Dimensionamento e construção de bancadas e calibração dos instrumentos para medição da aceleração da gravidade

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gUNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
UNIOESTE – CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
EMMANUEL RUBEL DO PRADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO E CONSTRUÇÃO DE BANCADAS E CALIBRAÇÃO DOS 
INSTRUMENTOS PARA MEDIÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FOZ DO IGUAÇU 
2019 
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EMMANUEL RUBEL DO PRADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO E CONSTRUÇÃO DE BANCADAS E CALIBRAÇÃO DOS 
INSTRUMENTOS PARA MEDIÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
como requisito parcial para obtenção do grau 
de Engenheiro Mecânico ao curso de 
Engenharia Mecânica do Centro de 
Engenharias e Ciências Exatas da 
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – 
Campus Foz do Iguaçu 
 
Orientador: Prof. Dr. Guilherme de Oliveira 
Kunz 
 
 
 
Foz do Iguaçu 
2019 
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EMMANUEL RUBEL DO PRADO 
 
DIMENSIONAMENTO E CONSTRUÇÃO DE BANCADAS E CALIBRAÇÃO DOS 
INSTRUMENTOS PARA MEDIÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE 
 
Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao curso de Engenharia Mecânica do 
Centro de Engenharia e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – Campus Foz do Iguaçu como requisito parcial para obtenção do grau de 
engenheiro mecânico, aprovado pela comissão formada por: 
 
 
 
____________________________________________________ 
Orientador: Professor Dr. Guilherme de Oliveira Kunz 
UNIOESTE – Campus Foz do Iguaçu 
 
 
 
____________________________________________________ 
Professor Dr. Gustavo Adolfo Velazquez Castillo 
UNIOESTE – Foz do Iguaçu 
 
 
 
____________________________________________________ 
Professor Me. Marciel Viapiana 
UNIOESTE – Foz do Iguaçu 
 
 
 
 
 
Foz do Iguaçu, 12 de dezembro de 2019 
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Dedico este trabalho aos meus pais, a 
devoção deles tornou tudo isso possível. 
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AGRADECIMENTOS 
 
Primeiramente agradeço a Deus, por tudo que me deste e tudo que sou. Sem 
Ele não teria chegado até aqui. 
Agradeço ao meu pai Lauri Aparecido do Prado, minha mãe Rosangela Rubel 
do Prado e a minha irmã Maria Luiza Rubel do Prado que em todos os momentos 
esteve ao meu lado, me apoiando e sendo minha base forte. 
Agradeço a minha família que sempre esteve ao meu lado dando todo o 
suporte. 
 Agradeço, em especial, ao meu docente orientador Guilherme de Oliveira Kunz. 
Agradeço pelo tempo, dedicação e pelo nítido carinho que tem pelo trabalho que faz. 
 Agradeço a Andre Luis Pedralli Barbosa e Leonardo Henrique Barbosa que 
disponibilizaram os materiais que possibilitaram a elaboração deste trabalho. 
 Agradeço de modo especial ao Engenheiro Bruno Delai e a Irmãos Passaúra 
pela oportunidade proporcionada e apoio para que eu pudesse me deslocar para 
realização deste trabalho. 
Agradeço aos integrantes do CELTAB e do CEASB do FPTI. Ambos me 
ensinaram que nada na carreira profissional se faz sozinho, assim como a forma como 
se organiza o grupo muda completamente o resultado. 
 Aos meus companheiros de turma, em especial ao Caio Rebeschini, Eduardo 
Camilo, Fabio Zardinello, Felipe Marques, Felipe Pfeifer, Ian Pereira, João Carlos 
Gomes, Leonardo Capitaneo e Nathan Costa Dias, amigos que tenho plena confiança 
que levarei para a vida toda. 
 Agradeço a todos meus amigos de Cascavel e Foz do Iguaçu que não tiveram 
seus nomes aqui citados, mas que de alguma forma me ajudaram a chegar até aqui. 
 A todos meu muito obrigado. 
 
 
 
 
 
 
 
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"Eu não tenho ídolos. Tenho admiração 
por trabalho, dedicação e competência”. 
(Ayrton Senna) 
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RESUMO 
 
Sabendo da importância da aceleração da gravidade para a solução de diversos problemas de 
engenharia, foram desenvolvidas duas bancadas para medição de gravidade que utilizam métodos 
diferentes. A primeira bancada trata-se de um pêndulo, que devido ao isocronismo pendular tem o 
mesmo tempo de oscilação para qualquer ângulo de oscilação desde que o comprimento entre o eixo 
de rotação e a massa seja mantido igual. O método da queda livre foi defendido por Galileu, que em 
sua época não teve como comprovar pois não havia como criar um ambiente com vácuo total. Neste 
trabalho despreza-se a resistência do ar devido a reduzida altura de queda, de forma que a resistência 
do ar teria um impacto muito pequeno para provocar alterações significativas no processo de medição. 
O trabalho trata do desenvolvimento e construção das bancadas, constituída de modelos 3D e dos 
sensores utilizados. Também é feito a calibração do sistema de medição para posteriormente estimar 
a incerteza com que as bancadas quantificam a gravidade. A gravidade foi estimada em 9,49 ± 045 
m/s² para o pêndulo, enquanto para queda livre de 1,50 m foi de 9,64 ± 0,33 m/s², evidenciando a 
necessidade de um valor de correção na calibração do tempo. 
 
 
Palavras chave: Gravidade, Queda Livre, Pêndulo, Calibração, Incerteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ABSTRACT 
 
Knowing the importance of gravity in solving various engineering problems, two gravity measurement 
benches have been developed using different methods. The first bench is a pendulum, which due to the 
pendular isochronism has the same oscillation time for any oscillation angle provided that the length 
between the axis of rotation and the mass is kept equal. The free fall method was advocated by Galileo, 
who in his day could not prove it because there was no way to create a full vacuum environment. In this 
report the air resistance is neglected due to the fact that the drop heights are small and the air resistance 
would have a very small impact to cause significant changes in the measurement process. This 
coursework deals with the development and construction of benches, made with 3D models and the 
sensors used. The measurement system is also calibrated to further estimate the uncertainty with which 
the benches express gravity. The gravity was estimated with 9.49 ± 045 m/s² for the pendulum and for 
free fall of 1.50 m was 9.64 ± 0.33 m/s², evidencing that it needs a correction value in the time calibration. 
 
 
Key words: Gravity, Free Fall, Pendulum, Calibration, Measurement, Uncertainty. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Pêndulo simples. ....................................................................................... 17 
Figura 2 – Blocos funcionais dos MEMS. .................................................................. 20 
Figura 3 – Estrutura comb-drive de um acelerômetro. .............................................. 21 
Figura 4 – Distribuição normal. .................................................................................. 23 
Figura 5 – Calibração indireta de um sistema de medição. ....................................... 27 
Figura 6 – Diagrama de sinais das saídas A e B. ...................................................... 29 
Figura 7 – Diagrama de saídas encoder incremental angular. .................................. 29 
Figura 8 – Encoder utilizado na bancada. ................................................................. 30 
Figura 9 – Modelo 3D da bancada do método pendular. .......................................... 30 
Figura 10 – Suporte do encoder. ............................................................................... 31 
Figura 11 – Pontos de fixação do sensor. ................................................................. 31 
Figura 12 – Suporte da linha da massa. .................................................................... 32 
Figura 13 – Construção final da bancada. .................................................................32 
Figura 14 – Placa Arduino. ........................................................................................ 33 
Figura 15 – Circuito de ligação do encoder ............................................................... 34 
Figura 16 – Tela de início do programa. .................................................................... 34 
Figura 17 – Aquisição do tempo no osciloscópio para calibração. ............................ 35 
Figura 18 – Gráfico obtido no RStudio a partir de dados do osciloscópio ................. 36 
Figura 19 – Procedimento de medição de ℓ. ............................................................. 36 
Figura 20 – Estimativa da gravidade baseada na altitude e latitude. ........................ 43 
Figura 21 – Pastilha piezoelétrica. ............................................................................ 44 
Figura 22 – Dimensões de um disco piezoelétrico. ................................................... 45 
Figura 23 – Modelo 3D da bancada. ......................................................................... 45 
Figura 24 - Detalhamento da base da bancada (dimensões em mm). ...................... 46 
Figura 25 – Suporte para plataforma de lançamento. ............................................... 46 
Figura 26 – Suporte superior da plataforma de lançamento...................................... 47 
Figura 27 – Suporte do eletroímã. ............................................................................. 47 
Figura 28 – Eletroímã e suportes. ............................................................................. 48 
Figura 29 – Sensor piezoelétrico preso na base ....................................................... 48 
Figura 30 – Bancada de queda livre. ......................................................................... 49 
Figura 31 – Módulo relé utilizado. ............................................................................. 49 
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Figura 32 – Circuito esquemático. ............................................................................. 50 
Figura 33 - Monitor Serial logo após o acionamento do botão. ................................. 50 
Figura 34 – Tela do osciloscópio medindo o tempo de queda. ................................. 51 
Figura 35 – Gráfico do RStudio. ................................................................................ 52 
Figura 36 – Medidas de aceleração da gravidade retirada com o MEMS. ................ 64 
 
