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111111111
9 786500 925470
ELEMENTOS DA
,
MATEMATICA
Marcelo Rufino de Oliveira
Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Cálculo
1R3
Lógica
COLECÃO ELEMENTOS .,,
DA MATEMÁTICA
VOLUME 6
Marcelo Rufino de Oliveira
Com formação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)
Desde 1998 desenvolvendo trabalho como:
Coordenador de Turmas ITA/IME
Professor de Matemática de Turmas ITA/IME
Professor de Física de Turmas ITAIIME
Professor de Olimpíadas de Matemática
Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Com formação pela Universidade Federal do Pará (UFPa)
Professor de Matemática de Turmas ITA/IME
COLEÇÃO ELEMENTOS
DA MATEMÁTICA
6
Marcelo Rufino de Oliveira
Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
CÁLCULO
IR3
LÓGICA
1 ª edição (2024)
rndl,s P.'i di1cillh dl':-la i:diç,in i:,1,io n:scn adn:
,'i .\ li11..:t.:ln Rufi1w ele Oli,-.:-ira
r:nrtalu:1 - C'i:ar:i-131:1,il
E-mail : m:-il\:drwulint\ 1i·ho1111:lil c. (x + t )
11
- X
11
Repare que lim (x + Llt) -x = O e hm LH =O, ou seJa, hm -'--- - - -
• Llt➔O Lll->0 t.t➔O L\.t
é do tipo Q_ Vamos analisar, inicialmente, casos pequenos, para depois generalizar.
o
Para n = 2:
lim (x+L\.r)2 -x 2 = lim / +2xót + L\.t 2 - /
M➔ü Llt ar➔ü L\.t
lim 2x + L\.t = 2x
1'.t ➔Ü
Usando a expansão em binômio de Newton, é possível generalizar:
'
/ +(nl J xn-1ót+ ( n2Jxn- 2L'i.t2 + ... + ( n11 J ti.t" -/
. (x+ti.r)" -x" hm .;._ _ ___:___ _ _ = hm - - -'--Ü õt
= lim ( nJ xn-1 + ( nJ xn-2L'i.t+ ... +(nJti.rº - I =nxn-1
llt ➔O ) 2 n
1.5.2. O limite lim senx
x➔O X
O 1
. .
1
. senx ,
1
. t·
1
. .
1m1te 1m -- e, provave mente, o mais amoso 11nite em que ocorre a
X ➔O X
• d • O 1 1 1 • d d senx • • h 1 m etermmação -. Vamos ca cu arva ores aproxima os e -- na v1zm ança, pe a
Ü X
esquerda e direita, de x = O pra tentar prever que valor deve dar o limite citado.
X -0,2 -0,1 -0,05 0,025 0,075 O, 125 0.15
sen x - O, 1986 -0,9983 -0,0499 0,2499 0,07493 0.1247 0.1494
senx 0,9933 0,9983 0,9996 0,9999 0,9991 0.9974 0,99925
- -
X
Pela tabela, é fácil deduzir que a razão senx tende a I quando x tende a zero.
X
O problema é que a tabela acima, apesar de possibilitar a previsão do resultado, não
serve como prova matemática! Para fazer a demonstração desse limite é necessário
lançar mão de um importante teorema de cálculo:
C;gflD/11 I. I/Jr1lt,
1.5.2.1. Teorema Do Confronto
Sejam f, g e h funções que satisfazem g(x) s f(x) s h(x) para todo x real numa
vizinhança do número real a. Se lim g(x) = lim g(x) = L então lim f(x) = L.
x ➔a x➔u x➔a
Antes de aplicar o teorema do confronto, pra demonstrar o limite
trigonométrico fundamental, vamos verificar uma outra aplicação do teorema do
confronto. Suponha que se deseja calcular lim cos x. Como - 1 s cos x s 1, segue
X ➔+T.J X
que, para todo x > O (que é o caso de x ➔ + oo): _ _!_ s cosx s _!_.
