24 Equações Simultâneas

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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
24. SISTEMAS
DE EQUAÇÕES 
SIMULTÂNEAS
• Definição
Um modelo/sistema de equações simultâneas 
é um sistema de equações de regressão em 
que uma ou mais variáveis explicativas são 
determinadas conjuntamente com uma ou 
mais variáveis dependentes. O exemplo 
clássico consiste nas equações de demanda 
e oferta de uma mercadoria ou um insumo. 
Exemplo 24.1(modelo de demanda e oferta) 
- Seja uma equação que represente a 
demanda como função do preço:
Qd = α0 + α1P + u1,
sendo Qd a quantidade demandada
da mercadoria e P, o seu preço.
A teoria econômica indica que α1 < 0.
Em princípio, esta equação poderia ser 
tratada como uma regressão simples, e 
estimada da maneira usual, por MQO. 
Porém, demanda e oferta são 
interdependentes. Em um mercado 
equilibrado, elas serão iguais.
Portanto, para especificar o problema de 
forma completa, é necessário escrever a 
quantidade ofertada como função de P.
A equação da oferta é apresentada a seguir:
Qs = β0 + β1P + u2,
sendo Qs a quantidade ofertada
da mercadoria e P, o seu preço.
A teoria econômica indica que β1 > 0.
A condição de equilíbrio de mercado 
é que oferta e demanda sejam iguais:
Qd = Qs = Q.
Isto faz com que o preço P e a quantidade Q 
sejam determinados simultaneamente. Por 
exemplo, quando a quantidade ofertada muda, 
P também é afetado, para manter Qd = Qs.
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A figura a seguir ilustra a situação.
Deslocamentos em Qs
afetam P, para que se 
mantenha o equilíbrio!
Por exemplo, os fatores contidos em u2, ao 
afetarem Qs, alteram também o valor de P.
Isto faz com que P seja correlacionado com u2, 
ou seja, P seja endógena na equação da oferta.
O mesmo argumento vale para a equação 
da demanda, trocando u2 por u1 e Qs por Qd. 
O slide a seguir formaliza o modelo de 
demanda e oferta em sua forma mais simples 
(sem variáveis explicativas adicionais).
QQQ :equilíbrio de Condição
produto do preçoP
produto do ofertada quantidadeQ
produto do demandada quantidadeQ
 :que em
uPQ :Oferta da Equação
uPQ :Demanda da Equação
sd
s
d
210s
110d
==
=
=
=
+β+β=
+α+α=
As equações se tornam interligadas porque P 
é determinado simultaneamente com Q, pela 
interação da oferta com a demanda, o que 
torna P endógena em ambas as equações. 
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Para uma especificação mais realista, algumas 
variáveis explicativas devem ser incorporadas.
No caso da equação de demanda, uma 
variável explicativa é a taxa de juros.
Já na equação de oferta, temos o salário dos 
trabalhadores que fabricam a mercadoria.
O slide a seguir apresenta uma formulação 
mais realista para o modelo de demanda e 
oferta, incorporando taxa de juros e salário 
como explicativas nas respectivas equações.
Um ponto importante é que, nesta formulação, 
a taxa de juros e o salário são considerados 
exógenos ou predeterminados, ou seja, têm 
seus valores determinados fora do modelo.
QQQ :equilíbrio de Condição
 ores trabalhaddos salário W 
juros de taxa R
produto do preçoP
produto do ofertada quantidadeQ
produto do demandada quantidadeQ :que em
uWPQ :Oferta da Equação
uRPQ :Demanda da Equação
sd
s
d
2210s
1210d
==
=
=
=
=
=
+β+β+β=
+α+α+α=
Exemplo 24.2(exemplo 24.1 ampliado) -
Para estimar um sistema de equações 
simultâneas, é necessário escrever as 
variáveis endógenas do sistema como 
função apenas de variáveis exógenas.
Isto é chamado forma reduzida do sistema.
• Forma Estrutural
As equações de demanda e oferta são 
chamadas equações estruturais, uma vez 
que são derivadas da teoria econômica, 
representando a estrutura do sistema, ou o 
comportamento dos agentes econômicos.
Dizemos que estas equações 
estão na forma estrutural.
• Forma Reduzida
É a forma que expressa as variáveis endógenas 
como função das variáveis exógenas do sistema 
(de todas as exógenas do sistema e apenas delas)
No exemplo da demanda e oferta, a forma 
reduzida para P e Q é obtida de maneira 
simples, mediante a solução do sistema de 
equações, isolando cada uma das variáveis.
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Forma reduzida para P
Aplicando a condição de equilíbrio (ou seja, 
igualando o lado direito das 2 equações):
)(
)uu(
W
)(
R
)()(
)(
P
uuRW)(P)(
uWPuRP
11
12
11
2
11
2
11
00
12220011
22101210
β−α
−+
β−α
β+
α−β
α+
β−α
α−β
=
−+α−β+α−β=β−α
+β+β+β=+α+α+α
υ1Π 1Π0 Π 2
Forma reduzida para Q
Isolando P na 2ª equação estrutural: 
Substituindo na 1ª equação:
12
1
1
2
1
21
1
1
1
01
0
12
1
2
1
2
1
0
1
10
uuRWQ
uR
u
W
Q
Q 
+
β
α−α+
β
βα−
β
α+
β
βα−α=
+α+





