Notas de Aula Fis 3 Parte 1

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Física 3
Notas de Aula
Prof. Dr. Paulo Sérgio Pizani
Sumário
I Campo Elétrico
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Roteiro Histórico 9
2 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Cargas Elétricas e Lei de Coulomb 11
2.2 Conceito de Campo Elétrico 12
2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elétrico 13
2.3.1 gerado por uma única carga puntiforme q em um ponto P situado a uma
distância r da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 gerado por um sistema constituído por n cargas puntiformes . . . . . . . . . 14
2.3.3 gerado por uma distribuição contínua de carga (não puntiforme!!) . . 15
3 Parada Obrigatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Sistemas de coordenadas e seus elementos infinitesimais 17
3.1.1 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Densidades de Carga 20
3.2.1 Densidade Linear de Carga λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Densidade Superficial de Carga σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Densidade Volumétrica de Carga ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.4 “Teorema” das integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Exercícios Sobre Sistemas de Coordenadas 24
4 A Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 O conceito de fluxo 25
4.1.1 De Água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Lei de Gauss 28
4.3 Materiais Isolantes e Condutores 30
4.3.1 Isolantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II Potencial Elétrico
5 POTENCIAL ELÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Diferença de Potencial Elétrico 35
5.2 Cálculo do Potencial Elétrico 38
5.2.1 Carga Puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2 Sistema de Cargas Puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.3 Distribuição Contínua de Carga (não puntiforme!!) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Exemplos 41
5.4 Desenhando o Potencial Elétrico: Superfícies Equipotenciais 42
5.5 Obtendo ~E a partir de V 43
5.6 Energia Potencial Eletrostática 44
5.6.1 Sistema de Cargas Puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6.2 Sistema Dipolo Elétrico – Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 CAPACITORES E DIELÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1 Capacitores e capacitância 49
6.2 Cálculo da Capacitância 50
6.2.1 Capacitor de Placas Planas Paralelas (CPPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2.2 Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.3 Capacitores com Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.4 A Lei de Gauss com Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.5 Energia Armazenada no Campo Elétrico de Um Capacitor . . . . . . . . . . 55
7 CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITO RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1 Corrente e Densidade de Corrente 57
7.2 Resistencia e Resistividade 58
7.3 Lei de Ohm 59
7.4 Fontes de Força Eletromotriz 60
7.5 Um Circuito Simples – Lei das Malhas 61
7.6 Circuito RC em Série 61
III Campo Magnético
8 CAMPO MAGNÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.1 O vetor indução magnética B 67
8.2 Forças sobre fios percorridos por correntes elétricas 69
8.2.1 Força sobre um fio de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2.2 Torque sobre uma espira de corrente (motor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 Movimento de cargas elétricas puntiformes em campos magnéti-
cos 72
8.4 Calculo do Campo Magnético 73
8.4.1 Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.4.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.4.3 Lei de Gauss para Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
I
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Roteiro Histórico
2 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Cargas Elétricas e Lei de Coulomb
2.2 Conceito de Campo Elétrico
2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elé-
trico
3 Parada Obrigatória . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Sistemas de coordenadas e seus elementos
infinitesimais
3.2 Densidades de Carga
3.3 Exercícios Sobre Sistemas de Coordenadas
4 A Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 O conceito de fluxo
4.2 Lei de Gauss
4.3 Materiais Isolantes e Condutores
Campo Elétrico
1. Introdução
1.1 Roteiro Histórico
• 500 a.C.: primeiras observações registradas sobre o fenômeno de eletrização por
atrito.
• até 1400 d.C.: período do Obscurantismo: nada de fazer ciência, “coisa do demô-
nio”.
• 1400 d.C.: Tycho Brahe faz observações astronômicas e é queimado na fogueira em
praça publica; Nicolau Copérnico propõe o Modelo Heliocentrista.
• 1500: Galileo Galilei defende Copérnico e é preso em seu domicilio; faz estudos
sobre movimentos de corpos e deixa seu maior legado: a Metodologia Científica.
• 1600: Isaac Newton, que conseguiu ver mais longe porque subiu sobre os ombros
de um gigante -Galileo- desenvolve a Mecânica e o Cálculo Diferencial.
• entre 1650 e 1850: Benjamin Franklin, Charles Coulomb, Carl Gauss, Hans Oersted,
Michael Faraday e James Maxwell contribuem para o entendimento dos fenômenos
eletromagnéticos; Maxwell propõe as quatro equações que descrevem todos os
fenômenos eletromagnéticos clássicos até hoje.
• 1897: Joseph John Thomson descobre o elétron.
• 1920: fica esclarecida a constituição do átomo, composto por nêutrons, elétrons e
prótons, estes dois últimos apresentando propriedades semelhantes às observadas
pelos gregos há 2500 anos atrás.
essa história mostra a capacidade de raciocínio da mente humana, que saiu de obser-
vações de como um bastão de resina atritado atrai pequenos pedaços de palha seca
até equações matemáticas capazes de descrever todos os fenômenos eletromagnéti-
cos!!!!!!
Conclusão:
2. Campo Elétrico
2.1 Cargas Elétricas e Lei de Coulomb
As experiências de Franklin mostraram que há na natureza dois tipos de cargas elétricas,
+ e −, e que elas interagem entre si, interação essa traduzida por forças de atração entre
cargas opostas e de repulsão entre cargas iguais. A forma dessa interação, ou seja, qual
é a expressão matemática, foi descoberta por Coulomb através de uma experiência em
laboratório. Para duas cargas puntiformes, cujas dimensões são pequenas comparadas com
a distância entre elas, o módulo da força é:
Figura2.1: Força de Coulomb entre duas cargas pontuais.
F =
kq1q2
r2
(2.1)
12 Capítulo 2. Campo Elétrico
onde:
→ q1 e q2 são os valores das cargas, medidas em Coulombs no sistema de unidades inter-
nacional SI;
→ r é a distância entre elas;
→ k = 14piε0 ;
→ ε0 é a permissividade elétrica do meio, em nosso caso o vácuo, que vale 8.8×10−12 Nm2/C2.
Essa grandeza traduz como o meio onde estamos fazendo a experiência influencia as forças
de interação. Aqui não trataremos dessa situação.
2.2 Conceito de Campo Elétrico
Um grande problema na época em que a eletricidade e magnetismo se desenvolviam (e
também a gravitação) era explicar como é que corpos podiam interagir sem “se tocarem”
um no outro. Que tipo de coisa havia entre as cargas que avisava a carga q1 que a q2
estava por perto e vice-versa? Essa questão também rondava a interação gravitacional: que
“coisa” havia entre terra e lua para manter as duas acopladas?
Para entender essa questão, vamos lançar mão de uma analogia simples. Suponha que o
nosso espaço (no sentido de ser nosso ambiente) seja um plano horizontal, por exemplo,
a lona de uma cama elástica. Para estudar esse nosso espaço, vamos pegar uma bolinha
com uma massa muito, mas muito pequena, que chamaremos “massa de prova”... ela
não perturba nada e nem ninguém, de tão insignificante que ela é! Se colocarmos ela
sobre a lona da cama elástica, que é nosso espaço em estudo, nada vai acontecer... em
qualquer posição que a colocarmos, ela fica parada, não se movimenta. Suponha agora
que colocamos sobre a lona da cama elástica uma bola de boliche, que deforma a lona,
formando um “buraco”. Se agora colocarmos nossa massa de prova na lona, ela rolará
no sentido da bola de boliche. Diremos que há uma força atrativa entre elas. Podemos
pensar que quando em nosso espaço foi colocada a bola de boliche, as propriedades desse
espaço ficaram diferentes, de alguma maneira a bola deformou nosso espaço plano e então,
com o espaço deformado, há a atração sobre uma massa de prova, que antes não havia: as
propriedades desse espaço ficaram modificadas pela presença da bola.
Figura 2.2: Analogia sobre o conceito de campo elétrico.
2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elétrico 13
Podemos utilizar essa ideia para entender a interação entre cargas elétricas. Vamos
usar uma “carga de prova”, também tão pequenina que não perturba ninguém e que por
convenção será sempre positiva. Se colocarmos ela em um ponto qualquer do espaço que
estamos estudando e nada acontecer com ela, podemos dizer que nessa região do espaço
não tem nenhuma perturbação de origem elétrica. No entanto, se há uma carga q nos
arredores, então haverá uma força atuando sobre nossa carga de prova. Dizemos que há
uma perturbação ou “deformação” de origem elétrica gerada pela presença de q. Essa
deformação ou perturbação é chamada de campo elétrico.
