Geometria do Cone

Matemática CONE 1 Sumá rio Introdução ............................................................................................................................... 2 Objetivo ................................................................................................................................... 2 1. O Cone .............................................................................................................................. 2 1.1. Concei to de Cone ......................................................................................................... 2 1.2. Concei to de Cone de Re volução ................................................................................... 2 1.3. Elementos d e um C one ................................................................................................ . 3 1.4. Clas sif icação do Cone ................................ ................................................................... 4 1.5. Proprie dades de um C one Reto .................................................................................... 5 1.6. Área L ateral do Cone R eto ............................................................................................ 5 1.7. Área Tota l do Cone Re to ................................................................ ............................... 7 1.8. Volume do Cone ........................................................................................................... 7 Exercícios ................................................................................................................................ . 8 Gaba rito ................................................................................................................................... 9 Resumo .................................................................................................................................. 12 2 Introduçã o Na apostila anterior con hecemos um dos poliedros convexos, a pirâmide. Corpo geométrico no qual a base é um pol íg ono convexo qualquer e faces laterais triân gulos unidos em um vértice comum. Vimos que seus elementos são d eterm inado s a partir do p olígono qu e compõem a base, ou seja, a quantidade de faces, ar estas e vértices dependerão desse polígono. Além disso, aprendemos a classi ficá -la conform e o polígono da base e a inclina ção entre sua aresta lateral e a base. Por fim, ainda aprendemos calcular suas rel ações métricas a partir de uma pirâm ide qualquer ou pirâmide regular, assi m a prendendo a identificar à área lateral, ár ea total e volume. Nesta apostila, v amos aprender como estudar as particularidades da for ma geométrica denominada: “Cone”. Objetivo • Conhecer as características e particularidades deste sól ido geométrico para aplicar em geom etria espacial. • Identificar e uti lizar as fórmulas bási cas para ca lcular a á rea e o volume em problemas e contexto da vi da real. 1. O Cone 1.1. Conceito de Cone O Cone é uma figura geométrica e spacial com o formato d e p ir âmi de, porém sua base é um círculo. 1.2. Conceito de Cone de Revolu ção O Cone de R evolução é um cone reto f ormado a partir da rota ção de um triân gulo retângulo ao ter uma rotação a partir de um dos catetos. Quando u m cone é circula r reto , ou simplesmente um co ne, este sólido geométrico é r esultado de uma rota ção completa de um tri angu lo retângu lo e m volta de um cateto. Isso quer dizer que uma linha reta girou em torno de um eixo . Por tan to o Cone é um corpo geométrico desenvolvido. Sabia que o cateto f ix o é o eixo que sustenta um cone? V ocê já ouviu f alar que a hipotenusa do trian gulo é a responsável pela superfície cônica? Sabia que o cateto é o círculo que gera a base de um con e? 3 Então v ejamos o que isso significa na imagem abaixo: 01 Rotação de um C one 1.3. Ele mentos de um Cone Os elementos de um cone são: Eixo de r otação Reta, ou seja, é o cateto no qual o triângulo faz a rotação. Altura Distância entre o vértice e o p lano da base, for ma ndo u ma ret a perpendicular entre o v értice e o plano. Geratriz Longi tude da hipotenusa do triângu lo, ou seja, linhas que unem o vértice a qualquer pon to da circunferên cia da base. Base Circunferência , o u seja, é o círculo gerado ao girar o c ateto perpendicular ao eix o. Não se modifica. Raio Raio da base. Vértice do cone Ponto que un ifica os pontos. V Fonte: Aut or, 2019 . 4 02 Elemento s de um Cone 03 Geratrize s de um Con e 1.4. Classifi c ação do C one Os cones podem ser classificados conforme a reta VO em relação à base, onde V = vértice e O = centro da circun ferência da base. Dessa form a classificamos de: Cone Oblíquo: quan do a reta é obl iqua à base, n os in dica que te m os um cone obliquo; Cone R eto: Quando a reta é perpendicu lar à base formado por um ângulo de 90º graus. 5 04 1.5. Propried ades de um C one Reto Apótema do C on e: chamam os de apó tema a ger atriz de um cone reto. 1.6. Área Lateral do Cone Reto Observando a planificação de um cone, co nforme a figura abaixo, podemos compreender m elhor como determinar sua ár ea late ra l. Planificaç ão do Con e 05 6 Podemos observa r que sua área lateral pode ser dada pela área do setor circular que é gera do a partir da circunferência da base do cone. Dessa forma temos a segu inte relação:       Sendo:   = área lateral do cone  = 3,14  = raio do cir culo da base do cone  = geratriz SAIBA MAIS! Área lateral do cone: Para identificarmos a área lateral d o cone, precisamos obse rv ar a relaç ão entre comprim ento/área do se tor circular e c omprim e nto/área da circunferênci a da base do cone. Imagine a base do cone sendo um polígono de muitos lados, tantos lados que visualmente parece uma circunfe rên cia. Sabendo que o cone é uma pirâmide de base circular e que área lateral de uma pirâmide é dada por         (   = área lateral;   = perímetro da b ase;  = apótema d a pirâm ide), podemos estabelecer a se gui nte relação:                     Observe que substituímos o p erím e tro da b ase pela medida d o arco e a apóte ma d a pirâmide pela reta geratri z do cone. P ara ficar mais claro a substituição do apótema pela geratriz, siga o mesmo rac iocí nio qu e fizemos acima par a sobre o polí gon o co m muitos l ados, ao ponto de em um momento a ge ratriz se tornar a apótema. 7 1.7. Área To tal do C one Reto A área total do cone é composta pel a soma de sua área lateral mais a área da base. Com isso, podemos estabelece r a seguinte relação:         Sendo:   = área total do cone  = 3,14  = raio do cír culo da base do cone  = geratriz SAIBA MAIS! 1.8. Volume do C one O volume do cone é determinado, assim como o volume de uma pirâmide, por um te rço d o produto d a área da base com sua altura. Com isso, p odemos estabelecer a seguin te relação:            Área total do cone: S abendo que à área total do cone é soma da área d a base (   ) com sua área l ateral, conseguim os observar as seguintes relações:          Sabendo que:               Logo:                    8 Sendo:  = volum e do cone;   = área da base;  = altura do cone. Sabendo que:        Dessa forma teremos ta mbém outra relação:              Exerc ícios 1) (Unifenas, 201 5). Dura nte o começo de 2014, uma grande reforma fo i realizada no C risto Redentor do Rio de Janeiro. Curiosam ente, f or a i nserido no alto da cabeça da estátua um objeto côni co de forma a aumentar a proteção contra raios. Considerando um cone com raio igual a 2 metros e altura 10 metros, obtenha se u volume. a) (40/6) π m 3 b) (4/3) π m 3 c) (10/6) π m 3 d) (30/7) π m 3 e) (40/3) π m 3 2) (Adaptada - UDESC, 2016). A base de u m cone reto está inscrita e m uma face de um cubo e seu vé rti ce está no c entro d a face oposta. Se o volume do cone é (2π)/3 metros cúbicos, a ár ea total do cubo (em metros qua drados) é igual a: a) 8. b) 24. c) 16. d) 20. 9 e) 4. 3) (FUVE ST, 2 006) Um cone ci rcular r eto e stá inscrito e m um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimen sões do paralelepípedo é   e o volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é a)   b)   c)   d)   e)   Gabari to 1) E Sabendo que o volum e é dado por             , e o e xer cício já f orn ece a altura com 10 m e o raio de 2 m, logo:                          

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