Uebung02

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Technische Mechanik 1
2. Übung
Lösungsblatt
Fachbereich Maschinenbau, Fachgebiet für Strömungsdynamik (FDY) WiSe 2019/20
Prof. Dr.-Ing. M. Oberlack, L. Beck, M.Sc., D. Klingenberg, M.Sc. 28.10. - 01.11.2019
Lernziele (Zentrale Kräftegruppe 2D & 3D)
Nach dem Bearbeiten dieser Übung können Sie
• die Begriffe Seilkraft und Kontaktkraft erklären, in gegebenen Belastungen erkennen und gezielt
nutzen.
• mechanische Systeme mit 1-2 Teilkörpern in zwei Dimensionen analysieren, d. h. die Kräfte identi-
fizieren und ihre Angriffspunkte und Wirkungen bestimmen.
• für mechanische Systeme in zwei Dimensionen die benötigten Gleichgewichtsbedingungen einer
zentralen Kräftegruppe zum Lösen der Unbekannten aufstellen.
• einfache mechanische Systeme in drei Dimensionen abstrahieren und die zugehörigen Gleichge-
wichtsbedingungen einer zentralen Kräftegruppe aufstellen.
Aufgabe 1 | Nr. 3.03
βα
G
g
1 2
Eine Kiste mit Gewicht G wird von zwei Seilen, die unter einem Winkel α bzw. β geneigt sind, gehalten.
Berechnen Sie die Seilkräfte.
Gegeben:
G , α= 30◦ , β = 60◦ .
Lösung 1
Die wirkenden Kräfte sind in Abb. 1a graphisch dargestellt. Abb. 1b und 1c visualisieren die Kräfte
ebenfalls.
Zur Lösung werden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt.
1
βα
G
S2
S1
x
y
(a) Freikörperbild des Systems
x
y
fG
f2
f1
(b) Lageplan
x
y G
S2
S1
(c) Kräfteplan
Abbildung 1
Gleichgewichtsbedingungen:
∑
Fx = 0 : − S1 cos (α) + S2 cos (β) = −
1
2
·
p
3 · S1 +
1
2
· S2 = 0 ⇒ S2 =
p
3 · S1 (L.1)
∑
Fy = 0 : S1 sin (α) + S2 sin (β)− G =
1
2
· S1 +
p
3
2
· S2 − G = 0 (L.2)
Aus Gleichung (L.2) folgt:
G =
1
2
· S1 +
p
3
2
·
p
3 · S1
= 2S1 ⇒ S1 =
1
2
G (L.3)
Setzt man Gleichung (L.3) in (L.1) ein, erhält man:
S2 =
p
3
2
G . (L.4)
2
Aufgabe 2 | Nr. 2.01
α
G
Eine Kugel (Gewicht G) liegt auf einer glatten schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und wird von einer
glatten Wand gehalten. Wie groß sind die Kontaktkräfte?
Lösung 2
Die schiefe Ebene und die Wand sind glatt. Daher wirken in den Kontaktpunkten nur Normalkräfte, die
mit der Gewichtskraft ein zentrales Kräftesystem bilden.
α
N1
N2
G
x
y
Abbildung 2: Freikörperbild des Systems
Die Gleichgewichtsbedingungen sind:
∑
Fx = 0 : N1 − N2 sin (α) = 0 ⇒ N1 = G tan (α) (L.1)
∑
Fy = 0 : N2 cos (α)− G = 0 ⇒ N2 =
G
cos (α)
(L.2)
Die Kontaktkraft N2 ist größer als die Gewichtskraft. Intuitiv könnte fälschlicherweise die Behauptung
aufgestellt werden, dass die einzelnen Kontaktkräfte nicht größer als die Gewichtskraft sein können.
Dies ist jedoch nicht der Fall und liegt an der gegebenen geometrischen Konfiguration und zeigt sich in
Abb. 2.
3
Aufgabe 3 | Nr. 3.11
g
G1
G2
60◦A
B
C
S
An einer glatten Wand werden zwei glatte Walzen (Gewichte G1 und G2) in der dargestellten Weise
durch einen Stab S gehalten.
Bestimmen Sie die Kontaktkräfte an den Berührungspunkten A, B und C sowie die Stabkraft S.
Lösung 3
Die wirkenden Kräfte sind in Abb. 3 graphisch dargestellt.
NC
NA
G1
y
60◦
x
(a) FKB I: Walze 1
60◦ NC
S
NB
G2y
x
(b) FKB II: Walze 2
Abbildung 3: Freikörperbilder des gegebenen Systems
Gleichgewichtsbedingungen
FKB I (s. Abb. 3a):
∑
Fx = 0 : NA− NC · cos (60◦)
︸ ︷︷ ︸
= 12
= 0 ⇒ NA =
1
2
NC (L.1)
4
∑
Fy = 0 : − G1 + NC · sin (60◦)
︸ ︷︷ ︸
=
p
3
2
= 0 ⇒ NC =
2
p
3
3
G1 (L.2)
FKB II (s. Abb. 3b):
∑
Fx = 0 : S + NC · cos (60◦) = 0 ⇒ S = −
1
2
NC (L.3)
∑
Fy = 0 : NB − NC · sin (60◦)− G2 = 0 ⇒ NB =
p
3
2
NC + G2 (L.4)
Wird Gleichung (L.2) in (L.1) eingesetzt, erhält man
NA =
p
3
3
G1 .
Weiteres Auflösen ergibt mit Gleichungen (L.2) und (L.3)
S = −
p
3
3
G1
bzw. mit (L.2) und (L.4)
NB =
p
3
2
·
2
p
3
3
· G1 + G2 = G1 + G2 .
5
Aufgabe 4 | Nr. 2.05
K
1
2
3
G
2a
a
a
a
g
Am Knoten K eines Stabsystems hängt eine Schatztruhe mit Gewicht G. Bestimmen Sie die Stabkräfte.
Lösung 4
Die wirkenden Kräfte sind in Abb. 4 graphisch dargestellt.
K
S1 S2
S3
G
x
y
z
Abbildung 4: Freikörperbild des gegebenen Systems
Bei räumlichen Problemen ist es häufig zweckmäßig, die Kräfte in vektorieller Form anzugeben, wobei
der Vorfaktor den Vektor normiert.
Gleichgewichtsbedingungen (vektorielle Schreibweise):
∑
i
~Fi = 0 : ~S1 + ~S2 + ~S3 + ~G = ~0 (L.1)
mit
~S1 =
S1p
2


