16 Testes de Hipóteses (3 de 3)

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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
16. TESTES DE 
HIPÓTESES
(PARTE 3 -
CONCEITOS AVANÇADOS)
• Conceitos Avançados
A seguir, são apresentados conceitos 
mais avançados de testes de hipóteses. 
O conceito de poder, em particular, 
merece atenção especial, por ter sido 
cobrado em alguns exames da ANPEC.
O poder ππππ de um teste de 
hipóteses é a probabilidade de 
rejeitar H 0 quando ela é falsa.
Obs -o poder também é 
chamado potência do teste.
Poder de um Teste
Temos então que o poder de um teste é 
a probabilidade de uma decisão correta.
A idéia é que um bom teste deve - ao 
menos na maioria das vezes - conduzir 
à rejeição de H0 quando ela for falsa.
Erros em um Teste de Hipóteses x Poder:
H0 Verdadeira H0 Falsa
Rejeitar H0 Erro Tipo I
Não Rejeitar 
H0
Erro Tipo II
Decisão 
Correta
a probabilidade desta decisão correta é o poder do teste
Relação entre o Poder e a 
Probabilidade do Erro Tipo II:
É fácil concluir que: 
π = 1-β.
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• Cálculo do Poder de um Teste
O poder de um testeé 
calculado da seguinte forma:
ππππ = PH1(Estatística do Teste ∈∈∈∈ RC).
indica que a probabilidade será calculada sob H1
Exemplo 16.1- Calcule o poder do teste 
do exemplo 14.4, assumindo que o nível 
médio real de nicotina nos cigarros seja 32.
Solução:
Este cálculo envolve 4 passos:
.99,30X306,0*645,1X
645,1
25/3
30-X
645,1Z
:X de termosem RC a Reescrever1 Passo
≥⇒+≥
⇒≥⇒≥
−
).
6,0
99,30
Z(P)(
: de valor o usando , X Padronizar3 Passo
).99,30X(P)RCZ(P
: de definição aAplicar 2 Passo
1
11
H
HH
µ−≥=µπ
µ−
≥=∈=π
π−
.9535,0)68,1Z(P
)
6,0
01,1
Z(P)
25/3
3299,30
Z(P)32(
:enunciado no fornecido 
de valor o Substituir4 Passo
=−≥=
−≥=−≥=π
µ
− Na prática, não sabemos o valor 
real de µ, e portanto faz mais sentido 
expressar π como função de µ.
A curva resultante é 
chamada curva de poder.
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• Curva de Poder ou Função Poder
O poder de um teste, como função dos 
valores possíveis de µ contemplados em 
H1, é chamado de curva de poder do teste.
(outros nomes: função 
poder ou função potência)
Exemplo 16.2- esboce a 
curva de poder do teste:
H0: µ = 75 contra H1: µ > 75,
ao nível α = 0,05. Considere σ = 10 e n = 25.
.75 para ),
2
29,78
Z(P
)29,78X(P)(
1
1
H
H
>µµ−≥
=≥=µπ
Solução:
Calculamos a seguir o valor de π(µ) 
para alguns valores específicos de µ:
π(77) = 0,2595.
π(78) = 0,4424.
π(80) = 0,8037.
À medida que nos afastamos de k = 75, 
o poder do teste aumenta. Por que?
Resposta:
Porque é mais fácil distinguir entre 
H0 e H1 quando o valor real de µ é 
distante de k. P.ex., se µ = 76, é natural 
que o poder (capacidade) do teste para 
distinguir H1 de H0 seja menor. 
De fato: π(76) = 0,1251.
Qual o limite da curva de 
poder quando µ tende a 75?
A figura a seguir ilustra o gráfico da 
curva de poder para o teste apresentado:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
75
,1
75
,6
76
,1
76
,6
77
,1
77
,6
78
,1
78
,6
79
,1
79
,6
80
,1
80
,6
81
,1
81
,6
82
,1
82
,6
83
,1
83
,6
84
,1
84
,6
85
,1
85
,6
π(µ)
µ
• Cálculo da Probabilidade do Erro Tipo II
A probabilidade de que se cometa o 
erro tipo II em um teste, denotada 
por β, é calculada da seguinte forma:
ββββ = PH1(Estatística do Teste ∉∉∉∉ RC).
Ou, se já tiver calculado π, fazer: ββββ = 1-ππππ.
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• Curva Característica de Operação
A curva ββββ(µµµµ) = 1- ππππ(µµµµ) é chamada 
curva característica de operação.
Exemplo 16.2(cont.) - Esboce a curva 
característica de operação do teste. 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
75
,1
75
,6
76
,1
76
,6
77
,1
77
,6
78
,1
78
,6
79
,1
79
,6
80
,1
80
,6
81
,1
81
,6
82
,1
82
,6
83
,1
83
,6
84
,1
84
,6
85
,1
85
,6
Curva Característica de Operação (ex. 16.2):
β(µ)
µ
Exemplo 16.3- Esboce as curvas de poder 
e característica de operação para o teste: 
H0: µ = 75 contra H1: µ < 75,
ao nível α = 0,05.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
64
64
,5 65
65
,5 66
66
,5 67
67
,5 68
68
,5 69
69
,5 70
70
,5 71
71
,5 72
72
,5 73
73
,5 74
74
,5
Curva de Poder (ex. 16.3):
π(µ)
µ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
64
64
,5 65
65
,5 66
66
,5 67
67
,5 68
68
,5 69
69
,5 70
70
,5 71
71
,5 72
72
,5 73
73
,5 74
74
,5
Curva Característica de Operação (ex. 16.3):
β(µ)
µ
Exemplo 16.4- Esboce as curvas de poder 
e característica de operação para o teste: 
H0: µ = 75 contra H1: µ ≠ 75. 
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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Curva de Poder (ex. 16.4):
π(µ)
µ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
Curva Característica de Operação (ex. 16.4):
β(µ)
µ
• Teste Não-Viciado
Um teste é chamado não viciado se 
ππππ > αααα, ou seja:αααα + ββββ < 1
para todo valor do parâmetro de 
interesse θ contemplado em H1.
• Teste Uniformemente Mais Poderoso
O teste de nível α que possui maior poder do 
que qualquer outro, de mesmo nível α, para 
todo θ contemplado em H1, é chamado 
uniformemente mais poderoso(T.U.M.P.). 
Isto significa que, para o nível de significância 
considerado, ele é o melhor teste possível.
• Testes de Hipóteses Simples
Hipóteses como θ < k ou θ ≠ k são chamadas 
compostas, ao passo que θ = k é uma hipótese 
simples. Teoricamente, embora não faça muito 
sentido prático, é possível fazer um teste de uma 
hipótese simples contra outra hipótese simples.
Por exemplo: H0: θ = k1 x H1: θ = k2. 
Entretanto, este teste (estatística e região 
crítica) é exatamente o mesmo usado para: 
H0: θ = k1 x H1: θ > k1, se k1 < k2, 
ou H0: θ = k1 x H1: θ < k1, se k1 > k2. 
Com H1 simples, torna-se possível calcular 
a probabilidade do erro tipo II (β), e o poder
do teste (neste caso, os conceitos de curva 
de poder e de curva característica de 
operação passam a não fazer sentido).