OS QUATRO ELEMENTOS DA NATUREZA E A MATEMÁTICA

Prévia do material em texto

OS QUATRO ELEMENTOS DA 
NATUREZA E A MATEMÁTICA
Prof. Pedro Luiz Malagutti
Dep. de Matemática
UFSCar
O FOGO
Como derivar ½ 
vez uma função 
descontínua
A TERRA 
Como Euclides 
ajudou os 
aliados na 
Segunda Guerra
A ÁGUA
Computadores
movidos a água
O AR
Do sopro da 
vida ao DNA
Objetivos 
Este mini-curso pretende salientar pedagogicamente as conexões 
do início da filosofia da natureza com algumas recentes 
descobertas matemáticas. A justificativa para isto é muito simples: 
se o homem passou no início da civilização por este ritual de 
“revelação científica”, que marcou tão profundamente nossa 
cultura, parece-nos muito salutar e natural colocar tais questões 
aos alunos, principalmente se ela puder ser abordada segundo 
uma perspectiva interdisciplinar.
O SILÊNCIO
Arnaldo Antunes / Carlinhos Brown
Antes de existir computador existia a tevê
antes de existir tevê existia luz elétrica 
antes de existir luz elétrica existia bicicleta 
antes de existir bicicleta existia enciclopédia 
antes de existir enciclopédia existia alfabeto 
antes de existir alfabeto existia a voz 
antes de existir a voz existia o silêncio 
o silêncio 
foi a primeira coisa que existiu 
o silêncio que ninguém ouviu 
astro pelo céu em movimento 
e o som do gelo derretendo
o barulho do cabelo em crescimento
e a música do vento e a matéria em
decomposição 
a barriga digerindo o pão 
explosão de semente sobre o chão 
diamante nascendo do carvão 
homem pedra planta bicho flor 
luz elétrica tevê computador 
batedeira liquidificador 
vamos ouvir esse silêncio meu amor 
amplificado no amplificador 
do estetoscópio do doutor 
no lado esquerdo do peito esse tambor 
A Mitologia
e a ira da natureza
Uma lenda afro-brasileira
Conta-se que Olorum (Deus), encontrou Iemanjá (Rainha das águas) em seu trono e ficou 
muito bravo. Para castigá-la, Olorum determinou que Iemanjá fosse habitar o planeta Terra. 
Iemanjá levou consigo suas porções de água (os 7 mares) afim de acomodá-los nos sete vales 
do planeta, mas como não havia espaço suficiente, o planeta acabou inundando. Preocupada, 
ela pediu ajuda a Ogum - o trabalho físico na terra. Ela pediu que Ogum cavasse a terra para 
que suas águas se acomodassem. Descuidadamente Ogum abriu uma fenda profunda no solo, 
atingindo o reino de Obaluaiê (o fogo geológico - subterrâneo). Obaluaiê se sentiu ofendido por 
seu reino ter sido inundado e reagiu com um terremoto que abalou a Terra enrrugando-a. 
Assim se formaram os continentes, os vales e as montanhas. Iemanjá representa também a 
fertilidade, a vida que vem da água. Xangô e toda a sua genealogia do fogo, aqueceu a terra 
criando condições de vida. O fogo aqueceu a água que se evaporou, formando o ar que vem a 
ser Oxalá, aparecendo a seguir as florestas e a flora simbolizadas por Oxossi.
Água - Iemanjá Ar -Oxalá Terra -Obaluaiê Fogo - Xangô
Lunário perpétuo
Antônio Nóbrega
A origem da Ciência
• Os homens desejam por natureza o 
saber. Os homens começam e 
começaram sempre a filosofar 
movidos pelo espanto. (Metafísica de 
Aristóteles)
• Com o desenvolvimento da civilização 
e a formação de cidades, o homem 
sentiu-se mais protegido dos 
infortúnios da natureza; muitas 
questões filosóficas surgiram e estas 
não puderam mais ser respondidas 
através da mitologia. Nascia a Ciência. 