X X
Desde que lim _ _!_=O e lim _!_=O, então, pelo teorema do confronto, se
x➔+"' X x➔+a:> X
d 1 • 1· cosx O po e cone u1r que 1111 -- = .
x➔+T.J X
Vamos agora voltar ao objetivo desde tópico, que é calcular o valor do limite
. , . ti d
1 1
. senx tngonometnco un amenta : 1111 -- .
x➔O X
e Considere o ângulo x = LCOC' e trace
sobre ele o arco de circunferência C' B, de raio
unitário. B' é a projeção de B sobre OC'. Das
definições das funções trigonométricas no ciclo
trigonométrico sabe-se que BB' = sen x, OB' = cos
senx
x e CC' = tg x = -- .
cosx
TI
Note que, para qualquer valor de x tal que O 0- X ,-,o+ X
Como os dois limites laterais são iguais, segue que lim senx = 1.
x➔O X
Vamos ago ra aplicar esse resultado no cálculo de outros limites que sejam
relacionados com o limite trigonométrico fundam enta l.
) 1
. sen(x
2
) _
1
. en (x
2
_
1
. scn(x
2
1
. _ 1
0
_ 0
a 1m - 1m ., .x - 1m ., . 1m x - . -
, --,o+ x ,-,o+ x · ,--,o+ x- , -,o+
b) 1
. 1-cosx
1
. 1-cosx l +cosx
1
. l-cos2 x
1
. sen2x
1111 , = lm , = 1111 , = 1111
,-,o x · ,-,o x- l + co x ., -,o x- ( l +cos x) ,--,o x 2 (1 + cosx)
= lirn s.en:x 1 = ( 1im senx )'.!. li111 --- = 1.-1- = .!_
x ➔ O X " 1 + COS X .x ➔ U X x➔O] + COS X J + 1 2
) 1
. x .sen 2x
1
. 2.x.sen, .cos x l+ cosx
1
. (2.x.sen ·.cos x )( I + cos x)
c 1m = 1m = un 1 =
X➔Ü 1- COS X X➔Ü [ - COS X ] + COS X X➔Ü J - COS- X
1
. (2.x . .,serfx.cosx)( l +cosx)
1
. 2.cos · (l + cos x = 2. 1.1 + 1) =
4 = 1111 = 1m
,--,o sen / x x➔O senx 1
senSx sen5x
d) 1
. sen5 x _
1
. 5/ S:- _
1
. 5 Sx
1rn--- 1111---- - 1m---
, --,o sen4x , --,o 4/ sen4x , --,o 4 sen4x
4x 4x
X
N 4 O 5 O
.
1
. sen5x
1 1
. sen4x
1 ate que se x ➔ O então x ➔ e x ➔ , ou seJa: 1m --= e 1m -- =
x➔O Sx , --,o 4x
1.6. MUDANÇA DE VARIÁVEL
O , lt· 1 d • • .- • 1 .d d d . sen5x u 11110 exemp o o item anterior 101 resa v1 o a otan o que hm - - = 1.
x ➔O 5 x
Está correto, porém é mais elegante e didático fazer isso por meio de uma troca de
variáveis. Fazendo y = Sx, tem-se que se x ➔ O então y ➔ O. Po1tanto:
1
. sen5x
1
. seny
1 un--= m1--=
x➔O Sx y➔O y
Na prática, a mudança de vaiável transforma o limite original em outro limite,
normalmente mais fácil de ser calculado. Por exemplo, no cálculo do limite
1. s.en (x + 1) . . . . e: d d . ,
1m , e mais pratico 1azer a mu ança e vanavel y = x + 1. Preste a atenção
X ➔-1 1- ;C
que x ➔ - 1 equivale a y ➔ O, transformando o limite original em :
lim sen(x ~ 1) = lim sen(x + 1) = lim seny _ 1 _ = 1. - 1- = 2_
x➔- 1 1-x- x->- 1 (x + 1)(1-x) ,Y'->0 y 2- y 2-0 2
No caso do limite hm x - ~, a determinação do limite fica mais prática se for
,-,lx--..;x
realizada a mudança de variável x = y\ y 2 O Perceba que x ➔ 1 equivale a y ➔ 1.
