Aula 01-RLM-Teoria-Equivalencia-e-negacao-logica-v2

Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 1 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br Matéria: Raciocínio Lógico Professor: Alex Lira Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 2 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br SUMÁRIO EQUIVALÊNCIA LÓ GICA ...................................................................... 3 1. Concei to ....................................................................................... 3 2. Pr opriedades fundament ais de equiv alência lógica .............................. 5 3. Equi valências da Condicional ........................................................... 7 4. Equi valência da Disjunção ............................................................. 12 5. Equi valências da Bicondicional ....................................................... 15 6. Equi valência da Disjunção Ex clusiva ............................................... 19 7. Esqueceu uma das equi valências? Não se pr eocupe! ........................ 21 NEGAÇÃO LÓGICA ........................................................................... 23 1. Negação da conjunção .................................................................. 23 2. Negação da disjunção ................................................................... 27 3. Negação do condicional ................................................................ 28 4. Negação do bi condicional .............................................................. 31 LISTA DE QUESTÕE S ....................................................................... 35 Aula – Teoria – Equivalência e Negação Lógica Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 3 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br EQUIVALÊN CIA LÓGICA 1. Conceito Inicialment e faz-se necessário definir o que significa duas proposições serem logicament e equivalentes. Dizemos que dua s proposições são logicamente equival entes quando apresentam tabelas-verdade id ênticas . Conseguiu entender o concei to de equivalência lógica ? Podemos reescrevê- lo de outr a forma: Duas proposições são logicam ente equivalentes quando apresentam o mesmo valor lógico , independentemente dos valores lógicos das proposições si mples que as compõem. Na realidade, pessoal, a equivalência lógica é útil para substituir uma sentença por outra que lhe seja equ ivalente. Quando d uas proposições p e q são logicamente equi valentes, representamos a equiv alência simbolicamente como p ⇔ q . Não confunda o sí mbolo equival ência lógica ( ⇔ ) com o símbolo d a dupla implica çã o ( ↔ ). No entanto, visto que a ideia de equiv alência é muito parecida com a de igual- dade, va mos usar o símbol o “ = ” para representa r uma equiv alência. Podemos construir diversas equivalência s lógi cas, por meio da análise da ta- bela-verdad e de proposições comp ostas. Entr etanto, iremos n os concentrar no que realmente po de cair na prova do seu concurso, tomando por base as equival ências que as pri ncipais bancas têm cobrado. Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 4 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br Lembre-se: nosso foc o é fazer você pa ssar no concurso , não se tornar um expert em Raciocínio Lógi co! 1- (FCC/ TRF 4ª Regi ão/Anali sta Judiciário/201 4) Um economi sta afir mou, no telejorna l, que “se os i mpostos não s obem, entã o a receita fiscal não cresce”. Do ponto de vista da lógica, uma frase equival ente a essa é a) se a recei ta fiscal cresce, então os impostos sobem. b) se os im postos sobem, então a receita fiscal cresce. c) se a receita fiscal não cresce, entã o os impostos n ão sobem. d) ou o i mposto não sobe, ou a receita cresce. e) o imp osto sobe sempre q ue a receita fiscal aument a. RESOLUÇÃO: Sejam p e q , respectivamente, “O s impostos sobem” e “A receita fiscal cresce”. A proposi ção do enun ciado é: ~p ⟶ ~q Ora, acabamos de aprender que, para que duas proposições sejam logica- mente equivalentes, o resulta do de sua tabel a-verdade deve ser i dêntico. Daí, precisam os construir a tabela-verdade de todas as alternativas p ara comparar com a proposi ção do enunci ado. Espero que vocês estejam afiad os não só na construção de tabel as- verda de, como também no valor l ógico de cada conecti vo! Vamos t reinar?! p q ~p ~q q → p p → q ~q → ~p ~p ˅ q p ^ q ~p → ~q V V F F V V V V V V V F F V V F F F F V F V V F F V V F F F F F V V V V V V F V a) b) c) d) e) Enunciado Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 5 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br Dessa forma, como os resultados das tabelas-verdade de (q ⟶ p) e (~p ⟶ ~q) são idênticos, chegamos à conclusão de que são proposições equiva- lentes . Isto é: (q ⟶ p) = (~p ⟶ ~q ) Gabarito 1 : A. 2. Propried ades fundamentais de equivalência lógica Existem algumas propri edades que são bem básicas, mas que facilitam a re- solução de várias questões na hora da prova. Portanto, é extremamente acon- selhável que você as conheça. 2.1. P ropriedades Idempotente O termo idempotente se refere à proprieda de que algumas operações têm de poderem ser real izadas várias vezes sem que o val or do resultad o se altere após a apli cação inicial. Em out ras pala vras, operaçõe s idempotente s têm a proprieda de de poderem ser aplicadas mais de uma vez sem que o resul- tado se al tere . 