 
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LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 – Comparação entre MEMS ....................................................................... 21 
Tabela 2 – Dados obtidos pelo osciloscópio ............................................................. 37 
Tabela 3 – Média e desvio padrão dos dados obtidos pelo osciloscópio .................. 37 
Tabela 4 – Balanço de incertezas do osciloscópio no pêndulo ................................. 38 
Tabela 5 – Valores obtidos pelo tratamento dos dados ............................................ 39 
Tabela 6 – Resultados das medidas realizadas ........................................................ 40 
Tabela 7 – Balanço de incertezas da medição do método pendular ......................... 41 
Tabela 8 – Resultados da estimativa de incerteza de medição ................................ 42 
Tabela 9 – Medições obtidas com o osciloscópio ..................................................... 53 
Tabela 10 – Balanço de incertezas ........................................................................... 53 
Tabela 11 – Resultados a partir do balanço de incertezas ........................................ 54 
Tabela 12 – Medidas extraídas com a bancada para ℎ = 50 𝑐𝑚 .............................. 55 
Tabela 13 – Balanço de incertezas para ℎ = 50 𝑐𝑚 .................................................. 56 
Tabela 14 – Resultados das incertezas da medição com ℎ = 50 𝑐𝑚 ........................ 56 
Tabela 15 – Medições para altura de queda ℎ = 80 𝑐𝑚 ............................................ 57 
Tabela 16 – Balanço de incertezas para ℎ = 80 𝑐𝑚 .................................................. 58 
Tabela 17 – Resultados obtidos para altura ℎ = 80 𝑐𝑚 ............................................ 58 
Tabela 18 – Medições para ℎ = 110 𝑐𝑚 .................................................................... 59 
Tabela 19 – Balanço de incertezas para ℎ = 110 𝑐𝑚 ................................................ 60 
Tabela 20 – Resultados obtidos para ℎ = 110 𝑐𝑚 ..................................................... 60 
Tabela 21 – Medições para ℎ = 150 𝑐𝑚 .................................................................... 61 
Tabela 22 – Balanço de incertezas para a altura de queda de ℎ = 150 𝑐𝑚 .............. 61 
Tabela 23 – Resultados das incertezas para ℎ = 150 𝑐𝑚 ......................................... 62 
Tabela 24 – Comparação entre os resultados de gravidade obtidos ........................ 62 
Tabela 25 – Comparação de incertezas entre os métodos ....................................... 66 
Tabela 26 – Comparação entre os valores obtidos ................................................... 66 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 13 
1.1 OBJETIVOS ................................................................................................................................. 14 
1.1.1 Objetivo geral .................................................................................................................... 14 
1.1.2 Objetivos específicos ......................................................................................................... 14 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................................... 15 
2.1 GRAVITAÇÃO ............................................................................................................................... 15 
2.2 MÉTODOS DE MEDIÇÃO DA GRAVIDADE ......................................................................................... 17 
2.2.1 Método pendular ................................................................................................................ 17 
2.2.2 Método da queda livre ....................................................................................................... 18 
2.2.3 Micro-Electro-Mechanical-Systems (MEMS)..................................................................... 19 
2.3 ERRO DE MEDIÇÃO ...................................................................................................................... 22 
2.4 CALIBRAÇÃO INDIRETA ................................................................................................................ 26 
3 MÉTODO PENDULAR .................................................................................................................. 28 
3.1 MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................................... 28 
3.1.1 Projeto e construção .......................................................................................................... 28 
3.1.2 Retirada de dados para calibração e medição .................................................................. 34 
3.2 RESULTADOS E DISCUSSÕES ....................................................................................................... 37 
3.2.1 Resultados da calibração .................................................................................................. 37 
3.2.2 Cálculo da gravidade e suas incertezas............................................................................ 40 
4 MÉTODO DA QUEDA LIVRE ....................................................................................................... 44 
4.1 MATERIAIS E MÉTODOS ...............................................................................................................44 
4.1.1 Projeto e construção .......................................................................................................... 44 
4.1.2 Retirada de dados para calibração e medição .................................................................. 51 
4.2 RESULTADOS E DISCUÇÕES ......................................................................................................... 52 
4.2.1 Resultados da calibração .................................................................................................. 53 
4.2.2 Cálculo da gravidade e suas incertezas............................................................................ 54 
4.2.2.1 Medições para altura de 50 cm ............................................................................. 55 
4.2.2.2 Medições para altura de 80 cm ............................................................................. 57 
4.2.2.3 Medições para a altura de 110 cm ........................................................................ 59 
4.2.2.4 Medições para altura de 150 cm ........................................................................... 61 
4.2.3 Comparação entre as alturas de queda livre .................................................................... 62 
5 MEDIÇÃO COM O MEMS ............................................................................................................ 64 
6 COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO PENDULAR E DA QUEDA LIVRE ................................. 65 
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7 CONCLUSÕES ............................................................................................................................. 67 
7.1 SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS ......................................................................................... 68 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 69 
APÊNDICE 1 ......................................................................................................................................... 71 
APÊNDICE 2 ......................................................................................................................................... 73 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
 
No século IV a.C., o filósofo Aristóteles sustentava que a velocidade da queda 
livre de um corpo era proporcional ao tamanho. Tal afirmação permaneceu até que 
Galileu Galilei (1564-1642), dezenove séculos mais tarde, descobriu através de 
experiências que o filósofo grego estava equivocado. Galileu apresentou seus estudos 
no livro Diálogo Sobre Duas Novas Ciências, livro que pode ser considerado como o 
marco inicial sobre o estudo da cinemática. 
Galileu deu início aos estudos da queda livre, ao concluir que no vácuo uma 
esfera de chumbo e uma pena tocam o solo ao mesmo tempo, e do método pendular 
ao observar o isocronismo pendular. 
Hoje a acelerômetros fazem parte do dia-a-dia das pessoas, eles estão 
presentes em celulares, automóveis, sendo assim a determinação da aceleração é 
muito importante. 
Os acelerômetros são responsáveis por acionar os Airbags de um carro após 
uma colisão, estão presentes em smartphones, onde existem aplicativos como 
SPARKvue (PASCO scientific), disponível para iOS e Android, que são capazes de 
medir a aceleração através do aparelho celular (VIEIRA, 2013). Em alguns Notebooks 
os acelerômetros são responsáveis por desativar o disco rígido do dispositivo ao 
detectar que o mesmo está em queda livre, para evitar maiores danos (KU, 2013). 
Tais sensores são utilizados para medir vibração de equipamentos, como um 
compressor ou um motor, assim são capazes de monitorar as condições de uma 
máquina e prever falhas (BUDZINSKI, 1999). Podem ser utilizados para medir 
velocidade, deslocamento, força e inclinação. Essa grande gama de aplicações 
mostra como os acelerômetros são versáteis e importantes. 
A determinação da gravidade é importante também na geofísica, a chamada 
gravimetria, tem como objetivo determinar o campo da gravidade da Terra, através de 
uma função da posição e do tempo medindo a gravidade (TORGE,1989). A 
gravimetria, através do estudo do campo de gravidade, obtém informações sobre 
forma e massa da Terra, permitindo extrair informações sobre como a massa se 
distribui no interior terrestre. Esse método permite localizar, identificar e avaliar 
possíveis jazidas de diversos minérios. 
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O gravímetro é o instrumento de medição que determina o valor de aceleração 
da gravidade de forma local. Trata-se de um instrumento sensível e bastante preciso, 
capaz de detectar pequenas variações no campo gravitacional. 
A aceleração da gravidade é muito utilizada para resolução de diversos 
problemas na engenharia, presentes em diversas áreas, como a cinemática, a 
mecânica dos fluidos. Portanto, nota-se que a determinação da aceleração estática é 
extremamente importante. 
No presente projeto foi feito construir duas bancadas para medir a gravidade, 
pelo método pendular, outra pelo método da queda livre, dentro do laboratório de 
metrologia da UNIOESTE, para então realizar uma avaliação das incertezas e 
comparar com os resultados obtidos através de um acelerômetro MEMS (Micro-
Electric-Mechanical-Systems). 
 
1.1 OBJETIVOS 
 
1.1.1 Objetivo geral 
Construir e calibrar medidores de gravidade do tipo queda livre e pendular e 
avaliar a qualidade de medição comparando com o acelerômetro MEMS. 
 
1.1.2 Objetivos específicos 
 Construir um medidor de gravidade capaz de realizar medições pelo método da 
queda livre; 
 Construir um pêndulo capaz de realizar medição da aceleração da gravidade; 
 Avaliação das incertezas da bancada e análise comparativa entre os métodos; 
 Comparar os resultados obtidos pelas bancadas construídas com um sensor 
MEMS (Micro-Electro-Mechanical-Systems). 
 
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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
O presente capítulo apresenta aspectos teóricos a respeito da gravitação, 
procedimentos de medição, calibração de instrumentos e sensores. Assim, embasam-
se os capítulos subsequentes, possibilitando a aplicação destas ferramentas no 
sistema em análise. 
 
2.1 GRAVITAÇÃO 
 
Aristóteles faz importantes considerações sobre o movimento dos corpos. 
Segundo Aristóteles, se duas pedras de massas diferentes são soltas de uma mesma 
altura a mais pesada atinge o solo primeiro. Devido à existência de uma força inerente 
aos corpos que é responsável por sua queda (PEDUZZI, 2008). 
Séculos mais tarde, Galilei Galileu realizou estudos sobre força e movimento, 
que chegaram em conclusões diferentes de Aristóteles. Para Galileu, quando um 
corpo é solto de uma certa altura, suficientemente grande, o corpo é acelerado até se 
transformar em movimento uniforme (PEDUZZI, 2008). 
Segundo Peduzzi (2008), Galileu reformula a concepção da queda livre, 
postulando que a velocidade é proporcional ao tempo e não à distância de queda. 
Galileu considera que a natureza sempre vai se manifestar da forma mais simples 
possível, então ele associou a queda dos corpos com um movimento de aceleração 
constante. Após tais considerações, Galileu chegou a seguinte relação: 
𝑎 = 
∆𝑣
∆𝑡
 (1) 
Onde, a razão ∆𝑣 ∆𝑡⁄ é constante para qualquer intervalo de tempo. 
Como na época não era possível obter medidas de velocidade instantânea, 
Galileu não conseguiu provar diretamente sua hipótese. 
Em 1655, Isaac Newton fez uma contribuição imensurável à física quando 
provou que a força que mantém a lua em orbita e que atrai um objeto ao chão tem a 
mesma natureza. Newton concluiu que cada corpo no universo atrai os demais. A 
tendência dos corpos se moverem em direção ao outro é chamada de gravitação 
(Halliday, 2006). 
16/74 
 
 
 
