Aula 4 - Introdução a Probabilidade

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2. Probabilidade 
 
2.1 Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Eventos 
Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A observação 
de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de experimento aleatório. 
O termo “experimento” sugere a incerteza do resultado antes de fazermos as observações, 
porém pertencente a um conjunto de resultados possíveis. Um espaço amostral é o conjunto de 
todos os resultados possíveis de um experimento. Os resultados de um experimento chamam-se 
eventos, as probabilidades dizem respeito a algum evento. 
Exemplos de experimentos aleatórios: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima; 
Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido; Jogue uma moeda 3 vezes e 
observe a sequência de caras e coroas obtida. 
 
 Notação 
Espaço amostral de um experimento aleatório é denotado por S ou . Um evento é um 
subconjunto de S, logo, S e (conjunto vazio) são eventos, onde S é dito o evento certo e o 
evento impossível. Exemplo de eventos no lançamento de um dado: 
S = {1,2,3,4,5,6} 
A: ocorre um n.º par  A = {2,4,6} 
B: ocorre a face 6  B = {6} 
C: ocorre um n.º maior que 6  C =  
D: ocorre nº 6 ou nº par  D = {2,4,6} 
E: ocorre nº par ou nº ímpar  E = {1,2,3,4,5,6} = S
 
 Definições importantes 
1) Eventos Excludentes ou Mutuamente Exclusivos – Dois eventos A e B são excludentes ou 
mutuamente exclusivos se a ocorrência de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, 
não podem ocorrer simultaneamente. 
Exemplos: Uma pessoa tem um irmão, tem dois irmãos ou tem três irmãos; As faces de um dado; 
2) Eventos Complementares – Dois eventos A e B são ditos complementares quando o 
complemento de um evento consiste de todos os resultados no espaço amostral que não façam 
parte do evento. O complemento de um evento consiste de todos os outros resultados no espaço 
amostral. Finalmente, convém às vezes notar que um evento e seu complemento são mutuamente 
excludentes e coletivamente exaustivos. 
Exemplos: Cara ou coroa na jogada de uma moeda; feridos e não-feridos num acidente; apanhou 
ou não a bola; 
3) Eventos Coletivamente Exaustivo – Dois eventos A e B são ditos coletivamente exaustivos se ao 
menos um tiver que ocorrer durante um dado experimento. Assim, na extração de uma carta, os 
eventos “a carta é de paus”, “a carta é de ouros”, “a carta é de espadas” e “a carta é de copas” 
são coletivamente exaustivos, pois obrigatoriamente um deles deve ocorrer. 
4) Eventos Equiprováveis – Dois eventos A e B são ditos Eventos Equiprováveis têm a mesma 
probabilidade de ocorrência. 
Exemplos: Lançamento de um dado; uma moeda, ambos honestos 
 
2.2 A Matemática da Probabilidade 
A probabilidade de um evento A, denotada por P(A) , é um número de 0 a 1 que indica a 
chance de ocorrência do evento A. 
 Axioma 1: 0  P(A)  1, ou seja, quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência 
do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. 
 
 
 Axioma 2: P(S) = 1 , ou seja, a probabilidade representada pelo espaço amostral é de 100%. A 
probabilidade de não-ocorrência de um evento é: 1 – P(A’), pois P(A) + P(A’) = 1 
 
Formula para cálculo de probabilidade: 
𝐏 = 
𝐧(𝐀)
𝐧(𝐒)
 
Onde: 
n(A) – número de resultados favoráveis ao Evento A 
n(S) – número total de resultados do Espaço Amostral 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6:
 
 
2.3 Calculo de Probabilidades 
 
1) Probabilidade de Ocorrência de ao menos um de dois Eventos 
Aplica-se a regra da adição para determinar a probabilidade ocorrência de um ou outro 
ou de ambos os eventos no caso de haver dois. O cálculo depende de os eventos a serem ou 
não mutuamente excludentes. 
 
a) Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a 
ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” 
indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro 
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
 
Exemplo 7: Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é: 
 
Exemplo 8: Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas (P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-
se uma bola, qual a probabilidade de ela ser preta ou verde? 
 
b) Probabilidade com eventos não mutuamente exclusivos 
Dois eventos não são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui 
a ocorrência de outro. É possível ocorrer os eventos A e B ao mesmo tempo, logo A ocorre ou B 
ocorre ou ambos ocorrem. 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
Exemplo 9: Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é: 
 
 
Exemplo 10: Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo 
que 250 leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao 
acaso, qual a probabilidade de que seja leitor dos jornais A ou B? 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 
2) Probabilidade Condicional 
É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido. Portanto, os 
eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro. 
 
P(B|A) = P(A e B) 
 P(A) 
 
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” 
dentro do qual, queremos calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original. 
 
Exemplo 11: Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a 
probabilidade de esse número ser o “5” (evento B)? 
 
 
Exemplo 12: Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a 
probabilidade de esse número ser ímpar (Evento B)? 
 
 
 
Exemplo 13: Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de 
que a 2ªcarta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição). 
 
Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta, o baralho restante tem 51 cartas, 4 das 
quais são dama. Então: 
 
 
3) Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos 
A probabilidade da ocorrência de dois eventos é chamada probabilidade conjunta, e seu 
cálculo diferem, conforme os eventos sejam ou não independentes. 
 
a) Probabilidade com dois Eventos Independentes 
Se dois eventos independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao 
produto de suas probabilidades individuais 
 
P(A e B) = P(A).P(B) 
 
Exemplo 14: Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer 
um número maior que 3 e o número 2? 
 