β
−
β
β−
β
β−
β
α+α=
1
2
1
2
1
0
1
u
W
Q
 P
β
−
β
β−
β
β−
β
=
)(
uu
W
)(
R
)()(
Q
uu
WR
Q :eordenandor e Q Isolando
uu
WRQ
11
2111
11
21
11
12
11
0110
1
2111
1
21
2
1
0110
1
11
1
2111
1
21
2
1
1
1
0110
α−β
α−β+
β−α
βα+
α−β
βα+
α−β
βα−βα=
β
α−β+
β
βα−α+
β
βα−βα
=





β
α−β
β
α−β+
β
βα−α+
β
α+
β
βα−βα=
υ2Π5
Π4Π3
Note que os erros υ1 e υ2 na forma reduzida 
dependem, ambos, dos erros u1 e u2 das 
equações estruturais. Assim, Cov(υ1,υ2) ≠ 0.
• Demonstração da Endogeneidade de P e Q 
em um Sistema de Equações Simultâneas
A forma reduzida possibilita uma prova 
formal de que P e Q são endógenas. 
(faremos a demonstração apenas para P)
Calculando a covariância de P com 
o erro u1 da equação da demanda:
( )( ) .0)u(Vu,uCov
)(
1
u,
)(
u
Covu,
)(
u
Cov
u,
)(
)uu(
exógenas de funçãocteCov
)u,P(Cov
112
11
1
11
1
1
11
2
1
11
12
1
≠−
β−α
=






β−α
−





β−α
=






β−α
−++
=
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A demonstração de que Cov(P,u2) 
≠ 0 é igualmente simples. 
Assim, P é endógena 
nas duas equações. 
A demonstração para Q 
é igualmente simples.
• Estimação dos Parâmetros
Os parâmetros das equações na forma 
reduzida podem ser estimados por MQO, 
pois suas variáveis explicativas são exógenas.
Uma condição para estimar os parâmetros 
de uma equação na forma estrutural é que 
seja possível escrevê-los como função 
dos parâmetros na forma reduzida.
Problema: em algumas situações, não é 
possível “recuperar” os parâmetros de 
uma equação estrutural como função 
dos parâmetros da forma reduzida. 
Neste caso, a equação é dita não 
identificável, e não será possível obter 
estimadores consistentes dos parâmetros. 
Um exemplo é apresentado a seguir.
Exemplo 24.3- Considere agora o 
seguinte modelo de demanda e oferta:
QQQ :equilíbrio de Condição
juros de taxa R produto, do preçoP
produto do ofertada quantidadeQ
produto do demandada quantidadeQ
 :que em
uPQ :Oferta da Equação
uRPQ :Demanda da Equação
sd
s
d
210s
1210d
==
==
=
=
+β+β=
+α+α+α=
Forma reduzida para P
Aplicando a condição de equilíbrio:
)(
)uu(
R
)()(
)(
P
uuR)(P)(
uuR)(PP
uPuRP
QQ
11
12
11
2
11
00
1220011
1220011
2101210
sd
β−α
−+
α−β
α+
β−α
α−β=
−+α−α−β=β−α
−+α−α−β=β−α
+β+β=+α+α+α
=
Π1Π0Forma reduzida para Q
Isolando P na 2ª equação estrutural: 
Substituindo na 1ª equação e isolando Q:
12
1
1
2
1
1
1
01
0
12
1
2
1
0
1
10
uuRQ
uR
uQ
Q 
+
β
α−α+
β
α+
β
βα−α=
+α+





