função seno pela série de Taylor:
	 Essa série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.
	 Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexo, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo z = x + iy como:
	 sen(x + iy) = sen(x) cosh(y) + i senh(y) cos(x)
	 Onde i é a unidade imaginária, sen(h) é a função seno hiperbólico (curva em que é constante a diferença das distâncias de cada um dos seu pontos fixos ou focos) e cos(h) é a função cosseno hiperbólico.
	 Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido à relação de Euler (fórmula matemática da área especifica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial) a fórmula é dada por:
eix = cos (x) + i sen (x)
e-ix = cos (x) – i sen (x)
eix – e-ix = eix – e-ix
 2i
	
	 
	 2.2 Função Cosseno
	 O cosseno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos iguais a θ, define-se cos θ como sendo a razão entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:
 Função cosseno
 2.2.1 Definição analítica
	 Pode-se definir a função cosseno pelo polinômio de Mclaurin:
	 Para todo x, que nada mais é que uma série de Taylor em torno de x = 0 e possui raio de convergência infinito. Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos.
	 2.3 Função Exponencial
	Podemos definir a função exponencial pelo polinômio de MacLaurin, com a seguinte somatória:
= )
Podemos substituir o x por 1:
e¹!
e¹= = 1
(1¹/1!) = 1/1 = 1
(1²/2!) = ½
(1³/3!) = 1/6
Fazendo na calculadora, encontramos que e¹ é igual a 2,71
e¹= 1 + 1 + ½ + 1/6 ....
sendo assim, temos a seguinte conclusão:
2,71 = 2,70
	
	3 APLICAÇÃO
	Provavelmente já nos perguntamos como o computador calcula funções como seno e cosseno. Computadores antigos usavam tabelas armazenadas na memória, isto é, para um determinado ângulo existia um valor pré-determinado para uma função trigonométrica associada ao mesmo. Nos dias de hoje os computadores usam outra técnica. Matematicamente pode ser mostrado que sen(x), por exemplo, é a soma de uma série infinita (chamada de série de Taylor) como especificada abaixo:
Referências
https://www.coladaweb.com/matematica/funcoes-trigonometricas
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_pot%C3%AAncias https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno