Intervalos de confiança

5. Intervalos de conﬁanc ¸a Dada uma va ri ´ avel aleat ´ oria X e um seu pa r ˆ ametro θ , frequente- mente interessa-nos n ˜ ao s ´ o encontra r uma estimativa desse valo r mas tamb ´ em uma medida de erro. P a ra tal, em vez de se determi- na r uma estimativa p ontual, constr ´ oi-se um intervalo aleat ´ orio ] a , b [ onde os limites a e b dep endem da estimativa p ontual do pa r ˆ ametro e tal que P ( θ ∈ ] a , b [) = P ( a b )=1 − α, pa ra uma p robabilidade 1 − α , designada de grau de conﬁan¸ ca . Dizemos neste caso que o intervalo ] a , b [ ´ e um intervalo de con- ﬁan¸ ca (aleat ´ orio) a (1 − α )100% pa ra o pa r ˆ ametro θ . O valo r α ´ e o n ´ ıvel de signiﬁcˆ ancia que corresponde ` a p robabilidade de erro do intervalo de conﬁanc ¸a, ou seja, P ( θ 6∈ ] a , b [). ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 1 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ P opula¸ c˜ ao normal com va riˆ ancia conhecida Comec ¸amos p o r construir um intervalo de conﬁanc ¸a a (1 − α )100% pa ra a m ´ edia µ de uma p opulac ¸ ˜ ao descrita p o r X ∼ N ( µ, σ 2 ), a pa rtir de uma amostra de tamanho n . Sab emos que Z = X − µ σ / √ n ∼ N (0 , 1) p elo que, P ( | Z | z 1 − α/ 2 )=1 − α ⇔ P      X − µ σ / √ n      z 1 − α/ 2 ! = 1 − α ⇔ P  | X − µ | z 1 − α/ 2 σ √ n  = 1 − α. ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 2 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ P opula¸ c˜ ao normal com va riˆ ancia conhecida A igualdade P  | X − µ | z 1 − α/ 2 σ √ n  = 1 − α signiﬁca que a p robabilidade de que o erro da estimativa X seja inferio r a z 1 − α/ 2 σ √ n ´ e 1 − α . Daqui deco rre tamb ´ em que P  µ ∈  X − z 1 − α/ 2 σ √ n , X + z 1 − α/ 2 σ √ n  = 1 − α, ﬁcando assim encontrado um intervalo de conﬁanc ¸a a (1 − α )100% pa ra a m ´ edia µ , isto ´ e, a p robabilidade deste intervalo aleat ´ orio conter µ ´ e 1 − α . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 3 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ P opula¸ c˜ ao normal com va riˆ ancia conhecida P o r outras palavras, se retira rmos amostras rep etidas de tamanho n da mesma p opulac ¸ ˜ ao e pa ra cada delas substituirmos X p ela esti- mativa x , obtendo um intervalo de conﬁan¸ ca (determin ´ ıstico) IC (1 − α ) × 100% ( µ ) =  x − z 1 − α/ 2 σ √ n , x + z 1 − α/ 2 σ √ n  , esp era-se que (1 − α ) × 100% destes intervalos contenham o valo r da m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ . A pa rtir do momento em que substituimos a va ri ´ avel aleat ´ oria pelo seu valo r observado, passamos a estar no campo determinista e deixa de fazer sentido fala r de p robabilidade (a menos que se diga que a p robabilidade de µ esta r naquele intervalo ´ e 1 ou 0, consoante est ´ a ou n ˜ ao est ´ a). ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 4 / 20 5.1. Exemplo 1 Exemplo 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral segue uma distribuic ¸ ˜ ao no rmal com um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. Estudou-se um grup o de 25 p essoas pa ra as quais o peso m ´ edio foi de 74 Kg. Determine um intervalo de conﬁanc ¸a a 95% pa ra µ . T em-se que σ √ n = 10 √ 25 = 2 e z 0 . 975 = 1 . 96 p elo que 74 ± 1 . 96 × 2 s ˜ ao os limites de um IC a 95% pa ra µ . Assim, IC 95% ( µ ) =]70 . 08 , 77 . 92[ . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 5 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ P opula¸ c˜ ao normal com va riˆ ancia desconhecida Como desconhecemos o valo r σ 2 da va ri ˆ ancia da p opulac ¸ ˜ ao, temos de usa r S 2 pa ra o estima r. Sab emos que, Z = X − µ σ / √ n ∼ N (0 , 1) e ( n − 1) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1) . Como a p opulac ¸ ˜ ao tem distribuic ¸ ˜ ao normal, ´ e conhecido que Z e S 2 s ˜ ao indep endentes. Assim, T = X − µ S / √ n = X − µ σ / √ n q ( n − 1) S 2 /σ 2 n − 1 ∼ t ( n − 1) . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 6 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ P opula¸ c˜ ao normal com va riˆ ancia desconhecida Como a distribuic ¸ ˜ ao t ( n − 1) ´ e sim ´ etrica temos P ( | T | t 1 − α/ 2 ( n − 1)) = 1 − α ⇔ P      X − µ S / √ n      t 1 − α/ 2 ( n − 1) ! = 1 − α ⇔ P  | X − µ | t 1 − α/ 2 ( n − 1) S √ n  = 1 − α. O intervalo de conﬁanc ¸a a (1 − α ) × 100% pa ra µ ´ e ent ˜ ao IC (1 − α ) × 100% ( µ ) =  X − t 1 − α/ 2 ( n − 1) S √ n , X + t 1 − α/ 2 ( n − 1) S √ n  . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 7 / 20 5.1. Exemplo 2 Exemplo 2 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral segue uma distribuic ¸ ˜ ao no rmal. Estudou-se um grup o de 25 p essoas pa ra as quais o p eso m ´ edio foi de 73 Kg e o desvio padr ˜ ao foi de 15 kg. Determine um intervalo de conﬁanc ¸a a 95% pa ra µ . T em-se que S √ n = 15 √ 25 = 3 e t 0 . 975 (24) = 2 . 0639 p elo que 73 ± 2 . 0639 × 3 s ˜ ao os limites de um IC a 95% pa ra µ . Assim, IC 95% ( µ ) =]66 . 81 , 79 . 19[ . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 8 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ Amostras grandes ( n ≥ 30 ) com va riˆ ancia conhecida Quando temos uma amostra grande o teo rema do limite central p ermite ap ro xima r a distribuic ¸ ˜ ao da m ´ edia amostral p ela distribuic ¸ ˜ ao no rmal. Como tal, a vari ´ avel fulcral ´ e ap ro ximada p ela distribuic ¸ ˜ ao no rmal reduzida, isto ´ e, Z = X − µ σ / √ n a ∼ N (0 , 1) . P o demos ent ˜ ao rep etir o racio c ´ ınio usado no caso da p opulac ¸ ˜ ao no rmal e obter como intervalo de conﬁanc ¸a pa ra µ IC (1 − α ) × 100% ( µ ) =  X − z 1 − α/ 2 σ √ n , X + z 1 − α/ 2 σ √ n  . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 9 / 20 5.1. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao µ Amostras grandes ( n ≥ 30 ) com va riˆ ancia desconhecida No caso de a amostra ser grande e a va ri ˆ ancia ser desconhecida, tal como no caso da va ri ˆ ancia ser conhecida, Z = X − µ σ / √ n a ∼ N (0 , 1) . Dado que a va ri ˆ ancia σ 2 ´ e desconhecida mas a amostra ´ e grande, ent ˜ ao σ ≈ S e p o demos fazer a substituic ¸ ˜ ao de σ p o r S na express ˜ ao anterio r, obtendo Z = X − µ S / √ n a ∼ N (0 , 1) . Assim, IC (1 − α ) × 100% ( µ ) =  X − z 1 − α/ 2 S √ n , X + z 1 − α/ 2 S √ n  . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 10 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 P opula¸ c˜ oes normais independentes (vari ˆ ancias conhecidas) Consideramos duas va ri ´ aveis aleat ´ orias X 1 e X 2 indep endentes repre- sentando duas p opulac ¸ ˜ oes no rmais. Assumindo que X 1 ∼ N ( µ 1 , σ 2 1 ) e X 2 ∼ N ( µ 2 , σ 2 2 ), a pa rtir de amostras aleat ´ orias de tamanho n 1 e n 2 resp etivamente, sab emos que X 1 ∼ N µ 1 , σ 2 1 n 1 ! e X 2 ∼ N µ 2 , σ 2 2 n 2 ! . Logo, X 1 − X 2 ∼ N µ 1 − µ 2 , σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 ! , ou seja, ( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) r σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N (0 , 1) . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 11 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 P opula¸ c˜ oes normais independentes (vari ˆ ancias conhecidas) T al como nos casos anterio res p o demos construir um intervalo de conﬁanc ¸a a pa rtir desta va ri ´ avel fulcral, obtendo IC (1 − α ) × 100% ( µ ) = i X 1 − X 2 − z 1 − α/ 2 σ ∗ , X 1 − X 2 + z 1 − α/ 2 σ ∗ h , onde σ ∗ = s σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 12 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 P opula¸ c˜ oes normais independentes (vari ˆ ancias desconhecidas) Consideramos duas va ri ´ aveis aleat ´ orias X 1 e X 2 indep endentes repre- sentando duas p opulac ¸ ˜ oes no rmais. Assumindo que X 1 ∼ N ( µ 1 , σ 2 1 ) e X 2 ∼ N ( µ 2 , σ 2 2 ), a pa rtir de amostras aleat ´ orias de tamanho n 1 e n 2 resp etivamente, sab emos que X 1 − µ 1 S 1 / √ n 1 ∼ t ( n 1 − 1) e X 2 − µ 2 S 2 / √ n 2 ∼ t ( n 2 − 1) , onde S 1 e S 2 s ˜ ao os resp etivos desvios padr ˜ ao amostrais. ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 13 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 P opula¸ c˜ oes normais independentes (vari ˆ ancias desconhecidas) P a ra determina r a distribuic ¸ ˜ ao da va ri ´ avel fulcral ( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) r S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 ´ e habitual usa r-se a ap ro ximac ¸ ˜ ao de W elch-Satterw aite ( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) r S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 ≈ t ( ν ) , onde, ν ´ e estimado p o r ˜ ν =  S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2  2 1 n 1 − 1  S 2 1 n 1  2 + 1 n 2 − 1  S 2 2 n 2  2 . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 14 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 P opula¸ c˜ oes normais independentes (vari ˆ ancias desconhecidas) P o demos ent ˜ ao construir um intervalo de conﬁanc ¸a, obtendo IC (1 − α ) × 100% ( µ ) = i X 1 − X 2 − t 1 − α/ 2 ( ˜ ν ) S ∗ , X 1 − X 2 + t 1 − α/ 2 ( ˜ ν ) S ∗ h , onde S ∗ = s S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 15 / 20 5.2. IC pa ra diferenc ¸a de m ´ edias µ 1 − µ 2 Amostras grandes ( n 1 , n 2 ≥ 30 ) (va riˆ ancias desconhecidas) Considerando duas va ri ´ aveis aleat ´ orias X 1 e X 2 indep endentes, neste caso utiliza-se a va ri ´ avel fulcral ( X 1 − X 2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) r S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 a ∼ N (0 , 1) , sendo o resp etivo intervalo de conﬁanc ¸a IC (1 − α ) × 100% ( µ 1 − µ 2 ) = i X 1 − X 2 − z 1 − α/ 2 S ∗ , X 1 − X 2 + z 1 − α/ 2 S ∗ h , onde S ∗ = s S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 16 / 20 5.3. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a vari ˆ ancia σ 2 P opula¸ c˜ ao normal Condic ¸ ˜ oes de aplicabilidade: X ∼ N ( µ, σ 2 ) V a ri ´ avel fulcral: ( n − 1) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1) IC (1 − α ) × 100% ( σ 2 ) : # ( n − 1) S 2 χ 2 1 − α/ 2 ( n − 1) , ( n − 1) S 2 χ 2 α/ 2 ( n − 1) " ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 17 / 20 5.4. IC pa ra a raz ˜ ao de va ri ˆ ancias σ 2 2 /σ 2 1 P opula¸ c˜ oes normais Condic ¸ ˜ oes de aplicabilidade: X 1 ∼ N ( µ 1 , σ 2 1 ), X 2 ∼ N ( µ 2 , σ 2 2 ) V a ri ´ avel fulcral: S 2 1 σ 2 2 S 2 2 σ 2 1 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1) IC (1 − α ) × 100% ( σ 2 2 /σ 2 1 ) : # S 2 2 S 2 1 F α/ 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1) , S 2 2 S 2 1 F 1 − α/ 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1) " ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 18 / 20 5.5. Intervalo de conﬁanc ¸a pa ra a proporc ¸ ˜ ao p Condic ¸ ˜ oes de aplicabilidade: n ≥ 30 e n p (1 − p ) > 5 V a ri ´ avel fulcral: ˆ p a ∼ N  p , p (1 − p ) n  IC (1 − α ) × 100% ( p ) :   p − s p (1 − p ) n z 1 − α/ 2 , p + s p (1 − p ) n z 1 − α/ 2   ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 19 / 20 5.6. IC pa ra a diferenc ¸a de proporc ¸ ˜ oes p 1 − p 2 Condic ¸ ˜ oes de aplicabilidade: n 1 , n 2 ≥ 30, n 1 p 1 (1 − p 1 ) > 5, n 2 p 2 (1 − p 2 ) > 5 V a ri ´ avel fulcral: ˆ p 1 − ˆ p 2 a ∼ N  p 1 − p 2 , p 1 (1 − p 1 ) n 1 + p 2 (1 − p 2 ) n 2  IC (1 − α ) × 100% ( p 1 − p 2 ) : i p 1 − p 2 − p ∗ z 1 − α/ 2 , p 1 − p 2 + p ∗ z 1 − α/ 2 h onde p ∗ = q p 1 (1 − p 1 ) n 1 + p 2 (1 − p 2 ) n 2 . ´ Oscar F elgueiras 5. Intervalos de conﬁanc ¸a 20 / 20

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