Calculo 01

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1ºAula
Pré-cálculo
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• identificar os conjuntos numéricos;
• conhecer os intervalos reais;
• aprender números racionais e seus métodos;
• entender sobre os números decimais;
• utilizar as notações científicas.
O homem, durante sua evolução, foi, cada vez mais, se aprimorando 
a fim de perpetuar sua existência. Ele criou utensílios para caça, inventou a 
roda, descobriu o fogo e com o passar do tempo ainda inventou símbolos 
para representar os números. Mas e os números, como nasceram? Bom, 
esse nascimento deu-se de forma natural, como não poderia ser diferente. 
Aquele que tem certo conhecimento de história, já deve ter percebido que 
desde o início da civilização a principal ocupação do homem era cuidar de 
seu rebanho para seu sustento. Mas como esse pastor iria saber se alguma 
ovelha tinha fugido ou sido raptada se não havia números par que ele 
contasse quantas ovelhas tinha? Como iria comparar com a quantidade de 
ovelhas do dia anterior? 
O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas: para 
cada ovelha em seu rebanho, ele adicionava uma pedra em um saco, tendo 
certeza de que a quantidade de pedras no saco era a mesma de ovelhas em 
seu rebanho, podendo ainda conferir essa quantidade no dia seguinte, pois 
se sobrassem pedras no seu saco após a conferência, ele saberia que teria 
prejuízo.
Bons estudos!
231
Cálculo Diferencial e Integral I 6
Seções de estudo
1. Conjuntos Numéricos
2. Números Racionais
3. Números Decimais
4. Notação Científica
1 - Conjuntos Numéricos
Primeiramente, devemos ter a real noção de conjunto. 
Pode-se dizer que um conjunto é como qualquer coleção de 
objetos, apresentados ou caracterizados pela enumeração ou 
por uma propriedade que apresentem. Cada um desses objetos 
é chamado elemento do conjunto e é bem determinado, 
distinto dos outros, e satisfaz às condições do conjunto.
Tratamos dos conjuntos dos números naturais, inteiros, 
racionais e reais, com destaque para suas operações e 
propriedades principais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
Os números naturais são uma sequência numérica que 
inicia no número zero e segue até o infinito, ou seja, todo 
número inteiro e positivo.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Do conjunto N, obtemos o subconjunto N*.
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
De modo geral, o asterisco indica que o zero foi excluído 
do conjunto mencionado.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
Os números inteiros contêm o conjunto N dos números 
naturais e ainda o oposto desses números naturais mais o 
número zero.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Do conjunto Z, obtemos dois subconjuntos Z* e Z+ .
Conjunto inteiro não nulo.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
Conjunto dos inteiros não negativos.
Z+ = {0, 1, 2, 3,...}
Conjunto dos inteiros não positivos.
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Conjunto dos inteiros positivos.
Conjunto dos inteiros negativos.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
São os números que podem ser expressos em forma de 
fração, em que “a” e “b” são números inteiros e “b” 0 .
Todo número natural é racional.
Exemplo: 3 = = =...
Todo número inteiro é racional.
Exemplo: -4 = = =...
Toda dízima periódica é racional.
Exemplo: 0,333... = =...
Todo número decimal exato é racional.
Exemplo: 0,5 = =...
Portanto, os conjuntos dos números naturais e dos 
inteiros são subconjuntos dos números racionais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
Toda raiz não exata, bem como todo número decimal não 
exato e não periódico é um número irracional. Observamos que 
tais números não podem ser representados em forma de fração.
Consideremos um quadrado cujo lado mede 1 e 
calcularemos sua diagonal. Usando o teorema de Pitágoras, 
temos:
d2 = 12 + 12 d = 2 d = 1,414213...
São os números decimais não exatos e não periódicos.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Chamamos número real todo número Racional ou 
Irracional, ou seja, o conjunto dos números reais (R) é a 
reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o 
conjunto dos números irracionais (I).
N Z Q R e I R
Ou seja, o conjunto dos números naturais pertence ao 
conjunto dos números inteiros, este, que por sua vez pertence 
ao conjunto dos números racionais que pertence ao conjunto 
dos números reais. Vale ainda ressaltar, que o conjunto dos 
números irracionais pertence ao conjunto dos números reais.
1.1 – Intervalos Reais
Alguns subconjuntos de R podem ser representados 
de uma maneira bastante simplificada. São os chamados 
intervalos reais.
Geometricamente, correspondem a segmentos de reta 
232
7
sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, então, o 
intervalo aberto de a a b, denotado por (a, b), é o segmento de 
reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos; e o 
intervalo fechado de a até b, denotado por [a, b], é o segmento 
de reta que se estende de a até b, incluindo-se os extremos.
Os intervalos que se estendem entre dois números reais 
são chamados de intervalos finitos, enquanto que os que se 
estendem indefinidamente em uma ou em ambas as direções 
são chamados de intervalos infinitos.
Intervalos Limitados (os dois extremos do intervalo 
são finitos).
Intervalo aberto nas duas extremidades.
Na reta:
Nos colchetes: ]a,b[
Desigualdade: {x R/ a < x < b}
Intervalo fechado nas duas extremidades.
Na reta:
Nos colchetes: [a,b]
Desigualdade: {x R/ a £ x £ b}
Intervalo fechado em a e aberto em b.
Na reta:
Nos colchetes: [a,b[
Desigualdade: {x R/ a £ x < b} 
Intervalo aberto em a e fechado em b. 
Na reta:
Nos colchetes: ]a,b]
Desigualdade: {x R/ a < x £ b}
Intervalos Ilimitados (quando pelo menos um dos 
extremos não é finito).
Intervalo fechado em a.
Na reta:
Nos colchetes: [a, +¥ [
Desigualdade: {x R/ x ³ a}
Intervalo aberto em a. 
Na reta:
Nos colchetes: ]a, +¥ [
Desigualdade: {x R/ x > a}
Intervalo fechado em b.
Na reta:
Nos colchetes: ]- ¥,b] 
Desigualdade: {x R/ x £ b}
Intervalo aberto em b. 
Na reta:
Nos colchetes: ] -¥, b[
Desigualdade: {x R/ x < b}
1.2 – Operações com Intervalos
Nesta parte do nosso estudo de conjuntos aprenderemos 
que eles também podem operar entre si. As operações básicas 
entre os conjuntos são: União, Interseção, Diferença e 
Complementação.
União: Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto 
união, ou reunião de A e B, ao conjunto C dos elementos que 
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 
Simbolizamos a união de A com B assim: C = A B. 
Por exemplo, 
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então, A B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15}
Intersecção: Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o 
conjunto intersecção é o conjunto formado pelos elementos 
comuns de A e B, ou seja, e o conjunto C cujos elementos 
pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Simbolizamos a intersecção de A com B, assim: C = A 
 B.
233
Cálculo Diferencial e Integral I 8
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então A B = {6, 7}
Diferença: Dados dois conjuntos A e B, chamamos 
conjunto diferença A – B o conjunto dos elementos de A que 
não pertencem a B. Da mesma forma é chamado conjunto 
diferença de B – A o conjunto dos elementos de B que não 
pertencem a A.
Analogamente, podemos entender a diferença entre 
dois conjuntos da mesma forma que a diferença entre dois 
números. Por exemplo, 5 – 3 = 2 pode ser compreendido da 
seguinte forma: de cinco unidades retira-se três unidades e 
restam duas unidades. Em conjuntos, no exemplo A - B, de 
um conjunto A retira-se os elementos que também são de B e 
resta os elementos que pertencem apenas a A.
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}
A – B = {1, 3, 5} (de A foi retirado os elementos que 
também pertenciam a B).
B – A = {6, 8} (de B foi retirado os elementos que 
também pertenciam a A).
2 - Números Racionais
Chamamos de número racional todo número que pode 
ser representado na forma (fração com a e b inteiros e b 
0). Em que a, numerador e b, denominador.
Exemplos: ; ; ; ;
Verificamos que os números naturais e inteirospertencem 
ao conjunto dos números racionais.
Q = {x / x = , m Z, n Z*}
2.1 – Frações Equivalentes
A possibilidade de representar qualquer fração por outra 
equivalente permite-nos facilitar os cálculos necessários.
As frações: e representam a mesma quantidade 
do todo referência. Elas são equivalentes, e podemos escrever: 
.
Para obtermos uma fração equivalente à fração dada, 
multiplicamos ou dividimos o numerador e denominador por 
um mesmo número. Por exemplo,
2.2 - O inverso de um número 
Racional
A divisão de dois números racionais p e q é a própria 
operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, 
isto é: 
p ÷ q = p × q 1
Consideremos os números 2; -5; e . Seus respectivos 
inversos são: é o inverso de 2; é o inverso de -5; é o 
inverso de ; 4 é o inverso de 
2.3 – Adição e Subtração
Para somar ou subtrair frações é preciso que elas possuam 
o mesmo denominador. Se as frações possuem o mesmo 
denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.
 , onde b 0. , onde b 0.
Se as frações possuem denominadores diferentes, 
primeiramente devemos reduzi-las ao mesmo denominador, 
usando para isso, a regra prática do m.m.c. (Mínimo Múltiplo 
Comum).
 , onde b, d 0. , onde 
b, d 0.
Exemplo:
2.4 – Multiplicação de Frações
A multiplicação ou produto de frações, talvez seja a 
mais simples das operações aritméticas que as envolvem. 
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação 
não requer que tenhamos um denominador comum. Para 
realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos 
os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação 
aos seus denominadores.
Entretanto, devemos atenção às regras de sinais:
(+).(+) = + (-).(+) = -
(+).(-) = - (-).(-) = +
234
9
2.5 – Divisão de Fração
Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso 
da segunda fração.
A divisão de frações mistas segue o mesmo princípio, 
no entanto, devemos primeiramente convertê-las em frações 
impróprias.
3 - Números Decimais
Os números decimais possuem uma parte que chamamos 
de inteira e outra que chamamos de decimal. A parte inteira é 
a que fica antes da vírgula, enquanto a decimal é a que fica 
depois da vírgula.
Esses números, em cuja representação aparece uma 
vírgula, indicam as frações na forma decimal. Por isso, eles 
são conhecidos como números decimais.
Os Algarismos à esquerda da vírgula constituem a parte 
inteira, e os que estão à direita constituem a parte decimal.
Exemplo:
O preço de um abacaxi: R$1,79 a unidade. 
A extensão de um rio é 5,82 mil quilômetros.
3.1 – Transformação de Fração para 
Decimal
Para se escrever uma fração decimal sob forma de 
numeração decimal, escreve-se o seu numerador e separa-
se com uma vírgula (a partir da direita), tantos algarismos 
quantos são os zeros do denominador.
Exemplo:
3.2 – Transformação de Decimal 
para Fração
Um número decimal é igual à fração que se obtém, 
escrevendo para numerador o número sem a vírgula e para 
denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos 
forem os algarismos da parte decimal.
Exemplo:
3.3 – Propriedade fundamental
Propriedade dos números decimais. Zero após o último 
número significativo: um número decimal não se altera 
quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita 
do último algarismo não nulo de sua parte decimal. 
Exemplo:
0,5 = 0,50 = 0,500
3.4 – Potências de 10
Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 
1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três 
casas decimais. Por exemplo:
7,4 x 10 = 74
7,4 x 100 = 740
7,4 x 1.000 = 7.400
Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000 etc., 
basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... 
casas decimais. Por exemplo:
247,5 ÷10 = 24,75
247,5 ÷ 100 = 2,475
247,5 ÷ 1.000 = 0,2475
4 – Notação Científica
A notação científica serve para expressar números muito 
grandes ou muito pequenos. O segredo é multiplicar um 
número pequeno por uma potência de 10. Dizemos que um 
número está em notação científica quando ele está escrito na 
forma a.10b , onde a é um número real maior ou igual a 1 e 
menor que 10 e b é um número inteiro.
Um número escrito na notação científica deve ter as 
seguintes características:
• Deve ser escrito como um produto de dois fatores;
• Um dos fatores deve ser um número entre 1 e 10;
• O outro fator deve ser uma potência de 10;
Retomando a aula
estudamos?
1 - Conjuntos Numéricos
Você viu que um conjunto é como qualquer coleção de 
objetos, apresentados ou caracterizados pela enumeração ou 
por uma propriedade que apresentem.
235
Cálculo Diferencial e Integral I 10
• Naturais (N): todo número inteiro e positivo.
• Inteiros (Z): naturais e ainda o oposto desses 
números naturais mais o número zero.
• Racionais (Q): os que podem ser expressos em 
forma de fração de números inteiros.
• Irracionais (I): todos os números decimais não 
exatos e não periódicos.
• Reais (R): todo número racional ou irracional, ou seja, 
o conjunto dos naturais pertence aos inteiros. Este 
por sua vez, pertence aos racionais que pertence ao 
conjunto dos números reais; além disso, o conjunto 
dos números irracionais também pertencem aos 
reais.
1.1 - Intervalos reais
Subconjuntos de R representados simplificadamente 
como segmentos de reta sobre um eixo coordenado, podendo 
ser o intervalo aberto ou fechado, contendo ou não contendo 
as extremidades. Ex.: Intervalo fechado em a e aberto em b, 
[a,b[, {x R/ a £ x < b}.
1.2 - Operações com intervalos
União: elementos que pertencem ao conjunto A ou ao 
conjunto B, A B.
Intersecção: conjunto formado pelos elementos comuns 
de A e B, A B.
Diferença: elementos de A que não pertencem a B, A - B.
Complementação:
2 - Números racionais 
Todo número que pode ser representado na forma 
(fração com a e b inteiros e b 0).
