Calculo 1 - Fabio_Henrique_de_Carvalho

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Fábio Henrique de Carvalho
Cálculo Diferencial e Integral
Volume I
Fábio Henrique de Carvalho
1º Edição
JUAZEIRO - BA
UNIVASF
2018
Copyright © 2018
Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco (UNIVASF)
www.pemd.univasf.edu.br
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PEMD - Programa de Elaboração de Materiais Didáticos.
Revisão: Alison Marcelo Van Der Laan Melo, Carlos Antônio Freitas da Silva, Lino Marcos da Silva,
Sergio Floquet Sales.
Editoração Eletrônica: Pedro Henrique Araújo Sobral, Thiago Bonfim, Danillo Emanuel, Eldon Costa,
Sudário Alves Batista, Túlio Nunes Bnonviccini de Souza e Daniel Simião Nunes Oliveira.
Capa: Alison Marcelo Van Der Laan Melo, Sudário Alves Batista.
Ilustrações: Sudário Alves Batista.
Este livro foi produzido com LaTeX2e, versão 2016/02/01.
Primeira impressão, maio de 2018.
Carvalho, Fábio Henrique de.
C331c Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1 / Fábio Henrique de
Carvalho; [ilustração Sudário Alves Batista e Alison Marcelo Van
Der Laan Melo. - - Juazeiro: UNIVASF, 2018.
222 p : il. 16cm.
ISBN: 978-85-5322-006-9
e-ISBN: 978-85-5322-007-6
1. Cálculo. I. Título. II. Batista, Sudário Alves. III. Melo, Alison
Marcelo Van Der Laan Melo.
CDD 515
Sumário
0 Números e Funções 1
0.1 Noções da Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.5 Função Constante, Função Afim e Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.7 Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.9 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
0.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1 O Limite de uma Função 41
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7 Propriedades Operatórias dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.9 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.11 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.13 O Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.15 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.17 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 Derivada 92
2.1 A derivada de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3 A Função Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5 Consequências da Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
iii
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.7 A Regra de L’Hôpital e o Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.9 O Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.11 Máximos e Mínimos de uma função, Modelagem, Otimização e Taxas Relacionadas . . . . 139
2.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3 Integração 149
3.1 Introdução: Antiderivada de uma função e a Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.3 Partição de Intervalos e Área sob uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.5 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.7 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.10 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.12 Substituições Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.14 Decomposição em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Índice Remissivo 210
Referências Bibliográficas 212
0
Números e Funções
0.1 Noções da Teoria de Conjuntos
Uma coleção de elementos é chamada conjunto e, geralmente é, representada por uma letra maiúscula do
alfabeto, A,B,C, . . ., a não ser que a natureza da coleção (ou o capricho do autor) exija outra notação.
Assim temos, por exemplo, o:
(1) Conjunto de todos os triângulos no plano,
(2) Conjunto de todas as letras do alfabeto,
(3) Conjunto de todas as consoantes,
(4) Conjunto de todas as vogais.
Cada objeto dacoleção é chamado elemento do conjunto. Assim, se denotamos por T ,L,C e V os
conjuntos descritos em (1), (2), (3) e (4), respectivamente, podemos afirmar que:
(1) C é elemento de T;
(2) z, f, h, o, n, são elementos de L;
(3) m, r, s, f, são elementos de C; e
(4) i, a, o, u, e são (todos) os elementos de V.
Dado um objeto qualquer e uma coleção arbitrária, somente uma das duas afirmações pode ser consi-
derada verdadeira:
ou o objeto está na coleção ou não está na coleção. Caso o objeto ? esteja na coleção M, diremos que ?
pertence a M, e denotaremos ? ∈M, caso contrário, diremos que ? não pertence a M, e denotamos ? /∈M.
É aceitável fazer a representação do conjunto (se possível) com seus elementos de uma das três formas
1) Através de um diagrama;
2) Enumerando os elementos de maneira aleatória, entre chaves;
3) Escolhendo um representante arbitrário e atribuindo a ele uma propriedade geral que seja verdadeira
para todos e apenas para os elementos do conjunto.
1
2 0. Números e Funções
Assim,
a i
e
o
u
, {a,o, e,u, i} e V = {?; ? é vogal}
Figura 0.1.1
são três representações possíveis para o conjunto das vogais do nosso alfabeto. No último caso,
{?; ? é vogal} (lê-se: “? tal que ? é vogal”) é uma sentença que é verdadeira apenas para a, e, i,o e u.
Por outro lado, como a tarefa de enumerar todos os triângulos do plano é impossível de ser concluída, a
notação T = {x; x é um triângulo} é providencial.
Podemos destacar ainda outros aspectos de certos conjuntos, alguns dos quais serão utilizados no
decorrer deste texto, como a seguir.
Exemplo 0.1.1
Considere E o conjunto de todas as editoras e M o conjunto de todas as editoras que publicam
livros sobre matemática. É evidente que é possível listar todos os elementos de M, mas a lista correria
o risco (por desconhecimento) de ser incompleta. Note que todo elemento de M é também elemento
de E.
Quando todo elemento de um conjunto X é também elemento de um segundo conjunto Y, dizemos
que X é subconjunto de Y, ou ainda, que X está contido em Y. Neste caso, denotamos X ⊂ Y. É comum
também afirmar que Y contém X e denotar Y ⊃ X. Observe que a notação é a mesma lida no outro sentido.
Dois conjuntos são iguais quando o primeiro está contido e, ao mesmo tempo, contém o segundo; isto é,
X = Y se, e somente se, X ⊂ Y e X ⊃ Y.
Exemplo 0.1.2
Do Exemplo 0.1.1 é imediato que M ⊂ E. Se voltamos aos conjuntos
L = {∗; ∗ é letra do nosso alfabeto}
V = {?; ? é vogal do nosso alfabeto} e
C = {ϕ; ϕ é consoante do nosso alfabeto}, temos C ⊂ L e V ⊂ L.
Se X é um conjunto com um número finito de elementos, ou seja, um conjunto finito, a cardinalidade
de X, que denotaremos por #X, é o número de elementos de X.
Um conjunto que não possui elemento algum é chamado conjunto vazio e denotado por ∅. Por não
existir elemento em ∅ que não esteja em um conjunto arbitrário X temos que ∅ ⊂ X, para todo conjunto
X ou, simbolicamente, ∅ ⊂ X, para todo X. Por definição, #∅ = 0.
0.1. Noções da Teoria de Conjuntos 3
Exemplo 0.1.3
O conjunto dos números naturais, simbolizado por N, agrupa todos os números que podem repre-
sentar a cardinalidade de conjuntos não vazios.
Assim,
N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }.
São subconjuntos de N:
• O conjunto dos números naturais pares
{2, 4, 6, 8, · · · }.
• O conjunto dos números naturais ímpares
{1, 3, 5, 7, 9, · · · }.
• O conjunto dos números naturais p, diferentes de 1, tais que p só tem dois divisores naturais (1
e p), chamado conjunto dos números primos
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, · · · }.
Podemos também chamar um número natural de inteiro positivo, em consonância com o exemplo
seguinte.
Exemplo 0.1.4
O conjunto dos números inteiros, simbolizado por Z, é formado pelos naturais, por seus opostos
aditivos e pelo 0. Isto é,
Z = {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Dados dois conjuntos X e Y podemos ainda definir sua união, interseção e diferença como segue:
(i) a união entre X e Y é o conjunto
X ∪ Y = {a;a ∈ X ou a ∈ Y}.
Ou seja X ∪ Y, é o conjunto de todos os elementos que pertençam a algum ou ambos os conjuntos.
(ii) a interseção entre X e Y é o conjunto
X ∩ Y = {a;a ∈ X e a ∈ Y}.
Assim, X ∩ Y é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos os conjuntos X e Y,
simultaneamente.
(iii) a diferença entre X e Y é o conjunto
X \ Y = {a;a ∈ X e a /∈ Y}.
Por outro lado, Y \ X = {a;a ∈ Y e a /∈ X}.
4 0. Números e Funções
X\Y Y\X
X ∩ Y
X Y
Figura 0.1.2
Quando Y ⊂ X, X \ Y é o complementar de Y em X.
É fácil observar que:
1) X ∪ Y = (X \ Y) ∪ (X ∩ Y) ∪ (Y \ X);
2) (X \ Y) ∩ (X ∩ Y) = ∅, (X \ Y) ∩ (Y \ X) = ∅ e (X ∩ Y) ∩ (Y \ X) = ∅;
3) X \ Y = X \ (X ∩ Y) e Y \ X = Y \ (X ∩ Y)
A justificativa fica como exercício (ver Exercício 0.2.7)
Exemplo 0.1.5
Numa pesquisa encomendada a respeito da qualidade de dois canais de TV, 1 e 2, 60% dos en-
trevistados afirmaram que o canal 1 é ruim e 65% que o canal 2 é ruim. Se 25% dos entrevistados
afirmaram que nenhum dos canais é ruim, e sabendo que para 50% dos entrevistados ambos os canais
são ruins, que fração dos entrevistados considerou o canal 1 bom?
Resolução:
Começando das interseções nos diagramas abaixo:
O canal é:
BOM
15% 25% 10%
1 2
50%
RUIM
10% 50% 15%
1 2
25%
Figura 0.1.3
Portanto 20% dos entrevistados consideraram bom o canal 1.
Dois conjuntos A e B tais que A ∩ B = ∅ são ditos disjuntos.
Sejam A e B conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares
ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B, e será denotado por A× B.
A× B = {(a,b);a ∈ A e b ∈ B}
Observe que:
1) Em geral, A× B 6= B×A;
2) Se A e B são finitos, #(A× B) = (#A) · (#B) (Justifique)
Exemplo 0.1.6
0.1. Noções da Teoria de Conjuntos 5
Considere A = {e,a,o} e B = {i,u,m}, então
A× B = {(e, i), (e,u), (e,m), (a, i), (a,u), (a,m), (o, i), (o,u), (o,m)}.
Caso tenhamos três conjuntos não-vazios A, B, e C, o produto cartesiano entre os três é,
A× B× C = {(a,b, c);a ∈ A,b ∈ B e c ∈ C}.
Mais geralmente, se A1,A2, · · · ,Ak são conjuntos vazios,
A1 ×A2 × · · · ×Ak = {(a1,a2, · · · ,ak);aj ∈ Aj com 1 6 j 6 k}.
Uma relação entre dois conjuntos A e B (nessa ordem) é qualquer subconjunto de A × B. Para
A = {e,a,o} e B = {i,u,m} do Exemplo 0.1.6
R1 = {(e, i)},
R2 = {(e, i), (a,u), (a,m)},
R3 = {(e,u), (a,u), (o,u)}, e
R4 = {(e, i), (e,m), (a, i), (o,m)}
são exemplos de relações entre A e B.
Um caso especial de relação entre A e B é o da função de A em B. Uma relação de A em B na qual
todo elemento a ∈ A está relacionado a um, e somente um, elemento de b ∈ B é chamada função de A
em B.
Exemplo 0.1.7
Para os conjuntos A = {e,a,o} e B = {i,u,m}, do Exemplo 0.1.6, são funções de A em B
R3 = {(e,u), (a,u), (o,u)}
R5 = {(e,m), (a, i), (o,m)}
R6 = {(e, i), (a, i), (o,u)}
R7 = {(e,m), (a,m), (o,m)}
Por outro lado, não são funções de A em B as relações R1,R2 e R4, definidas no Exemplo 0.1.6. De
fato, em R1 não há elemento algum de B relacionado a a ou o; em R2, a está relacionado tanto a u
quanto a m em B; já em R4, a dupla associação ocorre em com o elemento e ∈ A .