1ª) p ^ p = p. André passou no concurso e And ré passou no concurso = André passou no concur so. Vamos veri ficar isso na tab ela-verdade: p p p ^ p V V V V V V F F F F F F 2ª) p ˅ p = p. José se dedica aos estudos ou Jos é se dedica aos estudos = José se dedica aos estudos. Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 6 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br Confira na tabela-verdade: p p p ˅ p V V V V V V F F F F F F 2.2. P ropriedades de absorção As propriedades a seguir têm sua origem na teoria de conjuntos . Também são bem óbv ias; porém, úteis. 1ª) p ˅ (p ^ q) = p. Confira na tabela-verdade: p q p ^ q p ˅ (p ^ q) V V V V V F F V F V F F F F F F 2ª) p ^ (p ˅ q) = p. Confira na tabela-verdade: p q p ˅ q p ^ (p ˅ q) V V V V V F V V F V V F F F F F 2.3. P ropriedades comutati vas, associa tivas e distributi vas Se afirmei que as propri edades anteriores eram óbvias, as próxima s o são ainda mais! Da í apenas relacionarei elas sem fazer observações ou compro- vações. Para facilitar seu entendimento sobre as propriedades a seguir, uma d ica é compará-l as com o que acontece com o s núm eros. P or exempl o, 1 + 4 = 4 + 1; 2 X 4 = 4 X 2. Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 7 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br 1. Propried ades comutativas : 1ª) p ^ q = q ^ p 2ª) p ˅ q = q ˅ p 3ª) p ⟷ q = q ⟷ p A propri edade co mutativa não se aplica a o conectiv o condicional . Isto é: p → q ≠ q → p 2. Propried ades associa tivas : 1ª) ( p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r) 2ª) (p ˅ q ) ˅ r = p ˅ (q ˅ r) 3. Propried ades distributiva s : 1ª) p ^ (q ˅ r) = (p ^ q) ˅ (p ^ r) 2ª) p ˅ (q ^ r) = (p ˅ q) ^ (p ˅ r) 3. Equivalênci as da Condiciona l Tenha sempre em mente que investigaremos a equi valência das proposições por meio do m étodo da comparação entre as tabelas-verdade das proposições envolvid as. E no caso do conectivo “ Se ... então ”, temos basicamente duas equival ências que são expl oradas repetid amente nas provas de concur sos. 1ª) De condi cional pa ra condicional: Se p, então q = Se não q, então não p . Simbolicam ente, temos: p ⟶ q = ~q ⟶ ~p Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. 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Pa ss o s pa r a o b te r e s ta e qu iv al ên c ia : 1º P AS SO: Trocam- se os termos da condici onal de pos ição 2º P AS SO: Negam- se ambos os termos 1º P AS SO: Nega- se o primeiro termo 2º P AS SO: Mantém- se o segundo termo 3º passo: Troca- se o conectivo condicional pelo ou Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 9 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br Para comprov ar esta equival ência, va mos compar ar as tabelas-verdade de (p ⟶ q) e de (~p ˅ q): Tabela-verda de de p ⟶ q p q p ⟶ q V V V V F F F V V F F V Tabela-verdad e de ~p ˅ q p q ~p ~p ˅ q V V F V V F F F F V V V F F V V Perceba que os resultados das duas estruturas são idênticos, o que nos leva a concluir que as proposições são eq uivalentes . Resumind o, temos: 2- (ESAF/ANAC/Técnico Administrativ o/2016) A proposição “se o voo está atrasado, então o aeroporto está fech ado para de- colagens” é l ogicamente equi valente à pr oposição: a) o voo está a trasado e o aerop orto está fecha do para decol agens. b) o voo não está atrasado e o aeroporto nã o está fechado pa ra decolagens. c) o v oo está atrasad o, se e som ente s e, o aeroporto está fechad o para deco- lagens. d) se o voo não está atrasado, então o aeropor to não está fechad o para de- colagens. e) o voo não e stá atrasad o ou o aeroporto está fechado pa ra decolagens. RESOLUÇÃO: Sejam as proposi ções sim ples: a : o voo está atrasado. b : o aeroporto está fechado p ara decolag ens. Simbolicam ente, a proposição do enun ciado é a segui nte: EQUIVALÊNCIA S DA CONDICIONAL p ⟶ q = ~q ⟶ ~p p ⟶ q = ~p ˅ q Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì Matéria: Raciocínio Lógico Teoria e questões comentadas Prof. Alex Lira Página 10 de 41 Professor Alex Lira www. exponencialconcursos.com.br a ⟶ b Ou seja, estam os diante d e uma proposi ção composta un ida com o conecti vo “ Se... então ”. Nesse sentido, a questão quer saber qual das alternativa s con- tém uma proposição composta equivalente à descr ita acima. Bem, o conectivo condicional p ossui duas equi valências especiais: Nesse sent ido, vamos colocar a proposição composta do enunciado no s mol- des de cada uma das equi valências: 1) se o aeroporto não está fechado para decol agens, então o voo não está atrasado ; 2) o voo não está atrasado ou o aerop orto está fechado para decola- gens . Pronto, agora devemos verifi car em qual das alternativas disponíveis está pre- sente uma das sentenças acima. Conseguir achar, caro aluno? Is so mesmo, na alternativa E encontramos exatamente a segunda equivalência que o co- nectivo cond icional possui! Gabarito 2 : E. 3- (FCC/SEFAZ-SP/Agente Fiscal de Rendas/2006) Das proposições a baixo, a úni ca que é logicamente equi valente a é a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: A proposição do enunciado é a seguinte: p ⟶ q EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL p ⟶ q = ~q ⟶ ~p p ⟶ q = ~p ˅ q Direitos autorais reservados (Lei 9610/98). Proibida a reprodução, venda ou compartilhamento deste arquivo. Uso individual. `Ìi`ÊÜÌÊÌ i Ê ` i  Ê Ûi À ÃÊv Ê  v Ý Ê *À  Ê *  Ê`  ÌÀ Ê / ÊÀiÛi Ê Ì ÃÊ  ÌVi ]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ° Vi °V  ÉÕ  V°Ì

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