Substituindo no limite original:
1
. x- 1
1
. /- -1
1
. _y.,L'f 1
1m - -- = 1111-,- - = 1m ------'-- - = lim - = l
x ➔ I X -✓x y➔ I y· - y y➔ I y ~ y➔I y
Há casos em que uma mudança de variãve l tran fo rma o limite em outro cujo
resultado é conhecido, permitindo escrever a resposra sem nenhum desenvolvimento
. x" -a"
algébrico mais extenso. Por exemplo, é até possível calcular o limite lim ---
,_. . X - a
fatorando a expressão do numerador, porém fazendo a troca de variável y = x - a,
( )" 11
onde x➔ a equivale a y ➔ O, obtém-se o limite lim y + ª -a , que foi abordado
y---->0 y
(x+.ót)'' - x"
no item 1.5.2 desse livro, onde foi demonstrado que lim -'-----'- -- = nxn - l
ót---->0 t
Assim, segue diretamente que:
. xn -an ( + 11 n
11111 --- = lim y ª - a = ny" - 1 = n(x-a)"- 1
x ➔a X - a y-,o y
a
1.6. 1. O limite lim ( 1 + !)~
x➔co X
O limite lim ( 1+2-) é mais uma daquelas indeterminações que é necessário
X ➔ >:: X
analisar com mais calma pra determinar o valor. Fazendo x assumir valores cada vez
maiores, tem-se que ( 1 + ~ r também aumenta, porém vai ficando cada vez mais
próximo de um determinado número como oode ser visto na tabela seguinte. ,
X
(1+~J
1 2
10 2.59374 ...
100 2,70481...
1000 2 71692 .. .
10000 2,71814 ...
A tabela sugere que lim ( 1 + _!_ ) ' é um número entre 2,7 e 2,8, porém isso não
X ➔a) X
é uma demonstração, é necessário executar alguém cálculos para demonstrar.
(
1 )' Inicialmente, vamos demonstrar que 1 + ~ é crescente. Suponha que n e m são
dois números inteiros positivos, com n n:
a
que
(m-l)(m-2) ... (m-k + I) = (i -J_)(i-2) ... ( I _ k-1 ) >
mk 1Tl 111 111
(n - l)(n - 2) ... (n - k + l)
Agora é necessário provar que ( 1+ ~ r é crescente para todo x racional. Adote
n
x = - , onde n é inteiro positivo e q é racional positivo. Assim :
q
( 1 +; r = ( 1 +; l. Refazendo os cálculos precedentes nos inteiros, é possível
provar que ( 1 +; r é crescente para todo ~- racional. Usando a densidade dos
racionais nos reais se conclui que ( I + ~ J é crescente nos reais .
Agora vamos demonstrar que ( 1 +~ r é limitado, para todo x real. Para x = n
inteiros positivo :
( 1 +2-J" = 1 +( n(n -1 )) ~ +( 11(11 - I)_(n -2) J J_ + .. . +(~)~ $ l + 1 + ~ + _!_ + ... + ~
n n 2 2 ! n'' 3 ! n 11 n ! 2 ! 3 ! n 1
Por indução finita é possível provar que 2":,:; (n +!)!,implicando que:
(
1 )" l 1 l I l+- $1+1+ -+----:;-+ ... +--::s;l + - - =3
11 2 2- 2n-l i
1--
Dos fatos que (1 + 2- )x é crescente e limitado significa que lim ( 1 + 2-)x existe
X X ➔~ X
e é finito. Ainda não é possível calcular o valor de lim ( 1 + _!_ )x com as ferramentas
X ➔ a:: X j
apresentadas até então nesse li vro. No capitulo de derivadas, mais especificamente
no item sobre a regra de L'Hopi t:n l, será apresentada de demonstração mais si mples,
na opinião do autor desse livro, do valor de lim (1 +2-Jx
X ➔ o:: X
a
(
l )X No momento, vamos admitir que lim l +- = e, onde e é um número
X ➔W X
irracional aproximadamente igual a 2,71828. O número e foi estudado em 1727 por
Euler e é a base do sistema de logaritmos neperianos.
