Apostila GA parte 1

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Bacharelado em Engenharia Agrícola 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear – Profª Bruna Larissa Cecco – 2019/2 
 
 
VETORES
1
 
 
Tratamento Geométrico 
a) Grandezas escalares: aquelas que ficam totalmente definidas por apenas um número real, 
seguidas de uma unidade adequada. Ex: área, comprimento, temperatura. 
b) Grandezas vetoriais: além de conhecer seu módulo (comprimento ou intensidade), precisamos 
conhecer sua direção e sentido. Ex: força, velocidade. 
A figura abaixo exemplifica: 
 
 
 
A figura (a) apresenta três retas. A reta r1 determina uma direção; a reta r2 determina outra 
direção e a reta r3 possui a mesma direção da reta r1, já que ambas são paralelas. Assim, a noção de 
direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas, ou seja, retas paralelas tem a 
mesma direção. 
Na figura (b), a direção é definida pela reta que passa por A e B. Deste modo, o deslocamento 
de uma pessoa nessa direção pode se dar de duas maneiras: no sentido de A para B, ou no sentido 
de B para A. Assim, a cada direção pode-se associar dois sentidos. Importante lembrar que só 
podemos falar em sentidos iguais ou contrários quando falamos da mesma direção. 
 
Um vetor é representado por um segmento orientado (um segmento está orientado quando 
nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo). 
Indicamos um vetor por uma letra minúscula e uma flecha sobre, como por exemplo, o vetor 
 ⃗. O vetor ⃗ também pode ser representado por ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , onde é a origem e é a 
extremidade do segmento. 
 
1
 Apostila elaborada a partir das referências disponibilizadas no plano de ensino. 
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Dois ou mais segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo 
comprimento de são representantes de um mesmo vetor. 
 
Casos particulares de vetores 
a) Dois vetores ⃗⃗ e ⃗ são paralelos e indica-se ⃗⃗ ⃗, se os seus representantes tiverem a mesma 
direção, independente de seus sentidos. Na figura seguinte ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗, ⃗⃗ e ⃗ têm o mesmo sentido, 
enquanto ⃗⃗ e ⃗⃗⃗ têm sentidos opostos. 
 
b) Dois vetores ⃗⃗ e ⃗ são iguais e indica-se ⃗⃗ ⃗ se tiverem módulo, direção e sentido iguais. 
 
c) A cada vetor não-nulo ⃗ corresponde um vetor oposto – ⃗, de mesmo 
módulo e mesma direção de ⃗, porém de sentido contrário. Se ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 
o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é o oposto de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , isto é, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
d) Um vetor ⃗⃗ é unitário se | ⃗⃗| . A cada vetor ⃗, não nulo, é possível associar dois vetores 
unitários de mesma direção de ⃗: ⃗⃗ e ⃗⃗. O vetor ⃗⃗ tem o mesmo sentido de ⃗ é chamado de versor 
de ⃗. Na verdade, o vetor ⃗⃗ não é versor só de ⃗, mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo 
sentido de ⃗ e medidos com a mesma unidade. 
 
e) Dois vetores ⃗⃗ e ⃗ são ortogonais e indica-se por ⃗⃗ ⃗, se 
algum representante de ⃗⃗ formar ângulo reto com algum 
representante de ⃗. 
 
f) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão 
representados. É importante observar que dois vetores ⃗⃗ e ⃗ quaisquer são sempre coplanares, pois 
basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de ⃗⃗ e ⃗ 
pertencendo ao plano que passa por aquele ponto. 
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Exemplo 
1- A figura seguinte é constituída por nove quadrados congruentes. Decida se é verdadeira 
ou falsa cada uma das afirmações. 
 
 
 
Operações com vetores 
 Adição 
Sejam ⃗⃗ e ⃗ vetores quaisquer. Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos 
um segmento orientado AB representante do vetor ⃗⃗. Utilizamos a extremidade B para traçar o 
segmento orientado BC representante de ⃗. O vetor representado pelo segmento orientado de 
origem A e extremidade C é por definição a soma de ⃗⃗ e ⃗. 
 
Se ⃗⃗ ⃗, a maneira de se obter ⃗⃗ ⃗ está ilustrada na figura abaixo: 
 
 
No caso de os vetores não serem paralelos, podemos encontrar o vetor soma de uma outra 
forma. Representam-se ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ por segmentos orientados de mesma origem A. 
Completa-se o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de 
origem A, que corresponde a diagonal do paralelogramo é o vetor 
soma. 
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Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é 
análogo e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem 
do representante do primeiro, a soma deles será o vetor zero. 
 
Propriedades 
Sejam ⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ vetores quaisquer. Então, são válidas as propriedades seguintes: 
 Comutativa: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 Associativa: ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) 
 Elemento neutro: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 Elemento oposto: ⃗⃗ ( ⃗⃗) 
 
Exemplos 
2- Com base na figura do exemplo 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A. 
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
b) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
e) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
f) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
g) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
h) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
3- Dados dois vetores ⃗⃗ e ⃗ não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
4- Dados os vetores ⃗⃗ e ⃗ da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: 
a) ⃗⃗ ⃗ 
b) ⃗ ⃗⃗ 
c) ⃗ ⃗⃗ 
d) ⃗⃗ ⃗ 
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Multiplicação de número real (escalar) por vetor 
Dado um vetor não nulo ⃗ e um número real , chama-se produto do 
número real pelo vetor ⃗, o vetor ⃗ tal que: 
 
Módulo: | ⃗| | || ⃗|, isto é, o comprimento de ⃗ é igual ao comprimento de ⃗ 
multiplicado por | |. 
Direção: ⃗ é paralelo a ⃗. 
Sentido: ⃗ tem o mesmo sentido se , e contrário se . Se ou ⃗ , então 
 ⃗ ⃗⃗. 
 
Obs: O vetor unitário 
 ⃗⃗
| ⃗⃗|
 de mesmo sentido de ⃗ é o versor de ⃗. Por exemplo: 
 Se | ⃗| , o versor de ⃗ é 
 ⃗⃗
 
. 
 Se | ⃗| 
 
 
, o versor de ⃗ é ⃗. 
 
 
Ângulo de dois vetores 
Define-se ângulo entre os vetores não nulos ⃗⃗ e ⃗ como o ângulo 
formado por duas semi-retas AO e OB de mesma origem O, sendo ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ e . 
 
 
Se os vetores ⃗⃗ e ⃗ são paralelos com mesmo sentido, então . Se ⃗⃗ e ⃗ são paralelos, 
mas tem sentidos opostos, . 
 
 
 
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5- Sabendo que o ângulo entre os vetores ⃗⃗ e ⃗ é de 60°, determine o ângulo formado 
pelos vetores: 
a) ⃗⃗ e ⃗ c) – ⃗⃗ e ⃗ 
b) ⃗ e ⃗⃗ d) ⃗⃗ e ⃗ 
 
 
 
6- Sejam A, B e C vértices de um triângulo qualquer e M, N e P pontos médios dos lados AB, 
BC e CA, respectivamente. Exprima ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ em função de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
Tratamento Algébrico 
 
 Vetores no plano 
Dados dois vetores quaisquer ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗, não paralelos, para cada vetor ⃗ representado no 
mesmo plano de ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗, existe um único par de números reais e , de modo que: 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 
Onde ⃗ é combinação linear dos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗. O conjunto * ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗+ é chamado base no 
plano. 
 
 
Quaisquer dois vetores não-paralelos constitui uma base no plano. Uma base é dita 
ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários. Vamos estudar os vetores cuja 
base no plano seja ortonormal. Dentre tantas bases ortonormais no plano, uma das mais 
importantes é a base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal . Os vetores 
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ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por ⃗ e ⃗, ambos com origem em 
O e extremidades em ( ) e ( ), respectivamente, sendo a base ( ⃗ ⃗) chamada 
canônica. Portanto ⃗ ( ) e ⃗ ( ). 
 
Dado um vetor ⃗ qualquer do plano, existe um único par de números e , tal que 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Os números e são denominados componentes de ⃗ na base canônica, sendo a 
abscissa de ⃗ e a ordenada de ⃗. 
 
 
Assim, o vetor ⃗ definido será também representado por 
 ⃗ ( ) 
não sendo necessário identificar a base canônica. 
Portanto, diz-se que um vetor no plano é um par ordenado ( ) de números reais. 
Este par ordenado é a expressão analítica do vetor ⃗. 
 
Exemplo 
7- De a representação analítica dos seguintes vetores: 
a) ⃗ ⃗ c) ⃗ e) 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
b) ⃗ d) ⃗⃗ f) ⃗ ⃗ 
 
 
 
 
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Igualdade de vetores 
Dois vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) são iguais se, e somente se, e 
 , escrevendo-se ⃗⃗ ⃗. 
 
8- Determine os valores de e , sabendo que o vetor ⃗⃗ ( ) é igual ao ⃗ 
( ). 
 
 
 
 
Operações com vetores 
Dados dois vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) e , pode-se definir a soma de 
vetores e a multiplicação de escalar por vetor, da forma: 
a) ⃗⃗ ⃗ ( ) 
b) ⃗⃗ ( ) 
 
Propriedades 
Para quaisquer vetores ⃗⃗, ⃗ e ⃗⃗⃗ e e números reais, valem as seguintes propriedades: 
1. ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
2. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
3. ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) 
4. ⃗⃗ ( ⃗⃗) 
5. ( ⃗⃗) ( ) ⃗⃗ 
6. ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗ ⃗ 
7. ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
8. ⃗ ⃗ 
 
Exemplos 
9- Dados dois vetores ⃗⃗ ( )e ⃗ ( ), determine ⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10- Determinar o vetor ⃗ na igualdade ⃗ ⃗⃗ 
 
 
 ⃗ ⃗, sendo ⃗⃗ ( ) e 
 ⃗ ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
11- Encontrar os número e , tais que ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, com ⃗ ( ), ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) e 
 ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor definido por dois pontos 
Um vetor pode ser representado por dois pontos. Assim, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é um vetor de origem 
 ( ) e extremidade ( ), então tem-se que: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Lembrando... 
 Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo sentido. No entanto, o vetor que melhor o caracteriza 
é aquele que tem origem em ( ) e extremidade em ( ). 
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 O vetor ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ é também chamado vetor posição ou representante natural de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
Exemplos 
12- Dados os pontos ( ) ( ) ( ), determinar o ponto de modo que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
13- Sendo ( ) e ( ) extremidades de um segmento, determinar os pontos e que 
dividem em três segmentos de mesmo comprimento. 
 
 
 
 
 
 
14- Sendo ( ) e ( ) vértices consecutivos de um paralelogramo e ( ) o 
ponto de intersecção das diagonais, determinar os vértices e . 
 
 
 
 
 
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Paralelismo 
Sejam dois vetores quaisquer ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ). Diz-se que ⃗⃗ e ⃗ são 
paralelos se existe tal que ⃗⃗ ⃗, isto é: 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto Médio 
Se ( ) e ( ) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio de 
 é 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
Módulo de um vetor 
Seja o vetor ⃗⃗ ( ), o módulo desse vetor é dado por: 
| ⃗⃗| √ 
 
15- Se ⃗ ( ), calcule | ⃗|. 
 
 
 
Distância entre dois pontos 
Sejam ( ) e ( ) dois pontos do plano. A distância entre e é o 
comprimento do vetor, definido por: 
 ( ) | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | √( ) ( ) 
 
16- Dados os pontos ( ) e ( ) e os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ), 
determine: 
a) | ⃗⃗| b)| ⃗⃗ ⃗| c) | ⃗⃗ ⃗| d) a distância entre os pontos e 
 
 
 
 
 
 
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17- Determinar no eixo , um ponto que seja equidistante dos pontos ( ) 
e ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
18- Dado o vetor ⃗ ( ), achar o vetor paralelo a ⃗ que tenha: 
a) o mesmo sentido de ⃗ e 3 vezes o módulo de ⃗ 
b) sentido contrário ao de ⃗ e a metade do módulo de ⃗ 
c) o mesmo sentido de ⃗ e módulo 4 
d) sentido contrário ao de ⃗ e módulo 2 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1- Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ⃗ ( ), sabendo que 
sua origem é o ponto ( ). 
 
2- Dados os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( 
 
 
 ), verificar se existem números e tais que 
 ⃗⃗ ⃗ e ⃗ ⃗⃗. 
 
3- Dados os pontos ( ), ( ) e ( ), determinar tal que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
4- Encontrar o vértice oposto a , no paralelogramo , para ( ) , ( ) e 
 ( ). 
Respostas: 1- ( ) 2- 
 
 
 e 
 
 
 3- ( ) 4- ( ) 
 
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Vetores no espaço 
Vimos em vetores no plano que a base canônica * ⃗ ⃗+ no plano determina o 
sistema cartesiano ortogonal e que a um ponto ( ) qualquer desse plano corresponde 
o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗, isto é, as próprias coordenadas e do ponto são as componentes 
do vetor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ na base canônica. 
No espaço, de forma análoga, consideraremos { ⃗ ⃗ ⃗⃗} como aquela que irá determinar 
o sistema cartesiano ortogonal , onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais 
estão representados com origem no ponto . Este ponto e a direção de cada um dos vetores da 
base determinamos três eixos cartesianos: o eixo ou eixo dos (das abscissas) 
correspondente ao vetor ⃗, o eixo ou eixo dos (das ordenadas) corresponde ao vetor ⃗ e o 
eixo ou eixo dos (das cotas) corresponde o vetor ⃗⃗. As setas indicam o sentido positivo 
de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. 
 
 
Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina 
um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano , o plano e 
o plano . 
 
 
Localização de um ponto no espaço 
Assim como no plano, a cada ponto ( ) do espaço irá corresponder o vetor 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, isto é, as próprias coordenadas e do ponto são as componentes 
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do vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ na base canônica. Estas coordenadas são denominadas abscissa, 
ordenada e cota, respectivamente. 
 
O vetor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ também será expresso por ⃗ ( ) que é a expressão 
analítica de ⃗. 
 
Exemplos 
a) ⃗ ⃗ ⃗⃗ c) ⃗ ⃗⃗ 
b) ⃗ ⃗ d) ⃗⃗ 
 
É importante esclarecer os casos especiais 
dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos 
coordenados. 
Essa figura mostra que o eixo dos pode ser 
descrito como o conjunto dos pontos do tipo 
( ), ou seja, daqueles que têm e , 
enquanto que o plano como o conjunto dos 
pontos do tipo ( ), ou seja, daqueles que tem 
 . 
Para marcar um ponto no espaço, por exemplo, A(3,-2,4), procede-se da seguinte 
forma: 
 Marca-se o ponto ( ) no plano 
 Desloca-se paralelamente ao eixo dos , 4 unidades para cima (se fosse -4, seriam 4 
unidades para baixo) para obter o ponto . 
 
 
 
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Igualdade de vetores 
Dois vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) são iguais se, e somente se, 
 e e , escrevendo-se ⃗⃗ ⃗. 
 
Exemplo 
1- O vetor ⃗⃗ ( ) é igual ao vetor ⃗ ( ) para quais valores de , 
e ? 
 
 
 
 
Operações com vetores 
Dados os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) e , define-se: 
a) ⃗⃗ ⃗ ( ) 
b) ⃗⃗ ( ) 
 
Portanto, no plano, para somar dois vetores no espaço, somam-se as coordenadas 
correspondentes, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada 
componente do vetor por este número. 
 
Exemplo 
2- Dados dois vetores ⃗⃗ ( )e ⃗ ( ), determine ⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor definido por dois pontos 
Se ( ) e ( ) são dois pontos quaisquer no espaço, então: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ) 
 
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Exemplos 
3- Dados os pontos ( ) e ( ) e os vetores ⃗⃗ ( ), ⃗ 
( ) e ⃗⃗⃗ ( ), verificar se existem os números , e tais que ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Encontrar o vértice oposto a no paralelogramo , sendo dados ( ), 
 ( ) e ( ). 
 
 
 
 
Ponto Médio 
Se ( ) e ( ) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio 
 de é 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
5- O ponto médio do segmento de extremos ( ) e ( ) é dado por 
 
 
 
 
 
Paralelismo de dois vetores 
Sejam os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) paralelos, então: 
 ⃗⃗ ⃗ ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6- Sabendo que o ponto ( ) pertence à reta que passa pelos pontos 
 ( ) e ( ), determine e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Determinar os valores de e para que sejam paralelos os vetores ⃗⃗ ( ) e 
 ⃗ ( ). 
 