• A história da Filosofia costuma iniciar-
se com o reconhecimento da idéia de 
uma unidade primordial que gera 
dentro de si todos os seres. 
• Tales, Anaximandro e Anaxímenes 
da cidade de Mileto,
• Heráclito de Éfeso,
• Pitágoras (de Samos) e seus 
seguidores,
• Parmênides e Zenão de Eléia,
• Anaxágonas de Clazómena,
• Empédocles de Agrimento 
• Demócrito de Abdera.
Em que consiste o elemento, se é que ele
existe, do qual se originam as coisas que
existem na natureza? 
Como ocorre a transformação dos seres,
o vir e o devir das coisas? 
Tales e a água
Tales foi um mercador, engenheiro e
astrônomo que acreditava que a substância básica
da qual todas as outras são formadas era a água;
esta crença muito provavelmente deveu-se às
propriedades físicas e químicas peculiares da água
sem as quais não haveria a vida, como também às
suas viagens maritmas, principalmente ao Egito.
É considerado o fundador da filosofia cosmológica e
sua grande contribuição para a Matemática reside
no fato de que as verdades, mesmo que evidentes,
devem ser provadas. 
Cosmogonias e Cosmologias
• Aximandro e o ápeiron
• O caos
• Anaxímenes e o ar
Fogo
Ar
Água
SecoQuente
Frio Úmido
Terra
A transformação da matéria
• Heráclito, “o obscuro”
Não podemos entrar duas vezes no
mesmo rio, dizia, pois da 
segunda vez tanto o rio como nós,
mudamos.
• Parmênides
O ser é imutável e ao mesmo tempo
eterno, pois se o ser pudesse se
transformar, deixaria de ser o que é, 
sendo assim um não-ser, e se tornaria
novamente um ser
Percepção x Razão
Zenão e seus paradoxos
• Aquiles e a tartaruga
• Divisibilidade do 
tempo
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
Pitágoras
Pitágoras foi uma figura lendária, fundador de uma 
sociedade secreta de cunho religioso, voltada ao 
estudo da Filosofia, tendo a Matemática como via de 
salvação. 
A cosmologia pitagórica vê o universo formado por 
unidades indivisíveis, separadas por intervalos 
resultante da respiração do universo vivo. As 
unidades indivisíveis seriam os números, que 
formariam assim a alma de tudo o que existe. 
Para os pitagóricos os quatro qualidades – quente, frio, 
úmido e seco - são apenas manifestações das 
combinações ou dissociações dos números.
A descoberta pelos pitagóricos da existência de números 
irracionais provocou uma profunda crise em sua 
sociedade e, muito provavelmente por causa disto, 
passaram a estudar os aspectos geométricos, em 
detrimento aos aspectos mais algébricos, da 
Matemática.
A primeira coisa que todo 
matemático deveria saber
A medida da diagonal do quadrado de lado 1 não é racional
A medida da diagonal d do quadrado elevada ao quadrado deve ser igual
a 2, devido ao Teorema de Pitágoras. Se, raciocinando por absurdo, d
fosse a divisão de dois inteiros, poderíamos cancelar os fatores comuns
do numerador e do denominador nesta divisão e obter uma fração
equivalente irredutível, ou seja
e como o quadrado de p é par, p deve ser par. Mas a última equação nos
diz que q também deve ser par, pelo mesmo motivo anterior. Isto é uma
contradição pois mdc(p,q) = 1.
222 22.1),(,0, qpdComoqpmdcq
q
p
d =⇒==≠=
Pluralismo
Demócrito foi o pai da teoria que coloca os átomos como 
formadores do universo. Eles eram, para ele, partículas 
indivisíveis e minúsculas que se achavam em constante 
movimento. O vácuo entre os átomos, para Demócrito, 
teria existência real. 