De acordo com Halliday (2006), Newton propôs uma lei de força conhecida 
como lei de gravitação de Newton (Equação 2), onde toda partícula atrai uma outra 
partícula qualquer com forçagravitacional (�⃗�) 
�⃗�= 𝐺
𝑚 𝑚
𝑟
�̂� (2) 
Onde 𝑚 𝑒 𝑚 são as massas das partículas, 𝑟 é a distância entre elas, �̂� é um 
unitário radial e 𝐺 é a constante gravitacional com valor 𝐺 = 6,67 × 10 𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑔⁄ . 
A força gravitacional na partícula 2, seguindo a terceira lei de Newton, exerce força de 
mesmo módulo sobre a partícula 1, porém com direções opostas. 
De acordo com Halliday (2006), o módulo da força gravitacional depende da 
constante gravitacional 𝐺, que caso sofresse um grande aumento, cerca de dez vezes, 
seria capaz de esmagar um humano sobre o chão devido a atração da Terra. 
Segundo Halliday (2006), a aceleração gravitacional 𝑎 (Equação 4) de uma 
partícula depende da força gravitacional sobre ela exercida. Caso uma partícula esteja 
a uma distância 𝑟 do centro de massa de um corpo esférico de massa muito maior 𝑀, 
o módulo da força é dado pela segunda lei de Newton, Equação 3. 
𝐹 = 𝑚𝑎 (3) 
Onde 
𝑎 =
𝐺𝑀
𝑟
 (4) 
Sabe-se que a superfície terrestre não é uniformemente distribuída, devido a 
sua forma elipsoide, e devido ao movimento de rotação, assim a aceleração real de 
queda livre �⃗� tem uma pequena diferença da aceleração gravitacional 𝑎 e o peso da 
partícula é diferente da força gravitacional atuante sobre o corpo (HALLIDAY, 2006). 
Desprezando a rotação da Terra, pode-se supor que a aceleração gravitacional 
é igual a aceleração de queda livre da partícula, assim assume-se um valor constante 
da aceleração gravitacional sobre qualquer lugar da superfície terrestre. É necessário 
lembrar que a aceleração de queda livre é menor que a aceleração gravitacional 
devido a rotação da terra e que essa máxima diferença entre a aceleração de queda 
livre e gravitacional ocorre na linha do Equador. Portanto, desprezar a diferença entre 
as acelerações é justificável (HALLIDAY, 2006). 
17/74 
 
 
 
2.2 MÉTODOS DE MEDIÇÃO DA GRAVIDADE 
 
2.2.1 Método pendular 
 
Diz a história que Galileu ao perceber o movimento pendular de um candelabro 
enquanto assistia uma missa na Catedral de Pisa, interessou-se em cronometrar o 
tempo de oscilação com batimentos de seu pulso. Assim ele conseguiu verificar que 
as oscilações se tornavam cada vez menores, porém o tempo de oscilação 
permanecia inalterado. Galileu observou que o período depende do comprimento do 
fio e não do peso do pêndulo. Assim conclui-se que pêndulos de comprimentos iguais 
e massas diferentes possuem o mesmo tempo para se deslocar da parte mais alta até 
a parte mais baixa da trajetória, isso é chamado de isocronismo pendular 
(NASCIMENTO, 2011). 
Para mensurar a aceleração da gravidade, podem ser utilizados diversos 
fenômenos físicos que envolvem aceleração, como a queda livre de um corpo ou das 
oscilações de um pêndulo. Porém poucos fenômenos propiciam boa precisão, sendo 
o método pendular e o da queda livre os mais utilizados (EDER, 2009). 
Eder (2009) diz que para medição absoluta da gravidade, o método pendular 
consiste basicamente em aferir o período de oscilações de um pêndulo simples e sua 
grande aplicação em relação ao método da queda livre no passado é graças ao 
isocronismo pendular. 
 
Figura 1 - Pêndulo simples. 
 
Fonte: (EDER, 2009) 
 
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Ainda segundo Eder (2009), pode-se expressar o período 𝑡 de um pêndulo 
simples, que é mostrado na Figura 1, em função do comprimento ℓ e do valor local de 
aceleração da gravidade 𝑔 por meio da Equação 5, onde 𝛼 é o ângulo máximo. 
𝑡 = 2𝜋
ℓ
𝑔
1 +
1
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
 (5) 
Segundo Halliday (2009), é possível simplificar a equação 5 supondo que o 
ângulo 𝛼 é pequeno, pois para um ângulo 𝛼 = 5° o erro relativo introduzido é de 
apenas 0,1%. Com essa simplificação chegamos à Equação 6. 
𝑡 = 2𝜋
ℓ
𝑔
 (6) 
Rearranjando a Equação 6 e isolando 𝑔 obtemos a Equação 7. 
𝑔 =
(2𝜋) ℓ
𝑡
 (7) 
No pêndulo simples não é considerado a resistência do ar e atrito entre fio e o 
suporte, uma vez que as forças dissipativas não apresentam grande influência no 
resultado (ALMEIDA; DIAS; JULIÃO, 2017). 
 
2.2.2 Método da queda livre 
 
Continuando com os estudos acerca do movimento, Galileu concluiu que que a 
queda dos corpos acontece de forma acelerada em todo o movimento, considerando 
que a natureza sempre se expressa da forma mais simples, a queda dos corpos foi 
associada com um movimento de aceleração constante. Então, com seus estudos das 
propriedades do movimento com aceleração constante, Galileu concluiu que a 
distância percorrida por um corpo saindo do repouso, é correspondente ao quadrado 
do tempo de queda (PEDUZZI, 2008). 
Galileu não tinha como realizar medidas precisas de tempo em sua época 
devido à queda livre acontecer de forma muito rápida, então utilizou um plano inclinado 
19/74 
 
 
 
para amenizar a rapidez de descida, e assim conseguiu validar a relação do quadrado 
do tempo com a distância de descida, claro que de forma aproximada, pois a queda 
com aceleração constante ocorre somente sem nenhuma resistência, ou seja no 
vácuo. Isso quer dizer que uma pena e uma esfera de chumbo, soltos de uma mesma 
altura chegam no solo ao mesmo tempo no vácuo (PEDUZZI, 2008). 
Cordova e Tort (2016) mostram que a queda livre é um dos vários métodos de 
medir a aceleração da gravidade 𝑔, onde se deixa um corpo cair verticalmente a partir 
de uma altura ℎ realizando uma medição do tempo de queda. Assim temos a equação 
do movimento (Equação 7). 
ℎ = ℎ + 𝑣 𝑡 +
1
2
𝑔𝑡 (7) 
Sabendo que a velocidade inicial 𝑣 é nula e que o corpo parte de uma altura 
ℎ = 0, assim rearranjando a equação, chegamos à Equação 8. 
𝑔 =
2ℎ
𝑡
 (8) 
Com Equação 8 é possível obter uma boa estimativa (CORDOVA; TORT, 
2016). 
 
2.2.3 Micro-Electro-Mechanical-Systems (MEMS) 
 
Micro-Electromechanical systems (MEMS) é um processo de tecnologia 
utilizado para criar dispositivos ou sistemas que combinam componentes mecânicos 
e elétricos. São fabricados com circuitos integrados utilizando técnicas de construção 
que permitem a construção em tamanho na ordem de micrômetros a milímetros. Esses 
dispositivos são capazes de controlar e atuar na escala micro e gerar efeitos na escala 
macro. (AN INTRODUCTION..., 2002). A nomenclatura não é padronizada e pode 
variar com a região, sendo que nos Estados Unidos a sigla MEMS é o termo 
dominante, na Ásia, o mais comum é chamá-los micromachines, já os europeus 
preferem microsystems (RIBAS, 2000). 
Ribas (2000) define os MEMS como sistemas miniaturizados compostos por 
três blocos, ilustrados na Figura 2. O bloco de comunicação com o meio exterior age 
20/74 
 
 
 
como sensor ou atuador. O bloco de interface analógica para aquisição, transmissão 
e amplificação dos sinais vindos do sensor e por último o bloco de controle e 
tratamento numérico. 
 
Figura 2 – Blocos funcionais dos MEMS. 
 
Fonte: (RIBAS, 2000) 
 
Os MEMS podem ser utilizados para medir pressão, força e aceleração. Ribas 
(2000) mostra que a diferença entre esses sensores está na construção. Os sensores 
de força ou pressão, geralmente são construídos com finas membranas, onde quanto 
menor a espessura da membrana, maior é a sensibilidade do dispositivo. Já os 
acelerômetros necessitam de uma massa de prova suspensa, responsável por sofrer 
o efeito da aceleração, e quanto maior a massa de prova suspensa, maior será a 
sensibilidade do dispositivo. Este trabalho abordará dispositivos capazes de medir 
aceleração. 
Para detectar aceleração, os dispositivos baseados no efeito capacitivo são os 
mais comuns. Seu funcionamento é baseado na variação na distância entre duas 
placas metálicas, onde uma é móvel e a outra fixa, esse movimento gera uma variação 
na capacitância entre as placas, que são detectadas por um circuito elétrico (RIBAS, 
2000). 
Nota-se que esse dispositivo é basicamente um capacitor de placas paralelas. 
Como a capacitância é inversamente proporcional a distância entre as placas, como 
podeser visto na Equação 9, a sensibilidade do dispositivo é alta (AN 
INTRODUCTION,2002). 
𝐶 =
𝜀 𝜀𝐴
𝑑
 (9) 
21/74 
 
 
 
Onde 𝜀 é a permissividade no vácuo, 𝜀 a permissividade do material entre as 
placas, 𝐴 é a área das placas e 𝑑 a distância entre as placas. 
Esses capacitores podem estar dispostos horizontalmente ou verticalmente. Na 
estrutura em pente, também chamada de comb-drive, dentes formam o capacitor. Um 
conjunto de dentes está fixado no dispositivo, enquanto outro conjunto está unido à 
uma massa móvel, veja Figura 3 (RIBAS, 2000). 
 
Figura 3 – Estrutura comb-drive de um acelerômetro. 
 
Fonte: (RIBAS, 2000) 
 
Na Tabela 1 estão sendo comparados três acelerômetros comerciais, onde o 
ADXL335 é analógico e os sensores MMA7341LC e ADXL345 são acelerômetros 
digitais. 
 
Tabela 1 – Comparação entre MEMS 
Acelerômetro ADXL335 ADXL345 MMA7341LC 
Limites de medição ±3,6 g 
±2 g ±4 g ±8 g 
±16 g 
±3 g ±9g 
Não linearidade ±0,3% ±0,5% ±1,0% 
Erro de alinhamento entre eixos ±0,1 graus ±0,1 graus - 
Cross-Axis Sensitivity ±1% ±1% ±5,0% 
Fonte: Datasheet ADXL335; ADXL345; MMA7341LC 
 
As informações mostradas na tabela foram retiradas dos datasheets dos 
sensores, que estão disponíveis no site do fabricante. Ambos são capazes de medir 
gravidade e bastante utilizados para medição de vibração. 
22/74 
 
 
 
Os sensores que foram apresentados na tabela possuem três eixos e é 
esperado que apresentem boa precisão. A principal diferença é que o ADXL335 
fornece uma saída de sinal analógica e o ADXL345 e o MMA7341LC sinal digital. De 
acordo com Thomazini e Albuquerque (2005), um sensor analógico assume qualquer 
valor, dentro de sua faixa de operação, em seu sinal de saída. Já os sensores digitais 
possuem apenas dois valores, que podem ser interpretados como zero ou um. 
 
