Robortella Vol 01 Cinemática

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A coleção consta de 
oito volumes:
/Mecânica: Cinemática 
Mecânica: Dinâmica
^M ecân ica : Estática, Hidrostática e Gravitação 
Óptica Geométrica
r
O Termologia
6 Oscilações, Ondas e Acústica
/^Eletricidade: Eletrodinàmica
( 3 Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo
Cada capítulo apresenta as 
seguintes partes:
0. Introdução Teórica
ti. Questões Resolvidas
C Questões Propostas
d. Respostas
CfflïULO
1
s
A Física é o ramo da Ciência que, juntamente 
com a Matemática, a Biologia e a Química, 
procura explicar os fenômenos que ocorrem na 
Natureza, tais como os movimentos dos corpos, as 
trocas de energia entre sistemas, a 
propagação da luz, etc.
Introdução à Mecânica
• Mecânica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é 
dividida em partes. A Mecânica é a parte da Física que estuda os 
movimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências. 
Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica, 
Estática, Hidrostática e Gravitação.
10
(1571-1630)
Matemático e astrónomo alemão. 
Estabeleceu as leis cinemáticas do 
movimento dos planetas ao redor 
do Sol. Criou as bases para o 
futuro desenvolvimento da Mecânica.
(1564-1642)
Matemático o astrônomo italiano. 
Estabeleceu as leis do movimento dos 
projéteis e a Lei da Inércia. 
Introduziu o método científico na 
observação dos fenômenos e 
contribuiu decisivamente para o 
desenvolvimento da Mecânica.
Fisico e astrónomo inglês Fez a 
síntese das idéias de Kepler e 
Galileo. estabelecendo as Leis da 
Dmâmica e a Lei ca Gravitação 
Universal. Seus trabalhos modificaram 
a visão humana do Universo.
Unidade
Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consiste 
em determinar as grandezas nele envolvidas. Medir uma grandeza 
é compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade. 
Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremos 
o padrão.
Sistemas de unidades mecânicas
Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de um 
conjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas, 
definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento, 
massa ou força e tempo.
• Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi ado­
tado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas funda­
mentais estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também é 
conhecido como MKS.
12
• Sistema CGS — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna* 
cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, o 
CGS. cujas unidades estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento centímetro cm
massa grama g
tempo segundo s
• Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas téc­
nicas Suas unidades fundamentais são apresentadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
força quilograma-furça kgf
tempo segundo s
Usualmente adotam-se, ainda, as unidades quilômetro (compri­
mento) e hora (tempo), onde:
1 km = 1 000 m 
e
1 h = 3 600 s
Intensidade de uma grandeza
O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade é 
um número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico da 
grandeza em relação àquela unidade.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é deno 
minado intensidade da grandeza.
Exemplo:
( //////////#>/
-
Ao modlrmON u nlturo do um homom, obtemos 1.70 m.
Nosto cflHo, tomos:
grandeza medida: comprimento (altura): 
unidade: metro (m); 
valor numérico: 1.70; 
intensidade da grandeza: 1,70 m.
Assim, medir uma grandeza é, na realidade, determinar sua in­
tensidade
Ponto material
Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferem 
na solução do problema, dizemos que ele é um ponto material.
Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um
ponto material.
Assim, um móvel em translação pode ser estudado como um 
ponto material.
Introdução à Cinemática
Movimento de translação de uma carga.
14
Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seus 
pontos c o mesmo. Basta, então, estudar o comportamento de um 
único ponto (ponto material).
Resumindo:
Translação ■►o corpo pode ser considerado ponto material.
Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na so­
lução co problema. Neste caso, não podemos considerá-lo como ponto 
material.
Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento dis­
tinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material.
Resumindo:
Rotação ■►o corpo não pede ser considerado ponto material.
Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode 
ser considerada como ponto matéria em relação ao seu movimento 
de translação ao redor do Sol.
15
Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seu 
próprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material.
ê$J& r/ac& 2.__________________________________ __________
Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material não 
sejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quando 
necessário.
Referencial
Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relação 
a um sistema de referência, também denominado referencial.
O referencial está. em geral, associado a um outro corpo. Assim, 
por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estu­
dado em relação ao “ referencial-carro" ou em relação ao “ referencial- 
-Terra
Dependendo do problema analisado, os referenciais tomados 
poderão ser uni. bi ou tridimensionais.
16
r rp • Aplicações
Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feita 
através de um único número: Xp (coordenada).
Movimento de um corro numa estrada.
Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita através 
dc dois números: Xp e Yp(coordenadas).
Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita através 
de três números: Xpf Y p e Zy (coordenadas).
Vôo de um pássaro num viveiro.
17
Movimento
Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relação 
a um referencial quando sua posição se alterar ao longo do tempo 
neste referencial. Isso significa que, no mínimo, uma de suas co­
ordenadas varia com o tempo.
Mudança de posiçíío: movimento.
Aplicação
Um passageiro sentado está em movimento, 
juntamente com seu veiculo, em relação à Terra
Repouso
Dizemos que um ponto material está em repouso, em relação 
a um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo do 
tempo, neste referencial. Ou seja. quando suas coordenadas neste 
referencial não sc alterarem com o tempo.
Posição inalterada: repouso.
18
i* Aplicações
1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relação 
a um referencial e em movimento em relação a outro.
Na figura abaixo:
• a caixa está em repouso em relação ao caminhão, pois sua po­
sição não varia em relação a ele (referencial B).
• a caixa está em movimento em relação à estrada, pois sua posi­
ção varia em relação a ela (referencial A).
Indica 3xposiçõo da caix3 
em relação ao caminhão.
a posição 
em 
à
estrada.
2. Na figura abaixo representamos a posição de um poste em relação 
a um carro. Se a posição do poste varia em relação ao carro, di­
zemos que o poste movimenta-se em relação ao carro.
V ® ®
Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen­
dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, é 
conveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição do 
fenômeno torne-se a mais simples possível.
& 19
Trajetória «
Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições
ocupadas por ele cm re ação ao referencial adotado.
Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel.
trens percorrem uma trajetória previamente traçada.
A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça que 
se origina da condensação do vapor dos gases liberados.
Geralmente, a trajetória é representada por uma função mate­
mática e sempre depende do referencial adotado.
Exemplo:
C .
Desprezandoas influências do ar, a trajetória de uma bomba, que 
cai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será um 
arco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical 
cm relação ao avião.
A orientação da trajetória e a escolha de uma origem sobre ela 
facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação de 
sinais a algumas grandezas que o caracterizam.
Orientação da trajetória c escolha da origem (O)
Esquema simplificado:
Movimento progressivo «
O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a 
favor (no mesmo sentido) da orientação indicada no referencial.
©
Movimento retrógrado
0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra 
(em sentido contrário) a orientação indicada no referencial.
©
Espaço
A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dado 
instante t. pode ser determinada através da grandeza espaço.
p
e#>
c/*
/
22
0 espaço S é a medida algébrica do arco de trajetória que tem 
início na origem do referencial e extremidade na posição ocupada 
pelo móvel.
Ou seja: S = OP.
No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sis­
tema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.
toî/zemdJim
Aplicações práticas
Marco quilométrico nas estradas:
Numeração das casas numa rua:
24
ü fó & va flfà L___________________________________________________
J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *va i\ 
“vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está no 
quilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km.
i
2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associado
à própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveis 
A. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positiva 
e negativa.
Podemos, então, escrever: móvel A: SA — — 30 km: 
móvel B: S „= + 2 0 k m ; móvel C (observador):
Sc = 0 .<m (origem): móvel D: SD = 0km (origem).
Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvel 
B ‘ vem’ e o observador C está em repouso.
L
Simpliíicadamente teremos:
í
I
Intervalo de tempo
Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre um 
intervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instante 
final e o instante inicial
11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo.
Um fenómeno f r \ 0 fenômeno
físico tem seu W r * seu término
início quando o quando o
cronômetro . i — ! cronômetro
registra 5 s. registra 15 s.
Logo: v Logo:
*»n = 5 S instante finai — tfh. = 15 s
à r
Duração do fenômeno
\ i ‘ s
Intérvalo de 
tompo At *"
/ I I v
At = tf,„ - t(ll = 15s — 5 s Logo |A> -0 s|
26
Deslocamento escalar
Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo de
tempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial das 
posições que ele ocupa nos extremos deste intervalo.
Ou seja: AS — Srm — Sir,
Deslocamento escalar: AS = S,
Esquema simplificado: s .
Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar para 
os sinais do deslocamento escalar.
1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicial 
determinada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a po­
sição final determinada por Sn« — 30 m. seu deslocamento escalar 
será:
à
I
I
Intervalo de tempo 
Deslocamento escalar
A' — tfi„— tj,,
At = 12 s 4 s — 8 s
AS = Sflll S|M
AS 30 m — 10 m = +20 m
^ Conclusão : Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um 
^ des ocamento escalar de +20 m. ,
O sinal “ mais” significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor 
do sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar é 
positivo.
2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinada 
por $ i;, = 35m e no instante 25 s ele ocupa a posição final deter­
minada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será:
AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m => AS = —15 m
s n„ - 20 m
Intervalo dc tempo A* tfin — *iii
At = 25s — 15s = 10 s
Deslocamento escalar AS = SflI(- S iuAS = 20 m — 35 m = 15 m
Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve um 
deslocamento escalar de —15 m.
O sinal "menos" significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se contra o 
sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar é 
negativo.
Movimentos progressivos - ► AS > 0
Movimentos retrógrados AS < 0
Ouando o móvel retorna ao ponto de partida ou permanece em repouso, 
o deslocamento escalar é nulo.
posição
inicial
Distância percorrida
A distância percorrida por um móvel é a soma dos módulos dos 
deslocamentos escalares realizados por ele durante seu movimento, 
acrescida da unidade correspondente.
Assim, por exemplo, a distância percorrida por um automóvel 
corresponde à quilometragem feita por ele durante uma viagem. 
Resumindo:
d = |ASi| + |AS»| + . . . + |ASn|
Exemplo:
Para um móvel que parte da posição A, atinge B e retorna, che­
gando ao ponto C, teremos:
1) AS = So — S a = 0 m — 10 m — 10m
2) d — AB + BC = 10m + 20m = 30 m
O « inholo ,\ S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS e 
corroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real 
positivo ou nulo.
Exemplo:
AS n -2 m - ► AS| =4-2
Velocidade escalar
Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez com 
que um móvel varia sua posição.
• Velocidade escalar média — Define-se velocidade escalar média 
de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalo 
de tempo correspondente.
Como o intervalo de tempo At é sempre positivo a velocidade 
escalar media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS.
Ou seja: VnJ =
At tfin tin
©
30
• Velocidade escalar instantânea — Ouando o intervale de tempo 
At tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar 
instantânea.
Ou seja:
Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos.
velocidade média do 
móvel entre dois instantes 
muito próximos
velocidade
instantânea
• Unidades de velocidade
No Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis­
tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente, 
mede-se também a velocidade em km/h.
Aplicações práticas
Velocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite 
de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.
31
• Sinais da velocidade escalar — Nos movimentos progressivos a 
velocidade escalar instantânea é sempre positiva.
Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é
Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dize­
mos que ele está parado naquele instante.
Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento ver­
tical de uma pedra.
áà v = o
"" No instante em 
que atinge o 
ponto mais alto da 
J sua trajetória, o 
| móvel pára Porém, 
não permanece 
nessa posição com 
V. V = 0.
í
Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel perma­
nece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele está 
em repouso naquele intervalo.
i Complementos
• A intensidade da velocidade escalar instantânea pode ser regis­
trada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro).
O velocímetro do automóvel registra a intensidade tía velocidade escalar instartãrea
(rapidez do movimento).
• Algumas velocidades significativas:
Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/s
Velocidade do som no ar à temperatura de 20“ C . . 344 m/s 
Velocidade média de translação da Terra ao redor
do Sol .................................................................................... 30 km/s
Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial ado­
tado. Assim, uma pessoa dormindo em sua casa possui velocidade 
nula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula em 
relação ao Sol.
\
-
»
I Ct*
33
Aceleração escalar
Aceleração é o grandeza físicaque permite medir a rapidez com 
que um móvel varia suei velocidade.
• Aceleração escalar média — Num intervalo de tempo M. um 
móvel var a sua velocidade escalar de V.n a Vfln.
©
km. h
r 7 sV©'
km.h
Define-se aceleração escalar média do móvel como o quociente 
da variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor­
respondente.
Ou seja:
O sinal da velocidade 
só indica o sentido 
do movimento.
V,0 - 4C km/h Vf,u 4 85 krn - h
No exemplo:
85 40 45
= ------------= -----
30 - 15 15
34
• Aceleração escalar instantânea — Quando o intervalo de tempo 
At tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar 
instantânea. At —o
Ou seja: a == lim a.-„ 
a:-» ü
• Unidades de aceleração
AV
Lembrando que a,u = ----- , então podemos concluir que:
At
unidade de 
unidade de velocidade
aceleração unidade de
tempo
Assim, no Sistema Internacional teremos:
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
No Sistema
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
No Sistema
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
km/h
Uma unidade usual é
s
Aplicação prática
Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de um 
Corcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s: 
a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo 
de tempo de 15,30s. (Dados extraídos ca revista Quatro Rodas de 
junho de 1979.)
• Sinais da aceleração escalar — Analisemos o movimento de um 
veículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procura 
manter a leitura no velocímetro ou permanentemente crescente ou 
permanentemente decrescente. Lembre-se de que o velocímetro só 
registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos 
de acordo com o sentido do movimento do móvel.
1} As velocidades do veículo crescem algebricamente:
Instante t«„ - 5s tf n - 10s
Velocidade Vj,, — —5 m/s Vf| „ - 4-15 m/s
A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai.
1 5 - 5
a... -
1 0 - 5
a,, - + 2 m/s*
I
Velocidade Vh: — 15 m/s
A velocidade ̂
está 
crescendo 
algebricamente-. 
a ( I ). Instante
A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!.
= —
( -15)
10 5
a„ - - 2 m/s
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que 
-- sua velocidade escalar crescer algebricamente.
2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente:
A velocidade está 
decrescendo 
algebricamente: a ( )
Instante ti» - 5 s tr.„ = 10 s
Velocidade V,., - +15 m/s v n. “ +5 m/s
A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial. 
5 - 1 5 aai = —2 m/s-
Instante t,» “ 5 s Win — 10 s
Velocidade V;1I - - 5 m/s Vr.i. ™ -1 5 m/s
A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial. 
-1 5 - ( - 5 )
am — a„ = —2 m/s-
O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento.
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempre 
que sua velocidade escalar decrescer algebricamente.
% //M /n ã /à n 37
Movimentos acelerado e retardado
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce 
num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.
Movimento acelerado
A velocidade aumenta em intensidade.
Corresponde á situação em que as leituras do velocímetro 
assumem valores crescentes.
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce 
num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.
Movimento retardado
A velocidade diminui em intensidade.
Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro 
assumem valores decrescentes.
Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que o 
sinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seu 
movimento ser acelerado ou retardado. Assim, o fato de a aceleração
38
ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja ace­
lerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implica 
necessariamente que o movimento seja retardado.
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo tía aceleração
Entre Os e 5 s:
km/h
Entre 5 s e 10 s:
8 0 - 6 0 km/h
$ 1 0 - 5 s
ACELERAÇÃO POSITIVA 
VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo da aceleração
Entre Os e 5 s:
- 6 0 - (-40 )
a — -----------------
5 - 0
ACELERAÇÃO NEGATIVA 
VELOCIDADE NEGATIVA
Entre 5 s e 10 s : .
30 - (—60)
a ------------------
1 0 - 5
MOVIMENTO ACELERADO
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!
f
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5 s
60 80
a —------ -—
3 - 0
l km/h
Entre 5 s e 10 s:
40 - 60 km/h
s 1 0 - 5 s
ACELERAÇÃO NEGATIVA 
VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO RETARDADO
MOVIMENTO RETARDADO
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5 s:
-60 - (-80)
a ------------------
5 - 0
km/h
a .. T-4------ -
Entre 5 s e 1C s:
-40 - (-60) km/h
s 1 0 - 5 s
ACELERAÇAO POSITIVA 
VELOCIDADE NEGATIVA MOVIMENTO RETARDADO
O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento
Movimento retardado: velocidade e aceleração têm SINAIS OPOSTOS!
40
Portanto:
Movimento acelerado
Velocidade e aceleração têm o mesmo sinal. - v
. a > 0
Movimento retardado
Velocidade e aceleração têm sinais opostos. - V . a < 0
Representação gráfica
A variação de uma grandeza em 
visualizada através ce um diagrama.
função do tem oo pode ser
Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem pode 
ser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terra 
pode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.
'W
ft
Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. da 
velocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horários 
S X t . V X t e a X t .
A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o com­
portamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo.
Exemplo:
Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, podemos concluir que:
• De Os a 5 s . V > 0 (movimento progressivo) e V cresce (movi­
mento acelerado).
• De 5 s a 10s, V > 0 (movimento progressivo) e V decresce 
(movimento retardado).
• De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV| cresce (mo­
vimento acelerado).
• De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e V decresce 
(movimento retardado).
42
' f ln
Gin
G
y\<x ! AGi
~A At 1
/ a ; ii
/ "■
*fln t
Elementos gráficos
Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesse 
no estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sob 
o gráfico.
• Declive de uma curva * —
Dado um diagrama horário de 
uma grandeza G (S. V ou a), cha­
mamos de declive do gráfico a 
tangente trigonométrica do ân­
gulo formado pelo gráfico e o 
eixo horizontal, medido no sen­
tido anti-horário a partir do eixo
t. Ou seja: | dec = tgõ~ .
Gráfico retilíneo: dec = tg a =
AG _ Gfln — G|n
At trtn — tln
Gráfico curvilíneo:
• declive médio 
deCm — dec ĵ^p. ̂ tg &
• declive num ponto 
deci» = tg a
Sinais do declive:
• para 0o < a < 90°, dec > 0.
Exemplo:
6 — 3
dec (o» m j»)-----------— “M ,5 —>
2 - 0
dec«)» mi‘») — 4-1.5 
• para 90° < a < 180°, dec < 0.
Exemplo:
dec. s - h 7») =
0 - 6
7 - 5
= - 3 = >
dec <5. W 7 •! = —3
• Para a = 0\ dec = 0. 
Exemplo:
6 - 6
dec (2 « H 5 •) = 0
_________ 5 — 2
j dec<2 ■h »»i — 0
* Pera maior facllidace. ver Apêndice (Pranchas Matemática») no lina l deste liv ro
Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza t
seja a mesma. f
Exemplo:
eixo da grandeza G (ordenada): 1 cm representa 1 m/s;
eixo da grandeza t (abscissa): 1 cm representa 1 s._________________________
• Área sob o gráfico — Mui­
tas vezes a área entre o gráfico 
e o eixo dos tempos é numerica­
mente igual a uma certa gran­
deza física G, ou seja, A *? G .
Por outro lado, em muitos 
casos, o sinal desta grandeza 
está associado ao fato de o grá­
fico estar acima ou abaixo do 
eixo dos tempos. Podemos, en­
tão. adotar a seguinte conven­
ção:
• área calculada acima do eixo 
dos tempos: G > 0;
• área calculada abaixo do 
eixo dos tempos: G < 0.
Exemplos:
8 + 4
D A IO» H2 «) . 2 —
= 12 — > Ato» h 2») = 12 
A ;2« m * h) — 2 . 8 = 16 = 
—> A(2«h i >0 = 16 
2 . 8
A h «h 6») =•--------= 8 :
==> A « « MA») — 8
Portanto, A(0, h 6*j = 12 +■ 
+- 16-h 8 = 36
Sendo A 5 G, vem: |G = -f36 
4 .8
2) A(«. mio») 16
Sendo A ̂G. vem: | G = —16
1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagão 
de um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair 
seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem. 
é (despreze a resistência do ar):
a) uma reta.
b) uma parábola.
c) um quarto de circunferência.
d) uma hipérbole.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, hori- 
zontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial. 
Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto 
será um segmento de reta vertical.
O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo­
cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar.
— O ----
\
Resposta: alternativa a.
45
2. CESCEA — Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa 
no solo é:
a) uma reta.
b) uma parábola. f
c) uma hipérbole.
d) um quarto de circunferência.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo, o relógio será 
dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamento 
lateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará­
bola, conforme você pode observar no exemplo do avião.
Resposta: alternativa b.
3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edi­
fício. A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m 
do edifício, conforme figura abaixo. Ele sobe ao topo em 4 s e. 
daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidade escalar 
média entre A e B é de:
Cv a) 3.2 m/s.
b) 1.2 m/s.
c) 3,6 m/s.
d) 5.25 m/s.
Bl_______________- N .a e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Do enunciado da questão, temos:
CB = 8 m, AB = 6m , AtAC = 4 s e Atou = 1 s
C
Por Pitágoras, podemos escrever: 
(AB)2 + (CB)2 = (AC)2 
(6)2 -4- (8)2t= (A C )2
(AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m
Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem: 
. . AS AC + CB 10-f-8 18
" 6
■ât AtAC -j- AtfB 4 -f- 1 5
Logo: Vrn = 3 ,6m /s
Resposta: alternativa c.
46
4. MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto 
médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante 
de 4,0 m /s e PN com velocidade constante de 6,0 m /s. A velo­
cidade média do homem entre M e N é de:
a) 4,8 m /s.
b) 5,0 m/s.
c) 5.2 m /s.
d) 4.6 m/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as 
velocidades media e instantânea tem o mesmo valor.
y © g © a
At, At,
Ou seja:
velocidade
constante
V = V,
Assim, para o trecho MH podemos escrever:
AS, AS
Vm, = 4 m/s = > --------- = 4 = > At, = ------
* At, 4
Para o trecho PN, teremos:
AS2
Vrn = 6 m / s = > --------- = 6 = >
Ata
A velocidade media total será:
ASp AS, -{- ASaV — —
At? At, -}- Ato
Ata
ASa
6
(UI)
Substituindo-sc
AS,
AS,
(I) e (II) em (III), vem: 
-I- AS. _ AS, + AS*
ASo ~ 3 AS, + 2ASa
(D
( I I )
12(AS, + AS-.) 
3AS, -f- 2ASo
4 6 12
47
Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PN 
ou AS, - AS,.
Portanto:
12(AS, + AS,) 2 4 # ,
~~ '
V«
24
3AS, -f 2AS, 
Conclusão:
4,8
VmT — 4,8 m/s
Resposta: alternativa a.
5. MAPOFEI — Um automóvel percorre a distância entre São Paulo 
e São José des Campos (90 km) com a velocidade média de 
60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro 
(100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entre 
Cruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de 
60 km/h. Calcule a velocidade média do automóvel entre São 
Paulo e Rio de Janeiro.
Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo— São José dos Campos):
AS, AS, 90
Vm = ------ = > At, = -----— = > A t, = ------ = 5
1 At, V». 60
At, = 1,5 h
Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro):
AS2 AS2 100
V„, = ----i = > Ata = ---- — = > At. = --------- = >
Ato 100
Ato = 1,0 h
Para o trecho (3) (Cruzeiro— Rio de Janeiro):
AS» AS3 4 210
At3 —--------- — ̂At:, —V« = - 
1 At: 60
At:, = 3,5 h
Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio de
Janeiro será: _________
At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h
48
O deslocamento total do automóvel será: 
áS = AS, 4 AS . 4 AS3 = 90 4 100 4 210 = > 
Portanto:
AS = 400 km
V,
400
6
Vm — 66,6" km/h
Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de 
66,67 km/h.
6. CESGRANRIO — Numa avenida longa, os sinais são sincronizados 
de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velo­
cidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sa­
bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é 
de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal 
e o seguinte c de 12 s. com que velocidade os carros devem 
trafegar para encontrarem os sinais abertos?
a) 30 km/h
b) 40 km/h
c) 60 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h
Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinal 
vermelho.
Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximo 
sinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde.
At
Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazer 
este percurso.
Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem: 
AS 200 50
V ... —— ■ ■ ■ ■ v m =
50
At 12 3
Lembrando que I m/s = 3,6 km/h, ternos: 
50
m/s
V,„ = . 3,6 km/h V'n-, = 60 km/h
Resposta: alternativa c.
49% /s/ £ m d / ü r/ '
7. UNIVERSIDADE DE TAUBATé — Uma bicicleta move-se sobre 
uma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual 
a — 4 rn./s. O sinal negativo indica que:
a) a bicicleta tem velocidade decrescente.
b) a bicicleta se move em marcpa a ré.
c) o movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva 
da trajetória.
d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo­
cidade negativa.
Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move 
contra a orientação do referencial.
Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado.
)
Resposta: alternativa c.
8. UNIVERSIDADE DA BAHIA — O maquinista aciona os freios de 
um trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, no 
intervalo de 1 min. Neste intervale, a aceleração do trem foi de:
a) 20 km/h-’.
b) —20 km/h2.
c) —0.3 km/h2.
d) 1.2 . 103 km/h-.
e) —1.2 . 103 km/h2.
Resolução: Lembrando que a„, AV Vfla — V|n
At At
podemos es-
crcver:
&B) —
Logo: 
3iu — —
60 km/h — 80 km/h 
1 min
20 km/h km/h
1 min
a» = - 2 0
mm
50
Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km/h em cada 
minuto.
Como 1 min = ------h, entào:
60
am = - 2 0 . 60 km — => am = —1 200 km/h2 
h
Assim:
a,3 : 1.2 . 103 km/h2|
O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui 
algebricamente.
Resposta: alternativa e.
9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade es­
calar (V) de um corpo em função do tempo (t):
t(s) 0 2 4 6 8
V(cm's) -3 4 11 18 25
A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa
am «o *ih 2 (| = ---------------- — H--------- — -f-3,5 cm/ s
2 - 0 2
B in <2 « H < *1 = ----------------- - = H------------— - j - 3 , 5 c m / s - '
4 - 2 2
|-------= -f 3,5 cm/s*
. 2
a.-ii <4 a H 6 sl —
6 - 4
51
3m(uHM8 *) — ---------------- — H--------- — + 3 ,5 cm /s2
8 - 6 2
Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica 
é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal).
Resposta: alternativa a.
10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em trajetória reti­
línea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de um 
instante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela:
V(m/s) 1.0 2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12.0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0
t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 80 9.0 10.0 110 12.0 13 0 14,0 15.0
As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s , 
10s m 11s e 13 s m 14s foram, respectivamente (em m/s2):
a) 1.0: 0.0 e 4.0.
b) 4.0; 0,5 e -4 .0 .
c) 2.0; 2.0 e -2 .0 .
d) 2.0; 0.0 e -4 ,0 .
e) 1.0; 0.0 e —4.0.
n . . » ^ fin ^ :nResolução: Como am — --------------- , temos:
tíin — tin
(4,0 » H ’».O *) —
1 0 ,0 -9 ,0 
5,0 - 4,0
am(4«HG«) — 1,0 m/S-
am : 10.0 & H 11,0-a» —
15,0 — 15,0
1,0
1,0
0,0
— 1,0 m/s2
3.H 113.0 1 H 14,0 s) —
1 1 ,0 -1 0 ,0 1,0
am(to « HM «) = 0,0 m/s*
6 ,0— 10,0 -4 ,0
= 0,0 m/s*
14,0— 13,0 *1,0
— —4,0 m/s*
amíl3sHHj) — —4,0 m/s*
Resposta: alternativa c.
11. MEDICINA DE SANTOS — Um ponto material desloca-sc com uma 
certa velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na ori­
gem deste, uma aceleração constante de —15 cm/s2. Após 6,0 s 
sua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativo 
do eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhe 
foi comunicada a aceleração é de:
52
a) 15 cm/s.
b) 30 cm/s.
c) 45 cm/s.
d) 60 cm/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Do enunciado, temos a informação:
Vfu = — 30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial). 
VfIn — V ,0
Lembrando que aw
t = 0,0 s V,„ = ?
t = 6,0 s
'fii>
At
•©
■©
vem:
- 1 5
- 3 0 - V,
- 9 0 = - 3 0 - V,B 
= > Vla = 9 0 - 3 0 = >
Viu = 00 cm/s
Resposta: alternativa d.
12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em função 
do tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que:
a) o movimento é acelerado durante todo o tempo.
b) o movimento é retardado nos trechos AB, CD e DE.
c) o movimento só é retardado no trecho AB.
d) o movimento é retardado nos trechos AB e CD.
e) nenhuma das afirmações anteriores está correta.
53
Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações 
com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leitura 
de um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento 
do móvel.
No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que:
Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho BC: velocidade se mantem constante.
Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho DE: V cresce = > movimento é acelerado.
Resposta: alternativa d.
13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo representa o 
espaço S de um móvel em função do tempo t. Pode-se dizer que 
a velocidade média no intervalo de Os a 7 s foi igual a:
c) 23 m/s.
d) 6,6 m /s.
e) 0 m/s.
«j, __^
Resolução: Lembrando que Vm — -------------, através da leitura direta
t f In t j n
do diagrama horário S X t podemos concluir que S() — 0 m e S7 = 0 m. 
Portanto:
Vai (0 * H 7 s)
Sv - So
7 - 0
0 - 0 0
------- = ------= 0 =>
7 7
—̂ ̂ai :o* h T«> — 0 m; S
Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que o 
móvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média é 
nula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final. 
Resposta: alternativa e.
54
14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidade 
escalar em função do tempo de um veículo que se movimenta 
sobre uma trajetória retilínea.
O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s.
b) 2.0.
c) 2.5.
d) 5.0.
e) 10.0.
Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que: 
para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s 
para t = I0,0s, V10 = Om/s
c . AV V|0 — V„
benao a*. = ------= ---------------- , vem:
At At
0 — 20
âjiMOHHio*.)----------------. . am(o,sH»'»*) — —2,0 m/s*
1 0 - 0
A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial. 
Logo, em m/s2:
Resposta: alternativa b.
<<f s H 10 *1 - 2.0
55
1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixa 
cair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com 
movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das traje­
tórias abaixo?
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então, 
podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência:
I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento em 
relação a C, então A está em movimento em relação a C.
II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então 
A está parado em relação a C.
Responder mediante o seguinte código:
a) I está certa e II está errada.
b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas.
c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar.
3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é me­
lhor definida como sendo:
a) a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento.
b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo 
de tempo empregado em percorrer esse espaço.
c) o produto da aceleração pelo tempo.
d) o quociente da aceleração pelo tempo.
c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo 
percurso.
56
4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verifi­
cou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c 
8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi:
a) pouco menor que 60 km/h.
b) igual a 60 km/h.
c) pouco maior que 60 km/h.
d) igual a 120 km/h.
c) impossível dc ser calculada.
5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante 
10 s (l.a marcha): cm seguida, com 5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de­
pois, com II m/s durante 10 s (3.a marcha). Desprcza-se a duração das 
mudanças de marcha.
a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s.
b) A aceleração do carro é sempre nula.
c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-.
d) Nenhum dos resultados anteriores.