Como quantificar essa grandeza abstrata como o campo elétrico? Não é difícil. Suponha
que em uma determinada região do espaço que estamos interessados em estudar, há um
campo elétrico gerado por uma carga elétrica qualquer. Podemos mapear a intensidade
do campo elétrico usando uma carga de prova: colocamos essa carga de prova em vários
pontos dessa região e medimos a força que ela “sente”. Se a força for grande, podemos
dizer que ali naquele ponto o campo é intenso. Se a força é pequena, o campo elétrico é
pouco intenso. Se não há força sobre q0, então o campo também é nulo.
Figura 2.3: Força atuando na carga de prova gerado a partir uma distribuição de carga.
Desse modo a força sobre q0 nos fornece uma excelente medida de como é o campo
elétrico gerado por uma carga em uma determinada região do espaço. Podemos então
definir o vetor intensidade de campo elétrico ~E em termos da força sobre uma carga de
prova, e para que essa grandeza seja independente do valor de q0, dividimos o valor da
força por q0:
~E =
~F
q0
(2.2)
No sistema SI, as dimensões de ~E são N/C.
2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elétrico
2.3.1 gerado por uma única carga puntiforme q em um ponto P situado a uma
distância r da carga
Pode ser obtido colocando-se no ponto P uma carga de prova q0, e determinando a força
que atua sobre ela (que é dada pela lei de Coulomb, pois ambas as cargas são puntiformes),
dividida por q0:
E =
F
q0
=
kqq0
q0r2
=
kq
r2
(2.3)
14 Capítulo 2. Campo Elétrico
Figura 2.4:
Se analisarmos como é esse campo, veremos que o vetor ~E aponta sempre radialmente
tendo a carga q como centro e que o módulo de ~E é constante para um mesmo r. Dizemos
que esse campo tem simetria radial esférica. Veremos mais adiante, quando do uso da
lei de Gauss, que a simetria do campo é muito importante.
Figura 2.5:
2.3.2 gerado por um sistema constituído por n cargas puntiformes
O campo elétrico gerado no ponto P situado a uma distância r1 da carga q1, r2 da carga
q2, ..., rn da carga qn é dado pela soma dos campos gerados por cada carga em separado
(Princípio da Superposição):
~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En (2.4)
ou
~E =
n
∑
i=1
~Ei (2.5)
2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elétrico 15
Figura 2.6:
2.3.3 gerado por uma distribuição contínua de carga (não puntiforme!!)
Aqui não podemos usar diretamente E = kq/r2 porque essa expressão só vale se as cargas
forem puntiformes, pois foi obtida através da lei de Coulomb!!! E agora???? É a única
expressão que temos à disposição!!! Ora, vamos adaptá-la à nossa nova situação, não há o
que querer inventar nada de novo. Para isso vamos usar o conceito de integração.
Vamos dividir nosso corpo em n pedaços, cada um com uma carga ∆q, que pode ser mais
ou menos considerada pequena dependendo do n... quanto maior o número de pedaços,
mais verdadeira é essa aproximação pois os ∆q’s vão ficando cada vez menores e portanto,
se aproximando de uma carga puntiforme.
Sabemos que se temos um sistema de cargas puntiformes, então podemos obter o campo
somando os campos de cada carga em separado (principio da superposição). Então o
campo em um ponto P próximo a distribuição de carga será dado por:
Figura 2.7:
E =
n
∑
i=1
∆Ei (2.6)
onde
Ei ≈ k∆qir2i
(2.7)
O problema aqui é que o r não é bem definido se ∆q não for exatamente um ponto.
Então devemos fazer n tender ao infinito. Quando fazemos isso, a somatória passa de uma
16 Capítulo 2. Campo Elétrico
soma discreta para uma soma no contínuo, ou seja, uma integral:
E = lim
n→∞
n
∑
i=1
∆Ei (2.8)
ou
E =
∫
dE (2.9)
onde
dE =
kdq
r2
(2.10)
Figura 2.8:
Agora vamos fazer uma análise dessa expressão: observe que a variável de integração
é dq e que dentro do integrando temos, no denominador, r2. Integrar significa nesse caso
somar todas as contribuições dE de cada ponto do corpo carregado ou seja, o r vai ter que
passar sobre todos os pontos do corpo, o que significa que ele será expresso em função das
coordenadas que definem o corpo. Então precisamos saber como exprimir dq em função
das coordenadas. Vamos a seguir fazer uma recordação dos sistemas de coordenadas e seus
elementos infinitesimais de comprimento, área e volume, bem como definir as densidades
lineares, superficiais e volumétricas de carga. Com isso conseguiremos exprimir dq em
termos das coordenadas e, portanto, resolver a integral.