2.3 ERRO DE MEDIÇÃO 
 
Quando o homem passou a viver em grupos e o comércio a se desenvolver, 
passou a ser necessário um processo de medição aceito por todos para que 
transações sejam feitas de forma justa e pacífica (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
É chamado mensurando a grandeza física que está sendo medida. Então 
podemos dizer que o mensurando é a grandeza específica da medição. O 
procedimento de medição é realizado por um instrumento ou sistema de medição, 
como um paquímetro, um voltímetro, até instrumentos mais complexos como 
máquinas de ensaio de tração de materiais (ALBERTAZZI; SOUZA,2008). 
De acordo com Albertazzi e Souza (2008) o conjunto de métodos e meios 
utilizados para efetuar uma medição é chamado processo de medição. A indicação é 
o valor obtido pelo sistema de medição, porém o processo de medição não acaba com 
a obtenção da indicação. Em uma medição existem erros inerentes ao processo que 
devem ser considerados, assim para apresentar o resultado da medição devem 
apresentar a faixa de valores onde deve estar o valor verdadeiro do mensurando. Essa 
faixa de valores representa a incerteza de medição que decorre da ação combinada 
de diversos componentes de erro presentes no processo de medição. 
Basicamente existem dois tipos de erros, o erro sistemático e o erro aleatório. 
O erro sistemático é a parcela previsível do erro e corresponde ao erro médio estando 
ligado a qualidade do instrumento de medição, condições ambientais e erros de 
observação, já o erro aleatório é a parcela imprevisível, o responsável por fazer 
repetições chegarem a resultados diferentes, pode-se dizer que é um erro residual 
que resiste após se evitar o erro sistemático (ALVES, 2003). 
Pode-se estimar o erro sistemático realizando medições repetitivas de um 
mensurando cujo valor é conhecido. Quanto maior o número de medições repetitivas 
23/74 
 
 
 
melhor é a avaliação do erro sistemático. Já o valor do erro aleatório não é 
interessante do ponto de vista prático, o que é extremamente útil para calcular a faixa 
de erro associada a medição é a repetitividade. A repetitividade é uma faixa simétrica 
de valores em torno do valor médio, onde o valor do erro aleatório é esperado de 
acordo com uma probabilidade (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
A Figura 4 apresenta uma distribuição normal. A distribuição normal é simétrica, 
em suas extremidades nota-se assíntotas tendendo a zero. A média (𝜇) corresponde 
ao eixo central. A distância do eixo central até os pontos de inflexão, representam o 
desvio-padrão (𝜎), que é a medida do grau de dispersão. A média e o desvio-padrão 
são os pontos que caracterizam a curva de distribuição normal (ALBERTAZZI; 
SOUZA, 2008). 
 
Figura 4 – Distribuição normal. 
 
Fonte: (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008) 
 
A incerteza-padrão é o nome atribuído ao valor do desvio-padrão do erro 
aleatório. Sendo a medida da componente aleatória do erro de medição 
(ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
O desvio-padrão de população infinita é calculado pela Equação 10. 
𝜎 = lim
→
∑ (𝐼 − 𝐼)̅
𝑛
 (10) 
Onde 𝐼 é a i-ésima indicação, 𝐼 ̅ é a média de todas as indicações e 𝑛 é o 
número de medições. 
24/74 
 
 
 
De acordo com Albertazzi e Souza (2008) não é prático efetuar infinitas 
medições repetidas, é possível fazer uma estimativa do desvio-padrão da amostra (𝑆) 
pela Equação 11. 
𝑆 = 
∑(𝐼 − 𝐼 ̅ )
𝑛 − 1
 (11) 
A incerteza-padrão da amostra deve ser associada ao número de graus de 
liberdade, representado por 𝜈, com que foi estimada. Quando a incerteza-padrão é 
estimada a partir da Equação 11, o número de graus de liberdade é o número de 
medições menos um. Quando o desvio padrão é conhecido, o número de graus de 
liberdade é considerado infinito (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
Outro parâmetro associado ao erro aleatório é a repetitividade. A repetitividade 
corresponde a metade do valor da largura da faixa simétrica, onde para uma dada 
probabilidade, é esperado o erro aleatório. É calculada pelo produto da incerteza-
padrão pelo t de Student. A incerteza-padrão e a repetitividade tornam possível prever 
a intensidade do erro aleatório (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
Albertazzi e Souza (2008) dizem que é importante ressaltar as diferenças entre 
erro e incerteza de medição. O erro de medição é o valor que resulta da diferença 
entre o número indicado pelo sistema de medição e a medida verdadeira do 
mensurando. A incerteza é associada ao resultado de medição, caracterizando a 
dispersão de valores que podem ser atribuídas ao mensurando. 
O processo de medição deve ser cuidadosamente analisado, todas as fontes 
de incerteza que podem influenciar a medição devem ser enumeradas. Cada uma das 
fontes identificadas, devem ser analisadas para saber o valor da correção que deve 
aplicada (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
De acordo com Albertazzi e Souza (2008) a ação simultânea de todas as fontes 
de incerteza é chamada correção combinada e deve ser calculada a partir da soma 
algébrica de todas as correções das fontes de incerteza, conforme a Equação 12. 
𝐶 = 𝐶 + 𝐶 + 𝐶 + ⋯ + 𝐶 (12) 
Onde 𝐶 é a correção combinada e 𝐶 é a i-ésima fonte de incerteza. 
A caracterização da incerteza-padrão pode ser feita por métodos estatísticos e 
não-estatísticos. Quando a incerteza-padrão é associada a uma ou mais fontes de 
25/74 
 
 
 
incerteza estimadas a partir de medições repetidas do mensurando, podemos obter 
da seguinte maneira: 
𝑢(𝐼) =
∑ (𝐼 − 𝐼)̅
𝑛 − 1
 (13) 
Sendo 𝑢(𝐼) a incerteza padrão, 𝐼 k-ésima medição, 𝐼 ̅a média das n indicações 
e 𝑛 o número de indicações repetidas (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
O número de graus de liberdade envolvidos na determinação da é sempre o 
número de dados usados para calcular o desvio padrão menos um (Equação 14). 
𝑣 = 𝑛 − 1 (14) 
Segundo Albertazzi e Souza (2008), o efeito da ação combinada de várias 
fontes de incerteza resultam na incerteza combinada. A incerteza combinada é o 
desvio-padrão resultante da ação combinada de todas as fontes de incerteza do 
processo de medição e pode ser estimada pela Equação 15. 
𝑢 = 𝑢 +𝑢 + 𝑢 + ⋯ + 𝑢(15) 
Albertazzi e Souza (2008) definem o número de graus de liberdade efetivos 
como o número de graus de liberdade que corresponde a incerteza combinada, sendo 
calculada pela Equação 16. 
𝑢
𝑣
=
𝑢
𝑣
+
𝑢
𝑣
+
𝑢
𝑣
+ ⋯ +
𝑢
𝑣
 (16) 
Para finalizar, é calculada a incerteza expandida, que corresponde ao devio-
padrão de todas as incertezas presentes dentro do processo. Para obter essa faixa 
de incerteza com um certo grau de probabilidade, multiplicamos a incerteza 
combinada pelo coeficiente de Student (𝑡), como pode ser observado na Equação 17 
(ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
𝑢 = 𝑡 ∙ 𝑢 (17) 
A determinação da incerteza combinada e expandida de um processo de 
medição basicamente é um roteiro para que seja feito um balanço das incertezas 
26/74 
 
 
 
envolvidas no processo. Sendo esse roteiro seguido corretamente, é possível levantar 
além da incerteza expandida com uma certa probabilidade, a correção a que deve ser 
aplicada para compensar os efeitos sistemáticos da fonte de incerteza, expressa na 
unidade do mensurando. 
 
 
2.4 CALIBRAÇÃO INDIRETA 
 
A calibração é um procedimento que estabelece as indicações de um 
instrumento com os valores que correspondem a uma grandeza padrão, dentro de 
condições específicas (SILVEIRA, 2005). 
Como normalmente é realizada em laboratórios de calibração, essas condições 
são pré-estabelecidas. A medida de referência para a calibração é estabelecida por 
padrões. O padrão é um meio de medição de qualidade ótima, onde a incerteza é 
estabelecida com níveis de excelência (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
Segundo Albertazzi e Souza (2008) a calibração tem como motivação manter 
a confiabilidade metrológica, sendo convenientes para testes de aceitação de novos 
sistemas de medição, vital para evitar suspeitas de mau funcionamento no método de 
medição ou após uma manutenção do sistema. Como a atenuação da qualidade de 
medição é inevitável e continua, é usual realizar a calibração após um certo intervalo 
de tempo. 
A verificação é uma calibração simplificada que propõe testar se a medida está 
de acordo com uma determinada especificação técnica. O ajuste é um procedimento 
para realizar uma correção na medição, tornando o instrumento de medição 
compatível com o uso. O ajuste pode ser manual, semiautomático ou automático. A 
regulagem é um ajuste que tem seus recursos disponíveis para o usuário. 
Segundo Albertazzi e Souza (2008) para certas grandezas não existem 
medidas materializadas ou não é prático utilizá-las, assim a calibração direta não é 
viável. Para contornar este tipo de problema, é possível calibrar sistemas de medição 
pelo método indireto. 
A figura 6 ilustra o método de calibração indireta. Neste tipo de aferição, a 
grandeza em análise é gerada por um dispositivo auxiliar, onde o valor gerado não 
precisa ser conhecido, porém deve ser estável. A medição é feita pelo sistema de 
27/74 
 
 
 
medição a calibrar (SMC) e por outro sistema de medição simultaneamente, chamado 
sistema de medição-padrão (SMP) e as indicações de ambos os sistemas são 
comparadas (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
 
Figura 5 – Calibração indireta de um sistema de medição. 
 