É possível calcular diversos limites a partir do limite }~~-( l+~J =e, a
maioria por meio de mudança de variável. Observe os exemplos abaixo :
a) Para calcular x~n2,,( 1 + ~ r, inicialmente se deve fazer a mudança de variável t =
l )x . ( 1 )-t . ( t )t -x,ondet ➔ +ooimplicay ➔ -ro: lim (1+- = \1m 1-- = \1m --
x ➔-3' X t➔+cx: t l➔ +c,; t -1
Fazendo agora y = t-1 (t ➔ + oo ⇒ y ➔ + oo):
lim (-t-)t = lim (H· J_)y+I = lim (1 + J_)Y (1 + J_) = e. 1 = ~
l➔+>'J t - l y➔+>J y y➔+GO y y
. _I_ 1
b) No caso de lim(l +x)x, basta fazer t =-, onde x ➔ O ⇒ t ➔ oo, obtendo:
x➔ O X
..!. ( 1 ) ' lim (1 + x )X = lim 1 + - = e
x ➔O t➔ ao t
a x -l
c) O limite lim -- pode parecer, em uma primeira impressão, que não tem
X ➔Ü+ X
relação com o limite exponencial fundamental, porém é possível fazer uma
associação usando mudança de variável. Fazendo z = a', tem-se que se x ➔ OT então
. ªX-] . z-] , ) ]
z ➔ l; e ltm --= ltm --= hm - -- = lim ---1-
x->O+ X z➔ I+ loga Z z➔ I+ log.1 Z z➔ I +
z-1 logu zz-t
Fazendo t = z - 1, onde z ➔ 1 + equivale a t ➔ o+, segue que:
. ªX -1 . ]
lun --= lim - ---=--=lna
x--+O+ x t--+O+ ~ Ioga e
Ioga (1 + t)L
t:6/lflulll I. lllll/11
1.7. FUNÇÕES CONTÍNUAS
Continuidade é um dos principais conceitos no estudo das funções. Antes de
definir continuidade, é i111po1iante lançar mão da ide ia intuitiva de fu nção contínua.
A melhor maneira de fazer isso é ape lando para o gráfico da função. Uma função é
dita não continua de seu gráfico dá um sa lto cm determinado numero do dominio.
Por exemplo, a função cujo gráfico está ilustrado abaixo é não contínua, uma vez que
o gráfico de f(x) dá um salto, nesse caso pra cima, em x = O.
f(x)
--- - - t--------t X
Note que o limite de f(x) quando x tende a zero nem existe, pois os limites a
esquerda de zero e a direita de zero nem existem.
Para que uma função seja classificada como contínua não podem ocorrer saltos
como o indicado no gráfico acima. Em outras palavras, numa função contínua uma
pequena variação de x implica numa pequena variação de f(x).
Agora já estamos prontos para a definição formal de função contínua:
Definição: Uma função é classificada como contínua em todo seu domínio D(t) se,
para todo real a E D(t), f(a)= lim f(x).
X➔a
ào exemplos de funções contínuas: todas as funções polinomiais (incluindo
as funções constantes), a função sen x, a função cos x, a função log,1 x (a> O e a* 1 ),
a função a (a > 0).
Observe, por exemplo, o gráfico da função f(x) = sen x.
Não existe nenhum ponto do gráfico que há um salto. Em todos os números a
do domínio de f(x), que é o conjunto dos números reais, ocorre f(a) = lim f(x).
CIJlfltJIS l IIIJJU,
Considere os exemplos abaixo, para entender melhor o conceito de
continuidade das funções;
a) A função f: IR➔IR definida por f(x) = x ' não é contínua, pois os
{
~ se x :te-O
1, se x = O
limites laterais lim f(x) = -1 e lim f(x) = 1 são distintos , fazendo com que não
,---,1 - , -, 11
exista limf(x).
_,-,1
Jx2 -3x+2
b) A função f:lR➔IR definida por f(x) = l x -1 ' se x * 1
é contínua , uma vez
-1, se x = 1
. x1 -3x+1 . ~(x - 2) .
que hm---- = hrn~--~-= hrnx-2=-I =f(I).
, -,1 X - 1 x ---+I 0 ,-,1
1.7.1. Propriedades Das Funções Contínuas
A aplicação de algumas propriedades permite verificar se uma função é ou não
contínua sem a necessidade de aplicar a definição. Entre as pro·priedades de funções
contínuas se destacam:
i) Se fe g são funções contínuas, ambas com domínio no conjunto A e IR, e k é um
número real então as funções k. f(x) , f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x).g(x), lf(x)I e f(g(x))
são funções contínuas em A;
ii) Se f e g são funções contínuas, ambas com domínio no conjunto A e IR e, para
todo x E A, tem-se que g(x) * O, então -
1
- e f(x) são funções contínuas;
g(x) g(x)
iii) Se f:A➔B é uma função bijetora contínua então r- 1 : B➔A também é contínua.
