352 - 386 ONDAS

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o 1fc p 
Ondas peri6dicas 
Perturba~ao e onda 
Quando ocorre modifica<;ao das candi<;oes ffsicas de urn ponto de urn meio, 
dizemos que houve uma perturbafiio. A propaga<;ao dessa perturba<;ao ao longo do 
meio canstitui uma onda. Por exemplo, se lan<;armos uma pedra na superffcie 
tranqiiila de urn lago, estaremos produzindo uma perturba<;ao. Essa nao se res­
tringe ao ponto perturbado, propagando-se radialmente a partir desse ponto, 
constituindo uma onda. 
Onda peri6dica 
Se a perturba<;ao for peri6dica, isto e, repetir-se igualmente em intervalos de 
tempo iguais, produz-se uma onda periOdica. 
Consideremos, por exemplo, urn carpo preso a extremidade de uma mola 
vertical e a uma corda, de peso desprezfvel, esticada horizontalmente, como mos­
tra a figura 1. 
Fig. 1 
Se a mola for distendida e liberada a seguir, desprezados os atritos, 0 carpo 
passara a descrever urn movimento oscilat6rio de sobe-e-desce, denominado mo­
~52 
.. 
vimento harmonico simples (MHS) . Esse movimento peri6dico vai determinar na 
corda uma onda periodica, cujo aspecto e 0 representado na figura 2. • 
, -­ ---, 
, I 
-, ' I ,
L ____ ....J 
~-------I 
,
, 
I
.--------------,.: 
Fig. 	 2 
A medida que a onda vai se propagando atraves da corda, os pontos desta 
repetem 0 MHS do corpo, que funciona como fonte. 0 periodo da onda (T) e 0 pe ­
dodo do movimento da fonte, isto e, 0 intervalo de tempo para urn movimento 
completo de 'sobe-e-desce do corpo. Afreqiiencia da onda (f) e 0 numero de oscila­
c;oes completas que a fonte realiza na unidade de tempo , geralmente em 1 segun­
do , sendo expressa , nesse caso, em ciclos por segundo ou hertz (Hz). A frequencia 
e 0 perfodo relacionam-se pela expressao: 
A distancia AB que a onda percorre na corda, com velocidade v, durante 0 
intervalo de tempo de urn periodo (T) e denominada comprimento de onda, repre­
sentado pela letra grega lambda (A). Aplicando 0 conceito de velocidade media a 
onda, teremos: 
.6.s = A } .6.s ~lv= 	 ou
.6.t = T 	 .6.t ~ 
Observa(oes: 
1?) 	Durante a propagac;ao de uma onda, h<i transporte de energia, e nao de materia . 
Realmente, na onda descrita, os pontos da corda apenas oscilaram na direc;ao 
vertical, nao caminhando com a onda na direc;ao horizontal. 
2?) A onda que se propaga na corda e uma onda transversal, porque a direc,:ao em 
que as partfculas da corda oscilam (vertical) e perpendicular adirec,:ao em que 
a onda se propaga (horizontal) . 
Quapdo a direc;ao da oscilac,:ao coincide com a direc;ao de propagac,:ao, temos 
uma onda longitudinal. E 0 caso das ondas sonoras propagando-se no ar. 
3?) 	Quando uma onda peri6dica sofre refra(aO, isto e, muda seu meio de propaga­
c,:ao, modificam-se sua velocidade e seu comprimento de onda, mas sua fre­
353 
A 
--­
B 
qiiencia permanece constante. A figura 3a mostra duas cordas diferentes liga­
das entre si e uma onda se propagando de uma para outra. Na figura 3b, e re­
presentada a onda num instante posterior, apos a refra~ao, ja se propagando 
na segunda corda. 
v' < v 
A' < A 
f' = f------------------~'~r:-----­
, 
.. .': 
Fig. 3 
4?) 	Quando uma onda periodica sofre riflexiio , isto e, atinge uma superffcie e re­
torna para 0 meio em que estava se propagando, nao se modifica nenhuma de 
suas caracterfsticas. A figura 4 mostra uma mesma onda, que se propaga nu­
rna corda cuja extremidade esta fixa numa parede rfgida, antes (a) e depois 
(b) da reflexao: 
a) 
v' = v 
A' = A 
f'=f 
f ' b) 
Fig. 	 1­
5?) 	Chama-se amplitude (a) da onda periodica 0 maximo deslocamento dos pontos 
do meio em rela~ao a posi~ao de equilibrio (fig. 5): 
-~T-------
_._1 ______ _ 
Fig. 	 5 
A amplitude de uma onda periodica so depende da energia que ela trans­
porta. 
354 
-
6?) 	Os pontos de maximo deslocamento da onda em rela<;ao a posi<;ao de equilf­
brio sao chamados cTistas (ponto A na figura 5) e os de mfnimo deslocamento, 
vales (ponto B na figura 5). 
Aphcat;:ao 
A.l 	 U rna onda peri6dica eproduzida numa corda tensa mediante uma fonte de 
frequencia 2 Hz. Sendo 10 em 0 comprimento da onda, determine a veloci­
dade de propaga<;ao dessa onda na corda. 
Resolu(ao: 
A velocidade v de propaga<;ao da onda na corda, a frequencia fda fonte (e 
da onda) e 0 comprimento de onda A relacionam-se pela expressao: 
v = 	 A . f 
Logo: 	v = 10 . 2 
FONTE' v = ?I V = 20 cm/s f=2H~~ ---~ ~r------
j "--/i
I.. 	 ..1 
J.. = 	 10 em 
A.2 	 A figura representa as ondas produzidas por umafonte em 4 s numa corda 
tensa . Determine, para essas ondas: 
/" -..... 
I \ 
\ 
"­
II 
I 
---I 
,.. 
..... " 
'\ 
~ 
l" ­ A 
j 
I' 
a) 0 comprimento de onda. 
b) a frequencia. 
c) 0 perfodo. 
Resolu(ao: 
a) 	0 comprimento de onda deve 
ser medido na figura: 
A = 	 8 em I 
f 1 em 
17m 
d) a velocidade de propaga<;ao. 
e) a amplitude. 
A 
.1 
I 
I 
I 
-l~~7-
355 
riO 
\ 
-- --- ---- - -
b) Se em 4 s foram produzidas as duas ondas representadas, podemos eal­
eular a frequeneia (numero de ondas em 1 s) por regra de tres: 
2 ondas em 4 s 1 2 
fern 1 s j f=-4 
c) 0 perfodo e 0 inverso da frequeneia: 
1 	 1T= ­T=T 0,5 
d) A veloeidade da onda e dada por: 
v = A f I v = 4 em/s I 
v = 8 0,5 
e) A amplitude da onda deve ser medida na figura: 
a = 2 em I al:~_ 
A . .3 Certa onda peri6diea apresenta, num meio A, eomprimento de onda igual 
a 5 em e, num meio B, eomprimento de onda igual a 7,5 em. Sendo 2 Hz a 
frequeneia da fonte que produziu essa onda, determine, em eada urn dos 
melOS : 
a) a frequeneia da onda . 
b) 0 perfodo da onda. 
c) a veloeidade de propaga~ao da onda . 
Resolufao: 
a) A frequeneia da onda ea frequeneia da fonte e nao depende do meio de 
propaga~ao . Logo: I fA = 2 Hz I e I fB = 2 Hz I 
b) 0 perfodo da onda e0 perrodo da fonte e nao depende do meio de pro­
paga~ao: 
T = 0,5 s. 
Portanto: e 
c) 	Sao dados os eomprimentos de onda nos dois meios: AA = 5 em e 
AB = 7,5 em. 
As respeetivas veloeidades de propaga~ao sao dadas por: 
VA = AA . fA VB = As . fs 
v A =5·2 Iv A = 10 em/s I VB = 7,5 . 2 IVB = 15 em/s I 
356 
A.4 	 A velocidade de propaga<;ao das ondas em certa corda tensa ede 20 cm/s. 
V rna onda peri6dica e produzida por uma fonte e apresenta nessa corda 
comprimento de onda igual a 5 cm. Ap6s certo tempo, essa onda reflete-se 
na extremidade fixa da corda . Para a onda refletida, determine: 
a) a velocidade de propaga<;ao. c) a frequencia. 
b) 0 comprimento de onda. d) 0 perfodo . 