β
−
β
β−
β
α+α=
1
2
1
0
1
uQ
 P
β
−
β
β−
β
=
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)(
uu
R
)()(
Q
uu
RQ1
uu
RQQ 
uu
RQQ 
11
2111
11
12
11
0110
1
2111
2
1
0110
1
1
1
2111
2
1
0110
1
1
1
2111
2
1
1
1
0110
α−β
α−β+
α−β
βα+
α−β
βα−βα=
β
α−β+α+
β
βα−βα=





β
α−
β
α−β+α+
β
βα−βα=
β
α−
β
α−β+α+
β
α+
β
βα−βα=
Π3Π2
Note que é possível obter β0 e β1 a 
partir de Π0, Π1, Π2 e Π3, facilmente:
β0 = Π2 - β1Π0
β1 = Π3/Π1
Isto significa que a equação 
da demanda é identificável.
Todavia, não é possível obter α0, α1 e α2 
em função de Π0, Π1, Π2 e Π3 (tente!). 
A equação da demanda é não identificável, 
pois não é possível obter seus parâmetros a 
partir dos parâmetros na forma reduzida.
Exercício 24.1- verifique que, no exemplo 
24.2, ambas as equações são identificáveis.
• O Problema da Identificação
Considere o modelo inicial de demanda e 
oferta do exemplo 24.1. Um problema com 
esta especificação é que, apenas com dados 
de Q e P, e sem informações a respeito de 
variáveis que afetem apenas a demanda 
ou apenas a oferta, é impossível saber qual 
equação estamos estimando (pois Qd = Qs).
De onde vem o termo “Identificação”?
É a presença de variáveis exógenas em 
cada uma das equações que nos permite 
identificar (= distinguir) qual é a equação 
da oferta, e qual é a equação da demanda.
Vamos a uma explicação econômica, 
considerando a situação do exemplo 24.2
O que permite traçar a curva de demanda é o 
fato da variável W na equação da oferta ser 
exógena. Cada valor de W conduz a um 
ponto de equilíbrio, desenhando a curva.
W, neste contexto, é chamado deslocador 
(observável) da oferta. Ele é necessário 
para identificar (traçar) a função demanda.
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Por um raciocínio análogo, R, no sistema 
apresentado, é o deslocador da demanda.
O que permite desenhar cada curva é a 
presença de uma variável exógena na 
equação da outra curva, que não apareça na 
equação considerada (senão seria endógena).
Assim, para que uma equação seja 
identificada, é necessário que tenhamos 
tantas variáveis exógenas excluídas quanto 
endógenas do lado direito da equação, e 
que apareçam em outra equação do sistema.
Isto leva a estabelecer a seguinte condição 
de identificação, necessária para a estimação 
dos parâmetros de uma equação estrutural.
• Condição (de Ordem) para Identificação
Em um sistema de equações simultâneas, 
uma equação será identificável se o número 
de variáveis exógenas excluídas da equação
for pelo menos igual a m-1, sendo m o 
total de variáveis endógenas na equação.
As exógenas excluídas são tecnicamente 
denominadas restrições de exclusão.
Esta condição é apenas necessária. A condição 
suficiente para identificação é que cada uma das 
variáveis exógenas excluídas tenha coeficiente 
diferente de zero em outra equação do sistema.
De forma geral, isto é verificado pela condição 
(suficiente) de posto, a ser vista mais adiante.
• Identificação Exata
Caso haja uma correspondência biunívoca entre 
os parâmetros da forma estrutural e da forma 
reduzida, a equação é exatamente identificada.
Isto ocorrerá se o número de restrições de 
exclusão for igual ao número de variáveis 
endógenas do lado direito da equação.
• Sobreidentificação
Uma equação é sobreidentificada se houver 
mais de uma forma possível de escrever os 
parâmetros da forma estrutural como função 
dos parâmetros da forma reduzida.
Isto ocorrerá se o número de restrições de 
exclusão for maior do que o número de 
endógenas do lado direito da equação.
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• Métodos de Estimação
A estimação dos parâmetros de um sistema de 
equações simultâneas na forma estrutural por 
MQO levaria a estimadores inconsistentes.
Desta forma, métodos alternativos de 
estimação precisam ser considerados. 
• Mínimos Quadrados Indiretos (MQI)
Consiste nos seguintes passos:
Passo 1 - estimar a forma reduzida por MQO.
Passo 2 - escrever os coeficientes da forma 
estrutural em função dos coeficientes da 
forma reduzida, e substituir estes pelas 
suas estimativas obtidas no passo 1.
O método MQI só pode ser aplicado se 
a equação for exatamente identificada.
Além disto, este método é complicado de 
se aplicar na prática, notadamente quando 
temos mais de 2 equações estruturais.
• Estimação por Variáveis Instrumentais
Consiste em considerar as variáveis exógenas 
excluídas como variáveis instrumentaispara 
as variáveis endógenas na equação estrutural.
Perceba a importância da identificação, aqui.
• Estimação de Equações Sobreidentificadas
Neste caso, pode-se utilizar os previsores 
das endógenas -fornecidos pela estimação 
da forma reduzida por MQO -como VI`s para 
as respectivas variáveis na equação estrutural.
Vimos no capítulo 23 que usar tais previsores 
como VI`s equivale a usá-los como variáveis 
explicativas na estimação por MQO da equação 