2.1 - Frações equivalentes
Permite-nos facilitar os cálculos. Para obtermos uma 
fração equivalente à fração dada, multiplicamos ou dividimos 
o numerador e denominador por um mesmo número.
2.2 - O inverso de um número irracional
A divisão de dois números racionais p e q é a própria 
operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, p 
÷ q = p × q 1.
2.3 - Adição e subtração
Se as frações possuem o mesmo denominador, somar 
ou subtrair os numeradores. Para denominadores diferentes, 
devemos reduzi-las ao mesmo denominador, usando o m.m.c.
2.4 - Multiplicação de frações
Não requer denominador comum, basta multiplicar os 
numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus 
denominadores.
2.5 - Divisão de fração
Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso 
da segunda fração.
3 - Números decimais
Os algarismos à esquerda da vírgula constituem a parte 
inteira, e os que estão à direita, constituem a parte decimal.
3.1 - Transformação de fração para decimal
Escreve-se o seu numerador e separa-se com uma vírgula 
(a partir da direita), tantos algarismos quantos são os zeros do 
denominador.
3.2 - Transformação de decimal para fração
Vimos que basta escrever para numerador o número sem 
a vírgula e para denominador o número 1 seguido de tantos 
zeros quantos forem os algarismos da parte decimal. Ex.: 1,90 
= 19/10.
3.3 - Propriedade fundamental
Um número decimal não muda se acrescentar ou se 
retirar um ou mais zeros à direita do último algarismo não 
nulo de sua parte decimal.
3.4 - Potências de 10
Deslocar a vírgula o mesmo número de casas 
correspondente ao número de zeros, uma para 10, duas para 
100, ... etc., deslocar para a direita quando estiver multiplicando 
e para esquerda quando estiver dividindo.
4 - Notação científica
Expressar números muito grandes ou muito pequenos 
utilizando potências de 10, sendo o expoente denominado 
ordem de grandeza.
Minhas anotações
MAIO, W.de. Álgebra: estruturas algébricas básicas e 
fundamentos da teoria dos números. Rio de Janeiro: LTC, 
2007. 
SANTOS, J. P. de O. Teoria dos Números. Rio de 
Janeiro:IMPA, 1998.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números: uma 
introdução à matemática.3.ed. São Paulo: Edusp, 2006.
pena ler
Vale a pena
236
2ºAula
Função
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• entender as funções e relações;
• aprender sobre linhas;
• focar nas parábolas;
• investigar gráficos.
Ao observarmos a história da matemática, vemos que René 
Descartes (1596-1650) originou a ideia do sistema de coordenadas x-y. 
Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) foram os 
inventores do cálculo, mas é difícil imaginar que eles possam ter feito isso 
sem a contribuição de Descartes, muitas décadas antes. Descartes foi o 
responsável por relacionar álgebra e geometria através de representações, 
conhecido e amplamente utilizado plano cartesiano. Neste, geralmente, 
são representadas funções em um sistema de coordenadas, usualmente x-y.
Você vai ver centenas de funções no seu estudo de cálculo, então, 
não seria uma má ideia familiarizar-se com as funções básicas nesta aula. 
Veremos, então: a reta, a parábola, a função de valor absoluto, as funções 
cúbicas e de raiz cúbicas, e as funções exponenciais e logarítmicas.
Bons estudos!
237
Cálculo Diferencial e Integral I 12
Seções de estudo
1. O que é função?
2. Variáveis independentes e dependentes
3. Notação das funções
4. Função composta
5. Retas no plano
6. Dezenhando Linhas
7. Gráfico de uma função
8. Funções de segundo grau e modular
9. Funções exponenciais
10. Função logarítmica
11. Função inversa
12. Funções Trigonométricas
1 - O que é função?
Uma função, basicamente, é a relação entre dois 
conjuntos, de modo que os elementos de um conjunto podem 
ser escritos em termos dos elementos do outro. 
Exemplos estão ao nosso redor: a temperatura diária 
média para a sua cidade depende da época do ano; a distância 
que um objeto caiu é uma função de quanto tempo passou 
desde que foi solto; a área de um circulo é uma função do seu 
raio; e a pressão de um gás engarrafado é uma função da sua 
temperatura. 
Considere uma função ao quadrado como ilustra a figura 
a seguir:
(MARK RYAN, 2009).
Ao inserir 1 na função o resultado será 1; Se inserir -2 o 
resultado será 4. Uma função é como uma máquina recebe 
um input, comando de entrada e opera de alguma forma e 
depois fornece um output, comando de saída.
2
dependentes
Em uma função, os elementos do grupo escrito em 
termos do outro grupo são chamados de variáveis dependentes; 
os elementos do grupo que podem “gerar” o outro são 
denominados variáveis independentes. Visto que você coloca 
números na variável independente, ela também é chamada de 
variável de entrada. Depois de colocar um número, você, 
então, calcula o output ou a resposta para a variável dependente, 
assim a variável dependente é também chamada de variável de 
saída. Quando você desenha o gráfico de uma função, a 
variável independente vai para o eixo x, e a variável dependente 
vai para o eixo y.
Qualquer que seja o tipo de correspondência entre duas 
variáveis, a variável dependente é a coisa com a qual a gente 
se preocupa – quando e quão rápido ela sobe e quando e 
quão rápido ela desce. Geralmente, nós queremos saber o 
que acontece a variável dependente ou y quando a variável 
independente ou x aumenta.
3 - Notação das funções
Uma maneira simples de escrever a função y = 5x3 – 2x2 
+ 3 é trocar o “y” pelo “f(x)” e escrever f(x) = 5x3 – 2x2 + 3. É 
apenas uma notação diferente para a mesma coisa. Essas duas 
equações são, em todos os aspectos, matematicamente 
idênticas.
Pense no f(x) (lê-se “f de x”) como uma abreviação 
para “uma função de x”. Você pode escrever y = f(x) = 3x2, 
traduzido como “y é uma função de x e essa função é 3x2”.
Considere a função quadrática y = x2 ou f(x) = x2. Quando 
você coloca o número 3 no lugar de x, você tem como resposta 
9. A notação da função é conveniente porque você pode 
expressar abreviadamente a entrada e a saída escrevendo f(3) 
= 9 (lê-se “f de 3 é igual a 9”). Lembre-se que f(3) = 9 significa 
que quando x é 3, f(x) é 9; equivalentemente, ela diz a você que 
quando x é 3, y é 9. 
4 - Função composta
Uma função composta é a combinação de duas funções. 
Por exemplo, o custo familiar de energia elétrica depende de 
quanto você consome, e o consumo depende da temperatura 
do lado de fora. Posto que o custo dependa do consumo e o 
consumo depende da temperatura, o custo vai depender da 
temperatura. Na linguagem da função, o custo é uma função 
do consumo, e o consumo é uma função da temperatura, e 
assim o custo é uma função da temperatura. Essa última função, 
uma combinação das duas primeiras, é uma função composta.
Deixe f(x) = x2 e g(3) = 5x – 8. Coloque 3 em g(x) = g(3) = 
5.3 – 8, que é igual a 7. Agora pegue esse resultado, 7, e coloque 
em f(x) = f(7) = 72 = 49. Como na figura:
(MARK RYAN, 2009).
Você pode expressar o resultado das duas funções em 
um passo com a seguinte função composta: 
f (g(3)) = 49
Você calcula primeiro a função de dentro de uma função 
composta g(3) = 7. Depois você pega o resultado, 7, e calcula 
f(7), que é igual a 49. Para determinar a função composta 
geral, f(g(x)), coloque g(x), que é igual a 5x – 8, em f(x). Em 
outras palavras, você quer determinar f(5x – 8). A função f ou 
máquina f pega esse valor e eleva ao quadrado. Assim,
f(5x – 8) = (5x – 8)2
= (5x – 8).(5x – 8)
= 25x2 – 80x + 64
Assim, f(g(x)) = 25x2 – 80x + 64.
238
13
Com funções compostas, a ordem é importante. Como 
uma regra geral, f(g(x)) g(f(x)).
5 - Retas no plano
Uma reta é uma função mais simples que você pode 
desenhar no plano cartesiano.
Exemplo: y = 3x + 5.
(MARK RYAN, 2009).
A coisa mais importante sobre a reta – pelo menos para 
o estudo de cálculo – é a sua inclinação. Note que toda vez 
que x se desloca em 1 para direita, y sobre em 3. Uma boa 
maneira de visualizar a inclinação é desenhar uma escada 
embaixo da reta (veja a figura a seguir). A parte vertical do 
degrau é chamada de aumento, a parte horizontal é chamada 
de distância, e a inclinação é definida como a razão entre o 
aumento e a distância:
(MARK RYAN, 2009).
Você não precisa fazer a distância ser igual a 1. A razão 
do aumento sobre a distância, e, assim, a inclinação, sempre 
resulta a mesma, não importando qual o tamanho dos degraus. 
Se você quer fazer a distância igual a 1, no entanto, a inclinação 
é igual ao aumento porque um número dividido por 1 é igual 
a ele mesmo. Essa é uma boa maneira de pensar sobre a 
inclinação – a inclinação é o valor que a reta sobe ou desce, 
quando se desloca em 1 para a direita. 
Retas que sobem à direita têm uma inclinação positiva; 
retas que descem a direita têm uma inclinação negativa. Retas 
horizontais têm uma inclinação igual a zero, e as retas verticais 
não tem inclinação. 
Esta é a fórmula para a inclinação:
Exemplo: escolha dois pontos na reta, digamos (1,8) e 
(3,14), e coloque-os na fórmula para calcular a inclinação:
Esse cálculo envolve em certo sentido um degrau da 
escada que vai até 2 na direita e sobe 6.
Qualquer linha paralela a essa tem a mesma inclinação, 
e qualquer reta perpendicular a essa tem uma inclinação de -
 que é recíproco oposto de 3. Retas paralelas têm a mesma 
inclinação. Retas perpendiculares têm inclinações recíprocas 
opostas.
6 - Desenhando linhas
Se você tem a equação da reta, y = 3x + 5, mas não o seu 
gráfico, você pode desenhar a reta de maneira antiga, criando 
uma tabela de valores substituindo o x por números e 
calculando o y. Se você coloca 0 no lugar de x, y vai ser igual a 
5; coloque 1 no lugar de x, e y vai ser igual a 8; coloque 2 no 
lugar de x, e y vai ser 11, e assim sucessivamente. Com os 
resultados monta-se o gráfico no plano cartesiano.
Pontos na reta y = 3x + 5
X 0 1 2 3
Y 5 8 11 14
Equação de uma reta na forma inclinação-intersecção e 
na forma ponto-inclinação
Analisando a figura:
(MARK RYAN, 2009).
239
Cálculo Diferencial e Integral I 14
Você pode ver que a reta na figura cruza o eixo y no 
ponto 5 – esse é o ponto onde a reta intercepta o eixo y. Visto 
que tanto a inclinaçãode 3 como na intersecção no eixo y de 
5 aparecem na equação y = 3x + 5, essa equação é dita estar 
na forma inclinação-intersecção. Aqui está a forma escrita de 
maneira geral:
(onde m é a inclinação e b é o ponto de intersecção no eixo y)
Todas as retas, com exceção das retas verticais, podem 
ser escritas dessa forma. Retas verticais sempre aparecem um 
valor para x. O número diz a você onde a reta vertical cruza 
o eixo x.
A equação de uma reta horizontal também parece 
diferente, onde se apresenta o valor de y. Ela tecnicamente se 
encaixa na forma y = mx +b. Somente porque a inclinação da 
reta horizontal é igual a zero, e porque zero multiplicado por 
x é zero, não há um termo para x na equação. Se m = 1 e b = 
0, você tem a função y = x. Essa reta passa pela origem (0,0) 
e faz um ângulo de 45° com ambos os eixos. É chamada de 
função identidade porque os inputs são iguais aos outputs.
Em adição à forma inclinação-intercepta para a equação 
da reta, você deve saber a forma do ponto-inclinação:
Para usar essa forma, você precisa saber – um ponto na 
reta e a inclinação da reta. Você pode usar qualquer ponto da 
reta, digamos (2,11), da figura. Depois coloque as coordenadas 
x e y do ponto em x1; e y1, e coloque o coeficiente angular, 3, 
em m.
y – 11 = 3(x – 2)
Com um pouquinho de álgebra você pode transformar 
essa equação em uma que nos já sabemos y = 3x + 5.
7
A noção de par ordenado e, consequentemente, a sua 
representação gráfica são ferramentas indispensáveis para o 
trato de funções. Tal importância se deve ao fato de que o par 
ordenado estabelece o relacionamento domínio-imagem, e a 
sua representação gráfica possibilita uma visualização 
geométrica da função. Isso é obtido colecionando-se todos os 
pares ordenados da forma (x, f(x)) e representando-os num 
sistema de coordenadas como pontos do plano.
O esboço de um gráfico de uma função não é tarefa 
simples, salvo nos casos em que os conjuntos envolvidos 
(domínio e contradomínio) são finitos, ou quando as 
propriedades geométricas requeridas são fáceis de serem 
interpretadas. Uma das consequências da teoria que iremos 
desenvolver é o estudo minucioso do comportamento de um 
grande número de funções.
 Dado o gráfico de uma função, podemos visualizar 
o seu domínio, bastando, para isso, projetarmos o gráfico no 
eixo das abscissas; projetando o gráfico no eixo da ordenadas, 
teremos o conjunto imagem da função.
No gráfico, podemos encontrar o valor de partindo 
do ponto x no domínio; para isso, movemos o ponto x 
verticalmente até encontrar o gráfico da função e, em seguida, 
horizontalmente, até encontrar o eixo vertical, obtendo-se 
assim, f(x). 