Existe, infe lizmente, um macete muito antigo que afirma qu uma fu nção é
contínua se é pos íve l desenhar seu gráfico num a fo lha de papel sem tirar a caneta
do pap 1. 1 so não f'u nciona se mpre! !! Gráfi cos que possuem ass intotas.
dependendo como a função tem seu domínio de fin ido. podem ser cont ínuas. Por
exemplo, a aplicação da propriedade (ii) permite concluir que a função f:
IR -(~+krr ) ➔IR , dada por f(x) = tg x, k E Zé uma função contínua. Observe o
gráfico da função f(x) = tg x e perceba que não é possível desenhar todo o seu gráfico
numa folha de papel sem tirar a caneta da folha .
a
cal/JMt U/11111 ;
1
J
1
' ) I
/
rr / U ,. ,r Jrr
J
/ /
I i
I
Entretanto, esse fato não interfere na continuidade de f(x) = tg x, pois o domínio
f(x) exclui os arcos onde não é possível calcular a tangente. Assim, para todos os
elementos a do domínio de t(x) ocorre que r(a) = lim !'( x) , caracterizando t( x) como
uma função contínua.
Note que o fato de lim f (x ) não ex isti r (os limi tes latera is são dis ti ntos, pra
x - >rr : 2
x➔~ vale +oo e pra :x➔~ vale -oo) não interfere da continuidade da função, pois
2 2
~ e todos os arcos da forma ~ + krr não pe11encem ao domínio de t(x).
2 2
O mesmo ocorre pra função f: IR - ( ~ + krr ) ➔(- w, - 1 ]u[ 1, + oo) dada por
f(x) = sec :x, cujo gráfico está representado abaixo.
j
b 'f
4
3 l
X
-211 -311 I 2 -Tl -li/ 2 Ü 11 / 2 li 3H ! 2 2H
íl ~: íl _,1
-o
Repare que os pontos que poderiam gerar problema na continuidade da função
estão eliminados do domínio de t{:x). implicando que, para todos os e lementos a do
dom ínio de t(x), ocorre f(a) = lim f(x) e assim t(x) = sec x é contínua.
" >a
el6flll11 l l.lllha
1.7.2. Teorema Do Valor Intermediário
Teorema: Se f:[a, b]➔IR é uma função contínua tal que t~a)
f(b), bastando considerar o intervalo [f(b). f(a)].
Geometricamente falando, o teorema do valor intermediário pode ser
visualizado no gráfico abaixo.
, r(x)
J(a/UJ)
a
Como a função é contínua, fazendo x variar desde a até b, toda reta horizontal
.da forma y = h. com f(a) ~ h ::; f(b). co rta o gráfico de t~x) pelo menos urna vez. A
interseção de uma reta horizontal com o gráfico de f(,) garante que existe c. a:::; c:::;
b, tal que í( ) = h, para todo hE[f(a), f(b)].
O teorema de Bolzano. apresentado nessa coleção no volume 4. capítulo de
Equações A lgébricas, é·unrn c1pl iccom coeficientes
rea is e ]a, h[ um intervalo real aberto.
1) Se P(a) e P h) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou
não existe raiz s da equação em ]a, h[.
2) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais
da equação em ]a, h[."
De fato. todo po linõmio é uma função continua. que faz com que P x assuma
todos os va lores no inter alo ]P a). P(b)í quando x varia no inter alo la. b[. supondo
P(a > P(b . Se P(a) a , .... a (f(x))"
Solução:
Fazendo f(x) = y, se x ➔ a então y ➔ O.
Fazendo a mudança de variável no limite a set calculado:
1. (senf n"-1
. (scny)" I (scny .J" (scny)tt 1m - - --'--- - =lim -'-------=-- -=limy -- =limy.lim -- = 0.1=0
X-HI (Í(X)) 11 y-->0 (y 11 y-->11 . Y y->0 y-->il Y
02) (EFOMM-94) Calculando o limite. lim (tg 2x + x cosscc 2x) encontramos :
(A) _!_
2
(B) 1
.X-)fl
(C) zero (D) +w
Solução: Alternativa A
(E) não existe
]. ( 2 1- . .x 1 . 2x 1
1111 Lg x + x cnsscc2x) = 1111 Lg2x + lim - - - = O+ -1,m --- = -
x - >O , ,o , ,o ~t.:11 2x 2 , ,11 sen 2 x 2
cp~
03) (EFOMM-97) Dada a função f(p) = e v' ' 11 • podemos élfirrnm que lim f(p) é
11- --,0
igual a:
a) ec
Solução: Alternativa C
Como a função exponencial é contínua :
211~ lim
2
~ lim J11,ri'- 1' lo111(l 1 p )
1
I'
limev 1+r=e"-'11 =e"·-•11 =e~ 1''11 =e✓e
p➔O
04) (IME-71) Assinale abaixo o valor da expressão ;~~: ( l + ~ r'
a) e'º b) e: ·; e) e5' : d) 1 e) e" 'º f) nrn
Solução: Alternativa A
X
Fazendo y =-,segue que x ➔ oo se e somente se y ➔ oo
1
Substituindo no limite ori ginal:
lim (1 + ~)s., = lim ( 1 + _l_J
1
ºY = [ lim (1 + _l_)Y ]l u = e10
,_.,, X y-->c,o y y -,,:;,, y
Gllhllll t IIHl/ll
senx . ~x!scn(_x )
05) (EFOMM-98) Sendo lim -- = 1, o valor de l1111 --'----- é igual a:
., >IJ X x->U X
a) ef2 b) e e) ✓3 d) 2)2 e) 3ec
Solução: Alternativa A ----
' ~x J. sen(2x)
1
. . x1 scn(2x l
1
.