6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trecho
retilíneo dc estrada, indo da cidade A ate a cidade B, distante 150 km da
primeira. Saindo às 10:00 h dc A. pára às ll:00h em um restaurante situa­
do no ponto médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente uma 
hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta mais uma hora 
para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB 
foi dc:
a) 75 km/h. d) 60 km/h.
b) 50 km/h. c) 90 km/h.
c) 150 km/h.
7. ITA — Um motorista deseja perfa?er a distância de 20 km com a veloci­
dade média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com a 
velocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percurso 
restante?
a) 120 km/h.
b) 160 km/h.
c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias 
apresentadas.
d) Nula.
e) Nenhuma das afirmações c correta.
8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro.
0 ) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passa­
geiro lê cm seu relógio o tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci­
dade é calculada cm 10 km/h.
(2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km. 
Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velo­
cidade média é dc —50 km/h.
*
4
k
*
‘4
(3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica que 
o veículo faz marcha à ré.
a) Somente (1) c correta.
b) Somente (2) é correta.
c) Somente (3) c correta.
d) Há mais de uma afirmativa correta.
e) Não há nenhuma afirmativa correta.
9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um 
ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h. 
Depois, se desloca do ponto B ate um ponto C, a uma velocidade constante 
igual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto 
C. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que 
a velocidade escalar média do móvel é de:
a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h
b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h.
c) 60.8 km/h.
10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvel 
na primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h c. na se­
gunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que 
a velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale:
a) 15 km/h. d) 30 km/h.
b) 20 km/h. e) 40 km/h.
c) 25 km/h.
11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se em 
linha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MN 
c percorrido com uma velocidade media igual a 20 km/h, e o trecho NPcom uma velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro do 
trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de:
a) 36 km/h. d) 42 km/h.
b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 37,3 km/h.
12. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h; 
depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a 
80,0 km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de:
a) 80.0km/h. d) 57,5 km/h.
c) 63,3 km/h.
13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento pro­
gressivo, certamcnte está em:
b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h.
a) rotação.
b) oscilação.
c) movimento retilíneo.
d) movimento uniforme.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
58
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dc 
unidades, a velocidade de um corpo, obteve-se o vaíor de 12,3 cm/s. Que 
valor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS?
a) 1,23 . 10-3 m/s d) 1,23 . 10* m/s
b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3 m/s
c) 1,23 . 10-» m/s
15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel que 
aumenta sua velocidade de 36 km/h para 108 km/h em 10 s c de:
a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2.
b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2.
c) 2,0 m/s2.
16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen­
tido positivo do eixo x com velocidade de 100 km/h. freia de modo que 
após 1.0 min sua velocidade passa a ser dc 40 km/h. A aceleração média 
do carro será dc:
a) —1,0 km/min2. d) —0,66 km/min2.
b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/ s2.
c) 1,0 m/s2.
17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c ace­
leração c uma grandeza que pode ser medida em:
a) cm/s2. d) s.
b) cm/s3. e) s-1.
c) cm2/s3.
18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaço 
S de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidade 
média, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtida 
entre:
•I
a) 0 s e Is.
b) I s e 2 s.
c) 3 s e 4 s.
d) 4 s e 5 s.
e) 5 s e 6 s.
59v i& n d á a z &
19. MEDICINA DE TA UB ATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhado
abaixo. Esse móvel tem um movimento:
t
a) aederado. d) retrógrado.
b) retardado. e) ü móvel está parado.
c) progressivo.
20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidade 
escalar de um ponto material em função do tempo.
Podemos afirmar que:
a) entre os instantes 0 s e 5 s o movimento c progressivo c retardado.
b) entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa.
c) entre os instantes 5 se 10s o movimento c progressivo retardado.
d) no instante 15 s a aceleração é nula.
c) nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.
S I
21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100 m. partem simultaneamente 
um em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixo 
marca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-se 
ao primeiro e (2) ao segundo corpo.
Considere as proposições:
I) Os corpos se encontram no instante t = 4 s.
II) Os espaços percorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo­
mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente. 
— f>() m c 40 m.
III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, durante os primeiros 
6 s. é maior que a do corpo (2).
São corretas as proposições:
a) I e II. d) Todas são verdadeiras.
b) I c III. c) Todas são falsas.
c) II e III.
22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os su­
cessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para que 
um bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo com 
uma determinada velocidade constante.
No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde . 
Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal, 
acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinal 
seguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante.
Qual dos seguintes gráficos posição x tempo melhor representa o movimento 
do carro desse mau motorista? <
Tempo
Posição
Tempo
62
23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Ao fa^er uma 
viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velo­
cidade escalar média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consu­
miu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se. durante a viagem, o motorista 
gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as 
duas cidades?
a) 3 h d) 4 h e 30 min
b) 3 h c 30 min e) 5 h
c) 4 h
2. I) Imagino um observador A dotado dc velocidade V em relação a uma
escada rolante B, que sobe também com velocidade V. em reiação à Terra 
(C). Se A subir a escada B. a velocidade de A com relaçáo a C será 2V 
(movimento).
Se A descer a escada B. a velocidade de A em relação a C será zero 
(repouso).
Conclusão: I está errada
II) Estando A oarado em relação a B. então A c B estão permanentemente 
unidos, podendo ou não o conjunto estar em movimento.
Sc B está parado em relação a C, então B e C estão permanentemente 
unidos.
Então, A. B e C estão formando um único sistema rígido (um triângulo, 
por exemplo), onde cada um dos pontos está em repeuse em relação 
aos outros.
Conclusão: II está certa.
Rosposta: b.
3. b (Por espaço percorrido entenda-se deslocamento escalar AS.)
4. a (Vm := 54 km/h)
5. a 6. b 7. c 8. b 9. b 10. a 11. a 12. d
13. e (Movimento progressivo^- movimento descrito a favor da orientação dc
referencial.)
14. c 15. c 16. a 17. d 18. b 19. d
20. c (Importante: não se define aceleração quando há formação de “bico" 
no gráfico V x t. Isto. por exemplo, ocorre nos instantes t = 5 s e 
t = 15 s.)
21. a 22. b 23. c
Definição de movimento uniforme
O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade 
escalar é constante e não-nula.
Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu 
velocímetro indicando sempre o mesmo valor:
Movimento
uniforme
• Rap dez constante em qualquer trajetória.
• Sentdo do movimento sempre constante
• A indicação do velocímetro é sempre a mesma.
Movimento uniforme em trajetória curvilinea.
RAPIDEZ CONSTANTE
Resumindo: MU V constante e não-nula
• Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleração 
escalar é constante e nula.
Ou seja: MU => aceleração escalar é nula
Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidade 
escalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velo­
cidade escalar média.
Isto é: MU •=> V = V™
66
Instante qualquer (t)
Instante inicial (t 0)
Função horária do movimento uniforme
A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel 
(indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t é 
denominada função horária do movimento, sendo representada gene­
ricamente por S = f(t).
S indica a posição do nevei num instante 
t quaiquer.
§o mdica a posição do móvel para trrO .
e . w w AS S - S „ S - S .Sendo V — Vm — -----= ----------- , então: V = --------
At t - 0 t
=> S = S » -f Vt (função horária do movimento).
Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau
na variável t, sendo expressa por: S — So 4- Vt
i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no 
onde ' instante inicial do movimento (instante zero)-.
! V é a velocidade escalar constante e não-nula.
Exem p lo s :
S = 6 + 2t (SI)
S = - 3 - 8t (SI)
í Sm = +6 m
[V = +2 m/s (movimento progressivo] 
í Sm = —3 m
[ V — — 8 m/s (movimento retrógrado)
S — 5t (SI)
(wô0VO(tft%L____
S<i = 0
V = 5 m/s (movimento progressivo]
1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelo 
móvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo.
2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longo 
do tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &?
A função horária respondo a esta pergunta!
68
3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta função 
horária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como 
o móvel caminha e não onde o movei caminha Com apenasa função 
horária não podemos prever a trajetória co movei.
S
Diagramas do movimento uniforme
• Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária do 
movimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo hori­
zontal, pois é uma função matemática do 1.° grau em t.
g __g(
Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = -------- — (1).
t
Observando-se o diagrama S X t seguinte, podemos escrever:
S - Sn
dec = tg a
t
( 2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico S X t no 
movimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar do 
móvel.
Ou seja: dec ( S X t ) N=V
v irapidez constante
STZ I j
• Diagrama V X t — O diagrama V X t referente ao movimento 
uniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos, 
já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula.
Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever: 
A 3 V t (1).
Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico V X t 
no movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamento 
escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: 
(M terrxjfâú-___
A (V X t) 2 AS
Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula. 
o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixo 
dos tempos.
70
Exemplo:
Seja a função horária S - 
— 2 + 1 .5 t, no SI:
para t — 0 s, S,. — 2 m; 
para t — 4 s. S í _ 8 m.
Podemos, então, construir o 
diagrama S X t.
Nesse gráfico, notamos que
dec
8 - 2
(«» H « «> —
4 — 0
= 1,5 => dec = 1,5
Da função horária, temos
V - 1,5 m/s
Logo. o declive do gráfico 
S X t é numericamente igual à 
velocidade escalar do móvel.
Neste gráfico, notamos que 
A(o«h íh » — 4 . 1,5 = 6 — >
L(0» H-» «>= 6
Da função horária, temos 
S4 — 8 m e So — 2 m.
Logo: ASm« h i »i — —
- So = 8 - 2 = 6 =>
AS :o R h t •) — 6 m 0 1 2 3 4 tis)
Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao 
deslocamento escalar do móvel.
Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a X t 
será uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
Encontro de móveis
Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada, 
poderá ocorrer encontro entre eles. Isto acontecerá quando suas 
posições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais, 
desde que referidos à mesma origem.
Instante
inicial
Instante cm que ocorre 
encontro dos móveis
71
\
Encontro 
de móveis
• ü s móveis ocupam a mesma posição 
no referencial.
• Ocupar a mesma posição não 
quer dizer que tenham realizado 
o mesmo deslocamento.
Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è inter- 
secção das retas representativas das funções horárias:
72
Apêndice
A propriedade referente à área do diagrama V X t pode ser 
generalizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons­
tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada que 
será desenvolvida no volume referente à Dinâmica.
Resumindo, para qualquer tipo de movimento: A {V X t ) ? A S
1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ 
— Três móveis A. B e C par­
tem, simultaneamente, em 
movimento uniforme e reti­
líneo, dos pontos a, b e c. 
com velocidades constantes, 
respectivarnente iguais a V* = 15 m/s, VB = 4,5 m/s e 
Vc = 7.5 m/s. Pede-se o instante em que o móvel A estará entre 
os móveis B e C e a gual distância de ambos.
Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, no 
instante inicial, adotando o ponto A como origem dos espaços e orien­
tando a trajetória conforme a figura, temos:
Situaçãc inicial
Situação final
L a
Sda = ü m 
VA = 15 m/s = > SA = 151
B
S,)]( = 20 m
= > Sr - 20 -f- 4,5t
C
V» — 4,5 m/s 
Soc = 40 m
Sc- = 40 + 7,5tV0 = 7,5 m/s
Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v — Sn = Sc — SA. 
Logo, 2S.v — Sii -|- So.
Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos:
2(15 t ) = (20 -f 4,51) -f (40 + 7 ,5 t) = > 30t = 60 + 12t = >
=> I8t = 60 = > L = ------=>
18
Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C ------s após o início
da contagem dos tempos.
2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, um 
trem de 200 m, a 60 km/h, leva:
a) 0,35 s.
b) 1.5 s.
c) 11,0 s.
d) 15,0 s.
e) 30,0 s.
Resolução: Adotando o início da ponte como origem do referencial, 
orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo, 
podemos escrever, para a dianteira do trem:
74
Instante zero
So = 0 m
V = 60
km
Portanto, S = S„ | Vt
h
S =
60 m 
3,6 s
60
3,6
. t.
Completada a travessia, teremos S = L — d = 200 -|- 50 = 250 m.
Assim: 250 =
60
. t t = .-
25 . 3,6
3,6
t = 25 . 0,6
t = 15 s
Resposta: alternativa d.
3. MEDICINA DE VASSOURAS Um móvel A com movimento reti­
líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidade 
de 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, também 
com MRU. A distância retilínea ab é de IG km. A velocidade do 
móvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a:
a) 80 km/h.
b) 16.67 m/s.
c) 37.5 m/s.
d) 25 m/s.
e) 22,22 m/s.
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto a c orientando 
a trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que:
Móvel A: SoA= 0 k m
V A =: 90 km/h
Móvel B: SoH= 10 km
T o w é m O fà a 75
Assim, podemos escrever:
SA = SoA - f VAt = > SA = 901 (1)
S„ = Son + V„t = > SB = 10 + V„t (2)
Condição de encontro: SA = SB = 6 km. 
Logo, substituindo em (1),
66 - 901 = > t = ------= >
90
Voltando cm (2), temos:
vem:
I
t = ------h
15
(instante de encontro)
6 = 1 0 - * VB Y'u — 60km/h
O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado.
Então:
km J 000 m
V„! = 60-----= 60 . ----------- = í 6,67 m/s = >
h 3 600 s
Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade 
16,67 m/s.
Resposta: alternativa b.
|VB| = 16,67 m/s
4. MEDICINA DE ITAJUBA — O 
gráfico ao lado descreve o 
movimento retilíneo de 2 
carros A e B que viajam na 
mesma direção. Podemos 
afirmar com certeza que:
a) o carro A está perdendo 
velocidade enquanto o 
carro B ganha velocidade.
b) o carro A parou no ins­
tante t = 100 s.
c) os dois carros estão ro­
dando na mesma d reção 
e em sentidos contrários.
d) o carro A está mais ace- 
lerado que o carro B.
e) no instante t = 50 s os 
dois carros têm a mesma 
velocidade.
Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica­
mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o
76
carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (uma 
reta tem declive constante). Podemos, então, escrever:
1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 = > VA < 0 
(movimento retrógrado)
2) carro B: 0° < j3 < 90° decB > 0 VB > 0 
(movimento progressivo)
Note que, no instante t = 60 s, os 
móveis ocupam a mesma posição, 
e que, no instante t = 100 s, o mó­
vel A está na origem do referencial 
(S = 0 m).
Resposta: alternativa c.
5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra­
jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo se­
gundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade média 
da partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a:
V(m/s)
10]
8
6-
iiiii
2
1 1 1
0 2 4 6 8 10
a) 6.
b) 5.6. d) 0.8.
c) 1.3. e) 0.4.
Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica­
mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever:
A(0-m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm» h •» ~ 32 m _
A(4 hm i<> s) = 6 . 4 = 24 > AS(.j.. m io »i = 24 m
——̂ AS,0 ü io i) — 3z -f- 24 = 56 m
AS((| 10 Ml
) --
( O f lH lO i )
56
Sendo V„ vem:
At (0 » H 10 * í
V..(0 • w 1 0 M) 10
V,„ — 5,6 m/s
lO * H 10 “
Resposta: alternativa b.
1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o 
segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t» 
são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verda­
deira a seguinte relação:
A E C
a) AB/t, = BC/to d) AC = AB/t, + BC/t2
b) AB/BC = t2/t, e) AC = (AB + BC)t,to
c) AB/BC = (ta/t,)2
2. I-ElA luz demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é 
3 . 103 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?
3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida 
após 5 anos?
4. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O tempo gasto por 
um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se com 
uma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de:
a) 5 s. d) 15 s.
b) 15 h. e) 20 s.
c) 10 s.
5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma trajetória retilínea com 
velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano de 
sua velocidade em função do tempo será:
a) uma reta paralela ao eixo dos tempos.
b) uma reta paralela ao eixo das velocidades.
c) uma reta que passa pela origem.
d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4.
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
78
6. CESGRANRIO — Analisando-se c movimento de um automóvel, obteve-se 
a tabela seguinte, onde se lê a posição do automóvel em vários instantes 
do movimento:
posição
(m) 0 60 120 180 240
tempo
(»1 0 3 6 9 12
Qual dos gráficos a seguir representa a velocidade do automóvel (ordenada) 
em função da posição (abscissa) para o trecho analisado?
d) e)
7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostos
a seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo 
(abscissa)?
d) c)
8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura:
O gráfico das velocidades correspondente é o dado por:
9. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Um móvel desloca-se ern linha reta 
de um ponto X a um ponto Z, passando pelos pontos Y c S. A distância 
entre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y 
6 gasta 1 h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se com 
metade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo da 
velocidade do trecho YS. 0 tempo total gasto no percurso c dc:
a) 4 h. c) 3 h 30 min.
b) 6 h. d) Nenhuma dessas.
80
10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na questão anterior, se o trecho XY 
tem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de:
a) 35 km/h. c) 60km/h.
b) 52,5 km/h. d) 70 km/h.
11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento de
um carro durante certo percurso.
A velocidade média do carro 
nesse percurso é de:
a) 20 km/h.
b) 30 km/h.
c) 32km/h.
d) 40 km/h.
c) Não há dados suficientes para 
o cálculo.
12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador, 
a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a 
perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao 
- esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, no 
encalço do cão.
a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo.
b) O laçador alcançará o cão 1 s antes do esconderijo.
c) O laçador está a 15 m do cão quando este alcanÇa o esconderijo.
d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no 
mínimo, três vezes a do cão.
e) O laçador alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1 s antes de o cão entrar 
no esconderijo.
13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir da 
Terra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidade 
constante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velo­
cidades têm o mesmo sinal. O sistema de referência é a Terra.
Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este último 
deverá voar durante o seguinte número de horas:
a) 96. d) 192.
b) 144. c) 288.
c) 168.
14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons­
tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidade 
é também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão, a 
diferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, apro­
ximadamente, igual a:
a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s.
b) 0.4 m/s. c) 10 m/s.
c) 2,5 m/s.
fâ s im id / im
15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, das 
cidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de 
50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão a 
uma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale:
a) 200 km. d) 160 km.
b) 300 km. e) 240 km.
c) 400 km.
16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em tri­
lhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalares 
dos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100 in dc 
comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um obser­
vador no trem B vê passar o trem A?
a) 96 s d) 12 s
b) 48 s e) 6,0 s
c) 24 s
17. FAAP — Dois ciclistas distanciados de 60 m um do outro possuem funções 
horárias S, = 20 + 2t e S2 — —40 + 3t, em relação a um mesmo referen­
cial. Verificar quando e onde os dois ciclistas se encontrarão. (Considerar 
S| e Sa em metros e t em segundos.)
18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveis 
é de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e 
90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão?
a) Uma hora.
b) Uma hora c quinze minutos.
c) Uma hora c meia.
d) Uma hora c cinquenta minutos,
c) Duas horas c meia.
19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partículas cncontram-se inicial mente nas posi­
ções x, = 10 cm, y, = 0 cm. x._. = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidades 
V, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme in­
dica a figura. O valor da velocidade Va para que elas colidam deve ser:
c) -8 . 10** cm/s.
82
20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonal mente entre si, com veloci­
dades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t = 0s eles 
se encontram na origem de um sistema de referencia xOy. Considerando 
que o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo do 
eixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s?
a) 7.0 m d) 1.0 m
b) 5,0 m e) 0,5 m
c) 3.5 m
21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na 
banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta, 
a mancha de tinta deixa marcas no chão. Se estas marcas tiverem a dispo­
sição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração do 
carro?
0 2 4 6 8 10 12 I
a) A velocidade é constante e a aceleração é nula.
b) A velocidade é crescente e a aceleração é constante.
c) A velocidade é decrescente e a aceleração é constante.
d) A velocidade e a aceleração são variáveis.
e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes.
9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e
17- = 140 m: t ,#walfo = 60 s.
18. c 19. c 20. b
21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcas 
deixadas no châo soráo sempre as mesmas.)
cmïuD
3
Movimento
Uniformemente Variado
04
Instante inicial (t - 0)
velocidade escalar co móvel 
para t = 0.
velocidade escalar do móve! 
num instante t qualquer
Definição de movimento uniformemente variado
O movimento de um móvel é uniformemente variado quando sua 
aceleração escalar é constante e não-nula.
Instante qualquer (t)
Ou seja: escalar é constante e não-njla
III
• Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado, 
o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da acele­
ração escalar média.
Isto é: MUV a - a„
Funções horárias do movimento 
uniformemente variado
*
Y
k
• Função velocidade
y
É importante o conhecimento da rapidez e do sentido do movimento em 
cada instante A função velocidade da essas duas informações.
A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro.
O sinal de velocidade indica o sentido do movimento
Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de tal 
forma que V0 é sua velocidade inicial (instante zero), Vé sua velo­
cidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.
V = Vo -h at (função horária da velocidade)
Ç g ; Conclusão: A função veloci­
dade do MUV é dada pela ex­
pressão
v
V — Vo H” at
A representação gráfica da 
função velocidade desse movi­
mento será uma reta inclinada 
em relação ao eixo horizontal,pois é uma função horária do 
1.° grau em t.
V — Vo
.Neste gráfico, pocemos escrever dec = tg a = ---------- (1).
V - Vo
Como V — Vo -r at, então a = ---------- (2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico V X t 
no movimento uniformemente variado é numericamente igual à ace­
leração escalar do movimento.
Ou seja: dec(V X t)1 a
• Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t é 
numericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel, 
podemos escrever:
A(V X t ) s AS, onde AS = S - So.
sendo
í So o espaço inicial do móvel (instante zero). 
[ S o espaço do móvel no instante t.
Assim, temos A(V X t ) = S - S<. (1).
87
• No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial do 
móvel são. respectivamente. S0 e Vo
• Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são. 
respectivamente. S e V
• No intervalo de tempo lA t — t - 0 ). AS é o deslocamento escalar da móvel.
Observando-se o gráfico acima, concluímos:
V + Vo _
A ( V X t ) = ---------- 1 (2).
Comparando (1) c (2). vem:
V • V o V - f V o
----- - — t = S - S o = > S = So + ---------- - t
Sendo V = Vo ■+■ at, decorre:
s = s ,1 + ^ ± ü ± ^ t ^ s = s0 + ^ l± ^
S = So + Vot-f----— at2 (função horária do movimento)
2
Conclusão: A função horária do movimento uniformemente 
variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por
S - S., f V.,t |------ at-
2
88
onde
So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no 
instante inicial do movimento (instante zero).
Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante 
I inicial do movimento (instante zero).
{ a é a aceleração escalar constante e não-nula.
Exemplos:
S = 10 — 8t -f- 9t2 (SI) 
Logo. V = — 8 -f 18t
S = — 2 + 6t — t2 (SI) 
Logo, V — 6 — 2t
S = 5ta (SI)
Logo. V = iOt
So = -HO m 
< Vo = - 8 m/s 
l a = -f 18 m/s2
So = —2 m 
Vo = +6 m/s 
a = —2 m/s2
So = 0 m 
V., = 0 m/s 
a = 4-10 m/s2
Equação de Torricelli
Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e subs­
tituindo-o na função horária ( S — So 4- Vot 4------ at2 ) cotemos a
expressão Va — V: 4- 2aAS .denominada equação de Torricelli.
Diagramas horários do movimento 
uniformemente variado (MUV)
A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará­
bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo 
(se a < 0).
Conforme já fo visto, o diagrama V X t será representado por 
uma reta inclinada em relação ao eixo t.
Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagrama 
a X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escrever 
A = at (1).
Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X t 
é numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter­
valo de tempo considerado.
Ou seja: A(a X t ) U V
,1
<
t
t
1*
i
Diagramas horários do MUV
____________________________________ t t
o
aceleracào esca lar constante
90
Exemplo:
Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) a 
função horária dc um móvel:
para t = 0 s, Sn = 4 m:
para t = 1 s . S i = 0 m (raiz):
para t = 4 s, Si = 0 m (raiz).
Podemos, então, construir o 
gráfico S X t.
Observe que quando t = 2,5 s 
a parábola atinge seu vértice, 
instante em que o móvel muda 
o sentido de seu percurso.
Da função S = 4 — 5t + t2 
concluímos que. Vo = — 5 m/s e
a = -f 2 m/s2.
Logo. V = —5 -f- 2t.
Para t = 0 s , Vo = —5 m/s; 
para t = 4 s . V, = 3 m/s.
Podemos, então, construir o 
gráfico V X t.
Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s, instante 
correspondente ao vértice do gráfico S X t.
Examinemos, agora, o. declive do gráfico V X t.
3 - ( - 5 ) _ 8
4 - 0 4
Temos: deCi.. h ^ i = — = > dec<o»M4»i — 2
Assim, observamos que tíecfV X O i a
Como a aceleração escalar é constante, o gráfico a X t será uma 
reta paralela ao eixo dos tempos.
Esta reta cortará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s*. 
Observando a área sob o gráfico, concluímos:
A<o«h 4» — 4 . 2 = 8 —^ Ao >1 M-» *>= 8
Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m/s. 
Logo:
AV<0 s m '• — 8 m/sAV,;om h * ») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 ==
Assim, a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à va­
riação da velocidade escalar do móvel.
91
Velocidade média no MUV
Lembrando que A(V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos:
A = . V3 + V~ At => AS = V- + V' A t ^ A ! _ =
2
V ■ + Vi
At
Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igual 
à media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial e 
final, no intervalo de tempo considerado.
92
1. ENGENHARIA DE SANTOS — Um ponto material realiza um mo­
vimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função ho­
rária S = t2 — 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros e 
t é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir 
do instante t = 0 s:
a) o movimento é sempre acelerado.
b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s.
c) o ponto material passa pela origem dos espaços apenas no 
instante t = 2 s .
d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*.
e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem inten­
sidade igual a 9 m/s.
Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = 8 — 6 t -f 1 . t2.
Da teoria, sabemos que S S., -f V0t -f----at2.
Assim, concluímos: S.;i = 8 m; V„ = 6 m/s; a = 2 m/s2.
Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel:
V = V„ -f at = > fv _ - 6 f 2~t|-
Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes con­
clusões:
• O móvel possui movimento ini­
cialmente retrógrado (0 s a 3 s), 
parando no instante 3 s para, em 
seguida, iniciar movimento pro­
gressivo.
• O móvel passa pela origem nos 
instantes t = 2 s c t = 4 s.
• O movimento é inicialmente 
retardado (0 s a 3 s) c, em seguida,
acelerado.
Resposta: alternativa b.
I
2. MEDICINA DE CATANDUVA — Um automóvel desloca-se com a 
velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0 s, seu motorista 
aplica os freios até o carro parar. Admitindo uma aceleração 
constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicação 
dos freios até a parada do carro é de:
a) 50 m.
b) 5 m.
c) 75 m.
d) 90 m.
e) 25 m.
Resolução: Vamos orientar o referencial associado à trajetória no 
sentido do movimento do automóvel.
Neste caso, a distância percorrida ( d ) tem o mesmo valor do desloca­
mento escalar (AS).
Assim: d - A S
Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua ace 
leração será negativa, ou seja. a = 4 m/s2.
Pela equação de Torricelli,' vem:
V/In = V?« + 2aAS = > AS =
2a
AS =
0 = - 2 0 - 
2 . ( - 4 )
4(X)
AS — -------
8
= > AS = 50 m : d — 50 m
Resposta: alternativa a.
3. MEDICINA DE SANTOS — 
Ao longo de um eixo orien­
tado. um ponto se movimenta 
segundo o gráfico ao lado. 
Sendo sua velocidade no 
instante t — 0 s de 4 m/s, no 
sentido positivo do eixo. de­
terminar a distância percor­
rida pelo ponto entre os ins­
tantes t = 0 s c t — 8 s.
Resolução:
• Intervalo 0s h 2 s (MUV) 
V2 = V„ + at = »
= 4 + 2 .2 = »
Vo =
Vo = 8 m/s
intervalo 2 s m 4 s (MUV) 
V, = Vo + at = > V« = 8 4
+ 4 . 2= > |V 4 = 16 m/s
• Intervalo 4 sm 6 s (MU)
Vc = V, = > Vç = 16 m/s
• Intervalo 6 s m 8 s (MUV)
V* = Ve + at =>
= 16 — 2 . 2 = >
Podemos, então, construir o gráfico 
V X t, onde A ^ AS.
V„ =
V« = 12 m/s
Logo, A fos i_i $ si — A ((», H 3 ,| + A.o
+ A<t(li-!»*) — 12 + 24 + 32 + 28 :—) A 
Assim, AS<„,h 8 » = Aio«m h,, -—) AS
= 96
íO i Mb ' __ 96 m
Resposta: A distância percorrida d coincide, neste caso, com o deslo­
camento escalar AS. Portanto, d = 96 m.
4. FFCLUSP — Dois pontos mater ais Pi e P? movem-se sobre a mes­
ma reta, obedecendo às segu ntes expressões:
S , = —10t + St2 e S_- = 30 + 5t - lOt2.
Os símbolos S i e S„* representam os espaços em centímetros a 
partir de uma origem comum; o tempo t é medido em segundos.
Pedem-se:
a) o instanteem que os dois móveis se encontram.
b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante.
c) a posição do ponto de encontro.
Resolução:
\ a) Condição de encontro: S, = S>.
Logo: - I 0 t -I- 5t2 = 30 4- 5t — 1 ()t2 => 15t2 - 15t - 30 = 0 => 
=> t2 — t — 2 = 0
(D
- L
O
O
I-
tt) (2 )
Resolvendo esta equação, obteremos t — 2 s e t = — 1 s. Portanto, 
ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a con­
tagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem. 
Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido no 
instante t _ 2 s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir 
de t = 0 s.
b) Das funções horárias dadas.podemos concluir:
{S0l = 0 cm V, ) 1 = — 1 0 cm/s ai = 1 0 cm/s2
Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t.
| So2 = 30 cm
So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;! = 5 cm/s
. a2 = — 2 0 cm/s2
Logo, V2 = Vd 2 -J- a31 => V , — 5 — 20t.
Para t = 2s, vem:
V , = —10+ 10 . 2= > V , — -f 10 cm/s e at = 10 cm/s2
V2 = 5 - 20 . 2 = > V 2 — —35 cm/s c aa = — 20 cm/s2
96
c) Sendo Si — — 10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem: 
St = - 10 . 2 -f 5 . 22 => St = - 20 + 20 => St - 0 cmSt = 2 0 • 2 0 =
Assim, o encontro ocorre na origem do referencial.
Diagramas
horários
Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na origem 
do referencial, com velocidades de + 10 cm/s e — 35 cm/s c com ace­
lerações iguais a 1 0 cm/s2 e — 2 0 cm/s2.
5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sen­
tido com velocidades V3 e Vb, respectivamente. Quando o carro 
A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no 
freio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não haver 
colisão entre os carros é necessário que:
а) V„ - Vb = \ Í2 ã S .