Anaxágoras acreditava que no princípio havia um magma em 
que tudo estava misturado e que existia uma força 
inteligente ou um motor cósmico, separada do magma, 
que provocaria neste um movimento - como um turbilhão -
separando o denso e o rarefeito, o frio e o quente, o úmido 
e o seco, a luminosidade da escuridão. 
Empédocles acreditava na pluralidade; defendia que o 
universo era composto pelos seguintes quatro elementos 
básicos: ar, água, fogo e terra e que a qualidade de 
nenhum deles seria preponderante sobre os outros. As 
coisas existentes seriam o resultado da mistura desses 
quatro elementos. 
O que ocorre 
com a madeira 
queimando? A 
água é o que faz 
a madeira 
crepitar e estalar. 
A fumaça é
devido ao ar, o 
fogo é o que 
vemos e as 
cinzas são a 
terra.
A Filosofia centrada no homem
Com o desenvolvimento das cidades-estado na Grécia Antiga e 
a participação dos homens livres nas decisões políticas, as 
preocupações filosóficas passaram então a focalizar o 
homem enquanto ser político e social, colocando de lado 
as questões principais da filosofia pré-socrática acerca da 
natureza e da essência do universo. 
Os sofistas
Paradoxo sofista do cavalo bom e barato
Tudo o que é raro é caro.Um cavalo bom e barato é raro.
Logo um cavalo bom e barato é caro.
Sócrates – mais sábio de todos os 
homens
Sócrates usava o diálogo como forma de argumentação filosófica, levando seu 
interlocutor, muitas vezes ironicamente, à descoberta e consciência de verdades 
encravadas em sua própria alma. A ética, a moral e a busca pelo bem em 
sociedade foram os legados deste admirável pensador. Foi acusado e condenado 
por incitar e rebelar os jovens de sua época e morreu envenenado para não trair 
seus ideais.
Platão
• Platão foi discípulo de Sócrates e herdou as 
preocupações morais de seu mestre. 
• Platão fundou em Atenas uma academia que 
durou mais de nove séculos, agregando 
importantes filósofos, matemáticos e 
astrônomos e contribuindo significativamente 
para a Filosofia da Ciência. 
• Platão priorizava a razão sobre a sensação; 
todas as ciências deveriam ser
matematizadas em detrimento de uma 
abordagem experimental. 
• Existiria um mundo ideal, separado do 
mundo sensível e acessível apenas pela 
razão; segundo Platão somente o raciocínio 
permite-nos adentrar no mundo ideal afim de 
atingir o verdadeiro conhecimento.
fogo ar
água terra
universo
Aristóteles
Foi discípulo de Platão e professor de Alexandre, o Grande.
A filosofia nasce do espanto admirativo que os seres
humanos têm diante de uma situação problemática, mas
não é um impulso espontâneo, sendo causada por uma
aporia, isto é uma dificuldade insolúvel para o pensador.
Aristóteles desenvolveu um sistema filosófico próprio, em
que a essência do que existe é obtida pela razão aplicada
aos dados fornecidos pelos sentidos, colocando o
conhecimento da verdade como uma abstração da natureza. 
Foi um organizador; nas ciências naturais classificou os seres
(animados e inanimados).
Fundou a Lógica estudando a estrutura dos silogismos, dentre
outras inúmeras contribuições.
Silogismo aristotélico atual
Se a propaganda é a alma do 
negócio e sexo é a alma da 
propaganda, então sexo é a 
alma do negócio.
Aristóteles e os quatro elementos
Aristóteles estudou e comentou os trabalhos dos filósofos anteriores a ele. Analisando 
os princípios substanciais que constituem o universo, ele discerniu três grupos de idéias: 
– as que defendiam os elementos materiais como formadores do mundo físico 
– as que colocavam o princípio fundamental como imaterial 
– o concreto, os seres em sua individualidade (visão do homem comum). 
Introduziu as idéias de matéria e forma. 
