Intervalos de confiança
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Intervalos de confiança


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5. Intervalos de confianc¸a
Dada uma vari´
avel aleat´
oria Xe um seu parˆ
ametro θ, frequente-
mente interessa-nos n
˜
ao s´
o encontrar uma estimativa desse valor
mas tamb
´
em uma medida de erro. Para tal, em vez de se determi-
nar uma estimativa p ontual, constr´
oi-se um intervalo aleat´
orio ]a,b[
onde os limites aebdep endem da estimativa p ontual do parˆ
ametro
e tal que
P(θ]a,b[) = P(a< θ < b)=1α,
para uma probabilidade 1 α, designada de grau de confian¸ca.
Dizemos neste caso que o intervalo ]a,b[´
e um intervalo de con-
fian¸ca (aleat´
orio) a (1 α)100% para o par
ˆ
ametro θ.
O valor α´
e o n´ıvel de significˆancia que corresponde `
a probabilidade
de erro do intervalo de confianc¸a, ou seja, P(θ6∈]a,b[).
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 1 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Popula¸ao normal com variˆancia conhecida
Comec¸amos p or construir um intervalo de confianc¸a a (1 α)100%
para a m
´
edia µde uma p opulac¸˜
ao descrita p or XN(µ, σ 2), a
partir de uma amostra de tamanho n.
Sab emos que
Z=Xµ
σ /nN(0,1)
p elo que,
P(|Z|<z1α/2)=1α
P
Xµ
σ /n
<z1α/2!= 1 α
P|Xµ|<z1α/2
σ
n= 1 α.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 2 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Popula¸ao normal com variˆancia conhecida
A igualdade
P|Xµ|<z1α/2
σ
n= 1 α
significa que a probabilidade de que o erro da estimativa Xseja
inferior a z1α/2σ
n´
e 1 α. Daqui decorre tamb
´
em que
PµXz1α/2
σ
n,X+z1α/2
σ
n = 1 α,
ficando assim encontrado um intervalo de confianc¸a a (1 α)100%
para a m
´
edia µ, isto ´
e, a probabilidade deste intervalo aleat´
orio
conter µ´
e 1 α.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 3 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Popula¸ao normal com variˆancia conhecida
Por outras palavras, se retirarmos amostras rep etidas de tamanho n
da mesma p opulac¸˜
ao e para cada delas substituirmos Xp ela esti-
mativa x, obtendo um intervalo de confian¸ca (determin
´
ıstico)
IC(1α)×100% (µ) = xz1α/2
σ
n,x+z1α/2
σ
n,
esp era-se que (1 α)×100% destes intervalos contenham o valor
da m
´
edia da p opulac¸˜
ao µ.
A partir do momento em que substituimos a vari
´
avel aleat´
oria pelo
seu valor observado, passamos a estar no campo determinista e deixa
de fazer sentido falar de probabilidade (a menos que se diga que a
probabilidade de µestar naquele intervalo ´
e 1 ou 0, consoante est
´
a
ou n˜
ao est´
a).
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 4 / 20
5.1. Exemplo 1
Exemplo 1
Sup onha que numa dada p opulac¸
˜
ao o p eso corp oral segue uma
distribuic¸˜
ao normal com um desvio padr˜
ao de 10 Kg. Estudou-se
um grup o de 25 p essoas para as quais o peso m
´
edio foi de 74 Kg.
Determine um intervalo de confianc¸a a 95% para µ.
Tem-se que
σ
n=10
25 = 2 e z0.975 = 1.96
p elo que 74 ±1.96 ×2 s
˜
ao os limites de um IC a 95% para µ. Assim,
IC95% (µ) =]70.08,77.92[.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 5 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Popula¸ao normal com variˆancia desconhecida
Como desconhecemos o valor σ2da variˆ
ancia da p opulac¸
˜
ao, temos
de usar S2para o estimar. Sab emos que,
Z=Xµ
σ /nN(0,1) e (n1) S2
σ2χ2(n1).
Como a p opulac¸
˜
ao tem distribuic¸
˜
ao normal, ´
e conhecido que ZeS2
s˜
ao indep endentes. Assim,
T=Xµ
S/n=
Xµ
σ /n
q(n1)S22
n1t(n1).