Resolufiio: 
As caracterfsticas de uma onda peri6dica nao se modificam quando ocorre 
o fenomeno da reflexao. Portanto: 
a) I v = 20 cm/s 
b) I A= 5 cm 
c) 	 v = A . f 
20 = 5 . f I f = 4 Hz I 
d) T- ~ I T = 0,25 s
-	 f 
Venfica<;ao 
V.l 	 Vma fonte oscila com frequen.cia de 0,5 Hz, produzindo ondas na superff­
cie da agua contida num tanque, onde a velocidade de propaga<;iio e de 
20 m/s. Determine, para as ondas produzidas:. 
a) a frequencia. 
b) 0 perfodo. 
c) 0 comprimento de onda. 
V.2 	 Em 0,5 s uma fonte oscilante 
produz, numa corda tensa, as 
ondas representadas na figura. 
Sendo de 5 m/s a velocidade das 
ondas na corda, determine a fre­
quencia e 0 comprimento de on­
da dessas ondas. 
V.3 	 A figura representa duas cordas diferentes ligadas entre si. Na corda AB, 
as ondas se propagam com velocidade de 5 m/s e na corda Be, com veloci­
dade de 2 m/s. Em A, uma fonte de frequencia 10 Hz produz ondas peri6­
dicas que se propagam ao longo das duas cordas. Determine, em cada uma 
das cordas: 
a) a frequencia das ondas. 
b) 0 perfodo das ondas. 
c) 0 {;omprimento de onda das A B c 
ondas. 
357 
V.4 	 U rna onda peri6dica se propaga 
ao longo de uma corda tensa flxaem uma parede, como mostra a 
figura. Suas caracterfsticas sao: 
- Ifreqiiencia f = 5 Hz, compri­
mento de onda A= 0,5 cm. De­
termine: 
a) a velocidade de propaga~ao da onda na corda. 
b) a freqiiencia e 0 comprimento de onda da onda refletida na extremidade 
fixa da corda. 
EXERCfclOS D E REVISA. O 
H.I 	 (PUC-SP) A rela~ao entre 0 perfodo (T) e a freqiiencia (f) de urn movimento har­
monico simples e: 
a)f=T b)fT=1 c)2T=f d)2f=T e)f=340T 
R.:.. 	 (PUC-MG) Euma caracterfstica de qualquer onda, exceto: 
a) apresentaruma maneira unica de vibrar, transversalmente ou longitudinalmente . 
b) mudar 0 comprimento de onda ao mudar de meio. 
c) manter sua freqiiencia ao mudar de meio. 
d) propagar-se no vacuo. 
e) transferir energia sem transportar materia. 
R. ~ (UF-MA) 0 comprimento de uma onda de 120 Hz de freqiiencia, que se propaga 
com velocidade de 6 m/s vale, em metro: 
a) 0,05 b) 0,2 c) 0,5 d) 0,02 
R.4 	 (UF-PA) Uma onda tern freqiiencia de 10 Hz eSe propaga com velocidade de 
400 m/s. Entao seu comprimento de onda vale, em metros: 
c9 a) 0,04 b) 0 ,4 c) 4 d) 40 e) 400 
? 
.' .f) (U. Mackenzie-SP) A distancia entre duas cristas consecutivas de uma onda meca­nica e 3,4 . 10- 1 m eo intervalo de tempo necessario para que ambas passem pelo 
mesmo ponto e 1,0 milissegundo. A velocidade de propaga~o dessa onda e: 
a) 3,4 . 10-4 m/s c) 3,4 m/s re))3,4 . 102 m/s 
b) 3,4 . 10-3 m/s d) 34 m/s -j 
R .6 	 (PUC-SP) Urn trem de ondas peri6dicas de freqiiencia 440 Hz propaga-se ao lon­
go de uma corda tensa . Verifica-se que a menor distancia que separa dois pontos 
que estao sempre oscilando em fase e 80 cm. Nestas condi~6es, a velocidade de pro­
paga~ao das ondas na corda tern valor: 
a) 550 m/s b) 532 m/s c) 480 m/s d) 402 m/s e) 352 m/s 
358 
R.7 	 (UF-PR) Uma onda tern velocidade igual a 150 m/s e comprimento de onda igual 
a 125 cm. Sua freqiiencia e de: 
a) 12,5 Hz b) 75 Hz c) 80 Hz d) 100 Hz e) 120 Hz 
~ 
" R .8 , 	 (UF-ES) Uma onda propaga-se em 
uma corda com velocidade de 4 mis,
~/ 
conforme ilustra a figura, Observa­ p 
se que 0 ponto P da corda em inter­
valos de 2 s ocupa duas posi~6es 
opostas de afastamento maximo em 
rela~ao a sua posi~ao inicial . A fre­
qiiencia da onda e: 
,rJ' 0,25 Hz b) 0,5 Hz c) 0,75 Hz d) 1 Hz e) 1,25 Hz 
/ --:</ 	 1 
.9, (UF-ES) Na questao anterior, a onda apresenta urn comprimento de onda igual a: 
.,// a) 2 cm b) 4 cm c) 8 cm d) 12 cm 416 cm 
R.10 	(Fuvest-SP) Ondas circulares propagam-se na superffcie da agua de urn grande 
tanque. Elas sao produzidas por uma haste cuja extremidade P, sempre encostada 
na agua, executa movimento harmonico simples vertical de freqiiencia f = 0,5 Hz. 
a) Quanto tempo gasta 0 ponto P para uma oscila~ao completa? 2..:') 
b) Se as cristas de duas ondas adjacentes distam entre si 2,0 cm, qual a velocidade 
de propaga~ao dessas ondas? 1 Dv.., 1$ 
;Ii .~(UF-BA) Urn pescador se encontra imovel com 0 seu barco numa lagoa cujasC7	aguas estao paradas. Num dado momento, ele come~a a balan~ar 0 barco, produ­
zindo ondas de 0,5 m de amplitude e que perfazem em 8 segundosos 16 m que se­
param 0 barco da margem da lagoa. 0 barco realiza 16 oscila~6es em 40 segundos. 
Some os valores numericos associados as alternativas corretas e de 0 resultado como 
resposta : c2b h 
(01) 	Urn ponto de uma crista da onda desloca-se com velocidade va~l ate a 
margem. 
(02) 0 barco completa uma oscila~ao inteira a cada 2,5 s. 
(04) A amplitude da onda se mantem constante ao longo do tempo. 
(08) 	Uma folha que flutua proxima ao barco se desloca verticalmente em 1 m com 
a passagem das ondas. 
(16) 	Em qualquer ponto da lagoa a distancia entre as cristas de duas ondas sucessi­
vas e de 5 m. 
R.12 	(U.E. Londrina-PR) Uma onda transversal tern comprimento de onda A" e fre­
Citiencia f" num dado meio, onde outra onda, tambem transversal, tern compri­
mento de onda ,1.2 e frequencia f2. Sabe-se que A, = 2,1.2' A razao }vale: 
2 
1
a)-4 b)~ c) 1 d) 2 e) 42 
359 
'----------------------------=============~======~~~=======---~ 
T u L o 
Superposi<;ao de ondas 
(interferencia) 
Princfpios da superposic;ao de ondas 
Quando duas ondas se superpoem num dado meio, ocorre 0 fenomeno da 
interferencia, que obedece a dois prindpios basicos: 
I?) 	No ponto onde ocorre a superposic;:ao, 0 efeito resultante e a soma dos efeitos 
que seriam produzidos pe!as ondas que se superpoem, caso atingissem isola­
damente aquele ponto. 
2?) 	Ap6s a superposic;:ao, cada onda recupera suas caracterfsticas iniciais, conti ­
nuando sua propagac;:ao no meio, como se nada tivesse acontecido. 
Consideremos duas ondas nao peri6dicas propagando-se numa mesma cor­
da tensa, mas em sentidos opostos. Ha duas possibilidades: as ondas se desloca­
rem do mesmo lado da corda ou em lados contrarios (fig. 1): 
a) 
b) 
Fig. 	 1 
360 
No ponto de superposi<;ao, as ondas se refor<;am, ocorrendo uma interferencia 
construtiva (fig. 2a), ou se enfraquecem, ocorrendo uma interferencia destrutiva 
(fig.2b): 
a) 
b) Onda resultante 
a> 
Fig. 2 
Ap6s a superposi<;ao, as ondas continuam sua propaga<;ao independente ao 
longo da corda, sem alterarem suas caracterfsticas iniciais (fig. 3): 
a) 
b) 
Fig. 3 
ApUca<;ao 
A. · 	 Duas ondas nao peri6dicas se 
propagam num mesmo meio, 
como mostra a figura, com velo­
cidade de 25 m/s. No ponto A 
ocorre a superposi<;ao. Determi­
ne 0 deslocamento do ponto A 
no instante de superposi<;ao e a 
velocidade das ondas ap6s a su­
perposi<;ao. 