Em geral, quando a relação f é uma função de A em B denotamos
f : A −→ B
a 7−→ b = f(a)
Lê-se: f é uma função de A em B que a cada a ∈ A relaciona b = f(a).
O conjunto A é chamado domínio e B é o contradomínio de f. A igualdade b = f(a) representa que o
elemento b ∈ B é imagem de a por f, que é como leremos o símbolo f(a). Se D é um subconjunto de A,
f(D) é a imagem de D por f; já f(A) é chamado apenas de conjunto imagem da função f. Representaremos
por Domf e Imf, respectivamente, o domínio e a imagem da função f.
Observe que, se D ⊂ A, f(D) = { y ∈ B; y = f(x), com x ∈ D } ⊂ B.
6 0. Números e Funções
Exemplo 0.1.8
Considere A = B = N. Se a cada número natural n, associamos o seu dobro 2n, temos uma função
f : N −→N
n 7−→ f(n) = 2n
De fato, para cada natural n, 2n é um número natural unicamente definido por n; isto é,
2n1 = 2n2 se, e somente se, n1 = n2. De modo equivalente, n 6= m se, e somente se, f(n) 6= f(m).
Serão utilizados, com frequência, os símbolos⇒ e⇔, quando convenientes, para denotar implicações e
equivalências. Assim, quando a validade de uma sentença P acarreta a validade de uma segunda sentença
Q dizemos que P implica Q ou que a condição Q é necessária para P e denotamos P ⇒ Q. É comum
ainda escrever “se P então Q” e que a condição P é suficiente para Q. Quando P implica Q e Q implica
P, isto é, P ⇒ Q e Q⇒ P, dizemos que a condição P é necessária e suficiente para a validade da condição
Q e escrevemos P ⇔ Q. Também é comum escrever “P se, e somente se, Q”.
Também são comuns os termos aplicação de A em B ou correspondência de A em B para denominar
uma função f : A −→ B.
Se f : A1 −→ B1 e g : A2 −→ B2 são duas funções, escrevemos f = g quando A1 = A2, B1 = B2 e
f(x) = g(x), para todo x ∈ A1.
Uma função f : A −→ B é:
1) injetiva quando para todos x1, x2 ∈ A, se x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2). Equivalentemente, f é injetiva
quando f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.
2) sobrejetiva quando para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Em outras palavras, todo y ∈ B
também pertence a Imf. Como Imf ⊂ B por definição, f é sobrejetiva se, e somente se, Imf = B.
A função do Exemplo 0.1.8 é injetiva. Porém não é sobrejetiva já que 3 /∈ Imf.
Exemplo 0.1.9
Assumiremos aqui o conhecimento prévio a respeito das operações de adição e subtração. Seja
f : N→ N ∪ {0} definida por f(n) = n− 1.
Se n1 6= n2 temos n1 − 1 6= n2 − 1 ⇒ f(n1) 6= f(n2) e f é injetiva. Por outro lado, dado qualquer
m ∈ N ∪ {0} temos m + 1 ∈ N e f(m + 1) = (m + 1) − 1 = m, o que implica que m está no conjunto
imagem de f e, portanto, f é sobrejetiva.
Quando uma função f : A −→ B é injetiva e sobrejetiva, dizemos que f é uma bijeção de A em B.
Bijeções são ferramentas úteis na comparação entre conjuntos.
A função de A em A que a cada elemento x ∈ A associa o elemento k ∈ A fixado previamente é
chamada função constante . A função que a cada x ∈ A associa o próprio x é chamada função identidade
.
id : A −→ A
x 7−→ id(x) = x
Exemplo 0.1.10
Se A é um conjunto não vazio, qualquer função
θ : A×A −→ A
(a1,a2) 7−→ θ(a1,a2)
0.1. Noções da Teoria de Conjuntos 7
é chamada operação em A. A operação é comutativa quando θ(a1,a2) = θ(a2,a1).
Em Z temos as operações usuais de adição e multiplicação
+ : Z× Z −→ Z
(a1,a2) 7−→ a1 + a2
e
· : Z× Z −→ Z
(a1,a2) 7−→ a1 · a2
,
sendo ambas comutativas.
Sejam A e B conjuntos e sejam f,g : A→ B funções. Se existe uma operação θ : B×B −→ B podemos
definir
θ(f,g) : A −→ B
a 7−→ θ(f,g)(a) = θ(f(a),g(a))
Em particular, se B possui uma operação de adição e uma operação de multiplicação (que representa-
remos usualmente por + e ·, respectivamente) definimos:
f+ g : A −→ B
a 7−→ (f+ g)(a) = f(a) + g(a) e
f · g : A −→ B
a 7−→ (f · g)(a) = f(a) · g(a).
Dadas duas funções g : A −→ B e f : B −→ C, podemos definir a composta de f com g de A em C,
f ◦ g : A −→ C
a 7−→ (f ◦ g)(a) = f(g(a)) e
A B C
g f
a g(a) f(g(a))
f ◦ g
Figura 0.1.4
Mais geralmente, se g : A → B e f : W → C, podemos definir f ◦ g : A → C desde que
Img ⊂W = Domf.
Exemplo 0.1.11
Denotamos em Z os subconjuntos: Z+, dos inteiros não negativos; Z−, dos inteiros não positivos;
e, Z∗−, dos inteiros negativos.
As funções
f : Z −→ N
x 7−→ f(x) = x2 + 1 e
g : N −→ Z−
x 7−→ g(x) = 1− x
estão bem definidas.
Podemos ainda definir
1) f+ g : Z −→ Z
∗
−
x 7−→ (f+ g)(x) = x2 − x+ 1 ;
2) f · g : Z −→ Z
∗
−
x 7−→ (f · g)(x) = 1− x+ x2 − x3 ;
8 0. Números e Funções
3) f ◦ g : N −→ N
x 7−→ (f ◦ g)(x) = x2 − 2x+ 2 .
A composta f ◦ g está bem definida pois
Img = Z− ⊂ Z = Domf.
Podemos ainda definir a composta
4) g ◦ f : Z −→ Z−
x 7−→ (g ◦ f)(x) = −x2 ,
já que Imf = N = Domg (verifique!).
0.2 Exercícios
0.2.1 Faça as três representações possíveis para cada um dos conjuntos:
(a) dos naturais pares maiores que 5 e menores que 20;
(b) dos números primos com menos que três algarismos;
(c) dos múltiplos naturais de 4 e 6 menores que 20;
(d) dos múltiplos naturais de 4 ou de 6 menores que 20.
0.2.2 Considere A,B,C e D, respectivamente, os conjuntos definidos nos itens (a), (b), (c) e (d) do Exer-
cício 0.2.1. Determine:
(i) A ∪ B
(ii) A \ B
(iii) B \A
(iv) (A ∪ B) ∩ C
(v) D ∪ (A ∩ C)
(vi) (A \D) ∩ (B \ C)
(vii) A ∩ B ∩ C ∩D
(viii) D \A
0.2.3 O conjunto dos números naturais, apresentado no Exemplo 0.1.3, teve sua formalização, do ponto
de vista matemático, a partir do trabalho do matemático Giuseppe Peano, no final do século XIX. Peano
propôs:
"Existe um conjunto N e uma função s : N −→ N satisfazendo:
A1) s é injetiva;
A2) existe um elemento em N, denotado por 1, que não está na imagem de s (portanto, N é não vazio e
s não é sobrejetiva);
A3) se um subconjunto X de N satisfizer 1, s(n) ∈ X,∀n ∈ X, então X = N.
A função s é chamada sucessão . Se n ∈ N, s(n) é chamado sucessor de n.
Apresente uma justificativa para as seguintes afirmações:
(i) Se n1,n2 ∈ N e n1 6= n2 então s(n1) 6= s(n2) (ou seja, s é injetiva).
(ii) ∀n ∈ N, 1 6= s(n).
(iii) s(1) 6= s(s(1)) e, para todo n ∈ N, s(n) 6= s(s(n)).
(iv) Se A = {n ∈ N; s(n) 6= n} então A = N.
(v) Ims = N \ {1}.
0.2. Exercícios 9
0.2.4 Um conjunto X é infinito quando existe uma função injetiva f : N −→ X. Mostre que:
(a) o conjunto dos números naturais pares {2, 4, 6, · · · } é infinito;
(b) o conjunto dos números naturais ímpares {1, 3, 5, · · · } é infinito.
0.2.5 Sejam A,B e C conjuntos. Mostre que:
(i) A ∪∅ = A e A ∩∅ = ∅;
(ii) A ∪ B = B ∪A e A ∩ B = B ∩A;
(iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
(iv) A ∪A = A e A ∩A = A;
(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(vii) Se A ⊂ B então A ∪ B = B;
(viii) Se A ∪ B = B então A ⊂ B.
0.2.6 Sejam A e B conjuntos arbitrários. Mostre que:
(i) A ⊂ ∅ = A e A ⊂ A = ∅;
(ii) A ∩ B = ∅ então A ⊂ B = A e B ⊂ A = B
0.2.7 Sejam X e Y conjuntos arbitrários. Mostre que:
(a) X ∪ Y = (X \ Y) ∪ (X ∩ Y) ∪ (Y \ X)
(b) (X \ Y) ∩ (X ∩ Y) = ∅
(c) (X \ Y) ∩ (Y \ X) = ∅
(d) (X ∩ Y) ∩ (Y \ X) = ∅
(e) X \ Y = X \ (X ∩ Y)
(f) Y \ X = Y \ (X ∩ Y)
0.2.8 Sejam A,B,C e D conjuntos. Mostre que:
(i) se B ⊂ C então A \ C ⊂ A \ B;
(ii) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);
(iii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);
(iv) A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C);
(v) A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C);
(vi) (A× B) ∩ (C×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)
= (A×D) ∩ (C× B);
(vii) (A× B) \ (C×D) = [(A \ C)× B] ∪ [A× (B \D)]
10 0. Números e Funções
0.2.9 Considere em N× N = {(a,b);a,b ∈ N} a relação definida do seguinte modo: dois pares (a1,b1) e
(a2,b2) estão relacionados quando a1 + b2 = b1 + a2. Simbolicamente,
(a1,b1) ∼ (a2,b2) quando a1 + b2 = a2 + b1.
Mostre a validade das seguintes propriedades:
(i) (a1,b1) ∼ (a1,b1);
(ii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) então (a2,b2) ∼ (a1,b1);
(iii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (a2,b2) ∼ (a3,b3) então (a1,b1) ∼ (a3,b3).
(As propriedades acima acarretam que ∼ é uma relação de equivalência).
0.2.10 De acordo com a definição da relação ∼ no Exercício 0.2.9, dê exemplos de pares (a,b) tais que:
(a) (a,b) ∼ (7, 9);
(b) (a,b) ∼ (6, 1);
(c) (a,b) ∼ (5, 2);
(d) (a,b) ∼ (8, 2);
(e) (a,b) ∼ (1, 6);
(f) (a,b) ∼ (1, 1);
0.2.11 Ainda de acordo com a definição da relação ∼ no Exercício 0.2.9, defina
(a,b) = {(x,y) ∈ N× N; (a,b) ∼ (x,y)}
a classe de equivalência do par ordenado (a,b).
(i) Ache (4, 1), (2, 2) e (3, 5) .
(ii) Verifique que, se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (c1,d1) ∼ (c2,d2) então (a1 + c1,b1 + d1) ∼ (a2 + c2,b2 + d2) e
observe que a adição (a1,b1) + (c1,d1) = (a1 + c1,b1 + d1) está bem definida.
(iii) as propriedades indicadas em (ii) continuamverdadeiras se substituimos a adição pela multiplicação?