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 6 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Popula¸ao normal com variˆancia desconhecida
Como a distribuic¸˜
ao t(n1) ´
e sim
´
etrica temos
P(|T|<t1α/2(n1)) = 1 α
P
Xµ
S/n
<t1α/2(n1)!= 1 α
P|Xµ|<t1α/2(n1) S
n= 1 α.
O intervalo de confianc¸a a (1 α)×100% para µ´
e ent˜
ao
IC(1α)×100% (µ) = Xt1α/2(n1) S
n,X+t1α/2(n1) S
n.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 7 / 20
5.1. Exemplo 2
Exemplo 2
Sup onha que numa dada p opulac¸
˜
ao o p eso corp oral segue uma
distribuic¸˜
ao normal. Estudou-se um grup o de 25 p essoas para as
quais o p eso m
´
edio foi de 73 Kg e o desvio padr˜
ao foi de 15 kg.
Determine um intervalo de confianc¸a a 95% para µ.
Tem-se que
S
n=15
25 = 3 e t0.975 (24) = 2.0639
p elo que 73 ±2.0639 ×3 s˜
ao os limites de um IC a 95% para µ.
Assim,
IC95% (µ) =]66.81,79.19[.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 8 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Amostras grandes (n30)com variˆancia conhecida
Quando temos uma amostra grande o teorema do limite central
p ermite aproximar a distribuic¸˜
ao da m
´
edia amostral p ela distribuic¸˜
ao
normal. Como tal, a vari´
avel fulcral ´
e aproximada p ela distribuic¸˜
ao
normal reduzida, isto ´
e,
Z=Xµ
σ /n
a
N(0,1).
Po demos ent˜
ao rep etir o racio c
´
ınio usado no caso da p opulac¸˜
ao
normal e obter como intervalo de confianc¸a para µ
IC(1α)×100% (µ) = Xz1α/2
σ
n,X+z1α/2
σ
n.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 9 / 20
5.1. Intervalo de confianc¸a para a m
´
edia da p opulac¸
˜
ao µ
Amostras grandes (n30)com variˆancia desconhecida
No caso de a amostra ser grande e a variˆ
ancia ser desconhecida, tal
como no caso da vari
ˆ
ancia ser conhecida,
Z=Xµ
σ /n
a
N(0,1).
Dado que a variˆ
ancia σ2´
e desconhecida mas a amostra ´
e grande,
ent˜
ao σSe p o demos fazer a substituic¸˜
ao de σp or Sna express
˜
ao
anterior, obtendo
Z=Xµ
S/n
a
N(0,1).
Assim,
IC(1α)×100% (µ) = Xz1α/2
S
n,X+z1α/2
S
n.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 10 / 20
5.2. IC para diferenc¸a de m
´
edias µ1µ2
Popula¸oes normais independentes (variˆancias conhecidas)
Consideramos duas vari
´
aveis aleat´
orias X1eX2indep endentes repre-
sentando duas p opulac¸˜
oes normais. Assumindo que X1N(µ1, σ 2
1)
eX2N(µ2, σ 2
2), a partir de amostras aleat´
orias de tamanho n1e
n2resp etivamente, sab emos que
X1N µ1,σ2
1
n1!eX2N µ2,σ2
2
n2!.
Logo,
X1X2N µ1µ2,σ2
1
n1
+σ2
2
n2!,
ou seja,
(X1X2)(µ1µ2)
rσ2
1
n1+σ2
2
n2
N(0,1).
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 11 / 20
5.2. IC para diferenc¸a de m
´
edias µ1µ2
Popula¸oes normais independentes (variˆancias conhecidas)
Tal como nos casos anteriores p o demos construir um intervalo de
confianc¸a a partir desta vari´
avel fulcral, obtendo
IC(1α)×100% (µ) = iX1X2z1α/2σ,X1X2+z1α/2σh,
onde σ=sσ2
1
n1
+σ2
2
n2
.
´
Oscar Felgueiras 5. Intervalos de confianc¸a 12 / 20