Quando a matéria recebe a forma ela se organiza nos quatro elementos 
perceptíveis: quente, seco, frio e úmido, ou seja, a matéria dos seres físicos é aquela que 
recebeu a forma dos quatro elementos: fogo, terra, ar e água. Todas as substâncias 
naturais seriam assim combinações desses elementos em proporções variadas. 
Quanto à transformação da matéria, ele introduziu os conceitos de potência
(possibilidades latentes da matéria) e ato (a realização da potência). Os movimentos 
naturais são apenas três:
para cima – próprio dos corpos leves, como o fogo e o ar
para baixo – próprio dos corpos pesados, como a terra e a água
circular – próprio dos astros celestes.
O quinto elemento – o éter ou a quinta-essência. O universo seria ordenado do 
seguinte modo: o centro do mundo é a terra, depois vem a água, depois o ar, a seguir o fogo 
e finalmente as esferas de éter. 
O período helenístico
• Alexandria
• Euclides e Arquimedes
• A SEGUNDA COISA QUE TODO MATEMÁTICO DEVERIA SABER
Provar que existem infinitos números primos
• Dado um número natural n, a seqüência de números naturais que se inicia 
em n e termina em n!+1, deve conter pelo menos um número primo. 
De fato, se dividirmos n!+1 por qualquer número entre 2 e n inclusive, 
sempre teremos resto 1, pois n! contém todos esses números como 
fatores. Agora, todo número maior do que 1 tem um divisor maior do que 1, 
pois o próprio número é um divisor de si mesmo. Existe portanto um 
menor número que é divisor de n!+1 e ele deve ser entre n e n!+1 
(contando-se o extremo superior). Este número tem que ser primo, porque 
se ele tivesse um divisor menor do que ele e diferente de 1, este divisor 
também dividiria n!+1 e seria menor do que o menor divisor, o que é um 
absurdo. Logo ele deve ser primo e assim provamos que entre n e n!+1
sempre existe um número primo. Como n é qualquer, existem infinitos 
números primos.
Império Romano
• O declínio da civilização grega foi 
provocada e seguida pelo 
Império Romano. A cultura grega 
foi incorporada à romana e 
muitos dos ideais filosóficos 
gregos foram retomados por 
pensadores do novo império.
• Herão
• O Cristianismo
O FOGO
Como usar o fogo para derivar ½ vez uma função descontínua?
TEOREMA: Toda função derivável é contínua.
Demonstr.:
Logo, é impossível derivar uma função descontínua.
O fogo e a Ciência
• A fúria da natureza
• A revolução agrícola e 
a idade dos metais
Fogo – mitos e primeiros usos
• O fogo e as religiões
• O mito de Pandora
Zeus resolveu castigar Prometeu por este ter 
entregue aos homens o segredo do fogo. Para 
isto ordenou que os demais deuses criassem 
uma mulher com todos os dons, chamada
Pandora. Zeus entregou a ela uma caixa que 
deveria ser entregue a Prometeu, mas seu irmão 
Epimeteu, encantado com a beleza de Pandora
casou-se com ela e permitiu que a misteriosa 
caixa fosse aberta, liberando todos os males do 
mundo; quando ele tentou fechar a caixa, só
restou a Esperança. Zeus ordenou então que 
Prometeu fosse acorrentado a uma rocha e que 
uma águia devorasse seu fígado eternamente.
Relógios de fogo
• Relógios de corda
• Relógios de vela
• Despertador de fogo
Usos não recomendados do fogo
• Invenção da pólvora
• A Idade Média e o fogo
O fogo na Era das Explorações
Depoimento de nativos mexicanos:
No verão de 1520, estrangeiros brancos, os conquistadores 
de Cortés, chegaram ao mar do oriente em grandes 
embarcações. Eles montavam animais estranhos, falavam 
uma língua desconhecida e divertiam-se com armas que 
vomitavam estrondo e fumaça e que matavam a grande 
distância. 