Fonte: (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008) 
 
De acordo com Albertazzi e Souza (2008), as incertezas do sistema de 
medição-padrão são dimensionadas de forma que sejam dez vezes menores que a 
do sistema de medição a calibrar. 
Albertazzi e Souza (2008) dizem que a qualidade de dos resultados de uma 
calibração são muito mais influenciados pelas características do padrão e do 
procedimento escolhido do que do tipo de método utilizado. 
 
 
28/74 
 
 
 
3 MÉTODO PENDULAR 
 
 Neste capítulo serão apresentados os materiais e métodos referentes a 
construção, calibração e medição do método pendular. Ainda neste capítulo serão 
feitas discussões acerca dos resultados obtidos sobre a medição de gravidade com o 
pêndulo construído. 
 
3.1 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Nesta seção serão apresentados os procedimentos utilizados para realizar o 
projeto, construção e como deve-se extrair dados da bancada de medição pelo 
método pendular de forma correta para análise posterior. 
 
3.1.1 Projeto e construção 
 
Foram consultados diversos trabalhos para que houvesse uma ideia inicial de 
como construir um pêndulo. Após uma abordagem inicial, foi definido que um Arduino 
controlaria um sensor encoder para realização das medições. O encoder trata-se de 
um sensor digital capaz de converter um movimento em pulsos digitais, assim, com a 
decodificação desses sinais é possível realizar a medição de posição, absoluta ou 
relativa (ALCIATORE; HISTAND, 2014). 
Existem dois tipos de encoders, o incremental e o relativo. O relativo mede o 
deslocamento a partir de um ponto de referência do dispositivo. O tipo incremental 
indica o deslocamento a partir de um ponto inicial de referência (THOMAZINI; 
ALBUQUERQUE, 2005). Neste trabalho foi utilizado um sensor do tipo incremental, 
devido a maior facilidade de programação com relação ao sensor do tipo relativo, já 
que o relativo exigiria uma linha de código apenas para compensar a diferença do 
ponto zero até o ponto de referência. 
O encoder incremental possui duas faixas e dois sensores, com saídas 
denominadas A e B, como é observado na Figura 6. Quando o eixo gira, ocorrem 
pulsos com frequência proporcionais a velocidade do eixo. As saídas A e B estão 
defasadas em 90° que permitem saber o sentido de rotação do eixo, muitas vezes 
29/74 
 
 
 
existe uma terceira saída chamada index que tem a função de contar o número de 
rotações (ALCIATORE; HISTAND, 2014). 
 
Figura 6 – Diagrama de sinais das saídas A e B. 
 
Fonte: (ALCIATORE; HISTAND, 2014) 
 
O sensor utilizado na bancada de medição pendular é do tipo incremental 
angular. Nesse tipo de sensor, o diagrama mostrado na Figura 6, está no formato de 
um disco e não possui a saída Index, conforme Figura 7. 
 
Figura 7 – Diagrama de saídas encoder incremental angular. 
 
Fonte: OLIVEIRA, Jeferson A. 
 
O encoder utilizado possui 600 divisões por rotação e pode ser configurado de 
forma que emita 2400 pulsos por rotação. A configuração utilizada na bancada é de 
1200 pulsos por rotação devido à maior facilidade de programação. 
30/74 
 
 
 
O eixo tem diâmetro de 6 mm e 13 mm de comprimento e a carcaça tem 
diâmetro de 38 mm e altura de 35,5 mm, pode ser alimentado com tensão entre 5 
VDC a 24 VDC e suporta uma rotação de até 5000 rpm. A Figura 8 mostra o sensor 
que integra a bancada. 
 
Figura 8 – Encoder utilizado na bancada. 
 
Fonte: Fabricante 
 
A partir da escolha do sensor, foi feito o projeto de construção da bancada, 
sendo estabelecidas as dimensões e os suportes que devem prender e suportar o 
sensor na bancada. O material escolhido para construção da estrutura foi madeira 
MDF, pois é um material fácil de ser encontrado e facilita a construção. 
A bancada foi modelada no software SolidWorks para em seguida a madeira 
ser cortada com as dimensões desejadas, o modelo 3D pode ser visto na Figura 9. A 
base de madeira tem 300 mm x 300 mm e a haste possui 400 mm de altura. 
 
Figura 9 – Modelo 3D da bancada do método pendular. 
 
Fonte: autor. 
 
31/74 
 
 
 
Nota-se pela Figura 9 que a estrutura do pêndulo é bastante simples, tal 
simplicidade é um requisito de projeto estabelecido para manter custo baixo e 
facilidade na operação. O suporte do encoder, apresentado na Figura 10, também foi 
modelado no SolidWorks para posteriormente ser fabricado em uma impressora 3D, 
sendo impresso em material ABS (acrylonitrile butadiene styrene), um material 
termoplástico utilizado em filamentos de impressão 3D. 
 
Figura 10 – Suporte do encoder. 
 
Fonte: autor. 
 
A figura 11 mostra os pontos de fixação do encoder, seis na parte frontal. 
Atender esse pré-requisito levou ao projeto final do suporte. 
 
Figura 11 – Pontos de fixação do sensor. 
 
Fonte: Fabricante.32/74 
 
 
 
Também foi desenvolvido um suporte para a haste que liga o sensor até a 
massa, que pode ser observado na Figura 12. Esse suporte é encaixado no eixo do 
encoder e também foi fabricado em uma impressora 3D. 
 
Figura 12 – Suporte da linha da massa. 
 
Fonte: autor. 
 
A massa escolhida para o pêndulo é uma esfera de aço inox 304 de 1 polegada, 
de acordo com o fornecedor a esfera possui massa de 70,00 ± 0,05 g. A construção 
final da bancada pode ser visualizada na Figura 13. 
 
Figura 13 – Construção final da bancada. 
 
Fonte: autor. 
 
33/74 
 
 
 
Para a linha, inicialmente foi previsto a utilização de uma linha de pesca, devido 
à sua massa desprezível, um requisito para um pêndulo, porém observou-se que a 
linha causaria uma distorção na medida de posição do encoder, que teria uma 
representação do ângulo de oscilação menor que a real. A solução para este problema 
foi a utilização de uma haste. O ponto negativo dessa solução, além da massa maior 
em relação a uma linha, é a impossibilidade da variação do comprimento. 
Essa bancada é controlada por um Arduino, na Figura 14, que trata-se de um 
micro controlador criado em 2005 por pesquisadores italianos que buscavam criar um 
sistema simples. É formado por dois componentes, a placa hardware e um software 
de programação, chamado IDE Arduino, que utiliza a linguagem baseada no C++, com 
estrutura mais simples, para que mesmo pessoas com pouco conhecimento de 
programação consigam elaborar programas (MOTA, 2015). 
 
Figura 14 – Placa Arduino. 
 
Fonte: Arduino. 
 
O Arduino é o dispositivo responsável por medir a oscilação e o tempo. No 
código o tempo é medido pela função millis() que de acordo com o Arduino Reference 
retorna o número de milissegundos passados desde que a placa começou a executar 
o programa atual. É possível ver o código utilizado no Anexo 1. 
A placa Arduino é a responsável também pela alimentação do encoder, 
fornecendo 5 V diretamente de sua saída, assim dispensando a necessidade de 
utilizar uma fonte de alimentação externa. 
 O circuito de ligação da bancada é o ilustrado na Figura 15. 
 
 
34/74 
 
 
 
Figura 15 – Circuito de ligação do encoder 
 
Fonte: autor. 
 
Como o encoder trabalha com 1200 pulsos por rotação, sabemos que cada 
pulso equivale a 0,3° ± 0,15°. Porém como dito na seção 2.2.1, o tempo de oscilação 
será sempre o mesmo, independentemente do ângulo de oscilação devido ao 
isocronismo pendular. 
 
3.1.2 Retirada de dados para calibração e medição 
 
Após a montagem da bancada, programação da placa, ligação do sensor e 
teste dos equipamentos, é necessário realizar algumas medições e comparar com um 
instrumento de medição de maior precisão para garantir que o sistema de medição 
está funcionando corretamente. 
Para tanto é necessário ligar o Arduino na saída USB do computador, nessa 
bancada a alimentação da placa Arduino é feita pela porta USB e carregar o código 
de controle na placa. Assim que carregado, o programa deve abrir o monitor serial 
dentro da IDE Arduino e a tela deve estar como a Figura 16, indicando que o programa 
está pronto para realizar a medição. 
 
Figura 16 – Tela de início do programa. 
 
Fonte: autor. 
 
35/74 
 
 
 
O procedimento de medição é bastante descomplicado, basta girar a massa 
em qualquer direção e soltar. As duas primeiras medições indicadas no monitor serial 
devem ser ignoradas, devido ao fato de que a placa começa a contar o tempo no 
momento que a massa é girada. 
Quando girada, a tela deve mostrar o ângulo e o período de meia oscilação, 
isso significa que para obtenção de dados, devem ser anotados os tempos 
correspondentes a uma oscilação para posteriormente realizar o cálculo da gravidade. 
É importante ressaltar que o tempo fornecido pelo Arduino está em milissegundos. 
Para realizar a calibração do tempo da placa, utilizou-se um osciloscópio TEK 
TDS1012C - EDU na bancada. A ligação é feita por uma porta digital da placa que 
dentro do código é definida como “HIGH” durante metade da oscilação do pêndulo e 
a outra metade é definida como “LOW”, então a tela do osciloscópio apresenta o sinal 
em forma de onda (Figura 17), possibilitando a medição do tempo. 
 
Figura 17 – Aquisição do tempo no osciloscópio para calibração. 
 
Fonte: autor. 
 
Para facilitar a leitura do tempo medido com o osciloscópio, os dados foram 
exportados para o software RStudio. A intenção de utilizar o RStudio para plotar o 
gráfico é reduzir possíveis erros de leitura a partir do osciloscópio. 
 
 
36/74 
 
 
 
Figura 18 – Gráfico obtido no RStudio a partir de dados do osciloscópio 
 
Fonte: autor. 
 