8 - Funções de segundo grau e 
modular
Citamos duas funções, mostrada em plano cartesiano; a 
função de 20 grau, f(x) = x2, e a função modular, g(x) = | x |. 
Veja na figura:
(MARK RYAN, 2009).
Note que ambas as funções são simétricas com respeito 
ao eixo y. Em outras palavras, os lados direito e esquerdo de 
cada gráfico são reflexos um do outro. Isso os torna funções 
pares. Uma função polinomial do tipo y = 9x4 – 4x2 + 3, onde 
todas as potências de x são pares, é um tipo de função par. 
Outro tipo de função par é .
9 - Funções exponenciais
Uma função exponencial é uma com uma potência que 
contém uma variável, como f(x) = 2x ou g(x) = 10x. A figura 
mostra os gráficos dessas duas funções no mesmo sistema de 
coordenadas x-y.
(MARK RYAN, 2009).
Ambas as funções passam pelo ponto (0,1), assim como 
todas as funções exponenciais da forma f(x) = bx. Quando 
b é maior do que 1, você tem um crescimento exponencial. 
Todas as funções desse tipo aumentam para a direita 
para sempre, e como elas vão para a esquerda no sentido 
negativo infinitamente, eles avançam ao longo do eixo x, 
sempre chegando perto, mas nunca tocando o eixo. Você 
usa essa e funções relacionadas para descobrir coisas como 
investimentos, inflação e aumento populacional. 
Quando b está entre 0 e 1, você tem uma função de 
240
15
decaimento exponencial. Os gráficos desse tipo de função 
são como funções de crescimento exponencial ao inverso. 
Funções de decaimento exponencial também cruzam o eixo y 
no ponto (0,1), mas elas sobem para a esquerda para sempre, 
e avançam ao longo do eixo x para a direita. Essas funções 
exemplificam coisas que encolhem ao longo do tempo, como 
o decaimento radioativo do urânio. 
10 - Função logarítmica
Uma função logarítmica é simplesmente uma função 
exponencial com o eixo x e y trocado. Em outras palavras, a 
direção para cima e para baixo em um gráfico exponencial 
corresponde à direção direita e esquerda em um gráfico 
logarítmico, e a direção direita e esquerda em um gráfico 
exponencial corresponde à direção para cima e para baixo em 
um gráfico logarítmico.
Pode-se ver essa relação na figura, na qual as funções e 
são desenhadas no mesmo conjunto de eixos.
(MARK RYAN, 2009).
Tanto a função exponencial como a função logarítmica 
são monotônicas. Uma função monotônica pode subir sobre 
o seu domínio (chamada função crescente) ou descer sobre 
todo o seu domínio (uma função decrescente). Note a simetria 
das duas funções sobre a linha . Isso as torna inversas uma da 
outra, o que nos leva para o próximo tópico. 
11 - Função inversa
 As funções (para x 0) e afunção 
 (lê-se como “f inversa de x é igual a raiz 
de x”) são funções inversas porque cada uma desfaz o que 
a outra fez. Em outras palavras, recebe uma 
entrada de 3 e produz uma saída de 9 (porque 32 = 9); 
 recebe uma entrada de 9 e torna isso que 
volta para o número 3( porque ). Note que 
e . Você pode escrever tudo isso em um passo 
como . Funciona da mesma maneira 
se você começar com . (porque 
), e (porque 42 = 16). Se você escrever 
esse único passo, você tem (Note que 
lemos como “f inversa de x”, não temos o inverso de 
x, mas as funções são inversas uma da outra).
A maneira sofisticada de somar tudo isso é dizer que 
 e são funções inversas se, e somente se, 
 e .
Não confunda o sobrescrito -1 em . Com o 
expoente -1. O expoente -1 lhe dá o recíproco de algo, por 
exemplo, . Mas é o inverso de .
Quando você desenha o gráfico de funções inversas, cada 
uma é o reflexo da outra, refletida sobre a linha . Veja na 
figura os gráficos das funções inversas (para 0) 
e .
(MARK RYAN, 2009).
Se você rotacionar o gráfico no sentido anti-horário 
para que a linha fique na vertical, você pode ver 
facilmente que e são reflexos uma da outra. 
Uma consequência dessa simetria é que se um ponto como 
(2,4) estiver em uma das funções, o ponto (4,2) vai estar na 
outra. E, também, o domínio de f é o contradomínio de f -1 e 
o contradomínio de f é o domínio de f -1. 
12 - Funções trigonométricas
A figura principal da nossa história é o número . Ele 
surge quando queremos calcular o comprimento C de uma 
circunferência de raio r: .
Seu valor é 
10 caso. x > 0. Partindo de A, caminhamos, sobre a 
circunferência, uma distância x, no sentido indicado na figura 
(chamado anti-horário). Determinar-se assim um ponto Px 
sobre a circunferência. Note que o arco APx tem comprimento 
241
Cálculo Diferencial e Integral I 16
x. 
20 caso. x < 0. Partindo de A, caminhamos, sobre a 
circunferência, uma distância –x (chamado de sentido horário). 
Determina-se assim um ponto Px sobre a circunferência. Note 
que o comprimento do arco APx é –x.
30 caso. x = 0. Nesse caso, o ponto sobre a circunferência 
coincide com o ponto A que foi fixado. 
(BOULOS PAULO, 1999).
Função seno e cosseno
Definição geométrica do seno e do cosseno. Temos uma 
circunferência de raio 1 e um ponto A, e consideremos o 
ponto de coordenadas como mostrado na figura. Para facilitar 
a exposição, chamaremos essa circunferência de circunferência 
unitária. Dado um número real x, então
Portanto, 
(BOULOS PAULO, 1999).
Gráficos
Para representar o gráfico da função seno, observemos 
que:
• quando x cresce de , o ponto Px vai de A a B, no 
sentido anti-horário. Assim, a ordenada de Px, que é 
, crescede 0 a 1.
• quando x cresce de a , o ponto Px vai de B até C 
no sentido anti-horário. Assim, a ordenada de Px, que 
é , decresce de 1 a 0.
• quando x cresce de a , o ponto Px vai de C até 
D no sentido anti-horário. Assim, a ordenada de Px, 
que é , decresce de 0 a -1.
• quando x cresce de a , o ponto Px vai de D até 
A no sentido anti-horário. Assim, a ordenada de Px, 
que é , cresce de -1 a 0.
(BOULOS PAULO, 1999).
No caso da função seno, ela é periódica de período 
. Uma análise semelhante permite representar o gráfico 
da função cosseno, e concluir que esta função também é 
periódica, de período .
Na figura representamos os gráficos das funções seno e 
co-seno.
(BOULOS PAULO, 1999).
Identidades 
Para cada x, o ponto estando 
sobre uma circunferência de raio 1, dista 1 do seu centro 
. Então,
Escrevemos na forma , e 
na forma . Então, a relação obtida fica
Resultado que é geometricamente evidente no caso da 
figura anterior. Tal relação é chamada de relação fundamental. 
242
17
Função tangente, cotangente, secante e cossecante
Definições. As funções definidas no quadro seguinte, 
o qual inclui notação e nomenclatura usadas, são chamadas, 
juntamente com as funções seno e cosseno, de funções 
trigonométricas.
Nome da função Símbolo Expressão
tangente tg
co-tangente cot
secante sec
co-secante csc
Interpretação geométrica da . Na figura, além da 
circunferência unitária e do ponto , como 
0 < x < , está representada a reta t, tangente à circunferência 
no ponto A. Sobre t tomamos uma graduação igual a do eixo 
Oy. Sendo T a interseção da reta OPx com t, e Q a projeção 
ortogonal de Px sobre Ox, então, como os triângulos OPxQ e 
OTA são semelhantes, temos
, ou seja, , ou seja, 
(BOULOS PAULO, 1999).
Consequências da interpretação geométricas de 
.
(1) A função tg é ímpar, isto é, .
(2) , para qualquer k inteiro.
(3) tg é periódica de período .
Essas informações nos permitem representar o gráfico 
da tangente. Agora fica fácil ver que, à medida que x cresce no 
intervalo [0, /2] , cresce, e fica maior do que qualquer 
número positivo, para todo o x suficientemente próximo de 
/2. Então, desenhamos o gráfico em [0, /2] e depois, para 
desenhar a parte correspondente a [- /2,0], basta tomar, graças 
a (1), o simétrico do traçado em relação à origem. Esperamos 
que você entenda agora a representação do gráfico da função 
tangente, dada na figura.
(BOULOS PAULO, 1999).
Propriedades da função secante:
(a) a função secante é para.
(b) A função secante é periódica de período 2 .
Para obter uma representação gráfica da função secante, 
basta considerar o intervalo [0, /2[, já que ela sendo par 
tem gráfico simétrico em relação a Oy. Uma vez feito isso, 
temos a representação em ]- /2, /2[ e agora é só lembrar 
que ela é periódica de 2 . Observando o gráfico da função 
cosseno no intervalo [0, 2 ], vemos que decresce de 1 a 
0; logo, cresce”de 1 a ”. Na figura está 
representado o gráfico da função secante, no se inclui a do 
cosseno.
Interpretação geométrica de . Para uma 
interpretação geométrica relativa à função cossecante, 
observe, na próxima figura, que os triângulos OPxQ e OTA 
são semelhante. Logo, temos 
, ou seja, , ou seja, 
(BOULOS PAULO, 1999).
Isso sugere que façamos uma graduação na reta móvel 
por O e Px, com esse último ponto sempre correspondendo a 
1 na referida graduação. Então, é o valor que se lê, nessa 
régua móvel, correspondente a T.
Procedimento análogo pode ser feito para as funções co-
tangente e cossecante. Vamos nos limitar apenas a apresentar 
as representações de seus gráficos, na próxima figura. Como 
desafio, se você é interessado, deixamos a tarefa de descobrir 
interpretações geométricas para a construção dessas funções, 
como fizemos para as funções tangentes e secantes. Para seu 
controle, incluímos, na figura, a representação da função seno. 
243
Cálculo Diferencial e Integral I 18
(BOULOS PAULO, 1999).
Retomando a aula
que estudamos?
1 – O que é função
Você viu que função é a relação entre dois conjuntos, de 
modo que os elementos de um conjunto podem ser escritos 
em termos dos elementos do outro.
2 – Variáveis independentes e dependentes
Os elementos do grupo escrito em termos do outro 
grupo são chamados de variáveis dependentes; os elementos 
do grupo que podem “gerar” o outro são denominados 
variáveis independentes.
3 – Notação das funções
Uma maneira simples de escrever a função y = 3x2 é 
trocar o “y” pelo “f(x)”, (lê-se “f de x”) como uma abreviação 
para “uma função de x”. Ex.: y = f(x) = 3x2.
4 – Função composta
Você viu que é a combinação de duas funções, por 
exemplo f(g(x)), ou g(f(x)), lembrando que f(g(x)) g(f(x)).
5 – Retas no plano
Função mais simples, ex. y = 3x + 5. Você aprendeu que 
a inclinação da reta pode ser escrita como aumento/distância, 
considerando, o exemplo já citado, a inclinação = 3/1 = 3. 
O valor da inclinação também coincide com o número que 
multiplica a variável “x” na equação.
6 – Desenhando linhas
Você viu que para desenharmos uma função linear 
podemos criar uma tabela escolhendo valores para “x”, 
substituindo na função e obtendo valores para “y”. A 
distribuição desses pontos no plano cartesiano deve formar o 
comportamento da função.
7 – Gráfico de uma função
Diz respeito a um conjunto domínio e conjunto imagem 
de uma função (contra domínio). O conjunto denominado 
domínio de uma função é o conjunto de números que podem 
ser utilizados pela relação conhecida entre os dois conjuntos 
que definem a função. O conjunto imagem é dado pelos 
números que são os resultados da relação que origina a função.
8 – Funções de segundo grau e modular
Você observou que ambas são funções simétricas, sendo 
ainda funções pares.
9 – Funções exponenciais
Você aprendeu que nas funções exponenciais, a variável 
“x”, por exemplo, aparece como expoente de um outro 
número qualquer. Todas passam pelo ponto (0,1). Se o 
expoente é maior que um tem-se um crescimento exponencial, 
caso esteja entre 0 e 1, um decaimento.
10 – Função logarítmica
Você viu, anteriormente, que uma função logarítmica 
é simplesmente uma função exponencial com o eixo x e y 
trocado.
11 – Função inversa
Diz-se que as funções são inversas porque cada uma 
“desfaz o que a outra fez”, sendo utilizada a notação 
 e .
12 – Funções trigonométricas
Função seno e cosseno
Gráficos: Funções periódicas, apresentando períodos de 
 e amplitudes entre -1 e 1. 
Apresentam uma diferença de fase entre as duas sendo 
esta de .
Identidade: Relação fundamental, 
Função tangente, cotangente e cossecante
 Interpretação geométrica da tan x: Associação à reta 
tangente ao ponto (0,0) da circunferência trigonométrica.
Consequências das interpretações geométricas: A 
função tg é ímpar, isto é, . Além disso, 
, para qualquer k inteiro. Assim 
como as outras funções trigonométricas, tg também é uma 
função periódica, no entanto com período menor, .
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
pena ler
Vale a pena
244
3ºAula
Introdução à teoria dos limites
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• conhecer os limites de uma função;
• encontrar os limites de uma função;
• estudar as propriedades dos limites.
É possível calcular o limite de uma função, pois nem toda função 
é definida em cada valor de x. As funções racionais, por exemplo, são 
indefinidas se o denominador da função for 0. Esse é, na verdade, um 
exemplo perfeito de como você pode usar um limite para observar uma 
função e ver o que ela faria se pudesse. Observe o comportamento de 
uma função próxima ao(s) valor(es) indefinido(s). Literalmente, você estará 
observando a função quando ela se aproxima. Se uma função for indefinida 
em x = 3, você pode observar x = 2, x = 2,9, x = 2,99, x = 2,999, e assim 
por diante. Agora, faça issode novo do outro lado: x = 4, x = 3,1, x = 3,01, 
e assim por diante. Todos esses valores são definidos, exceto x = 3. 