 
 
 
 
 
Módulo de um vetor 
O módulo do vetor ⃗⃗ ( ) é dado por: 
| ⃗⃗| √ 
 
8- Seja o triângulo de vértices ( ), ( ) e ( ). Calcular o 
comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTO ESCALAR 
Chama-se produto escalar de dois vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗⃗, e se representa por ⃗⃗ ⃗, ao número real 
 ⃗⃗ ⃗ 
 
Exemplo 
1- Dados ⃗⃗ e ⃗, encontre ⃗⃗ ⃗: 
a) ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) 
b) ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) 
c) ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) 
 
Propriedades 
Para quaisquer ⃗⃗, ⃗ e ⃗⃗⃗ e o número real , tem-se: 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 ( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗⃗) ⃗ ⃗⃗ ( ⃗) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ se ⃗⃗ e ⃗⃗ ⃗⃗ se ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| 
 
Exemplos 
2- Dados os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) e os pontos ( ) e ( ), 
determine tal que ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) . 
 
 
 
 
 
3- Sendo | ⃗⃗| , | ⃗| e ⃗⃗ ⃗ , calcule ( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗⃗ ⃗) 
 
 
 
 
 
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4- Mostre que | ⃗⃗ ⃗| | ⃗⃗| ⃗⃗ ⃗ | ⃗| 
 
 
 
 
 
De forma análoga, temos que | ⃗⃗ ⃗| | ⃗⃗| ⃗⃗ ⃗ | ⃗| 
 
5- Prove que ( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗⃗ ⃗) | ⃗⃗| | ⃗| 
 
 
 
 
 
Definição geométrica de Produto escalar: Cálculo do ângulo de dois vetores 
 
Se ⃗⃗ e ⃗ são vetores não-nulos e o ângulo entre eles, então: 
 ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗|| ⃗| ou 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗⃗|| ⃗⃗|
 
O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo 
cosseno do ângulo formado por eles. 
 
Exemplos 
6- Sendo | ⃗⃗| , | ⃗| e 120° o ângulo entre ⃗⃗ e ⃗, calcule: 
a) ⃗⃗ ⃗ b) | ⃗⃗ ⃗| c) | ⃗⃗ ⃗| 
 
 
 
 
 
7- Calcular o ângulo entre os vetores ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ). 
 
 
 
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Quanto ao ângulo entre os vetores, este poderá ser agudo, obtuso ou reto. 
a) ⃗⃗ ⃗ 
b) ⃗⃗ ⃗ 
c) ⃗⃗ ⃗ 
 
 
Essa última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores: 
 
 
8- Mostre que os seguintes pares de vetores são ortogonais: 
a) ⃗⃗ ( ) e ⃗ ( ) b) ⃗ e ⃗ 
 
 
 
9- Prove que o triângulo de vértices ( ), ( ) e ( ) é um triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- Determine os ângulos internos do triângulo , sendo ( ), ( ) e 
 ( ). 
 
 
 
 
Dois vetores �⃗⃗� e �⃗� são ortogonais se, e somente se, �⃗⃗� �⃗� 
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11- Sabendo que o vetor ⃗ ( ) forma um ângulo de com o vetor 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelos pontos ( ) e ( ), calcule . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor 
Seja o vetor ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ não nulo. Ângulos diretores de ⃗ são os ângulos , e 
 que ⃗ forma com os vetores ⃗, ⃗ e ⃗⃗, respectivamente. 
Cossenos diretores de ⃗ são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, , 
e . 
 
 ⃗ ⃗
| ⃗|| ⃗|
 
( ) ( )
| ⃗| 
 
 
| ⃗|
 
 
 ⃗ ⃗
| ⃗|| ⃗|
 
( ) ( )
| ⃗| 
 
 
| ⃗|
 
 
 ⃗ ⃗⃗
| ⃗|| ⃗⃗|
 
( ) ( )
| ⃗| 
 
 
| ⃗|
 
Obs: Os cossenos diretores são as componentes do versor de ⃗, assim, como o versor é 
unitário segue que: 
 
 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear – Profª Bruna Larissa Cecco – 2019/2 
 