3
·cn(2x J
l1m--'----- = 1111 ·' _ = 1m
,--,o X X-->il x ·· x->ll X
Fazendo y = 2x, se x ➔ O então y ➔ O.
.
3
scn(2x)
1
. 12sen y ,t;;? 1. ~scn y _ ~/.)
\1111 - --'---'- = llll , --- = V L 1111 .• -- - IJ .!..
X-->Ü X y-,0 Y y➔U y
06) Calcule , ~:~~-(::: J +I
Solução:
Fazendo y = x - 1 segue que y ➔ + w se x ➔ + oo.
x+I ( )y+l ( ? ) )+2
Logo : lim -- ltm -- = 1m + -(
x+l) . y+2 1. l -
x-->+:r. X -1 y-->+:l"J y y-->+n y
Fazendo z = 'j_ tem-se que z ➔ + cr. desde que y ➔ + oo
2
Logo : lirn ( 1+I ))
2
lirn ( 1+~ l
2
z
7
} _lim [(1+~ )z]~(1+~)! =c
2
.l=e~
y - >+7' , y Z->+X Z ) z->+Z Z Z
. sen x -sen u
07) Calcule l1m ----- .
-' "' X -a
Solução:
x-a x+a x-a
2.sen .cos sen x· + ,1 , sen x - sen a , ? , 2 • 11111 ----- = 11 m ---"'------'-o...- = lirn ---=-- cos --
' x-a , - ,a X - a
2
X · - a
Fazendo y = 2 , tem-se que y ➔ O quando x ➔ a.
x-a
sen -
lim 2 x + a . scn y
cos-- = l1rn --cos(y +a)= l .cos2a = cos 2a
., -,o x-a 2 y-->U )'
a
08)c 1 1 1 d 1
..
1
. x-sen2x
a cu e o va or o 1rn1te 1111---- .
x--,o x + scn 3x
Solução:
sen 2x sen 2x 1 - --- - 1 - 2. lim •
1-2
1
. x - scn2 x
1
. x ,_,o 2x
Im ----= 1111 ' ,, = --'----~'-- = -- = - -
x-->O x + scn 3x , ..... o
1
+sen .JX
1
,
1
. sen3x 1+3 4 +.J. llll -----
X x-->íl 3x
09) e 1 1 1 d 1
. 1 -~
a cu e o va or e 1m , .