б) V, - Vb > V 2ad .
c) V* — Vb < V 2ad .
d) V . - Vb = 2ad.
e) Vt — Vb = 0.
Resolução: Adotaremos a origem dos espaços no ponto em que o carro 
A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos a 
trajetória no sentido dos movimentos.
B
J » ©
I
O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será 
S» = Son -f- Vjjt, onde S«B = d e V# = VV
Assim, Sn — d -f- Vbt.
O carro A é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun­
ção horária será SA = S„A -f- V0 v------ — at2, onde S„A = 0 c V0a = V„.
Assim, SA _ V.t - at-.
A distância D entre os móveis será dada por D = S v — SA.
Logo, D = d -j- Vbt — V„t -j----L at2 = >
2
= > D = d - f (Vb — Va)t H-----— at2.
2
Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa­
ção d - f (Vb — V.)t — at* = 0 não deverá ter solução real.
Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo. 
Portanto:
1
(Vb - Va)2 - 4 . ---- ad < 0 = > (Vb — V.)2 - 2ad < 0 = ;
2
= > (Vb - V.)2 < 2ad = > (V. - Vb)2 < 2ad 
Resposta: alternativa c.
v , . Vb < v-^ãa
6. PUC (SÀO PAULO) — A velocidade de um carro é. no instante 
em que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km/h. O tempo 
de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo de­
corrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até 
aquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um 
retardamento uniforme de 5 m/s*. A distância percorrida pelo 
carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou 
até que o carro pare é de:
a) 54 m.
b) 20 m.
c) 14 m.
d) 10 m.
e) 44 m.
Resolução: Do enunciado, temos:
72
V0 = 72 km/h => V0 = ----- m/s => V,> = 20 m/s
‘ 6
98
Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade 
constante dc 20 m/s.
Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com 
aceleração —5 m/s2.
20
Assim, V = V0 + at = > 0 = 20 — 5t = > t = ------=>
5
Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comporta­
mento do veículo.
Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao 
deslocamento escalar AS, vem:
4,7 _j_ o,7 5 , 4
AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 = >
2 2
= > | AS — 54~m~
No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida. 
Logo, ;d — 54 m.j 
Resposta: alternativa a.
7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A inicia 
uma corrida a partir do repouso com uma aceleração constante 
de 0,5 m /s2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passa 
por ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentido 
que o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente 
depois de um tempo igual a:
a) 2 s .
b) 5 s.
c) 8 s .
d) 10 s.
e) 12 s.
ir
h
& 99
I
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto onde A 6 
ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante 
em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi­
mentos, teremos:
Sa = S„ -f- V0 t -f- — aAt2, ondeA A 2
S ,. =: 0 m
V,> 0 m/s
A
aA = 0,5 m/s2 = ---- m/s2
2
Logo, SA= — . — t2 = > SA = — t2 (1) 
2 2 4
S,>ti - Dmü
Móvel B: movimento uniforme.
Sii = S„i{ -f- Vj,t f onde
v V» = 3 m/s
Logo, S„ = 3t (2)
Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA = S».
De (I) e (2), vem:
I) t = 0 s (instante inicial)
1 / 1 \ 1
t2 = 3t = > t I ---- t - 3 ) = 0 = > ID — t - 3 = 0 = >
4 V 4 / 4 .
= > | t = 12 s
Resposta: alternativa e.
100
8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo, 
a velocidade de um objeto.
Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.
Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor­
memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por seg­
mentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velo­
cidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va­
riados).
Portanto:
1) Intervalo OswlOs:
Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos 
a seguinte representação:
V(m/s)
4 - 1 0
20 aím/s2)
0 10
-20
¥
' ----------------------
9. MAPOFEI — Retomar o enunciado do exercício precedente. De­
terminar o percurso total do objeto.
Resolução: Lembrando que A(V X O = ^ S , temos:
2 0 .2 0
1) A (o * h ao k ) — ------------ — 200
fr 2
Logo, AS fu R H 2ô *) = 200 m
2 ) A !2ú )—| :ím « I —
10 . 20
= 100
Logo, AS (ao h (_̂ so m — — 100 m
V
Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de O s a 30 s 
vale:
AS,0 ,1 H 3ü s) =: AS(0 , _j 2o “f- AS 120 » m :10 «I
A S ,0 » H .10 »> = (2 0 0 ) -j- ( — 1 00 )
ASii) , h 3u») — 100 tu
Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelo 
móvel no referido intervalo, ou seja:
d = |AS,o, H 2on) “j- AS(2o• h só *ií — 200 -f- 100 
d = 300 m
Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.
1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se 
medidas de seu deslocamento, velocidade e aceleração para sucessivos va­
lores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo:
Tempo(s) Dcslocamento(m) Velocidadcfm/s) Acclcraçãolnv s'-’)
0 1 2 2
1 4 4 2
2 9 6 2
3 16 8 2
4 25 1 0 2
A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevo 
o movimento entre os instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica:
a) y = t2 - 3t + 1. d) y = - 2 t 2 + 2.
b) y = t2 + 2 t - 2 . e) y = t2 + 2 t + 1 .
c) y = 2 l2 -+- 2 t -f 2 .
2. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Numa experiência para 
analisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições 
(O. P e S) indicadas na figura, obtidas em intervalos de tempo iguais.
-f-
O
H--- *---- h
X Y 2
X
As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguais 
e o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posições 
caracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de um 
mesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm que 
o móvel estava em S?
a) U
b) V
c) X
d) Y
c) Z
103
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladas 
as posições (1,2, 3, 4, 5 e 6 ) de um corpo que está em movimento unifor- 
mcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entre 
duas posiçõessucessivas quaisquer é de 1,0 s. Na posição I, a velocidade 
escalar do corpo é nula.
i r1'z 3 4 5 ■I
1,0 m
Qual é o valor da aceleração escalar do corpo?
a) 5.0 m/s2 d) 2,0 m/s2
b) 4,0 m/s2 e) 1,0 m/s2
c) 3,0 m/s2
4. MEDICINA DA SANTA CASA — Uma partícula descreve o movimento 
cujo gráfico horário, parabólico, e dado a seguir, mostrando que para 
t = 1 s, x 6 máximo.
Os valores da abscissa x são medidos a partir dc um ponto O, ponto dc 
origem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta.
A função horária é:
a) x = 15 + 2t + t2. d) x = 15 + 2t - t2.
b) x = 15 - 2t - t2. 1
c) x = 15 - t + t2. e) x = 15 — 2t + — t2.
5. MEDICINA DA SANTA CASA — Em relação à questão anterior, a velo­
cidade da partícula obedece à equação:
a) V = 2 - t.
b) V = - 2 + t.
c) V = 2 - 2t.
d) V = 2 + 2t. 
c) V = 1 - 2t.
104
6. MEDICINA DA SANTA CASA — Ainda cm relação à questão n.°
para t = 5 s a aceleração da partícula, em m/s2, é de:
a) zero. d) -f-2.
b) -2 . e) +1.
c) -1 .
7. CESCEA Um ciclista pedala com velocidade constante de 9 km/h du­
rante 2 min; acelera, então, uniformemente, durante 50 s, até alcançar 
18 km/h, desacelerando, a seguir, também uniformemente, até parar, em 
50 s. O espaço percorrido nesse tempo foi de:
a) 818,5 m. d) 612,5 m.
b) 780,5 m. e) 575,5 m.
c) 487,5 m.
8. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um corpo desloca-se, segundo uma 
trajetória retilínea, com velocidade inicial de 20,0 m/s e é acelerado a 
8.0 m/s2 durante 5,0 s. O seu deslocamento durante o quinto segundo é, 
em intensidade:
a) 56 m. d) 1,56 . 102 m.
b) 1,44 . IO2 m. c) nulo.
c) 2.00 . 102 m.
9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS No instante t = 0s. um carro viaja 
a 20,0 km/h. Dois segundos mais tarde (t = 2 s), a intensidade de sua 
velocidade é de 23,0 km/h e, depois de outros dois segundos (t = 4 s), é 
de 26,0 km/h. Com estes dados, pode-se construir a seguinte tabela:
Tempo(s) 0 2 4
Velocidade(km/hJ 20,0 23,0 26.0
Admitindo que a aceleração seja constante, inclusive antes de t — 0 s, qual 
foi o módulo da velocidade do carro, cm km/h, no instante t — — 3 s, isto 
é, ires segundos antes de atingir a velocidade de 20.0 km/h?
a) 14,0 d) 15,5
b) 14,5 e) 17,0
c) 15.0
10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES O gráfico abaixo repre­
senta um movimento retilíneo de aceleração constante:
0 1.0 2,0
Se x c medido em metros e t cm segundos, então a aceleração do movimento 
é de:
a) 1 m/s2. d) 4 m/s2.
b) 2 m/s2. e) 5 m/s2.
c) 3 m/s2.
11. MEDICINA DA SANTA CASA Uma partícula subatômica, deslocan- 
do-sc com velocidade constante igual a 6 . 10#m/s, penetra num campo 
elétrico onde sofre uma desaceleração constante de 1,2 . IO13 14 m/s2.
A distância em linha reta que a partícula caminha antes de parar, em cen­
tímetros. é de:
a) 5 . 10-«. d) 15.
b) 30 . 10--'. c) 15 . 10-2.
c) 2.
12. MEDICINA DA SANTA CASA 
— O movimento de um móvel, 
em trajetória retilínea, c repre­
sentado segundo o gráfico ao 
lado. sendo S dado em metros c 
t em segundos. Podemos afirmar 
que a velocidade media c a ace­
leração escalar entre os instantes 
2 s e 4 s valem, respectivamente:
a) Vul = 5 m/s ea = 0 m/s2.
b) Vm = 30 m/s e a = 0 m/s2.
c) Vm = 5 m/s e a = 5 m/s2.
d) Vm = 30 m/s e a = 10 m/s2.
c) Vm = 2,5 m/s e a = 10 m/s2.
13. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Uma partícula efetua um movimento re­
tilíneo de acordo com o gráfico abaixo. A distância percorrida a partir do 
repouso até o instante t = 12 s é :gual a:
a) 93 m.
b) 96 m.
c) 98 m.
d) 241 m.
e) 100 m.
106
14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Para o gráfico indicado, a sequên­
cia dos movimentos será:
a) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento acele­
rado retrógrado.
b) movimento nulo. movimento uniforme progressivo e movimento acelera­
do progressivo.
c) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento retardado 
progressivo.
d) movimento nulo, movimento uniforme progressivo e movimento retardado 
retrógrado.
e) Nenhuma das anteriores é correta.
15. CESGRANRIO — Arguido sobre as relações entre posição (S), velocidade 
(V) e tempo (t) no movimento uniformemente acelerado (com velocidade 
inicial nula), um aluno escreveu no quadre-negro o que se lê abaixo:
Porem, eu sei queJá que S = ---- at2 (1),
2 s
2S V = ---- (b)t
t2
de modo que, de
Mas a = (3). 
t (5) e (6),
Logo, dc (2) e (3), S 28 (7)
t tV 2S
---- = — <4)t t2 ou, ainda:
ou, ainda: 11 =21
V = — (5). (?)
t
A conclusão final c obviamente falsa, embora o início do raciocínio 
equação (1) — esteja correto.
Qual a relação em que o aluno desviou-se do raciocínio certo?
a) Na relação (2). d) Na relação (5).
b) Na relação (3). e) Na relação (6).
c) Na relação (4).
16. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel parte do repouso em movimento 
uniformemente acelerado. Percorre 100 m e 120m em segundos sucessivos. 
Calcular sua aceleração.
a) 20 m/s2 d) 10 m/s2
b) 40 m/s2 e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 80 m/s2
17. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Num movimento retilíneo de aceleração 
constante, podemos dizer que a velocidade média é igual à:
a) velocidade final menos a velocidade iniciai.
b) velocidade final menos a velocidade inicial, dividido por dois.
c) velocidade final mais a velocidade inicial, dividido por dois.
d) velocidade final vezes a velocidade inicial.
e) velocidade final vezes a velocidade inicial, dividido por dois.
18. MEDICINA DA SANTA CASA — Um trem tem velocidade de 72 km/h. 
Ao frear, é aplicada a desaceleração de 0,4 m/s2. O intervalo de tempo que 
o trem demora até parar é, cm segundos, igual a:
a) 5. d) 10.
b) 50. e) 100.
c) 500.
19. MEDICINA DA SANTA CASA — O mesmo trem da questão anterior, 
entre o início da freada c a parada final, percorreu a d:stância, cm metros, 
igual a:
a) 200. d) 500.
b) 750. e) I 000.
c) 1 500.
20. MAPOFEI — Uma composição de metrô parte de uma estação e percorre 
I00m com aceleração constante, atingindo 20 m/s. Determinar a acele­
ração a c a duração t dc processo.
21. MACKENZIE — No diagrama 
a = f(t), onde a representa a 
aceleração dc um móvel c t o 
tempo relativo a essa aceleração, 
a área A da figura c numerica­
mente igual:
a) à velocidade média do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , , t a ) .
b) ao deslocamento do móvel, relativo ao intervalo de tempo ( t l t t a ) .
c) à variação da velocidade do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , . t a ) .
d) à velocidade inicial do móvel.
c) Nenhuma das respostas anteriores.
108
22. ENGENHARIA MAU A — Um 
ponto material descreve uma tra­
jetória retilínea, referida a um 
e:xo de abscissas Ox, de tal mo­
do que sua velocidade, ern fun­
ção do tempo, c dada pelo dia­
grama cartesiano ao lado.
a) Desenhe o diagrama da aceleração do ponto, em função do tempo.
b) Determine a distância entre os pontos inicial (para t = 0 s) e final (para 
t = 70 s).
23. MAPOFEI — Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidade 
dada pela equação V = 1,0 — 0,lt (SI). Tomando como origem de coorde­
nadas o ponto em que o móvel se encontra no instante t = 0s, calcule a 
aceleração do movimento e o instante t em que o móvel estará mais afastado 
da origem.
24. MEDICINA DO ABC O gráfico abaixo representa a velocidade escalar, 
em função do tempo, dc um veículo que se movimenta sobre uma trajetória 
retilínea. A aceleração escalar instantânea no instante t — 10,0 s é, cm 
m/s2. igual a:
c) 5,0.
25. MAPOFEI Um vagão ferroviário, deslocando-se com velocidade V — 
— 30 m/s, é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O vagão 
percorre 100 m antes de parar. Qual a aceleração do vagão?
26. FAAP — Um motorista de automóvel, viajando a 80 km/h, vê um obstáculo 
a 500 m. Verificar qual a aeeleração que deve introduzir nos freios para que 
possa parar a tempo.
27. FUVEST Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acele­
rando 0,50 m/s2. Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, com 
velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Per- 
gunta-se:
a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidadedo ciclista A ao alcançar o ciclista B?
28. ENGENHARIA TAUBÀTÊ — De uma cidade A parte para uma cida­
de B um automóvel com aceleração constante dc 5,0km/h2. Simultanea­
mente, de B parte para A um outro automóvel com velocidade constante dc 
50km/h. A distância entre as duas cidades é dc 180 km. Depois de quanto 
tempo os dois carros se encontram?
29. ENGENHARIA MAUÁ — A maior aceleração (ou retardamento) tolerá­
vel pelos passageiros de um trem urbano é de 1.5 m/s2. Sabe-se que a dis­
tância entre as estações c de 600 m e que o trem estaciona durante 20 s 
cm cada estação.
a) Determine a maior velocidade que pode ser atingida pelo trem.
b) Calcule a máxima velocidade média do trem, numa viagem.
30. ENGENHARIA MAUÁ — Um ponto material descreve uma trajetória 
retilínea segundo a equação horária S = 4.0 — 5,0t -f 2,5t2 (SI).
a) Trace uma linha reta. marcando sobre c!a os seguintes pontos, com suas 
distâncias relativas:
• origem O das abscissas;
• ponto T, onde está o móvel no instante inicial;
• ponto N, onde o móvel tem velocidade nula.
b) Esboce os diagramas cartesianos do espaço, velocidade c aceleração em 
função do tempo.
31. ENGENHARIA TAUBATÊ — Um carro scíre uma aceleração constante 
de 2 m/s2. Num percurso de A a B, de 4 m. ele sofre uma variação dc 
velocidade de 1,5 m/s. Em que instante dc tempo o carro passa no ponto B?
32. ITA — Um móvel A parte da origem O. com velocidade inicial nula. no 
instante t0 = 0 s, e percorre o eixo Ox com aceleração constante a. Após 
um intervalo de tempo At. contado a partir da saída de A. um segundo mó­
vel B parte dc O com uma aceleração igual a na. sendo n > 1. B alcançará 
A no instante:
110
33. PUC (CAMPINAS) Um motorista espera o sinal de trânsito abrir. 
Quando a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante 
6 s, na razão de 2 m/s2, após o que ele passa a ter velocidade constante. 
No instante em que o carro começa a se mover, ele foi ultrapassado por 
um caminhão que vinha no mesmo sentido, com velocidade uniforme de 
lOtn/s. Após quanto tempo e a que distância da posição de partida 
do carro os dois veículos se encontrarão novamente?
a) 18 s c 180 m. d) 19 s e 128 m.
b) 15 s e 150 m. c) Nenhum dos resultados anteriores.
c) 12 s e 120 m.
34. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Dois carros A e B, deslocando-se 
ambos no mesmo sentido, em uma estrada, passam num certo instante por 
um mesmo ponto: o carro A, partindo do repouso desse ponto e desenvol­
vendo uma aceleração constante de 4 m/s2, c o carro B com velocidade 
constante de 20m/s. Um passará novamente pelo outro após:
a) 80 s. d) 5 s.
b) 10s. e) Um não passará mais pelo outro.
c) 20 s.
35. PUC (SÁO PAULO) — Um carro de corrida A tem velocidade constante 
VA = 54 m/s. Ao passar' pelo box de um concorrente B. este parte com 
aceleração aB = 4 m/s2, que permanece constante até atingir a velocidade 
VB = 60 m/s, que é mantida.
O tempo empregado por B para alcançar A é de:
a) 75 s. d) 15 s.
b) 60 s. c) 10 s.
c) 20 s.
36. FEI — Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obe­
dece à seguinte lei horária: S = 4t2, válida no SI. S é a abscissa do móvel 
c t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo ponto 
do primeiro, com movimento uniforme c seguindo a mesma trajetória. Qual 
a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar 
o primeiro?
37. FAAP — Dado o gráfico da variação das velocidades de dois móveis em 
função do tempo, e sabendo que até o instante tx o móvel A já havia per­
corrido 10 m, calcular:
111
a) o espaço percorrido pelo móvel B até o instante t,.
b) o instante t2, até o qual os dois móveis terão percorrido espaços iguais.
38. ENGENHARIA MAUÁ — Um móvel parte do repouso de um ponto A 
executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado, sobre uma 
reta AB. No mesmo instante, parte do ponto B. rumo a A, um outro móvel 
que percorre a reta AB com velocidade constante. A distância entre os 
pontos A c B c d 50 m. Depois de 10 s da partida, os móveis se cruzam 
exatamente no meio da distância entre A e B. Determine:
a) a velocidade do móvel que partiu de B.
b) a velocidade com que o móvel que partiu dc A irá chegar em B.
1. o 2. d 3. d 4. d 5. c 6. b 7. d 8. a 9. d 10. b 11. d 12. d 
13. a 14. a 15. e 16. a 17. c 18. b 19. d
20. a = 2 m/s2; t = 10 s.
21. c
22. o) *aCm/s~)
0 5 10 15 20 2Í5 30 35 40 4^ 50 55 60 65 70 t(s)
-0.4
b ) d = 0 m
23. a — —O.f m/s2; t = 10 s.
24. b
25. a = —4,5 m/s2
26. a a —0.5 m/s2
27. a) t = 20 s;
b ) V v = 10 m/s.
28. t * 3,1 h (Após a partida dos móveis.)
29. a) 30 m/s; 
b) 10 m/s.
112
30. a) 0 1 2 3 41 --- 1--- 1--- 1--- *—i---*--- *---*-
O N T
S(m)
31. 0,75 s após ter passado por A.
32. e 33. a 34. b 35. a
36. VmJn = 16 m/s
37. a) ASU = 15 m; 
b) to = 2 s.
38. a) Vj, = 2.5 m/s:
b ) v a — V50 m/s = 7,1 m/s.
Generalização das propriedades 
dos gráficos horários
Todas as propriedades dos diagramas S X t, V X t e a X t. ex­
traídas em condições particulares (movimentos uniforme e unifor­
memente variado), podem ser generalizadas para quaisquer tipos de 
movimento.
• Diagrama S X t
O declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade 
escalar instantânea do móvel.
Ou seja: dec(S X t) - tg a N V
• Diagrama V X t
fâ / t fm á â à i
O ceclive do gráfico V X t c numericamente igual à aceleração 
escalar instantânea do móvel.
Ou seja: dec(V X t) — tg a ? o
A área sob o gráfico V X t c numericamente igual ao desloca­
mento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: A(V X t) ? áS
116
• Diagrama a X t
A área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da 
velocidade escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: A(a X t) I AV
Resumindo:
Gráficos
Operação
S X t V X t a x t
Leitura
direta
espaço:S 
deslocamento 
escalar: AS 
velocidade 
média: V,,,
velocidade: V 
variação da 
velocidade: AV 
aceleração 
média: a m
aceleração: a
Declive velocidade instantânea: V
aceleração 
instantânea: a
Não tem
significado
físico.
Área
Não tem
significado
físico.
deslocamento 
escalar: AS 
velocidade 
média: Vin
variação da 
velocidade: AV 
aceleração 
média: am
1. UNESP — No gráfico abaixo, o arco de parábola representa a fun­
ção horária dos espaços de um movimento retilíneo.
i
Resolução: Lembrando que dec(S 
concluir:
Julgue as afirmativas:
(1) Entre os instantes 0 e ti 
o movimento é retar­
dado.
(2) Entre os instantes ti e t* 
o movimento é acele­
rado.
(3) Entre os instantes 0 e t> 
a aceleração c negativa.
t) £ V e que dec = tg a, podemos
1) Algebricamente:
dec,? > dec,j > dectj > dec,;, > dec,., 
= » V „ > V t, > V Cj > V,. > V,
Ou seja: algcbricainente (considerando os sinais), a velocidade es­
calar diminui em todo o intervalo de tempo considerado.
Podemos, então, concluir que a aceleração escalar do móvel é nega­
tiva em todo o intervalo de tempo.
118
2) Km módulo:
• jdecol > dec^ | > jdcct( | = > V (,| > V .^ > |V t i [
Ou seja: de 0 a ti o movimento será retardado (intensidade da velo­
cidade diminui).
• |dectJ < jdcct.2 ! < |dcctJ => |Vtj < |Vt/ < V J
Ou seja: de tt a t2 o movimento será acelerado (intensidade da velo­
cidade aumenta).
Resposta: Todas as afirmativas são corretas.
2. FEI — Um móvel desloca-se de forma q je sua velocidade escalar 
em função do tempo segue a lei representada no gráfico:
a) Determinar a velocidade escalar média do móvel entre os ins­
tantes t = 1 s e t = 4 s.
b) Representar graficamente a aceleração do móvel em função 
do tempo.
Resolução:
a) Lembrando que A(V x t) - AS, vem:
A (i ,i m ;i „ , 
A(í *h i *)
2 ~r 1 
2
1 . 10
2
. 1 0 = 15 = > AS.i ,H 3,i = 15 m
I
= 5 => AS (S s H-* o» 5 m
/ área abaixo \ 
\ do eixo t /
Sendo AS(i „w* »> — ASti sM:i - T AS<3»h -i 
temos AS,i *H., s) — 10 m.
AS 10 10
Como Vm —------, então Vm = --------- = —
At 4 — 1 3
10 m
v n, ------ — 3,33 m/s• 1 «H4(| 3 s
Portanto:
b) Coir.o dcc(V x t) = a, temos:
10 — 0
• deC(o«Hioi = -------------= 10 = > a ,UB H , *> = 10 m /s2
1 — 0
1 0 - 1 0
• dec(1 K M - 8j — — 0 —i' â<t * h 2 «I — Oin/s*
2 - 1
0 — 10
• dec<2* H3*> = -------------= —10 = > a l2 ,4 M :;*> = — 10 m /s2
3 - 2
• dec(3 «H iii —------------ — —10 — s a t3 M H.| — —10 m js-’
4 - 3
• dec
0 — ( — 10)
H >HÓ»i — 10 a,, s h i »í = 10 m/s2
3. MEDICINA DE TAUBATÉ — Dois móveis A e B passam por um 
ponto P em um instante t = 0 s e percorrem a mesma reta. Co­
nhecendo os diagramas das velocidades para os dois móveis, po-
demos afirmar que:
a) os móveis tornam a se 
encontrar após 12 s.
b) os móveis tornam a se 
encontrar após 24 s.
c) os móveis não mais se 
encontram.
d) os móveis tornam a se 
encontrar após 30 s.o
120
Resolução: Lembrando que.no diagrama V X t,dec = a, vem:
móvel A: aA = -J-
40
móvel B: aB =
30
60
30
aA = 4 - — m/s2, constante; 
3
aa = — 2 m/s2, constante.
Adotando a origem do referencial no ponto F por onde os móveis pas­
sam no instante t — 0 s e levando em conta que os movimentos são 
uniformemente variados (acelerações escalares constantes), podemos 
escrever:
S0 — 0 m
móvel A V0 = + 2 0 m/sA
móvel B
aA = 4“ — m/s2
S t = 0 m 
V0b = 4 - 6 0 m/s =>
SA = 20t 4 -------i2 (1)
3
Sn = 60t - t2 (2)
a„ = — 2 m /s2
Os móveis voltarão a se encontrar quando ocuparem a mesma posição 
cm relação ao referencial adotado.
Logo, o encontro ocorrerá quando SA — S„ (3).
% w e m d & a S ~ 1 2 1
Assim, substituindo (1) c (2) cm (3), vem:
2 0 t 4 - — t2 = 60t — t2 
3
(4 ,- 4o)=°
- t2 — 40t = 0 =>
I) t = 0 s (instante inicial). 
5
II) t — 40 = 0
3
120t = ------- = t = 24 s
Resposta: alternativa b.
4 . MAPOFEI — A velocidade de um carro, em função do tempo, 
pode ser descrita pelo gráfico a seguir.
Quanto andou o carro du­
rante os primeiros cinco se­
gundos? Quanto andou du­
rante os vinte segundos? 
Qual a velocidade média do 
movimento?
Resolução:
• Como o movimento é descrito num único sentido (velocidade es­
calar positiva), podemos dizer que a distância percorrida pelo carro 
coincide com o deslocamento AS.
Assim, durante os primeiros cinco segundos de movimento teremos:
A S (0 i H i í i : A to » H 3 *> ----- ^ 5 *» — -} '
5 . 20
•iSfii, h í «i -*-50 m
Para o tempo tota! de movimento vem:
__ 2 0 -f 1 0
-h.’i íí i = A(o, h -‘o •> •—> AS<o*h 20»j = H------------• 20
ASÍ(>, h 2 <ik» - +300 m
• Lembrando que V„
AS
At
-, então:
y = -}-(0 * H 2 0 »>
300
20 V ° = 1 5 m , S
Resposta: O móvel andou 50 m durante os primeiros 5 s; 300 m durante 
os 20 s e sua velocidade média nos 20 s dc movimento foi de 15 m/s.
122
5. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS — Dois carros viajam no mesmo 
sentido em uma estrada retilínea. No instante em que um está 
ultrapassando o outro, os deis motoristas percebem um perigo à 
frente e freiam simultaneamente. O gráfico da figura mostra a 
variação da velocidade dos dois com o tempo. Pede-se a distância 
entre os dois carros no instante em que suas velocidades forem 
iguais.
a) 20 m
b) 10 m
c) 50 m
d) 15 m
e) 25 m
Resolução: As velocidades dos móveis sc igualam no instante 5 s, con­
forme podemos deduza- do gráfico.
|t = 0 s | E Z H ] t = 5s
(1 )
v^
• (2 )
AS,
AS.
Observando o esquema anterior, 
podemos escrever : 
d = AS2 -A S , (1), 
onde AS2 = A-2 e AS, ^ A,.
i \c 25 + 5Logo, ASj = ------------ . 5 =: 75 m
e AS,
15 + 5
. 5 = 50 m.
Portanto, voltando a (I), vem: 
d — 75 — 50 fd = 25 m
123
Note eue poderíamos obter a mesma resposta determinando a área 
do triângulo hachurado.
Es:a área corresponde à diferença entre as áreas sob os gráficos refe­
rentes às velocidades dos móveis (2 ) e ( 1 ).
Logo: A' = A2 — Ai = 75 -
A '= 25 [717
50
Ou seja, a área em questão representa numericamente a distância entre 
os móveis quando suas velocidades são iguais.
Resposta: a l te rn a t iv a e.
6. MEDICINA DE TAUBATÉ — O gráfico a seguir representa a ace­
leração versus tempo de um móvel.
É dado que num instante inicial a velocidade do móvel é zero. 
Em que intervalos de tempo o movimento é acelerado (isto é, a 
velocidade cresce em intensidade)?
d) 0 s m 2 s e 4 Sm 5 s.
e) 0 s h 3 s e 4 s h 5 s .
L
124
Resolução: No gráfico a — f(t) a área sob a curva representa numerica­
mente a variação de velocidade do móvel. As áreas acima do eixo f 
estão associadas a variações positivas de velocidade, e as áreas abaixo 
do eixo t. as variações negativas de velocidade.
4 a(m/s~)
Lembrando que o corpo partiu do repouso, até o instante 3 s a velo­
cidade do móvel crescerá tanto algebricamentc como em módulo.
Do instante 3 s ao instante 5 s leremos uma variação negativa de velo­
cidade, o que significa uma redução no valor algébrico da velocidade. 
Determinemos os valores numéricos das velocidades:
Os h I s: A (0 , h i , i = 1 • 2 = 2 = > Vl - V0 = 2 = *
= > V, — 0 = 2 = > V, = 2 m/s 
1 s h 2 s: A,i , h s .i = 1 . 2 = 2 => V* — V! = 2 =>
= > V2 — 2 = 2 = > V2 = 4 m/s 
1 . 2
2 s m 3 s : A (2 h h s ■> = ------------- = 1 = > V3 — V2 = 1 = >
2
= > V* — 4 = 1 = > V3 = 5 m/s
1 . 2 /-v
3 SH4 s: A(a*H 4 8i = —-----= 1 = > V4 — V3 = ( —) 1
==> V, - 5 = - 1 = > V4 = 4 m/s 
1 2
4 s w5 s: A ( 4 ■ Hs •) = — - — = 1 = > V5 — V4 = Q 1 =>
= > Vs — 4 = — 1 = > V5 = 3 m/s
Resumindo: o movimento foi progressivo durante todo o intervalo de 
tempo cbnsiderado, sendo acelerado de 0 s a 3 s c retardado de 3 s a 5 s.