361 
--1!"""'_____________......_____________~;.._.__ /~=~
A 
Resolufiio: 
Os deslocamentos produzidos 
pelas ondas valem respectiva­
mente d 1 = 6 cm e d 2 = 2 cm. 
Como os deslocamentos se 
opoem, 0 deslocamento resul­
tante e dado pel a diferenr;:a entre 
os deslocamentos das ondas que 
se superpoem: 
d = d 1 - d 2 d=6-2 
I d = 	 4 cm 
Ap6s a superposir;:ao, cada onda 
continua sua propagar;:ao atraves 
do meio sem alterar suas carac­
terfsticas. Assim, elas apresen­
tam, ap6s a superposir;:ao, a mes­
rna velocidade que antes: 
v = 25 m/s 
,1eri(lCa~ao 
-4-- ' .... __ _ " 
A 
V.1 	 Duas ondas nao peri6dicas se 
propagam numa corda tensa, co­
mo mostra a figura, com veloci­
dade de 10 m/s. Determine 0 
deslocamento do ponto X no ins­
tante em que as ondas se super­
poem . Qual a velocidade das on­
das nos instantes posteriores a 
superposir;:ao? 
Ondas estaciomirias 
em 
3 
2 
o 
Quando duas ondas peri6dicas de freqiiencias, comprimentos de onda e ain­
plitudes iguais e de sentidos contnirios se superpoem num dado meio, ocorre a 
formac;:ao de uma figura de interferencia denominada ondas estaciomirias. 
o caso mais simples, em que ocorre esse tipo de interferencia, e 0 de uma 
corda esticada onde as ondas produzidas numa extremidade se superpoem as on­
das refletidas na extremidade oposta. 
362 
Verifica-se que, ao se estabelecer uma onda estaciomiria na corda, ha pontos 
desta que permanecem sempre em repouso, onde a interferencia e, portanto, 
sempre destrutiva. Tais pontos sao denominados nos ou nodos. Pelo contrario, 
ha pontos que vibram com amplitude maxima e sao denominados ventres. A dis­
tancia entre dois nos consecutivos ou entre dois ventres consecutivos corresponde 
a metade do comprimento de onda ( ; ) das ondas que se superpoem. 
A figura 4 representa "ondas estacionarias" numa corda tensa. 
I 
I I 
I I 
I 
, A/2 : A/2 , 
I. 	 f+----~., 
N,. N,. N3 • N •• Ns e N6 : n6s ou nodos 
v,. V,. v3 • V. e v;: ventres 
Fig, 1­
A amplitude (A) da onda resultante e igual ao dobra da amplitude (a) das 
ondas que se superpoem: 
Aplical):ao 
A.2 	 A onda estacionaria cujo perfil e 
representado na figura tern am­ E_~_~_-----Z~~- ­plitude 4 cm e a distanciaentre 	 - ------ -- -­
dois nos consecutivos e de 6 cm. I I I , 
Determine, para as ondas que se I I 
I 	 I 
I 
superpoem , a amplitude 'e 0 : 6 em 	 : 
I • II I comprimento de onda. 
Resolufiio: 
A amplitude das ondas que se superpoem eigual ametade da amplitude da 
onda resultante: 
A = 4cm a= A a= '24 I a = 2 cm2 
363 
~.~~-----------------------------------------------------------------------------===;=~-- ~~ 
A distaneia entre dois nos adjaeentes eigual a meio eomprimento de onda: 
-= 6em2 
A 	 I A= 12 em I 
A.3 	 Uma corda tensa de eomprimen­
. to 	90 em vibra com frequeneia 
200 Hz, estabeleeendo-se entre 
suas extremidades a estado esta­
eionlirio representado na figura. 
Determine 0 eomprimento de 
onda e a veloeidade de propaga­
 1~·----------90cm-------~~~ 
<;:ao das ondas que se superpoem. 
ResoIUl;ao: 
Como a distaneia entre dois nos 
adjaeentes equivale a meio eom­
primento de onda, temos: 
A3""2 = 90 em 
~----------90cm --------_.: 
A= 60 em 
A veloeidade de propaga<;:ao edada por: 
v = A . f 
Como f = 200 Hz, vern: 
v = 60 . 200 v = 12000 em/s 
v = 120 m/s 
V enfi.ca~ao 
I 
A/2 
, 
-T.2 	 A distaneia entre dois ventres adjaeentes de uma onda estaeiowiria e0,4 m, 
sendo 0,6 m sua amplitude. Determine 0 eomprimento de onda e a ampli­
tude das ondas que se superpoem. 
V.S 	 Numa corda de 2 m de eompri­
mento, estabeleee-se 0 estado es­
taeionario representado na figu­
ra. Sendo a veloeidade de propa­
ga<;:ao das ondas na corda de 
20 mis, determine a eomprimen­
to de onda e a frequeneia das on­
das que se superpoem. 
364 
\ 
~~========~=-==~====~-===--------------------------~~~~ 
" 
Incerferencia em duas e tres dimensoes 
As ondas estacionarias correspondem a interferi~ncia em uma dimensao (na 
situac;ao estudada, ao lange da corda). Entretanto, a superposic;ao de ondas pode 
ocorrer tambem em duas dimensoes (como na superficie da agua) ou nas tres di­
mensoes do espac;o. 
Consideremos duas fontes, F] e F 2, produzindo ondas na superffcie da agua 
contida num tanque (fig. 5). Interessa-nos analisar apenas a situac;ao em que as 
fontes tern frequencias iguais f e estao oscilando emjase, isto e, sincro;lizadamente. 
Verifica-se que, ao longo da reta que une as duas fontes, estabelecem-se on­
das estacionarias, com a formac;ao de uma sucessao de nos e ventres , conforme ja 
foi analisado. Nos demais pontos do meio, havera interferencia construtiva, onde 
a vibrac;ao e maxima (pontos ventrais) , ou interferencia destrutiva, onde nao 
ocorre vibrac;ao (pontos nodais, em repouso). Entre esses pontos de vibrac;ao ma­
xima e nula, ha pontos onde a vibrac;ao e intermediaria entre os dois extremos . 
a) Vista de lado 	 b) Vista de cima 
--+--------..F,~~>_':~2. 
~~,p 
Fig. 5 
Para os pontos ventrais e para os pontos nodais, a diferenc;a entre as distan­
cias d] e d 2 percorridas pelas ondas que se superpoem (fig. 5b) e sempre urn nu­
mero inteiro N de ~ , sendo A 0 comprimento de onda das ondas. Quando N e 
urn numero par, a interferencia e construtiva (pontos ventrais) e quando N e urn 
numero impar a interferencia e destrutiva (pontos nodais): 
N PAR: interferencia construtiva (pontos ven­
A trais)d] - d 2 = N 2. N IMPAR: 	interferencia destrutiva (pontos 
nodais) 
A conclusao exposta e valida para 0 caso de ondas que se propagam tridi­
mensionalmente. 
Aplica<;ao 
AA 	 Duas fontes, F] e F 2 , produzem ondas em fase com frequencia 50 Hz na 
superffcie da agua, onde a velocidade de propagac;ao e 2 m/s. Determine 
L 
365 
se, num ponto situado a 12 em da fonte F J e 6 em da fonte F 2 , a interferen­
cia e eonstrutiva ou destrutiva. 
Resolu~ii.o: 
Primeiramente, determinemos 0 eomprimento de onda das ondas que se 
superpoem : 
f= 50 Hz v 2 
A = f 	 A = 0,04 m = 4 em 
v = 2 m/s 50 
A diferenc;a entre os eaminhos pereorridos vale: 
d l = 12 em 
d J - = 12 - 6d 2 
d l - d 2 = 6 em 
Pela eondic;ao de interfereneia: 
Substituindo os valores numerieos: 
N- 12
- 4 1 N = 3 1 
Portanto, a interfereneia e destrutiva, 0 ponto eonsiderado e nodal, pois 0 nu­
mero N e impar. 
Venfica~ao 
V.4 	 A tabela indica as distfmeias de tres pontos, A, Bee, a duas fontes, F J e 
F 2' que vibram em fase, produzindo ondas de frequeneia 200 Hz num meio 
onde a veloeidade de propagac;ao e400 m/s. Para eada urn dos pontos, es­
tabelec;a se a interfereneia eeonstrutiva ou destrutiva. 
d t (a fonte F I) d 2(a fonte F 2) 
A 8m 5m 
B 12 m 10m 
C 7m 7m 
366 
EXERCiclOS 
R.l 	 (UF-MG) Ao lado estao representa­
dos dois pulsos, num certo instante, 
movendo-se ao longo de uma corda. 