X·->ll X -
Solução:
1
. 1-~
1
. 1- ~ I+~
1
. 1- cosx
1111 , = llll , r--- = 1171 ,
, ..... o x- ,_,o x- l+-.,cos, ,__,nx-(l+.Jcosx)
__
11
.,n 1- cosx l +c..:usx
1
. 1-cos" x
- - - --~---- = 1111 - --==- - - -=
X -► 0 X l ( 1 + .J COS X) 1 + GOS X X - >O X
2
( 1 + J COS X )(1 + COS X)
,
I" ( ~en x 1~ 1 1 1 1
=,~~---;- (l+ ,fcosx)(l+ cosx) = · (1+1) .(1+1) =4
c,1, - eh:-:
10) Calcule o valor li111 - ---
' >li X
Solução:
e·" - i-,, . ( C"' - 1 c1'' - 1 j
lim - --= l1m - -----
' - >O X x >0 , X
No tópico. desse capítul o, do limite exponencial fundamentnl foi demonstrado que
1. a'-I I A . , , 1 fi 1171 -- = 11 a . ss1m , e poss1ve a mnar que :
x➔0' X
lim .e.: '" - 1:? ~ = lil71 ( e"' - I - e h~ - I ) = ln e" - ln eh = ln e;' = ln c"-h = a - b
x-->0 X x ->0 X X c '
11) (EN-98) O valor de ''a'' {
✓x-✓3 .,
. _ --- se xc1;.,
para que a tunçao f(x)= x-3 .,
a se x =.,
seja
contínua em x = 3 é:
a)✓3 b)✓3 / 3 c)l /3 d)J°3 16 e)l/6
Solução: Alternativa D
Pata qu, f seja comi""" o limito d, f qui , ""'" 3 deve se,- igeal , ~3 ),
t:aflllm 1. lll11/lo
1
. xlx-✓3 ,. ✓x-✓3 j'; + ✓3 1· 0
a= 1m = llll = 1111 1 r;:; =
x -->3 x-3 ,-,:i x-3 x/x+ ✓3 .H'.1 (0)tvx + v3)
\
. 1 1
= llll =
x-.3 ✓x+✓3 2✓3
✓3
6
12) (EN-17) Considere a o menor arco no sentido trigonométrico positivo, para o
1
tgx J I + cosx
se x * O • ,
qual a função real f, definida por f(x) = scn 2x ' seJa contmua em
cosa, se x = O
x = O. Sendo assim, pode-se di zer que a vale:
a) 3n/4 b) n/12 e) Sn/4 d) n/8 e) n/4
Solução: Alternativa E
Para que fseja contínua:
. tg X .. / l + CllS X
f(O)= li111 -=--- - -
.,-,o sen 2x
,S21ÍX J I+cosx
lim cusx
x-, 11 2._$21ÍX. CUS X
/i +cosx
=lil71---
_,-,11 2 COS X
⇒
✓2
cosa=-
2
TI
⇒ ª 111i11 =4
. 2,f-:.-...scn 6x
13) (EFOMM-99) Sendo A= 11111 ,
X->11 CllSSCC 6x.( 1 - cos~ 6x)
vale :
é!) 2✓3 b) 6 c) 12 d) 6✓3 e) 18
Solução: Não há altcrnativ:1 correta
. 2J.,.si:11 ()x
1
. 2sen 6x J x.sen 6x
A = 11111 , = 1117 1
, ºl'O'sec6x.(1-cus-6 x) ,-,11 sen-Gx
B= lim 22.x+1= 221.,g2J+l='J.'ºg2 CJ+lllg2 2= 2i.,g 2 1s=lS
:i.: ➔ log1 3
A 2B 22.18 .
Portanto: -- = -- = 36
2 2
I 4) (IME-70) C = lim (secx - tg x). Calcule C.
;r
X >,
a)O b)l c)oo
Solução: Alternativa A
d) TI e) e
1
, r-;:- ~
_1111 2 1~-.--. =.:.
, -,11 \ ~en x
t) nda
... ,. f l .,
. . 1 - SCll X . 1 - scn X 1 - en X . 1 - :c11 ~ X
C= l1m(secx-tgx)= lim---= l1m - --- - - = lim - -----
,_,~ ,-," cosx ,-,: cosx l+scnx ,_,:cosx(l+scnx)
)
1
. COS- X COSX
= 1111 ------ = lim --- = O
,_, .'.1: cos x(l + scn x) •-►" 1 + scn x
' l
15) (EFOMM-96) O valor do lim [ 3(cos
2
t - I) • F-tit] é:
X-->O St , Jt 2 -t 2 -cost
(A)-3✓2 (8) 3✓2 (C)3✓2 (D)- 3✓2 (E) ✓2
5 5 5
Solução: Alternativa D
IITI -'-- -==d =~ = 1 llll --::-.===== = = 1• [3(cos
2
t-l) • jNgt] . r -."'scn
2
l ·~]
x-,o 5t-Jt 2 -t 2 -cost , - ,o 51 2 JcosL(l - cns t)
1m ----.===== ==--- - - - - l1m -- - -;======- = -- - ~ I. [(sent)" ~ ~1- 3. [( sent )
2
Jt-sent(l+cost)j
5, -,o t Jct)St(l-cost) J1+cost 5,-,n t Jcost(l-cos 2 t)
= -~ lim [(sc:n l )~ J1 · se11 t(l + cost) l =-~ lim [( sen l J'
2 J t ~ 1 ==
5, .... 0 t Jcost.sen2t j 5 ,.....,n t sentJcost
=-~ 12 r;l ..J1+1 =-3✓2
s· .vi. ✓I 5
16) Calcule lim n(½ -1)
Solução:
1
Fazendo - = x segue que x ➔ O quando 11 ➔ ,:,_
11
. "' . a' -1 l1m n(va -1) = 11111 -- = lna
11-►~ X-)íl X
17) Prove que existe x tal que x = cos' x + sen' x.