Bons estudos!
245
Cálculo Diferencial e Integral I 20
Seções de estudo
1. Noção de limite
2. Encontrando o limite da função
3. Propriedades do limite
4. Limites laterais
5. Limites infinitos
1 - Noção de limite
Dada uma função f, você quer saber o que ocorre com 
os valores f(x), quando a variável x se aproxima de um 
ponto a. Para você entender melhor, considere a função f 
definida pela expressão a seguir.
A função f está definida para todo x real, exceto x = 1. 
Assim, se x 1, o numerador e o denominador de f podem 
ser divididos por (x – 1) e você obtém 
, para x 1.
Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez 
mais próximo de 1, com x < 1 e observamos o que está 
acontecendo com f(x), conforme a tabela a seguir:
0
2
Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-
se cada vez mais de 1, com x >1 e observar o que está 
acontecendo com f(x):
2
8
Observamos, em ambas as tabelas, que quando x se 
aproxima cada vez mais de 1, a função f(x) se aproxima 
cada vez mais de 5. Em outras palavras, é possível obter o 
valor de f(x) tão próximo de 5 quando desejarmos, desde 
que tomemos x suficientemente próximo de 1. Examine o 
gráfico de f(x) a seguir.
(COSTA & GUERRA, 2009).
Para x cada vez mais próximo de 1, f(x) 
aproxima-se de 5 e escreve-se a seguinte expressão: 
.
Observe o gráfico da função .
(COSTA & GUERRA, 2009).
Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela direita, 
ou seja, para valores de x > 0 , a função f cresce cada vez 
mais com valores positivos, ou seja, pode-se dizer que a 
função f tende para + . Quando x tende a 0 pela direita, x 
 0+, f(x) + e escreve-se:
Quando x aproxima-se cada vez mais de 0 pela 
esquerda, ou seja, com valores de x < 0 , os valores absolutos 
da função f crescem cada vez mais e são negativos, ou seja, 
pode-se dizer que a função f tende para . Quando x 
tende a 0 pela esquerda, x 0-, f(x) e escreve-se:
2 - Encontrando o limite da função
É possível procurar o limite de uma função de três 
maneiras para um determinado valor de x: graficamente, 
analiticamente e algebricamente. Se for solicitado que você 
encontre o limite de uma função, insira diretamente o valor 
de x para obter um resultado sem nenhuma indeterminação, 
você terá encontrado o limite desta função para x tendendo 
ao valor especificado. É literalmente fácil assim!
Considere a função . Quando nós 
dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 é 
7, escrito como , nós queremos dizer 
que a medida que x se aproxima de 2 pela esquerda ou pela 
direita, f(x) se aproxima de uma altura igual a 7.
246
21
(MARK RYAN, 2009).
Valores de entrada e saída de à 
medida que x se aproxima de 2.
A partir da tabela, você pode ver que y está cada vez 
mais perto de 7 em ambos os lados. Aliás, se todas as funções 
fossem contínuas (sem descontinuidade, sem “quebras”), 
como a da figura, você poderia apenas colocar o número x 
para ter a resposta, e não haveria necessidade desse tipo de 
problema sobre o limite. Precisamos de limites em cálculo por 
causa das importantes funções que têm buracos. A função da 
próxima figura é idêntica à função da figura anterior, exceto 
pelo buraco no ponto (2,7) e o ponto em (2,5).
(MARK RYAN, 2009).
As funções importantes são as funções como as da 
figura, que aparecem com frequência no estudo das derivadas. 
A terceira função h(x) é idêntica f(x), exceto pelo fato de o 
ponto (2,7) ter sido arrancado, deixando um buraco em (2,7) e 
nenhum outro ponto onde x seja igual a 2. 
(MARK RYAN, 2009).
Para todas as três funções, o limite à medida que x se 
aproxima de 2 é 7. Isso nos leva a um ponto crítico: quando 
determinamos o limite de uma função, à medida que x se 
aproxima, digamos que de 2, o valor de f(2) é totalmente 
irrelevante. 
(MARK RYAN, 2009).
Em um problema sobre limite, a variável se aproxima 
cada vez mais do número x, mas nunca é igual a ele. O que 
acontece com a função quando a variável é exatamente igual ao 
número x não tem efeito na resposta do problema sobre limite.
Recomendamos usar o método de gráfico somente 
quando o gráfico for dado e for solicitado que você encontre 
um limite. O método analítico sempre funciona para qualquer 
função, mas ele é lento. Se puder usar o método algébrico, você 
economizará tempo.
3 - Propriedades do limite
Propriedades básicas dos limites. Consideremos sempre 
que f e g são funções em um intervalo aberto contendo o ponto 
x = a, exceto possivelmente no ponto x = a.
247
Cálculo Diferencial e Integral I 22
4 - Limites Laterais
Calcular os limites laterais significa calcular o limite em 
um determinado ponto a aproximando-se por ambos os lados, 
ou seja, pela direita (valores maiores do que a) e pela esquerda 
(valores menores que do a).
Simbolicamente é expresso da seguinte forma:
Pela direita: 
Pela esquerda: 
Limite à direita
Se f(x) tende L1 quando x a por meio de valores 
maiores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende 
para a pela direita e indica-se por:
Limite à esquerda
Se f(x) tende L2 quando x a por meio de valores 
menores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende 
para a pela esquerda e indica-se por:
Existência do Limite
O limite de f(x) quando x a existe, se e somente se, os 
limites laterais forem iguais, ou seja: 
Se:
 Então:
Onde C é uma constante.
5
Em símbolos, escreve-se , que se 
lê como “o limite conforme x se aproxima de f(x) é L”. L é 
o limite que você vai procurar. Para que o limite de uma 
função exista, o limite esquerdo e o limite direito devem 
existir e ser equivalentes.
Um limite esquerdo começa em um valor menor do que aquele que 
Um limite direito é o oposto exato; ele começa maior do que o 
Se, e somente se, o limite esquerdo for igual ao limite 
direito, você poderá dizer que a função possui um limite para 
aquele valor específico de x.
Tente obter suas soluções sem olhar as soluções dadas 
levando, cuidadosamente, em consideração as formas “ ” e “
 - ” durante seus cálculos. Inicialmente, alguns estudantes 
incorretamente concluem que “ ” é igual a 1, ou que o limite 
não existe, ou é + ou - . Muitos concluem que “ - ” 
é igual a 0. De fato, as formas “ ” e “ - ” são exemplos 
de formas indeterminadas. Isto significa que você ainda não 
determinou uma resposta. 
Retomando a aula
que estudamos?
1 – Noção de limite
Você analisou o limite de uma função quando ela 
apresenta alguma indeterminação. Dessa forma, quanto 
mais próximos os valores da variável da indefinição, os 
valores da função tendem a um número específico.
2 – Encontrando o limite da função
Há três maneiras possíveis de obter o limite de uma 
função: graficamente, analiticamente e algebricamente. 
Graficamente, o limite é obtido analisando o comportamento 
no gráfico. Analiticamente, o limite é obtido atribuindo 
valores para a variável cada vez mais próximos ao ponto 
em que se esteja analisando, pela esquerda e pela direita, 
observando o comportamento da função para estes dois 
casos. E por fim, algebricamente, o limite pode ser obtido 
por meio de manipulações matemáticas utilizando álgebra 
e teoremas.
3 – Propriedades do limite
Você aprendeu que, dadas duas funções, f(x) e g(x), 
sendo a um ponto aberto de um intervalo do domínio das 
duas funções, tem-se que:
1. 
2. 
248
23
3. 
4. 
5. .
4 – Limites laterais
Você viu que calcular os limites laterais consiste em 
calcular o limite em um determinado ponto a aproximando-
se por ambos os lados, ou seja, pela direita e pela esquerda. 
É utilizada a notação para o limite pela direita, e 
 pela esquerda.
É importante lembrar que o limite de uma função só 
existe se os dois limites laterais forem iguais.
5 – Limites infinitos
Você deve ficar atento a indeterminações do tipo “ / ”, 
“ + ”, ou ainda “ - ”, que, erroneamente, pode levar a 
conclusões como “1” ou “ ”. No entanto, indeterminações 
como essas não geramnenhuma conclusão, indicando que 
você ainda não determinou uma resposta válida.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 
Vol.1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1985.
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
249
4ºAula
Introdução à derivada 
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• conhecer a história da derivada;
• entender onde se aplicam;
• entender como realizar os cálculos.
No que diz respeito ao conceito, podemos chamar de 
derivada a taxa de variação de uma função. Como o próprio 
nome dela já diz, a derivada representa de onde uma função 
veio, de onde ela deriva e o que deu origem a ela.
Bons estudos!
251
Cálculo Diferencial e Integral I 26
Seções de estudo
1. História da derivada
2. Os principais problemas do cálculo
3. Conceitos de derivada
4. Interpretação Física
5. Interpretação geométrica
6. Taxa de variação média
7. Funções polinomiais 
1
A derivada foi inventada no século XVII, através de 
vários problemas particulares, que eram resolvidos um a um, 
separadamente, até que, pelo final do século, foi-se percebendo 
que havia um elemento comum em todos eles. Durante todo 
esse século, e em boa parte do século seguinte, não havia o 
conceito de limite. Newton (1643-1727) falava em quantidades 
evanescentes, ora tratadas como nulas e desprezíveis, ora 13 
tratadas como inferiores a qualquer quantidade positiva. 
Leibniz (1646-1716) fazia algo parecido, com notação mais 
apropriada. D’Alembert (1717-1783) foi o primeiro a 
interpretar a derivada como limite, isto lá pelos meados do 
século XVIII, quando os métodos do Cálculo já estavam bem 
desenvolvidos, graças aos esforços de vários sábios, dentre os 
quais se destacam Jacques Bernoulli (1654 – 1705), Jean 
Bernoulli (1667 – 1748), Daniel Bernoulli (1700 – 1782) e 
Euler (1707 – 1783). Limite mesmo, numa teoria bem 
estruturada e útil ao desenvolvimento da Análise Matemática, 
isso só foi acontecer a partir de 1815 (ÁVILA, 2007, p.171).
Pode-se citar, por exemplo, a Biologia, em que a derivada 
se aplica na pesquisa da taxa de crescimento de bactérias de 
uma cultura; na Eletricidade, para descrever a variação da 
corrente num circuito elétrico; na Economia, para estudar a 
receita, o custo e o lucro marginal. Na Física, o conceito de 
derivada está presente em problemas que necessitam definir 
velocidade e aceleração de uma partícula que se move ao 
longo de uma curva: a primeira refere-se à medida de variação 
da distância percorrida em relação ao tempo, e a segunda 
refere-se à medida de variação da velocidade (DALL’NESSE, 
2000, p. 12).
2 - Os principais problemas do 
cálculo
Podemos identificar quatro tipos de problemas principais 
que motivaram os pesquisadores da época a os investigarem 
no tema de derivadas e integrais: 
- O primeiro era sobre velocidade e aceleração; 
- O segundo, sobre a obtenção de uma tangente a uma 
curva; 
- O terceiro, em como obter valores de máximo e mínimo 
de uma função;
- O quarto, que era o de se obter o comprimento de 
curvas, as áreas delimitadas por curvas e os volumes formados 
por superfícies.
3 - Conceitos de derivada
O conceito de derivada está intimamente relacionado à 
taxa de variação instantânea de uma função, que está presente 
no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da 
determinação da taxa de crescimento de certa população, da 
taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da 
mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da 
velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, 
poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma 
função variando e que a medida desta variação se faz necessária 
em um determinado momento. Para entendermos como isso 
se dá, inicialmente, vejamos a definição matemática da 
derivada de uma função em um ponto: 
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo 
aberto contendo x0, então, à derivada de f em x0, denotada por 
f ’(x0), é dada por: 
Se este limite existir, x representa uma pequena variação 
em x, próximo de x0, ou seja, tomando 
, a derivada de f em x0 pode também ser 
expressa por
4 - Interpretação física
A derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa 
de variação instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre: 
suponha que y seja uma função de x, ou seja, . Se x 
variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos esta 
variação de x, que também é chamada de incremento de x, 
por , e a variação de y é dada por 
, o que é ilustrado na figura a seguir:
O quociente das diferenças, dado por , é 
dito taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo 
252
27
[x0, x1]. O limite destas taxas médias de variação, quando 
, é chamado de taxa de variação instantânea de y em 
relação a x, em . Assim, temos:
 Taxa de variação instantânea= 
.
Porém, 
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função 
em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto. 
5 - Interpretação Geométrica
A derivada de uma função f em um ponto fornece o 
coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de 
f no ponto (a, f(a)). Vejamos: 
Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se 
conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta 
tangente r à curva em P é dada por 
 onde m é o coeficiente angular da 
reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m 
da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. 
Consideremos outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, 
cujas coordenadas são (a + x, f(a+ x)). A reta que passa por 
P e Q que é chamada reta secante à curva.
Analisemos agora a variação do coeficiente angular da 
reta secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando 
x cada vez menor. 
Tudo indica que quando P está próximo de Q, o 
coeficiente angular da reta secante deve estar próximo 
do coeficiente angular m da reta r, ou seja, o coeficiente 
angular tem um limite m quando Q tende para P, que é 
o coeficiente angular da reta tangente r. 