Resposta: alternativa b.
Enunciado para as questões 1 c 2:
Nos gráficos a seguir são representadas as distâncias x à origem da trajetória 
retilínea, em função do tempo t, de uma partícula em movimento:
1. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em quais dos movimentos acima 
representados a velocidade da partícula adquire o valor zero?
a) I e III. d) III e IV.
b) II c V. e) II c III.
c) I e IV.
2. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em qual dos movimentos acima 
representados a velocidade da partícula pode ter valores negativos?
u) I d) IV
b) II c) V
c) III
126
3. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — No gráfico abaixo, deslocamento 
versus tempo de um corpo, podemos afirmar que sua velocidade
a) decresce de A para B e cresce 
de B para C.
b) decresce de A para C.
c) cresce de A para C.
d) cresce de A para B e decres­
ce de B para C.
4. UNIVERSIDADE DE SÀO CARLOS — Qual dos gráficos abaixo melhor 
representa o movimento de um móvel que vai desde um ponto A até um 
ponto B, através de uma trajetória retilínea, com velocidade constante?
O enunciado c o gráfico que seguem se referem às questões de 5 a 7. 
O gráfico descreve o movimento retilíneo de um carro.
'S * 127
5. MEDICINA DE ITAJUBA — Em qual intervalo o movimento é retardado?
a) Os h IOs. d) 50sw60s.
b) 20sm40s. c) Em nenhum dos intervalos.
c) 40 s h 5 0 s .
6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No tempo t = 0s, a velocidade do carro 
cra:
a) Om/s. d) 3,0 m/s.
b) 1,0 m/s. e) 4,0 m/s.
c) 2,0 m/s.
7. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No intervalo 0s a 20s, a velocidade média 
do carro foi igual a:
a) 0 m/s. d) 3,0 m/ s.
b) 1,0 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 2,0 m/s.
H. INATEL — O gráfico da figura abaixo representa o movimento dc um 
automóvel durante 20 minutos de percurso reto. Pergunta-se:
a) Qual a velocidade média do automóvel na ida e qual a velocidade média 
do automóvel na volta, em km/h?
b) A quantos quilómetros do ponto dc partida cie parou?
c) Quanto tempo o carro permaneceu cm movimento?
*>. FUVEST — Dois pontos móveis P e Q percorrem um mesmo eixo Ox; 
seus movimentos estão representados na figura que segue, pelo gráfico do 
espaço x em função do tempo t.
128
Podemos afirmar que:
a) P e O passam, no mesmo ins­
tante, pelo ponto de abscis­
sa x = 0 .
b) a aceleração de P é maior que 
a de Q.
c) a velocidade de O é maior 
que a de P.
d) P e Q passam, no mesmo ins­
tante. pelo ponto de abscis­
sa x = X|.
e) P e Q movcm-sc em sentidos 
opostos.
10. FACULDADES FARIAS BRITO — O gráfico que segue mostra como 
a velocidade de uma partícula varia com o tempo: T, c T, sãoduas 
retas tangentes à curva nos pontos P; e P2, respectivamente. As acelera­
ções escalares instantâneas que a partícula apresenta nos instantes t, = 4 s 
e U = 6 s são de:
T,
b) — m/s2 eO m/s2. 
2
d) 36 m/s2 c 42 m/s2.
II. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Qual dos gráficos da velocidade do 
móvel em função do tempo pode representar um deslocamento de 6 m em 4 s?
12. PUC (CAMPINAS) — No gráfico representa-se velocidade em função do
tempo:
a) O movimento tem um só sentido com velocidade variável.
b) O gráfico está errado, pois não se representa velocidade negativa.
c) O móvel percorreu 3 m e, cm seguida, parou bruscamente; fez percurso 
igual cm sentido contrário e parou no ponto de partida.
d) Do gráfico apresentado só podemos obter velocidade e aceleração do 
móvel em função do tempo.
C) Nenhuma das respostas anteriores.
13. FATEC — L'ma partícula percorre um eixo Ox com velocidade que segue o 
diagrama abaixo:
V(m/s)
(1) Entre as datas Ose 2 s o per­
curso mede 8 m.
(2) Entre as datas 0 s e 4 s o per­
curso resultante é nulo.
(3) Entre as datas 2 s e 4 s (ex­
clusive) a aceleração é de 
■♦•4,0 m/s1 2 3.
a) Somente (I) c correta.
b) (1) c (3) são corretas.
c) Todas as afirmações são corretas.
d) Nenhuma das afirmações c correta,
c) Resposta diferente das anteriores.
130
14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Do gráfico V x t relativo 
ao movimento de uma partícula, mostrado na figura, podemos concluir que. 
entre t = Os e t = 3 s. o espaço por ela percorrido c igual a:
a) 10 m.
b) 12 m.
c) 7 m.
d) 4 m.
e) 5 m.
15. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — O gráfico que segue representa 
a velocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca cm linha 
reta.
Quanto ao deslocamento da par­
tícula, a afirmação certa é:
a) Seu deslocamento total (entre 
0 s e 6 s) é diferente de zero.
b) O deslocamento da partícula 
entre 0 s c l s c igual ao des-
' locamento entre 3 $ e 4 s.
c) O módulo do deslocamento 
entre 0 s e l s c igual uo mó­
dulo do deslocamento entre 
5 s e 6 s.
d) O módulo do deslocamento sempre cresce com o tempo, 
c) O módulo do deslocamento sempre decresce com o tempo.
16. FEI — Um móvel tem velocidade escalar variável com o tempo conforme 
o gráfico abaixo. Assinale a afirmação correta:
b) A distância percorrida pelo móvel nos primeiros 10 segundos de movi­
mento é de 20 m.
c) A aceleração do móvel é negativa no intervalo de tempo 6sw8 s.
d) O móvel está em repouso no intervalo de tempo 4 s h 6 s.
e) O móvel tem movimento retardado entre os instantes t ^ 2 s e t = 4 s.
17. FUVEST — Um automóvel faz uma viagem em seis horas c sua velocidade 
varia em função do tempo, aproximadamente, como mostra o gráfico a 
seguir.
A velocidade média do automóvel na viagem é dc:
______________________________________________ ’fé v tm M tá m /& * * * 131
b) 40km/h. e) 50km/h.
c) 45 km/h.
IH. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No gráfico das velocida­
des dos móveis A e B. o triângulo hachurado representa:
a) a diferença entre as acelerações dos 
móveis.
b) a soma das distâncias percorridas 
pelos móveis.
c) a diferença entre as velocidades 
dos móveis.
d) a diferença entre as distâncias per­
corridas pelos móveis.
e) uma grandeza sem nenhum signifi­
cado físico.
19. MACKENZIE — Um móvel descreve uma reta. com velocidade que varia
Nessas condições, podemos afirmar 
que:
a) no intervalo (0. t,) o móvel se des­
locou com aceleração variável.
b) no intervalo (t,. t2) o móvel esteve 
parado.
c) no intervalo (t2, t3) o movimento 
foi uniformemente acelerado.
d) no intervalo (t3, t4) a velocidade do móvel permaneceu constante, 
c) Nenhuma das afirmações c correta.
132
20. ACAFE (SANTA CATARINA) — O gráfico representa a intensidade da 
velocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca numa tra­
jetória retilínea.
Com base no gráfico, a alternativa correta c:
a) As acelerações da partícula nos intervalos de tempo 0 s a 5 s c 2 0 s a 2 5 s 
são diferentes.
b) A partícula esteve cm repouso no intervalo de 5 s a 10s.
c) De 0 s a 5 s a distância percorrida foi de 75 m.
d) No intervalo dc 15 s a 20 s o movimento é retilíneo uniforme, 
c) A aceleração da partícula dc 10 s a 15 s foi de 4 m/s2.
As explicações a seguir referem-se às questões 21 e 22.
Três partículas partem da origem com velocidades cujas equações horárias 
são representadas a seguir:
21. MEDICINA DO ABC — Considerando as partículas em ordem decrescente 
quanto à distância em relação à origem, ao fim de vinte segundos elas esta­
rão dispostas da seguinte maneira:
a) I, II, III. d) II, III, I.
b) I, III, II. e) III, II, I.
c) II, I, III.
22. MEDICINA DO ABC — Qual a partícula que tem gráfico de aceleração 
satisfazendo aos valores e ao aspecto a seguir?
aím/s“ )
1 
I 
I
I
2õ ti?)
d) I c III.
e) Nenhuma.
c) III.
23. FEI — O gráfico dado define a velocidade dc um ponto em função do 
tempo.
A posição inicial do ponto c dada por S0 — 50 m.
Qual a posição do ponto no instante t 10 s?
24. FATEC — O diagrama ao lado 
dá a velocidade de um ponto em 
função do tempo. Para o inter­
valo dc tempo entre as datas 
0« c I0,0s, determinar a velo­
cidade media c a aceleração.
25. IN ATEI. — O gráfico abaixo representa a variação da velocidade cm fun­
ção do tempo, para um ponto P movendo-se cm linha reta. Pedem-se:
a) a distância total percorrida.
b) a aceleração no intervalo de tempo entre 4 e 5 segundos.
V (m /s )
5 Us)
a) I.
b) II.
134
26. IME — Do movimento de uma partícula c dado o diagrama V x t. Trace 
o diagrama S X t, sabendo que para t = 0 s, S = 0 m (S = espaço).
-1
- 2
-3
-4
V(m/s)
t(s)
27. FEI — Ura móvel cm trajetória retilínea tem um movimento cuja veloci­
dade varia com o tempo conforme o gráfico abaixo:
Quanto à sua aceleração, podemos afirmar que:
a) c negativa entre Os c 2 s.
b) c positiva entre 2 s c 6 s.
c) é positiva de 6 s a 9 s.
d) é positiva de 9 sa 12s.
e) c positiva dc 6 s a 7,5 s e negativa de 7,5 s a 9 s.
28. FEI — Em relação à questão anterior, quanto ao movimento do móvel, 
podemos afirmar que:
a) c retardado no intervalo dc 9 s a 12 s.
b) é retardado no intervalo dc 8 sa 9 s.
c) é acelerado no intervalo de 6 s a 7 s.
d) é uniformemente acelerado no intervalo de 2 s a 6 s.
e) é retardado no intervalo dc 0 s a 2 s.
Enunciado referente às duas questões seguintes:
Um móvel entra em movimento retilíneo a partir do repouso. O .gráfico de 
sua aceleração cm função do tempo decorrido a partir do instante de partida 
é dado pela figura seguinte:
29. CESCEA — Depois de 8 s, sua velocidade será igual a:
a) 12 m/s. d) 16 m/s.
b) Om/s. e) Nenhuma das anteriores.
c) 22 m/s.
30. CESCEA — Em que trecho a velocidade do corpo diminuí com o tempo?
a) No trecho AB.
b) No trecho CD.
c) No trecho BC.
d) Nunca.
e) Nenhuma das respostas anteriores e correta.
31. PUC (SÀO PAULO) — Sobre um corpo inicialmente em repouso atua uma 
aceleração que varia com o tempo, de acordo com o diagrama abaixo:
A velocidade adquirida pelo 
corpo c máxima no instante t 
igual a:
a) 5 s.
b) 15 s.
c) 20 s.
d) 25 s. 
c) 10 s.
32. FEI — O gráfico da aceleração de um móvel em movimento retilíneo cm 
função do tempo c dado na figura. Determinar:
1
i
i
’? 40 t(s)
a) a aceleração média no inter­
valo 0 s h 40s.
b) o gráfico- da velocidade em 
função do tempo. Sabe-se 
que a velocidade inicial é 
nula.
136
3. c (Os declives de A para B decrescem em módulo mas crescem
a gebricamente.)
4. a 5. b 6. b 7. b
8. a) Ida: VIH = 96 km/h. volta: Vm = -4 8 km/h;
b ) Ele parou a 8 km e a 4 km do ponto dc partida;
c) Permaneceu em movimento durante 10 min.
9. d 10. b 11. b 12. c 13. b 14. a 15. c 1G. a 17. b
18. d (A área do triângulo hachurado representa numericamente a diferença
entre as distâncias percorridas pelos móveis A e B entre os 
instantes 0 s e 10 s.)
19. c (0 H t1) = $ movimento uniformemento retardado;
(t,M to) = > movimento uniforme:
(toMt3) => movimento acelerado não-uniformemente;
=> movimento uniformemente ace erado.
20. c 21. d 22. e
23. S J0 — 150 m
24. VJr =0 m/s; a = — 1 m/s2.
25. a) AS = 21 m;
b) a = —6 m/s2.
Vetor
Dado um segmento orientado de reta AB, podemos distinguir 
nele três características:
• direção: a mesma da reta à qual pertence:
• sentido: de A para B;
• módulo: é o valor numérico associado ao comprimento do seg­
mento de reta.
Dois segmentos orientados são ditos eqüipolentes quando pos­
suem a mesma medida, a mesma direção e o mesmo sentido.
j ~ 139
• Conceito de vetor — Tomemos um conjunto de segmentos orien­
tados. eqüipolentes. AB. CD. EF e GH. Tais segmentos apresentam, 
em comum, a mesma associação: módulo-direçãosentido. Esta asso­
ciação abstrata é denominada vetor.
Resumindo:
módulo 
Vetor : direção 
i sentido
Observe que
8
ficamente, o mesmo vetor, simbolizado por V. Isto se deve ao fato 
de que todos os segmentos eqüipolentes têm a mesma direção, o 
mesmo sentido e o mesmo módulo.
é fá iw a ttiC L
O símbolo V representa um vetor e não deve ser substituído por um
número Quando queremos ropresentar apenas o medulo do vetor V. 
—♦
usamos o símbolo V . Assim, se um vetor V tem módulo 5. devemos 
oscrcvor |V — 5 e não V = 5.
Os vetores estão sempre associados às grandezas vetoriais. 
Grandezas vetoriais são grandezas físicas que, para ficarem perfeita­
mente caracterizadas, necessitam de intensidade, direção e sentido. 
Por intensidade se entende módulo seguido de unidade.
Resumo:
Grandeza vetorial
intensidade (módulo -r unidade) 
< direção 
sentido
Exemplos de grandezas físicas vetoriais: força, velocidade, acele­
ração. etc.
140
• Adição de vetores — Dados os vetores V i, Va. V3 e V*. o vetor-
-soma S é obtido traçando-se, a partir de uma origem O arbitraria- 
mente escolhida, os segmentos orientados representativos dos ve­
tores. de modo que a extremidade de um coincida com a origem do 
seguinte e assim por diante.
O vetor-soma S é representado pelo segmento orientado de ori­
gem em O e extremidade coincidente com a extremidade P do seg­
mento representativo do último vetor.
Importante: a adição de vetores é comutativa, isto é. qualquer que 
seja a ordem dos vetores-parcela, o vetor-soma será sempre o mesmo.
• Produto de um número real por um vetor — Dados um número 
—> —> —>
real n e um vetor V. o produto n . V é um vetor U. com as seguintes 
características:
módulo: U = n| . V ;
direção: a mesma de V se n ?! 0.
— — >
sentido: se n > 0. U e V têm sentidos concordantes; 
—>■ —>
se n < 0. U e V têm sentidos opostos.
141
Exemplos:
U = +2V
ffló a w a p feà -
1) Quando n = —1, teremos U = —V. Neste caso. U é denominado 
vetor-oposto ce V. Observe o último exemplo acima.
Conclusão: O vetor-oposto (—V) tem a mesma direção e o mesmo 
módulo de V. mas sontido contrário ao deste.
2) Caso particular: Quando n = 0. o vetor-produto U será nulo. ou seja.
0. ü = O.
• Vetor-diferença — O vetor-diferença D = Va — Vi pode ser ob-
— ► — ►
tido pela soma de Va com o oposto de Vj.
142
• Decomposição de um vetor — Dado um vetor V. podemos de­
compô-lo segundo duas direções x e y ortogonais.
Assim.
Vx e V, são denominados
componentes de V segundo as 
direções x e y.
Reciprocamente, conhecen­
do-se os vetores-cornponentcs 
■—> —>
Vx e Vv podemos determinar o 
vetor V.
Vetor-posição
Quando a trajetória de um móvel não é conhecida, em lugar de 
a posição ser medida através de um arco de trajetória (espaços),
—►
será ceterminada através de um vetor-posição, representado por r. 
de origem arbitrária O e extremidade na pos;ção P ocupada pelo móvel.
Vetor-deslocamento
Sc um móvel parte de uma posição Pi e chega a uma posição 
P- após um intervalo de tempo At. diremos que ele realizou um deslo­
camento escalar AS e um deslocamento vetorial Ar.
Esse vetor-deslocamento A í é. por definição, a diferença entre
o vetor-posição-final ríin e o vetor-posiçác-inicial rln.
Ou seja:
^
Ar — Tf m fia
Observe que numa trajetória curvilínea AÍ, < jAS’, enquanto que 
numa trajetória retilínea A Í = AS|.
Ou seja: Ar ^ ASj
144
Resumindo:
DESLOCAMENTO
Sendo o vetor-deslocamento Ar uma grandeza vetorial, além do módulo 
do vetor a ela associado, a grandeza possui também uma unidade. A esse 
conjunto (módulo -+■ unidade) chamamos de intensidade do vetor- 
•deslocamento e representamos simplesmente por Ar.
Vetor-velocidade
• Vetor-velocidade-média — Seja um móvel que se desloca de Ar 
num interva o de tempo At.
Denomina-se vetor-velocidade-média o quociente entre Ar c At.
Ou seja:
-> Ar
Vc, = -----
At
m em d&a
Como |Ar' ^ |ASj, entáo Vr, ^ jV,„ .
Movimento curvilíneo: |V J < |Vm 
•Movimento retilíneo: |V„, - Vn
Trajetória curvilinea
Trajetória retilínea
!
• Vetor-velocidade-instantânea — Quando o intervalo de tempo At 
tende a zero, o vetor-velocidade-média tende ao vetor-velocidade-ins- 
tantãnea.
146
O vetor-velocidade-instantânea de um móvel possui a mesma in­
tensidade que a velocidade escalar instantânea, tendo direção tangente 
à trajetória e sentido concordante com o sentido do movimento do 
móvel.
Soltando-se o barbante, observamos que a bola segue a 
reta tangente à curva no ponto.
O vetor-velocidade - instantânea índica o que o corpo tende a lazer 
num dado instante seguir a reta tangente
Sendo o vetor-velocidade V uma grandeza vetorial, sua intensidade será 
representada simplesmente por V.
Exemplos:
Na figura ao lado. note que: 
—>
• vetor-velocidade Vi
intensidade: Vi — 30 m/s: 
direção: horizontal: 
sentido: esquerda para a 
direita.
—>
• vetor-velocidade V2
intensidade: Va = 20 m/s; 
direção: vertical: 
sentido: de cima para baixo. 
—>
• vetor-velocidade Va
intensidade: V3 —
= >/l0= -- 202 = V"500 =>
— 10 \Z~5 m/s:
direção: indicada pelo ângulo 
1
a, cuja tangente é — ;
2
sentido: indicado na figura.
=
Vetor-aceleração
• Vetor-aceleração-tangencial — Conforme foi visto anteriormente, 
a aceleração indica a taxa de variação da velocidade de um móvel 
no tempo.
O vetor-aceleração-tangencial indica que a intensidade do vetor-
Movimento retardado
km/h j*- km/h
_ ° T _ _ _ _ _ _
________
Possui direção tangencial e sentido que depende do tipo de movi­
mento:
~ -> — >
• movimento acelerado: aT e V têm o mesmo sentido;
— > —■>
• movimento retardado: aT e V têm sentidos opostos.
A intensidade do vetor-aceleração-tancencial é igual à intensidade 
da aceleração escalar.
Ou seja: f c l - 1*1
õfó& W tpâCL-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sendo o vetor-aceleração-tangencial a T uma grandeza vetorial, sua 
intensidade será simplesmente representada por a T .
• Vetor-aceleração-centripeta — O vetor-aceleração-centrípeta in­
dica a taxa de variação da direção do vetor-velocidade no tempo.
148
Possui direção normal à trajetória, tendo sentido orientado para o 
centro da trajetória, no ponto considerado.
Verifica-se que a intensidade 
é dada pela expressão
V-
ar —
ac) do vetor-aceieração-centripeta 
, onde V é a intensidade da velo-
cidade do móvel e r é o raio da trajetória no ponto considerado.
• Vetor-aceleração-total — O vetor-aceleração-total é a soma ve­
torial dos vetores aceleração tangencial e aceleração centrípeta.
Ou seja:
—>Como a direção do vetor aT é ortogonal à direção do vetor ac 
podemos escrever:
r® ~ aT — a r .
onde Y. aT e ac representam, respectivamente, as intensidades dos 
vetores aceleração T i e Ç
J S h 149
ijJJJS Complementação: Façamos, agora, uma análise de f em todos 
os tipos de movimento:
• MRU
MCU
• MRA
• MRR
I
• MCA
• MCR
retilíneo => ac — O
—► -4
jniforme = > a-r — C
circular => ac ¥= O 
—> —>
uniforme => aT = O
retilíneo => ac = O 
—> —̂
acelerado => O
- 4 —4
retilíneo => ac = O 
—> —►
retardado => a-r O
—> - 4
circular => a<- -/= O
—4 —>
acelerado => ar 7*= O
— > — >
circular => ac / O
—> —>
retardado = > ax 7*= O
• Vetor-aceleração-média — Seja um móvel que varia seu vetor- 
•velocidade de 7 Jn a num intervalo de tempo At. Definimos como 
vetor-aceleração-médiado móvel neste intervalo de tempo o quo-
i
150
1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura que segue estão
— ► — >
desenhados dois segmentos X e Y. Estes segmentos representam 
deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é a intensidade do
— > — >
deslocamento representado por X -f- Y? (A escala da figura é 
1 : U
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 8 cm
d) 13 cm
e) 25 cm
Resolução: Traçando-se o desloca-
mento A? — X -|- Y, podemos escre­
ver: ArL> — 4" -|- 32 = I6 -\- 9 =
= 25 = >
Determinemos a direção do deslo­
camento Ar.
Da figura, vem:
tg a = —— = 0,75 = >
4
= > tg a 0,75
Usando uma tabela trigonométrica (ver Pranchas Matemáticas) pode­
mos verificar que a ss 37°.
Assim, a direção do deslocamento Ar será indicada pelo ângulo 
a ~ 37°.
Sentido de Ar: de O para P.
Resposta: alternativa b.
2. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma pessoa sai de sua 
casa e percorre as seguintes distâncias em qualquer ordem pos­
sível:
I) 30 metros para Leste.
II) 20 metros para o Norte.
III) 30 metros para Oeste.
No fina; das três caminhadas, a distância cm que ela se encontra 
do ponto de partida é:
a) 80 m.
b) 50 m.
c) 20 m.
d) 40 m.
e) 60 m.
Resolução: Construindo a poligonal orientada, obteremos o esquema 
seguinte: \73
Observamos, então, que:
Ar, = 30 m 
Ar3 = 20 m 
Ar.i = 30 m
onde Ar* = Ar, + Arò -f Ar-,. 
Da figura, temos:
Ar — 20 m
Resposta: alternativa c.
152
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A velocidade vetorial média de 
um corpo que parte de um ponto P, percorre o segmento de reta 
PQ e volta, pelo mesmo caminho, à origem P. no intervalo de tem­
po At, é:
a) O.
b) OP/At.
d) 2PQ/A1.
e) PQ/At.
c) 2QP/At.
Re.solução: Como o corpo retorna ao ponto dc partida, teremos: 
Ar = PO 4- OP = O
PQ
P *■
->
OP
Ar
Sendo V» — ------ , então Vm
Al
Ke.spo.sta: alternativa a.
H q.
O —►
V', - o
At
O enunciado que segue refere-sc às questões de 4 a 6.
A figura mostra uma fotografia estroboscópica de uma bola que 
se move ao longo da trajetória . . . . 1, 2, 3...........8, 9. 10............. 12,
13. 14. . . .
As regiões dc 1 a 4, 8 a 11 e 12 a 14 são linhas retas.
As regiões de 4 a 8 e de 11 a 12 são arcos de circunferências. 
Os intervalos de tempo entre duas posições sucessivas da bola 
são todos iguais.
4. FEI — A velocidade instantânea da bola no ponto 6 é melhor re­
presentada por qual dos segmentos abaixo?
s)
Resolução: lembrando que o vetor- 
-vclocidade é tangente à trajetória e 
que o movimento é descrito da foto 
(4) para a foto (8), podemos repre­
sentar a velocidade no ponto (6) 
conforme o esquema ao lado.
Resposta: alternativa b.
5. FEI — A aceleração instantânea da bola no ponto 6 é melhor repre­
sentada por qual dos segmentos abaixo?
a) zero
b)
Resolução: De (4) a (8) o movi­
mento c uniforme; logo, V e cons- 
—> —>
tante. Assim, a r = O.
Como a trajetória é curva, a acele­
ração é centrípeta
Logo, Y« = ac, sendo indicada conforme a figura anterior. 
Resposta: alternativa e.
154
6. FEI — A aceleração instantânea da bola no ponto 13 é melhor 
representada por qual dos segmentos abaixo?
d)
e) zero
c) *
Resolução: Na região considerada, 
a trajetória é retilínea. Assim, não 
há aceleração centrípeta, pois a di­
reção da velocidade não varia. 
—> —>
Logo, ac = O.
Como o movimento é acelerado, o 
móvel somente possui aceleração
tangencial, ou seja, y™ = ar. con­
forme a figura ao lado.
Resposta: alternativa b.
7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um ventilador acaba de 
ser desligado e está parando vagarosamente, girando no sentido 
horário. A direção e o sentido de aceleração da pá do ventilador 
no ponto P são melhor representados pela figura:
P
n e m d & tz ^ 155
Resolução: Devido ao movimento retardado, o ventilador terá acele­
ração tangencial de sentido contrário ao do movimento, além de ter 
aceleração centrípeta, pois a velocidade varia em direção.
Portanto, a aceleração total do ponto P será y = a* — a<;, conforme 
indica a figura acima.
Resposta: alternativa d.
8. PUC (SÃO PAULO) — Um móvel parte do repouso e percorre 
uma trajetória circular com raio de 100 m, assumindo um movi­
mento Lniformemente acelerado de aceleração igual a 1 m /s2 As 
intensidades dos vetores componentes tangencial e normal da 
aceleração valem, respectivamente, após 10 s:
a) 1 m/s2 e 10 m/s2.
b) 10 m/s2 e 1 m/s2.
c) 10 m/s2 e 10 m/s2.
d) 10 m/s2 e 100 m/s2.
e) 1 m/s2 e 1 m/s2.
Resolução: Como o movimento é uniformemente acelerado, podemos 
escrever:
V = V„ -f at = > V = 0 -f 1 . 10 = > V = 10 m/s
Portanto:
• vetor-aceleração-tangencial a.,. 
Sendo aT = a , vem
• vetor-aceleração-centrípeta a (.
V2 _ (IO)2 100
r
aT ~ 1,0 m/s2
aò = 100 100
ac 1,0 m/s2
Resposta: alternativa c.
156
9. FEI — A velocidade V? dc um móvel em função do tempo acha-se 
representada pelo diagrama vetorial da figura. A intensidade da 
velocidade inicial é Vo= 20m /s .
t = Os
o
Esquematize a aceleração vetorial média e determine a sua inten 
sidade entre os instantes t = 0 s e t = 8 s .
Resolução: Lembrando que y». =
então
Va - V, v 8 + (-V p) 
8 - 0 “ 8
Podemos, então, construir o esquema abaixo, obtendo-se Y » 8-i
Observando o triângulo ABC, podemos escrever:
AC „ AC 20
------= sen 30° = > BC = ------------- = > BC = --------
BC sen 30°
BC = 40
Portanto, AV 2 BC ==> AV ~ 40.
- * AV |AV
Sendo Ym = ------ , então \ym\ — —---- -
At At
40
onde Ym representa a intensidade da aceleração vetorial média Ym •
1. FUNDAÇÃO CASPER LIBERO — Dois vetores são iguais quando:
a) têm a mesma intensidade.
b) são vctores-opostos.
c) têm a mesma direção.
d) têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
2. FUNDAÇÀO CARLOS CHAGAS — A figura abaixo mostra três vetores 
—► —> —*
A. B c C. De acordo com esta figura, podemos afirmar que c verdadeira 
a seguinte relação:
a) A + B + C = O
b) A = B - C
c) íT - A = C
d) A + B = C
e) A = íT-f C
3. EMESCAM (ESPÍRITO SANTO) — Sendo dados os vetores u e v da 
figura, o segmento que melhor representa a diferença veforial d = u v é:
a) nulo c) c)
b) d)
158
— ► —♦
4. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Dados os vetores A. B C. I>, E.
F c G, representados geometricamente num plano, corno mostra a figura, 
pode-se afirmar corretamente que:
b) D + A + B d) Nenhuma dessas.
5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte está representada 
uma parte de um mapa geográfico de uma região plana. 1 e Z são pontos 
desta região. Qual das seguintes medidas mais se aproxima do valor da 
distância entre os pontos Z e Y?
Z 100 m
100m
a) 30C m
b) 400 rn
c) 500 m
d) 600 m
e) 700 m
6. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uma pessoa sai para dar um pas­
seio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: sai de casa e anda 2 quar­
teirões para o Norte; logo após, dobra à esquerda e anda mais 3 quarteirões 
para Oeste, virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais 2 
quarteirões para o Sul.
Sabendo que um quarteirão mede lOOm, o deslocamento da pessoa é de:
a) 700 m para Sudeste. d) 700 m em direções variadas.
b) 300 m para Oeste. e) zero.
c) 200 m para o Norte.
7. I NIVI RSIDADE DE MINAS GERAIS — Um automóvel está sendo 
testado em uma pista circular de 200 m de raio. Qua! será a intensidade do 
vetor-desloeamento do automóvel após ter ele completado meia volta?
8. MEDICINA DE CATANDUVA — Em uma nave espacial há um compar­
timento semelhante a uma caixa de sapatos e cujas dimensões são iguais a 
4 m X 3 m X 2 m. Sabendo que a mesma se encontra cm repouso em 
rcluçBo a três estrelas fixas e livre da ação de campos gravitacionais. quer 
se saber qual será a intensidade do vetor-deslocamento devido à movimen­
tarão dc um astronauta de um dos cantos do compartimento para o outro, 
diamctralmente oposto, em busca dc uma ferramenta.
a) y'63 m
b) \/29m
c) yXSni
d) Faltam dados para o cálculo.
c) Nenhuma das respostas anteriores.
9. MEDICINA DE SANTOS — Sejam Vu a velocidade escalar media e Vm 
a velocidade vetorial média de um móvel num trecho dc sua trajetória. 
Podemos dizer que:
c) Nenhuma das anteriores.