Obs.: Os Exercícios 0.2.9, 0.2.10 e 0.2.11 são um esboço de uma construção do conjunto dos númeors
inteiros Z a partir de N. Veja que
(a1,b1) ∼ (a2,b2) ⇐⇒ a1 − b1 = a2 − b2.
Observe ainda que o elemento neutro da adição em Z, 0, se identifica com a classe (a,a), para todo
a ∈ N. Além disso, se a,b ∈ N, (a,b) + (b,a) se identifica também com 0 ∈ Z. Observe ainda que, se
b 6= a, uma e apenas uma das classes (a,b) ou (b,a) se identifica com um número inteiro e natural, o qual
denominamos positivo. A outra classe, necessariamente, se identifica com um número inteiro negativo.
Um número inteiro α é portanto uma "classe de subtrações entre dois naturais", α = (a,b). Quando
a < b, α é negativo (α ∈ Z∗−); quando a = b, α = 0; e quando a > b, α > 0 (α ∈ N = Z∗+).
0.2.12 De acordo com o Exercício 0.2.11, defina
f : N −→ Z
m 7−→ f(m) = (m+ 1, 1).
(a) Mostre que f está bem definida e é injetora;
0.2. Exercícios 11
(b) Verifique que, para todos m,n ∈ N
(i) f(m+ n) = f(m) + f(n),
(ii) f(mn) = f(m) · f(n),
(iii) Se m 6 n então f(m) 6 f(n).
0.2.13 (OBM - 1988) Determine todas as funções f : N←→ Z+ tais que:
• f(x,y) = f(x) + f(y)
• f(30) = 0
• f(x) = 0, sempre que o algarismo das unidades de x é 7.
0.2.14 Defina g : N −→ Z pondo, para cada n ∈ N
g(n) =
{
n+1
2 , se n é ímpar
−n2 , se n é par.
(a) Mostre que g está bem definida e é injetiva;
(b) Conclua que Z possui uma quantidade infinita de elementos.
0.2.15 Seja n ∈ Z+ e defina o fatorial de n como
n! =
{
1, sen = 0 ou n = 1
n.[(n− 1)!] se n > 1.
,
(i) Verifique que n! = 1 · 2 · 3 · · ·n
(ii) Calcule 5!, 6!, 7! e 8!
0.2.16 Sejam a ∈ Z e n ∈ N. Defina
an =
{
a, se n = 1
a · an−1,n > 1
Verifique que se a,b ∈ Z∗ e m,n ∈ N então:
(i) am · an = am+n
(ii) (am)n = am·n
(iii) an · bn = (a · b)n
Sugestão: Para mostrar que uma sentença P(n) é verdadeira para todo natural n > n0, (1) verifique
que P(n0) é válida; (2) suponha que P(n−1) é válida para algum n > n0+1 e, (3) prove que de (2) segue
a validade de P(n).
Nos exercícios a seguir consideraremos bem definida a ordem usual em Z, herdada do conjunto dos
números naturais. Isto é, · · · ,−4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < · · ·
0.2.17 Seja a ∈ Z, definimos o módulo (ou valor absoluto) de a como o máximo do conjunto {a,−a},
simbolicamente |a| = max{a,−a}.
(i) Verifique que |0| = 0, |1| = 1 e |− 1| = 1;
(ii) Mostre que, se a ∈ Z, |a| ∈ Z+.
0.2.18 Sejam D,d ∈ Z e d 6= 0. O Algoritmo da Divisão Euclidiana garante a existência de inteiros
q e r, unicamente determinados, tais que D = q · d+ r e 0 6 r < |d|. Obtenha q e r nos seguintes casos:
12 0. Números e Funções
(a) D = 10 e d = 3
(b) D = 10 e d = −3
(c) D = −12 e d = 3
(d) D = −15 e d = −2
0.2.19 Considerando a notação do Exercício 0.2.18, mostre a veracidade ou apresente um contra exemplo
para as afirmações:
(i) se D > 0 e d > 0 então q > 0;
(ii) se D1 = q1 · d+ r1 e D2 = q2 · d+ r2 então D1 +D2 = (q1 + q2) · d+ r1 + r2;
(iii) Todo número inteiro r é da forma 2k ou 2k+ 1, com k ∈ Z.
0.2.20 Quando r = 0 no Algoritmo da Divisão Euclidiana; isto é, quando dados D,d ∈ Z com d 6= 0,
existe q ∈ Z tal que D = a · d, dizemos que D é divisível por d (ou ainda que) D é múltiplo de d, que d
é divisor de D ou que d divide D.
Mostre que
(a) 9 é divisível por 3 e por −3;
(b) Se D é divisível por d então D é divisível por −d.
(c) Se d divide D1 e d divide d2 então:
(i) d divide k1D1 + k2D2, ∀ k1,k2 ∈ Z;
(ii) d divide D1D2
0.2.21 Todo inteiro n ou é da forma 2k ou da forma 2k + 1, com k ∈ Z. Quando n = 2k, dizemos que
n é par ; quando n = 2k+ 1, dizemos que n é ímpar.
Mostre que:
(a) a soma de dois números pares é par;
(b) a soma de dois números ímpares é ímpar;
(c) a soma de um número par com um número ímpar é ímpar;
(d) o produto de dois pares é par;
(e) o produto de dois ímpares é ímpar;
(f) o produto de um número par com um número ímpar é par;
(g) dados dois números inteiros consecutivos, um deles é par e o outro é ímpar.
0.3. Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano 13
0.3 Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano
Nas Seções 0.1 e 0.2 introduzimos nos exemplos e exercícios as notações para o conjunto dos números
naturais N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, para o conjunto dos números inteiros Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, e
também para conjuntos, tais como Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}, Z∗+ = Z+ \ {0} = N,Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0} e
Z∗− = Z− \ {0}.
Para esta seção tomamos como ponto de partida o conjunto das frações possíveis entre dois inteiros
a e b. Tal conjunto será chamado conjunto dos números racionais e será representado por Q. Por frações
possíveis entenda-se que o denominador é, necessariamente, diferente de 0. Assim, podemos escrever
Q =
{a
b
;a ∈ Z e b ∈ Z∗
}
.
A exemplo do conjunto dos inteiros, representamos por Q+, o conjunto dos números racionais não
negativos; por Q−, o conjunto dos números racionais não positivos e, assim, Q∗+ = Q+\{0} e Q∗− = Q−\{0}
são os conjuntos dos números racionais positivos e dos números racionais negativos, respectivamente.
Evidentemente, N ⊂ Z ⊂ Q, já que a = a1 ∈ Q para todo a ∈ Z. Além disso, o conjunto Q é
enumerável, isto é, é possível listar os elementos de Q, a exemplo do que é feito com os números naturais
N = {1, 2, 3, · · · }, naturais pares {2, 4, 6, · · · }, inteiros Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }, a despeito de Q ser um
conjunto infinito (já que contém Z que é um conjunto infinito). Uma forma de enumerar os elementos de
Q+ (com repetição) é dada pela disposição abaixo, onde em cada linha m aparecem os números racionais
de denominador m.
LINHA 1 01
1
1 −→ 21 31 −→ 41 51 −→ 61 · · ·
↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙
LINHA 2 02
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2 · · ·
↙ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗
LINHA 3 03
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3 · · ·
↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙
LINHA 4 04
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4 · · ·
↙ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗
LINHA 5 05
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5 · · ·
↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙
LINHA 6 06
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6 · · ·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Caso consideremos em uma reta, um ponto de origem, ao qual será atribuído o inteiro 0 e o sentido
positivo (por conveniência à maioria dos seres humanos, que é destra) da esquerda para a direita, escolhida
uma unidade de medida (digamos ) representamos os inteiros positivos 1, 2, 3, · · · à direita do 0,
respeitando a unidade escolhida. Consequentemente, os inteiros negativos −1,−2,−3, · · · serão dispostos
à esquerda do 0, o que podemos chamar de sentido negativo. Os números racionais podem ser representados
14 0. Números e Funções
na reta utilizando frações da unidade padrão (subunidades). Assim 12 , está no ponto médio entre 0 e 1;
−53 pode ser localizado dividindo em três partes a unidade padrão e considerando a esquerda da origem
o ponto obtido ao considerar exatamente cinco medidas desta nova subunidade, ou, equivalentemente,
dividindo o segmento entre 0 e − 5 em três partes iguais e considerando o ponto que está localizado na
extremidade da primeira destas partes a partir do 0.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−5/3 1/2
···
Evidentemente, é impossível preencher a reta apenas com números racionais. De fato, construindo um
quadrado sobre o segmento de extremidades 0 e 1, a medida de sua diagonal d, pelo Teorema de Pitágoras,
deve satisfazer d2 = 12 + 12 = 2 e portanto, d não é um número racional (ver Exercício 0.4.3).
1
1
x
y
Figura 0.3.1
1
1
√
2 x
y
d
Figura 0.3.2
Em algumas abordagens define-se que um número é racional quando sua escrita na forma decimal
(por exemplo: 12 = 0, 5000 · · · ; 13 = 0, 3333 · · · ; 1 = 0, 999 · · · ) é periódica e, portanto umnúmero que não
tem representação decimal periódica não pode ser racional, sendo chamado, nesse caso, de irracional. O
conjunto dos números reais, R, é a união entre o conjunto dos números racionais, Q, e o dos irracionais,
R \Q.
Quando estudamos o conjunto dos números reais sob um ponto de vista que requer maior rigor mate-
mático, adotamos uma das alternativas (ou ambas): ou construímos o conjunto dos números reais a partir
de classes de equivalências de “sequências de Cauchy”, conforme proposta do matemático Georg Cantor;
ou através dos Cortes de Dedekind, a exemplo do que fez o matemático Julius Wilhelm Richard Dedekind.
A primeira abordagem é comum na bibliografia dos cursos de análise na reta, tais como o “Princípios de
Análise Matemática” de Walter Rudin; o leitor curioso pode encontrar uma boa abordagem dos Cortes de
Dedekind em “A Construção dos Números”, de Jamil Ferreira, e em “Construção dos Reais: um enfoque
usando cortes de Dedekind”, de Adilandri Mércio Lobeiro.
Usaremos como fato que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo. Um corpo no
sentido de ser munido das duas operações, adição (+) e multiplicação (·), as quais satisfazem as pro-
priedades de associatividade, comutatividade, existência dos elementos neutros da adição e também da
multiplicação, existência de um elemento oposto da adição para cada número real fixado, distributividade
da multiplicação em relação à adição e, para cada número real γ 6= 0, a existência de um inverso mul-
tiplicativo w com a propriedade γ · w = 1 (por conveniência, w é denotado por γ−1). Dizemos que R é
ordenado pois dados γ1,γ2 ∈ R, ou γ1 < γ2 ou γ1 = γ2 ou γ1 > γ2. Finalmente, R é completo pois todo
conjunto A não vazio de R que possui uma cota superior (isto é, o conjunto A é limitado superiormente)
possui um elemento dentro do próprio A que é menor ou igual que todas as cotas superiores a A. Assim,
para clarear as ideias A = {x ∈ R; x2 < 3} é limitado superiormente por 5, por exemplo, mas a menor
0.3. Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano 15
das cotas superiores é o número irracional
√
3. A menor das cotas superiores de um conjunto é chamada
supremo; por outro lado, a maior das cotas inferiores é chamada ínfimo.
Adotaremos para a reta real a notação usual:
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1/2
3/2
√
2
√
5
R
Se a,b ∈ R e a > b então a estará localizado à direita de b na reta real. Nesse caso, a distância entre
a e b é representada por a− b. Mais geralmente, dado um número real γ, |γ| = max{γ,−γ} é a distância
de γ à origem na reta real, dados γ, s ∈ R, |γ− s| é a distância entre γ e s na reta real.