As figuras seguintes representam os 
mesmos pulsos em instantes poste­
nores . 
0 
r 
--­ IIT \ 
II 	 III 
Assinale a alternativa que ordena as figuras numa sequencia correta: 
a) 1,' 11, II c) III , I, II e) II, I, III 
b) III , II, I d) II, III, I 
R.2 	 (UF-PI) A figura representa duas ondas transversais se propagando simultanea­
mente. A superposir;ao dessas ondas 
y(cm) resulta numa onda cuja amplitude, 
15 em centfmetros, e de: 
10 a) zero 
5 
x b) 5 
c) 10 
-5 d) 15 
-10 e) 20 
-15 
R.3 	 (F.C. Chagas-SP) Quando duas ondas interferem, a onda resultante apresenta 
sempre pelo menos uma mudanr;a em rela(;:'iio as ondas componentes , Tal mudanr;a 
se verifica em relar;ao a (ao) : 
a) comprimento de onda. d) fase. 
b) perfodo . e) frequencia. 
c) amplitude. 
rtA (F.C. Chagas-SP) Em dado intervalo de tempo, existe uma onda transversal esta­
ciomiria em uma mola perfeitamente elastica. 
Pode-se afirmar corretamente que, nesse intervalo de tempo: 
a) todos os pontos da mola estao im6veis. 
b) os nodos se movem com velocidade escalar constante. 
c) existem nodos e ventres na mola. 
d) somente 0 ponto medio da mola esta imovel. 
e) 0 comprimento de onda diminui . 
I 	
367 
R.5 	 (Fatec-SP) A figura anexa represen­
ta uma onda estaeionaria numa cor­
da fixa em A e B. A ve!oeidade da 
onda nela produzida ede 2,0 m/s . 0 A 
comprimento da onda em metros e a 
frequencia em Hz sao, respeetiva­
mente: 
a) 2 e 1 d) 1 e 2 
b) 2 e 2 e) 0,5 e 1 
c) 1 e 
R.o 	 (U .E. Londrina-PR) Uma onda estaeionaria se estabeleee numa linha fixada entre 
dois pontos distantes 50 em. Incluindo os extremos, eontam-se 11 nodos. 0 com­
primento de onda da onda progressiva que deu origem it onda estaeionaria e, em 
em, igual a: 
a) 10 b) 100 c) 5,0 d) 1.2... e) 2,5 11 	 11 
R.7 	 (Cesgranrio-RJ) Uma corda de 25 cm de comprimento, fixa nas extremidades P e 
Q, vibra na configura<;:ao estaciona­
ria representada na figura. Sabendo­
se que a frequencia de vibra<;:ao e de Q 
1000 Hz, a velocidade de propaga<;:ao 
das ondas ao longo da corda vale : 
a) 125 mls c) 400 m/s e) 4000 m/s 
b) 250 mls d) 500 mls 
R .B 	 (UF-MG) Uma onda estacionaria e estabe!ecida numa corda, de modo a formar 
3 ventres e 4 nos, como esta esque­
matizado na figura . Sabendo que a 
distancia entre os nos extremos e de 
1 ,5 mea velocidade da onda e de 
10 mis, determine a frequencia da 
onda. 
R.9 	 (F.M . Itajuba-MG) Duas fontes, FI e F 2 , em fase, emitem ondas de comprimento 
de onda igual a 10 cm. Urn ponto Pesta it distancia XI = 60 em de FIe adistancia 
X 2 de F 2 (X2 > X I)' Para que 0 ponto P sofra interferencia destrutiva, 0 menor valor 
POSSIVe! para X 2 e: 
a) 62,5 em b) 65 em c) 67,5 em d) 70 em 
R . IC 	 (EN-RJ) Dois alto-falantes, loealizados em FIe F 2' emitem sons de mesma ampli­
tude, mesma frequeneia e mesma fa-
se. Em urn ponto P eneontra-se urn 
.... F, ouvinte . Sabe-se que F I P <F 2 P, que 	
/ 
o eomprimento de ondado som emiti ­
,."..-/ ",,,, ... -­
do e de 2,0 m e que F 2 P = 8,0 m. Para / 
que 0 ouvinte em P pereeba interfe-
 P F'..::-::..--------------- --- .. F,. reneia eonstrutiva, 0 maior valor pos­
SIVe! de FI Pede: 
a) 8,Om b) 7,Om c) 6,0 m d) 7,5 m e) 8,5 m 
368 
1,Om 
R.t; (UF-RS) Em urn tanque de ondas, duas fontes, F\ e F 2 , oscilam com a mesma fre­
quencia e sem diferen<;a de fase, pro­
duzindo ondas que se superpoem no 
ponto P, como mostra a figura. A dis­ F, p 
tancia entre F \ e Pede 80 em e entre 
F 2 e Pede 85 em. Para qual dos valo­
res de comprimento de onda das on­
das produzidas por F\ e F2 ocorre urn 
minimo de intensidade (interferencia F, 
destrutiva) no ponto P? 
a) 1,0 em b) 2,5 em c) 5,0 em d) 10 em e) 25 em 
R.12 	 (U .F. Uberlandia-MG) Dois objetos pequenos, A e B, batem em fase na superffcie 
de urn lfquido produzindo ondas de mesmo comprimento de onda A. Supondo urn 
ponto P qualquer, na superflcie do liquido, podemos afirmar que: 
a) se PA = PB, a interferencia sera destrutiva. 
b) se PA = PB = A, a interferencia sera construtiva. 
c) se PA - PB = A/2, a interferencia sera construtiva. 
d) se PA - PB = n, a interferencia sera destrutiva. 
e) nao e posslvel ter interferencia construtiva. 
R.B 	(OSEC-SP) Duas fontes sonoras identicas A e B estao colocadas a 50 em uma da 
outra. Para que haja interferencia construtiva em urn ponto C, e necessario que a 
diferen<;a de caminhos CA - CB seja igual a: 
a) urn numero par de meios comprimentos de onda. 
b) urn numero fmpar de meios comprimentos de onda. 
c) urn numero (mpar de quartos de comprimentos de onda. 
d) uma constante qualquer. 
e) nenhuma das anteriores. 
R.14 	(Cesesp-PE) Ondas de comprimento de onda de 300 m sao emitidas por uma fonte 
Fe sao captadas pelo receptor R, apos serem transmitidas de forma direta e tam­
bern refletidas em uma camada plana C, conforme a figura. A fonte e 0 receptor es­
tao no mesmo nfvel horizontal a uma distancia de 300 m entre si. A camada C est<i 
a uma altura H desconhecida. 0 menor valor de H para que as ondas refletidas e as 
ondas que se propagam diretamente interfiram de forma construtiva no receptor 
vale, em metros: 
.---------~.---------~,. 
c 
a) 220 b) 240 c) 260 d) 340 e) 380 
369 
~--------------------------------------------------~~~~--------------~ 
----------------------------------------------------
pA f T u L o 
.8 ondas s noras 
Defini<;clO e caracteristicas 
- -- Se voce fizer vibrar rapidamente 
uma vara de bambu no ar, as vibra~6es 
produzidas se propagam atraves do ar 
adjacente, produzindo ondas mecani­
cas denominadas ondas sonoras . Sao 
ondas longitudinais, pois a propagac;ao 
ocorre na mesma dire~ao em que as vi­
bra~6es sao produzidas (fig. 1). 
Conforme a rapidez com que fizer 
vibrar a vara de bambu, voce podeni 
Fig. 1 ouvir ou nao as ondas produzidas, por­
que nos so ouvido s6 e sensfvel a vibra­
~6es de frequencia superior a 20 Hz. Assim, para que as ondas sonoras produzi­
das sejam audfveis, a fonte deve vibrar realizando mais de 20 oscilac;6es por se­
gundo. As ondas de frequencia inferior a 20 Hz sao denominadas infra-sons. 
No entanto, as frequencias muito altas, superiores a 20000 Hz, tambem sao 
inaudfveis para 0 homem, sendo denominadas ultra-sons. Certos animais conse­
guem ouvir sons de frequencia superior a 20 000 Hz. 