10. FUNDAÇÃO CARI.OSCHAGAS — A velocidade de um corpo c uma 
grandeza vetorial, pois para determiná-la é preciso caracterizar sua direção:
a) c sentido.
b) sentido e intensidade.
c) sentido e ponto dc aplicação.
d) intensidade c unidade.
c) ponto de aplicação e unidade.
11. PUC (SÃO PAULO) - Sc a velocidade vetorial de um ponto material é 
constante, sua trajetória:
a) é uma parábola.
b) pode ser uma reta. mas nào necessariamente.
c) deve ser uma reta.
d) é uma circunferência.
c) pode scr uma curva qualquer.
a) 628 m
b) 282 m
c) 2Q0 m
d) 400 m
e) 314 m
b) |Vm| = |VJ. 
O |Vm|$> V J. 
d) Vm = Vm.
160
12. CESGRANRIO — Uma partícula descreve, com movimento uniforme, urna 
trajetória circular, representada na figura, no sentido indicado pela seta. 
Entre as passagens A c II. a variação da velocidade vetorial da partícula 
será melhor representada por:
B
13, FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um ponto em movimento circular 
uniforme percorre um arco de círculo de raio R 20 cm e ângulo central 
de 60° em 5 s.
A variação V., é, cm cm/s, igual a:
a)
10r
3
e)
4tt
3
d) 5v.
e) um valor diferente dos an­
teriores.
14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma partícula não possui 
aceleração. Então, podemos concluir que:
a) sua velocidade é nula. :
b) ela está em movimento circular uniforme. )
c) ela está em repouso ou em movimento retilíneo uniforhie. '
d) a intensidade de sua velocidade é constante c sua direção variável.
e) a intensidade dc sua velocidade é variável e sua direção constante.
15. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No movimento circular 
uniforme 6:
ii) variável a velocidade escalar e nula a aceleração centrípeta.
b) constante a velocidade escalar e r.ula a aceleração vetorial.
c) constante a velocidade escalar c constante a aceleração tangencial.
d) constante a velocidade escalar e nula a aceleração tangencial.
c) variável a velocidade escalar c constante a aceleração centrípeta.
16. UNIVERSIDADE DO ESPÍRI­
TO SANTO — Um corpo está 
com movimento circular, unifor­
me. com sentido de 1 para 2. 
Quando ele atinge o ponto A. o 
par de vetores velocidade e ace­
leração representativo do movi-
mento será:
V
d)“) _ *
.2.
V
h)
t,>
c)
V
c)
17. MEDICINA DE ITAJUBÁ Uma partícula realiza um movimento cir- 
culur uniforme. Se escolhemos o centro da circunferência como nosso rc-
ícrcncial e chamamos de 1* o vetor-posição da partícula num instante t
—►
qualquer, de a o vetor-aceleração da partícula e de V a sua velocidade, qual 
dentre as opções seguintes melhor representa a disposição dos três vetores 
num mesmo instante t?
162
18. MEDICINA DO ABC — Uma circunferência é percorrida por um móvel 
pontual M cm movimento circular uniforme. Em relação a M:
a) os vetores velocidade c aceleração são paralelos em cada instante.
b) a aceleração é nula.
c) os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares em cada instante.
d) a velocidade varia linearmente com o tempo.
e) a aceleração varia linearmente com o tempo. |
19. CESGRANKIO A figura abaixo mostra a fotografia cstroboscópicado 
movimento de uma partícula. A aceleração da mesma, no ponto P da tra­
jetória, é melhor representada pelo segmento:
V p i
a) I. d) IV.
b) II. e) V.
c) III.
Instruções para as questões de 20 a 22.
Na figura está representada a trajetória de um corpo que sc move sobre 
uma mesa horizontal.
x e y são dois eixos cartesianos de referencia. As posições do corpo, dc 
minuto em minuto, estão assinaladas ao longo da trajetória.
163
20. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Entre os pontos 1 c 5 da trajetória, 
qua. é a posição mais próxima daquela na qual foi nulo o vetor-componente, 
na direção y, da velocidade vetorial instantânea do corpo?
a) I d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Qual dos seguintes segmentos melhor 
representa o vetor aceleração-instantânea do corpo na posição 8, conside­
rando que entre os pontos 7 e 9 o corpo tinha uma velocidade escalar 
constante?
/y/mdába
22. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual foi, aproximadamente, a inten­
sidade da velocidade vetorial media do corpo entre as posições 1 c 14?
n) 0,41 cm/min d) 0,87 cm/min
h) 0,57 cm/min e) 1,47 cm/min
c) 0,65 cm/min
23. FUVEST — Um menino está num carrossel que gira cohi velocidade an­
gular constante, executando uma volta completa a cada 10 s. A criança 
mantém, relativamente ao carrossel, uma posição fixa a 2 in do eixo de 
rotação.
a) Numa circunferência representando a trajetória circular do menino,
—► —*
assinale os vetores velocidade V e aceleração a correspondentes a uma 
posição arbitrária do menino.
— ► — *
b) Calcule as intensidades de V e de a.
164
24. FEI — O vetor-velccidadc cie uma partícula, em função do tempo, está 
representado na figura. Calcular as acelerações médias nos intervalos de 
tempo I S h 2 s c 5 s -<6 s , indicando também sua direção c sentido.
Os 1s 2s 3s 4s
d 8. b 9. c 10. b
11. b (Se V é constante e não-nula ==> trajetória retilíneo; se V é
constantemente nula => trajetória é um ponto.)
12. b 13. c 14. c 15. d 16. c 17. e 18. c 19. b 20. c 21. a 22. d
bj V ss 1.3 m/s; 
a sr 0,8 m/s2.
( Intensidade: 15 m/s2 
direção: horizontal 
sentido: da esquerda para a direita
Intensidade: 15 m/s2 
direção: vertical 
sentido: de cima para baixo
2 4 .
“ ( S s h i i í :
1. d 2. e 3. e 4. c 5. c 6. b 7.
CffllUD
6
166
Introdução
Seja um móvel que descreve 
de origem 0 e raio r.
Deslocamento angular
uma trajetória circular orientada
Num instante t, seja P a po­
sição ocupada pelo móvel.
O ângulo central $ corres­
pondente ao arco OP é o ângulo 
de fase do móvel nesse instante. 
A medida algébrica de OP é S 
(espaço do móvel no instante t).
Em radianos. temos:
Deslocamento angular do móvel 
no intervalo de tempo At = t' — t 
é. por definição, o ângulo central 
A<I> = dV — <í>, onde 4>'éo ângulo 
de fase no instante t e (IJ é o ân­
gulo de fase no instante t.
O ângulo central A<I> (deslo­
camento angular) corresponde 
ao arco AS (deslocamento es­
calar).
Em radianos, temos:
Velocidade angu lar
Velocidade angular média é o quociente entre o deslocamento 
angular A<1> e o correspondente intervalo de tempo At.
Ou seja:
A<t>
0)M = -----
At
Sendo A<I> medido em rad e At medido em s. então co será medido 
em r a d / s .
A velocidade angular instantânea é o limite da velocidade arg jlar 
média quando o intervalo de tempo tender a zero.
O sentido do movimento concorda com 
o sentido da trajetória orientada.
-
O sentido do movimento discorda do 
sentido da trajetória orientada
168
Aplicações O estudo da velocidade angjlar é importante na 
análise de movimentos circulares uniformes, quando estamos interes­
sados na rotação de sólidos.
Aceleração angular
Quando a hélice de um helicóptero é ligada, sua velocidade an­
gular aumenta até atingir seu regime normal de funcionamento. Di­
remos, então, que a hél:ce está dotada de uma aceleração angular.
Define-se aceleração angu­
lar média como o quociente 
entre a variação da velocidade 
angular i a e o correspondente 
intervalo de tempo At.
Ou seja:
Ao>
«m = -----
At
Portanto:
Sendo Aw medido em rad/s e At medido em s. então x será me­
dido em rad/s".
A aceleração angular instantânea é o limite da aceleração angular 
média quando o intervalo de tempo tender a zero.
Ou seja: x = lirn
ât-* o
Sinais de x:
a > 0 => c«> cresce algebricamente; 
x < ü => o> decresce algebricamente.
170
Relação entre elementos lineares e angulares
Sendo S, V e a os elementos lineares do movimento de Lm móvel 
em trajetória circular de raio r. e «1». to e a os elementos angulares 
correspondentes, podemos escrever:
elemento angular —
elemento linear
raio
Ou seja:
s V a
(0 — —• a —
r r r
Na figura ao lado temos o 
diagrama referente às velocida­
des lineares dos pontos de um 
disco em movimento de rotação,
V
pois co — — => V — cor (V é 
r
função linear do raio r quando co 
é constante).
Movimento circular uniforme
No MU temos S — So -f Vt. 
Num MCU de raio r, temos:
r r r
=> : — <l>o + cot
Essa expressão é a função 
horária angular do MCU. ObserveV
que co = — = constante 0. 
r
O intervalo de tempo neces­
sário para que um móvel em 
MCU dê uma volta completa é 
denominado período (T).
O número de voltas dadas 
por um móvel em MCU. num in­
tervalo de tempo, é denominado 
freqüência (f).
Observe que
O período T é medido em s 
e a freqüência f em s 1 ou hertz 
(Hz). É usual a unidade rotação 
por minuto (rpm) para freqüên­
cia.
Note que 1 rpm — -----Hz.
60
Nurh MCU, lembrando que 
A<J>
o) = ----- . quando A<J> = 2n rad
At
(1 volta), então At — T (período).
Logo:
Assim, por exemplo, lembrando que a Terra em seu movimento 
de rotação leva 24 horas para completar uma volta, podemos deter-
2;i
minar a correspondente velocidade angular, ou seja. c>r -----—
2 r .
24
( ! ) —
TC
12
rad/h.
i*
172
v-
Lembrando que a<: = ----- , vem:
r
(wr)-
ac = -------- e dai
r
& ó& rxz# 2a.___________
No MCI), como a velocidade escalar 6 constante, a intensidade do vetor- 
- velocidade também é constante e a aceleração tangencial é nula. isto é.
7 r = 0 .
Entretanto, embora a intensidade do vetor-velocidade seja constante, sua 
direção varia e a aceleração centrípeta é não-nula. isto é, ac O
t
MCU
ï = * r + «c
Como ar - O,
V-'
a(. = ----- = o)*r
r
v — a . onde
Movimento circular uniformemente variado
Lembrando que num MUV:
S = Su + Vot + — at2 
2
V = V«, + at 
V2 = Vo + 2aAS
para um MCUV de raio r vem: 
_S_ _So_ Vo t
r r r
1
2
t2
V
r
v-
-2
Vu a
-------1------- t
r r
Vf 2aAS
-----+ ----------
& 173
Em decorrência do que foi exposto anteriormente:
<1> — <!>„ — to ,t * f --------at*
2
d» = o)í, -f- 2t 
'/)' = -f 2aA<í>
a
Observe que a = -----=
r
constante ^ 0.
(M & VO 0&2_____________________________________________________-
No MCUV tanto a Intensidade quanto a direção do vetor-velocidade vadam. 
Logo. as acelerações tangencial e centrípeta são não-nulas
Sistema de transmissão
Em qualquer sistema de transmissão, as velocidades lineares 
dos pontos em contato direto ou indireto (através de correia ou cor­
rente) são iguais em intensidade, admitindo não haver escorrega­
mento.
1) Observe o dispositivo ilustrado:
174
Esquematicamente, teremos:
V,
Assim, para duas engrenagens em contato teremos:
V: = V3 w » ri = «fers = > 2 rc f in = 2 n f2rs ==> f ir i = f«ra
Portanto, quanto menor o raio da engrenagem, maior sua fre- 
qüência de rotação.
J
♦
■ 9
I
2 ) Observe o dispositivo ilustrado:
Esquematicamente, teremos:
Admitindo que não haja escorregamento e que a corrente esteja 
esticada, vem:
Vi — Ví => o):n = o)jrs => 2~ firi = 2^f3r2 =>
1. F-NGENHARIA DE SANTOS — Toma-se sobre uma circunferência 
cie raio r = 2m um arco cie comprimento 5m. O ângulo central 
correspondente é:
a) 0.40 rad.
b) 2,5 rad.
c) 3.0 rad.
d) t: rad.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Lembrando a expressão 
da medida dc um ângulo em ra- 
dianos, vem:
A<I>
AS
r
= > A<t> —
= > | A<I> = 2,5 rãd~ 
Resposta: alternativa b.
2. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — A velocidade angular do 
ponteiro dos segundos dc um relógio vale. em rad/s:
a) 2n.
b) n. d)
t:
50
C) e)
»u
15
Resolução: O período dc rotação do ponteiro dos segundos é T — 60 s 
(tempo que c!c leva para completar uma volta).
Assim sendo, como w = - 2-~, vem:
T
2~
o» ----
60
d) rad / s
30
Resposta: alternativa c.
176
3. CESCEA — Uma barra gira em torno do ponto O com velocidade 
angular constante, completando uma volta a cada segundo. A ve­
locidade escalar de um ponto P da barra, distando 2 m do ponto
O, é:
a) 4r: m /s.
b) r . m /s.
n
c) -----m/s.
2
d) 8 r. m /s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Do enunciado, te- 
. . voltamos: f = 1--------- = 1 Hz.
Como o) — 2 r .f. vem: 
o> = 2n . 1 = > o) = 2tt rad/s 
Lembrando que VP = ü>rP, 
concluímos que
Vp = 27:. 2 n=>|Vi» = A r. m/s
Resposta: alternativa a.
4. FEI — Um móvel se desloca em uma trajetória circu'ar, de raio 
r = 2,00 m, obedecendo à lei horária S = 2,00 - 5,00t (SI).
No instante t = 10 s, a intensidade de sua aceleração resultante, 
a intensidade de sua velocidade e a sua posição angular valem, 
respectivamente:
a) 0.00 m /s2; 5,00 m /s e —24,0 rad.
b) 12,5 m /s2; 5,00 m /s e —48.0 rad.
c) 12,5 m /s2; 5,00 m /s e —24,0 rad.
d) 5.00 m /s2; 2.00 m /s e —24.0 rad.
e) 12.5 m /s2; 2,00 m /s e —48,0 rad.
Resolução: Inicialmente, escrevemos a função horária do movimento 
na forma angular.
S
Sendo S = 2,00 — 5,00 t e lembtando que O = — , então:
r
S 2,00 5,00 t 2,00 5.00
— = --------------- ----- t= * < I> = —---------------— t = >
r r r 2,00 2,00
=><!> = 1 ,0 0 -2 ,50t
V
• Assim, como para MCU <í> = <I>0 -j o)t, então <I»0 = 1 ,(K) rad e to = 
= —2,50 rad/s.
Para t = 10 s, <J>,0 = 1 — 2,50 . 10 => — —24,0 rad
Como o movimento é circular e uniforme, a aceleração do móvel 
6 a aceleração centrípeta.
Portanto, a<- = o)-r = > ao = (—2,50)2 . 2 = 6,25 . 2 = >
ao — 12,5 m/s2
Da função horária S = 2,00 — 5,00 t concluímos que: 
V = —5,00 m/s.
Logo: !V| ^ 5,00 m/s
Kesposfa: alternativa c.
5. MEDICINA DE SANTOS — Sobre uma circunferência com 60 cm 
do raio, dois pontos animados de movimento uniforme se encon­
tram a cada 30 s quando se movem no mesmo sentido, e a cada 
10 s quando se movem em sentidos opostos. Determinar seus 
períodos, 
o) 10 s e 30 s.
b) 10 s e 20 s.
c) 15 s e 30 s.
d) 15 s e 20 s.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Kc.solução: Como o movimento dos pontos é uniforme, podemos es­
crever:
móvel (1): <I>, = <I>0j -f cM 
móvel (2): <I>2 = + wst
178
Vamos adotar como origem das posições angulares o ponto P cm que 
ocorrer um encontro qualquer. Neste instante, iniciamos o estudo dos 
movimentos.
Assim, <I>o = <I>o = 0.1 ' 2
Portanto: <I>: = Wit 
<&a = w2t
1) Movimentos no mesmo sentido.
Ti T-. 30
2) Movimentos em sentidos contrários
Condição para o I,° encontro:
Logo:
Subtraindo (1) de (2), vem:
T , 10 30 30
Resposta: alternativa c.
6. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — As duas polias A e B. 
de raios rA e rR respectivamente (rA > rK), estão ligadas entre si 
por uma correia C. Nestas condições, estando o sistema em movi­
mento, teremos:
a) A velocidade linear da polia A é maior do que a da polia B.
b) A velocidade linear das duas polias é a mesma.
c) A velocidade angular das duas polias é a mesma.
d) A relação entre as velocidades angulares é diretamente pro­
porcional à relação entre os raios das mesmas.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Admitamos que não haja escorregamento e que a correia seja 
incxtcnsível, a correia que une as polias tem velocidade escalar cons­
tante c igual à velocidade dos pontos periféricos das polias.
Assim, V,. = V P =Vi*
A B O
Para um ponto PA da periferia da polia A temos V,.A — (oArA.
180
Para um ponto PB da periferia da polia B vem V|*It = o)»rB. 
Como V,.A = VpB, então wArA = wBrB- 
Sendo co — 2;tf, vem:
27rfArA — 27tf«rB fArA — fBrB
Portanto, quanto menor o raio da polia, maior sua freqücncia (número 
de voltas na unidade de tempo).
Resposta: alternativa b.
7. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Um ventilador gira à razão de 
900 rpm. Ao ser desligado, seu movimento passa a ser uniforme­
mente retardado até parar, após 75 voltas. O tempo transcorrido 
desde o momento em que é desligado até sua parada completa 
vale:
a) 1 s.
b) 10 s.
C) 100 S.
d) 1 000 s.
e) 0.1 s.
Resolução: Como f — 900 rpm, teremos f — 900
900
60
rot
s
= 15 s -1 = 15 Hz
rot
min
Portanto:
Wo = 2 tzÍ Wo = 2r. . 15 Wo = 30^ rad/s
Após ser desligado, o ventilador descreve 75 voltas.
Assim, A<1> — rad A<E — 150z rad
Ao parar, w — 0 rad/s.
Lembrando que o movimento é uniformemente variado, podemos es­
crever a equação de Torricelli, na forma angular:
w2 = w2 4- 2aA<l> a =
0)- 0)7.
2A<I>
O-' _ (30tc)- _ 900rv=
2 . 15077 ~~ 300tí
Sendo to = w» + at, teremos: 
w — w0 0 — 3(>tc
“ ã —3x:
Resposta: alternativa b.
a = — 3ti rad/s2
t
1. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA Um ponto material, animado de 
um movimento circular uniforme, descreve um ângulode 45° em 2/3 de 
minuto. Nessas condições, a velocidade angular desse ponto é de:
a) rad . s“ 1.
4
b) 160^ rad . s-1.
c) —— rad . s“ 1.
160
d) lOnrad . $->.
c) — rad . s-1.
10
2. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA O ponteiro dos segundos de um 
relógio executa um movimento circular uniforme. Pontos diferentes do 
referido ponteiro terão em comum:
a) a aceleração.
b) a velocidade angular.
c) a velocidade escalar.
d) a energia cinética.
c) o produto da aceleração pelo raio.
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Em relação ao movimento circular 
uniforme, é correto afirmar que:
a) o vetor-velocidade é constante.
b) o vetor-aceleração é constante.
c) a aceleração é centrífuga.
d) a velocidade escalar varia linearmente com o tempo,
c) a velocidade escalar angular é constante.
4. UNESP — Uma polia efetua 10 revoluções em r. segundos. Julgar as afir­
mativas:
(1 ) 0 ângulo de rotação da polia é de 20 rad.
(2) A freqüência de revolução da polia é necessariamente invariável.
(3) A velocidade angular média da polia c de 20 rud/s.
182
5. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um satélite gravita em torno dc um planeta 
de 6,0 . I0:< km de raio, descrevendo uma órbita circular estável a 1,0 . 105 
km de altura. Se o seu período c de 2.0 anos, qual será o valor da acelera­
ção comunicada ao satélite pelo planeta?
a) Nulo.
b) (1/28) . IO-» km/ano2.
c) 9,8 . 10a km/ano2.
d) 69 . 10* km/ano2.
e) Faltam dados para resolver o problema.
6. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA A rotação das palhetas de um liqui­
dificador é mantida constante. O gráfico que descreve a velocidade escalar 
V dos pontos das palhetas em função dc suas distâncias r ao eixo de ro­
tação é:
7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um satélite está em órbita circular 
em torno da Terra. Desta situação, afirma-se que:
I) o vetor-velocidade c constante.
II) o período é constante.
III) o vetor-aceleração é constante.
Destas afirmações, está (estão) correta(s):
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I c II.
d) apenas I c III.
e) I, II c III.
183
N. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — Que grandeza física, no SI, tem 
como unidade dc medida s - :? (s c abreviação de segundo.)
a) Tempo.
b ) Aceleração.
c) Velocidade.
d) Comprimento,
c) Freqiicncia.
MEDICINA DA SANTA CASA — Qual dos gráficos abaixo melhor repre­
senta a velocidade angular de um movimento circular em função da fre- 
qüência?
10. PUC (CAMPINAS) — Um ponto material executa um movimento circular, 
percorrendo arcos iguais cm tempos consecutivos e iguais, por pequenos 
que sejam. O movimento é:
a) uniforme c periódico.
b) uniformemente variado.
c) periódico mas não uniforme.
d) Nenhum dos citados (variado e uniforme),
c) Nenhuma das respostas anteriores.
11. PUC (CAMPINAS) — Os pneus de um automóvel tem circunferências de 
2,10 m. Se o pneu efetua 240 rpm, a velocidade do automóvel é de:
a) 2,10 m/s.
b) 8,40 m/s.
c) 26,0 m/s.
d) 16,8 m/s.
e) 2-,6 m/s.
12. INATEL Calcular a velocidade angular, em radianos/segundo, dc um 
eixo de motor de automóvel que gira a 3 600 rpm.
13. FEI-MAUÁ — Um sarilho mecanizado está girando a 60 rpm. Qual é a 
velocidade de descida dc um corpo que está preso à extremidade de uma 
corda ligada a esse sarilho? (O diâmetro do sarilho é de 0.3 m.)
184
14. MEDICINA DE SANTOS — No instante em que um relógio bate 12 horas, 
seus três ponteiros estão sobrepostos. Calcular quanto tempo após esse ins­
tante pela primeira vez um dos ponteiros forma ângulos iguais com os 
outros dois.
a) 59,18 s.
b) 60.59 s.
c) 61,89 s.
d) 58,08 s.
c) Nenhuma das respostas anteriores.
15. MEDICINA DE TAUBAT6 — Duas polias de raios diferentes estão co­
nectadas por uma correia. Quando em movimento, serão iguais:
a) as velocidades angulares das duas polias.
b) as velocidades angular e linear de cada polia.
c) os períodos das duas polias.
d) as velocidades lineares dos pontos mais externos de cada polia (que to­
cam na correia).
e) as velocidades vetoriais dc todos os pontos da correia. '
16. FEI — Duas rodas tangenciam-se num certo ponto. Colocando uma delas 
a girar, esta transmite movimento à segunda. Admite-se não haver escor­
regamento no ponto dc tangência. Os raios das rodas são R, - r e R, 3r.
Dar a relação entre as velocidades angulares oj1 e ü>2.
17. CESGRANRIO — Para um satélite em órbita circular cm torno da Terra, 
qual (ou quais) das seguintes afirmações é (são) verdadcira(s)?
—>
I) A intensidade dc sua velocidade V é constante.
II) A sua velocidade V é constante.
III) O período de seu movimento orbital é constante.
Assinale:
a) Somente I.
b) Somente I e II.
c) Somente 1 e III.
d) Somente III.
e) I, II e III.
18. CESCEA — A velocidade angular de uma roda diminui uniformemente de 
40 rad/s a 20 rad/s em 5 s. Pode-se dizer que a aceleração angular neste 
intervalo de tempo é:
a) nula.
b) -0,25 rad/s2.
c) —4 rad/s2.
d) 14 rad/s2.
e) uniformerr.ente variada.
19. ENGENHARIA DE L.ORENA — A velocidade angular de um motor que 
gira a 900 rpm decresce uniformemente até 300 rpm, efetuando 50 revolu­
ções. Qual a aceleração angular do motor?
a) 2t. rad/s2.
b) 4t. rad/s2.
c) 2 rad/s2.
d) 3 rad/s2.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
20. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL — O gráfico abaixo mostra a variação 
da velocidade angular de um móvel em função do tempo. O deslocamento 
angular do móvel, no intervalo de 0 s a 20 s, é de:
a) 400 rad.
b) 625 rad.
c) 1 C00 rad.
d) 800 rad.
e) 600 rad.
21. FAAP — A equação horária sob a forma angular do movimento circular de 
uma partícula é 4> = t2 • 6. com ângulo <I> em radianos e o tempo em 
segundos. Sabendo-se que a intensidade da aceleração total da partícula é 
10m/s2, no instante t = 1 s. determinar o raio da trajetória circular.
22. ENGENHARIA MAUÁ A roda da frente de um triciclo tem raio 
R_ = 0,20 m e as duas rodas traseiras têm raios R2 = 0,40 m cada. O tri­
ciclo está se movimentando num plano horizontal, sem derrapar, em mo­
vimento uniformemente acelerado, com aceleração a = 2,5 m/s2. No ins­
tante da observação, sua velocidade é V = 18km/h. Determine a veloci­
dade e a aceleração angulares de cada roda, em relação ao seu respectivo 
eixo.
186
23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Dois discos giram, 
sem deslizamento entre si. como se mostra na figura abaixo. A velocidade 
escalar do ponto X é 2,0 cm/s.
X
Qual é a velocidade escalar do ponto Y, em cm/s?
a) 1,0 d) 4,0
b) 2,0 e) 5,0
c) 3,0
4. (1) E. (2) E, (3) C.
5. d 6. a 7. a 8. e 9. a 10. a 11. b
12. o) — 1207: rad/s
13. V = 0.94 m/s
14. a 15. d
0)2
17. c 18. c 19. b (em móculo) 20. o
21. A trajetória circular tem raio igual a V5m .
o), = 25 rad/s 
a ‘ = 12.5 rad/s2
<02 = 12.5 rad/s 
a2* = 6.25 rad/s2
22.
roda dianteira 
roda traseira
23. b
ŒUIO
7
Lancamenb Vertical e 
Queda Livre noVücuo
188
Condições iniciais
O lançamento de um corpo é sempre influenciado pela presença 
da Terra e do ar. pois a Terra atrai os corpos para sua superfície, 
enquanto que o ar geralmente dificulta esse movimento.
Faremos o estudo do lançamento vertical e da queda livre nas 
proximidades da superfície da Terra, admit ndo desprezíveis os efeitos 
do ar. ou seja. estudaremos o corpo no vácuo e sempre num mesmo 
local.
Aceleração da gravidade
Um corpo abandonado no vácuo, próximo à superfície da Terra, 
ou arremessado com um certo impulso inicial de modo que não 
atinja grandes altitudes está sujeito a uma aceleração vertical, para 
baixo, de intensidade aproximadamente igual a 9,8 m/s2, devido à ação 
da Terra (às vezes, para facilidades de cálculo, o valor 9,8 m/s2 é 
arredondado para 10 m/s2).
1
Tal aceleração é simbolizada por g e é denominada aceleração
da gravidade local. tê v=o
1
tv
,r
!
#
.Sr i i i . t . - .
C \ Iri J L \
corpo corpo • *
subindo
*
descendo tí
m juíV MÍMa
MOVIMENTO UNIFORMEM ENTE VARIADO
subida. MUR: descida MUA
Nas condições iniciais acima mencionadas, teremos:
Se a trajetória do corpo no vácuo for retilínea, seu movi­
mento correspondente será uniformemente variado, com 
->
>ai = |g .
Referenciais
Dois referenciais podem ser usados no estudo do movimento deum corpo no vácuo:
• referencial orientado para cima:
a = —g — —9,8 m/s2 
• referencial'orientado para baixo:
190 i
Equações
Para o movimento vertical de um corpo no vácuo, as equações 
correspondentes serão as do movimento uniformemente variado.
• Lançamento vertical para cima — Orientando o referencial para 
cima. teremos a = —g.
j V Instante qualquer (t)
v €
f Instante 
''o I inicial
~ A c t = o)
j
Referencial -f tr* v
s
__
iK-M
Assim:
S S.j -f- V<it — — gt* 
2
V - V, - gt 
V2 - V2 - 2gAS
Na solução de p-oblemas. 
geralmente adota-se para g o va­
lor I0m /s*, bem como S» = 0. 
quando o ponto de lançamento 
for admitido como origem.
Portanto, as equações do 
lançamento vertical serão:
S - V „t--- — gt2
2
v — Vo • - gt
V2 ~ Ví - 2gS
• Queda livre — "Queda livre" 
é uma simplificação da expres­
são “queda livre das influências 
de outros fatores que não seja 
a atração da Terra".
Adotado o referencial orien­
tado para baixo, teremos a — — g.
Para S,> = 0, vem:
S — Vmí + — yl"
2
V ~ Vo - gt
V» ■- Vo I 2gS
Quando o corpo é abando­
nado a partir do repouso, tere­
mos:
V — gt 
V- ^ 2gS
Casos particulares (para lançamento a partir do solo)
• Tempo de subida — No lan­
çamento vertical para cima, um 
corpo levará um tempo t» para 
atingir o ponto mais alto da tra­
jetória. Nesse instante, sua ve­
locidade se anula.
Assim, podemos concluir
•v»r
Importante: No ponto mais alto da trajetória o corpo terá velocidade 
nulu mos sua aceleração não se anulará nesse instante. Portanto, 
o corpo não estará em repouso, e sim parado instantaneamente.
Ou seja:
Ponto mais alto V — 0
da trajetória a — —g = —9.8 m/s2
• Altura máxima — Um corpo 
lançado verticalmente para cima 
atingirá sua altura máxima quan­
do a velocidade se anular.
Ou seja:
S - H„,ix <=> V ~ 0
Sendo V2 = V,2, — 2gS, 
então 0 = M- — 2gHta** =>
2g
• Tempo total — Um corpo é 
lançado verticalmente para cima, 
a partir de um ponto adotado 
como origem.
Quando retornar ao ponto de 
partida, temos:
t = tr <=> S - U
Sendo S = V<>t----- — gt1,
2
vem: 0 = V..tT------— gú =>
2
( v o ---- l - 0 t T ) = o = >
1) tr — 0 (instante do lançamento)
1 2V„
' 2 2 9
Vo
Como t* = ----- - podemos calcular 0 tempo de descida do corpo:
9
t, -f- td — tr — ̂ta — tT — t, —>
2Vo V„ V«
= > td = ------------------- ----------=>
g g g
Conclusão: O tempo de subida gasto por um corpo em lança­
mento vertical é igual ao tempo de descida correspondente ao mesmo 
movimento, livre das influências do ar.