O conjunto R2, por sua vez, será representado por um par de retas perpendiculares entre si de tal modo
que o ponto de encontro O coincide com a origem de ambas, denotaremos O = (0, 0) a origem do plano
definido pelos dois eixos, que chamaremos plano cartesiano. Uma das retas será disposta na horizontal
como a reta real e terá a mesma orientação daquela; a outra reta, consequentemente, será disposta na
vertical, e pode ser vista como a primeira reta rotacionada 90◦ no sentido anti-horário, com ponto fixo na
origem.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
O
(x,y)
x
y
Figura 0.3.3
A reta horizontal é chamada eixo das abcissas. Cada ponto do eixo das abcissas corresponde a um
ponto (x, 0) do plano cartesiano em que x é o número real correspondente na reta real horizontal.
A reta vertical é chamada eixo das ordenadas. Cada ponto do eixo das ordenadas corresponde a um
ponto (0,y) do plano cartesiano em que y é o número real correspondente na reta real vertical.
Cada ponto (x,y) ∈ R2 será representado no plano cartesiano no lugar geométrico correspondente
ao quarto vértice do retângulo cujos outros três vértices são (0, 0), (x, 0) e (0,y). Quando x > 0 e y > 0,
(x,y), está no 1◦ quadrante do plano cartesiano; quando x < 0 e y > 0, (x,y) está no 2◦ quadrante
do plano cartesiano; quando x < 0 e y < 0, (x,y) está no 3◦ quadrante do plano cartesiano; e, quando
x > 0 e y < 0, (x,y) está no 4◦ quadrante do plano cartesiano.
É comum representar o eixo das abcissas por eixo x e o eixo das ordenadas por eixo y.
16 0. Números e Funções
x
y
(3,0) (5,0)(0,0)(−2,0)(−4,0)
(3,2)
1.◦ QUADRANTE
(−4,1)
2.◦ QUADRANTE
(−2,−2)
3.◦ QUADRANTE
(0,−1)
(0,−2)
(0,1)
(0,2)
(5,−1)
4.◦ QUADRANTE
Figura 0.3.4
Analogamente, fixando o ponto O = (0, 0) aplicamos uma rotação de 90◦ ao eixo x perpendicularmente
ao plano gerado pelos dois eixos, x e y, de modo que posicionando o polegar na direção e sentido do eixo x
e o indicador na direção e sentido do eixo y, o eixo obtido seja orientado positivamente a partir da palma
da mão e para a região acima desta. O eixo assim obtido é chamado eixo das cotas, ou eixo z.
x
y
z
O
Figura 0.3.5
Assim, definindo a origem O = (0, 0, 0) como o ponto de interseção entre os três eixos, x,y e z, cada
ponto sobre o eixo x terá coordenadas (x, 0, 0), sobre o eixo y, (0,y, 0) e sobre o eixo z, (0, 0, z).
Considere a,b ∈ R com a < b. É possível definir, dentre outros, os seguintes subconjuntos, não vazios
e não unitáros de R, que chamaremos intervalos:
0.3. Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano 17
(i) {x ∈ R; x > a e x < b} = {x ∈ R; a < x < b};
(ii) {x ∈ R; x > a e x < b} = {x ∈ R; a 6 x < b };
(iii) {x ∈ R; x > a e x 6 b } = {x ∈ R; a < x 6 b };
(iv) {x ∈ R; x > a e x 6 b} = {x ∈ R; a 6 x 6 b };
(v) {x ∈ R; x > a};
(vi) {x ∈ R; x > a};
(vii) {x ∈ R; x < b};
(viii) {x ∈ R; x 6 b};
Em (i) temos um intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por ]a,b[ ou (a;b);
Em (ii) temos um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita denotado por [a,b[ ou [a,b);
Em (iii) temos um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremidades a e b, denotado
por ]a,b[ ou (a;b];
Em (iv) temos um intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a,b];
Em (v) temos um intervalo aberto de extremidade esquerda em a e ilimitado à direita, denotado
por ]a,+∞[ ou (a;+∞)
Em (vi) temos um intervalo fechado à esquerda em a e ilimitado à direita, denotado por [a,+∞[
ou [a;+∞);
Em (vii) temos um intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita em b, denotado por ] −∞,b[
ou (−∞;b);
Em (viii), finalmente, temos um intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita em b, denotado
por ] −∞;b] ou (−∞;b].
O intervalo [a,a] é dito intervalo degenerado. O intervalo ]−∞,+∞[ ou (−∞;+∞) é igual a R.
Podemos representar cada um dos intervalos geometricamente pondo, por exemplo,
a b
: ]a,b[i)
a b
: ]a,b]ii)
a b
: [a,b]iv)
a
: ]a,+∞[v)
b
: ]−∞,b]v)
Como são conjuntos, podemos estender todas as operações sobre conjuntos a intervalos da reta. Para
reforçar a ideia, tomamos alguns exemplos:
18 0. Números e Funções
Exemplo 0.3.1
Considere os intervalos I1 = ] − 2, 5], I2 = [−1, 3[, I3 = [1, 4] e I4 = [3,+∞[. temos:
(a) I1
⋃
I2 = ] − 2, 5] = I1
(b) I1
⋃
I3 = ] − 2, 5] = I1
(c) I1
⋃
I4 = ] − 2,+∞[
(d) I3
⋃
I4 = [1,+∞[
(e) I2
⋃
I3 = [−1, 4]
(f) I1
⋂
I2 = [−1, 3[
(g) I2
⋂
I3 = [1, 3[
(h) I3
⋂
I4 = [3, 4]
(i) I1\I2 = ] − 2,−1]
⋃
[3, 5]
(j) I2\I1 = ∅
(k) I2\I3 = [−1, 1[
(l) I3\I2 = [3, 4]
(m) I3\I4 = [1, 3[
(n) I4\I3 = ]4,+∞[
Fica como exercício a verificação da validade das propriedades indicadas.
Além disso, podemos dar um tratamento geométrico às desigualdades na reta.
Exemplo 0.3.2
Seja b ∈ R, a desigualdade x − b > 0, equivalente ax > b, está bem representada pelo intervalo
]b,+∞[ que é sua representação geométrica.
b
Por outro lado, x− b 6 0 determina o intervalo ] −∞,b]
b
Mais geralmente, se consideramos a ∈ R,a 6= 0, a desigualdade ax + b > 0 pode ser analisada de
acordo com os dois casos abaixo:
Para a > 0
ax+ b > 0
(Somando (−b) aos dois membros)
⇔ ax+b+ (−b) > 0+ (−b)
⇔ ax+ 0 > −b
(Multiplicando os dois membros por 1
a
)
⇔ 1a(ax) > 0+ 1a(−b)
⇔ x > −ba
Para a < 0
ax+ b > 0
⇔ ax+ b+ (−b) > 0+ (−b)
⇔ ax+ 0 > −b
1
a ⇔ 1a(ax) 6 1a(−b)
⇔ x 6 −ba
Assim, para a > 0, ax+ b > 0 representa o intervalo
−
b
a
e, para a < 0,
−
b
a
Para ax+ b > 0,ax+ b 6 0 e ax+ b < 0 a análise é similar.
0.4. Exercícios 19
No Exemplo 0.3.3 usamos o fato de que a multiplicação de uma inequação por um número real negativo
inverte não só os sinais dos membros quanto também o sinal da desigualdade. Observe que, se k 6 l então
−l 6 −k.
Exemplo 0.3.3
Sejam r1, r2 ∈ R e considere a desigualdade x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 > 0
É de imediata verificação que
x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 = (x− r1)(x− r2).
Assim, x2−(r1+ r2)x+ r1r2 > 0 é satisfeita apenas quando os fatores x− r1 e x− r2 tem o mesmo
sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou algum deles é nulo.
Sem perda de generalidade, suponha r2 > r1.
Representando com o sinal + onde a expressão x− ri é positiva, com sinal − onde ela é negativa,
temos, do Exemplo 0.3.2
r1
− − − − − − + + + + + +x− r1
r2
− − − − − − − − − + + + +x− r2
r1 r2
+ + + + − − + + + +
(x− r1)(x− r2)
Isto é, (x− r1)(x− r2) > 0 quando (x− r1 6 0 e x− r2 6 0) ou quando (x− r1 > 0 e x− r2 > 0),
o que significa que x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 > 0 se, e somente se, x 6 r1 ou x > r2.
0.4 Exercícios
0.4.1 Sejam a
b
,
c
d
∈ Q e defina
(i)
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
, e (ii)
a
b
· c
d
=
ac
bd
(a) Calcule 23 +
7
4 ,
1
5 · 32 , 56 + 34 e 56 · 34 .
(b) Mostre que, se ab =
a ′
b ′ e
c
d =
c ′
d ′ , então
a
b
+
c
d
=
a ′
b ′
+
c ′
d ′
e
a
b
· c
d
=
ac
bd
.
0.4.2 Usando as definições de adição e multiplicação em Q dadas no Exercício 0.4.2, verifique que, para
todos α,β,γ ∈ Q tem-se:
(i) (α+ β) + γ = α+ (β+ γ);
(ii) α+ β = β+ α;
(iii) α+ 01 =
0
1 + α = α;
(iv) ∀ϕ ∈ Q, existe ϕ ′ ∈ Q tal que ϕ+ϕ ′ = 01 ;
20 0. Números e Funções
(v) (α · β) · γ = α · (β · γ);
(vi) α · β = β · α;
(vii) α · 11 = 11 · α = α;
(viii) Se ψ ∈ Q e ψ 6= 01 , existe ψ ′′ ∈ Q tal que ψ ·ψ ′′ = ψ ′′ ·ψ = 11 ;
(ix) α · (β+ γ) = αβ+ αγ.
0.4.3
(i) Verifique que no quadrado de um número inteiro cada fator primo comparece uma quantidade par
de vezes.
(ii) Verifique que se m e n são números inteiros que não possuem fatores em comum então m2 6= 2n2.
(iii) Mostre que se d é a diagonal do quadrado de lado 1 então é impossível obter m,n ∈ Z, com n 6= 0
e d = mn .
0.4.4 Considere em Z × Z∗ = {(a,b);a,b ∈ Z e b 6= 0} a relação definida do seguinte modo: dois pares
(a1,b1) e (a2,b2) estão relacionados quando a1b2 = a2b1. Simbolicamente,
(a1,b1) ∼ (a2,b2) quando a1b2 = a2b1.
Mostre a validade das seguintes propriedades:
(i) (a1,b1) ∼ (a1,b1) (reflexividade)
(ii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) então (a2,b2) ∼ (a1,b1) (simetria)
(iii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (a2,b2) ∼ (a3,b3) então (a1,b1) ∼ (a3,b3) (transitividade)
Isto é, que ∼ é uma relação de equivalência.
0.4.5 Dê exemplos de pares (a,b), de acordo com o Exercício 0.4.5, tais que:
(a) (a,b) ∼ (8, 2)
(c) (a,b) ∼ (5,−3)
(e) (a,b) ∼ (2, 2)
(b) (a,b) ∼ (−3, 5)
(d) (a,b) ∼ (−2, 8)
(f) (a,b) ∼ (−3,−6)
0.4.6 De acordo com a relação ∼ definida no Exercício 0.4.4, defina
(a,b) = {(x,y) ∈ Z× Z∗; (a,b) ∼ (x,y)}
a classe de equivalência do par ordenado (a,b).
(i) Ache (1,−3), (2, 2) e (−3, 6).
(ii) Verifique que, se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (c1,d1) ∼ (c2,d2)
então (a1d1 + c1b1,b1d1) ∼ (a2d2 + c2b2,b2d2) e
(a1c1,b1d1) ∼ (a2c2,b2d2).