Velocidade do sam. Eeo 
Sendo ondas mecanicas, as ondas sonoras apresentam velocidade que de­
pende das caracterfsticas do meio em que se propagam. Quanto mais rfgido for 0 
meio, maior a velocidade das ondas sonoras. Por isso, as ondas sonoras tem maior 
velocidade nos meios s61idos do que nos meios Ifquidos e maidr nesses do que nos 
melOS gasosos. 
A reflexao das ondas sonoras pode produzir 0 fenomeno denominado eco. 
Para que esse fenomeno se produza no ar, enecessario que 0 obstaculo refletor es­
370 
teja a uma distancia superior a 17 m do observador. Isso ocorre porque a veloci­
dade do som no ar e 340 m/s e, quando nosso ouvido e impressionado por urn 
som, a sensa<;:ao permanece por urn decimo de segundo (0,1 s). 0 eco so sera per­
cebido, entao, se 0 som percorrer distancia maior que 34 m (ida e volta), gastando 
mais que 0,1 s e chegando ao ouvido depois que se extinguiu a sensa<;:ao do som 
direto. 
Sendo ondas periodicas, valem para as ondas sonoras todas as considera<;:6es 
feitas anteriormente para as ondas periodicas em geral, inclusive a formula que 
relaciona a velocidade v, 0 comprimento de onda A e a freqiiencia f: 
v=A·f 
Aplicac;:ao 
A.! 	 Sendo 20 Hz a freqiiencia sonora mais baixa audivel pelo homem, determi­
ne seu comprimento de onda no ar, onde a velocide:1de de propaga<;:ao e 
340 m/s. 
Resolu(ao: 
Para as ondas sonoras vale a expressao: v = A . f. Como f = 20 Hz e 
v = 340 mis, vern: 
v A= 340 A = 17 m A= T 20 
A.2 	 Ao visitar a "Caverna do Eco", uma pessoa grita e ouve 0 eco do som emi­
tido 3 sapos a emissao. Sendo de 340 m/s a velocidade do som no ar, deter­
mine a distancia da pessoa ao obstaculo que refletiu 0 som. 
Resolu(ao: 
o som leva 3 s para ir ate 0 obs­ ; 
;;1 1 1 /taculo, refletir-se e voltar ao ob­
servador. Portanto, 0 percurso 'l 	 (" 
so de ida (~s = x) e realizado ~\ 	 \ \ 
,., \,. \ \ em ~t = 1,5 s. Aplicando 0 con­
!.1 \ceito de velocidade media: 
~sv= -- 340 = x 	 x ~t 1,5 
x = 510 m 
A .3 	 Admitindo que em certa regiao a velocidade do som no ar seja de 400 mis, 
qual deveria ser a distancia minima do obstaculo refletor apessoa para que 
ela pudesse perceber 0 eco? 
371 
....b.}; 	 ... _____________........====;;;;;;;;,;;================:::::::;::::::::::=-_ 
Resolw;ao: 
Para que 0 eco seja percebido, 0 
som deve ir e voltar (L:l.s = 2 d), 
gastando pelo menos urn decimo 
de segundo (L:l.t = 0 ,1 s), que e 0 
tempo de persistencia auditiva. 
Assim, sendo v = 400 mi s, vern: 
L:l.s 
v= -- 400 = 2i.L:l.t 0,1 
I d= 	20 m 
Veri ficac;ao 
Ai!!! 
( ( I 
\ \ \ 
t------ d 
V .1 	 Determine 0 comprimento de onda no ar do som de maior frequencia audi­
vel pelo homem (20 000 Hz) . A velocidade do som no ar vale 340 m/s. 
V.2 	 Qual a distancia minima entre uma pessoa e 0 ObSUlcUlo refletor do som 
para que seja posslvel perceber 0 eco, num meio onde as ondas sonoras se 
prapagam com velocidade de 200 m/s? 
V.3 	 0 sonar e urn aparelho utilizado em submarinos para determinar a dis tan­
cia de urn obstaculo qualquer. Para tal, e emitido urn sinal sonora e 0 apa­
relho registra 0 tempo, ate ser recebido 0 sinal refletido pelo obstaculo. Ad­
mitindo que esse intervalo de tempo tenha sido de 3 s e sendo 1 500 m/s a 
velocidade das ondas sonoras na agua do mar, determine a distancia do 
obstaculo ao submarino. 
Qualidades fisia16gicas do sam 
Altura 
A altura de urn som e a qualidade deste que permite a urn ouvinte classifica­
10 como mais agudo (mais alto) ou mais grave (mais baixo) que outra. Esta relaciona­
da diretamente com ajrequincia do som, de modo que quanto maior for a frequen­
cia de urn som tanto mais agudo ele sera. 19ualmente, quanto menor for a frequencia 
de urn som tanto mais grave ele sera. 
Consideremos dois sons quaisquer de frequencias f\ e f2 . Chamamos inter­
valo i entre esses sons a relac;:ao entre suas frequencias: 
372 
Se i = 1, ointervaloechamadodeunfssono e f, = f2 • Se i = 2, ointervalo 
e chamado de oitava e f, = 2 f2 . Existem varios outros intervalos que interessam so­
' M' . . (9 ~ (10) . (16)bretud0 a USlca, como tom malOr 8/ ' tom menor 9 e semi tom 15 . 
:;-.Jivel sonora 
A sensac;ao auditiva que urn som produz num ouvinte e avaliada pela quali­
dade nivel sonora, medida em decibel (dB). 0 nivel sonoro depende da energia 
transportada pelo som, mas nao varia linearmente com esta. Verifica-se que 0 ni­
vel sonoro varia com a energia do som, obedecendo a uma escala logarftmica. As­
sim, urn som 100 vezes mais forte (energetico) que outro apresenta nivel sonoro 
apenas duas vezes maior que outro. A tabela seguinteinforma nlveis sonoros de 
alguns ambientes comuns em nossa sociedade. 
.Som Nfvel sonoro 
.. (em decibels) . 
Interior de urn templo 10 
" Brisa suave 20 
Automovel bemregulado 50 
Conversa em tom normal 60 
Avenida movimentada 
( 
80 
Interior de uma serraria 100 
Show de rack 'n roll 110 
Trovao proximo 120 
Aterragem de aviao a jato 130 
No mundo barulhento de hoje em dia, estamos constantemente submetidos 
a sons de nlvel sonoro elevado. Pesquisas medicas indicam que sons com mais de 
80 decibels sao altamente prejudiciais aos ouvidos, podendo acarretar danos irre­
verslveis, inclusive a surdez, quando persistentes. Por isso, a poluifiio sonora, so­
bretudo nas grandes cidades, e muito preocupante, merecendo atenc;ao especial 
das autoridades sanitarias de todos os paIses. 
Timbre 
A qualidade sonora que nos permite distinguir uma mesma nota musical 
emitida por dois instrumentos diferentes e denominada timbre. Assim, a nota la 3 , 
It., > 
373 
de freqiiencia 435 Hz, emitida par urn piano soa aos nossos ouvidos diferente da 
nota 1£13emitida por urn vioHio . Dizemos que 0 timbre do piano e diferente do tim­
bre do violao. Isso acontece porque, conforme 0 instrumento, existem sons aces­
sorio,s, denominados harmonicos, que acompanham 0 som b£1sico, sem no entanto 
alterar-lhe a freqiiencia . Os sons harmonicos que acompanham a nota 1£13emitida 
pelo piano sao diferentes dos sons harmonicos que acompanham a nota 1£13emiti­
da peIo violiio, determinando a diferenc;a de timbre. 
,AA 	 Urn som tern freqiiencia igual a 100 Hz . Determine a freqiiencia do som 
\ ____/ / 	 que est£1 uma oitava acima, do som que est£1 uma oitava abaixo e do som 
que guarda com eIe intervalo de unlssono. 1ndique qual dos sons conside­
rados eo mais grave equal e 0 mais agudo . 
Resolufiio: 
Tem-se urn som de freqiiencia fl = 100 Hz. 
o som que est£1 uma oitava acima e tal que 
. f2 2 ' 'f 2f1 = T = ,1Sto e, 2= 1 = I f2 = 200 Hz 
1 
o som que est£1 uma oitava abaixo e tal que 
i = ~: = 2, isto e, f3 = ~1 = I f3 = 50 Hz 
o som que guarda intervalo de unissono e tal que 
fl 'f f1"1 = T = ,1StO e, = 1 =4 
4 
o som mais agudo e 0 que apresenta maior freqiiencia e, portanto, e 0 que 
est£1 uma oitava acima, isto e, f2 = 200 Hz. 
o som mais grave e0 que apresenta menor freqiiencia e, portanto, e 0 que 
est£1 uma oitava abaixo, isto e, f3 = 50 Hz. 