3. Parada Obrigatória
3.1 Sistemas de coordenadas e seus elementos infinitesimais
3.1.1 Coordenadas Cartesianas
1 Dimensão
Um ponto fica completamente localizado se dermos a coordenada x. Para obter o ele-
mento infinitesimal em coordenadas cartesianas a uma dimensão basta fazer um pequeno
deslocamento infinitesimal da coordenada x do ponto P, dx.
Figura 3.1:
2 Dimensões
Um ponto fica completamente localizado se dermos as duas coordenadas x e y. Para obter
o elemento infinitesimal em coordenadas cartesianas a duas dimensões basta fazer um
pequeno deslocamento infinitesimal em cadauma das coordenadas x e y do ponto P, dx e
dy respectivamente. O elemento infinitesimal de área é então o produto de dx por dy (lado
vezes lado), ou seja:
dA= (dx).(dy) (3.1)
18 Capítulo 3. Parada Obrigatória
Figura 3.2:
3 Dimensões
Um ponto fica completamente localizado se dermos as suas coordenadas x, y e z. Para
obter o elemento infinitesimal em coordenadas cartesianas a três dimensões basta fazer um
pequeno deslocamento infinitesimal em cada uma das coordenadas x, y e z do ponto P, dx,
dy e dz respectivamente. O elemento infinitesimal de volume é então o produto de dx por
dy por dz (lado vezes lado vezes lado), ou seja:
dV = (dx).(dy).(dz) (3.2)
Figura 3.3:
3.1.2 Coordenadas Cilíndricas
Um ponto fica completamente localizado no espaço se dermos (ρ ,φ ,z), conforme figura
a seguir. Para obter o elemento infinitesimal de área, basta fazermos um deslocamento
infinitesimal dφ na coordenada φ (o que determina um arco infinitesimal de comprimento
3.1 Sistemas de coordenadas e seus elementos infinitesimais 19
ρdφ ) e um deslocamento infinitesimal dz na coordenada z. O elemento infinitesimal de
área será (lado vezes lado):
dS= (ρdφ).(dz) (3.3)
enquanto que para obter o elemento de volume fazemos também um deslocamento infinite-
simal dρ em ρ . O elemento de volume será:
dV = (ρdφ).(dz).(dρ) (3.4)
Figura 3.4:
3.1.3 Coordenadas Esféricas
Um ponto fica completamente localizado no espaço se dermos (r,θ ,φ ), conforme figura
a seguir. Para obter o elemento infinitesimal de área, basta fazermos um deslocamento
infinitesimal dφ na coordenada φ (o que define um arco infinitesimal r sin(θ)dφ ) e um
deslocamento infinitesimal dθ na coordenada θ (o que define um arco infinitesimal rdθ ).
O elemento infinitesimal de área será (lado vezes lado):
dS= (rdθ).(r sin(θ)dφ)
dS= r2 sin(θ)dθdφ
(3.5)
enquanto que para obter o elemento de volume fazemos também um deslocamento infinite-
simal dr em r. O elemento de volume será:
dV = (rdθ)(r sin(θ)dφ)(dr)
dV = r2 sin(θ)dθdφdr
(3.6)
20 Capítulo 3. Parada Obrigatória
Figura 3.5:
3.2 Densidades de Carga
3.2.1 Densidade Linear de Carga λ
Tomemos um bastão fino, de comprimento l e vamos distribuir uniformemente certa
quantidade de carga q sobre esse bastão.
Figura 3.6:
Se fizermos a razão entre a carga do bastão e seu comprimento, podemos definir uma
densidade linear de carga λ = q/l desse bastão. Se considerarmos uma porção desse
bastão de comprimento l′, que conterá certa quantidade de carga q′, a razão entre q′e l′
também será q′/l′ = λ . Em especial, (e que nos interessa muito), se considerarmos uma
porção infinitesimal desse bastão, de comprimento infinitesimal dx, o mesmo conterá uma
quantidade infinitesimal de carga dq (que pode ser considerada puntiforme), de modo que
dq/dx= λ .