(iii) (−a,b) ∼ (a,−b).
0.4.7 A razão áurea ou número de ouro é definida do seguinte modo:
Seja AB um segmento arbitrário, o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão quando
AB
AC
=
AC
CB
0.4. Exercícios 21
A C B
A razão ABAC =
AC
CB é denotada pela letra grega φ (phi) e chamada de razão áurea. Mostre que φ
satisfaz a equação
φ2 + φ− 1 = 0
e, portanto, φ = 1, 618 . . ..
0.4.8 (OBM-1987) Um juiz fornece um conjunto de dois números naturais positivos, C1 = {x1,y1}, a dois
jogadores e indica quem faz o primeiro lance. Um lance consiste em substituir Cn = {xn,yn}, n > 1, por
Cn+1 = {xn+1,yn+1} tal que:
• xn+1 = min Cn
• yn+1 = max Cn - k.xn+1 > 0, para algum k ∈ N
Ganha o jogador que obtiver pela primeira vez yn+1 = 0. Determine os valores de x1/y1 para os quais existe
uma estratégia para o primeiro jogador (que lhe garanta a vitória). Descreva, em tais casos, a estratégia.
0.4.9 Descreva, como intervalo da reta real, a solução de cada uma das inequações abaixo, com x ∈ R.
(a) x−1x+2 > 0
(c) x2 − 5x+ 6 < 0
(e) x+1x−2 > 1
(g) x3 + 10 < 4x2 + 3x− 8
(b) (x− 5)(x+ 3) 6 0
(d) x3 − 7x2 + 10 > 0
(f) x−5x+5 > 3
(h) x4 + 6x2 < 4x3 + 4x+ 15
0.4.10 Considere a,b ∈ R. Mostre que, se a < b, x2 − (a+ b)x+ ab < 0 sempre que a < x < b.
0.4.11 Para quais valores reais de x tem-se
x
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
> 0 ?
0.4.12 Um número natural n deve ser escolhido de modo que o produto entre n e o enésimo número
natural ímpar seja maior ou igual que 1 e não exceda 10. Quais são as possibilidades de escolha para n ?
0.4.13 Para todo número real k > 0 temos que
(i) |x| 6 k↔ −k 6 x 6 k; e
(ii) |x| > k↔ x 6 −k ou x > k.
Justifique as afirmações nos itens (i) e (ii) acima. Determine, para cada caso abaixo, o intervalo da
reta (ou união de intervalos), que melhor representa a solução de cada desigualdade:
(a) |x− 5| > 3
(c) |1− 2x| > 1
(e) 1 < |1− 2x| 6 2
(g) |x− 2| 6 |1− x|
(b) |3x− 1| 6 3
(d) |1− 2x| 6 2
(f) |x2 − x+ 1| 6 1
(h)
∣∣x−2
1−x
∣∣ > 1
0.4.14 Encontre a solução para cada um dos sistemas abaixo:
(a)
{
x− 3 6 0
2x+ 6 > 0
(c)
{
x2 − 7x+ 10 > 0
3x− 6 > 0
(b)
{
6− 3x > 0
7− 14x < 0
(d)
{
5− x < 0
x2 − 7x+ 10 6 0
22 0. Números e Funções
0.4.15 Mostre que, se k 6 0, então −k > 0. Conclua que se k 6 l então −k > −l.
0.4.16 Para quais valores de x ∈ R valem as desigualdades:
a) x− 3− (2x+ 1) < 3x− 5
b) 2|x− 3|− 5|x+ 1| > x+ 1
c) |x− 3||x+ 1 6 x+ 1
d) |1− x+ |x+ 1|| 6 2x+ 1
e)
1
x+ 1
<
1
2x− 1
f) (x− 3)(2x− 5) 6 (x+ 1)(2x− 1)
0.4.17 (OBM - 1999)
√
0, 444... =
a) 0, 222... b) 0, 333... c) 0, 444... d) 0, 555...
0.4.18 (OBM - 1999) Os valores reais de x que satisfazem a inequação √x+
√
1
x 6 2 são:
a) −1 6 x 6 1 b) x = 1 c) x 6 1 d) x > 1 e) x 6 2
0.5. Função Constante, Função Afim e Função Quadrática 23
0.5 Função Constante, Função Afim e Função Quadrática
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f : A −→ B é uma relação entre A e B tal que a cada
a ∈ A existe um único b ∈ B com b = f(a). Quando A e B são subconjuntos dos números reais, dizemos
que f é uma função real .
Sejam A, B ⊂ R e considere f : A→ B uma função. A função f é:
(1) não crescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2);
(2) decrescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2);
(3) não decrescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2);
(4) crescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Exemplo 0.5.1
Considere A = R+ e B = R+, a relação y2 = x, para todo x ∈ A é uma função de A em B. De
fato, dado x ∈ R+ existe um único y ∈ R+ de modo que o par (x,y) satisfaz a condição da relação
(observe que y =
√
x ∈ R+).
É comum escrever y = f(x) para representar as funções reais. O gráfico de uma função real é o
subconjunto do plano cartesiano R2.
graf(f) = {(x,y) ∈ R2;y = f(x)}
Valem algumas observações:
1) Caso A e B sejam intervalos não degenerados, de extremidades a1 e a2, para A, e b1 e b2, para B, o
graf(f) estará inteiramente contido no retângulo de vértices
(a1,b1), (a2,b1), (a2,b2) e (a1,b2)
2) Como para cada a ∈ A existe um único b ∈ B tal que b = f(a), no plano cartesiano a reta perpendicular
ao eixo x passando por a (entre a1 e a2) intercepta a representaçãodo graf(f) em R2 uma (e somente
uma) vez!
3) Cada ponto (a,b) ∈ graf(f) é representado em R2 da maneira usual, isto é, toma-se a perpendicular
ao eixo x por a(x = a) e a perpendicular ao eixo y por b(y = b), o ponto (a,b) é o único na interseção
entre essas duas retas (analogamente, o ponto (a,b) é o ponto que é vértice do retângulo cujos outros
vértices são (a, 0), (0, 0) e (0,b)).
4) Como em A×B existe uma infinidade de pontos, reconheceremos (inicialmente) os gráficos das funções
elementares a partir de suas propriedades mais evidentes. Posteriormente, no Capítulo 2, daremos um
tratamento um pouco mais rigoroso às afirmações feitas nos exemplos e seções a seguir.
A função f(x) = k,∀x ∈ R, é dita função constante . O gráfico de toda função real constante é uma
reta horizontal acima ou abaixo do eixo x, caso k seja, respectivamente, maior ou menor que 0. No caso
k = 0 o gráfico de f coincide com o eixo x e f é dita função identicamente nula (f ≡ 0).
24 0. Números e Funções
Exemplo 0.5.2
Seja k um número real fixado e seja f : R→ R a função real que a cada x ∈ R associa f(x) = k. O
gráfico de f é o conjunto graf(f) = {(x,k); x ∈ R}. Geometricamente, o gráfico de f é a reta horizontal
y = k.
y = k (k > 0)
x
y
Figura 0.5.1
Exemplo 0.5.3
A função id : R −→ R definida por id(x) = x é dita função identidade . O gráfico da função
identidade é o conjunto graf(id) = {(x, x); x ∈ R}. Geometricamente, graf(id) é o conjunto de pontos
na bissetriz do 1◦ (e também 3◦) quadrante.
y = x
y = x+ 1
y = x− 1
y = x+ 2
y = x− 2
x
y
Figura 0.5.2
Analogamente, a função h(x) = −x tem por gráfico a bissetriz do 2◦ (e também do 4◦) quadrante.
A função id(x) é sempre crescente. Para todo b ∈ R o gráfico da função f(x) = x+ b é também uma
reta crescente, para obtê-lo basta transladar o gráfico da função identidade b unidades verticalmente para
cima, caso b > 0, ou para baixo, caso b < 0.
Fixados a,b ∈ R, com a 6= 0, a função f : R→ R definida por f(x) = ax+b é chamada função afim , ou
ainda função polinomial de 1◦ grau. A propriedade fundamental a respeito do gráfico de qualquer função
afim é que este é uma reta e, portanto, para descrever um esboço do gráfico, é suficiente determinar dois
de seus pontos; em geral recorremos aos pontos mais simples: (0,b) e (−ba , 0) bastam, desde que b 6= 0.
0.5. Função Constante, Função Afim e Função Quadrática 25
Exemplo 0.5.4
O gráfico da função real de 1◦ grau m(x) = x2 + 1 passa pelos pontos (0, 1) e (−2, 0).
y = x2 + 1
(0, 1)
(−2, 0) x
y
Figura 0.5.3
Observe que x2 + 1 = 0⇔ x2 = −1⇔ x = −2.
Dizemos que x = −2 é a raiz (ou zero) da função m(x) = x2 + 1. Mais geralmente,
f(x) = ax+ b = 0 ⇔ ax+ b− b = 0− b (Somando −b)
⇔ ax = −b (Multiplicando por 1
a
)
⇔ x = −b
a
.
Isto é, a raiz de toda função afim f(x) = ax+ b é x = −ba .
Outra forma de enxergar o gráfico de f(x) = ax+b é verificar que f(x) = ax+b é o resultado de duas
composições em relação a id(x) = x.
Seja id : R −→ R a função identidade, id(x) = x, a função afim f(x) = ax + b pode ser escrita como
f(x) = tv ◦ h ◦ id(x) onde
h : R −→ R
y 7−→ h(y) = ay é chamada homotetia e
tv : R −→ R
z 7−→ Tv(z) = z+ b
é chamada translação vertical.
A verificação da igualdade f(x) = tv ◦ h ◦ id(x) é trivial. O essencial no momento, é observar o que
homotetias e translações acarretam no gráfico.
Dado um número real a 6= 0, a função afim h(x) = ax tem como gráfico uma reta que passa pela
origem e pelos pontos (1,a) e ( 1a , 1).
Um caso particular da homotetia, a função g(x) = −x tem gráfico simétrico ao da função id(x) = x
em relação ao eixo x.
Assim:
26 0. Números e Funções
1)
se a > 1, o gráfico de h(x) = ax é uma
reta acima do gráfico de id(x) = x no
1.◦ quadrante e abaixo no 3◦ quadrante.
(Verifique);
x
y
1
1
a
−1
−1
−a
id(x)=x
h(x)=ax
Figura 0.5.4
2)
se 0 < a < 1, o gráfico de h(x) = ax é
uma reta abaixo do gráfico de id(x) = x
no 1.◦ quadrante e acima no 3.◦ qua-
drante. (Verifique);
x
y
1
a
1
id(x)=x
h(x)=ax
Figura 0.5.5
3)
se a < 0, o gráfico de h(x) = ax está
inteiramente contido na união entre o
2.◦ e o 4.◦ quadrantes (e pode ser ob-
tido, de modo análogo aos casos 1 e 2,
trocando id(x) = x por g(x) = −x). No
esboço ao lado, representamos o gráfico
de h(x) = ax com a < −1.
x
y
1
1
−1
−1
−a
id(x)=x
g(x)=−x
Figura 0.5.6
Consideremos a função quadrática f : R −→ R
x 7−→ f(x) = x2 . É imediato verificar que, ∀x ∈ R, f(x) > 0
(e, só vale a igualdade quando x = 0). Além disso, observa-se quem ∀x ∈ R, f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).
Isto é, f é uma função par e, portanto, o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano tem simetria em relação
ao eixo y. Desse fato, basta analisarmos o que ocorre com f(x) para x > 0.