Indicando-se a abscissa do ponto Q por 
 e sabendo-se que a abscissa de P é expressa 
por a, então, se Q P temos que x 0, o que é equivalente 
a x a. Assim: 
(se este limite existe), é o coeficiente angular da reta 
tangente r. Porém, 
Logo, , ou seja, a derivada de uma função 
em um ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico desta função, neste ponto.
Notação:
6 - Taxa de variação média
Ao quociente entre a variação da variável dependente e a 
variação da variável independente, isto é, o comprimento do 
tamanho do intervalo associado a ela,
Damos o nome de razão média das variações ou taxa 
de variação média da função considerada, no intervalo dado. 
Tal taxa depende da variação x considerada, bem como do 
particular ponto inicial x1. Assim, a taxa de variação média 
de uma função, num intervalo [x1, x1 + x] contido em seu 
domínio, é o quociente definido acima. 
A taxa de variação média tem um significado geométrico 
muito simples. De fato, como podemos ver na figura, ela nada 
mais é do que o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos (x1, f(x)) e (x1 + x)). Uma vez que, por hipótese, esses 
dois pontos pertencem ao gráfico da função, essa reta é a reta 
secante ao gráfico por esses pontos. 
7 - Funções polinomiais
Escrevemos a função polinomial de primeiro grau mais 
geral possível sob a forma:
Onde a1 e a0 são dois parâmetros constantes que 
caracterizam a variável dependente. Então, temos:
E, portanto, sua taxa de variação média é constante:
Assim, a função derivada é, no caso, uma função 
constante.
Função polinomial geral de grau 2
Escrevemos a função polinomial de segundo grau na 
forma mais geral possível:
Onde a0, a1 e a2 são coeficientes que caracterizam a 
dependência da variável dependente.
Consequentemente, verificamos que, para um valor do 
253
Cálculo Diferencial e Integral I 28comprimento do intervalo x arbitrário, obtemos o seguinte 
valor para o quociente entre as variações:
Resulta daí que a derivada de função quadrática é dada 
por:
Função polinomial de grau n
Consideremos agora o caso de um polinômio de grau n 
da forma
Para determinar a sua derivada, fazemos uso do Teorema 
binomial de Newton, obtendo:
Assim, utilizando a expressão e a definição de derivada, 
obtemos:
Para um polinômio mais geral do que aquele da equação:
Podemos verificar que sua derivada é dada como uma 
soma das derivadas de cada um dos termos. Resulta, assim, 
que a sua derivada será dada pela expressão:
Retomando a aula
relembrar o que estudamos?
1 – História da derivada
Grandes nomes como Newton e Leibniz 
complementaram nas ideias iniciais, além de D’Alemnbert, 
Jaques Benoulli, Jean Bernoulli, Daniel Bernoulli e Euler 
também fizeram contribuições. As estruturas e notação foram 
aprimoradas somente a partir dos anos de 1815.
2 – Os principais problemas do cálculo
Você viu que alguns dos principais problemas que 
motivaram as pesquisas para o aprimoramento do cálculo 
foram: velocidade e aceleração, obtenção de reta tangente à 
curva, máximo e mínimo de funções, comprimento de curvas, 
áreas e volumes delimitados por superfícies.
3 – Conceitos de derivada
Você aprendeu que o conceito de derivada está 
intimamente relacionado à taxa de variação instantânea 
de uma função. Considerando uma função f definida num 
intervalo que contenha x0, sua derivada pode ser definida e 
escrita como .
4 – Interpretação física
A derivada de uma função f em um ponto x0 fornece 
taxa de variação instantânea de f em x0. Considerando 
, a taxa de variação 
de y em relação a x. Quando e analisamos 
em , temos a taxa de variação instantânea 
.
5 – Interpretação geométrica
Você aprendeu que a derivada de uma função f em 
um ponto fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta 
tangente, ao gráfico de f no ponto ( , f( )). Seja a equação de 
reta , onde m é o coeficiente angular, 
também escrito por . Fazendo 
x temos que o coeficiente angular é igual a derivada da 
função no ponto .
6 – Taxa de variação média
Você viu que o quociente entre a variação da variável 
dependente e a variação da variável independente, isto é, o 
comprimento do tamanho do intervalo associado a ela, é a 
taxa de variação média.
7 – Funções polinomiais
Considerando um polinômio 
de grau n em sua forma mais geral 
, sendo 
 constantes, fazendo uso do Teorema Binomial 
de Newton e da definição de derivada, temos 
.
 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen L.. 
Cálculo. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 581p.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves 
de. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
SIMMONS, George F.. Cálculo com geometria 
analítica. Vol 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008. 
829p.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 
Vol.1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1985.
pena ler
Vale a pena
254
5ºAula
Regras de derivação
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• compreender, a partir da definição de limites, a definição formal de derivadas em funções polinomiais e exponenciais;
• entender a demonstração da regra do produto;
• entender a conceituação da regra da cadeia e aplicá-la na resolução de problemas;
• compreender a partir da definição e aplicação em exemplos, as regras do produto e do quociente;
• utilizar as técnicas de derivação aprendidas para resolução de problemas diversos de derivadas.
A partir da definição de derivada oriunda da definição 
de limites vista na aula anterior, desenvolveremos, nesta aula, 
técnicas que permitam obter a diferenciação para situações 
distintas de funções. Veremos que, conforme a situação – 
expoente, multiplicação, divisão – observada nas equações, 
poderá ser aplicado formas distintas de diferenciar tais funções.
Bons estudos!
255
Cálculo Diferencial e Integral I 30
Seções de estudo
1 – Derivadas de funções polinomiais e exponenciais
2 – Regra da cadeia
3 – Regra do produto
4 – Regra do quociente
1 - Derivadas de funções polinomiais 
e exponenciais
Vamos iniciar com a função mais simples, a função 
constante f (x) = c. O gráfico dessa função é a reta horizontal 
y = c, cuja inclinação é 0; logo, devemos ter f ’ (x) = 0 (veja 
a Figura 1). Uma demonstração formal, a partir da definição 
de uma derivada, é simples:
Figura 1
(STEWART, 2014)
Essa regra, na notação de Leibniz, é escrita da seguinte 
forma:
1.1 – Funções Potências
 Vamos olhar as funções f (x) = xn, onde n é um 
inteiro positivo. Se n = 1, o gráfico de f (x) = x é a reta y = 
x, cuja inclinação é 1 (Figura 2). Então:
 A equação acima pode ser verificada a partir da 
definição de derivada. Os casos n = 2 e n = 3 levam a:
Para n = 4 achamos a derivada de f (x) = x4 a seguir:
Logo,
Comparando as equações anteriores, vemos um 
modelo emergir. Parece ser uma conjectura plausível que, 
quando n é um inteiro positivo, (d/dx)(xn) = nxn-1. Resulta 
que isto é, de fato, verdade.
Temos, então, a regra da potência se n for um inteiro 
positivo:
Primeira Demonstração: A fórmula
pode ser verificada simplesmente multiplicando-se o 
lado direito (ou somando-se o segundo fator como uma 
série geométrica). Se f (x) = xn, podemos fazer f ’ (a) e a 
equação anterior para escrever:
Segunda Demonstração:
Para acharmos a derivada de x4, temos que desenvolver 
(x + h)4. Aqui, precisamos desenvolver (x + h)n, e usamos o 
Teorema Binomial:
256
31
Porque cada termo, exceto o primeiro, tem fator h e, 
logo, tende a 0.
Exemplos: 
Exemplo 1: Derive
Solução:
Exemplo 2: 
Solução:
Exemplo 3:
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal 
à curva y = x x no ponto (1, 1). Ilustre fazendo o gráfico da 
curva e destas retas.
Solução:
 A derivada de é
 Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1) é f ’ (1) 
= 3/2. Portanto, uma equação da reta tangente é
 A reta normal é perpendicular à reta tangente, de 
modo que sua inclinação é o inverso negativo de 3/2, ou 
seja, -2/3. Logo, uma equação de uma reta normal é
Traçamos o gráfico da curva, sua reta tangente e sua 
reta normal na Figura:
(STEWART, 2014).
2 - Regra da cadeia
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g 
(y) e u = f (x).
Para todo x tal que f (x) está no domínio de g, podemos 
escrever y = g (u) = g [ f (x) ], isto é, podemos considerar a 
função composta ( g0 f ) ( x ).
Por exemplo, uma função tal como 
pode ser vista como a composta das funções 
e .
 A seguir, apresentamos a regra da cadeia, que 
nos dá a derivada da função composta g0 f em termos das 
derivadas de f e g.
Regra da cadeia: Se y = g (u) e u = f (x) e as derivadas 
dy/du e du/dx existem, então, a função composta y = g[f(x)] 
tem derivada que é dada por:
Vamos fazer a demonstração supondo que existe um 
intervalo aberto I contendo x, tal que:
 sempre que 
 .
Isso se verifica para um grande número de funções, 
porém, não para todas. Por exemplo, se f for uma função 
constante a condição apresentada não é satisfeita. Porém, 
neste caso, podemos provar a fórmula facilmente. De fato, 
se f (x) = c então f ’ (x) = 0 e y = g [ f (x) ] = g (c) é constante. 
Assim, y ’ (x) = 0 = g ’ (u) f ’ (x).
Então, provemos que y ’ (x) = g ’ (u) f ’ (x)
Como y = g [ f (x) ], se este limite existir, temos:
Vamos considerar primeiro o quociente
Seja . Então depende 
de e quando . Temos:
Para a condição em um intervalo aberto 
contendo x. Assim, podemos dividir e multiplicar o 
quociente mostrado por . Temos, então:
257
Cálculo Diferencial e Integral I 32
Aplicando o limite, temos:
Exemplos: 
 Exemplo 4: Dada a função y = ( x² = 5x +2 )7
 Solução:
 Exemplo 5: Dada a função , 
encontra y’ .
Solução:
Podemos escrever y = u5, onde . Aplicando 
a regra da cadeia, temos:
3 - Regra do Produto
Conforme Stewart (2014), por analogia com a regra da 
cadeia, alguém poderia tentar conjecturar,como Leibniz o 
fez três séculos atrás, que a derivada de um produto é o 
produto da derivada. Contudo, podemos ver que esta 
conjectura está errada examinando um exemplo particular. 
Sejam e . Então, a Regra da Potência 
fornece e . Mas , 
logo, . Assim, a fórmula correta foi 
descoberta por Leibniz (logo depois de tentar a fórmula 
falsa) e é chamada Regra do Produto.
Antes de enunciar a Regra do Produto, vamos ver 
como poderíamos descobri-la. Começamos assumindo que 
e são funções positivas deriváveis. 
Então, podemos interpretar o produto como a área 
de um retângulo. Se x variar por uma quantidade , as 
variações correspondentes, então, em u e v são
E o novo valor do produto, , 
pode ser interpretado como a área do retângulo maior da 
Figura (desde que e sejam postivos).
Figura 3 - Geometria da Regra do Produto
(STEWART, 2014).
A variação na área do retângulo é:
 Se dividirmos por , obtemos
 
 Se fizermos , obtemos a derivada de uv:
Observe que quando , uma vez que 
f é derivável e, portanto, contínua.
Embora tenhamos inicialmente suposto (para a 
258
33
interpretação geométrica) que todas as quantidades são 
positivas, vemos que a Equação 1 é sempre verdadeira. 
(A álgebra é válida se u, v, e e forem positivos ou 
negativos.) Logo, demonstramos a Equação conhecida 
como a Regra do Produto, para todas as funções deriváveis 
u e v.
 Se f e g são deriváveis, então:
Em outras palavras, a Regra do Produto diz que a 
derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a 
derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada 
da primeira função.
Exemplos: 
 Exemplo 6: Se encontre .
 Solução:
 Pela Regra do Produto, temos:
 Exemplo 7: Derive a função 
 Solução:
 Usando a Regra do Produto, temos:
 Exemplo 8: Se , onde e 
 , encontre . 
 Solução:
 Aplicando a Regra do Produto, obtemos:
 Logo,
4 - Regra do Quociente
Vamos determinar uma fórmula para derivar o 
quociente de duas funções diferenciáveis e 
 do mesmo modo que obtivemos a Regra do 
Produto. Se x, u, e v variam em quantidades , temos , 
e , então, a correspondente variação no quociente será:
 Quando , também, pois 
 é derivável e, portanto, contínua. Logo, usando 
as Propriedades dos Limites, obtemos
Pela Regra do Quociente, se f e g são deriváveis, 
então:
Em outros termos, a Regra do Quociente diz que 
a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do 
numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, 
todos divididos pelo quadrado do denominador.
A Regra do Quociente e as outras fórmulas de 
derivação nos permitem calcular a derivada de qualquer 
função racional, como ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplos: 
 Exemplo 9: Seja 
 Solução:
 Pela Regra do Produto, temos:
259
Cálculo Diferencial e Integral I 34
 Exemplo 10: Encontre uma equação da reta 
tangente à curva no ponto .
 Solução:
 Segundo a Regra do Quociente, temos:
Logo, a inclinação da reta tangente em é:
Isso significa que a reta tangente em é 
horizontal, e sua equação é . Observe que a função 
está crescendo e cruza sua tangente em .
(STEWART, 2014).
Observação: 
Não use a Regra do Quociente toda vez que você 
vir um quociente. Algumas vezes é mais fácil reescrever 
um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que 
seja mais simples para derivar. Por exemplo, embora seja 
possível derivar a função
Usando a Regra do Quociente, antes de derivar, é 
muito mais fácil efetuar primeiro a divisão e escrever a 
função como:
A seguir vejamos um resumo das regras de derivação 
que aprendemos nesta aula:
Retomando a aula
estudamos?