/'"
Verificac;ao 
V.4 Certa nota musical tern freqiiencia igual a 262 Hz. Determine a freqiiencia 
da nota uma oitava acima desta e da nota uma oitava abaixo. Qual das tres 
notas consideradas ea mais grave equal ea mais aguda? 
374 
C lOS D E REV 
R.l 	 (UF-PR) Assinale a caracterfstica de uma onda sonora: 
a) Propaga-se no vacuo com veJoc idade igual a da hiz, 
b) Tern ve!ocidade de propagac;:ao igual a 340 mis, qualquer que seja 0 meio em 
que se propague , 
c) Propaga-se como onda transversal, 
d) Todas as ondas sonoras tern igual comprimento de onda, 
e) Necessita de urn meio material para se propagar. 
R.2 	 (FGV-SP) Na tabela seguinte, qual dos itens expressa corretamente caracterfsticas 
de uma onda sonora? 
Natureza da osciLac;:ao Meio de propagac;:ao Velocidade no ar 
. (apro~irpada) 
a) transversal qualquer, inclusive vacuo 300000 km/s 
b) longitudinal qualquer meio material 340 mls 
c) transversal lfquidos 340 mls 
-
d) longitudinal vacuo 300000 km/s 
e) mista \ . lfquidos 
" 
~ 
300000 km/s 
R.3 	 (UF-PI) Uma onda sonora e produzida par uma fonte que produz 200 vibrac;:oes 
por segundo, 0 perfodo dessa onda, em segundos, sera: 
1 
c) zero 	 e) 200a) 200 
1 d) 100b) 100 
R 4 	 (Fatec-SP) A ve!ocidade do som na. agua, em comparac;:ao com sua velocidade no 
ar, e: 
a) mai~r, 
b) menor , 
c) igual. 
d) diferente , mas nao e POSSIVe! dizer se maior ou menor , 
e) maior ou menor, dependendo da frequencia do som que se propaga, 
R.5 	 (UNIP-SP) Urn som de frequencia 500 Hz passa do ar para a agua, Podemos afir­
mar que: 
a) a velocidade do som nao se altera , 
b) a velocidade do som diminui e 0 comprimen to de onda aumenta, 
c) 0 comprimento de onda do som nao se altera, 
d) a frequencia do som nao se altera, 
e) a ve!ocidade do som aumenta e 0 comprimento de onda diminui. 
... ", 
375 
R.6 	 (UF-RS) Qual das alternativas abaixo expressa melhor 0 comprimento de onda, 
em metros, de uma onda sonora de 680 Hz de freqi.iencia, que se propaga no ar 
com velocidade de 340 m/s? 
a)-1 b)~ c) 2 d) 3 e) 4 4 2 
"R.7 	 (UC-BA) Qual e 0 comprimento de onda de uma onda sonora periodica de fre­
qi.iencia igual a 1 000 Hz que se propaga no ar com velocidade 340 m/s? 
a) 4,3 em b) 8,5 em c) 17 em d) 34 em e) 68 em 
R.8 	 (Fuvest-SP) 0 ouvido humano consegue ouvir sons desde aproximadamente 20 Hz 
ate 20 000 Hz. Considerando que 0 som se propaga no ar com velocidade 330 mis, 
quais os intervalos de comprimento de orida detectados pelo ouvido humano? 
a) 16,5 mate 16,5 mm d) 8,25 mate 8,25 mm 
b) 165 mate 165 mm e) 20 mate 20 mm 
c) 82,5 mate 82,5 mm 
R ,9 	 (PUC-SP) 0 ouvido humano e capaz de perceber ondas sonoras de freqi.iencias en­
tre 20 Hz e 20000 Hz, aproximadamente. Entretanto, sabe-se que alguns animais 
sao capazes de perceber ondas longitudinais de freqi.iencias maiores, os ultra-sons. 
Urn cachorro, por exemplo, pode perceber ultra-sons de ate 50 000 Hz. A partir 
dessas informa~oes, responda: 
. "1 
I> ,\ \,,:.ft'\ a) Se urn apito produz, no ar, ondas longitudinais de 10 mm de comprimento, por 
\\{' . quem elas sao ouvidas? Justifique. 
( ,,!I'. b) 	Sabendo-se que duas ondas sonoras sao distinguidas pelo cerebro quando che­
gam ao ouvido separadas por urn intervalo de tempo maior que 0,1 s, qual a mi­
nima distancia entre uma pessoa e urn obstaculo para que ela ou~a 0 eco de sua 
propria voz? 
E dada a velocidade do som no ar: v = 340 m/s./ ­
I 
.\ R.10 	(UF-PE) Diante de uma grande parede vertical, urn garoto bate palmas e percebe 
o eco urn segundo depois. Se .a velocidade do som no ar vale 340 mis, 0 garoto pode
\ 
,-_ . concluir que a parede esta situada a uma disti'mcia, em metros, igual a: 
a) 17 b) 34 c) 68 A 170 e) 340 
IR~(UF-MG) 0 eco de urn disparo e ouvido por urn ca~ador 5,0 segundos depois que 
_ / ::/ele disparou sua espingarda. 1\/velocidade do som no ar e de 330 m/s . A superffcie 
que refletiu 0 som se encontrava a uma distancia igual a: 
a) 1,65 . 10 3 m c) 1,65 10-3 m e) 8,25 . 10-2 m 
b) 1,65 m fi 8,25 . 102 m 
R.12 	(FEI-SP) Som mais agudo esom de: 
a) maior intensidade. d) maior freqi.iencia. 
b) menor intensidade. e) maior velocidade de propaga~ao. 
c) menor freqi.iencia. 
R.1 3 (UF-RS) Do som mais grave ao mais agudo de uma escala musical, as ondas sono­
ras sofrem urn aumento progressivo de: 
a) amplitude. c) velocidade . e) comprimento de onda. 
b) elonga~ao. d) freqi.iencia. 
376 
R,14 	(FAAP-SP) Urn som e produzido por uma fonte de 500 Hz e outro por uma de 
400 Hz. Determine 0 intervalo musical resultante. -1 ,-v)" 
. /{~~\PUC-SP) 0 som que esul. uma oitava acima de outro de 400 Hz tern frequen­
(Jciade: 
\ a) "1-08 Hz 4800 Hz e) 6400 Hz 
b) ~600 Hz d) 3200 Hz 
R.l6 	(U.F. Uberlandia-MG) Para evitar a polui<;:ao sonora devemos limitar nos sons : 
a) a intensidade energetica. d) a velocidade. 
b) a altura. e) 0 comprimento de onda . 
c) 0 timbre . 
R.17 	(UF- RS) Quais as caracterfsticas das ondas sonoras que determinam, respectiva­
mente, as sensa<;:oes de altura e intensidade (nfvel sonoro) do som? 
a) frequencia e amplitude. 
b) frequencia e comprimento de onda. 
c) comprimento de onda e frequencia. 
d) amplitude e comprimento de onda. 
e) amplitude e frequencia. 
R.1S (UC-PR) As qualidades fisiol6gicas do som sao: altura, intensidade e timbre. 
I - A altura e a qualidade que permite distinguir urn som forte de urn somfraco 
de mesma frequencia. 
II - Intensidade e a qualidade que permite distinguir urn som agudo de urn som 
grave. 
III - Timbre e a qualidade que permite distinguir dois sons de mesma altura emi­
tidos por fontes diferentes. 
a) Somente I e correta. d) I e II estiio corretas. 
b) Somente II e correta. e) So mente III e correta. 
c) Todas estao corretas. 
(ITA-SP) 0 que permite decidir se uma dada nota musical provem de urn violino 
ou de urn trombone e: 
a) a diferen<;:a entre as alturas dos sons. 
b) a diferen<;:a entre os timbres dos sons. 
c) a diferen<;:a entre as intensidades dos sons. 
d) a diferen<;:a entre as fases das vibra<;:oes. 
e) 0 fato de que num caso a onda e transversal e no outro longitudinal. 
R.20 	(UE-CE) A mesma nota musical quando emitida por uma £lauta e diferente quan­
do emitida por urn piano. 0 fato de 0 aluno de Musica distinguir , perfeitamente, a 
nota emitida por urn dos dois instrumentos e devido: 
a) a frequencias diferentes. c) a timbres diferentes. 
b) a alturas diferentes . d) a intensidades diferentes. 