Conseguimos o que precisávamos!!!! Estávamos em busca de relacionar dq com coordena-
das. Agora temos, nesse caso, que:
dq= λdx (3.7)
Vale observar que na discussão acima escolhemos um caso particular em que λ é uniforme
porque queríamos introduzir a ideia de densidade de carga. Claro que há casos em que a
carga não é distribuída uniformemente no bastão, de modo que λ pode depender da posição
3.2 Densidades de Carga 21
onde está localizado sobre o corpo carregado, aqui um bastão. Por exemplo, poderíamos
ter λ = λ (x) = Ax, onde A seria uma constante dada e x a distância da extremidade do
bastão a um ponto qualquer do mesmo.
3.2.2 Densidade Superficial de Carga σ
Podemos considerar o caso em que distribuímos uniformemente uma certa carga q sobre
uma superfície S. Se fizermos a razão entre q e S, obteremos a densidade superficial de
carga σ = q/S. Na mesma linha discutida acima, se tomarmos um elemento infinitesimal
dessa superfície dS, ele conterá uma quantidade infinitesimal de carga dq, de modo que
dq/dS= σ . De novo conseguimos o que precisávamos:
dq= σdS (3.8)
Figura 3.7:
dS pode ser um elemento infinitesimal de área em coordenadas cartesianas (dxdy),
em coordenadas cilíndricas (ρdφdz) ou em coordenadas esféricas (r2 sin(θ)dθdφ ). Lem-
brando de novo que σ pode depender da posição na superfície.
3.2.3 Densidade Volumétrica de Carga ρ
Se carregarmos todo o volume de um corpo com uma certa carga q, podemos definir a
densidade volumétrica de carga ρ como sendo a razão ρ = q/V . Se considerarmos um
elemento infinitesimal de volume dV , ele conterá uma certa quantidade de carga dq, de
modo que ρ = dq/dV . Ou melhor, para a nossa “precisão” na solução daquela integral:
dq= ρdV (3.9)
dV pode ser um elemento infinitesimal de volume em coordenadas cartesianas (dxdydz),
em coordenadas cilíndricas (ρdρdφdz) ou em coordenadas esféricas (r2 sin(θ)dθdφdr).
Lembrando de novo que ρ pode depender da posição.
22 Capítulo 3. Parada Obrigatória
Figura 3.8:
infelizmente ρ é usado como coordenada cilíndrica, como densidade volumétrica
de massa e de carga, como resistividade, etc. A culpa não é minha, é preciso prestar
atenção para não misturar alhos com bugalhos!
OBSERVAÇÃO:
Sabe que tipo de problemas você vai encontrar pela frente quando for calcular E =∫
dE? Saiba que só podemos resolver essa integral para corpos carregados que tenham
muita simetria. Serão:
• bastões e arcos: com dq = λdx ou dq = λds (ds é o elemento infinitesimal de
arco);
• superfícies planas, cilíndricas e esféricas: com dq= σdS;
• volumes cilíndricos e esféricos: com dq= ρdV
É interessante observar que quando dizemos que um corpo possui uma certa carga q,
essa informação não é completa pois não sabemos como a carga está distribuída nesse
corpo: pode ser uma distribuição uniforme, mas pode não ser. No entanto, se sabemos
como é a densidade de carga, então sabemos tudo: como ela está distribuída, por exemplo
(no caso em que λ = λ (x) = Ax, sabemos que em x= 0 não há cargas e que em x= l, isto
é, na outra extremidade do bastão, a carga é máxima). Podemos inclusive calcular a carga
total do bastão, bastando para isso somar todos os dq’s ao longo do bastão inteiro, ou seja:
qt =
∫
dq=
∫
λ (x)dx=
∫ l
0
Axdx=
[
Ax2
2
]∣∣∣∣∣
l
0
=
Al2
2
(3.10)
Note que essa discussão vale também para densidades superficiais e volumétricas.
a densidade é muito mais fundamental que a carga... na verdade isso vale para várias
outras situações, em outras áreas, como Engenharia, por exemplo.
Como conclusão desse papo:
3.2 Densidades de Carga 23
3.2.4 “Teorema” das integrais múltiplas
Seja:
f (x,y,z) = h(x)g(y) j(z) (3.11)
sendo x, y, z variáveis independentes (como são as coordenadas dos três sistemas que
estudamos acima). Então:∫∫∫
f (x,y,z)dxdydz=
∫
h(x)dx
∫
g(y)dy
∫
j(z)dz (3.12)
Ou seja, uma integral tripla (dupla) pode ser simplificada como um produto de três (duas)
integrais simples. Fácil, não??