• Velocidade de chegada —
Quando o corpo retornar ao pon­
to de partida, teremos a veloci­
dade de chegada do movimento.
Assim: V — Vc. <=> S — 0
Sendo V2 = V* — 2gS. então:
v í = v í — 2g . o => v ; = Vn =>
(movimento desenvolvido contra 
o sentido do referencial)
if j f j i Conclusão: O móvel retorna ao ponto de partida com uma velo- 
cldnde cuja intensidade é igual à da velocidade de lançamento.
Resumindo:
(móvel lançado do solo e retornando ao ponto de lançamento)
Altura máxima
Volocidade de , V = Vc 
chegada h = 0
Tempo do 
aubida
X = U
V = 0
Tempo total 11 = tr 
de movimento 1 S — 0
Tempo de Vo
descida g
Gráficos horários
Os gráficos horários refe­
rentes a um lançamento vertical 
para cima. no vácuo, podem ser 
mais facilmente obtidos através 
de um exemplo.
Suponhamos que um corpo 
é lançado verticalmente para 
cima. no vácuo, com velocidade 
inicial Vo = 20 m/s. num local 
onde g — 10 m/s2, a partir de 
uma origem no solo.
Assim, orientando o referen­
cial para cima, temos:
S = 20 t-----— . 10t" =>
2
S - 20t - 5t-
Também podemos escrever 
V - 20 - 10t ■
Obteremos, então, os gráfi­
cos S X t, V X t e a X t, ao 
lado ilustrados.
Observe que:
Hinix
Vo 20*
2g 2 .
f — Vo 20 —^
g 10
tr —
2V0 2 20
9 10
• Vc = -V o = - 2 0 = >
400
20
H ,õx — 20 m
tu —— 2 s
4 s
V e = 20 m/s
Movimentos combinados
Seja um corpo (1) lançado verticalmente para cima a partir da 
origem do referencial. Nesse mesmo instante, outro corpjo (2) é 
abandonado do repouso, indo chocar-se com (1) após um tempo t*.
------------- * j (2)
_________ 0 1 2 )
* J b d )
s, s,.
Podemos, então, escrever:
1
móvel (1):t S i — V0lt gt::
móvel (2): S* = So..--------gt*
2
No encontro, teremos Si = Ŝ . 
1
Logo: V„,te
Vo, te = S
gt; — s
»2
Um balão que possui a velocidade ascendente de 10 m/s, ao 
passar pela altura de 50 m. larga um corpo de 8,0 kg. De acordo 
com esse enunciado, resolver as três questões a seguir:
1. MEDICINA DE SAN~0 AMARO — O tempo gasto para o corpo 
atingir o solo foi de:
a) 4.3 s.
b) 1.0 s.
c) 3.3 s. 
dj 8.6 s.
c) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Inicialmente, deve­
mos admitir que o movimento 
do corpo estará livre das in­
fluências do ar.
Observe que a massa do corpo 
não terá nenhuma participação 
na solução do problema, pois, 
no vácuo, todos os corpos sub­
metidos apenas à atração da 
Terra se movimentam com a 
mesma aceleração.
Enquanto o corpo estiver preso 
ao balão, terá movimento reti­
líneo uniforme.
No instante em que cie se des­
prender do balão, passará a 
descrever um lançamento ver­
tical para cima, com as seguin­
tes características:
• S„ = 50 m
• V„ = 10 m/s (velocidade 
que tinha por estar preso ao 
balão)
• g = 10 m/s2 (admitido)
& 197
Assim, orientado o referencial para cima com origem no solo, podemos 
escrever:
S = So -f V0t ------— gt2 = 50 + 10t------— . 10t- =>
2 2
= > S = 50-h 101 — 5t2'
Ouundo o corpo retornar ao solo, S — 0.
Logo: 5t8 — 10t — 50 = 0 = > t* — 2t — 10 = 0 =>
2 ±6,6 í 1)11^4,3 51
2 II) t a —2,3 s (nâo convem fisicamente)
t
Conclusão: O corpo retorna ao solo aproximadamente 4,3 s após aban­
donar o balão.
Resposta: alternativa a.
2. MEDICINA DE SANTO AMARO — A distância percorrida pelo 
corpo foi de:
a) 60,0 m.
b) 92,5 m.
c) 54.5 m.
d) 36.9 m.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
_ áÊk. v = o .
Resolução: Lembrando que
H„ V?, temos:
2g
Hui«* —
I02
2 . 10
= 5
Hnl«* = 5 m
De acordo com a figura, podemos 
escrever d — |Hmi*| -f- ASa', onde 
lASdl = So + Hmixl = 50 + 5 = 
55 m.
Então: d = 5 -f- 55 = > 
Resposta: alternativa a.
cl = 60 m
AS
3. MEDICINA DE SANTO AMARO — A velocidade do corpo ao cheqar 
ao solo é de:
a) 43 m/s.
b) 10 m/s.
c) 33 m/s.
d) 86 m/s.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
198
Resolução: Ao chegar ao solo, o corpo terá S = 0.
Assim: V2 = Vo — 2g(S - S 0) = > V‘ = 102 - 2 . 10 . (0 - 50) = > 
= > Vc2= 1 00 4- 1 000 = > v;’ rrr 1 100 =>
O sinal menos (—) indica que o movimento c desenvolvido contra a 
orientação do referencial adotado.
Admitindo que o enunciado se refira à intensidade da velocidade de 
chegada, teremos Vc s* 33 m/s.
Resposta: alternativa c.
V, - - 3 3 m/s
4. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Sabendo que um projétil foi im­
pelido verticalmente de baixo para cima com velocidade de 
250 m /s. qual a altura atingida pelo projétil?
a) 25 m 
bO 250 m 
cj 3 125 m
d) 8 375 m
e) 9 375 m
5.
Resolução: Lembrando que para o 
sistema de referência indicado na
figura H„ Võ
2g
-, então:
H (250)* _ 62 500 _ Hnit
2 . 10 20
=> Hmá* — 3 125 m v
Resposta: alternativa c ____ ( r~
So
V = 0
Referencial
PUC (SÃO PAULO) — Um projétil é atirado verticalmente de baixo 
para cima com velocidade Vo — 25 m /s. Uma pessoa situada a 
30 m de altura vê o projétil passar na subida e. após um intervalo 
do tempo At, o vê voltar. Desprezando a resistência do ar c su­
pondo a aceleração local da gravidade 10 m/s'2, o tempo At decor­
rido entre as duas observações foi de:
a) 0.5 s.
b) 1.0 s.
c) 2.0 s.
d) 2,5 s.
e) 3,0 s.
- * ír \ r 199
Resolução: Orientando o referencial verticalmente para cima a partir 
do ponto de lançamento, teremos:
S,j r 0 m 
V<, — 25 m/s 
a = —g — —10 m/s2 
S = 30 m
Assim: S — Sn V 0t - f — 
2
at2 1 10t2
5t2 - 25t -j- 30 = 0 t2 — 5í
I
1
30 = 0 + 25t - —
m— K"I ts = 3 s
Portanto, o móvel passará pelo 
observador durante a subida 
(instante 2 s) c durante a des­
cida (instante 3s). gastando 
para isso um intervalo de tem­
po At = 3 — 2 = I s.
Logo: ! At — 1 s
Resposta: alternativa b.
6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um nadador pula verticalmente 
de um trampolim de 10 rn de altura. Ao atingir a água, sua velo­
cidade é dc. aproximadamente:
a) 20 km/h.
b) 50 km/h.
c) 58 km/h.
d) 60 km/h.
e) 72 km/h.
Resolução: Orientando o refe­
rencial para baixo, a partir do 
trampolim, poderemos escrever:
• = 0 So = 0 m
S = 10 m
a = -f-g = + 1 0 m/s2 
V|, r 0 m /s 
Portanto:
V2 = V,; + 2a(S - So) = * 
V2 = 0 + 2 . 10 . ( 1 0 - 0 ) 
= > V2 = 200 = >
__ = > V = 10 \ Í2 m/s = >
= > V sí 14 m/s
\
200
Como 1
m km
3,6--------- , decorre:
V 5- 50 km /h
m
V = 14-----= 14 . 3,6 =
s
Resposta: alternativa b.
7. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Um corpo em queda livre, par­
tindo co repouso, percorre certa distância d vertical após 2 se­
gundos de queda. Logo, a distância percorrida em 6 segundos, 
contados desde o início da queda, será igual a:
a) 9d.
b) Gd.
c) 12d.
d) 2d.
e) 3d.
Resolução: Orientando o referencial verlicalmentc para baixo, pode­
mos escrever:
S = So -f V0t -r — gt2 ==>
2
= > S —So= V0t-f- — gt2==> 
2
= > AS = V,,t + ~ gt2
Como o corpo é abandonado, 
Vo = 0.
1
— gl*-
I AS
Portanto: AS —
Para t = 2 s, AS = d.
Logo, d = — g . 22 
2
Referencial
AS
g = ---- (D
2
I
Para t = 6 s, AS’ ^ ---- g . 6a = > AS’ = ---- g . 36 =
=>A S’ = 18g (2)
Substituindo (1) em (2), vem:
AS’ = 18 [ AS’ = 9d
Resposta: alternativa a.
'i& n d â m 201
8. PUC (SÃO PAULO) — De um helicóptero que desce verticalmente 
é abandonada uma pedra quando o mesmo se encontra a 100m 
do solo. Sabendo que a pedra leva 4 s para atingir o solo e su­
pondo g = 10m/s2, a velocidade de descida do helicóptero, no 
momento em que a pedra é abandonada, tem valor igual a:
a) 25 m/s.
b) 20 m/s.
c) 15 m/s.
d) 10 m/s.
e) 5 m/s.
Resolução: Desprezando as influências do ar e adotando um referencial 
vertical orientado para baixo com origem no ponto em que a pedra 
foi abandonada, podemos escrever:
S = 100 m 
S0 — 0 m 
Vo = VM
a = 4-g = 4-IO m/s* 
t = 4 s
Logo, sendo S = S0 -j- V0t • 
1 
2
9
' I
+ at2= > 100 = 0 4-
Vm . 4 + ---- . 10.4*
1
20
1 liei
Vw — 5 m/s
Resposta: alternativa c.
9. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — Um corpo cai em 
queda livre percorrendo a primeira metade de sua trajetória em 
1 s. A trajetória inteira será percorrida em:
a) 2 s.
b) (1 + 0.5) s.
c) V 2 s .
d) 1
V"2
s.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
202
Resolução: Adotando o referencial vcrticalrncnte orientado para baixo, 
ccm origem no ponto onde o corpo foi abandonado, teremos:
V0 = 0 m/s, S„ = 0 m e a = -f g = -4-10 m/s2
Logo, S = — gl2.
Para a primeira metade da trajetória, teremos:
S '= — . 10 . 12= 5 
2
S’ = 5 m
Como S = 2S\ teremos S = 10 m. 
Para a trajetória toda, vem:
1 2
S = — gtT 
2
10 = — . 10tr 
2
Origem
tv — V 2 s
Referencial
?
$
Resposta: alternativa c.
10. CESCEA — Do alto de um edifício abandona-se uma pedra no 
instante exato em que, do solo, lança-se outra pcd'a. vert cal­
mente. com velocidade inicial apenas suficiente para atingir o 
topo do edifício. As duas pedras devem se cruzar a uma altura, 
medida a partir do solo, equivalente a:
a) 75% da altura do edifício.
b) 25% da altura do edifício.
c) 60% da altura do edifício.
d) 50% da altura do edifício.
e) Nenhuma das anteriores.
203
Resolução:
• Cálculo da altura do edifício:
A pedra lançada do solo (pedra 2) terá altura máxima h equivalente 
à altura do edifício.
Assim, orientando o referencial verticalmente para cima a partir
VÍdo solo, teremos h
2g
(D-
• Função horária da pedra 1:
Podemos escrever ht = h(l -f- V0 t — - i— gt2,i i 2
onde h0l = h e V0l = 0.
Logo, hi — h — — gt2.
2
Substituindo (1), vem hi Võ
2g
• Função horária da pedra 2:
---- gt* (2).
2
1
Podemos escrever h2 h0 -f- V„ t — ---- gt2.
2 2 2
Observando que V0 _ V0 e h(. = 0, temos:
h2 — V0t ------— gt2 (3)
2
• Kncontro das pedras:
No encontro, hi = h2.
De (2) c (3), vem v í
2g
1
gt* = V0t 
V*
2
= V0t
g f
2g
V,
2g
Substituindo em (2), temos:
• Vo 1hi = -----------------g
2g 2
v í
4g2 2g
V.. Võ . 3=> h, = ----
H
_V^
2g
204
Lembrando que Vo
2g
h, vem ht = h, = 75%h
Resposta: alternativa a.
\
1. MEDICINA DE POUSO ALEGRE O vulcão Sangay, no Equador, é o 
mais turbulento da Terra. Ele é capaz de projetar lava a uma altura de 
12,5 km. A velocidade com que a lava sai do vulcão deve ser da ordem de 
(despreze as variações da aceleração da gravidade com a altitude):
a) 1.8 . 108 km/h. d) 140 km/h.
b) 25 . 104 m/s. . c) 16 km/h.
c) 500 km/h.
2. MEDICINA DE POUSO ALEGRE" Uma bola é lançada para cima com 
uma velocidade do 20 m/s (g = 10 m/s2). Indique a afirmativa errada 
(despreze a resistência do ar):
a) A bola atinge uma altura de 20 m.
b) No ponto mais alto a velocidade da bolac nula.
c) No ponto mais alto a aceleração da bola é nula.
d) A bola retorna ao ponto de partida com uma velocidade de 20 m/s.
c) A bola volta ao ponto de partida depois de 4 s.
3. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma bola é lançada ver- 
ticalmente para cima com velocidade V„ e retorna ao ponto de partida após 
T segundos.
Desprezando a resistência do ar. indique o gráfico que, mais propriamente, 
representa a velocidade (V) da bola cm função do tempo (t):
205
4. ENGENHARIA DE SANTOS — Lança-sc um corpo verticalmente para 
cima. No instante cm que ele pára:
a) é nula a velocidade do móvel.
b) é nula a aceleração do móvel.
c) é nula a força que age no móvel.
d) é nulo o impulso no móvel.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.
5. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um projétil é lançado verticalmente 
para cima com a velocidade de 200 m/s. A velocidade vetorial média de­
pois que o projétil atinge novamente o solo é de:
a) 4.00 m/s.
b) 200 m/s.
c) 100 m/s.
d) 0 m/s.
e) Nenhuma das anteriores.
6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Em relação ao teste anterior, a dis­
tância total percorrida pelo projétil foi de:
a) 0 m.
b) 2 000 m.
c) 4 000 m.
d) 8 000 m.
c) Nenhuma das anteriores.
7. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO Um morteiro lança uma gra­
nada, verticalmente, com uma velocidade inicial de 400 m/s. Desprezando- 
-sc a resistência do ar e sendo a aceleração local da gravidade igual a 
10 m/s-, podemos concluir que a altura máxima alcançada pela granada, 
cm metros, é de:
a) 12 000. d) 4 000.
b) 10 000. e) 6 000.
c) 8 000.
8. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Em relação ao problema ante­
rior, o tempo que a granada leva para atingir a altura máxima, cm segundos, 
é de:
a) 20. d) 40.
b) 10. e) 50.
c) 30.
206
9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Em uma experiência de laboratório veri- 
ficou-sc que a velocidade de lançamento de um corpo, para que este atin­
gisse uma cena altura, era V, quando lançado verticalmente. Um aluno 
repete a experiência, porém imprime ao corpo uma velocidade 2V c conclui 
que, ão atingir a mesma altura do primeiro ensaio, o corpo tem velocidade:
a)
b) V.
c)
C) V3V.
10, CESCEA — Um foguete com combustível próprio sobe vcrticalmcntc com 
velocidade constante até uma altura h. quando termina o combustível; daí, 
cai livremente. Qual dos gráficos representa melhor o espaço percorrido 
(S) pelo foguete cm função do tempo (t>?
e) Nenhuma das respostas anteriores.
11. MAPOFEI — Um tijolo cai, de um prédio em construção, de uma altura 
de 20 m. Qual a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo 
gasta na queda? Desprezam-se as resistências opostas pelo ar ao movimento. 
(Adotar g = 10,0 m/s2.)
12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — De uma ponte deixa-se cair 
uma pedra que demora 4 s para chegar à superfície da água. Sendo a acele­
ração local da gravidade igual a 10 m/s-, pode-se concluir que a altura da 
ponte, em metros, c de:
a) 40. d) 90.
b) 80. , c) 60.
c) 110.
r-
207
13. MAPOFEI — Ã altitude de 20 m abandona-se uma bola de chumbo cm 
repouso. Adotar g = 10 m/s2. Com que velocidade a bola atinge o solo?
14. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um corpo em quedalivre caiu de uma 
altura h. Se ele partiu do repouso, qual será sua velocidade após ter per-
corrido ——h? 
3
a)
fib
2 d) V
n -gh
b)
3 íh e ) vr \
-gh
c) 4 - 8h
15. CKSGKANRIO — Você deixa cair, a partir do repouso, urna bilha de aço 
do uma altura h,. c mede um tempo t, ate que ela atinge o solo. De que 
altura ha você deve deixar cair esta bilha, também a partir do repouso, para 
que o tempo de queda seja 2tt?
u) ha = 2hj 
b) ha = 4hx e) h... = \ f l hj
16. UNIVERSIDADE DO PARA Um balão desce, verticalmente, com 
velocidade constante; à altura de 100 m, um objeto desprende-se do balão 
e atinge o solo após 4 s. A velocidade de descida do balão, considerando 
g = 10 m/s2, é de:
a) 5 m/s. d) 10 m/s.
b) 25 m/s. c) 9 m/s.
c) 15 m/s.
17. MEDICINA DE TAUBATÉ — Um pára-quedista, quando a 120m do 
tolo. deixa cair uma bomba. Esta leva 4 s para atingir o solo. Qual a velo­
cidade dc descida do pára-quedista? (g = 10 m/s2) 
k) 1 m/s d) 8 m/s
b) 2 m/s c) 10 m/s
c) 5 m/s *
*M. UNIVERSIDADE DO PARÁ — largamos um corpo de uma altura dc 
l-M m. Queremos dividir a altura de queda cm duas partes tais que sejam 
pcicorridas em tempos iguais. Supondo g 10 m/s2, podemos di/cr que 
»»» partes serão iguais a:
«) 25 m e 119 m. d) 44 m c 100 m.
b) 2Hm c 116 m. ç) 72 m c 72 m.
u) .16 m c 108 m.
208
19. CESGRANRIO — A laje do teto 
de uma sala deixa gotejar água 
da chuva, caindo as gotas com 
freqüência constante.
Uma fotografia instantânea mos­
tra que as distâncias entre três 
gotas consecutivas são. respectiva­
mente. 30 cm e 50 cm (ver figura).
Concluímos que. desde que a 
resistência do ar seja desprezível, 
a gota que caiu antes da gota (1) 
se encontra, abaixo desta, a urna 
distância de:
a) 50 cm.
b) 70 cm.
c) 20 cm.
20. CESCEA — Um menino solta uma bola de gude de um apartamento a 
uma altura h do solo. A bola, logo após chocar-se contra o solo, retorna 
com uma velocidade 20% inferior à que tinha imediatamente antes do cho­
que. A máxima altura atingida pela bola será de (desprezar a viscosidade
do ar):
1 20a) ----- h. d) ----- h.
10 25
b) — h.0 e) h.
c) — h. 
25
CESGRANRIO — Uma pequena bola de borracha (elástica) cai vertical-
mente a partir do repouso, bate numa superfície dc aço horizontal, onde
repica, etc. Desprezando a resistência do ar. qual dos seguintes gráficos 
melhor representa a velocidade da bola em função do tempo?
(3)
( 2)
30 cm
(1)'
50 cm
d) X0 cm.
e) 40 cm.
209
22. UNIVERSIDADE DO PARÁ Duas bolas são lançadas, simultanea­
mente, de uma mesma altura 11, com velocidades verticais Vx e Vs: uma 
para cima e outra para baixo. Desprezando a resistência do ar e sendo 
V, = V2 V, o atraso na chegada de uma das bolas ao solo, relativamcntc à
outra, é:
a)
b)
c)
2V
Í5
V2
8
H
V
d)
e)
2V2
g
2H
Vg
2.%, AM AN — Considerando-se que a velocidade do som no ar é de 320 m/s, 
deixa-se cair uma pedra em um poço. ouvindo-se o som do choque contra 
O fundo 4,25 s após a pedra ter sido solta. A profundidade do poço é de: 
u) 35 m. d) 75 m.
b) 52 m. c) 80 m.
c) 60 m.
24. I I A — Cinco bolinhas de aço estão presas por eletroímãs ao longo de uma 
reta r de equação y = kx. As bolas estão em posições cqüidistantcs. tais que 
d 0.5 m. Uma bolinha () pane da origem ao longo de x (mesa horizontal 
icm atrito) com V = 2 m/s, constante, no mesmo instante cm que todas as 
outras são desligadas dos eletroímãs. Assinale abaixo o valor de k para que 
O se choque com a bola n.° 4. (Usar g = 10 m/s-.)
•») 0.62 
1») 1,25 
o) 1,87
210
25. PUC (SAO PAULO) De cois ponto? A e B situados sobre a mesma ver­
tical, respectivamente a 45 m e 20 m do solo. deixa-se cair, no mesmo 
instante, duas esferas. Uma prancha se desloca no solo horizontalmcntc, 
com movimento uniforme. Observa-se que as esferas atingem a prancha 
em pontos que estão a 2 m de distância um do outro. Nessas condições, 
supondo g = 10 m/s- e desprezando a resistência do ar. podemos afirmar 
que a velocidade da prancha, em m/s, é de:
a) 2. d) 1.
b) 3. e) 2,5.
c) 4.
26. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Uma partícula é lançada vertical­
mente, no vácuo, com velocidade inicial V0. Como se sabe, sua velocidade 
decresce continuamente di.rante a subida e cresce continuamente durante 
a descida. Julgar as afirmativas, indicando se estão certas ou erradas:
a) O vetor-aceleração da partícula é o mesmo na subida e na descida.
b) Em cada ponto da trajetória o vetor-velocidade da partícula tem a mesma 
intensidade na subida e na descida.
c) Na descida, ao passar no ponto onde foi lançada, a intensidade do vetor- 
-velocidade da partícula é V0 e seu vetor-aceleração é igual àquele no 
topo da trajetória, onde sua velocidade é nula.
d) O tempo gasto na subida é maior que o gasto na descida.
27. IN ATEI. — Atira-se verricalmente uma bola de forma que, ao fim de 4s, 
retorna ao ponto de partida. Calcular a velocidade iniciai com que foi lan­
çada. Admitir g — 10 m/s2.
28. IME — Um projétil é lançado verticalmente do solo com velocidade inicial 
de 200 m/s. A uma altura II a carga do projétil explode; o ruído da ex­
plosão é recebido no solo 15 s após o lançamento. Despreze a resistência 
do ar e use os valores de 10 m/s2 para a aceleração da gravidade c de 
300 m/s para a velocidade do som. Calcule:
a) o intervalo de tempo entre o lançamento e a explosão.
b) a altura em que se deu a explosão.
29. FUVEST — Duas bolinhas são lançadas verticalmente para cima, a partir 
dc uma mesma altura, com mesma velocidade inicial de 15 m/s mas com 
intervalo dc tempo dc 0.5 s entre os lançamentos.
a) Dcsprc/ando a resistência do ar, faça, num mesmo sistema de eixos, os 
gráficos da velocidade em função do tempo para as duas bolinhas. Indi­
que nos eixos as unidades dc medida.
b) Qual o instante etn que as alturas das duas bolinhas coincidem? Justi­
fique.
30. EA AP — Do topo de um edifício deixa-se cair, a partir do repouso, uma 
pedra que leva 2 s para atingir o solo. Supondo que a aceleração da gravi­
dade do lugar seja 10 m/s2, pedem-se:
a) a velocidade com que a pedra atinge o solo.
b) a altura do edifício.
31. MAP0FE1 — De uma ponte de altura h = 20 m, um menino deixa cair 
uma pedra com a intenção de atingir uma lata flutuante. A correnteza tem 
velocidade V = 3,0 m/s. A que distância da vertical pela pedra deve si­
tuar-se a lata no instante da iargada? Admitir g — 10 m/s2.
32. MAPOFE1 — Um elevador desce com velocidade V0 = 2,0 m/s, quando 
o cabo sc rompe. Qual a velocidade após queda livre h = 0,25 m? Admitir 
g = 10 m/s2.
33. ITA — Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que, durante o 
último segundo de queda, ele percorre 1/4 da altura total. Calcular o tempo 
dc queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.
a)
1----------s
2 — y 7
b)
c)
t _ 2
2 + v'7 
2t =
2 - y T
s
s
d) t = 3
2 — \ÍJ
4
3 — yT
1 ii 2. c 3. a 4. a 5. d 6. c 7. c 8. d 9. e 10. c
11. V 20 m/s: t = 2.0 s.
\J li 13. V 20 m/s 14. e 15. b 16. a 17. e 18. c 19. b 20. c 21. a 22. a
21 n 24. d 25. o
J n •) C b) C; c) C; d) E.
27. V0 - 20 m/s
28. •) At 10 s;
bj II 1 500 m.
212
b) As alturas das duas bolinhas coincidem 1.75 s após o ançamento 
da 1.* bolinha.
30. a) 20 m/s: 
b) 20 m.
31. d - 6 m
32. V = 3 m/s
33. C
I
Introdução
Uma mosca voa do chão de um carro até seu teto enquanto o 
veículo se desloca sobre uma estrada.
Conhecendo as características do movimento da mosca em re­
ação ao carro (MOVlll/c) e as características do movimento do carro 
em relação ao solo (MOVc/J , desejamos determinar as características 
do movimento da mosca em relação ao solo (MOVm/J .
Análise do vetor-deslocamento
Observando o esquema abaixo, podemos escrever:
' ï ; l= -
215
Ar d/* — Ar:;i/c ■" à r t.h onde<
r Ar„,/i é o vetor-deslocamento da mos­
ca em relação ao solo.
—>
Arinícé o vetor-deslocamento da mos­
ca em relação ao carro.
v
—7
Arc/J é o vetor-deslocamento do car­
ro em relação ao solo.
Análise do vetor-velocidade
Para os vetores-velocidade podemos escrever:
I
Vm/t é o vetor-velocidade da mosca 
em relação ao solo.= V»/i -r V ,/w onde <
Vm/C é o vetor-velocidade da mosca 
em relação ao carro.
Ví/S é o vetor-velocidade do carro em 
relação ao solo.
Análise do vetor-aceleração
Jll/ • : V-n/c — Yc/s
"4
 ̂Tm/s é o vetor-aceleração da mosca em 
relação ao solo.
—>
r m-c é o vetor-aceleração da mosca em onde < ,• .relaçao ao carro.
Tf/* é o vetor-aceleração do carro em 
v relação ao solo.
_____________________ _________________________________________________________
Esta relação somente é válida se os corpos envolvidos descreverem 
movimento de translação
Em caso de rotação, uma terceira parcela será acrescentada no segundo 
membro da igualdade (aceleração de Coriolis).
T^adicionalmente, dá-se o nome de movimento relativo ao movi­
mento da mosca em re ação ao carro; de movimento de arrastamento 
ao movimento do carro em relação ao solo; e de movimento absoluto 
ao movimento da mosca em relação ao solo.
Ou seja:
M O V m /c — movimento relativo 
M OV./»m ovim ento de arrastamento 
MOVni/h movimento absoluto
Aplicações
A teoria discutida pode ser aplicada nos seguintes casos:
• Determinação dos elementos vetoriais associados ao movimento 
de um passageiro que se desloca no interior de um trem.
/> ^ v 217
• Determinação da velocidade de um barco em relação às margens, 
conhecendo a velocidade do barco em relação às águas e a das águas 
em relação às margens.
/ - ■ ff?
*• u ; r i ® % % . Jk
— 5c
Mm
VelocMade^ rftr bSfSíPéro relação ̂
$ ò água;
Velocidade :ia
C - w r : '
Velocidade 
do barco em 
relação à margem.
\*e-
.x-VelocdScfe <io barco 
k1 em relação à água. 
Velocidade 
-----------uJaJjgua.
Velocidade do ba ç̂o 
em relação à margem.
• Determinação da velocidade das gotas de chuva que caem verti­
calmente em relação a um observador que caminha horizontalmente.
Lr
218
• Determinação da velocidade de um avião em relação ao solo, 
conhecendo a velocidade do avião em relação ao ar e a do ar (vento) 
em relação ao solo.
• Determinação da velocidade dos aviões que decolam de um porta- 
•aviões que se move em relação ao mar.
• Determinação da velocidade da Lua em relação ao Sol. conhe­
cendo a velocidade da Lua em relação à Terra e a da Terra em relação 
ao So I.
Lua
Terra V
----------
• Aná ise do movimento de uma carga transferida de um local para 
outro, quando ela é elevada verticalmente ao mesmo tempo em que 
ó transportada lateralmente.
Generalização
A ilustração abaixo esquematiza o raciocínio necessário para 
estudar o movimento de um corpo A em relação a vários referenciais 
(B. C. D e E): ^ ^
* © ^ ©
O %©
©
Para a velocidade, por exemplo, teríamos: 
—> —> —> —> —>
VA/D -f- Vb/c ■+■ Vc/d -f- Vd/e = Va/e
Princípio da Simultaneidade (Galileo)
Para a solução de exercícios que envolvam a variável tempo, 
devemos nos lembrar do Principio da Simultaneidade, enunciado por 
Galileo Galilei:
"O movimento de um corpo pode ser imaginado como a com­
posição de outros movimentos realizados separadamente c ao mesmo 
tempo".
220
1. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS — Um barco a motor, desenvol­
vendo toda a potência, sobe um rio a 20 km/h e desce a 48 krn/h. 
Qual a velocidade das águas do rio?
a) 18 km/h d) 14 km/h
b) 28 km/h e) Nenhuma das anteriores.
c) 10 km/h
Resolução: Sendo \ \ / u = velocidade do barco em relação às águas,
—> —>
V./t = velocidade das águas cm relação à terra e Vb/t = velocidade do
barco em relação à terra, vem:
—>
Vb/i — Vi,/# -j- Va/t.
Barco descendo o rio 
y b/e Ve
"T1
b,t
Barco subindo o rio
Observando os esquemas acima, concluímos:
barco descendo o rio: Vb/rt = Vb/a + V*/t = > 48 = Vh/a - f Va/t (i) 
barco subindo o rio: Vb/t = Vb/a — Va/t = > 20 := V*,/« — \ \ / t (2)
Somando (1) e (2), vem 68 = 2Vb/„ = Vb/4 — 34 km/h
Substituindo em (1), temos: Vâ t — 48 — Vb/a = > Vu/L 48 — 34
VH/, — 14 km/h
Resposta: alternativa d.