1– Derivadas de funções polinomiais e 
exponenciais
1.1– Funções de potências
Você aprendeu que para funções em que a variável 
está elevada a determinada potência, como polinômios, 
podemos escrever uma regra geral de derivação 
. 
2- Regra da cadeia
Vimos que a regra da cadeia é aplicada quando temos 
funções de duas variáveis, ou variáveis implícitas, ou funções 
compostas. Sejam duas funções deriváveis f e g onde y = g 
(y) e u = f (x). Para todo x tal que f (x) está no domínio 
de g, podemos escrever y = g (u) = g [ f (x) ]. A derivada 
em x da função y é obtida pela regra da cadeia como 
.
3 – Regra do produto
Sejam e funções positivas 
deriváveis, você aprendeu que a derivada do produto 
pode ser escrita como 
ou de maneira mais sintética .
4 – Regra do quociente
Você aprendeu que a derivada do quociente de 
260
35
duas funções pode ser dada pela regra do quociente. 
Considerando e funções 
positivas deriváveis, a derivada de é dada por 
.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam 
Buss. Cálculo A : funções, limite, derivação e integração. 6. 
ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall; São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 2012.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
261
6ºAula
Derivadas de Ordens Superiores
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• compreender as diversas ordens derivadas de uma função;
• conhecer notações e nomenclaturas utilizadas para o procedimento de derivadas de ordem superiores;
• relacionar derivadas de funções a problemas físicos;
• aplicar o conhecimento de derivadas sucessivas na resolução de problemas.
Até a aula passada foi estudada a fundamentação básica das derivadas 
e algumas das técnicas empregadas para solucionar determinadas situações 
de derivação. Aqui será visto que uma função que foi diferenciada poderá 
continuar a consistir outra função, que poderá ser diferenciada n vezes, 
denominada por uma ordem referente a esta quantidade. Várias são as 
nomenclaturas utilizadas nesse processo, e podem estar relacionadas a 
problemas físicos, onde descrevem determinados comportamentos como 
aceleração, velocidade, deslocamento etc.
Bons estudos!
263
Cálculo Diferencial e Integral I 38
Seções de estudo
1. Derivadas de ordem superior
2. Aplicações
1 - Derivadas de ordem superior
Sejam f uma função e A o conjunto dos x para os quais 
f ’’(x) existe. A função f ’: A R dada por x f ’(x), denomina-
se função derivada ou, simplesmente, derivada de f, diremos, 
ainda, que f ’ é a derivada de 1ª ordem de f. A derivada de 1ª 
ordem de f pode ser indicada também por f (1).
A derivada de f ’ denomina-se derivada de 2ª ordem de 
f e é indicada por f ’’ ou por f (2), assim, f ’’=(f ’)’. De modo 
análogo, define-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f.
Em outras palavras, se uma função f for derivável, então 
f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a 
derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda 
de f (ou de ordem 2), e assim por diante.
Para simplificar, tome como exemplo a seguinte função 
original: f (x) = 2x4 – 3x². Suas respectivas derivadas de ordem 
superior serão:
f ’ (x) = 8x3 – 6x Derivada primeira
f ’’ (x) = 24x² - 6 Derivada segunda
f ’’’ (x) = 48x Derivada terceira
f (4) (x) = 48 Derivada quarta
f (5) (x) = 0 Derivada quinta
Exemplos
Se f (x) = 8x4 + 5x3 x2 + 7 , encontre as derivadas de 
todas as ordens de f.
f ‘(x) = 32x3 +15x2 2x f iv (x) = 192
f ‘’(x) = 96x2 + 30x 2 f v (x) = 0
f ‘’’(x) = 192x + 30 f (n) (x) = 0, n > 5
Se f (x) = 2sen(x) + 3cos(x) – x³, calcule f ’’’(x).
f ‘(x) = 2cos(x) 3sen(x) 3x2
f ‘’(x) = 2 sen(x) 3cos(x) 6x
f ‘’’(x) = 2cos(x) + 3sen(x) 6
Se f (x) = ex/2, calcule f (n) (x).
Se , calcule f (n) (x).
f ‘(x) = (-1) x-2 = -x-2
f ‘’(x) = (-1)(-2) x-3 = 2 x-3
f ‘’’(x) = (-3)(-2)(-1) x-4 = -3×2×1 x-4
f iv (x) = (-4)(-3)(-2)(-1) x-5 = 4×3×2×1 x-5
f v (x) = (-5)(-4)(-3)(-2)(-1) x-6 = 5×4×3×2×1 x-6
1.2 – Notações
Frequentemente, usamos expressões do tipo y = f (x), 
s = f (t), u = f (v) etc. para indicar uma função. Em y = f (x), 
y é a variável dependente e xa variável independente. Em s 
= f (t), s é a variável dependente e t a variável independente 
(GUIDORIZZI, 2008).
Se a função vem dada por y = f (x), a notação, devida a 
Leibniz, (leia: derivada de y em relação a x) é usada para 
indicar a derivada de f em x: 
Para a derivada segunda de y em relação a x, teremos que 
a notação de Leibniz será , porque ela representa 
. O símbolo é uma notação para a derivada enésima de y 
em relação a x.
Outros símbolos para a derivada enésima de f são:
Resumindo:
 ou (derivada de primeira ordem de f em 
relação a x)
 ou (derivada de segunda ordem de f em 
relação a x)
 ou (derivada de terceira ordem de f em relação 
a x)
 ou (derivada de ordem n de f em relação a x)
Como exemplo, calcula-se a seguinte expressão:
 
 Solução:
2 - Aplicações
Segundo Leithold (2002), f’ (x) dá a taxa de variação 
instantânea de f (x) em relação a x e f ’’ (x), que é a derivada de 
f ’ (x), dá a taxa de variação instantânea de f ’ (x) em relação a x. 
Além disso, se (x,y) for um ponto qualquer sobre o gráfico de 
y = f (x), então dará a inclinação da reta tangente ao gráfico 
no ponto (x,y). Assim, será a taxa de variação instantânea 
da inclinação da reta tangente em relação a x no ponto (x,y).
 Por exemplo, seja m(x) a 
inclinação da reta tangente à curva 
 no ponto (x,y). Determina-se a taxa de 
variação instantânea de m(x) em relação a x no ponto (2, 2).
 Solução:
A taxa de variação instantânea de m(x) em relação a x é 
dada por m’(x) ou, equivalente, por .
264
39
 No ponto (2, 2)
2.1 – Aplicação na Física
De acordo com Leithold (2002), a derivada segunda f ’’ 
(x) é expressa em unidades de f ’ (x) por unidade de x, ou 
seja, unidade de f (x) por unidade x, por unidade de x. Por 
exemplo, no movimento retilíneo. Se f (t) cm for a distância 
de uma partícula à origem no instante t s, então f ’ (t) cm/s, 
será a velocidade da partícula no instante t s e f ’’ (t) cm/
s/s (centímetros por segundo por segundo) será a taxa de 
variação instantânea da velocidade no mesmo instante t s. Em 
física, a taxa de variação instantânea da velocidade é chamada 
de aceleração instantânea. Logo, se uma partícula está se 
movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação 
de movimento s = f (t), onde a velocidade instantânea é dada 
por v cm/s e a aceleração instantânea é dada por a cm/s², no 
instante t s, então, a será a derivada primeira de v em relação 
ao tempo ou, equivalentemente, a derivada segunda de s em 
relação a t; isto é,
Quando a > 0, v é crescente e quando a < 0, v é 
decrescente. Quando a = 0, v não muda. Como a velocidade 
escalar de uma partícula no instante t é v cm/s, temos os 
seguintes resultados:
Se v > 0 e a > 0, a velocidade escalar é crescente.
Se v > 0 e a < 0, a velocidade escalar é decrescente.
Se v < 0 e a > 0, a velocidade escalar é decrescente.
Se v < 0 e a < 0, a velocidade escalar é crescente.
Exemplo 1
Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, 
de acordo com a equação
Onde s cm é a distância da partícula até a origem, 
decorridos t s. Se v cm/s for a velocidade instantânea em t s, 
então v = . Logo,
Se a cm/s² for a aceleração em t s, então a = . Assim,
Vamos determinar para quais valores de t se anulam as 
quantidades s, v ou a. De (1),
De (2),
De (3),
Na Figura 1 estão os valores de s, v e a para t igual a 0, 1, 
2 e 3. Também estão indicados os sinais das quantidades s, v 
e a nos intervalos de t, excluindo 0, 1, 2 e 3. Uma conclusão é 
tirada relativa à posição e ao movimento da partícula para os 
vários valores de t.
Figura 1 - Resumo
Fonte: Leithold (2002).
Na Figura 2, o movimento da partícula se faz ao longo de 
uma reta horizontal e o comportamento do movimento está 
indicado acima da reta.
Figura 2 – Movimento da partícula
Fonte: Leithold (2002)
Exemplo 2 
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo 
com a seguinte equação de movimento: , onde 
s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t 
seg. Se v cm/s for a velocidade instantânea e a cm/s² for a 
aceleração em t s, determine t, s e v quando a aceleração é nula.
Solução:
265
Cálculo Diferencial e Integral I 40
Tomando a = 0, teremos
Quando t = 1, temos
Portanto, a aceleração é nula 1 segundo após o início 
do movimento, quando a partícula está a 5/2 cm da origem, 
movendo-se para a direita, com uma velocidade de 2 cm/s.
Retomando a aula
que aprendemos?
1 – Derivadas de ordem superior
Você aprendeu que se uma função f for derivável, então 
f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a 
derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda 
de f (ou de ordem 2), e assim por diante. 
1.2 – Notações
Se a função vem dada por y = f (x), a notação 
é usada para indicar a derivada. Para a derivada segunda será 
.
No caso da derivada enésima usa-se 
.
2 – Aplicações
2.1 – Aplicação na física
Por exemplo, no movimento retilíneo. Se f (t) cm for a 
distância de uma partícula à origem no instante t s, então f ’ 
(t) cm/s será a velocidade da partícula no instante t s e f ’’ (t) 
cm/s/s (centímetros por segundo por segundo) será a taxa de 
variação instantânea da velocidade no mesmo instante t s, que 
é chamada de aceleração instantânea.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de 
cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
LEITHOLD, Louis; JOSÉ FILHO, Sebastião Antônio; 
PAQUES, Antônio. et al. O cálculo com geometria 
analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 2002. 
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
266
7ºAula
Máximos e Mínimos, Extremos 
Relativos de Funções
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• identificar extremos de funções;
• entender a diferença entre máximos e mínimos relativos e absolutos;
• encontrar o ponto crítico de funções;
• compreender o que é ponto de inflexão de uma função;
• conhecer os Teoremas do valor extremo, Teorema de Fermat, Teste da concavidade e Teste da Segunda derivada 
de funções;
Ao observamos funções, podemos identificar determinados padrões 
referentes a seus formatos. Dentre eles, destaca-se os pontos onde alguma 
curva ou função qualquer altera sua trajetória (passando de crescente a 
decrescente, ou vice-versa), sendo identificados como pontos de máximos e 
mínimos de uma função.
Tais parâmetros podem representar a máxima altura atingida durante a 
trajetória do lançamento de um projétil, os picos de um eletrocardiograma, 
a máxima ou mínima cotação de uma empresa, dentre diversas situações 
envolvendo gráficos expressados por funções.
Bons estudos!
267
Cálculo Diferencial e Integral I 42
Seções de estudo
1. Máximos e Mínimos Relativos
2. Teorema do Valor Extremo
3. Concavidade e Pontos de Inflexão
1 - Máximos e Mínimos Relativos
A figura a seguir mostra o gráfico de uma função y = f 
(x), onde assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.
(FLEMMING E GONÇALVES, 2012). 
Esses pontos são chamados pontos extremos da 
função. Os pontos x1 e x3 são pontos de máximo relativos 
(ou local), enquanto que f(x1) e f(x3) são valores máximos 
relativos. Os pontos x2 e x4 são chamados pontos de 
mínimo relativos (ou local), enquanto que f(x2) e f(x4) são 
os valores mínimos relativos. Além disso, observamos que f é 
crescente para x < x1, x (x2, x3) e x > x4, e decrescente 
para x (x1, x2) e x (x3, x4). A formalização destas 
definições é apresentada a seguir:
Definição 1: Uma função f tem um máximo relativo em 
c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) 
para todo x I.
Definição 2: Uma função f tem um mínimo relativo em 
c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) 
para todo x I.
Definição 3: Seja f uma função definida em um intervalo 
I: 
(i) f é crescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 
I tais que x1 < x2 f (x1) f (x2);
(ii) f é decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, 
x2 I tais que x1 < x2 f (x1) f (x2).
Exemplo
A função f(x) = 3x4 – 12x2 tem um máximo relativo em c1 
= 0,pois existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) f(x) para todo 
x (-2, 2). Em c2 = - 2 e c3 = + 2 , f tem mínimos relativos, 
pois f (-2 , 2) f(x) para todo x (-2, 0) e f ( 2 ) f(x) para 
todo x (0, 2). f é crescente nos intervalos (- 2 ,0) e ( 2 ,2) e 
decrescente nos intervalos (-2, - 2 ) e (0, 2 ).
1.1 – Pontos críticos
Proposição 1: Suponha que f(x) exista para todos os 
valores de x (a, b) e que f tenha um extremo relativo em c, 
onde a < c < b. Se f ’(c) existe, então f ’(c) = 0.
Geometricamente esta proposição indica que se f tem 
um extremo relativo em c e se 
f ’(c) existe, então, o gráfico de f tem uma reta tangente 
horizontal no ponto onde x = c.