24 Capítulo 3. Parada Obrigatória
3.3 Exercícios Sobre Sistemas de Coordenadas
1. Calcule, usando integração, a área de uma face e o volume de um cubo de lado L.
2. Calcule, usando integração, a área de um círculo de raio R.
3. Considere uma esfera maciça de raio R. Calcule a área da superfície e o volume da
mesma.
4. Considere uma casca (grossa) cilíndrica, de raio interno R1 e externo R2, e de altura
H. Calcule a área total e o volume total desse corpo. Claro, use integração.
Figura 3.9:
5. Um bastão de comprimento L está carregado com uma densidade linear uniforme de
carga λ .
(a) Calcule a carga total do bastão.
(b) Suponha agora que a densidade de carga seja dada por λ = Ax2, sendo A uma
constante dada e x a posição de um ponto qualquer do bastão em relação a uma
das extremidades do mesmo. Calcule a carga total do bastão.
6. Uma casca (grossa) esférica, de raio interno R1 e raio externo R2 está carregada com
uma densidade volumétrica uniforme de cargas ρ .
(a) Calcule a carga total contida na casca esférica.
(b) Suponha agora que ρ = A/r,onde A é uma constante e r é a distância do centro
até um ponto qualquer da casca. Calcule a carga total contida nessa casca.
(c) Calcule a expressão da carga em função de r.
4. A Lei de Gauss
4.1 O conceito de fluxo
4.1.1 De Água
Imagine que você está à beira de um riacho e que você tem em mãos uma moldura que
encerra uma certa superfície de área S. Se você mergulha a moldura dentro da água do
riacho, quanta água passa através da superfície S?
Figura 4.1:
Bom, podemos analisar e verificar que a quantidade de água que atravessa S – que
daqui em diante chamaremos de fluxo de água através de S – depende:
• da intensidade da correnteza (se a água está parada não há fluxo, se a correnteza é
forte há um fluxo grande);
• da área da superfície (se a área é grande, o fluxo é grande...);
• da orientação relativa entre a superfície e correnteza (a correnteza pode só tangenciar
a superfície, de modo que a quantidade de água que atravessa a superfície pode
ser pequena; ao contrário, se a superfície estiver colocada perpendicularmente à
correnteza, o fluxo será grande).
26 Capítulo 4. A Lei de Gauss
4.1.2 Do Campo Elétrico
Suponha que em uma determinada região do espaço há um campo elétrico uniforme ~E, ou
seja, tem o mesmo valor em todos os pontos do espaço, e que você tem uma “moldura”
retangular de área S. Se você mergulha S no campo elétrico, podemos pensar que o campo
elétrico atravessa S ou seja, que há um fluxo do campo através de S.
Figura 4.2:
De que depende esse fluxo? De modo similar ao caso da água, o fluxo de ~E através de
S depende:
• da intensidade do campo elétrico (se ~E é zero não haverá fluxo...);
• da área da superfície;
• da orientação relativa entre ~E e a superfície.
Portanto, se chamarmos o fluxo de φ , então podemos escrever que:
φ ∝ ~E (4.1)
φ ∝ S (4.2)
Falta expressar matematicamente a orientação relativa entre ~E e S. Isso significa que
precisamos de um meio para orientar uma superfície no espaço. E isso é muito simples:
basta associar (“colar”) um vetor perpendicularmente à superfície. Esse vetor tem que ter
módulo numericamente igual à área da superfície S.
Figura 4.3:
Agora a superfície que tem seu vetor apontando para o norte é diferente da superfície
que tem seu vetor apontando para o leste: são dois vetores de mesmo módulo, mas direções
4.1 O conceito de fluxo 27
diferentes e portanto são orientações diferentes no espaço. A charada está morta: o produto
escalar entre ~E e ~S representa tudo o que queremos para o fluxo de ~E através de S:
φ = ~E ·~S (4.3)
φ = |~E||~S|cos(θ) (4.4)
onde θ é o ângulo entre os vetores ~E e ~S.