Sejam x1 e x2 números positivos tais que x1 < x2. Como x2 > 0, temos x1x2 < (x2)2 e, como x1 > 0,
temos (x1)2 < x1x2. Portanto, se x1 > 0 e x2 > 0 são tais que x1 < x2 temos f(x1) < f(x2). Além disso
f(0) = 0 e f(x) = x2 > 0 ∀ x > 0. Conclui-se então que f é uma função crescente em [0,+∞[.
0.5. Função Constante, Função Afim e Função Quadrática 27
Raciocinando de modo análogo ou usando a igualdade f(−x) = f(x) verifica-se que f é uma função
decrescente em ] −∞, 0]
Um esboço do gráfico de f pode ser obtido a partir das propriedades acima e está detalhado na figura
abaixo:
y = x2
(1, 1)(−1, 1)
x
y
Figura 0.5.7
O gráfico de y = x2 é uma parábola
de concavidade voltada para cima,
que passa pelos pontos (0, 0), (x, x2)
e (−x, x2) para todo x ∈ R. O ponto
(0, 0) é o vértice da parábola.
O gráfico de y = x2 é uma parábola de concavidade voltada para cima, que passa pelos pontos
(0, 0), (x, x2) e (−x, x2) para todo x ∈ R. O ponto (0, 0) é o vértice da parábola.
Seja k ∈ R, o gráfico da função real g(x) = x2+ k pode ser obtido transladando k unidades para cima
(se k > 0) ou para baixo (se k < 0) o gráfico de f(x) = x2.
y = x2
y = x2 + 2
y = x2 − 2
y = x2 + 1
y = x2 − 1
−1
−2
0
1
2
x
y
Figura 0.5.8
Suponha a > 0, o gráfico de y = ax2 passa pelos pontos (0, 0), (1,a) e (−1,a). Assim,
1) se a > 1, ax2 > x2, ∀ x 6= 0, e o gráfico de y = ax2, passa pelos pontos (0, 0), (x,ax2), (−x,ax2),
está sempre acima do gráfico de y = x2 quando x 6= 0.
28 0. Números e Funções
2) se 0 < a < 1, ax2 < x2, ∀x 6= 0, e o gráfico de y = ax2 está sempre abaixo do gráfico de y = x2,
quando x 6= 0, e acima do eixo x.
−1 1
y = x2
y = ax2(a > 1)
y = ax2(0 < a < 1)
1
x
y
Figura 0.5.9
Agora, se a < 0, temos que o gráfico de y(x) = ax2 é uma parábola com concavidade voltada para
baixo.
1) quando a = −1, y = −x2 tem gráfico obtido a partir da reflexão em torno do eixo x do gráfico de
y = −x2.
2) quando −1 < a < 0, −x2 < ax2, ∀ x 6= 0, e, portanto, o gráfico de y = ax2 fica compreendido entre
o eixo x e o gráfico de y = −x2.
3) quando a < −1,ax2 < −x2, ∀ x 6= 0, e o gráfico de y = ax2 está sempre abaixo do gráfico de
y = −x2, exceto na origem, que é um ponto pertencente a ambos.
x
y
y=x2
y=−x2
y=ax2(a<−1)
y=ax2(−1<a<0)
Figura 0.5.10
Para todo m ∈ R, m > 0, o gráfico da função h(x) = (x±m)2 pode ser obtido a partir da translação
horizontal do gráfico de y(x) = x2. O gráfico de h(x) = (x±m)2 também é uma parábola, cuja concavidade
é voltada para cima, o vértice da parábola é no ponto (0,∓m).
0.6. Exercícios 29
x
y
y=x2
(0,0)
y=(x−m)2
(0,m)
y=(x+m)2
(0,−m)
Figura 0.5.11
Em síntese, podemos analisar o formato do gráfico de uma função quadrática
y = a(x−m)2 + k
através das translações vertical e horizontal homotetia (f(x) 7−→ af(x)).
O fato fundamental, que utilizaremos como ferramenta no esboço das funções quadráticas é dado pelo
resultado a seguir.
Proposição 0.5.1. Sejam a,b, c∈ R, com a 6= 0.
Então é possível encontrar m,k ∈ R tais que ax2 + bx+ c = a(x−m)2 + k.
Demonstração : Poderíamos simplesmente desenvolver o 2.◦ membro da igualdade e comparar os coeficientes.
No entanto, como a ideia será utilizada mais de uma vez neste texto, completaremos o quadrado na expressão
do 1.◦ membro!
Temos:
ax2 + bx+ c = ax2 + 2
√
a · b√
a
+
b2
a
−
b2
a
+ c
=
(√
ax+
b√
a
)2
+ c−
b2
a
= a
(
x+
b
a
)2
+ c−
b2
a
.
Portanto, basta tomar m = −b
a
e k = c− b
2
a
0.6 Exercícios
0.6.1 Para cada uma das funções abaixo determine:
i) a raiz;
ii) uma representação do gráfico em R2.
a) f(x) = 4− 2x
c) y(x) = x− 2
b) g(x) = 6x+ 3
d) h(x) − x− 5
30 0. Números e Funções
0.6.2 Use translações e homotetias a partir do gráfico da função identidade e faça um esboço do gráfico
de:
a) f(x) = 3x+ 2
c) h(x) = 4x+ 1
b) g(x) = −5x+ 5
d) h(x) − 2− 4x
0.6.3 Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções definidas em intervalos
a) f(x) =

−5, se x 6 −2
2x− 1, se − 2 < x < 3
4, se x > 3
b) g(x) =

2, se x 6 −3
8x+ 2, se − 3 < x > 1
10, se x > 1
c) h(x) =
{
6− 3x, se x 6 2
3x− 6, se x > 2
0.6.4 Calcule α de modo que uma das raízes da equação (2α− 1)x2 + (α− 3)x+ 36 = 0 seja -3.
0.6.5 Determine β de modo que as raízes da equação x2+(9−β2)x−25 = 0 sejam simétricas em relação
a origem.
0.6.6 Sejam a, b, c números reais com a 6= 0 e considere a equação ax2 + bx+ c = 0.
i) Multiplique primeiramente a equação por 4a e depois adicione aos dois membros o termo b2 e mostre
que é possível escrevê-la na forma F2 + 4ac = b2 e determine a expressão F.
ii) Conclua que a equação só pode possuir raízes reais quando b2 − 4ac > 0.
iii) Demonstre que, se b2 − 4ac > 0, as raízes reais da equação são determinadas por
x =
−b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
.
0.6.7 Ache as raízes e descreva um esboço do gráfico de cada uma das funções quadráticas abaixo
a) f(x) = x2 − 5x+ 6
b) g(x) = x2 − x− 12
c) f(x) = 2(x− 1)(x− 3)
d) f(x) = 2− 2x2
e) h(x) = x2 + x− 12
f) f(x) = −3x2 + 15x− 12
0.6.8 Determine os valores de x ∈ R para os quais a função é negativa e para o quais é positiva.
a) f(x) = x2 − 5x+ 6
b) g(x) = x(2x− 3)
c) f(x) = −3x2 + 15x− 12
d) h(x) = (x− 1)(x+ 2) − (x− 1)2 + x2 + 2
0.6.9 Considere a,b, c reais, com a > 0, e sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx+ c = 0. Mostre
que x1 + x2 =
−b
a
e x1x2 =
c
a
.
0.6.10 Use o Exercício 0.6.9 a fim de encontrar as raízes de:
a) x2 − 4x+ 3 = 0
b) −2x2 + 14x+ 16 = 0
c) 9− x2 = 0
d) x2 − 5x = 0
0.6. Exercícios 31
0.6.11 (OBM - 1999) Um estacionamento para carros cobra R$ 1, 00 pela primeira hora e R$ 0, 75
centavos a cada hora ou fração de hora seguinte. André estacionou seu carro às 11h20min e saiu às
15h40min. Quantos reais ele deve pagar pelo estacionamento?
0.6.12 (OBM - 1999) A função f associa a cada real x o menor elemento do conjunto {x+ 1, 15−x2 }. O
valor máximo de f(x) é:
a) 4 b) 5 c) 112 d)
16
3 e)
19
4
0.6.13 Resolva as equações:
i)
√
x+ 1 = x ii)
√
x+ 2 = x iii)
√
x+ 3 = x
0.6.14 Seja a > 0
(i) Para quais valores de x a equação
√
x+ a = x está bem definida em R
(ii) Mostre que equação só pode possuir uma única raiz real
0.6.15 Mostre que, para todo x ∈ R, a distância do ponto (x, x2) ao ponto F = (0, 14) é igual à distância
de (x, x2) à reta y = −14 (o ponto F = (0,
1
4) é chamado foco da parábola e a reta y =
−1
4 é chamda reta
diretriz).
0.6.16 Escreva cada uma das funções quadráticas abaixo na forma f(x) = a(x− h)2 + v.
a) f(x) = x2 − 6x+ 15
b) f(x) = −3x2 + 7x− 21
c) f(x) = x− 4x2
0.6.17 Sejam a,b, c ∈ R com a 6= 0. Suponha que x1, x2 são duas raízes da equação ax2 + bx+ c = 0.
i) Mostre que é possível escrever
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
ii) Conclua que ba = −(x1 + x2) e
c
a = x1x2
32 0. Números e Funções
0.7 Exponencial e Logaritmo
Seja a um número real arbitrário. Dado um número real m a expressão am representa a potência de base
a e expoente m.
Caso m seja inteiro positivo, am é igual ao produto de m fatores iguais a a; caso a 6= 0 e m seja
inteiro negativo então am = 1a−m ; Caso a > 0 e m =
p
q , com p,q ∈ Z e q > 2, então
am = a
p
q =
q
√
ap.
Assim:
Exemplo 0.7.1
(i) (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125
(ii) 2−4 = 12·2·2·2·2 =
1
16
(iii) 81/3 = 3
√
8 = 2
(iv) 4−0.5 = 4−
1
2 = 2
√
1
4 =
1
2
De modo oportuno, quando a > 0 e a 6= 1, se α é o (único) número real tal que aα = b então dizemos
que α é o logaritmo de b na base a e escrevemos α = loga b.
Portanto:
Exemplo 0.7.2
(i) log5 125 = 3, pois 5
3 = 125
(ii) log2
1
16 = −4, pois 2
−4 = 116
(iii) log8 2 =
1
3 , pois 8
1/3 = 3
√
8 = 2
(iv) log4 1/2 = −1/2, pois 4
−1/2 = 1
41/2
= 1√
4
= 12
A utilidade das potências e logaritmos está diretamente relacionada à facilidade em trabalhar com
as operações envolvidas. A introdução da simbologia aqui descrita tornou mais simples a obtenção de
medições astronômicas, por exemplo. Isto é mais ou menos evidente ao se comparar, por exemplo, os
cálculos envolvidos na multiplicação de 16 por 64.
Ao utilizarmos o algoritmo usual da multiplicação, as operações de multiplicação (algarismo por al-
garismo) e adição envolvidas chegam a quantidade de sete. Por outro lado, observando que 16 = 24 e
64 = 26, temos 24 × 26 = 210 = 1024. Evidentemente, é preciso convencer-se destas propriedades (ver
Exercício 0.8.3). Mas por enquanto, vamos destacar alguns destes atalhos.
Seja a um número real positivo, a 6= 1. Temos as seguintes propriedades para potências e, consequen-
temente, para os logaritmos.