Enquanto isso na Europa:
“O grande ímpeto dado à Matemática no século XVII foi 
partilhado por todas as atividades intelectuais e se deveu 
aos avanços políticos, econômicos e sociais da época... A 
atmosfera política mais favorável do norte da Europa e 
a superação geral da barreira do frio e da escuridão 
nos longos meses de inverno, com os progressos no 
aquecimento e na iluminação, correspondem 
provavelmente, em grande parte pelo deslocamento da 
atividade econômica no século XVII da Itália para a França 
e Inglaterra”.
A descoberta de uma poderosa 
ferramenta – o Cálculo
• Domínio da energia mecânica
• Estudos sobre a transmissão do 
calor
• Lei de Newton do resfriamento
Se duas placas paralelas com mesma área A
estiverem separadas por uma pequena distância
d, haverá passagem de calor da placa mais
quente para a mais fria. Denotando por u1 a
temperatura da primeira placa e por u2 a
temperatura da segunda, a quantidade de calor
que passa de uma placa a outra, por unidade de
tempo, é proporcional à área A, à diferença de
temperatura |u2 – u1| e inversamente proporcional
à separação d.
Newton (1642-1727) Leibniz (1646-1716)
d
A
A
A
u1
u2
A Equação do Calor 
• É uma equação obtida a partir da lei de 
conservação do calor
• Fluxo de Calor:
q(x,t) = - m. A. ux(x,t)
• u(x,t) é a temperatura no ponto x no instante t.
• ux(x,t) é a derivada de u com relação a x
• m é constante - depende do material.
• O sinal negativo aparece pois o calor difunde-
se do mais quente para o mais frio.
x = xo x = xo+ ∆x
∫ ∫∫
∆+ ∆+∆+
−∆+=∆+−=
tt
t
tt
t
oxoxo
tt
t
o
o
o
o
o
o
o
AdttxutxxumdttxxqdttxqQ )],(),([),(),(
A Equação do Calor
• O calor específico (c) de uma substância é a quantidade de calor 
necessária para elevar 1o.C a temperatura de um grama da 
substância.
• A densidade (razão entre massa e volume) da substância será
denotada por ρ.
∫ ∫
∆+ ∆+
=
tt
t
xx
x
t
o
o
o
o
AdxdttxcuQρ)),((
∫ ∫ ∫ ∫
∆+ ∆+ ∆+ ∆+
=
tt
t
xx
x
tt
t
xx
x
txx
o
o
o
o
o
o
o
o
dxdttxucdxdttxmu ),(),( ρ
0=− xxt kuu
TFC =>
Equação do calor
Equações parabólicas
• Equações de difusão
• Domínio da energia 
mecânica
• Revolução Industrial
• Os métodos de 
resolução só 
apareceram no início 
do século XIX
Jean Fourier (1768-1830)
Jean Fourier nasceu em Auxerre em 1768 e faleceu em Paris em 1830. 
Filho de um alfaiate, ficou órfão aos 8 anos de idade e foi educado numa 
escola militar dirigida por beneditinos, onde veio a ocupar a cadeira de 
matemática. Tendo ajudado a promover a Revolução Francesa, foi 
compensado por uma cátedra na Escola Politécnica. Renunciou a esta 
posição para, juntamente com Monge, poder acompanhar Napoleão na 
expedição ao Egito. Retornou à França em 1801, tornando-se prefeito de
Grenoble. Foi quando de sua estada em Grenoble que começou suas 
experiências com o calor.
Talvez como conseqüência de sua estadia no Egito e de seu trabalho 
envolvendo o calor, Fourier acabou se convencendo de que o deserto 
oferecia as condições ideais para uma boa saúde. Por isso vestia-se com 
várias camadas de roupas e aquecia a temperaturas insuportavelmente altas 
as dependências que habitava. Dizem alguns que essa sua obsessão pelo 
calor apressou sua morte, por doença cardíaca, aos 63 anos, cozido de fato. 