Nós usamos até agora uma situação muito particular, pois o campo era uniforme e
a superfície plana retangular. Se quisermos generalizar o conceito de fluxo, podemos
considerar um campo não uniforme que atravessa uma superfície de forma qualquer. Como
escrever uma expressão que é uma generalização da equação acima? De novo usaremos o
conceito de integração.
Figura 4.4:
Dividimos a superfície em n pedaços ∆S. Em cada um desses ∆S o campo ~E não muda
muito (pode ser considerado uniforme) se ∆S for suficientemente pequeno. O fluxo em ∆S
é:
∆φ ∼ ~E∆~S (4.5)
E o fluxo total é a soma de todos os fluxos ∆φ :
φ ∼∑∆φ (4.6)
Quando fizermos o número de elementos de superfície tender ao infinito, teremos:
φ = lim
n→∞
n
∑
i=1
∆φi (4.7)
ou
φ =
∫
dφ =
∫
~E ·d~S (4.8)
28 Capítulo 4. A Lei de Gauss
Figura 4.5:
esta integral é uma integral de superfície, pois os valores de ~E que aparecem no
integrando são os valores de ~E sobre os pontos da superfície que você escolheu. Esse
fato terá uma repercussão muito importante no uso da lei de Gauss!!
Atenção:
Na discussão acima usamos uma superfície aberta. Mas na verdade o que nos interessa
mais é analisar o fluxo de ~E através de uma superfície fechada.
Figura 4.6:
Nesse caso pouca coisa muda conceitualmente em relação à superfície aberta, a não ser
que o elemento de superfície dS sempre será escolhido apontando para fora da superfície.
Para uma superfície fechada, o fluxo é dado por:
φ =
∮
dφ =
∮
~E ·d~S (4.9)
Note que o círculo sobre o símbolo da integral serve para avisar que estamos tratando
de superfície fechada.
4.2 Lei de Gauss
Agora estamos prontos para discutir a lei de Gauss. Vamos voltar ao caso da água. Imagine
que você tem uma fonte de água (tipo uma mina, de onde jorra água para todos os lados)
4.2 Lei de Gauss 29
que jorra 10 litros d’água por minuto (isso é chamado de vazão, parente do fluxo). Se
você envolve essa fonte de água com uma superfície fechada, a quantidade de água que
atravessa essa superfície a cada minuto não pode depender da forma nem do tamanho da
superfície, tem que ser 10 litros por minuto. Como testar a veracidade dessa afirmação?
Basta pensar que se pela superfície fechada que envolve a fonte passarem 14 litros por
minuto, de onde vieram esses 4 litros adicionais? Não é possível, pois moléculas de água
não podem aparecer do nada!!! Assim, a quantidade de água que atravessa a superfície
fechada não pode depender da forma nem do tamanho da superfície fechada, só depende
da fonte por ela envolvida: quanto mais água a fonte produzir, maior o fluxo através de
qualquer superfície fechada que a envolve, independente de sua geometria.
Figura 4.7:
Vamos transportar essa ideia para o caso do campo elétrico.
Quem é fonte de campo elétrico? Cargas elétricas.
Suponhamos que temos uma carga elétrica colocada em um ponto qualquer do espaço.
Se envolvermos essa carga com uma superfície fechada, o fluxo do campo elétrico através
dessa superfície não pode depender da forma da superfície, só depende da fonte de campo
elétrico, ou seja, da carga envolvida.
Figura 4.8:
30 Capítulo 4. A Lei de Gauss
Podemos escrever essa ideia como:
φ =
q
ε0
(4.10)
ε0, que é só uma constante, aparece aqui porque usamos o sistema MKS (SI).
q é a carga total interna à superfície usada para calcular o fluxo – que também é
chamada de superfície gaussiana.
Atenção:
Se o fluxo é dado por:
φ =
∫
~E ·d~S (4.11)
então a lei de Gauss pode ser escrita como:
ε0
∫
~E ·d~S= q (4.12)
Essa equação é também chamada de equação de fonte escalar para um campo vetorial,
e é aplicável não só a campos elétricos, mas em outras situações. Em um caso geral,
podemos afirmar que, se ∫
~A ·d~S= a (4.13)
então o campo vetorial ~A tem como fonte a grandeza escalar a.
a grande utilidade da lei de Gauss está no fato que o fluxo (
∫
~E · ~dS) não depende da
forma da superfície fechada que você vai usar. Já que não depende, podemos escolher
qualquer forma, inclusive as mais fáceis como superfícies cilíndricas, esféricas,
paralelepipédicas, etc. A forma da superfície mais fácil vai depender da simetria do
campo elétrico. Se o campo tiver simetria radial esférica, como é o caso do campo
gerado por carga puntiforme ou por corpos carregados esféricos, condutores ou
isolantes, maciços ou ocos, a superfície escolhida deverá sempre ser uma superfície
esférica. Se o campo tem simetria radial cilíndrica como é o caso de campos gerados
por bastão infinito e corpos carregados cilíndricos, condutores ou isolantes, maciços
ou ocos, a superfície será sempre uma superfície cilíndrica.