Dessa forma, teremos: 
 
 
 
b) Probabilidade com dois Eventos Dependentes 
O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois eventos 
ocorrerem simultânea ou sucessivamente. Uma consequência matemática importante da 
definição de probabilidade condicional, pois a fórmula para o cálculo dessa probabilidade decorre 
da fórmula da probabilidade condicional. Assim, teremos: 
 
P(A e B) = P(B). P(A|B) 
 
Exemplo 15: Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas 
bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 
10 na primeira e um número ímpar na segunda? 
O fato de a retirada das bolinhas ocorrer sem reposição, implica que a ocorrência do 
primeiro evento interfere na probabilidade do segundo ocorrer. Portanto, esses eventos não são 
independentes. Vamos determinar cada um dos eventos. 
A: sair um múltiplo de 10 → {10, 20, 30} 
B: sair um número ímpar → {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} 
A probabilidade de ocorrer os dois eventos sucessivamente será dada por: 
 
 
Para o cálculo de p(B|A) é preciso notar que não teremos mais 30 bolinhas na urna, poisuma foi 
retirada e não houve reposição, restando 29 bolinhas na urna. Assim, 
 
Logo, 
 
 
2.4 Teorema de Bayes 
Este teorema é uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder à 
pergunta: Sabendo-se que o evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha 
provindo de B? O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e 
pela equação de Bayes. Para o cálculo da probabilidade de um evento A dado que um evento B 
ocorreu, “P(A|B)”, pelo Teorema de Bayes temos que: 
 
 
Onde: 
P(B|A): probabilidade de B acontecer dado que A ocorreu 
P(A): probabilidade de A ocorrer 
P(B): probabilidade de B ocorrer 
Exemplo 16: Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes 
As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma 
empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 
5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a probabilidade 
de que tenha sido produzida pela máquina A? 
Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: 
P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças perfeitas e defeituosas. 
P = peça perfeita e D = peça defeituosa 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de 
peças de uma empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas 
máquinas são 10 e 20. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade 
de que tenha sido produzida pela máquina B? 
 
Lista de Exercícios 
 
1) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) Sair o número 3. b) Sair um número par. c) Sair um múltiplo de 3. 
 
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
a) Sair a soma 8 b) Sair a soma 12. 
 
3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com 
reposição, calcule as probabilidades seguintes: 
a) Sair bola azul. b) Sair bola vermelha. c) Sair bola amarela. 
 
4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes 
do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não leem jornal. Qual a 
probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 
 
5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: 
a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois 
uma bola branca (B). 
b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois 
uma bola branca. 
 
6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma dama? 
 
7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola 
preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola 
da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 
 
8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas 
vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para 
a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade 
de que a bola retirada seja da cor vermelha é: 
 
9) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças deste lote, sem reposição, a 
probabilidade de que todas sejam não defeituosas é: 
 
10) Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é 
a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha? 
 
11) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, 
sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda 
bola retirada seja vermelha? 
12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho e o 
terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso 
um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser 
vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela. 
 
13) Uma urna contém cinco dados: quatro são balanceados, mas em um deles a probabilidade de 
ocorrer face “seis” é o triplo da probabilidade de ocorrer face “um”. As demais faces têm igual 
probabilidade de ocorrer. Um dado retirado da urna ao acaso é lançado. Qual é a probabilidade 
de esse dado ser balanceado se sair “seis”? 
 
14) Uma urna contém cinco bolas: duas são vermelhas, três são azuis. Uma segunda urna contém 
sete bolas: três são vermelhas, quatro são azuis. Retira-se uma bola ao acaso de uma das urnas. 
Qual é a probabilidade de que essa bola, se for da cor azul, ter sido retirada da primeira urna? 
 
15) Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes, 25% deles emitem 
quantidade considerada excessiva. O teste falha para 99% dos carros que emitem excesso de 
poluentes, mas resulta positivo para 17% dos carros que não emitem quantidade excessiva. Qual é 
a probabilidade de um carro que falha no teste realmente emitir quantidade excessiva de 
poluentes? 
 
16) A probabilidade de diagnosticar corretamente determinada doença rara é 0,70. Quando 
diagnosticada corretamente, a probabilidade de cura é 0,90. Se não for diagnosticada 
corretamente, a probabilidade de cura é 0,40. Se o paciente com a doença é curado, qual é a 
probabilidade de que tenha sido diagnosticado corretamente? 
 
 
Gabarito 
1) a) P(A) = .
6
1
 b) P(A) = .
2
1
6
3
 c) P(A) = .
3
1
6
2
 
2) a) P(A) = .
36
5
 b) P(A) = .
36
1
 
3)a) %.3030,0
10
3
20
6
)( AP b) %.5050,0
2
1
20
10
)( AP c) %.2020,0
5
1
20
4
)( AP 
4) 13,95%. 
5) a) .
21
5
3
1
.
7
5
)/().()(  VBPVPBVP b) .
49
10
7
2
.
7
5
)().()(  BPVPBVP 
6) .
13
1
52
4
)( DP 
7) .
15
11
15
3
15
8
5
1
15
8
)()'()]()'[(  PVPVVPPVVVP 
8) .
48
19
48
10
48
9
 
9)  
95
68
1
4
.
19
17
.
5
1
18
16
.
19
17
.
20
18
perfeitas3P  
10) %.7,14
34
5
4896
720
16
8
.
17
9
.
18
10
)().().()(  VPPPPPVPPP 
11) .
8
5
)( VP 
12) .
6
1
2
1
.
3
1
)/().()(  AVVPAVPVAVP 
13) 
14) 
15) 
16)