/ V ^ 221
2. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um barco atravessa um rio. seguindo 
a menor distância entre as margens, que são paralelas. Sabendo 
que a largura do rio é de 2,0 km. que a travessia é feita em 15.0 
min e que a velocidade da correnteza é de 6.0 km/h, pergunta-se: 
Oual a intensidade da velocidade do barco em relação às águas?
a) 2,0 km/h d) 10 km/h
b) 6,0 km/h e) 14 km/h
c) 8,0 km/h
Resolução: Sendo. Vb/, s= velocidade do barco em relação às águas, 
—* —►
V,/t = velocidade das águas cm relação à terra c Vb/t = velocidade do
barco em relação à terra, vem: t̂*/1 — ^ h/t "f" ^ */l-
O barco vai atravessar o rio, perpendicularmente às margens, com 
movimento retilíneo uniforme.
1
Sendo L = 2,0 km e t = 15,0 min —------h, vem:
4
Observando a figura, podemos escrever:
vf/H - v ;/t + Vb/t => vb2/t = 62 + 82 = 36 + Ó4
Vb/4 = 100 Vt/a — 10 km/h
Note que, para atravessar o rio perpendieularmente às margens, o barco 
deverá inclinar-se de modo a formar um ângulo a cm relação à sua pre­
tendida trajetória.
Podemos, então, escrever:
V./, 6 . . 3 0,75 = > a - 37a|
V '
tga =
8
tg a —
4
222
Complementação:
Suponhamos que o barco lente atravessar o rio orientando-se perpen­
dicularmente às margens. Em vez de atingir a margem oposta no 
ponto A, irá atingi-la no ponto B, sofrendo um desvio representado 
pelo ângulo $.
Teremos, então:
V'u/i 6
tg (3 —----- -— = ------= > tg 0,6 =>
Vj,/,, 10
ií s 31°
Considerando o barco como ponto material, também podemos escrever:
AB -------------------
------— tg (í = > AB = L . tg 3 = 2 . 0,6 = > AB — 1,2 km
Determinemos o tempo de travessia do barco:
L = Vb/. . t
2
10 0,2 h => t = 12 min
Conclusão: Neste segundo caso o tempo de travessia é o menor possível, 
embora no primeiro caso a distância percorrida seja mínima.
Resposta: alternativa d.
3. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um avião que viaja de uma 
cidade A a uma cidade B, com a velocidade de 300 km/h em re­
lação ao ar. é atingido por um tufão de 60 km/h, que sopra a um 
ângulo de 60! relativamente ao seu curso. A velocidade do avião 
em relação â Terra, em km/h, 6 de:
a) 334.
b) 360.
c) 240.
d) 180.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
'I
I
223
lloioluçfio: Sendo VA/, = velocidade do avião em relação ao ar, V„/f =
—*
velocidade do ar cm relação à terra c VA/t = velocidade do avião 
em relação à terra, temos:
VA/t — VA/â -f- Va/t
V v i = VAA + V~/, - 2 . VA/â . Vn/t . cos 120° =>
-> = 3002 -J- 60*’ — 2 . 300 . 60 . ^-----l— ) =>
> V Í/t = 90 000 4- 3 600 -f 18 000 = 111 600 =>
> V j/t = 111 600 = > ! VA/t - 334 km/h 
Kcspn.sta: alternativa a.
O enunciado abaixo refere-sc às questões 4 e 5.
Um carro move-se a 80 km/h sob uma tempestade. Seu moto- 
rlnta observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas incli- 
nndns que formam um ângulo de 80* com a vertical. Ao parar o 
curro ele nota que a chuva cai verticalmente. São dados ainda: 
Non 80° = 0.98 e cos 80° — 0.17.
4 Ml DICINA DA SANTA CASA — Supondo constante o valor da 
volocldade de queda da chuva, pode-se afirmar que esse valor 
d. em relação ao carro parado, mais aproximadamente igual a: 
ii) 82 km/h. d) 14 km/h.
b) 80 km/h. e) 10 km/h.
C) 78 km/h.
224
— >
Resolução: Sendo V a/t = velocidade do automóvel em relação à torra,
—» _ —*
Vc/a = velocidade da chuva cm relação ao automóvel e Vo/t = velo­
cidade da chuva cm relação à terra, temos:
VcA = Vc/. + V./,
Da figura, vem:
V
Vc / t
= tg 80° => vc/«
V,yi ~ 14 km/h
V>/t ___«o_
tg 80° 0,98
0,17
80
5,7
a 14 = >
Ouando o carro parar, a velocidade da chuva cm relação ao carro 
coincidirá com a velocidade da chuva cm relação à terra, ou seja:
V c / t — ^ c/a —
Resposta: alternativa d.
VV/n saí 14 km/h
5. MEDICINA DA SANTA CASA — O valor da velocidade da chuva, 
em relação ao carro, enquanto este está se movendo, é mais 
aproximadamente igual a:
a) 82 km/h. d) 14 km/h.
b) 80 km/h, e) 10 km/h.
c) 78 km/h.
Resolução: Da figura da questão 4, vem: 
V.A _____ _ Va/l
c/a
sen 80°
Vc/â es 82 km/h
c/a
sen 80°
Vc/a =
80
0,98
Resposta: alternativa a.
6. MAPOFEI — Uma roda de raio R — 0,25 m rola sem escorregar 
sobre um plano horizontal.Um ponto P do seu eixo geométrico
tem velocidade constante V, com intensidade igual a 4,5 m/s. O 
ponto A da periferia é fixo em relaçáo à roda e, no instante t = 0 s , 
coincide com o ponto O, origem do sistema de eixos cartesianos
—>
ortogonais xOy, com Ox horizontal e paralelo a V e Oy vertical.
aj Calcule a velocidade angular do ponto A em relação ao ponto P.
b) Calcule a intensidade da velocidade de A cm relaçáo ao sistema 
~ 3TxOy, no instante t = ----- . sendo T o tempo necessário oara
4
que a roda efetue uma volta completa.
Resolução: Os pontos da roda 
simultâneos:
• Rotação: os pontos da roda 
terão movimento circular 
uniforme em relação ao seu 
eixo central.
Assim, os pontas da perife­
ria terão velocidade Vr cm 
relação ao centro P (veloci­
dade relativa). •
• Translação: o eixo central 
tem velocidade Vt em rela­
ção ao solo (veloeidade de 
arrastamento). Assim, todos 
os pontos da roda estarão 
dotados dc velocidade de 
translação V,.
estarão dotados de dois movimentos
226
Conclusão: Os pontos da periferia da roda terão velocidade absoluta 
(cm relação ao solo) igual à soma vetorial das velocidades dc trans­
lação e rotação, ou seja:
V,b» = Vt + VP
Como a roda não escorrega, seu ponto de contato com o solo possui 
Vab% nula.
Assim, necessariamente, Vt = Vr.
Designaremos V, e Vr por V, simplificadamcnte.
O ponto de contato com o solo é denominado centro instantâneo dc 
rotação.
a) Sendo V = 4,5 m/s, cm relação ao centro geométrico P, teremos:
V 4,5
to = ------==> to = ---------- = >
R 0,25
o> — 18 rad/s
b) Quando t = -----, a roda
4
3
efetua------de volta.
4
Assim, o ponto A sc loca­
lizará na extremidade di­
reita do diâmetro horizontal.
Em relação ao solo, teremos:
Va = V2 -1- V2 = 2V2 = > VA = V \ /T = 4,5
VA = 4,5 m/s
Resposta: to = 18 rad/s e V A = 4,5 y T m / s .
*
\
I
I. MEDICINA DE VASSOURAS — Um barco tem uma velocidade de 
22,32 km/h rio abaixo e de 13,68 km/h rio acima. Podemos dizer que a 
velocidade do rio é de:
«) 5,00 m/s. d) 1,20 m/s.
b) 7,20 m/s. e) 4,00 m/s.
c) 4,32 m/s.
i. PUC (CAMPINAS)— Um piloto deseja voar para Leste, de A até B. c. 
cm seguida, voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do avião, no 
#(, é V' c a velocidade do ar em relação ao solo c U. A distância entre 
A c B é L c a velocidade do avião no ar, V', é constante. Suponha que 
ii velocidade do vento esteja dirigida para l.este (ou para Oeste); nestas 
condições, o tempo de viagem de ida e volta será:
u) t = 2LV' 
V' - U
b) t = LU
V' - u
c) t =
2LV' 
V'2 - U2
d) t = 2L
V'
c) Nenhum dos valores acima.
3. FATEC — Uma ferrovia estende-se paralclamente a uma rodovia. Um 
automóvel, a 108 km/h, ultrapassa um trem de 180 m que corre a 72 km/h.
(1) Sc os sentidos forem concordantes, a ultrapassagem demora I8s.
(2) Sc os sentidos forem opostos, a ultrapassagem demora 3,6 s.
(3) Sc o trem estivesse parado c o automóvel passasse a 36 km/h, a ultra­
passagem demoraria J 8 s.
u) Somente (1) é correta, 
b) Somente (1) e (2) são corretas, 
e) Todas as afirmativas são corretas.
d) Nenhuma das afirmativas é correta.
e) Alternativa diferente das anteriores.
228
4. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uni canociro, usando um barco que 
desenvolve uma velocidade de 20 m/s (cm relação à margem), atravessa um 
rio de lOOm dc largura, dirigindo-sc perpendicularmente às margens.
O tempo gasto na travessia é de:
a) 2.85 s.
b) 4,0 s.
c) 5,0 s. j
d) 6.67 s.
c) Não é possível calcular sem se conhecer a velocidade da correnteza.
5. FATEC — Em relação ao ar, um avião voa para Leste com velocidade de 
120km/h, e está sujeito ao vento sul com velocidade de 50km/h. Julgar 
as afirmativas:
(1 ) 0 avião voa aproximadamente para ENE (és-nordeste).
(2) A velocidade resultante do avião é de 130 km/h.
(3) Se o avião voasse para o Norte, sua velocidade seria dc 170 km/h.
6. ENGENHARIA DE SÂO JOSÊ DOS CAMPOS Um cidadão caminha 
com velocidade de 1 m/s sob a chuva. Para não sc molhar, ele mantém 
seu guarda-chuva inclinado de modo a formar um ângulo <|> em relação à 
vertical. A tangente de <t> é igual a 0,25. Neste caso, a velocidade da chuva 
que cai vcrticalmente c de:
a) 4 m/s. d) 0,10 m/s.
h) 5 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores,
c) 0.25 m/s.
7. MACKENZIE — Um motorista, dirigindo a 100 ^ k m /h sob uma tem­
pestade, observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas inclinadas 
que formam um ângulo de 60° com a vertical. Ao parar o carro, ele nota 
que a chuva cai vcrticalmente. Podemos afirmar que a velocidade da chuva 
relativa ao carro, quando ele estava em movimento, era de:
a) 200 km/h. d) 180 V^km/h.
b) 100 y'Tkm/h. e) Nenhuma das anteriores.
c) 200yTkm/h.
Dois corpos sc encontram a uma certa distância quando começam a deslo- 
car-sc sobre uma mesma reta, aproximando-se um do outro. Os gráficos 
da velocidade do corpo I c do deslocamento do corpo II em função do 
tempo são mostrados abaixo:
1 2 3 4 5 tfs)
Supondo que o corpo I sc encontre na origem dos espaços no instante 
t 0 s, responda às questões de números 8 e 9.
H. ClíSCEA - Qual a distância inicial entre ambos?
«) 70 m d) 120 m
b) 80 m e) 130 m
c) 100 m
V. CliSCEA — Qua! a velocidade do corpo I em relação ao corpo II no 
primeiro segundo? 
u) —10 m/s
b) —20 m/s
c) 30 m/s
10. A MAN — Dois carros partem 
oo mesmo tempo do ponto A 
mostrado na figura. O primeiro 
vai em direção ao ponto B com 
velocidade constante de 40km/h 
e o segundo vai em direção ao 
ponto C com velocidade constan­
te de 30 km/h. Qual a velocidade 
escalar do primeiro cm relação 
ao segundo?
a) 80 km/h
b) 70 km/h
c) 60 km/h
d) 50 km/h
c) 40 km/h
d) 40 m/s 
c) 70 m/s
II I UVEST — Um cilindro de madeira de 4,0 cm de diâmetro rola sem desli­
zai entre duas tábuas horizontais móveis A e B. como mostra a figura. 
I m determinado instante, a tábua A se movimenta para a direita, com 
velocidade de 40cm/s. e o centro do cilindro se move para a esquerda, com 
veloeidude de lOcm/s. Qual é, nesse instante, a velocidade da tábua B em 
Intensidade e sentido?
230
12. FEI — Uma roda de raio 
R = 20 cm rola sem escorregar, 
paralelamente a um plano verti­
cal fixo. O centro C da roda tem 
velocidade constante Vr = 5 m/s.c —
Qual a intensidade da velocidade 
do ponto B no instante em que 
o diâmetro AB é paralelo ao pla­
no de rolamento?
13. ENGENHARIA MAUÁ — Um automóvel trafega com velocidade cons­
tante V = 72km/h. As suas rodas tèm diâmetro I) = 0,50 m e rodam sem 
escorregar. Determine:
a) a velocidade angular dc rotação da roda em relação ao seu eixo.
b) a velocidade instantânea, em relação ao solo, do ponto da roda que c 
simétrico daquele que faz contato com o solo.
14. FEI — Um automóvel, cujas rodas possuem um diâmetro d = 0.5 m, move- 
-sc com velocidade constante, percorrendo a distância d = 56,5 km no inter­
valo de tempo At = 30 min. Determinar:
a) sua velocidade, em m/s.
b) o número de rotações por minuto de cada roda.
Adotar r . = 3,14.
1. d 2. c 3. c 4. c
5. [1) E (O avião tem a direção sul-lcste.)
(2) C
(3) E (O avião teria velocidade de 70 km/h em relação ao solo.}
6. a 7. a 8. c
9. e (Cuidado com V „ = —40 m/s.)
10. d
11. V — 60cm/s para a esquerda.
12. V„ - 5 V T m /s
13. a) «o = 80 rad/s; 
b) V = 144 km/h.
14. a) V = 31.4 m/s:
b) f = 1,2 . 103 rpm.
CfflTULO
9
Gstudo de um Movimento 
através de suas írojeções
232
Apresentação do problema
Suponha que estejamos interessados em estudar o movimento 
de uma bola chutada por um goleiro ao bater o tiro de meta.
£
A análise desse movimento não é fácil, pois sua trajetória não 
é circular e sua velocidade tem intensidade variável, não apresen­
tando nenhuma das características dos movimentos estudados ante­
riormente (movimento uniforme ou movimento uniformemente va­
riado).
Pcrém, se projetarmos o movimento segundo duas direções con­
venientes e estudarmos o comportamento dessas projeções, podere­
mos obter dados suficientes para reconstituir o movimento da bola.
w e m d & u 233
Projeções do vetor-posição
Geralmcnte, a decomposiçãodo movimento é feita segundo dois 
eixos ortogonais x e y.
Assim, se um ponto mate­
rial P descreve um movimento 
qualquer seguindo a trajetória L 
num dado instante t, vamos es-
tudar seu vetor-posição r.
Projetando o ponto P nos 
eixos x e y, teremos:
r = rx + ry
—» —»
Os vetores rs e rx são deno­
minados componentes vetoriais
de r (grandeza vetorial).
—► —»
Ou seja: rx — componente horizontal de r:
—+ —>
ry — componente vertical de r.
As intensidades desses vetores-componentes, associadas a sinais 
Indicativos de suas orientações em relação aos eixos x e y , são deno­
minadas projeções do vetor r (grandezas escalares).
Assim, para a figura em questão:
r(I) = projeção horizontal de r;
—>
r(r) = -f ry - projeção vertical de r.
r, — componente do vetor-posição r segundo a direção x (grandeza vetorial);
r, — intensidade do vetor-componente r ,.;
r(») — projeção do vetor-posição r no eixo x (grandeza escalar);
r y — componente do vetor-posição r secundo a direção y (grandeza vetorial);
—►
T, — Intensidade do vetor-componente rt ;
t r — projeção do vetor-posição r no eixo y (grandeza escalar).
234
Podemos então escrever:
r~ — r'fx. -4 rf„ 
r xi — rcos a 
ri,) = rscn a
Projeções do vetor-velocidade
No instante t. o ponto material P está sujeito a uma velocidade V.
Os vetores-componentes V, e V* indicam os vetores-velocidade 
referentes ãs projeções do movimento.
Assim:
Para as projeções dos vetores V* e V , , na figura em questão, te­
remos:
V,x) = +V* projeção horizontal de V*:
—>
V ,v )= — Vy - projeção vertical de Vv.
(% frva a % 2 -----------------------------------------------------------------------------
V, — componente do vetor-velocidade V segundo a direção x (grandeza 
vetorial);
Vx — intensidade do vetor-componente V,;
V(x) — projeção do vetor-velocidade V no eixo x (grandeza escalar):
Vy — componente do vetor-velocidade V segundo o direção y (grandeza 
vetorial);
V , — intensidade do vetor-componente Vy ;
V(y> — projeção do vetcr-veiocidade V no eixo y (grandeza escalar).
Podemos então escrever
v — v;xl i v:,>
V(x) — Vcos |5 
V „ , - Vsen 3
Projeções do vetor-aceleração
—>
No instante t. o ponto material P está sujeito a uma aceleração y.
—> —>
Os vetores-componentes yx e Yy indicam os veto-es-ace eração 
referentes às projeções do movimento.
Assim: r ~ r * • r.v onde-
Yx : componente horizontal de y.
—> —>
Y y : componente vertical de y.
A y
Y,
236
Para as projeções dos vetores yx e yy. na figura em questão, te­
remos:
Yu) = -f Y x - projeção horizontal de yx ;
Y(y, = -f Yy - projeção vertical de yy.
Yx — componente do vetor-aceleração y segundo a direção x (grandeza 
vetorial):
y x — intensidade do vetor-componente y x;
Y j0 — projeção do vetor-aceleração no eixo x (grandeza escalar):
ŷ — componente do vetor-aceleração y segundo a direção y (grandoza 
vetorial):
v y — intensidade do vetor-componente y v;
—♦
— j . . . . . ------1. — s_ n0 (JjX0 y (grandeza escalar).
Funções horárias das projeções
Como os movimentos descritos pelas projeções do ponto ma­
terial P são retilíneos, os módulos das grandezas vetoriais referentes 
aos movimentos serão iguais aos módulos das grandezas escalares 
correspondentes.
Podemos, então, montar as funções horárias relativas aos movi­
mentos das projeções: S = f(t). V = f(t) e a = f(t).
diminando a variável t nas funções horárias S = f(t) das proje­
ções. podemos obter a equação da trajetória do ponto material P. 
Exemplo:
Sejam y = 3 + 6t — ôt2 (1) e x = 2t (2) as funções horárias das 
projeções do movimento de um ponto material P.
r = r m f Y?,)
Podemos então escrever: y lx. — ycoso
v . . . v = : v < 3 p n ^Yiy> — Tsen
237
Podemos, então, escrever x — 2t => t = — .
2
Substituindo na expressão (1). vem:
y = 3 - 6 ( y ) - 8 - ( t V = 3x 2x2 = >
y = —2x2 -f 3x + 3
Assim, a trajetória do ponto material será uma parábola de equa-
Importante: Não confundir equação da trajetória (y X x) com função 
horária do movimento (S X t).
1. MAPOFEI — Um ponto material realiza um movimento plano tal 
que suas coordenadas cartesianas são dadas pelas equações:
x = 1 + 3t 
y = 1 -f- 4t
com x e y em metros e t em segundos. Determinar:
a) a velocidade do ponto material.
b) a equação da trajetória.
c) a equação horária do movimento, tomando como origem do 
espaços o ponto P(1, 1).
238
Resolução: A projeção horizontal do ponto material realiza um movi­
mento retilíneo uniforme de função horária x = I + 3t, onde x„ = 1 m 
e Vx — 3 m/s, constante.
A projeção vertical do ponto material realiza um movimento retilíneo 
uniforme dc função horária y = 1 -f 4t, onde y0 = 1 m e Vy = 4 m/s, 
constante.
a) Podemos, então, escrever:
V2 - V2 -f Vf- :=> V2 — 3a + 4- = 9 + 16
Da figura, vem: tga = — — = —
Vx 3
Portanto, o ponto material estará sujeito a uma velocidade de in­
tensidade constante igual a 5 m/s, com direção indicada pelo ângulo 
, 4
a cuja Rangente vale ------.
3
Seu sentido está indicado na figura.
239
h) Das funções horárias das projeções, vem: 
x = 1 -f 3t=>t =
y = 1 -f 4t = > t =
X — 1 x — 1 y — 1
1 
1
3 ‘ 4
> => 3y — 3 = 4x — 4 =>
=>
4 1
4 3 3
A trajetória do móvel será uma reta de declive — e que corta
o eixo v no valor — — m.
3
c) Ao iniciar a contagem dos tempos (t = 0 s), o móvel sc encontra 
na posição:
í x = 1 m (x = 1 + 3t = H - 3 . 0 = 1) 
y = 1 m (y = 1 -f- 4t = l 4 .0 = 1)
Se adotarmos este ponto como origem do referencial, teremos Srt — 0. 
Logo, sendo o movimento do móvel descrito com velocidade cons­
tante 5 m/s, teremos:
S = S0 - V t= > S = 0 + 5t=> S - 5t (SI)
Ou seja, o móvel descreverá um movimento retilíneo uniforme de 
função horária S — 5t no SI.
O movimento de um ponto material é descrito pelas equações 
x — 8t — 4t2 e y = 6t — 3t2 (SI).
Esta explicação refere-sc às questões de 2 a 4.
2. MEDICINA DE SANTOS — A trajetória do ponto pode ser expressa 
pela equação:
3
b) y = — x.
4
C) y = 4 — 3x.
3
d) y = — x.
2
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Para a projeção horizontal do movimento do ponto ma 
terial, temos:
X = 8 t — 4 t2 = > x = 4 (2 t — t- ) = > 2 t — t- = — (1 )
4
240
I
Para a projeção vertical do movimento do ponto material, temos: 
y = 6t — 3t2 = > y = 3(2t - t2) = > 2t - t2 = -y- (2)
Comparando (I) e (2), vem:
Portanto, a trajetória do ponto material será uma reta que passa pela 
3
origem, de declive — .
Resposta: alternativa b.
3. MEDICINA DE SANTOS — A velocidade V do ponto pode ser ex­
pressa pela equação:
a) V = 4-t-2t.
b) V = 10(1 - t).
c) V - 1 - t.
4
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: O movimento da projeção horizontal do móvel é unifor- 
memente variado.
Assim, sendo x = 8t — 4t2, temos V0(í) = 8 m/s e a (X) = —8 m/s2. 
Logo, para Vm = V0(i) -f- a<K>t, vem V (x) = 8 — 8t (1).
O movimento da projeção vertical do móvel é uniformemente variado. 
Assim, sendo y = 6t — 3t2. temos V0|y| = 6 m/s c a (yl = —6 m/s2. 
Logo, para V(yl = Vfl r) -f a (y)t, vem V(y, ~ 6 — 6t (2).
Lembrando que Va = V?x, + V*,,, subsliuiindo (1) c (2) temos:
Va = (8 - 8t)2 + (6 - 6t)2 = 82(1 - t)2 + 62(l - t)2 = >
= > V2 = 64(1 - t)2 + 36(1 - t)2 = 100(1 - t)2 = >
= > V = 10 — 10t (função velocidade de MUV)V = 10(1 - t )
Conclusão: () movimento do ponto material é retilíneo e uniformemente 
variado, sendo progressivo entre os instantes 0 s c I s e retrógrado a 
partir de t = 1 s.
Resposta: alternativa b.
4 . MEDICINA DE SANTOS — A aceleração do ponto é de:
a) 4 m/s2.
b) 3 m/s'-.
c) (3/4) m/s2.
d) 10 m/s*.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Lembrando que a<x» = Y<*> — —8 m/s2 e =. y (>., —
= —6 m/s2, teremos:
r 2 = r?*> + r7r> = 64 36 = 100= » Y = 10 m/s2
242
Portanto, o vctor-aceleração do movimento terá intensidade 10m/s2,
direção indicada pelo ângulo a tal que tg a = — , e sentido indicado
4
na figura.
Resposta: alternativa d.
5. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA— As equações do movimento 
de uma partícula são x = 3cos t e y = 3sen t.
Seu movimento é:
a) retilíneo uniforme.
b) retilíneo uniformemente variado.
c) retilíneo uniformemente retardado.
d) circular.
e) Nenhum dos movimentos mencionados.
Resolução:
Sendo x = 3cos t, vem x2 = (3cos t)- = > x2 = 9cos2 t (1).
Sendo y = 3sen t. vem y2 = (3scn t)2 = > y2 = 9sen2 t (2).
Somando (1) e (2) membro a membro, teremos:
x2 + y* = 9cos2 1 -f 9sen2 1 = > x2 + y* = 9(sen2 1 -f cosa t)v ___ j
Esta última expressão representa uma circunferência de raio 3 e centro 
na origem do referencial.
Resposta: alternativa d.
wsT&nd/im & 243
I. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Em relação a um refe­
rencial cartesiano xOy, uma partícula se move segundo as equações 
x = 8t — 4t- c y = I2t - 6t2
A equação cartesiana da trajetória será:
a) y = 3x d) y = — 3 -f- 5x.
2 e) y = — 2x.
b) y = 14 - 10x.
c) y = 2 + 2x.
•) 3y j . t.
H) y/T. t.
o) •! yTJ . (1 - t).
d) 4t.
c) y r • t.
244
4. CESCEA — O movimento de um corpo é descrito pelas equações abaixo, 
onde x determina sua posição na direção leste-oeste e y determina sua posi­
ção na direção norte-sul:
x = —3+10t c y = - 4 + 2t + 2t2
Sendo x c y dados em metros e t em segundos, a velocidade escalar do corpo 
no instante t = 2 s é:
a) 10 V?m/s. d) 9,4 m/s.
b) 2y/lB m/s. e) Nenhuma das anteriores.
c) 20 m/s.
5. CESCEA — Na figura abaixo, a linha pontilhada indica um arco de cir­
cunferência de raio OP = 1 m, sobre o qual uma bola de tênis P é cons­
trangida a se mover com velocidade angular de intensidade constante
ü) = —— rad/s. Em cada choque com a parece e o solo. o movimento da 
2
bola inverte de sentido, provocando um movimento de vaivém. Conside­
rando que no instante inicial a bola P está em contato com o solo, qual 
dos gráficos seguintes indica o melhor deslocamento Q (projeção de P sobre »
o eixo x - solo) em função do tempo?
A figura mostra dois gráficos, um representando a coordenada x e o outro 
a coordenada y, cm função do tempo, de duas esferas I e 2, de mesma massa, 
em movimento sobre uma superfície plana. As que>tões de 6 a 8 referem-se a 
este enunciado.
6. CESCEA — Durante qual dos intervalos de tempo a velocidade das duas 
esferas foi nula?
ft) (1 s, 2 s)
b) (2 s, 3 s)
c) (3 s, 4 s)
d) (4 s, 5 s)
7. CESCEA Durante qual dos intervalos de tempo o movimento da esfera 
I foi paralelo ao eixo Ox com velocidade não-nula?
a) (1 s, 2 s)
b) (2 s, 3 s)
c) (3 s, 4 s)
d) (4 s, 5 s)
H. CESCEA — Em que instante as duas esferas sc chocaram?
u) 1 s
b) 1,5 s
c) 2 s
d) 3 s
246
A figura a seguir representa um móvel M em movimento circular uniforme, 
com velocidade escalar V e raio r. As duas próximas questões referem-se a 
esse enunciado.
9. CESCEA — Se V(*>
segundo os eixos Ox c Oy da figura, e se o sentido do movimento for anti- 
-horário, então:
a) Vlx) é máxima c Vlv, mínima em C.
b) V ,x) é máxima e V<y) mínima em O.
c) V(XI c máxima em 1) e V,yl mínima em C.
d) y (%) é máxima çm l> e Vly) mínima em B.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
10. CESCEA A intensidade da aceleração centrípeta é:
a) máxima cm A.
b) constante c diferente de zero.
c) constante c igual a zero.
d) mínima cm A.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
11* FEI — O movimento de um ponto material é descrito pelas equações 
x — (t + 1)-' e y = (t + l) " 2, onde I representa tempo. Determinar a equa­
ção da trajetória descrita pelo ponto material.
1. a 2. d
3. c (0 módulo da aceleração é a
4. a (A trajetória do corpo é uma
5. b G. c 7. d 8. b 9. c 10. b
11. y = -
1
CAPITULO
10
Lançamento 
Oblíquo noVdcuo
Introdução
Ouando um canhão dispara um projétil não-verticalmente, num 
local onde a influência do ar é desprezível, se não houvesse a ação 
da gravidade seu movimento seria retilíneo e uniforme segundo a
—>
direção do vetor-velocidade V0.
No entanto, devido à atração exercida pela Terra, o projétil vai 
caindo à medida que se translada, dc forma que. decorridos diversos 
intervalos de tempo, ao invés de se encontrar nas posições A, B. C, 
D o projétil encontrar-se-á, respectivamente, nas posições A\ B\ C \ D’.
Conclusão: O lançamento de um projétil, não-verticalmente, nas 
proximidades da Terra, livre das influências do ar. é a combinação 
de um movimento retilíneo uniforme com uma queda livre.
249
Lembrando que na queda livre, a partir do repouso, os desloca­
mentos escalares são obtidos através da expressão AS = —— gt\
2
conforme vimos anteriormente, poderemos analisar a combinação de 
movimentos referentes ao lançamento de um projétil não-vertical- 
mente.
Na figura abaixo, no primeiro segundo de movimento, enquanto 
o projétil se desloca de uma distância d. sofre, simultaneamente, 
uma queda igual a AS. onde. para g = 10rn/s2. teremos:
t
Analogamente, poderemos calcular os diversos valores de AS 
paru os Instantes t = 2 s. t = 3 s , t = 4 s , etc., construindo a tabela 
abaixo.
Instante
t(s)
Deslocamento
retilíneo
Queda vertical 
(AS)
0 0 0
1 d 5 m
2 2d 20 m
3 3d 45 m
4 4d 80 m
O movimento resultante é curvilíneo e sua análise é bastante 
complexa. Para estudar esse movimento é necessário decompô-lo 
em dois eixos ortogonais.
250
Elementos de um lançamento oblíquo
No lançamento oblíquo de um corpo no vácuo são elementos 
essenciais:
• V0 — velocidade inicial de lançamento.
• a — ângulo de lançamento.