Foram feitas cinco medições diferentes com o osciloscópio acoplado ao 
pêndulo para realizar a calibração do tempo obtido pela placa. Após as medições 
realizadas é feito o procedimento de cálculo de erros pelos procedimentos 
metrológicos que devem ser apresentados à frente na seção de resultados e 
discussões. A escolha do osciloscópio se justifica pela facilidade em acoplá-lo ao 
sistema de medição e pela sua alta capacidade de medir tempo, que de acordo com 
o manual do fabricante apresenta como menor medida o valor de 50 ns. 
Também foram retiradas cinco medidas de ℓ que é a distância do eixo de giro 
até a massa do pêndulo conforme Figura 19. 
 
Figura 19 – Procedimento de medição de ℓ. 
 
Fonte: autor. 
 
37/74 
 
 
 
As medidas foram retiradas com uma trena Lufkin Série L600 de 5 m, que de 
acordo com o fabricante é calibrada e possui erro de ±0,178%. 
Até aqui foram apresentados os materiais e métodos para construção, 
calibração e aquisição de dados da bancada referente ao método pendular. 
 
3.2 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos com as medições e as 
devidas discussões a respeito do método pendular. A gravidade e seu devido erro 
será apresentado. 
3.2.1 Resultados da calibração 
 
O mensurando que deve ser calibrado é o tempo, que conforme dito acima na 
seção 3.1.2, é obtido pela placa Arduino e para ser verificado foi comparado com o 
tempo obtido pelo osciloscópio. O primeiro passo é calcular o erro apresentado pelo 
osciloscópio. Foram retiradas 5 medidas com o osciloscópio para realizar a calibração. 
As medidas obtidas estão apresentadas na Tabela 2. 
 
Tabela 2 – Dados obtidos pelo osciloscópio 
𝑛 𝑡 (𝑠) 
1 1,20 
2 1,18 
3 1,19 
4 1,20 
5 1,20 
Fonte: autor. 
 
Onde n é o número da medição e t é o tempo medido em segundos. 
Em seguida é obtida a média aritmética e calculado o desvio padrão com base 
na Equação 11, os resultados são apresentados na Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Média e desvio padrão dos dados obtidos pelo osciloscópio 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 
1,194 0,009 
Fonte: autor. 
 
38/74 
 
 
 
Seguindo com a análise dos erros, foi elaborada uma tabela (Tabela 4) para 
facilitar a compreensão dos erros envolvidos no processo, essa tabela é chamada de 
balanço de incertezas, onde uma linha é reservada para cada fonte de incerteza. 
 
Tabela 4 – Balanço de incertezas do osciloscópio no pêndulo 
Fonte Estimativa Incerteza Distribuição 
Fator 
de 
divisão 
𝑢 
Graus de 
Liberdade 
Média 1,19 0,009 Normal √5 0,004 4 
Calibração - 0,0001 Uniforme √3 6,89E-05 ∞ 
Resolução - 0,00000002 Uniforme √3 1,44E-08 ∞ 
Fonte: autor. 
 
Na coluna de fonte, são colocadas cada fonte de erro, na coluna de estimativa 
são colocadas as estimativas das fontes, a coluna de incertezas é onde se atribui as 
incertezas provenientes da fonte. O fator de divisão vem do tipo de incerteza que está 
inserida. Quando a incerteza é proveniente de um certo número de medições, o fator 
de divisão é a raiz do número de medições. A coluna 𝑢 representa a incerteza padrão, 
sendo calculada pela seguinte equação: 
𝑢 =
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜
 (18) 
O número de graus de liberdade é 𝑣 = 𝑛 − 1, onde 𝑛 é o número de medições. 
Quandonão se sabe o número de medições, considera-se graus de liberdade infinito. 
Em alguns casos existe uma componente de incerteza relacionada à 
temperatura, isso deve ser verificado no manual do instrumento de medição. Todas 
as medições foram realizadas no laboratório de metrologia da UNIOESTE, onde a 
temperatura obtida em um termômetro indicava 26 ± 1 ºC, caso em que nenhum dos 
manuais indicava nenhuma correção decorrente de temperatura, sendo assim, a 
componente de incerteza relacionada à temperatura foi desconsiderada. 
 A incerteza da média apresentada na Tabela 4 é obtida a partir o desvio 
padrão da média. A incerteza da resolução foi obtida como a menor medida (50 ns) 
dividido por dois e a incerteza da calibração é fornecida pelo fabricante no manual do 
equipamento a partir da Equação 19. 
39/74 
 
 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 + 
100
10
∙ (𝑚𝑒𝑑𝑖çã𝑜) + 0,6𝑛𝑠 (19) 
Onde intervalo é o delta entre o pico mais alto e o mais baixo da onda, que foi 
considerado igual a zero pois o resultado dessa diferença é muito pequeno e medição 
é o valor apresentado no osciloscópio. 
O próximo passo é calcular o erro combinado 𝑢 (Equação 15), definido por 
Albertazzi e Souza (2008) como o desvio-padrão resultante da ação combinada de 
todas as fontes de incerteza que afetam o processo. O valor encontrado é apresentado 
na Tabela 5. Com o resultado da incerteza combinada é possível calcular o número 
de graus de liberdade efetivo (Equação 16), que é assim denominado por ser 
correspondente a incerteza combinada, apresentado na Tabela 5. 
Sabendo o número de graus de liberdade efetivo, deve-se procurar em uma 
tabela o valor do t de Student correspondente para 95,45% de confiança, que nesse 
caso é de 2,87 e então calcular a incerteza expandida (Equação 17). Albertazzi e 
Souza (2008) definem a incerteza expandida como o intervalo dentro do qual, para 
uma probabilidade de 95,45%, deve-se encontrar componentes de erro do processo 
de medição. O valor da incerteza expandida está na Tabela 5. 
A Tabela 5 mostra os valores obtidos para a incerteza combinada, expandida, 
graus de liberdade efetivo e t de Student. 
 
Tabela 5 – Valores obtidos pelo tratamento dos dados 
𝑢 ±0,004 
𝑣 4 
𝑡 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 2,87 
𝑢 ±0,011 
Fonte: autor. 
 
Após esses procedimentos chegamos a uma estimativa de incerteza de 
medição do osciloscópio, igual à ± 0,011 s, que deve ser considerado para calcular a 
incerteza da gravidade. 
 
 
40/74 
 
 
 
3.2.2 Cálculo da gravidade e suas incertezas 
 
 Para calcular as incertezas da gravidade é necessário lembrar que é uma 
medição indireta, pois é calculada a partir de operações matemáticas efetuadas 
envolvendo mais de uma medida associada. Assim é necessário verificar se as 
variáveis são correlacionadas. 
 Duas variáveis aleatórias são chamadas de não correlacionadas quando as 
variações de uma não interferem na outra, ou seja, variam de forma dessincronizada. 
Nas variáveis correlacionadas as variações aleatórias da primeira interferem na 
segunda de alguma maneira. A correlação pode ser direta para quando o aumento da 
segunda está sincronizado com o aumento da primeira, ou inversa quando o aumento 
de uma acarreta redução da outra (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). 
Para verificar a correlação, podemos calcular o coeficiente de correlação 𝑟, que 
varia de -1 para correlação inversa e +1 para correlação direta, valores intermediários 
indicam correlação parcial (ALBERTAZZI; SOUZA, 2008). A Equação 20 mostra a 
forma de calcular o coeficiente de correlação. 
𝑟(𝑡, ℓ) =
∑ (𝑥 − �̅�)(𝑦 − 𝑦)
∑ (𝑥 − �̅�) ∑ (𝑦 − 𝑦)
 (20) 
As medidas extraídas para cálculo da gravidade estão na Tabela 6. 
 
Tabela 6 – Resultados das medidas realizadas 
𝑛 𝑡 (𝑠) ℓ (𝑚) 
1 1,188 0,354 
2 1,178 0,350 
3 1,202 0,343 
4 1,231 0,340 
5 1,189 3,345 
Média 1,1976 0,3446 
Desvio padrão 0,0205 0,0036 
Fonte: autor. 
 
O tempo foi retirado da placa Arduino e as medidas de comprimento foram 
retiradas com a trena Lufkin Série L600 5 m. 
41/74 
 
 
 
Utilizando a equação 20 para verificar a correlação das variáveis, obtemos: 
𝑟 = −0,41 
Temos então uma correlação parcialmente inversa, o que é esperado devido 
ao fato que o aumento do tempo tende a diminuir o resultado, como pode ser visto na 
Equação 7. Segundo Albertazzi e Souza (2008) para considerar a total falta de 
correlação, é necessário que o módulo do coeficiente de correlação seja menor que 
0,2, assim a estimativa de erros deve considerar correlação. 
Para facilitar a compreensão das incertezas envolvidas no processo, foi feito o 
balanço de incertezas (Tabela 7). 
 
Tabela 7 – Balanço de incertezas da medição do método pendular 
 
Fonte: autor. 
 
Nota-se que no balanço de incertezas da Tabela 7 existe uma coluna adicional 
chamada de coeficiente de sensibilidade, essa coluna apresentam as derivadas 
parciais multiplicada pelo erro combinado que serão utilizadas para calcular o erro 
conforme Equação 23. A Equação 21 representa a derivada parcial em relação ao 
tempo. 
𝜕𝑔
𝜕𝑡
= −
8𝜋 ℓ
𝑡
 (21) 
A Equação 22 indica a derivada parcial com relação ao comprimento. 
𝜕𝑔
𝜕ℓ
=
4𝜋
𝑡
 (22) 
Fonte Estimativa Incerteza Distribuição
Fator 
de 
divisão
Incerteza 
Combinada
Coeficiente de 
sensibilidade
Graus de 
Liberdade
t Média 1,20 0,02 Normal √5 0,00918 -0,1467245 4
t Calibração 1,19 0,01 Normal √5 0,00513 -0,0820755 4
t Resolução - 0,0005 Uniforme √3 0,00029 -0,0046143 ∞
L Média 0,34 0,004 Normal √5 0,00163 0,0451639 4
L Resolução - 0,0005 Uniforme √3 0,00029 0,0079939 ∞
L calibração - 0,00178 Uniforme √3 0,00103 0,028458399 ∞
42/74 
 
 
 
As derivadas parciais são multiplicadas pela incerteza combinada de cada fonte 
de incerteza e então são utilizadas para calcular a incerteza combinada da medição. 
Para estimar a incerteza combinada das incertezas com coeficiente de 
correlação conhecido, o método para calcular é diferente. A Equação 23 apresenta a 
equação utilizada para estimar a incerteza combinada da medição cujo valor está na 
Tabela 8. 
𝑢 =
𝜕𝑓
𝜕𝑋
𝑢 (𝑋 ) + 2
𝜕𝑓
𝜕𝑋
𝜕𝑓
𝜕𝑋
𝑢(𝑋 )𝑢 𝑋 𝑟(𝑋 , 𝑋 ) (23) 
Seguindo o procedimento, após obter o valor da incerteza combinada, 
chegamos ao valor do número de graus de liberdade a ela correspondente, alcançado 
com a Equação 16 e apresentado na Tabela 8. O número de graus de liberdade é 
utilizado para achar o t de Student correspondente a 95,45% de confiança, que nesse 
caso é igual a 2,52. 
Com o valor do t de Student, é conveniente calcular a incerteza expandida 
(Tabela 8), com a Equação 17. A incerteza expandida corresponde a incerteza 
relacionada a gravidade do local do experimento. 
 