Observação: Não vale a recíproca da proposição 1, ou 
seja, f ’(c) = 0 não implica que c seja um extremo de f. O 
exemplo mais simples que ilustra este fato é a função f (x) 
= x³. Vemos claramente que f ’(0) = 0, porém f não tem 
extremo em x = 0 . Da mesma forma, observamos nas figuras 
a seguir que quando f ’(c) não existe, f pode ter ou não um 
extremo relativo em c.
Definição 4: O ponto c D (f) tal que f ’(c) = 0 ou f 
’(c) é chamado ponto crítico de f. 
A figura acima ilustra o fato de que um ponto crítico 
pode ser ou não um ponto extremo.
Porém, uma condição necessária para a existência de 
um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto 
crítico. Em outras palavras, todo ponto extremo é ponto 
crítico, porém nem todo ponto crítico é ponto extremo.
É importante observar que uma função definida em um 
dado intervalo pode admitir diversos extremos relativos. O 
maior valor da função neste intervalo é chamado máximo 
absoluto e o menor valor, mínimo absoluto.
Exemplo:
268
43
A função f (x) = - x2 + 2 possui um valor máximo 
absoluto igual a 2 em (-3, 2), o qual é atingido quando x = 0. 
Também podemos dizer que –7 é o valor mínimo absoluto 
em [-3, 2], o qual é atingido quando x = - 3.
Proposição 2: Seja f:[a, b] R uma função contínua, 
definida em um intervalo fechado [a, b]. Então, f possui 
máximo e mínimo absoluto em [a, b].
Proposição 3: Seja f uma função contínua no intervalo 
[a, b] e derivável em (a, b).
i) Se f ’(x) > 0 para todo x (a, b), então, f é crescente 
em [a, b];
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x (a, b), então, f é decrescente 
em [a, b].
Exemplos: 
Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes 
são crescentes ou decrescentes.
 Exemplo 1:
 f (x) = x3 + 1
 Solução:
 Basta derivar a função e analisar os pontos x D (f) 
tais que f ’(x) > 0 e os pontos onde f ’(x) < 0.
 Temos: f ’(x) = 3x2. Como 3x2 > 0, para todo x 0, 
concluímos que a função é sempre crescente.
 Verifica-se isso no gráfico:
 Exemplo 2: 
 f (x) = x2 – x + 5
 Solução:
 Temos f ’(x) = 2x – 1. Então, para 2x – 1 > 0, ou seja, 
para x > a função é crescente.
 Para 2x – 1 < 0 ou x < a função é decrescente.
 Exemplo 3:
Note que f não é diferenciável em x = 1. Assim, se x < 1, 
então f ’(x) = 4x e, portanto:
4x > 0 para x (0, 1) e 4x < 0 para x (- , 0).
 Se x > 1, então f ’(x) = -1. Logo, f ’(x) < 0 para todo 
x (1, + ).
 Concluímos com isso que f é crescente em (0, 1) e 
decrescente em (- , 0) (1, + ).
x = 0 e x = 1 são pontos críticos de f.
2
Stewart (2014) menciona que algumas funções têm 
269
Cálculo Diferencial e Integral I 44
valores extremos, enquanto outras não têm. O teorema a 
seguir dá condições para garantir que uma função tenha 
valores extremos.
Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um 
intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo 
absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em certos 
números c e d em [a, b].
Observe na Figura a seguir que um valor extremo pode 
ser assumido mais de uma vez. Embora o Teorema do Valor 
Extremo seja intuitivamente muito plausível, ele é difícil de ser 
demonstrado.
(STEWART, 2014).
As Figuras a seguir mostram que uma função pode 
não possuir valores extremos se for omitida uma das duas 
hipóteses (continuidade ou intervalo fechado) do Teorema do 
Valor Extremo.
(STEWART, 2014).
A função f, cujo gráfico está mostrado na Figura acima, 
está definida no intervalo fechado [0, 2], mas não tem valor 
máximo [observe que a imagem de f é (0, 3)]. Essa função 
assume valores arbitrariamente próximos de 3, mas nunca 
atinge o valor 3. Isso não necessariamente contradiz o 
Teorema de Valores Extremos, pois f não é contínua. Não 
obstante, uma função descontínua pode ter valores máximo 
e mínimo.
A função g da Figura é contínua no intervalo aberto (0, 
2), mas não tem nem valor máximo nem mínimo. A imagem 
de g é (1, + )]. Essa função assume valores arbitrariamente 
grandes. Isso não contradiz o Teorema de Valores Extremos, 
pois o intervalo (0, 2) não é fechado.
O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função 
contínua em um intervalo fechado tem um valor máximo e 
um mínimo; contudo, não diz como encontrar esses valores 
extremos.
A Figura a seguir mostra o gráfico de uma função f 
com máximo local em c e mínimo local em d. Parece que 
nos pontos de máximo e de mínimo as retas tangentes são 
horizontais e, portanto, cada uma tem inclinação 0. Sabemos 
que a derivada é a inclinação da reta tangente; assim, parece 
que f ’ (c) = 0 e f ’ (d) = 0. O teorema a seguir afirma que isso 
é sempre verdadeiro para as funções diferenciáveis.
(STEWART, 2014).
Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou mínimo 
local em c e se f ’(c) existir, então f ’ (c) = 0.
O Teorema de Fermat é assim designado em homenagem a Pierre Fermat 
(1601-1665), um advogado francês que tinha por passatempo favorito a 
matemática. Apesar de seu amadorismo, Fermat foi, junto com Descartes, 
um dos inventores da geometria analítica. Seus métodos para encontrar as 
tangentes às curvas e os valores máximo e mínimo (antes da invenção de 
limites e derivadas) fazem dele um precursor de Newton na criação do cálculo 
diferencial (STEWART, 2014).
3
Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda 
derivada) em um intervalo (a, b). Se f ’’(x) > 0 para todo x em 
(a, b), então a função primeira derivada f ’(x) é crescente em (a, 
b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima, 
conforme mostra a figura a seguir:
Analogamente, se f ’’(x) < 0 para todo x em (a, b), então 
a função primeira derivada f ’(x) é decrescente em (a, b) e a 
concavidade do seu gráfico é voltada para baixo:
270
45
 Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de uma função 
contínua f é chamado ponto de inflexão se a concavidade do 
gráfico muda neste ponto.
 Na figura abaixo, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 
são pontos de inflexão. Vale observar que c2 e c3 são pontos 
extremos relativos de f e que f não é derivável nestes pontos. 
Nos pontos c1 e c4 existem derivadas f ’(c1) e f ’(c4).
3.1 – Teste da Concavidade
 Olhando para a Figura, você pode ver que, indo 
da esquerda para a direita, a inclinação da tangente cresce. 
Isso significa que a derivada f ’ é uma função crescente e, 
consequentemente, sua derivada f ’’ é positiva. Da mesma 
forma, na Figura a seguir a inclinação da tangente decresce 
da esquerda para a direita; logo, f ’ decresce e, portanto, f ’’ 
é negativa. Esse raciocínio pode ser invertido e sugere que o 
teorema a seguir é verdadeiro.
(STEWART, 2014).
 Teste da Concavidade
 (a) Se f ’’ (x) > 0 para todo x em I, então, o gráfico de 
f é côncavo para cima em I.
 (b) Se f ’’ (x) < 0 para todo x em I, então, o gráfico 
de f é côncavo para baixo em I.
 Em vista do Teste da Concavidade, há um ponto de 
inflexão sempre que a segunda derivada mudar de sinal.
3.2 – Teste da Segunda Derivada
Outra aplicação da segunda derivada é o teste a seguir 
para os valores máximo e mínimo.
Ele é uma consequência do Teste da Concavidade.
 Teste da Segunda Derivada: Suponha que f ’’ seja 
contínua na proximidade de c.
 (a) Se f ’ (c) = 0 e f ’’ (c) > 0, então, f tem um mínimo 
local em c.
 (b) Se f ’ (c) = 0 e f ’’ (c) < 0, então, f tem um 
máximo local em c.
Exemplo 
Encontre os máximos e mínimos relativos de f , aplicando 
oteste da segunda derivada.
 f (x) = 18x + 3x2 – 4x3
 Solução:
 Temos, f ’(x) = 18 + 6x – 12x2 e f ”(x) = 6 – 24x
 Fazendo f ’(x) = 0, obtemos 18 + 6x –12x2 = 0. 
Resolvendo esta equação obtemos os pontos críticos de f , 
que são x1 = 3/2 e x2 = –1.
 Como f ’’ (3/2) = -30 < 0, segue que x1 = 3/2 é um 
ponto de máximo relativo de f. Seu valor máximo relativo em 
x1 é dado por f (3/2) = 20,25.
 Analogamente, como f ’’ (-1) = 30 > 0, segue que x2 
= –1 é um ponto de mínimo relativo de f. Seu valor mínimo 
relativo em x2 é dado por f (-1) = - 11.
Retomando a aula
que estudamos?
1 – Máximos e mínimos relativos
Uma dada função f, apresenta máximo relativo em c se 
existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para 
todo x I. Do mesmo modo, apresenta um mínimo relativo 
em c se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) 
f(x) para todo x I. Dizemos ainda que se a mesma função 
f definida no intervalo I é crescente nesse intervalo se, para 
quaisquer x1, x2 I tais que x1 < x2 f (x1) f (x2). E 
decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 I tais 
que x1 < x2 f (x1) f (x2).
1.1 – Pontos críticos
271
Cálculo Diferencial e Integral I 46
Considerando uma função f que apresente um máximo 
ou um mínimo relativo em c, e se existe a derivada f ’(c), então 
f ’(c) = 0, e se constitui um ponto crítico de f. No entanto, nem 
todo x tal que f ’(x) = 0 é um extremo de f. 
2 – Teorema do valor extremo
Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então 
f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo 
absoluto f (d) em certos números c e d em [a, b].
3 – Concavidade e pontos de inflexão
Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda 
derivada) em um intervalo (a, b). Se f ’’(x) > 0 para todo x em 
(a, b), então a função primeira derivada f ’(x) é crescente em (a, 
b) e sua concavidade é voltada para cima. Do mesmo modo, 
se f ’’(x)<0 para todo x em (a, b), então a função primeira 
derivada f ’(x) é decrescente em (a,b,) e a sua concavidade é 
voltada para baixo.
3.1 – Teste da concavidade
Você aprendeu que, dada uma função f contínua em um 
intervalo I, se f ’’ (x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de 
f é côncavo para cima em I. Analogamente, se f ’’ (x) < 0 para 
todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
3.2 – Teste da segunda derivada
Considerando a função f e sendo f ’’ contínua na 
proximidade de c, então f tem um mínimo local em c se f ’ (c) 
= 0 e f ’’ (c) > 0. Do mesmo modo, f tem um mínimo local 
em c se f ’ (c) = 0 e f ’’ (c) < 0.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam 
Buss. Cálculo A : funções, limite, derivação e integração. 
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall; São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 2012.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
pena ler
Vale a pena
Minhas anotações
272
8ºAula
Aplicações de Derivadas
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
• verificar os trechos onde uma função é crescente ou decrescente;
• descrever problemas de variação de taxas no tempo;
• aplicar conhecimentos de diferenciação em otimização de problemas;
• resolver problemas diversos envolvendo funções pelo uso de derivadas.
Conforme visto nas aulas anteriores, as derivadas podem ser utilizadas 
para descrever várias características de funções, inclusive para determinar 
seus pontos de máximo e mínimo. Nesse sentido, sua aplicação estende-
se a qualquer problema envolvendo funções, onde o emprego da derivada 
pode servir para otimizar processos de engenharia, facilitar na decisão de 
problemas financeiros, verificar comportamentos matemáticos de uma 
forma geral, seja na física, biologia, ou qualquer campo de estudo onde faz-
se presente a utilização de funções.
Bons estudos!
273
Cálculo Diferencial e Integral I 48
Seções de estudo
1. Teste Crescente/Decrescente
2. Taxas de Variação
3. Problemas de Otimização
4. Exemplos de aplicação 
1 - Teste Crescente/Decrescente
Muitas aplicações do cálculo dependem de nossa 
habilidade para deduzir fatos sobre uma função f a partir de 
informações relativas a suas derivadas. Como f ’ (x) representa 
a inclinação da curva y = f (x) no ponto (x, f (x)), ela nos 
informa para qual direção a curva segue em cada ponto. 
Assim, é razoável esperar que informações sobre f ’ (x) nos 
forneçam informações sobre f (x) (STEWART, 2014).
Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma 
função é crescente ou decrescente, observe a Figura a seguir. 
Entre A e B e entre C e D, as retas tangentes têm inclinação 
positiva e, portanto, f ’ (x) > 0. Entre B e C, as retas tangentes 
têm inclinação negativa e, portanto, f ’ (x) < 0. Assim, parece 
que f cresce quando f ’ (x) é positiva e decresce quando f ’ (x) 
é negativa.
(STEWART, 2014).
Teste Crescente/Decrescente
(a) Se f ’ (x) > 0 em um intervalo, então, f é crescente nele.
(b) Se f ’ (x) < 0 em um intervalo, então, f é decrescente nele.
Exemplo
Encontre onde a função f (x) = 3x4 – 4x3 – 12x² + 5 é 
crescente e onde ela é decrescente.
Solução
f ’ (x) = 12x3 – 12x² - 24x = 12x (x – 2) (x + 1)
Para usarmos o Teste C/D, devemos saber onde f ’ (x) > 
0 e onde f ’ (x) < 0. Isso depende dos sinais dos três fatores 
de f ’ (x), isto é, 12x, x – 2 e x + 1. Dividimos a reta real em 
intervalos cujas extremidades são os números críticos -1, 0 
e 2 e dispomos o que fizemos em uma tabela. Um sinal de 
mais indica que a expressão dada é positiva, e um sinal de 
menos indica que é negativa. A última coluna da tabela mostra 
a conclusão baseada no teste C/D. Por exemplo, f ’ (x) < 
0 para 0 < x < 2, de modo que f é decrescente em (0, 2). 