Um churrasco matemático
O método de separação de variáveis
u(x,t) = F(x) . G(t)
Substituindo na equação do calor
F(x) . G’(t) – k F’’(x) . G(t) = 0 ⇒
0 u(x,t)x L
0=− xxt kuu
0),0( =tu
0),( =tLu
)()0,( xfxu =
)(
)('1
)(
)(''
tG
tG
kxF
xF
=



=−
=−
0)()('
0)()(''
tGktG
xFxF
σ
σ
EDO’s
Soluções com dados nulos na 
fronteira
F(x) = c1 cos (λ x) + c2 sen (λx),
com c1 e c2 constantes reais e
Como F(0) = F(L) = 0, então c1 = 0 e c2 sen (λ L) = 0. Logo 
Portanto 
Com esse valor de σ, a segunda equação do sistema pode ser facilmente 
resolvida:
σλ −=
,...3,2,1,2
2
2
=
−
= n
L
n
πσ
2
22
..)( L
ktn
kt ecectG
π
σ
−
==
,...3,2,1, == n
L
nπ
λ
,...2,1,sen
2
22
==
−
n
L
xn
eu L
ktn
n
ππ
São soluções da 
equação do calor 
com dados nulos 
na fronteira
Idéia genial de Fourier
As soluções encontradas 
não satisfazem, em geral, a condição inicial un(x,0) = f(x), a menos que f(x)
fosse um seno (ou, usando a linearidade, uma soma de senos).
SÉRIE DE FOURIER:
ou, na forma complexa: sendo
,...2,1,sen
2
22
==
−
n
L
xn
eu L
ktn
n
ππ
)sencos(
2
)(
1 L
xn
b
L
xn
a
a
xf n
n
n
o ππ ++= ∑
∞
=
L
xn
in
n
necxf
π
∑
∞=
−∞=
=)( dxexfL
c
L
L
L
xn
i
n ∫
−
−
=
π
)(
2
1
A transformada de Fourier
Se f(x) é uma função real, sua transformada de Fourier é dada por
A transformada de Fourier tem inversa, dada por:
A transformada de Fourier destrói derivadas de funções que se anulam em ±
infinito , transformando-as em produtos:
†
dxxfef
R
ix )()(
^
∫ −= ξξ
ξξ
π
ξ dgexg
R
ix )(
2
1
)(1 ∫=ℑ−
{
)()()̂(
)()()()̂(
^
ξξξ
ξξ ξξ
fif
dx
d
dxxfeidxxf
dx
d
ef
dx
d
R
ix
partes
R
ix
=∴
−−== ∫∫ −−
O produto de convolução
O produto de convolução de duas funções é definido por:
A importância deste novo produto deve-se aos seguintes fatos:
e
De fato,
∫ −= dyygyxfxgf )()())(*(
gfgf ˆ*ˆ
2
1
)̂.(
π
= gfgf ˆ.ˆ)̂*( =
∫ ∫∫ −== −− dxdyygyxfedxxgfegf ixix )()())(*()()̂*( ξξξ
dydzzfeygdydxyxfeyg yziix ))()(())()(( )(∫ ∫∫ ∫ +−− =−= ξξ
)().()(.)( ^^ ξξξξ fgdzzfedyyge izix == ∫∫ −−
A terceira coisa que todo 
matemático deveria saber
Resolução da equação do calor 
via Transformada de Fourier
Aplicando a transformada de Fourier com relação à x nas equações:
Obtemos:
Este problema de valor inicial tem como solução:
Ou seja 
sendo
0=− xxt uu )()0,( xfxu =
)()0,(,0
^^^
2
^
xfxuuut ==+∂ ξ
))((*))((
2
1
))().((),(
22
1
^
1
^
1 xtxttxu efef ξξπ
ξξ −−−−− ℑℑ=ℑ=
)(*),( xftxu K t= t
x
dttx eeeK
tix
t π
ξ
π
ξ
42
1
)(
4
2
2
−
− == ∫
Propriedades do núcleo da 
equação do calor
No limite, quando t converge para zero,
os gráficos acima indicam que as funções se
aproximam da distribuição • de Dirac, ”que
vale zero fora da origem e infinito na origem”. 