Tabela 8 – Resultados da estimativa de incerteza de medição 
𝑢 ±0,18 
𝑣 7 
𝑡 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 2,52 
𝑢 ±0,45 
Fonte: autor. 
 
Calculada pela Equação 6 que se refere ao método de medição da gravidade 
pendular, temos que a gravidade é: 
9,49 ± 0,45 𝑚/𝑠 
De acordo com o Google Maps, a latitude do Laboratório de Metrologia da 
UNIOESTE é aproximadamente 25º26’ e a altitude é de aproximadamente 154 m 
acima do nível do mar. A Figura 20 apresenta uma estimativa para gravidade baseada 
na altitude e latitude. 
 
43/74 
 
 
 
Figura 20 – Estimativa da gravidade baseada na altitude e latitude. 
 
Editado de: (VALERO, 2010) 
 
Em vermelho temos que a gravidade para o laboratório é aproximadamente: 
9,7891 𝑚/𝑠² 
Existe uma diferença entre a gravidade obtida pela literatura e entre a gravidade 
obtida no experimento, não tão acentuada, mas que já indica que a precisão da 
bancada deve ser melhorada. 
A melhoria poderia ser feita na construção da bancada, onde as peças 
fabricadas por impressão 3D não apresentaram boa precisão dimensional e acabaram 
apresentando algumas folgas. A peça com as maiores folgas foi o suporte da linha da 
massa, peça que precisa ser redimensionada. 
Todos os resultados referentesao pêndulo foram apresentados. Os valores 
encontrados possuem uma diferença com o que a teoria apresenta, essa diferença 
pode ser atribuída à uma calibração pouco precisa. Para utilizar a bancada com maior 
confiabilidade, é necessário realizar uma calibração da placa Arduino com maior 
precisão. 
 
44/74 
 
 
 
4 MÉTODO DA QUEDA LIVRE 
 
Neste capítulo serão apresentados os materiais e métodos referentes a 
construção, calibração e medição do método da queda livre. Ainda neste capítulo 
serão feitas discussões acerca dos resultados obtidos sobre a medição de gravidade 
com a bancada de queda livre construída. 
 
4.1 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Nesta seção serão apresentados os procedimentos utilizados para realizar o 
projeto, construção e como deve-se extrair dados da bancada de medição pelo 
método da queda livre de forma correta para análise posterior. 
 
4.1.1 Projeto e construção 
 
Após uma pesquisa sobre trabalhos relacionados, como o de Valero (2010), 
para entender a construção de uma bancada de queda livre, concluiu-se que a 
bancada deveria ter 1,5 m de altura, seria controlada por um Arduino e o sensor 
utilizado na bancada seria um piezoelétrico, responsável por encerrar a contagem de 
tempo, que é acionada por um botão que desliga um eletroímã, assim liberando uma 
esfera de aço de 6 mm. 
A pastilha piezoelétrica (Figura 21), também chamada de transdutor 
piezoelétrico é um sensor capaz de detectar toques e vibrações, utilizando 
informações da sua tensão de saída. A tensão por ela gerada é característica do 
chamado efeito piezoelétrico, que basicamente é a capacidade de cristais gerarem 
tensão elétrica em resposta a uma pressão mecânica. A detecção dos toques ocorre 
por meio das vibrações geradas durante o contato. 
 
Figura 21 – Pastilha piezoelétrica. 
 
Fonte: Mercado Livre. 
 
45/74 
 
 
 
Conforme Figura 22, um disco piezoelétrico é formado por um disco de latão, 
pastilha de cerâmica e eletrodo de prata. As pastilhas comercialmente mais comuns 
tem diâmetro entre 15 mm e 27 mm. 
 
Figura 22 – Dimensões de um disco piezoelétrico. 
 
Fonte: autor. 
 
A bancada assim como a do método pendular, tem sua base feita de MDF, 
devido a facilidade de aquisição deste tipo de material, além da facilidade construtiva. 
Algumas peças, como o suporte para o eletroímã e os suportes para a plataforma de 
lançamento foram feitos em uma impressora 3D. A Figura 23 abaixo mostra o projeto 
da bancada do método da queda livre. 
 
Figura 23 – Modelo 3D da bancada. 
 
Fonte: autor. 
 
46/74 
 
 
 
Devido ao tamanho dessa bancada, foi necessário furar a madeira para reforçar 
a haste com parafusos por baixo da base. A base da bancada possui dimensões 500 
x 500 mm na Figura 24 é mostrado o detalhamento da peça. 
 
Figura 24 - Detalhamento da base da bancada (dimensões em mm). 
 
Fonte: autor. 
 
Para suportar a plataforma de lançamento foram projetados suportes que 
permitem a regulagem da altura de queda em 50 cm, 80 cm, 1,10m e 1,50 m. A peça 
foi modelada no software SOLIDWORKS para posteriormente ser fabricada em uma 
impressora 3D, o material utilizado na impressão, assim como as demais impressões, 
foi o ABS. A figura mostra o modelo 3D da peça. 
 
Figura 25 – Suporte para plataforma de lançamento. 
 
Fonte: autor. 
 
47/74 
 
 
 
O suporte da plataforma de lançamento da altura de 1,5 m é diferente. No topo 
da bancada o suporte da Figura 25 não foi usual, então houve necessidade de 
desenvolver um suporte específico para a parte superior, visível na Figura 26. 
 
Figura 26 – Suporte superior da plataforma de lançamento. 
 
Fonte: autor. 
 
Foi desenvolvido um suporte para o eletroímã adquirido (Figura 27). 
 
Figura 27 – Suporte do eletroímã. 
 
Fonte: autor. 
 
O eletroímã tem 30 mm de diâmetro, 40 mm de altura e de acordo com o 
fabricante consegue suportar uma carga de até 15 kg. Para acionamento ele precisa 
48/74 
 
 
 
de uma fonte de corrente contínua de 5 V. Na Figura 28 é possível visualizar o 
eletroímã, seu suporte e o suporte superior. 
 
Figura 28 – Eletroímã e suportes. 
 
Fonte: autor. 
 
Na base foi colocado o sensor piezoelétrico (Figura 29) para encerrar a 
medição após impacto da esfera de aço, indicando que a queda livre acabou. Para a 
pastilha piezoelétrico conseguir detectar o impacto, foi necessário fixa-la com fita 
isolante na base. 
 
Figura 29 – Sensor piezoelétrico preso na base 
 
Fonte: autor. 
 
49/74 
 
 
 
Na haste foi colocada uma fita métrica de 150 cm para auxiliar no procedimento 
de medição. A Figura 30 mostra a bancada após o término da montagem de sua 
estrutura. 
 
Figura 30 – Bancada de queda livre. 
 
Fonte: autor. 
 
Ao testar o eletroímã, verificou-se que a saída 5 V da placa Arduino não teria 
potência suficiente para ativá-lo. Para solucionar esse problema foi utilizada uma fonte 
externa com maior potência capaz de ligar o eletroímã, e o acionamento da mesma 
seria feito por um módulo relé, como o da Figura 31, comandado pelo Arduino. 
 
Figura 31 – Módulo relé utilizado. 
 
Fonte: Mercado Livre. 
 
Nas entradas do relé da Figura 31 deve-se ligar o pino IN com a porta digital 
escolhida no código, neste caso a porta 10 (ver Anexo 2), sendo ela a responsável 
pelo acionamento do relé que liga e desliga o eletroímã. Os outros pinos são ligados 
50/74 
 
 
 
diretamente no Arduino e alimentam a bobina do relé. As saídas do módulo são 
ligadas na fonte, sendo uma COMUM, outra NC (Normalmente Fechada) e NO 
(Normalmente Aberta). O positivo da fonte deve ser ligado na saída COMUM do relé 
e o positivo do eletroímã na saída NO. A Figura 32 mostra o circuito completo. 
 
Figura 32 – Circuito esquemático. 
 
Fonte: autor. 
 
O circuito apresentado na Figura 32 é o esquema que foi utilizado para realizar 
o controle da bancada. Para realizar a contagem do tempo é utilizado a função millis(), 
dentro de um while, que após apertar o botão, conta o tempo até o piezoelétrico dar o 
sinal que desativa o circuito. O código completo está no Anexo 2. 
Após carregar o código na placa, deve-se abrir o Monitor Serial para extrair as 
informações da bancada. Logo que aberto vai aparecer uma mensagem que aguarda 
o acionamento do botão, assim que apertado aparece uma mensagem informando 
que o botão foi ativado (Figura 33) e após o impacto da esfera o tempo de queda é 
informado na tela. 
 
Figura 33 - Monitor Serial logo após o acionamento do botão. 
 
Fonte: autor. 
 
51/74 
 
 
 
Ao montar a estrutura, circuito e carregar o código, a construção da bancada 
está concluída, tornando-se necessário avançar para a próxima etapa, medição e 
calibração. 
 