Atenção:
4.3 Materiais Isolantes e Condutores
Para usar a Lei de Gauss no cálculo do campo elétrico, é preciso conhecer um pouco sobre
as propriedades de condução do material que será carregado com uma certa carga q: se ele
é condutor ou isolante. Vamos então discutir objetivamente essas duas características.
4.3 Materiais Isolantes e Condutores 31
4.3.1 Isolantes
Dizemos que um material é isolante quando a carga nele colocada não pode se mover, ela
fica fixa onde foi colocada. Isso significa que uma esfera maciça, por exemplo, pode ser
carregada em todo o seu volume, de modo que podemosdefinir sua densidade volumétrica
de carga. Dentro desses corpos pode haver a presença de um campo elétrico.
4.3.2 Condutores
De uma maneira simples e bem resumida podemos dizer que um material é condutor
quando as cargas nele colocadas podem se mover dentro do material 1. Isso significa que
as cargas podem se rearranjar e não preservar as posições onde elas inicialmente foram
colocadas. Em particular, vamos considerar o caso de um corpo condutor carregado
isolado em equilíbrio eletrostático (CCIEE), isto é, um corpo no qual colocamos uma
certa quantidade de carga q, que esta isolado no espaço, e que esperamos as cargas se
rearranjarem até ficarem imóveis ou seja, atingir o equilíbrio eletrostático (esse rearranjo
demora ∼ 1 ns). Nesse caso, como as cargas são móveis, a tendência é elas irem para a
superfície devido a repulsão eletrostática. Quando as cargas atingem o equilíbrio, o campo
elétrico no interior do corpo condutor tem que ser zero. Caso fosse diferente de zero,
haveria forças atuando sobre cargas e então elas deveriam se mover, o que não pode ser,
pois estamos numa condição de equilíbrio.
em corpos isolantes podemos ter campo em seu interior enquanto que em corpos con-
dutores não há campo elétrico dentro do mesmo, as cargas estão todas na superfície e
então não tem sentido definir densidade volumétrica de cargas!
Conclusão:
1Vamos detalhar um pouco mais. Na verdade a grande maioria dos materiais condutores, os metálicos
em especial, é composta por átomos ou íons cuja distribuição eletrônica favorece a liberação do elétron mais
externo isto é, cada átomo libera um elétron que fica livre para se mover dentro do material. O átomo isolado
de cobre, por exemplo, tem 29 elétrons, com o mais externo na camada 4s1. Ao colocarmos esses átomos
lado a lado para constituir um pedaço de material sólido, o elétron 4s “se liberta” do átomo e fica “livre”.
O íon Cu+ fica fixo, não pode se mover. Assim, um pedaço de cobre tem cargas livres, mas a carga total
é zero. Quando carregamos um pedaço de cobre com uma certa de carga q, na verdade há no corpo essa
carga + os elétrons livres. Vale ressaltar que existem materiais que são semicondutores e outros que são
supercondutores. Nós vamos discutir esse assunto mais adiante, na parte que trata de propriedades elétricas
de materiais.
	Parte I — Campo Elétrico
	1 Introdução
	1.1 Roteiro Histórico
	2 Campo Elétrico
	2.1 Cargas Elétricas e Lei de Coulomb
	2.2 Conceito de Campo Elétrico
	2.3 Cálculo do Vetor Intensidade de Campo Elétrico
	3 Parada Obrigatória
	3.1 Sistemas de coordenadas e seus elementos infinitesimais
	3.2 Densidades de Carga
	3.3 Exercícios Sobre Sistemas de Coordenadas
	4 A Lei de Gauss
	4.1 O conceito de fluxo
	4.2 Lei de Gauss
	4.3 Materiais Isolantes e Condutores