estrutural, o que conduz ao método MQ2E.
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• MQ2E em Equações Simultâneas
Primeiro estágio: Estimar as 
equações da forma reduzida por MQO.
Segundo estágio: 
Substituir cada variável endógena na 
equação estrutural pelo seu valor previsto 
na estimação por MQO da forma reduzida, 
e estimar a equação resultante por MQO.
Como os valores previstos da forma reduzida 
são exógenos (pois são funções apenas de 
variáveis exógenas), a equação resultante no 
segundo estágio pode ser estimada por MQO.
• Estimação de Equações 
Exatamente Identificadas 
No caso em que temos exatamente uma 
VI disponível para cada endógena, ou seja, 
em que o modelo é exatamente identificado,
MQ2E equivale a utilizar cada exógena 
isoladamente como VI para a endógena 
correspondente, e também equivale a MQI. 
Resumo -Estimação de um 
Sistema de Equações Simultâneas
Se uma equação é exatamente identificada, 
seus parâmetros podem ser estimados por 
Mínimos Quadrados Indiretos (MQI) ou por 
Mínimos Quadrados em 2 Estágios (MQ2E) 
(neste caso, os métodos são equivalentes).
Se a equação for sobreidentificada, só é 
possível estimar seus parâmetros por MQ2E.
Os três métodos apresentados conduzem 
a estimadores viciados, mas consistentes, seja 
sob identificação exata ou sobreidentificação.
Estes métodos são classificados como de 
equação única ou de informação limitada.
Obs - Existe outra categoria de métodos, 
denominados de métodos de informação 
completa, que utilizam as restrições sobre 
todas as equações para estimar cada uma. 
Estes métodos fogem ao escopo deste trabalho.
• Condição de Classificação ou de Posto
A condição de ordem é apenas necessária 
para a identificação. A condição suficiente 
é a condição de classificação ou de posto, que 
garante a relevância das restrições de exclusão.
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• Condição de Posto - Caso de 2 Equações
No caso mais simples, em que temos M = 2 
equações, a condição de posto é simplesmente 
que alguma variável exógena excluída tenha 
coeficiente diferente de zero na outra equação.
Exemplo 24.4- Considere o sistema 
do exemplo 24.2, repetido a seguir:
Já vimos que as 2 equações deste sistema 
satisfazem à condição de ordem para 
identificação. Verifique a condição de posto 
para a identificação da equação de demanda.
QQQ :Equilíbrio de oCondiçã
uWPQ :Oferta da Equação
uRPQ :Demanda da Equação
sd
2210s
1210d
==
+β+β+β=
+α+α+α=
Solução: Como há apenas 2 equações e uma 
restrição de exclusão (W), a condição de posto 
é que o coeficiente β2 seja diferente de zero. 
Qual a importância de checar 
a condição de posto?
Os métodos de estimação estudados podem 
fornecer estimativas únicas dos parâmetros 
se apenas a condição de ordem for satisfeita. 
Todavia, estas estimativas são desprovidas 
de sentido se a condição de posto não for 
satisfeita, uma vez que não temos como 
identificar qual equação estamos estimando.
No exemplo 24.4, se β2 = 0, não é possível saber 
se estamos estimando a equação de demanda ou 
uma combinação linear de demanda e oferta, 
tornando sem sentido as estimativas obtidas.
• Condição de Posto -
Caso Geral (M ≥≥≥≥ 2)
1 - Reescreva o sistema de equações com 
todas as variáveis (M endógenas e r exógenas) 
armazenadas em um vetor v do lado esquerdo 
e os termos de erro armazenados em um vetor 
u do lado direito. O sistema torna-se: Av = u.
A matriz A é de ordem Mx(M+r), sendo r 
o total de variáveis exógenas do sistema.
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2 - Defina uma submatriz de A, que será 
denotada por A* , da seguinte forma:
- exclua de A a linha correspondente 
à equação analisada (A* terá M-1 linhas)
- considere apenas as colunas referentes 
aos coeficientes das variáveis (endógenas 
e exógenas) que não aparecem (isto é, têm 
coeficiente zero) na equação analisada.
3 - Verifique se A* tem posto cheio (= M-1). 
(número de linhas ou colunas não nulas e l.i.`s). 
Uma forma simples é verificar se A* - ou 
alguma submatriz de (M-1) colunas de A* -
possui todas as linhas/colunas não nulas e li`s. 
Obs - o procedimento formal consiste em 
verificar se A* - ou alguma submatriz de (M-1) 
colunas de A* - possui determinante ≠≠≠≠ zero.
Se A* tem posto cheio, a equação é 
identificada (para saber se é exatamente ou 
sobreidentificada, vide condição de ordem).
Caso contrário, a equação é 
subidentificada e não pode ser estimada.
Exemplo 24.5- Considere novamente o 
sistema do exemplo 24.2, repetido a seguir:
Verifique formalmente a condição de posto 
para a identificação da equação de demanda.
.
QQQ :Equilíbrio de oCondiçã
uWPQ :Oferta da Equação
uRPQ :Demanda da Equação
sd
2210s
1210d
==
+β+β+β=
+α+α+α=
Solução -reescrevendo o sistema com 
todas as suas variáveis do lado esquerdo:
o sistema, escrito matricialmente, torna-se:






=




















β−
α−
β−β−
α−α−
2
1
2
2
10
10
u
u
W
R
P
1
Q
0
01
1
2210
1210
uWPQ
uRPQ
=β−β−β−
=α−α−α−
A
Para verificar a condição para a 1ª equação, 
devemos eliminar a linha correspondente, e 
considerar apenas a coluna que corresponde 
a W (única variável excluída da 1ª equação): 






β−
α−
β−β−
α−α−
2
2
10
10 0
01
1
12
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A submatriz de dimensão 1x1, é A* = [-β2], 
que apresenta posto 1, a menos que β2 seja zero. 
Note que esta é condição de posto para o caso 
de 2 equações: β2 ≠ 0. De fato, se β2 fosse zero, 
W simplesmente não apareceria na equação 2. 
Logo, o sistema é identificado, exceto se β2 = 0.
Exemplo 24.6- Considere o sistema:
Verifique a condição de posto para cada 
equação. Em particular, verifique que a 
equação para (1) será identificada se, e 
somente se: φ2γ2 - φ3β1 for diferente de zero!
32211332
2210322
1110211
uXXYY
uXYY
uXYY
+γ+γ=φ−
+β+β=φ−
+α+α=φ−
Exercício 24.2- Considere o sistema:
Verifique as condições de ordem e de posto, 
para cada uma das 3 equações. Em particular, 
note que a 3ª equação satisfaz à condição de 
ordem, mas não satisfaz à condição de posto.
333121103
223123102
1321101
uXXYY
uXXYY
uXXY
+γ+γ+γ+γ=
+β+β+β+β=
+α+α+α=
Ainda que a condição de ordem aponte que 
o sistema é identificado, somente a condição 
de posto poderá garantir isto. Logo, se a 
equação não satisfaz a condição de posto, ela 
é subidentificada, mesmo se a condição de 
ordem para identificação for satisfeita.
Situações possíveis se começarmos pela 
condição de ordem (mais simples):
Se uma equação satisfaz a condição de 
ordem, nada se pode afirmar sobre ela. É 
necessário olhar para a condição de posto.
Se uma equação não satisfaz a condição de 
ordem, ela é subidentificada. Neste caso, não 
é necessário olhar para a condição de posto.
Situações possíveis se começarmos 
pela condição de posto (suficiente):
Se uma equação satisfaz a condição de posto, 
ela é identificada. A condição de ordem 
aponta se há restrições sobreidentificadoras.
Se uma equação não satisfaz a condição de 
posto, ela é subidentificada e não pode ser 
estimada. Neste caso, a condição de ordem 
não informa nada, e deve ser ignorada.