Também seria verdade dizer que f é decrescente no intervalo 
fechado [0, 2].
O gráfico de f mostrado na Figura confirma a informação 
dada na tabela.
Na aula anterior vimos que se f tem um máximo ou 
mínimo local em c, então c deve ser um número crítico de 
f (pelo Teorema de Fermat), mas nem todo número crítico 
dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente, 
necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um 
máximo ou mínimo local em um número crítico.
Você pode ver a partir da Figura a seguir que f (0) = 5 é 
um valor máximo local de f, pois f cresce em (-1, 0) e decresce 
em (0, 2). Ou, em termos de derivadas, f ’ (x) para -1 < x < 0 e 
f ’ (x) < 0 para 0 < x < 2. Em outras palavras, o sinal de f ’ (x) 
muda de positivo para negativo.
2
O ser humano está sempre na busca de descrever o 
comportamento dos fenômenos físicos que o cercam. Em 
geral, começam descrevendo problemas mais simplificados, 
ou seja, desprezando algumas variáveis menos relevantes. Em 
seguida, gradativamente, são acrescidas novas variáveis até 
chegar o mais próximo possível da realidade. Nesse contexto, 
temos as Taxas relacionadas, que são as relações estabelecidas 
entre as várias Taxas de variação de um determinado 
fenômeno físico.
Na matemática, taxa de variação é a variação de uma 
determinada grandeza em função de outra variável. Por 
exemplo, a velocidade é a taxa de variação da distância em 
função do tempo.
Entretanto, temos mais que um tipo de taxas de variação, 
por exemplo:
- taxa de variação média que é a variação média entre os 
valores iniciais e finais;
- taxa de variação instantânea que é a variação de uma 
grandeza em um determinado momento do fenômeno. 
Nosso interesse está nas taxas de variação instantânea, 
que são expressas por meio das derivadas.
Exemplo de Aplicação
 1) Um comedouro de ração em um aviário no 
274
49
formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 
40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma 
taxa constante de 120 cm³/h. Qual é a taxa de variação da 
altura da ração quando ela está com 25 cm?
 Solução:
 Primeiramente deve-se relacionar o raio com a altura, 
usando semelhanças de triângulos:
 Substituindo na equação do volume tem-se:
 Derivando em relação ao tempo fica-se com:Derivando em relação ao tempo fica-se com:
 Onde manipulando a expressão chega-se a solução 
desejada:
 Exemplo 2: 
 Um avião está subindo a um ângulo de 30° com a 
horizontal. Com que rapidez o avião estará ganhando altura 
se sua velocidade for de 900 quilômetros por hora?
Fonte:image/png;base64.
 Através das relações trigonométricas podemos 
relacionar a distância percorrida pelo avião e a altura que do 
solo que ele se encontra: 
 
 Onde sen(30) = ½ , logo tem-se:
Lembre-se da aula anterior que ao derivar a função 
posição encontramos a função velocidade, que representa a 
taxa de variação do espaço.
Assim, derivando a equação dada em ambos os lados em 
função do tempo t obteremos:
 Substituindo os dados pelo problema tem-se:
 Deste modo chegamos a resposta do problema 
apresentado, o avião ganha altura a uma rapidez de 450 km/h.
3 - Problemas de Otimização
Nas aplicações, uma quantidade física ou geométrica 
costuma ser descrita por meio de alguma fórmula Q = f (x), na 
qual f é uma função. Assim, Q pode ser a temperatura de uma 
substância no instante x, a corrente em um circuito elétrico 
quando a resistência é x, ou o volume de gás em um balão 
esférico de raio x. Naturalmente, usamos também outros 
símbolos para variáveis tais como T para temperatura, t para 
tempo, I para corrente, R para resistência, V para volume e r 
para raio. Se Q = f (x) e f é diferenciável, então a derivada D 
Q = f ’ (x) pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos 
de Q. Em aplicações, esses valores extremos são às vezes 
chamados de valores ótimos, porque são, em certo sentido, 
os melhores ou mais favoráveis valores da quantidade Q. A 
tarefa de determinas esses valores constitui um problema de 
otimização (SWOKOWSKI, 1995).
Se um problema de otimização é enunciado em palavras, 
então é necessário converter o enunciado em uma fórmula 
adequada como Q = f (x), a fim de acharmos os números 
críticos. Na maioria dos casos existe apenas um número crítico 
c. Se, além disso, f é contínua em um intervalo fechado [a,b] 
contendo c, então, pelas Diretrizes (4,9), os extremos de f são 
o maior e o menor dos valores f (a), f (b) e f (c). Por isso é, em 
geral, desnecessário aplicar o teste da derivada. Entretanto, se 
for fácil calcular f ’’ (x), aplicamos o teste da derivada segunda 
para verificar um extremo.
Exemplo
 De uma longa folha retangular de metal de 30 cm 
de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas 
275
Cálculo Diferencial e Integral I 50
perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser 
dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade 
máxima?
Fonte: <https://slideplayer.com.br/slide/1270238/3/images/3/De+uma+longa+fo
lha+de+metal+de+30+cm+de+largura+deve-se+fazer+uma+calha+dobrando+as.
jpg>. Acesso em: 21 set. 2018.
Solução:
Na Figura ilustrada, x denota o número de centímetros 
a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha é 30 – 
2x cm. A capacidade da calha será máxima quando a área do 
retângulo de lados x e 30 – 2x for máxima. Denotando essa 
áream por f (x), temos:
Como 0 2x 30, o domínio de f é 0 x 15. Se x = 
0 ou x = 15, não se forma nenhuma calha (a área do retângulo 
seria f (0) – 0 – f (15)).
Diferenciando:
De onde o único número crítico é x = 7,5. Como f ’’ (x) 
= - 4 < 0, f (7,5) é máximo local para f. Segue-se que devem 
ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade 
máxima.
3.1 – Diretrizes para a resolução de 
problemas de otimização
Como o número de tipos de problemas de otimização é 
ilimitado, é difícil estabelecer regras específicas para obter as 
respectivas soluções. Todavia, Swokowski (1995) recomenda 
uma estratégia geral para abordar tais problemas. Poderão 
ser úteis as diretrizes apresentadas a seguir. Ao empregá-
las, o leitor não deve se desencorajar se não conseguir 
resolver rapidamente um determinado problema. Em geral é 
necessário muito esforço e prática para uma pessoa se tornar 
proficiente na resolução de problemas de otimização, mas 
continue tentando.
Diretrizes de Swokowski para resolução de problemas 
de otimização:
1. Ler cuidadosamente o problema várias vezes, 
meditando sobre os fatos apresentados e as 
quantidades desconhecidas a serem determinadas.
2. Se possível, esboçar um diagrama e rotulá-lo 
adequadamente, introduzindo variáveis para 
representar as quantidades desconhecidas. 
Expressões tais como o que, ache, quanto, a que distância 
ou quando devem alertá-lo para as quantidades 
desconhecidas.
3. Registrar os fatos conhecidos juntamente com 
quaisquer relações envolvendo as variáveis.
4. Determinar qual variável deve ser maximizada ou 
minimizada, e expressar esta variável como função 
de uma das outras variáveis.
5. Determinar os números críticos da função obtida 
em 4.
6. Determinar os extremos com auxílio das Diretrizes 
ou pelos testes de derivadas de primeira e segunda. 
Verificar os pontos extremos sempre que necessário.
4 - Exemplos de aplicação
4.1 – Problema de Engenharia
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a 
capacidade de 375 cm³. O custo do material usado para a 
base do recipiente é de 15 centavos por cm² e o custo do 
material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm². 
Se não há perda de material, determine as dimensões que 
minimizem o custo do material.
Solução:
Denotamos por r o raio da base e por h a altura (ambos 
em centímetros). A quantidade a minimizar é o custo C do 
material. Como os custos, por centímetro quadrado, da base e 
da parte curva são 15 centavos e 5 centavos, respectivamente, 
temos em termos de cruzeiros, o custo do recipiente é 15 
(área da base) + 5 (área parte lateral).
Assim,
Podemos expressar C como função de uma variável, r, 
escrevendo h em termos de r. Como o volume do recipiente 
é 375 cm³, vemos que
Substituindo h por 375/r² na última forma de C, temos
O domínio de C é (0, ).
Para achar os números críticos, diferenciamos C em 
relação a r:
276
51
Como DrC = 0 se r = 5, vemos que 5 é o único número 
crítico. E como DrC < 0 se r < 5 e DrC > 0 se r > 5, segue-se 
do teste da derivada primeira que C tem seu mínimo quando 
o raio do cilindro é de 5 cm. O valor correspondente da altura 
(obtido de h=375/r²) é 375/25 = 15cm.
4.2 – Problema de Administração e 
Economia
Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de 
Blu-ray por semana a $ 350 cada. Uma pesquisa de mercado 
indicou que para cada $ 10 de desconto oferecido aos 
compradores, o número de unidades vendidas aumenta 20 
por semana. Encontre a função demanda e a função receita. 
Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar 
sua receita?
Solução:
Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos 
por semana, então o aumento semanal nas vendas será x 
200. Para cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço 
cai em $ 10. Portanto, para cada unidade adicional vendida, o 
decréscimo no preço será e a função demanda será 1/20 × 10 
e a função demanda será
A função receita é
Como R ’ (x) = 450 - x, vemos que R ’ (x) = 0 quando 
x = 450. Este valor de x dá um máximo absoluto pelo Teste 
da Primeira Derivada (ou simplesmente observando que o 
gráfico de R é uma parábola que abre para baixo). O preço 
correspondente é
E o desconto é 350 - 225 = 125. Portanto, para maximizar 
a receita, a loja deveria oferecer um desconto de $ 125.
4.3 – Problema de Trânsito
Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra rodovia Leste-
Oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P às 10h, 
dirigindo-se para o leste a 20 km/h. No mesmo instante, 
outro automóvel está a 2 km ao norte de P e se dirige para o 
sul a 50 km/h. Determine o instante em que os automóveis 
estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância 
mínima entre eles.
Solução:
Se t denota o número de horas após 10h, então o veículo 
mais lento está a 20t km a leste de P. O veículo mais rápido está 
a 50t km ao Sul de sua posição às 10h e, assim, sua distância 
de P é 2 – 50t. Pelo teorema de Pitágoras, a distância d entre 
os automóveis é
Queremos acharo instante t em que d tem seu menor 
valor. Isto ocorrerá quando o radicando for mínimo, porque 
d aumenta se e somente se 4 – 200t + 2900t² aumenta. Assim, 
podemos simplificar nosso trabalho fazendo
E determinando o valor de t para o qual f tem um 
mínimo. Como
O único número crítico para f’ é
Além disso, f ’’ (t) = 5800, de modo que a derivada 
segunda é sempre positiva. Portanto, f tem mínimo local em 
t = 1/29, e f (1/29) = 14/29. Como o domínio de t é [ 0 
, ] e como f (0) = 4, não há máximo nem mínimo nas 
extremidades. Consequentemente, os automóveis estarão mais 
próximos um do outro a 1/29 horas (ou aproximadamente 
2,07 minutos) após 10h. A distância mínima é
Retomando a aula
que estudamos?
1 – Teste crescente/decrescente
Você aprendeu que, dada uma função f diferenciável num 
intervalo, se f ’ (x) > 0 neste intervalo, então f é crescente nele. 
Do mesmo modo, se f ’ (x) < 0 em um intervalo, então f é 
decrescente nele.
2 – Taxas de variação
Na matemática, taxa de variação é a variação de uma 
determinada grandeza em função de outra variável. Pode ser 
ainda média, que é a variação média entre os valores iniciais e 
finais, ou instantânea, que é a variação de uma grandeza em 
um determinado momento do fenômeno.
3 – Problemas de otimização
Em aplicações, valores extremos são, às vezes, chamados 
277
Cálculo Diferencial e Integral I 52
de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores 
ou mais favoráveis valores da quantidade associada a uma 
função específica.
3.1 – Diretrizes para a resolução de problemas de 
otimização
Diretrizes de Swokowski para resolução de problemas 
de otimização: (1) Ler cuidadosamente o problema várias 
vezes; (2) Se possível, esboçar um diagrama, introduzindo as 
variáveis; (3) Registrar os fatos conhecidos e relações entre as 
variáveis; (4) Determinar qual variável deve ser maximizada 
ou minimizada, e expressar esta variável como função de uma 
das outras variáveis; (5) Determinar os números críticos da 
função obtida em 4; (6) Determinar os extremos com auxílio 
das Diretrizes ou pelos testes de derivadas de primeira e 
segunda. Verificar os pontos extremos sempre que necessário.
Referências 
FLEMMING, Diva. M. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. São Paulo: Makron Books do Brasil, 
1992. 5ª Ed.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 3. ed. 
São Paulo: LTC, 1997. V.1.
HOFFMANN, D. Laurence; BRADLEY, Gerald L.; 
Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10ª. Ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2010.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. 
ed.São Paulo: Harbra, 2002. Vol. 1. 
MUNEM, Mustafá A. Cálculo. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara, 1983. V. 1.
STEWART ,J.; MORETTI, A. C. ; MARTINS, A. C. G. 
Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Cengage, 2008. V. 1. 
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. 
São Paulo: Makron Booksl, 1994. V.1.
THOMAS, George B. Cálculo. 11. ed.São Paulo: Addison 
Wesley, 2009.
SWOKOWSKI, Ealr W.; FARIA, Alfredo Alves de. 
Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil; São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 
3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2014.
pena ler
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Referências
Minhas anotações
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