A distribuição • é a derivada da função de
Heaviside H(x) = 0 para x < 0 e H(x) = 1
para x > 0.
• é o elemento neutro da convolução:
∫ =1)( dxxδ
fff ∀= ,*δ
Boas conseqüências das soluções 
da equação do calor
• Suavidade
• O teorema de Stone-
Weierstrass: Toda função 
contínua pode ser 
uniformemente aproximada 
em compactos por 
polinômios .
dyyf
t
xftxu eK t
yx
t
)(
4
1
)(*),( 4
)( 2
∫
−
==
π
Como derivar funções descontínuas?
Como fazer isto ½ vez?
)()()̂(
^
ξξξ fif
dx
d
=
)))((()(
^
1 xfixf
dx
d
ξξ−ℑ=
ξξ
π
ξξ ddyyfee
i
x
dx
df iyix )(
2
)( ∫∫ −=
Fómula Mágica
Outras derivadas
• Derivadas de 2a. Ordem
• Derivadas de ordem n:
• Derivadas de ordem ½:
• E para outros valores de n?
)))((()(
^
21
2
2
xfx
dx
fd
ξξ−ℑ−=
,...3,2,1),))((()(
^
1 =ℑ= − nxfix
dx
fd nn
n
n
ξξ
)))((()(
^
2
1
12
1
2
1
2
1
xfix
dx
fd
ξξ−ℑ=
Operadores Pseudo-diferenciais
• Possuem a seguinte forma:
Alberto Calderón Antoni Zygmund Lars Hörmander
ξξ
π
ξ ddyyuyxaexAu yxi )(),,(
2
1
)( )(∫∫ −=
Estudos futuros
• Teoria Elementar das 
distribuições
• Introdução aos 
operadores pseudo-
diferenciais
• Teorema de Nash-
Moser e suas 
aplicações
	OS QUATRO ELEMENTOS DA NATUREZA E A MATEMÁTICAProf. Pedro Luiz MalaguttiDep. de MatemáticaUFSCar
	O FOGO
	A TERRA
	A ÁGUA
	O AR
	Objetivos Este mini-curso pretende salientar pedagogicamente as conexões do início da filosofia da natureza com algumas rece
	O SILÊNCIOArnaldo Antunes / Carlinhos Brown
	A Mitologiae a ira da natureza  Uma lenda afro-brasileiraConta-se que Olorum (Deus), encontrou Iemanjá (Rainha das águas)
	Lunário perpétuoAntônio Nóbrega
	A origem da Ciência
	Tales e a água
	Cosmogonias e Cosmologias
	A transformação da matéria
	Percepção x Razão
	Zenão e seus paradoxos
	Pitágoras
	A primeira coisa que todo matemático deveria saber
	Pluralismo
	A Filosofia centrada no homem
	Sócrates – mais sábio de todos os homens
	Platão
	Aristóteles
	Aristóteles e os quatro elementos
	O período helenístico
	Império Romano
	O FOGO
	O fogo e a Ciência
	Fogo – mitos e primeiros usos
	Relógios de fogo
	Usos não recomendados do fogo
	O fogo na Era das Explorações
	A descoberta de uma poderosa ferramenta – o Cálculo
	A Equação do Calor
	A Equação do Calor
	Equações parabólicas
	Jean Fourier (1768-1830)
	Um churrasco matemático
	Soluções com dados nulos na fronteira
	Idéia genial de Fourier
	A transformada de Fourier
	O produto de convolução
	A terceira coisa que todo matemático deveria saber
	Resolução da equação do calor via Transformada de Fourier
	Propriedades do núcleo da equação do calor
	Boas conseqüências das soluções da equação do calor
	Como derivar funções descontínuas?Como fazer isto ½ vez?
	Outras derivadas
	Operadores Pseudo-diferenciais
	Estudos futuros