1
0
−1

 , ~S2 =
S2p
6


1
2
−1

 , ~S3 =
S3p
6


−1
2
−1

 und ~G = G


0
0
−1

 .
Gleichgewichtsbedingungen (Komponentenschreibweise):
∑
Fx = 0 :
1
p
2
S1 +
1
p
6
S2 −
1
p
6
S3 = 0 ⇒ S1 =
p
2
p
6
(S3 − S2) (L.2)
6
∑
Fy = 0 :
2
p
6
S2 +
2
p
6
S3 = 0 ⇒ S2 = −S3 (L.3)
∑
Fz = 0 : −
1
p
2
S1 −
1
p
6
S2 −
1
p
6
S3 − G = 0 (L.4)
Setzt man Gleichungen (L.2) und (L.3) in (L.4) ein, erhält man
S3 = −
p
6
2
G .
Weiteres Auflösen liefert
S2 =
p
6
2
G , S1 = −
p
2G .
Hierbei zeigt sich mithilfe des Vorzeichens, dass S1 und S3 Druckkräfte sind, während S2 eine Zugkraft
darstellt.
7
Aufgabe 5 | Nr. 3.07
A
B
CD
F1
F2α1
β1
β2 α2
An einem Gelenkviereck ABC D greift im Punkt A die Kraft F1 und im Punkt B die Kraft F2 an.
Bestimmen Sie den Betrag von F2, für den sich das Gelenkviereck im Gleichgewicht befindet.
Gegeben:
α1 = 90
◦ , α2 = 60
◦ ,
β1 = 45
◦ , β2 = 30
◦ ,
F1 = 10N .
Lösung 5
Die Stabkräfte werden frei geschnitten; die wirkenden Kräfte sind in Abb. 5 graphisch dargestellt.
B
CD
F2α1
β2 α2
β1
F1
A
SAB
x1
y1
x2
y2
Abbildung 5: Das Freikörperbild des Systems
Hinweis: Durch geschickte Wahl der lokalen Koordinatensysteme an den Punkten A und B muss nur die
Stabkraft SAB bestimmt werden, um F2 berechnen zu können. Hierbei werden die Gleichgewichtsbedin-
gungen
∑
Fy1 und
∑
Fy2 nicht benötigt.
Gleichgewichtsbedingungen
Punkt A:
∑
Fx1 = 0 : F1 + SAB · cos (β1) = 0 ⇒ SAB = −
p
2 · F1 (L.1)
8
Punkt B:
∑
Fx2 = 0 : − F2 · cos (β2)− SAB = 0 ⇒ F2 = −
2
p
3
· SAB (L.2)
Um F2 zu erhalten, wird für SAB (L.1) in Gleichung (L.2) eingesetzt:
F2 =
2
p
2
p
3
· F1 . (L.3)
Mit F1 = 10N ergibt sich
F2 =
20
p
2
p
3
N .
9
Kontrollergebnisse
Die Vorzeichen der Kontrollergebnisse sind durch das Freikörperbild in der Musterlösung gegeben. Bei
einem anderen zulässigen Ansatz können bei identischen Beträgen die Vorzeichen abweichen.
Aufgabe 1
S1 = G/2, S2 =
p
3G/2
Aufgabe 2
N1 = G tan (α), N2 = G/ cos (α)
Aufgabe 3
NA =
p
3G1/3, NB = G1 + G2, NC = 2
p
3G1/3, S = −
p
3G1/3
Aufgabe 4
S1 = −
p
2G, S2 =
p
6G/2, S3 = −
p
6G/2
Aufgabe 5
F2 = 20
p
2/3 N
10