377 
pIe A T U L o 4____.1 
Fontes s no as 
Cordas vibrantes 
A corda tensa de urn instrumento musical, como 0 violao, vibra ao ser tangi­
da e nela se estabelecem ondas estacionarias, em virtu de da reflexao na extremi­
dade fixa . Na verdade, a onda resultante edevida asuperposir;ao de varias ondas 
estqcionarias, po is a corda tern varios modos de vibrar;ao. 
A menor frequencia de vibrar;ao, 
dita frequencia fundamental, ou primeiro 
harmonica da corda, corresponde a ma­
neira rna is simples de a corda vibrar, 
com nos nas extremidades fi"xas e urn 
ventre intermediario (fig. 1) . 
I~.-----L = .l ____--I..I 
2 
Fig. 1 
Essa onda tern comprimento de onda I A= 2L I e frequencia f = ~ 
ou I f = 2~ I, sendo L 0 comprimento da corda . 
o segundo modo de vibrar;ao 
constitui 0 segundo harmonica da corda e 
corresponde a presenc;a de mais urn no 
e mais urn ventre entre as extremidades 
da corda (fig. 2) . 
Fig. 2 
I I 
~I·------------L------~'I 
378 
o segundo harmonico tern comprimento de onda: 
AL= 2­2 
A frequencia do segundo harmonica e: 
A cada novo modo de vibra<;ao, acrescem-se mais urn no e mais urn ventre 
entre os extremos da corda. Assim, para 0 harmonico de ordem N, teremos com­
primento de onda e frequencia dados por: 
, 
f=N 2­I 2L 
Observafiio: 
Alem do camprimento da corda L, a frequencia f das vibra<;oes depende da
-for<;a com que a corda e esticada, F, e de sua sec<;ao transversal, S . Verifica-se 
que quanto maior F (mais esticada) e quanta menor a sec<;ao S (mais fina), tanto 
mais agudo 0 som emitido pela corda. 
Aplicac;ao 
A.I Quais os tres maiores campriment08 de onda que se podem estabelecer es­
tacionariamente numa corda tensa de camprimento 2,4 m? 
Resolufiio: 
o maior comprimento de onda carresponde a frequencia fundamental 
(N = 1). Assim: 
A[ = 2L = 2 . 2,4 Al = 4,8 m 
A seguir, vern 0 segundo harmonica (N = 2): 
I A2 = 2,4 m 
Para 0 terceiro harmonico (N = 3), temos: 
I A3 = 1,6 m 
379 
A.2 	 Calcule a frequencia do terceiro harmonico que se estabelece numa corda 
tensa, onde as ondas se propagam com a velocidade de 10 m/s. 0 compri­
mento da corda e de 3 m. 
Resolu~ii.D: 
Temos: v = 10 m/s L=3m e N = 3. 
N a expressao: f=N~2L 
10f=3· I f = 5Hz2 . 3 
Verifica<;ao 
V.1 	 0 maior comprimento de onda estacionaria que se estabelece numa corda 
tensa vale 6 m. Determine 0 comprimento dessa corda. 
V.2 	 Se a frequencia do quarto harmonico numa corda vibrante de comprirnen­
to de 0,5 me 100 Hz, determine com que velocidade as ondas se propagam 
ao longo dessa corda. 
Tubas sonoras 
o tubo sonoro consta basicamente de uma coluna de ar na qual se formam 
ondas estacionarias. Em uma das extremidades, chamada embocadura, as ondas 
sao produzidas. Na outra ha a reflexao que determina a onda estacionaria. Con­
forme essa extremidade seja aberta ou fechada, 0 tubo e dito aberto ou fechado, 
respectivamente. 
No tubo sonoro aberto, forma-se urn 
ventre em cada extremidade. 0 modo 
mais simples de a coluna de ar vibrar 
corresponde a urn unico no entre os 
ventres extremos, determinando a fre­
quencia fundamental ou primeiro harmonico ,! It-------L = 2 -----~·I (fig . 3). 
Fig. 3 
Sendo L 0 comprimento do tuba, 0 comprimento de onda e a frequencia des­
sa onda estacionaria valem: 
v 
=>f= T 
~~======================================~----~~1 
380 
I 
A segunda maneira de vibrar a 
coluna de ar do tubo aberto constitui 0 
segundo harmonico , correspondendo a 
presenc;a de mais urn n6 e mais urn 
ventre entre as extremidades do tubo xx(fig. 4). I I 
I- )J2 'I" )J2~ 
I I 
I~'-----------L------------~'I 
Fig. 4 
o comprimento de onda do segundo harmonico vale: 
A 
L= 22 1 A.= 2L · 1
- 2 
A freqii(~ncia do segundo harmonico e dada por: 
Para cada novo modo de vibraC;ao, mais urn n6 e mais urn ventre se formam 
entre as extremidades do tubo. Portanto, para 0 harmonico de ordem N, 0 com­
primento de onda e a frequencia valem, respectivamente: 
f=N ~ 2L 
No tubo sonoro fechado, na extremi­
dade da embocadura forma-se urn ven­
tre e, na fechada, forma-se urn n6. A 
menor frequencia, dita frequencia funda­
mental, corresponde ao modo mais sim­
ples de vibraC;ao (fig. 5). I 
f---------L = ~ i 
4 
Fig. 5 
Sendo L 0 comprimento do tubo, 0 comprimento de onda e a frequencia da 
onda estacionaria referida sao dados por: 
f= r 
381 
: : 
01' .v4~.v4--j 
I 
I 
'1 
o segundo modo de vibral;ao corresponde apresenl;a de mais urn no e mais 
urn ventre entre os extremos do tubo (fig. 6): 
o comprimento dessa onda vale: 
A 	 4LL= 3-
-3­4 
A frequencia e dada por: 
L 
Fig. 6 	 I f=3-IT I 
Observe que a frequencia do segundo modo de vibral;ao e igual ao triplo da 
frequencia fundamental, correspondendo, por isso, ao terceiro harmonico. A cada 
novo modo de vibral;ao, mais urn no e mais urn ventre se formam entre as extre­
midades, verificando-se que a frequencia fica sucessivamente multiplicada por 5, 
7, 9, etc . Portanto, 0 tubo fechado so emite harmonicos de ordem impar. Para urn 
harmonico generico de ordem i, teremos os seguintes valores para 0 comprimento 
de onda e a frequencia: 
Aplica~ao 
A.S 	 Determine a frequencia do som fundamental emitido por urn tubo aberto 
de 1,7 m de comprimento. A velocidade do som no ar do tubo e de 340 m/s. 
Resolufiio: 
A frequencia emitida e dada pela expressao f = N 2vL ,onde N = 1 
(som funaamental), v = 340 m/s e L = 1,7 m. 
Assim f = 1 2 ~~ 7 I f = 100 Hz 
, 
A.4 	 A figura mostra urn diapasao 
(barr·a metalica curvada em U) 
de frequencia de 100 Hz vibran­
do na boca de urn tubo sonoro 
fechado. A coluna de gas no in­
terior do tubo vibra em resso­
nancia com 0 diapasao, estabe- ' 
lecendo-se 0 estado estacionario 
representado na figura. Sendo 0 
382 
comprimento do tubo igual a 3 m, determine a velocidade com que se propaga 0 
som no gas contido no tubo . . 
Resolu(iio: 
Vibrar em ressonancia significa vibrar com a mesma frequencia . Portanto, a 
frequencia de vibra<;ao do gas no tubo e f = 100 Hz. 
Pela figura, percebe-se que a vibra<;ao corresponde ao segundo modo de vi­
bra<;ao e, portanto, ao terceiro harmonico: i = 3. 
vA expressao para caIculo da frequencia e f = i 4 L ' onde L = 3 m. 
v 
Assim: 100 = 3-- v = 400 mls4·3 
A.5 	 Urn tubo sonoro aberto emite som fundamental de frequencia duas vezes 
maior que a do som fundamental emitido por urn tubo sonoro fechado. 
Sendo 2 m 0 comprimento do tubo aberto, determine 0 comprimento do fe­
chado. 0 gas no interior dos dois tubos e0 mesmo. 
Resolu(iio: 
As frequencias dos sons emitidos pelos tubos aberto (A) e fechado (B) sao 
dadas, respectivamente, por: 
Sabe-se que fA = 2fB , dondev 2 ' VN 2LA = 1 4LB 
Como N = 1 e i = 1, (sons fundamentais) e LA = 2 m, vern: 
~ oj1·--=2·1­2 . 2 4LB 
Portanto, se dois tubos sonoros, urn aberto e outro fechado, tern 0 mesmo 
comprimento, 0 primeiro emite urn som de frequencia duas vezes maior 
que 0 segundo. 