4.1.2 Retirada de dados para calibração e medição 
 
Após carregar o código na placa, deve-se verificar se o eletroímã está ligado, 
então é acoplada a esfera de aço no eletroímã e ao acionar o botão a esfera é liberada. 
É necessário evitar que o eletroímã fique ligado por muito tempo, pois pode ocorrer 
superaquecimento. 
Para realizar as medições é preciso realizar a calibração da bancada, que 
assim como no método pendular, é feita com a ligação de um osciloscópio no sistema. 
O osciloscópio consegue medir o tempo com maior precisão do que o Arduino, o que 
faz com que ele seja uma boa base para comparação. 
O osciloscópio é ligado a uma das portas do Arduino, possibilitando a medição 
do tempo para realizar uma comparação com o obtido pela placa. São quatro alturas 
disponíveis para queda livre, para realizar a calibração, o osciloscópio foi ligado com 
a altura de 50 cm. 
Os dados são obtidos a partir do osciloscópio a partir do gráfico mostrado em 
sua tela, conforme Figura 34. 
 
Figura 34 – Tela do osciloscópio medindo o tempo de queda. 
 
Fonte: autor. 
 
52/74 
 
 
 
Para facilitar a visualização do tempo de queda livre, os dados foram 
exportados para o software RStudio. A Figura 35 mostra o gráfico obtido pelo RStudio.Figura 35 – Gráfico do RStudio. 
 
Fonte: autor. 
 
Foram retiradas 5 medidas a partir do osciloscópio que serão utilizadas para 
realizar a calibração da bancada. A medição foi feita com a altura de 50 cm de altura 
e devem ser apresentadas na seção de resultados e discussões. 
Após realizar a calibração, é necessário retirar 5 medidas de tempo e 
comprimento de cada posição de queda da esfera para posteriormente estimar a 
incerteza. 
As medidas de comprimento, apesar de ter uma fita métrica acoplada na 
bancada, ela serve apenas para referência, sendo necessário uma trena. Tal escolha 
foi feita devido ao fato de que a trena tem calibração de fábrica e apresenta maior 
confiabilidade. 
 
4.2 RESULTADOS E DISCUÇÕES 
 
Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos com as medições e as 
devidas discussões a respeito do método da queda livre. A gravidade e seu devido 
erro será apresentado. 
 
 
53/74 
 
 
 
4.2.1 Resultados da calibração 
 
Como dito acima, para realizar a calibração do equipamento é necessário 
realizar uma série de medições para que seja possível realizar uma análise e estimar 
as incertezas envolvidas no processo. 
Foram retiradas cinco medidas de tempo com o osciloscópio, sob uma 
temperatura de 26 ± 1 ºC, que segundo o fabricante não necessita de correção para 
temperatura. As medidas obtidas estão apresentadas na Tabela 9. 
 
Tabela 9 – Medições obtidas com o osciloscópio 
𝑛 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠) 
1 0,32 
2 0,33 
3 0,32 
4 0,32 
5 0,33 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 0,324 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 0,005 
Fonte: autor. 
 
Os dados obtidos então são colocados no balanço de incertezas para realizar 
a estimativa das incertezas envolvidas no processo. A Tabela 10 apresenta o balanço. 
 
Tabela 10 – Balanço de incertezas 
Fonte Estimativa Incerteza Distribuição 
Fator de 
divisão 
Incerteza 
combinada 
Graus de 
liberdade 
Média 0,32 0,005 Normal √5 0,002 4 
Resolução - 0,00000002 Uniforme √3 1,4E-08 ∞ 
Calibração - 3,2E-05 Uniforme √3 1,9E-05 ∞ 
Fonte: autor. 
 
A incerteza de resolução corresponde a menor medida do osciloscópio, 
segundo o manual do equipamento é igual a 50 ns, dividido por dois. A incerteza de 
54/74 
 
 
 
calibração do osciloscópio também é fornecida pelo manual do equipamento 
alcançada pela Equação 19. 
A partir do balanço de incertezas é possível calcular o erro combinado do 
sistema, obtido pela Equação 15. A incerteza combinada encontrada é útil para 
encontrar o número de graus de liberdade efetivo, que por sua vez, é utilizado para 
encontrar o valor do t de Student com 95,45% de confiança, que deve ser multiplicado 
pelo erro combinado para encontrar a incerteza expandida, que é a incerteza do 
sistema. Todos esses valores estão na Tabela 11. 
 
Tabela 11 – Resultados a partir do balanço de incertezas 
𝑢 ±0,002 
𝑣 4 
𝑡 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 2,87 
𝑢 ±0,007 
Fonte: autor. 
 
Após esses procedimentos chegamos a uma estimativa de incerteza de 
medição do osciloscópio, igual à ± 0,007 s, que deve ser considerado para calcular a 
incerteza da gravidade. 
 
4.2.2 Cálculo da gravidade e suas incertezas 
 
Neste momento é necessário apresentar os resultados obtidos com a bancada. 
A partir daqui serão mostradas tabelas referentes as medições e estimativas de 
incertezas do experimento. Também são feitas comparações entre as alturas de 
queda livre, para verificar se existe um desvio muito grande entre o resultado de cada 
altura de queda. 
Realizada a calibração, o próximo passo é realizar as medições. O 
procedimento foi explicado nas seções anteriores. Assim como o método pendular, a 
queda livre trata-se de uma medição indireta, portanto o coeficiente de correlação 
deve ser estimado para cada altura de queda. 
 
55/74 
 
 
 
4.2.2.1 Medições para altura de 50 cm 
 
Para as medidas de ℎ utilizou-se uma trena, sendo retiradas cinco medidas, já 
a medida de tempo é feita pelo Arduino e para isso, deve-se lançar a esfera cinco 
vezes. As primeiras medições foram feitas a partir da altura de 50 cm, seguindo em 
ordem crescente. A Tabela 12 apresenta as medidas para 50 cm. 
 
Tabela 12 – Medidas extraídas com a bancada para ℎ = 50 𝑐𝑚 
𝑛 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 
1 0,323 0,504 
2 0,325 0,503 
3 0,324 0,507 
4 0,325 0,506 
5 0,326 0,505 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 0,3246 0,505 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 0,0011 0,0016 
Fonte: autor. 
 
A partir dessas medidas foi possível definir o valor do coeficiente de correlação 
a partir da Equação 20. 
𝑟 = −7,4 × 10 
O valor encontrado é muito pequeno, então foi considerado um coeficiente de 
correlação igual a zero. 
Sabendo que podemos desconsiderar o valor do coeficiente de correlação, 
partimos para a abordagem de estimativa de incertezas de medidas indiretas sem 
correlação. O procedimento para cálculo da incerteza combinada é diferente. A 
Equação 24 apresenta a forma de estimar a incerteza nesse caso. 
𝑢 =
𝜕𝑓
𝜕𝑋
𝑢(𝑋 ) (24) 
A multiplicação entre a derivada parcial da função e sua incerteza é chamada 
de coeficiente de sensibilidade. Para fazer as derivadas parciais, utilizamos a Equação 
8. A derivada parcial com relação ao comprimento é apresentada na Equação 25. 
56/74 
 
 
 
𝜕𝑔
𝜕ℎ
=
2
𝑡
 (25) 
A Equação 26 mostra a derivada parcial com relação ao tempo. 
𝜕𝑔
𝜕𝑡
= −
4ℎ
𝑡
 (26) 
Sabendo as derivadas utilizadas para calcular o valor do coeficiente de 
sensibilidade, podemos partir para o balanço de incertezas referente à altura de queda 
de 50 cm (Tabela 13). As medições foram feitas numa temperatura de 26 ± 1 ºC, não 
precisando de correção para temperatura. 
 
Tabela 13 – Balanço de incertezas para ℎ = 50 𝑐𝑚 
 
Fonte: autor. 
 
A partir do balanço de incertezas, devemos calcular a incerteza combinada com 
a Equação 24. A estimativa da incerteza combinada permite estimar o número de 
graus de liberdade efetivo, útil para extrair o t de Student com 95,45% de confiança. 
O t de Student é multiplicado pela incerteza combinada e então obtemos o valor da 
incerteza expandida, que diz que com 95,45% de confiança existem erros aleatórios 
neste intervalo. A Tabela 14 apresenta todos os valores citados acima. 
 
Tabela 14 – Resultados das incertezas da medição com ℎ = 50 𝑐𝑚 
𝑢 ± 0,19 
𝑣 4 
𝑡 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 2,87 
𝑢 ± 0,55 
Fonte: autor. 
 
Fonte Estimativa Incerteza Distribuição
Fator de 
Divisão
Incerteza 
combinada
Coeficiente 
de 
Sensibilidade
Graus de 
liberdade
t Média 0,32 0,001 Normal √5 0,0005 -0,03 4
t Calibração 0,32 0,007 Normal √5 0,003 -0,19 4
t Resolução - 0,0005 Uniforme √3 0,0003 -0,02 ∞
L média 0,51 0,002 Normal √5 0,0007 0,01 4
L resolução - 0,0005 Uniforme √3 0,0003 0,005 ∞
L Calibração - 0,00178 Uniforme √3 0,001 0,02 ∞
57/74 
 
 
 
A incerteza expandida estimada pode ser considerada um pouco elevada e 
como pode-se observar no balanço de incertezas, a maior contribuição de incerteza é 
dada pela calibração do instrumento. 
A gravidade foi calculada pela Equação 8, chegando ao valor de: 
𝑔 = 9,59 ± 0,55 𝑚/𝑠² 
Discutiremos a frente o valor da gravidade obtido, após ter as estimativas das 
outras alturas de queda. 
 
4.2.2.2 Medições para altura de 80 cm 
 
Prosseguindo com o experimento, seguimos para as medições com altura de 
queda de 80 cm. Assim como no caso da altura de 50 cm, foram realizadas cinco 
medidas de tempo e altura (Tabela 15), em um ambiente de 26 ± 1 ºC. 
 
Tabela 15 – Medições para altura de queda ℎ = 80 𝑐𝑚 
𝑛 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 
1 0,409 0,797 
2 0,410 0,803 
3 0,413 0,799 
4 0,409 0,802 
5 0,407 0,798 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 0,4096 0,7998 
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 0,0022 0,0026 
Fonte: autor. 
 
A partir dessas medições o valor do coeficiente de correlação é estimado pela 
Equação 20, sendo igual à: 
𝑟 = −0,16 
Segundo Albertazzi e Souza (2008), quando o módulo de 𝑟 ≤ 0,2, podemos 
considerar como se não houvesse nenhuma correlação. Assim calculamos a incerteza 
combinada pela Equação 24.