 
Exemplos 
12- Calcule os ângulos diretores de ⃗ ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
13- Um vetor ⃗ do espaço forma com os vetores ⃗ e ⃗ ângulos de e , respectivamente. 
Determinar o vetor ⃗, sabendo que | ⃗| . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14- Obter o vetor ⃗, sabendo que | ⃗| , ⃗ é ortogonal ao eixo , forma um ângulo de 
com o vetor ⃗ e ângulo obtuso com ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTO VETORIAL 
Chama-se produto vetorial de dois vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗, tomados nessa ordem, e se representa por ⃗⃗ ⃗, ao vetor 
 
 ⃗⃗ ⃗ |
 
 
| ⃗ |
 
 
| ⃗ |
 
 
| ⃗⃗ 
ou 
 ⃗⃗ ⃗ |
 ⃗ ⃗ ⃗⃗
 
 
| 
 
Exemplo 
1- Calcular ⃗⃗ ⃗ com ⃗⃗ ( ) e ⃗ ⃗ ⃗⃗. 
 
 
 
 
 
Observações 
1) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 2) ⃗⃗ ⃗ se, e somente se, ⃗⃗ ⃗, pois neste caso, todos os determinantes têm suas 
linhas constituídas por elementos proporcionais. 
 
Características de ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
Direção 
 
Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o 
produto escalar deles é zero, temos que: 
( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗ e ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ 
 
O vetor ⃗ ⃗⃗ tem a mesma direção de ⃗⃗ ⃗, apenas seus sentidos são opostos. 
 
 
O vetor �⃗⃗� �⃗� é simultaneamente ortogonal a �⃗⃗� e �⃗�. 
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Comprimento de ⃗⃗ ⃗ 
Se é o ângulo entre os vetores ⃗⃗ e ⃗ não nulos, então 
 
 
Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial 
 Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores ⃗⃗ e ⃗ mede a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado pode ser expresso por: a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
 ⃗⃗ e ⃗ é numericamente igual ao comprimento do vetor vetores ⃗⃗ ⃗. 
 
2- Tomando os vetores ⃗⃗ ⃗ e ⃗ ⃗, temos que: 
 
 
 
 
 
 
3- Determinar o vetor ⃗, tal que ⃗ seja ortogonal ao eixo dos e ⃗⃗ ⃗ ⃗, sendo ⃗⃗ 
( ) e ⃗ ( ). 
 
 
|�⃗⃗� 𝑥 �⃗�| |�⃗⃗�||�⃗�| en 𝜃 
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PRODUTO MISTO 
Chama-se produto misto dos vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, tomados nessa ordem, ao número real ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗). O produto 
misto de ⃗⃗, ⃗ e ⃗⃗⃗ também é indicado por ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗). 
 
 ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗⃗) |
 
 
 
| 
Exemplos 
1- Calcule o produto misto dos vetores ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗⃗. 
 
 
 
 
 
Propriedade 
 
 
2- Verificar se são coplanares os vetores ⃗⃗ ( ), ⃗ ( ) e ⃗⃗⃗ ( ). 
 
 
 
 
3- Qual deve ser o valor de para que os vetores ⃗⃗ ( ), ⃗ ( ) e ⃗⃗⃗ 
( ) sejam coplanares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se �⃗⃗�, �⃗� e �⃗⃗⃗� são coplanares se, e somente se, (�⃗⃗� �⃗� �⃗⃗⃗�) 
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4- Verificar se os pontos ( ), ( ), ( ) e ( ) estão no 
mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação Geométrica do módulo do produto misto 
Geometricamente, três vetores não coplanares representam as arestas de um 
paralelepípedo. 
Sabe-se da geometria que o volume do 
paralelepípedo é o produto da área da base pela altura, 
assim: 
 
 
 
Portanto, 
 |( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗)| 
 
Volume do Tetraedro 
 
 
 
|( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗)| 
 
5- Sejam os vetores ⃗⃗ ( ), ⃗ ( ) e ⃗⃗⃗ ( ). Calcular o valor de 
para que o volume do paralelepípedo determinado por ⃗⃗, ⃗ e ⃗⃗⃗ seja unidades de volume. 
 
 
6- Sejam ( ), ( ), ( ) e ( ) vértices de um tetraedro. Calcular: 
a) o volume deste tetraedro 
b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D