1erifica<;:ao 
V.3 	 Urn tubo sonoro aberto est a vi­
brando segundo 0 estado estacio­
nario esquematizado na figura. 
o comprimento do tubo e de 
1,2 m e 0 som se propaga no ar do 
tubo com velocidade de 360 m/s. 
Determine a frequencia do som 
emitido nessas condi<;oes. 
383 
VA Qual a frequencia do som fundamental emitido por urn tubo fechado de 
1,8 m de comprimento? A velocidade do som no gas do tubo e igual a 
360 m/s. 
V .5 Determine 0 comprimento de urn tubo aberto que emite som fundamental 
de frequencia igual ao som fundamental emitido por urn tubo fechado de 
0,75 m de comprimento. Admita que ambos os tubos sejam preenchidos 
pelo mesmo gas . 
. EXERCfc~os D E 1---.____ 
R.1 	 (Fatec-SP) Corda vibrante e urn fio ebistico e inerte, porem de rigidez desprezlvel e 
tenso, entre dois pontos fixos. Tais cordas encontram extenso emprego nos instru­
mentos ditos "de corda" (piano, violino, violao). Corda vibrante pode ser sede de 
vibrac;oes longitudinais ou transversais. A freqi.iencia do som fundamental emitido 
por uma corda vibrante: 
a) e inversamente proporcional ao comprimento da corda. 
b) nao depende da intensidade da forc;a de trac;ao . 
c) e inversamente proporcional a velocidade das ondas na corda. 
d) independe da secc;ao transversal da corda. 
e) nao depende do material de que e feita a corda. 
R.2 	 (PUC-SP) Quando uma corda de 
violao e colocada em vibrac;ao, gera, 
no ar em sua volta, uma onda sonora 
que caminha com velocidade media 
de 340 mIs, como ilustra a figura. Se 
uma corda vibrar com freqi.iencia de 
510 Hz, qual sera 0 comprimento da 
onda sonora que se propagara no ar? 
a) 0,67 m d) 66,7 m 
b) 1,5 m e) 0,15 m 
c) 17,3 m 
R.3 	 (Cesgranrio-RJ) Ao tanger uma corda de violao, duas ondas sao estabelecidas. 
Uma e a onda transversal e estacionaria na propria corda. E a outra ea onda sono­
ra, longitudinal e progressiva, que chega ate os nossos ouvidos. Sejam as velocida­
des de propagac;ao dessas duas ondas, respectivamente, V",da e V"m e seus corres­
pondentes comprimentos de onda, A",da e A,om' Pode-se sempre afirmar que: 
a) Ac",da = Asom 	 d) Aco,da • v~oma = A""m • v~m 
b) Acorda . V corda = Asom . V sum e) Acorda / V ~urda = Asom / V ~m 
c) Acoma I V co,da = A.om I V.om 
R.4 	 (UF-MT) Uma corda vibrante com 15 cm de comprimento forma onda estaciona­
ria com nos separados de 5 cm . Sendo de 30 m . S-I a velocidade da onda, calcule: 
a) a freqi.iencia da vibrac;ao . 
b) as freqi.iencias ressonantes menores. 
384 
l 
R.5 	 (UF-PR) Uma onda estacionaria, de freqiiencia igual a 24 Hz, eestabelecida sobre 
uma corda vibrante fixa nos extremos. Sabendo que a freqiiencia imediatamente 
superior a esta, que pode ser estabelecida na mesma corda, ede 30 Hz, qual ea fre­
qiiencia fundamental da corda? 
R.6 	 (UF-CE) Uma corda de 30 cm de 
comprimento esta fixa em suas ex­
r---------30cm--------~1tremidades, conforme a figura ao la­
do . Calcule, em cm, 0 comprimento 
de onda do terceiro modo de vibra­ @~---~B 
~ao dessa corda. 
R.7 	 (UF-RS) Uma corda presa em ambas as extremidades oscila com urn comprimen­
to de onda de 60 cm. Os tres menores valores possfveis para 0 comprimento da cor­
da, em cm, sao: 
a) 30, 60 e 90 c) 60, 90 e 120 e) 120, 180 e 240 
b) 30,60 e 120 d) 60, 120 e 240 
R.8 	 (Fuvest-SP) Considere uma corda de violao com 50 cm de comprimento, que esta 
afinada para vibrar com uma freqiiencia fundamental de 500 Hz. 
a) Qual a velocidade de propaga~ao da onda nessa corda? 
b) Se 0 comprimento da corda for reduzido a metade, qual a nova freqiiencia do 
som emitido? 
R.9 	 (UF-ES) Ao tocar violao, 0 instrumentista muda a posi~ao dos dedos ao longo do 
bra~o do instrumento. Ao fazer esse gesto para obter diferentes notas musicais, ele 
esta modificando: 
a) a velocidade de propaga~ao do som na corda do violao. 
b) a amplitude da onda emitida . 
c) 0 comprimento da onda emitida. 
d) a for~a de tra~ao nas cordas . 
e) a velocidade de propaga~ao do som no ar. 
R.10 	(Cesesp-PE) Tres freqiiencias sucessivas de urn tubo de 6rgao aberto em ambas as 
extremidades sao as seguintes: 222 Hz, 296 Hz e 370 Hz. Determine a freqiiencia 
do harmonico fundamental. 
R.11 	(Fatec-SP) Urn tubo sonoro aberto tern comprimento £ = 34 cm e esoprado com 
ar. A velocidade de propaga~ao do som no ar e v = 340 m/s. 0 som fundamental 
emitido tern comprimento de onda A e freqiiencia f. Assinalar 0 conjunto coerente: 
a) A=17cm; f=2000Hz d) A=68cm; f=1000Hz 
b) A = 34 cm; f = 1 000 Hz e) nenhum dos anteriores 
c) A = 68 cm; f = 500 Hz 
R.12 	(UF-RS) Qual 0 maior comprimento de onda que se pode obter para ondas esta­
cionarias em urn tubo sonoro fechado de comprimento L? 
L
a) -2 b) L c)~ d) 2L e) 4L2 
R.::'3 	(PUC-SP) Urn tubo sonoro, contendo ar nas condi~6es normais de pressao e tem­
peratura, tern comprimento de 2 metros. Uma de suas extremidades e aberta e a 
385 
outra e fechada. Sendo a velocidade de propaga~ao do som 340 mis, a mfnima fre­
quencia do som emitido por esse tubo vale: 
a) 85 Hz b) 42,5 Hz c) 170 Hz d) 340 Hz e) 37,5 Hz 
R.14 	(F.C .M. Santa Casa-SP) A figura 
representa urn diapasao vibrando na 
boca de urn tubo, em cujo interior 0 
nfvel da agua vai descendo. Urn es­
tudante nota que 0 som ouvido se re­
for~a para determinados nfveis da 
agua e nao para outros. Dois nfveis 
consecutivos de refor~o do som dis­
tam 40,0 em urn do outro . Sendo de 
340 m/s a velocidade do som no ar, a 
frequencia do diapasao e, em Hz, 
igual a: 
a) 850 b) 680 c) 425 
R.15 	 (U.F . Uberlandia-MG) Urn diapa­
sao de frequencia f e colocado a vi­
brar diante de uma proveta preen­
chida totalmente com agua. Dimi­
nuindo-se 0 nfvel de agua, percebe­
se que, para a situa~ao mostrada na 
figura, pela primeira vez forma-se 
uma onda estacionaria na coluna de 
ar, fazendo-a ressoar. Calcule a ve­
locidade do som no ar. 
~. 
d) 210 e) 105 
R.16 	(U. Mackenzie-SP) Considere a velocidade do som no ar igual a 330 m/s. 0 menor 
comprimento de urn tubo sonoro (aberto ou fechado) que entra em ressonancia 
com urn diapasao de frequencia 440 Hz e de aproximadamente: 
a) 19cm b) 33 em c) 38 em d) 67 em e) 75cm 
R.17 	(PUC-SP) Sao dados dois tubos sonoros de mesmo comprimento L, sen do urn de­
les (A) aberto e outro (B) fechado numa das extremidades. 0 comprimento de onda 
do som fundamental do primeiro tubo e AA' Entao, 0 comprimento de onda AB do 
som fundamental emitido pelo tubo B seni: 
1
a) 4" AA 
386