(i) am1 · am2 = am1+m2
(ii) am1 ÷ am2 = am1−m2
(iii) a0 = 1
(iv) (am1)m2 = am1·m2
(v) aloga b = b
(vi) bm = am loga b
(vii) loga bc = loga b+ loga c
(viii) loga
b
c = loga b− loga c se c 6= 0
(ix) loga 1 = 0
(x) loga b
m = m loga b
(xi) loga a
b = b
(xii) logb c =
loga c
loga b
se b > 0 e b 6= 1
0.7. Exponencial e Logaritmo 33
Seja a ∈ R,a > 0 e a 6= 1. A função f : R −→ R definida por f(x) = ax é chamada função exponencial
. A função exponencial é sempre crescente quando a > 1 e sempre decrescente quando 0 < a < 1. Por
outro lado, para todo x ∈ R,ax > 0. Assim, f : R −→ R não é sobrejetora
(0, 1)
f(x) = ax
x
y
(a > 1)
(0, 1)
f(x) = ax
x
y
(0 < a < 1)
Figura 0.7.1
Já a função g : R∗+ −→ R definida por g(x) = loga x está bem definida com domínio no conjunto
imagem da função exponencial f. Como g = f−1, g é sempre crescente quando a > 1 e decrescente quando
0 < a < 1. Além disso, para cada y ∈ R existe x ∈ R∗+ tal que y = loga x; de fato, x = ay.
x
y
g(x)=loga x(a>1)
x
y
g(x)=loga x(0<a<1)
Figura 0.7.2
Os gráficos de f(x) = ax e g(x) = loga x são simétricos em relação ao gráfico de id(x) = x. Por
conveniência, adotamos o símbolo e para o número irracional e = 2, 718281 . . . (chamado número de
Napier ou, mais comumente, número de Euler). A aproximação 2, 718 para e, por exemplo, pode ser
obtida fazendo n = 4822 na expressão (
1+
1
n
)n
.
A função exp : R −→ R∗+ definida por exp(x) = ex é chamada função exponencial natural. A função
ln : R∗+ −→ R definida por ln (x) = loge x é chamada função logaritmo natural (ou logaritmo neperiano)
f(x) = ex
f(x) = loge x
x
y
Figura 0.7.3
O uso do logaritmo natural é frequente em apli-
cações nas mais diversas áreas e a notação ln x =
ln (x) é muito comum. Note que ln e = 1.
34 0. Números e Funções
Evidentemente o logaritmo natural e a função exponencial merecem um tratamento mais adequado,
o que será feito em momento oportuno. Por enquanto estamos apenas relembrando as propriedades mais
triviais.
0.8 Exercícios
0.8.1 Faça os cálculos indicados:a) 32 × 27− 5× 33
b) 44 × 2
c) 3
√
8× 16
d) (−5)2 + (−5)3
e) ( 32)
−2 × 9−3
f) 81
5
4 + 81
3
2
g) 5× log3 81− 2× log3 27
h) log2 0, 5+ log2 4
0.8.2 Um número está escrito em notação científica quando está na forma m× 10g, onde m (chamado
mantissa) é tal que 1 6 m 6 9 e g (chamado de ordem de grandeza) é um número inteiro. Os número
8472; 0,00354 e 10.000, por exemplo, são escritos em notação científica, respectivamente, como 8, 472×103,
3, 54× 10−3 e 1× 104. Escreva em notação científica:
a) 12845
b) 1, 25× 0, 03
c) 0, 0056× 0, 02
d)
34, 02
13, 5
0.8.3 Seja a > 0 e suponha m ∈ N. Observe que am+1 = am × a e suponha que, para algum n ∈ N,
n > 1, am+n = am × an. Mostre que am+n+1 = am × an+1. Conclua, pelo Princípio de Indução
Matemática que, para todos m,n ∈ N, am+n = am × an.
0.8.4 Mostre que se a > 0 e m,n ∈ N, então (am)n = am.n
0.8.5 Sejam a,b, c ∈ R∗+. Considere
m = loga b, n = loga c e p = logc b
i) Mostre que m = n× p
ii) Conclua que logc b =
loga b
loga c
0.8.6 Sejam a, c ∈ R∗+ com a 6= 1. Mostre que é sempre possível encontrar n ∈ R tal que an > c.
0.8.7 Suponha que uma pessoa deseja investir um capital inicial C0 em uma aplicação que, a cada mês,
gera um rendimento líquido fixo proporcional a r% do capital acumulado no mês anterior. Ignore depósitos
adicionais na aplicação.
(i) Em termos de C0 e r qual será o capital acumulado após n meses de investimento?
(ii) Suponha C0 = 9.000 e r = 5. Qual o montante acumulado após 4 anos de aplicação (use uma
calculadora)?
(iii) Ainda supondo C0 = 9.000 e r = 5 qual o tempo mínimo que a pessoa deve manter o capital investido
a fim de que o montante final seja maior ou igual a 30.000?
0.8.8 Suponha a ∈ R∗+ e a 6= 1. Mostre que:
(i) O gráfico de g(x) = 1a
x é simétrico ao gráfico de g(x) = ax em relação ao eixo y.
0.8. Exercícios 35
(ii) O gráfico de f2(x) = log1/a x é simétrico ao gráfico de f1(x) = loga x em relação ao eixo x (x > 0).
0.8.9 Verifique que se 1 6 a < b então, para todo x > 0,
ax − 1
x
<
bx − 1
x
.
36 0. Números e Funções
0.9 Funções Trigonométricas
Dado um triângulo retângulo cujas medidas da hipotenusa e dos dois catetos são a,b e c, respectivamente,
chamando a medida do ângulo reto de Aˆ e representando por Bˆ a medida do ângulo oposto ao cateto
b e por Cˆ a medida do ângulo oposto ao cateto c, definimos no triângulo retângulo ABC, as relações
trigonométricas:
β
pi
2−β
AˆCˆ
Bˆ
b
c
a
Figura 0.9.1
seno de Bˆ =
cateto oposto a Bˆ
hipotenusa
=
b
a
; (0.9.1)
cosseno de Bˆ =
cateto adjacente a Bˆ
hipotenusa
=
c
a
; (0.9.2)
tangente de Bˆ =
cateto oposto a Bˆ
cateto adjacente a Bˆ
=
b
c
. (0.9.3)
Do mesmo modo, podemos definir:
seno de Cˆ =
c
a
; cosseno de Cˆ =
b
a
; tangente de Cˆ =
c
b
.
Aqui, e em todo o restante deste texto, representaremos medidas de ângulos pelas letras gregas
minúsculas do alfabeto (α,β, τ, θ e φ, por exemplo) e suas medidas estarão sempre em radianos. Se
β = Bˆ, 0 < β < pi2 , como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a pi rad, podemos afirmar
que Cˆ = pi2 − β, já que Aˆ =
pi
2 rad é a medida do ângulo reto.
Representaremos por senβ e tgβ, respectivamente, as expressões definidas nas Equações 0.9.1, 0.9.2
e 0.9.3, isto é, senβ = ba , cosβ =
c
a e tgβ =
b
c observe que:
sen
(pi
2
− β
)
=
c
a
= cosβ e cos
(pi
2
− β
)
=
b
a
= cosβ.
Observe ainda que tgβ = senβcosβ e tg
(
pi
2 − β
)
=
sen(pi2−β)
cos(pi2−β)
.
É possível ainda definir as funções trigonométricas no ciclo trigonométrico como segue. Usaremos a
correspondência biunívoca entre pontos do círculo e pontos da reta, para tanto.
x
y
β
β P = (1, 0)
B
B
A
C
O
Figura 0.9.2
Considere, no plano cartesiano, o círculo cen-
trado na origem e de raio 1. Mediremos o ângulo
positivo β, 0 6 β 6 2pi em radianos tomando,
no sentido anti- horário, a partir de P = (1, 0), o
arco P̂B correspondente no círculo.
0.9. Funções Trigonométricas 37
Caso o ponto B esteja na interseção do círculo com a parte positiva do eixo y, isto é, B = (0, 1), temos
β = P̂B = pi2 rad; caso B esteja na parte negativa do eixo x, isto é, B = (−1, 0), temos β = P̂B = pi rad;
caso B = (0,−1), β = P̂B = 3pi2 rad. Quando 0 < β <
pi
2 , diremos que o arco P̂B (a exemplo do ponto B)
está no 1◦ quadrante; quando pi2 < β < pi, o arco β está no 2
◦ quadrante; quando pi < β < 3pi2 , o arco β
está no 3◦ quadrante; finalmente, quando 3pi2 < β < 2pi, o arco β está no 4
◦ quadrante.
Quando os pontos P e B coincidem podemos escrever β = 0 rad (ou, quando conveniente, β = 2pi rad).
Analogamente, mediremos o ângulo negativo β = −β em radianos tomando, no sentido horário, a
partir de P = (1, 0), o arco P̂B correspondente. Observe que P̂B também corresponde ao arco positivo
2pi+ β = 2pi− β.
Mais geralmente, se forem desenvolvidas k voltas inteiras, no sentido anti-horário (respectivamente,
horário) antes de descrever o arco positivo (respectivamente, negativo) P̂B, podemos escrever
P̂B = 2kpi+ β, com 0 6 β 6 2pi e k ∈ Z.
O (único) número real β assim, obtido é chamado primeira determinação positiva do arco P̂B.
Suponha 0 < θ < pi/2.
Considere agora, A o pé da perpendicular baixada desde o ponto B até o eixo x; C o pé da perpendicular
baixada de B até o eixo y e T na interseção entre a semireta
−→
OB e a reta t, perpendicular ao eixo x passando
por P = (1, 0). Temos:
x
y
θ
P = (1, 0)
1
A
C
O
T = (1, tgθ)
B
Figura 0.9.3
sen θ =
AB
OB
=
AB
1
= AB = OC;
cos θ =
OA
OB
=
OA
1
= OA;
tg θ =
AB
OA
=
PT
OP
=
PT
1
= PT
(
β 6= pi
2
+ kpi,k ∈ Z
)
=
sen θ
cos θ
.
Podemos escrever B = (cos θ, sen θ) e T = (1, tgθ).
Assim, para todo 0 6 θ 6 pi2 , podemos definir as funções:
seno :
[
0,
pi
2
]
−→ [0, 1]
θ 7−→ sen θ
e
cosseno :
[
0,
pi
2
]
−→ [0, 1]
θ 7−→ cos θ
E ainda, para 0 6 θ < pi2 , podemos definir
tangente :
[
0,
pi
2
[
−→ [0,+∞[
θ 7−→ tg θ = sen θ
cos θ
Das definições anteriores, observa-se facilmente que:
38 0. Números e Funções
x
y
θ1
θ2
cosθ2
cosθ1
senθ1senθ2
tgθ1 tgθ2
Figura 0.9.4
1) • sen 0 = 0, sen pi2 = 1.
• sen(θ+ 2kpi) = sen θ,∀ k ∈ Z.
• quando 0 < θ1 < θ2 < pi2 , sen θ1 < sen θ2 e, por-
tanto, a função seno é crescente no 1◦ quadrante.
2) • cos 0 = 1, cos pi2 = 0.
• cos(θ+ 2kpi) = cos θ, ∀ k ∈ Z.
• quando 0 < θ1 < θ2 < pi2 , cos θ2 < cos θ1 e,
portanto, a função cosseno é decrescente no 1◦
quadrante.
3) • tg 0 = 0.
• tg(θ+ 2kpi) = tg θ, ∀ k ∈ Z.
• 0 < θ1 < θ2 < pi2 ⇒ tg θ1 < θ2. Logo, a função
tangente é crescente no 1◦ quadrante.
Suponha agora pi2 < θ < pi.
x
y
α
θ
α
A A ′
C
O
t
B ′
B
=
(co
sθ
, se
nθ
)
T = (1, tgθ)
Figura 0.9.5
Considere ainda, como anteriormente, A o pé da
perpendicular baixada de B até o eixo x; C o pé
da perpendicular baixada de B até o eixo y e
T na interseção entre a semireta
−→
BO e a reta t,
perpendicular ao eixo x passando por P = (1, 0).