• g* — aceleração local da gravidade.
Análise das projeções
Vamos decompor o lançamento oblíquo de um móvel segundo as 
direções horizontal e vertical e estudar o movimento de suas projeções.
—r
Inicialmente, analisemos a aceleração y do movimento.
A única aceleração a que está submetido o corpo é a da gravi­
dade. __________
Ou seja: “ 9
1
251
• Componente r*: como g é vertical, não haverá componente hori- 
—r
zontal da aceleração Y-
Ou seja: Tx = 0
Logo. a aceleração escalar au>também será nula. isto é. a(x)= 0 .
Conclusão: A projeção horizontal do móvel descreve um movi­
mento retilíneo uniforme.
— ► — >
• Componente Yy: como g é vertical, o vetor-componente-vertical da 
aceleração coincide com a aceleração da gravidade g .
Ou seja: Tt = g
Assim, a aceleração escalar a(y) será constante e igual a — g. isto 
6, a(y, = —g, constante.
, r \ Conclusão: A projeção vertical do móvel descreve um movimento 
'"^retilíneo uniformemente variado.
Equações das projeções
• Projeção horizontal — MRU: x = Xo + V x>t
Sendo V,*) = V0(x) e Vo(xl = V0cos a, vem:
x = xo -f- Vocos a . t
252
Projeção vertical — MRUV:
y = y. + V o ,„ t+ — a r)t2
Sendo Vu<v) = V(,sen x e a (Jr) = —g. vem:
------------ ]-------
y — yi> : Vosen a . t -----— gt~
V(yi = Vo(y, + 3(y)t Viy., — Vc.sen f — gt
V(yi — Vnly, -f* 2a.»(y — yo) V‘„ - VÔsen* a — 2g(y — y0)
Simplificações
Para x0 = 0. vem:
Para y0 — 0, vem:
x — Vocos a . t (1)
1
y — Vosen a . t --------gt-
2
V(y) = Vosen a — gt 
VÍyl — Vosen2 cf. — 2gy
( 2]
Equação da trajetória
Da equação (1), vem t =
Vocos a
Substituindo^em (2). obteremos a equação da trajetória do móvel
= - ( -------------- ) + (tg x) .
' 2V“cos*x '
Esta equação representa uma parábola que passa pela origem 
tio sistema xOy e tem concavidade voltada para baixo.
Conclusão: O movimento de um projétil lançado obliquamente no 
vácuo descreve uma trajetória parabólica, estando submetido a uma 
aceleração vetorial constante.
Casos particulares
• Tempo de subida — O tempo de subida de um móvel lançado 
com velocidade inicial Vu sob um ângulo a. num local onde a acele­
ração da gravidade é g. será obtido quando a velocidade da projeção 
vertical se anular.
Ou seja: t t, <=> Vjr - 0
Logo, V,r> = Vosen a — gt => 0 = V.,sen a — gt.
Vosen a
g
254
• Altura máxima (flecha) — 0 móvel atingirá sua altura máxima 
quando a velocidade da projeção vertical se anular.
O j seja: y — f< ^ V 7 — o
Logo. víy, = Võsen8 a — 2gy => 0 = Vosen2 a — 2gf
• Tempo total — O móvel retornará ao plano de lançamento quan­
do y = 0.
Ou seja: t — tT <=> y — 0Assim, para y = V„sen a . t ---- gt2
2
0 = Vosen x . tT — — gtr 
2
tr —
2V isen a
^ 255
• Alcance horizontal — O alcance horizontal do móvel ocorrerá 
quando ele retornar ao plano horizontal de lançamento.
Ou seja: 
Sendo x —
x — D <=> t — t r
Vocos a . t, vem:
D = Vecos a
2V.,sen x
D
VÜ
. 2sen x . cos x
sen 2a
Observando a expressão do alcance, notamos que o mesmo valor 
do D será obtido para dois ângulos de ançamento complementares, 
desde que a velocidade inicial V0 seja a mesma.
Daj = Da.y <=> X: - a> — 90'
256
A intensidade da veloc:dade de chegada do móvel ao plano hori­
zontal de lançamento é igual à intensidade da velocidade de lança­
mento.
Análise da aceleração
—> —>
A aceleração vetorial do lançamento oblíquo é constante (y = g). 
Decompondo-a nas direções tangencial e normal à curva, obtemos as
— > — >
acelerações componentes a , e ac , respectivamente, em cada ponto.
Importante: Como a intensidade da aceleração tangencial é variável, 
também a intensidade da aceleração escalar é variável. Logo. o lan­
çamento oblíquo não é um movimento uniformemente variado.
Lançamento horizontal no vácuo
Una esfera move-se oom movimento retilíneo uniforme sobre 
uma mesa.
Se caso não houvesse a atração da Terra, ao perder contato com 
a mesa. o corpo continuaria a se mover em trajetória retilínea, com 
a mesma velocidade. Mas como há essa atração, o corpo cairá verti­
calmente. ao mesmo tempo em que se deslocará horizontalmente 
com movimento uniforme.
Lembrando que AS — — gt2, para g = 10 m/s2. teremos AS — 5ta.
Podemos, então, preencher a tabela seguinte.
Instante
t(s)
Deslocamento
horizontal
Queda
vertical (AS)
0 0 0
1 d 5 m
2 2d 20 m
3 3d 45 m
4 4d 80 m
258
Esquematicamente, teremos a figura a seguir, onde a trajetória 
do móvel é um arco de parábola. Considera-se desprezível a in­
fluência do ar.
Mo lançamento horizonte), o vetor-coinponente horizontal da velocidade é 
sempre constante. O vetor-componente-vertical da velocidade tem 
intensidade crescendo linearmente com o tornpo a partir co repouso.
Para a projeção horizontal do movimento, vem X -n Votl (1).
Note que. no instante do lançamento horizontal, o vetor-compo- 
nente-vertical da velocidade é nulo.
Ou seja: V.»v = 0 ==> Vn( . - 0.
Logo, para a projeção vertical do movimento, vem:
gt2 (2]
De (1), vem t — ----- .
Vo
Substituindo em (2). vem
x'-'
.
260
Considerações finais
Pe o fato de essa teoria ser aplicada no lançamento de artefatos 
bélicos, o lançamento oblíquo de um projétil também recebe o nome 
de lançamento balístico.
Observe que, num lançamento horizontal e nuna queda livre 
simultâneos, os movimentos verticais são idênticos. Assim, os corpos 
estarão sempre na mesma horizontal durante todo o movimento.
W' ■
I
l I
\ I
I I
I
1. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Um projétil com massa
m c lançado com uma velocidade V0, formando um angulo a com 
a horizontal, conforme mostra a figura.
Desprezando a resistência do ar. pode-se afirmar que a sua velo­
cidade no ponto mais alto da trajetória é:
a) Vosen a.
b) nula.
c) Vi.cos a -f gt.
d) V.sen a — gt.
e) VnCOS a.
Resolução: No ponto mais alto da trajetória parabólica a projeção ver­
tical tem velocidade nula. Assim, a velocidade do projétil coincidirá com 
a velocidade da sua projeção horizontal.
Como a projeção horizontal do lançamento balístico é um movimento 
retilíneo uniforme, seu vetor-velocidade será sempre constante e igual
—>
ao vetor-componente-horizontal da velocidade dc lançamento V0.
&
263
2. PUC (RIO DE JANEIRO) A curva C da figura abaixo representa 
a trajetória de um projétil disparado por um canhão na superfície 
da Terra. ConsideranOo desprezível a resistência do ar, indique
—►
qual das opções melhor representa o vetor-velocidade V e o vetor-
-aceleração a do projétil, quando o mesmo está no ponto A de sua 
trajetória.
Resolução: Livre da resistência do ar, o lançamento balístico está do­
tado de aceleração constante e igual à aceleração da gravidade (inten­
sidade g = 9,8m /s2, direção vertical e sentido de cima para baixo).
y
264
Lembrando que a velocidade de um móvel é sempre tangente à tra­
jetória, no ponto A teremos os vetores velocidade e aceleração ilus­
trados.
Resposta: alternativa c.
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma pedra é jogada livremente 
para cima numa direção que forma um ângulo de 302 com a hori­
zontal no cairpo gravitacional terrestre, considerado uniforme. 
Ignorando o atrito com o ar, no ponto mais alto alcançado pela 
pedra a intensidade de:
a) sua aceleração é zero.
b) sua velocidade é zero.
c) sua aceleração atinge um mínimo, mas não c zero.
d) sua velocidade atinge um mínimo, mas não é zero.
e) seu vetor-posiçãc, em relação ao ponto de lançamento, é má­
xima.
Resolução: No vértice da trajetória parabólica dc um lançamento balís­
tico, a velocidade tem intensidade mínima mas não-nula, conforme 
vimos no exercício 2
A aceleração correspondente será vertical e igual à aceleração da gra­
vidade. Embora seja constante e não-nula, a aceleração do movimento 
balístico não caracteriza um movimento uniformemente variado, pois 
sua aceleração componente tangencial, cuja intensidade c igual à da 
aceleração escalar, não é constante.
No vértice da parábola a aceleração tangencial é mínima e de inten­
sidade igual a zero, enquanto que a aceleração centrípeta tem inten­
sidade máxima e é igual à aceleração da gravidade.
Resposta: alternativa d.
265
4. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um projétil é lançado obliqua­
mente para cima. com a velocidade de 100 m./s, numa direção que 
forma um ângu o de 60° com a horizontal. Após 4.0 s, a intensidade 
da velocidade vetorial do projétil é:
a) 50 m/s.
b) 87 m/s.
c) 47 m/s.
d) 69 m/s.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
»
Resolução: Vamos decompor o movimento balístico segundo suas pro­
jeções:
• projeção horizontal: V,x) — V„
Vw> = V0 cos <I> = 100 . cos 60°
• projeção vertical: V m = Vrt)v) _ gt
v ir> = V0 sen <I> — gt
V ,„ = 100 . sen 60« - 9,8 . 4 = joq
V„) 46,8 m/s
Portanto, V = Vx -f- V,.. 
Donde: V = VXJ, +V ", a
V === 68,9 m/s
VTíoF + (46,8)2 s* V 4 700 . \
Resposta: alternativa d.
266
5. MEDICINA DA SANTA CASA — Um canhão, em solo plano e hori­
zontal, dispara uma bala com ângulo de tiro de 30u. A velocidade 
inicial da bala é de 500 m/s. Sendo de 10 m/s2 o valor da acele­
ração da gravidade no local, a máxima altura da bala em relação 
ao solo será, em km, um valor mais próximo de:
a) 3,1. d) 6,3.
b) 3.5. e) 7,5.
c) 4,5.
Resolução: Lembrando que a flecha do lançamento balístico é dada
V0 sen2 a
por I = iw* — ---------------, logo:
2g
f _ (500)2 . sen2 30° 250 000
2 . 10 ~ 80
Portanto, |f s= 3,1 km 1.
3 100 m = 3,1 km
Resposta: alternativa a.
6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um corpo é iançado obliqua­
mente para cima, formando um ângulo de 30° com a horizontal. 
Sabendo que o tempo de permanência no ar é igual a 6.0 s . con­
clui-se que a intensidade da velocidade de lançamento c:
a) 10 m/s.
b) 40 m/s.
c) 60 m/s.
d) 80 m/s.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Lembrando que o tempo de duração de um movimento
balístico, descrito por um corpo que parte c chega ao mesmo plano
, . „ , . . . 2V„ sen ahorizontal, e dado por tT = --------------- , entao:
g
2V„ sen 30° 
10
V , = 60 m/s
Resposta: alternativa c.
7. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um corpo é lançado obliqua­
mente para cima com velocidade de 100 m/s. O alcance é máximo 
quando:
a) a massa do corpo é igual a 10 kg.
b) o ângulo de lançamento é 0®.
c) o ângulo de lançamento é 45°.
d) o ângulo de lançamento é 70°.
e) o ângulo de lançamento é 90°.
Resolução: Sendo o alcance horizontal de um lançamento balístico no
x , a „ V0 sen 2a ,vacuo dado por D --------------- , D sera maxano quando sen 2a for
g
máximo, o que ocorre para 2a — 90° ou a = 45°.
Acima ou abaixo desse ângulo teremós lançamentos com alcances infe­
riores ao alcance correspondente ao ângulo de 45°.
Resposta: alternativa c.
268
8. FUNDAÇÃOCARLOS CHAGAS — A figura seguinte mostra as 
trajetórias de cinco projéteis (a, b, c. d. e) lançados no vácuo, 
numa região onde a aceleração da gravidade é constante. Todas 
as trajetórias estão num mesmo plano vertical e foram percor­
ridas em tempos iguais pelos projéteis (a subiu e desceu). Qual 
deles foi lançado com maior velocidade escalar?
a) a
b) b
c) c
Resolução: O tempo de duração dc um lançamento balístico é dado
2V0 sen a , , tTg
por tT — --------------- . . V„ sen a = ------- .
g 2
Assim, para o mesmo tempo de duração, quanto maior V0, menor 
sen a. Para ângulos inferiores a 90°, quanto menor o sen a, menor 
o valor do ângulo a.
Conclusão: A velocidade de lançamento será maior quanto menor for 
o ângulo de inclinação.
Portanto, o móvel c terá maior velocidade dc lançamento, já que seu 
ângulo dc inclinação é o menor de todos os apresentados.
Resposta: alternativa e.
9. ENGENHARIA DE LORENA — Um canhão dispara um projétil sobre 
o mar. horizontalmente, com uma velocidade inicial de 400 m/s, 
de um ponto situado a uma altura de 100 m acima do nível do 
mar. Quanto tempo o projétil gastará para atingir a água? (Dado: 
g = 9,8 m/s2.)
a) 4.5 s.
b) 3 s.
c) 3.5 s.
d) 2 s.
e) 2,5 s.
Cè^i£m á&u 269
Resolução: No lançamento horizontal, a projeção vertical terá velo­
cidade inicial nula. O eixo de referência vertical será orientado para 
baixo, a partir do ponto do disparo.
Desse modo, as equações referentes a ela serão:
(para y0 = 0) j 
Para o exercício
V„» = gt
y = i - g t *
V?„ = 2gy 
em questão, temos:
y = 100 m e g = 9,8 m/s2
100= — . 9,8 t2 t s- v'T0,4 
2
t 4,5 s
Assim, a projeção vertical ao movimento balístico levará aproximada­
mente 4,5 s para chegar ao nível do mar. Paralelamente, este também 
será o tempo que a própria bala levará para atingir a água.
Então, você perguntará: “E a velocidade horizontal de lançamento? 
Não tem influencia no tempo de queda?” A resposta é não. A velo­
cidade horizontal de lançamento vai influenciar o alcance horizontal 
da bala. Quanto maior a velocidade horizontal de lançamento, maior 
o alcance pelo projétil; porém, o tempo de queda será sempre o mesmo, 
dependendo somente da altura de lançamento para o mesmo g.
Resposta: alternativa a.
270
10. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Uma pessoa atira com uma cara­
bina na horizontal, de uma certa altura. Outra pessoa atira, tam­
bém na horizontal e da mesma altura, com uma espingarda de 
ar comprimido. Desprezando a resistércia do ar. pode-se afirmar 
que:
a) a bala mais pesada atinge o solo em um tempo menor.
b) nada se pode dizer a respeito do tempo de queda, porque não 
se sabe qual das armas é mais possante.
c) o tempo de queda das balas é o mesmo, independendo de suas
d) a bala da carabina atinge o solo em um tempo menor que a 
bala da espingarda.
e) a bala da espingarda atinge o solo em um tempo menor que 
a bala da carabina.
Resolução: Livres da resistência do ar, sendo lançadas na horizontal 
e da mesma altura, independentemente de suas massas, as duas balas 
chegarão simultaneamente ao solo, embora a bala disparada pela arma 
mais possante tenha um alcance maior.
Resposta: alternativa c.
11. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Uma bolinha de gude rola 
sobre uma mesa com velocidade de 40cm /s. Após sair da mesa. 
cai. atingindo o chão a uma distância de 12 cm dos pés da mesa. 
Pode-se concluir que a altura dessa mesa é, aproximadamente, 
igual a:
a) 80 cm. d) 30 cm.
b) 45 cm. e) 100 cm.
c) 120 cm.
Resolução: A projeção horizontal do lançamento da bolinha descreve 
um movimento uniforme de função horária x V0t (para x„ — 0), onde 
V0 é a velocidade inicial de lançamento horizontal (a projeção hori­
zontal da velocidade V0 coincide com a própria velocidade horizontal 
de lançamento).
Portanto, sendo x = 12 cm c V(, =r 40 cm/ s, vem:
massas
12
x = Vwt 12 = 40t t = 0,3 s
40
Para a projeção vertical, podemos escrever
y gl2 y 10 . (0.3)2 = 5 . 0,09 = 0.45 m ou
2 2
y = 45 cm
271
Portanto, a bolinha cai dc uma altura igual a 45 cm (altura da mesa).
Resposta: alternativa b.
12. MEDICINA DE SANTOS — Um corpo é larçado horizontal e per­
pendicularmente contra o centro dc um alvo contido num plano 
vertical No instante cm que o corpo é lançado, o alvo é aban­
donado e cai, conservando sua posição vertical.
O corpo atinge o alvo:
a) no centro.
b) abaixo do centro.
c) acima do centro.
d) acima e à direita do centro.
e) acima e ã esquerda do centro.
Resolução: No instante cm que 
o corpo c lançado horizontal­
mente, o alvo inicia sua queda 
livre. Nesse mesmo instante, a 
projeção vertical do lançamento 
também inicia seu movimento 
de queda livre.
Como o tempo dc queda só 
depende da altura e da acele­
ração da gravidade, os dois 
movimentos serão descritos 
paralclamcntc.
Enquanto isso, a projeção hori­
zontal do corpo lerá movimento 
dirigido para a trajetória ver­
tical descrita pelo alvo.
272
Como tudo isto ocorre simultaneamente, em dado instante, quando a 
projeção horizontal atingir a vertical descrita pelo alvo, haverá o en­
contro do corpo com o alvo.
Assim, sempre haverá choque entre os dois. Todavia, se o alvo não 
se desprender e cair, o corpo passará por baixo dele, pois sua trajetória 
é parabólica.
Resposta: alternativa a.
13. ESCOLA TÉCNICA DO PAPANÁ — Um bombeiro tenta apagar o 
incêndio do 4.° pavimento. A inclinação do bico da mangueira é 
de 45°, sendo que a água sai com uma velocidade de 14.0 m/s. 
Ka situação descrita, desprezando a resistência do ar. conseguiria 
o bombeiro atingir o fogo? Considerar g = 9.8 m/s-.
€
V
L -
12.0 m
a) Sim, pois o alcance é de 20.0 m.
b) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a urna altura 
dc 6.3 m.
c) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a uma altura 
de 9.0 m.
d) Sim, só que o bombeiro deve diminuir o ângulo do bico da 
mangueira.
e) Sim. pois a altura máxima que o jato de água atinge é superior 
a 10,0 m.
Resolução: Analisemos inicialmente a projeção hori/.ontal do lança­
mento:
12
x = V0 cos a . t 12 — 14 . cos 45° . t t = ———- s
Nesse mesmo instante, vejamos qual a altura atingida pela projeção 
vertical:
y = yo -f Vo sen a . t ----- - gt2
y — 1,5 -f- 14 . sen 45° .
12 1
>’ = 1 ,5 + 2 VT
7 \f~T 
12
2 V T
y = 1,5 + 12 - 7 , 2 = 6,3 m .
2
4,9 .
. 9,8 .
144
49 . 2
V 7 /
y = 6,3 m
Portanto, o jato de água atingirá a altura de 6.3 m, insuficiente para 
apagar o fogo localizado a 10,0 m de altura.
Resposta: alternativa b.
14. FEI — Um objeto voa numa trajetória retilínea, com velocidade 
V = 200 m/s, numa altura H = 1 500 m do solo. Quando o objeto 
passa exatamente na vertical de uma peça de artilharia, esta dis­
para um projétil, num ângulo de 60° com a horizontal. O projétil 
atinge o objeto decorrido o intervalo de tempo At. Adotar g — 
= 10 m/s2.
a) Calcular a intensidade tía velocidade de lançamento do projétil, 
o) Calcular o menor intervalo de tempo At em que o projétil atinge 
o objeto.
Resolução:
a) Para que o objeto seja atingido pelo projétil, a velocidade do objeto 
deve ser igual ao vetor-^omponente-horizontal da velocidade do pro­
jétil.
Ou seja: V = V,v
274
Assim: V — V0ls| = > V = V0cos 60° = > V„
cos 60°
= > V 0 V0 — 400 m/ s
b) A equação horária da projeção vertical do projétil será:
y = Vo , t ------— gt2 = > y = Vo sen 60° . t ----- í - . 10t2 = >
iy> 2 2
= > y — 400 . V ̂- t — 5t2 = > y = 200 V"3t — 5t2
Quando o projétil atinge o objeto, y — 1 500 m. 
Portanto, 1 500 = 200 \T3t - 5t2 = >
= > t2 — 40 v"3í ■+- 300 = 0 = >
í U ar 4,6 s 
112 ~=? 64,6 s
O menor intervalo de tempo para a colisão será a menor das duas 
raízes da equação acima, ou seja, t s 4,6 s
Resposta: O projétil será lançado com velocidade de 400 m/s, indo 
atingir o corpo após, aproximadamente, 4,6 s.
1. UNIVERSIDADE IX) PARA­
NÁ — O esquema representa o 
lançamento oblíquo de um corpo, 
no vácuo, sob a ação da gravida­
de. Com relação a esse movi­
mento, qual a informação in­
correta?
a) A trajetória ACB descrita pelo móvel é umarco de parábola.
b) O móvel descreve a trajetória ACB com velocidade constante.
c) No ponto C a projeção vertical da velocidade é nula.
%(/?& 'n d ârn 275
d) As projeções horizontais da velocidade instantânea são iguais em todos 
os pontos da trajetória.
c) A intensidade da velocidade do móvel em B é igual à intensidade da 
velocidade em A.
Uma bola é lançada para cima, em uma direção que forma um ângulo de 
45° com a horizontal, com velocidade V. Despreze a resistência do ar. Enun­
ciado para as questões de 2 a 4.
2 UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — A intensidade do vetor-com- 
“> —*
ponente-hori/.ontal Vx da velocidade V da bola c:
V
a) --------------- .
cos 45°
b) Vtg 45°.
c) Vcotg ^5°.
d) Vcos 45°.
V
c)
sen 45°
3. LNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS A intensidade do vctor-com- 
poncnte-vertical Vy da velocidade V da bola:
a) é constante.
b) é função do primeiro grau do tempo.
c) c função do segundo grau do tempo.
d) tem o mesmo sentido em qualquer instante.
e) é sempre diferente de zero.
4. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS A aceleração da bola c:
a) horizontal c variável.
b) inclinada e constante.
c) vertical e constante.
d) inclinada c variável.
c) nula no ponto mais alto atingido pela bola.
5. MEDICINA DA SANTA CASA — Um canhão dispara uma bala com ân­
gulo de tiro de 40° cm relação ao solo. que é plano e horizontal. Despre­
zando a resistência do ar, pode-se dizer que. durante o movimento do pro­
jétil:
i) sua velocidade se mantém constante.
b) o vetor-componcnte-horizontal de sua velocidade se mantém constante.
c) sua aceleração muda de sentido, pois o vetor-componente-vertical da 
velocidade muda de sentido.
il) o vctor-componente-horizontal de sua aceleração varia uniformemente.
»’) a trajetória é percorrida com velocidade constante, cm módulo, embora 
com direção variável.
6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — A velocidade inicial de um projétil forma 
com a horizontal um ângulo de 60°, como mostra a figura abaixo. Despre­
zando a resistência do ar, qual dos segmentos seguintes melhor representa 
a variação da velocidade do projétil entre o instante em que ele atinge o 
ponto mais alto da trajetória e o instante de lançamento?
7. MACKENZIE — Durante um exercício de segurança contra incêndio, um 
bombeiro segurou a mangueira dc água formando um ângulo de 45° com 
a horizontal. Sabendo que a aceleração local da gravidade c de 10m/s2 
c que a velocidade de saída do jato dc água é de 20m/s. pode-se afirmar 
que serão atingidos objetos situados a uma distância horizontal do bico da 
mangueira de:
a) 50,00 m.
b) 75,00 m.
c) 60.00 m.
d) 40,00 m.
c) 80 \ f l m.
8. MEDICINA DA SANTA CASA A figura seguinte representa a traje­
tória descrita por uma bola que sofre impactos sucessivos com o solo. 
Sendo g a aceleração da gravidade, o intervalo dc tempo decorrido entre as 
passagens pelas posições 1 e 2 é mcihor expresso por:
9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Um projétil é lançado obliquamente, no 
vácuo, com certa velocidade inicial, sob um ângulo de 30° com a horizon­
tal. Simultaneamente, um projétil idêntico c lançado com a mesma velo­
cidade inicial, porém sob um ângulo de 60° com a horizontal. Em um 
ponto de altura H, o l.° projétil tem velocidade V. Em um ponto da mesma 
altura, o segundo projétil terá velocidade igual a:
10. MEDICINA DE ITAJUBA — Uma bola está parada sobre o gramado dc. 
um campo horizontal, na posição A. Um jogador chuta a bola para cima. 
imprimindo-lhe uma velocidade V0 de intensidade 8,0 m/s, c que faz 
com a horizontal um ângulo de 60°. como mostra a figura.
A bola sobe e desce, atingindo o solo novamente, na posição B. Despre­
zando a resistência do ar, qua! será a distância entre as posições A c B?
a) 2,4 m
b) 4,8 m
c) 2,8 m
d) 5,6 m
c) Um valor compreendido entre 2,4 m e 4,8 m.
II. MAPOFEI — Um canhão dispara projéteis de 20 kg com um ângulo de 
30° cm relação à horizontal e com velocidade de 720 km/h. Qual o alcance 
do projétil? Desprczam-se as resistepeias opostas pelo ar ao movimento.
(«cn 30° = cos 60° = 1/2; sen 60° ^ cos 30° = yJ/2 ; adote g = 10 m/s2.)
IJ UNIVERSIDADE DO PARÁ — Um objeto lançado vcrticalmente para 
uma. no ar, atinge a altura de 280 m. Sc o objeto for lançado ohliquamcnte, 
o seu ulcancc máximo será dc:
«) 560 m. 
I>) 280 m. 
ü) 75 m.
d) 140 m. 
c) 840 m.
a) v'TV.
2
d) 2V.
e) V.
278
13. FEI — Um projétil é lançado do solo numa direção que forma o ângulo a 
com a horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura máxima h mtí = 15 m 
e que sua velocidade no ponto de altura máxima c V = 10 m/s. Deter­
minar a sua velocidade inicial c o ângulo a de lançamento. Adotar 
g = 10 m/s'*.
14. FAAP — Uma partícula é lançada obliquamente num plano vertical da 
origem O de um referencial cartesiano xOv com velocidade de intensidade 
10 m/s, a qual faz com o eixo Ox um ângulo de 60°. No mesmo instante, 
é lançada verticalmcnte para cima uma outra partícula do ponto (100; 40\/3). 
onde as coordenadas são dadas em metros. Admitindo desprezíveis a 
resistência do ar e a curvatura da superfície terrestre c considerando 
g = 10 m/s2, determinar:
a) a intensidade da velocidade ca partícula lançada verticalmcnte para que 
consiga encontrar a outra.
b) o tempo decorrido desde o instante dos lançamentos até o instante do 
encontro.
15. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um canhão colocado no alto de uma 
torre lança, horizontalmente, uma série de projéteis iguais, com velocidades 
diferentes. Desprezando todos os atritos, qual dos seguintes gráficos me­
lhor representa a distância (D) alcançada pelos projéteis em função do tempo 
(T) que os projeteis gastam para tocar o solo? Suponha que o solo também
0 0
16. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Duas bolinhas idênticas 
A c B partem, ao mesmo tempo, de uma certa altura II do solo. sendo A 
cm queda livre c B com uma velocidade V0, na direção horizontal. Pode­
mos afirmar que:
a) A chega primeiro ao solo.
b) B chega primeiro ao solo.
c) A ou B chega primeiro, dependendo da altura do lançamento.
d) A ou B chega primeiro, dependendo da velocidade inicial V0 de B.
e) as duas chegam juntas ao solo.
17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um avião voa à altura de 2 000 n , 
paralclamcntc ao solo horizontal, com velocidade constante. Ele deixa cair 
uma bomba que atinge o solo à distância de 1 000 m da vertical de lança­
mento inicial da bomba.
Desprezando a resistência do ar, a velocidade do avião é um valor mais 
próximo dc:
a) 50m/s. d) 2 000 m/s.
b) 150 m/s. e) 4 000 m/s.
c) 250 m/s.
18. PUC (SÀÜ PAULO) — Do alto dc uma torre são lançados, no mesmo 
instante, dois corpos A e B. com velocidades iniciais iguais c inclinações 
distintas <I>A = 30° e <J>„ ~ 45°. Observa-se que ambos atingem o solo (su­
posto horizontal) no mesmo ponto. Desprezando a resistência do ar, pode­
mos afirmar que a relação entre os tempos de queda tA/tH, respectivamente 
dos corpos A c B. vale:
a) 1.
b) VT
c) VT.
d)
el
v *
V3 '
x L
v ? ■
Este enunciado refere-se aos testes 19 e 20.
O esquema representa uma correia que transporta minério, lançando-o no 
recipiente R.
A velocidade da correia é constante e a aceleração da gravidade, 10 m/s2.
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19. PUC (SÃO PAULO) — Para que todo minério caia dentro do recipiente, 
a velocidade V da correia, dada em m/s, deve satisfazer à desigualdade:
a) 2 < V < 3.
b) 2 < V < 5.
c) 1 < V < 3.
d) I < V < 4.
e) 1 < V < 5.
20. PUC (SÃO PAULO) — Se for aumentado o desnível entre a correia trans­
portadora e o recipiente R. o intervalo de variação das velocidades limites, 
para que todo minério caia em R
a) permanece o mesmo, assim como os valores das velocidades limites.
b) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades limites aumentam.
c) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades limites diminuem.
d) aumenta,
c) diminui.
21. PUC (CAMPINAS) — Um avião, em vôo horizontal, a SOOOm de altura, 
está bombardeando um destróier parado. A velocidade do avião é de 
504 km/ h. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso de­
pois de uma bomba ter sido lançada?
a) 30 s
b) 40 s
c) 50 s
d)20 s
e) n.d.a.
1. b 2. d 3. b 4. c 5. b 6. a 
7. d 8. c 9. e 10. d
11. D — 2 000 V3 rn
12. a
13. V0 = 20 m/s: a = B0’.
14. a) 3 v3m /s ; 
b) 20 s.
15. e 16. e 17. a 18. d 
19. d 20. e 21. b