Sejam B ′ o ponto na interseção da semireta
−→
BC e o ciclo trigonométrico e A ′ o pé da perpendicular
baixada de B ′ até o eixo x.
Como OB = OB ′ = 1, as medidas dos ângulos OBˆA e OBˆ ′A são iguais (verifique) e AB = OC = A ′B ′,
os triângulos OAB e OA ′B ′ são congruentes e, portanto as medidas dos segmentos OA e OA ′ são iguais.
Assim, se α = A ′OˆB ′ temos cosα = OA ′ = OA. Definimos cos θ = − cosα e sen θ = senα. Como
tg θ =
sen θ
cos θ
=
− senα
cosα
, temos tg θ = − tgα.
Em outras palavras, para pi2 < θ < pi temos θ = pi− α, para algum α tal que 0 < α <
pi
2 e, daí:
• cos θ = cos(pi− α) = − cosα;
• sen θ = sen(pi− α) = senα;
• tg θ = tg(pi− α) = − tgα;Em coordenadas, B = (cos θ, sen θ) e T = (1, tg θ).
0.10. Exercícios 39
0.10 Exercícios
0.10.1 Mostre que se 0 < θ < pi2 então:
(i) sen
(
pi
2 − θ
)
= cos θ;
(ii) cos
(
pi
2 − θ
)
= sen θ.
0.10.2 Mostre a validade das igualdades
cos 2x = 1− 2 sen2 x = 2 cos2 x− 1.
Em seguida calcule sen pi8 , cos
pi
8 , sen
pi
12 e cos
pi
12 .
0.10.3 Seja ABC um triângulo tal que AB = AC = 1 e B̂AC = pi5 .
P HA B
C
1
pi/5
(i) Verifique que AĈB = AB̂C = 2pi5 .
(ii) Considere P sobre o segmento AB tal que AĈP = BĈP = pi5 e mostre que AP =
√
5−1
2 .
(iii) Seja H o pé da perpendicular baixada do ponto A até o segmento BC. Verifique que HB
AB
=
√
5−1
4 e,
portanto, sen pi10 =
√
5−1
4 .
(iv) Calcule cos pi10
0.10.4 Calcule sen pi5 , cos pi5 , sen pi20 e cos pi20 .
0.10.5 Se sen θ = 310 e 0 < θ < pi2 , calcule cos θ e tg θ.
0.10.6 Considere no ciclo trigonométrico os pontos A = (1, 0), P = (cosα, senα), Q = (cosβ, senβ) e
R = (cos (β− α), sen (β− α)) como na figura:
x
y
A
P
RQ
(i) Explique por quê as distâncias de P a Q e de A a R são iguais.
40 0. Números e Funções
(ii) A partir da igualdade PQ2 = AR2 mostre que cos (β− α) = cosβ cosα+ senβ senα.
(iii) Justifique a igualdade cos (β+ α) = cosβ cosα− senβ senα.
(iv) Use a igualdade sen θ = cos (pi2 − θ) e mostre as identidades sen (β+ α) = senβ cosα+ senα cosβ
e sen (β− α) = senβ cosα− senβ cosα.
0.10.7 Mostre a validade das seguintes igualdades
(a) cos pi4 =
√
2
2 , sen
pi
4 =
√
2
2 e tg
pi
4 = 1
(b) cos pi3 =
1
2 , sen
pi
3 =
√
3
2 e tg
pi
3 =
√
3
(c) cos pi6 =
√
3
2 , sen
pi
6 =
1
2 e tg
pi
6 =
√
3
3
0.10.8 Mostre que:
(i) cos (2α) = cos2 α− sen2 α = 2cos2 α− 1 = 1− 2sen2 α
(ii) sen 2α = 2 senα cosα
0.10.9 Calcule cos pi12 , sen pi12 e tg pi12 .
0.10.10 Verifique a validade das igualdades:
(i) cos2 α = 12 +
1
2 cos 2α
(ii) sen2 α = 12 −
1
2 cos 2α
(iii) senp cosq = 12 [sen(p+ q) + sen(p− q)]
(iv) cosp cosq = 12 [cos(p+ q) + cos(p− q)]
(v) senp senq = 12 [cos(p− q) − cos(p+ q)]
0.10.11 Calcule:
(i) cos pi8
(ii) sec pi8
(iii) cossec pi4
(iv) cotg pi3
(v) sen pi16
(vi) tg pi8
0.10.12 Mostre que, ∀ α 6= pi2 + kpi, k ∈ Z:
(i) cos2 α =
1
1+ tg2 α (ii) sen
2 α =
tg2 α
1+ tg2 α
0.10.13 Se 0 < α < pi2 e tgα = 2 então quais os valores de senα e cosα?
0.10.14 Mostre que tg
(α
2
)
=
senα
1+ cosα
, ∀ α 6= pi+ kpi, k ∈ Z.
0.10.15 Calcule sen pi12 , cos pi12 , tg pi12 , cos 12pi5 , sen 10pi3 e tg 5pi4 .
1
O Limite de uma Função
1.1 Introdução
Considere a função racional f(x) =
x2 − 5x+ 4
x− 1
. Sabemos que f está definida para todo x ∈ R, x 6= 1.
Porém, é possível estabelecer o que ocorre com as imagens de valores de x tão próximos de 1 quanto
desejarmos. Para tanto, há duas escolhas:
(i) a primeira, é considerar valores de x cada vez mais próximos de 1 e determinar as imagens de tais
valores, a fim de ter uma estimativa, talvez rude, do que poderia ocorrer em x = 1.
x
y
0−2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1 f
Figura 1.1.1
x f(x)
0, 9 −3, 1
0, 99 −3, 01
0, 999 −3, 001
0, 9999 −3, 0001
...
...
↓ ↓
1 ?
x f(x)
1, 1 −2, 9
1, 01 −2, 99
1, 001 −2, 999
1, 0001 −2, 9999
...
...
↓ ↓
1 ?
Tanto para x < 1, quanto para x > 1, observa-se que as imagens f(x) ficam cada vez mais pró-
ximas. Através de uma lista mais abrangente de valores “próximos” de 1, nosso palpite de que as
imagens se aproximam de algum número real pode ser emitido com maior convicção; porém, isso
não caracterizaria uma comprovação matemática.
(ii) a segunda, mais precisa e eficaz neste caso, é observar que para todo x 6= 1 tem-se
x2 − 5x+ 4
x− 1
=
(x− 1) (x− 4)
x− 1
= x− 4;
e, portanto, para quaisquer valores de x próximos de 1, f(x) se aproxima de −3.
Obviamente, neste exemplo, não convém falar em imagem de 1 por f, já que f nem mesmo está definida
para x = 1. No entanto, o número −3 nos diz muito a respeito do comportamento da função f em torno
41
42 1. O Limite de uma Função
da abcissa 1, para a qual f não está definida. Diremos que −3 é o limite de f quando x tende a 1 e
abordaremos tal noção num sentido mais formal na seção posterior.
Exemplo 1.1.1
Considere a função
f(x) =
x3 + 2x2 − 2x− 1
2x2 + x− 3
,
definida para todo x ∈ R tal que x 6= 1 e x 6= −32 . É fácil observar que
x3 + 2x2 − 2x− 1 = (x− 1)
(
x2 + 3x+ 1
)
e
2x2 + x− 3 = (x− 1) (2x+ 3) .
Portanto, para valores de x próximos de 1 e diferentes de 1 (e diferentes de −32) podemos escrever
f(x) =
x2 + 3x+ 1
2x+ 3
.
Logo, enquanto x está “cada vez mais próximo” de 1, f(x) se “aproxima” de 55 = 1.
x
y
1
1
− 32
Figura 1.1.2
Observe que no Exemplo 1.1.1 utilizamos fortemente a fatoração dos polinômios no numerador e
no denominador da função racional f. Sempre que possível lançaremos mão de tal artifício, inclusive
para expressões não polinomiais, como é o caso do numerador da função não racional g, do Exemplo
1.1.2, partindo de algum algebrismo preliminar. Observe ainda que para valores de x próximos de −32 o
denominador 2x2 + x − 3 se aproxima de 0 assim como o denominador 2x + 3. Abordaremos isso mais
adiante.
1.1. Introdução 43
Exemplo 1.1.2
Considere a função
g(x) =
√
x− 2
x− 4
,
definida para todo x ∈ R, x 6= 4. Para valores de x próximos de 4 (mas diferentes de 4) podemos
escrever
√
x− 2
x− 4
=
√
x− 2
x− 4
·
√
x+ 2√
x+ 2
=
x− 4
(x− 4)
(√
x+ 2
)
=
1√
x+ 2
e, portanto, quando x se aproxima de 4 o limite é 14 .
x
y
(4, 14 )
Figura 1.1.3
É de se esperar que ocorram casos em que o limite da função não exista em uma abcissa fixada, ou mesmo
em uma infinidade de abcissas. Para o primeiro caso, apresentamos a função salto unitário , no Exemplo
1.1.3, que não possui limite quando x tende a 0. Já a função maior inteiro , do Exemplo 1.1.4, não possui
limite quando x se aproxima de qualquer inteiro.
Exemplo 1.1.3 (A função salto unitário)
Considere a função f(x) =
{
0, se x 6 0
1, se x > 0
.
Obviamente, se x se aproxima de 0 por valores menores que 0, estão próximos de 0 (e este é igual
a f(0)). Por outro lado, se x se se aproxima de 0 por valores maiores que 0, estão próximos de 1 (e,
portanto, diferente de f(0) = 0).
x
y
1
Figura 1.1.4
44 1. O Limite de uma Função
Exemplo 1.1.4 (A função maior inteiro)
Aqui, e em todo o restante do texto, TxU representará o maior inteiro menor do que ou igual a x.
Assim, se z é um inteiro, TzU = z; se r ∈ R é não inteiro, TrU é um número inteiro imediatamente
menor que r.
O gráfico da função f(x) = TxU, também chamada função escada , é uma sequência infinita de
degraus de comprimento e altura unitários, representados abaixo.
x
y
0−2 −1 1 2 3
−2
1
2
−1
Figura 1.1.5
Evidentemente, se r /∈ Z, o valor de f quando x se aproxima de r é TrU. No entanto, se z ∈ Z,
f(x) tende a z − 1 quando x se aproxima de z e x < z e, por outro lado, f(z) tende a z quando x se
aproxima de z e x > z. Portanto, o limite de f quando x se aproxima de z não pode existir.
1.2 Exercícios
1.2.1 Com o auxílio de uma tabela de valores, faça uma estimativa dos valores de f(x) quando x tende a c.
(a) f(x) =
x− 2
x2 + x− 6
c = 2 x 1, 9 1, 99 1, 999 2 2, 001 2, 01 2, 1
f(x) ?
(b) f(x) =
x− 3
x2 − 9
c = 3 x 2, 9 2, 99 2, 999 3 3, 001 3, 01 3, 1
f(x) ?
(c) f(x) =
√
x+ 9−
√
9
x
c = 0 x −0, 1 −0, 01 −0, 001 0 0, 001 0, 01 0, 1
f(x) ?
(d) f(x) =
√
6− x− 3
x+ 3
c = −3 x −3, 1 −3, 01 −3, 001 −3 −2, 999 −2, 99 −2, 9
f(x) ?
(e) f(x) =
1
(2x+1) −
1
7
x− 3
c = 3 x 2, 9 2, 99 2, 999 3 3, 001 3, 01 3, 1
f(x) ?
(f) f(x) =
x
(x2+1) −
2
5
x− 4
c = 2 x 2, 9 2, 99 2, 999 2 3, 001