Solução:
Considere a função f(x) = x - cos' x - sen' x.
i) f(0) = O - cos' O - sen' O = - 1 O
Como fé contínua, pelo teorema do valor intermediário existe um número real a E (O,
rc/2) tal que f(a) = O ⇒ existe a tal que a= cos' a+ sen' a.
fl
t:a1/IJJ/iJ Z l/JIJ/ltJ
18) (1 ME/CG-12) Determine os valores de a e b, constantes reais, para os quais a
função f, definida a seguir, seja contínua em x = O.
(1+1senxll""'1, -2:ll
Da forma como a função foi definida, devem ser calculados os limites laterais quando
x tende a zero e estes devem ser iguais a f(O) = b.
Assim: b = lim (I+ 1 sen x 1)1'rn, ,
_x--;(J
D 1• • t' 4 1 • • • 1 • Sen x 1 1 • o 11111te unc1amenta trigonometrico : 1111-- = , cone u1-se que sen x ➔ x
X-·>0 .X
quando x ➔ O, que é o caso analisado.
Logo: b= lim (l+lsenxl)'"11
' '
,-,o
~~ :!.\
Analisando agora x ➔ o·, deve-se ter b = lirn c 1
g3x
\:-► 0+
Devido à continuidade da função e.\poncncial:
Deste modo: b = e 3 = e"
2
⇒ a=-
3
~xerc-ídos :". 1 propostos \ .,.,..
e) - -ZJ
02)Ovalorde lim J2+2✓x-✓x é
a) -oo b)-l e) O d) l e) +oo
03) (UESPl-12) Qual o valor do limite li111 ~-S?
X ➔Ü x f-ló -4
a) O b) l/5 e) 2/5 d) 3/5 e) 4/5
04) O I d 1
. J X ~ + 71 - 9 ,
va or e 1m ---- e
,__,_, X -3
a)3 b) l c)2/3 d) 1/3 e) O
7
O 5) 1 i m ~
x➔l 1 - x·
a)vale0 b) vale 2 e) tende pra + x
d) tende pra - x; e) não existe
06) (UESPl-04) Qual o valor do limite lim ,;,._- l '.J
' >I VX - J
a)-1 b)0 e) 1 d)2 e)J
07) (EN-86) lim
a) O b) 1
~ é iguala:
x--1
c)-1 d)z c)- cr:
x3 -8
08) (UESPl-09) Qw1I o valor do limite li111 , '>
,-,1 x- + X - (i
a)0 b)I c)2 d)l2/5 e)J
• • eabJ# t u.n, CU/ll//l l 0111/M
09) (EFOMM-96) Sendo y = f(x) uma função representada pelo gráfico abaixo,
assinale a alternativa falsa
- z
(A) lim- r(x) = O (B)liml'(x)=U (C) lim r(x) = -x
' >li ' >0
(D) lirn f(x) = +.:o (E) lim - t'( x) = +:o
.\'.-) - :t. .\·->U
10) (EFOMM-00) Das afirmativas abaixo:
I.Se li111 f(x)=+x,e lirng(r)=+,:,então lim (f•g)(x)=+:x:
li.Selim f(x)-=1-'.ne lim g(x)= - a.,,enlào lim(f·g)(x)=+oo
'.'\ -► t·:t • \-► +:.r X -► +-1
Ili. Se lim f(x)=-ctJ e lim g(x)=-uJ,entào lim (f·g)(x)=+:c
:,;-)-:,, '\; - )+:, \; -► +:.r
IV.Se limf(x) =+w,então lim-
1
-=+aJ
X-->+,J X-)+Clc f(X)
Estão incorretas:
(A)llelV (B)le!V
(E) li e 111
(C) Ili e IV
(D) apenas a 11
1 1 d . 1· . 1· J f + X - 1 ? ll)(UESPI-I0)Qua ovaor osegu111te 1m1te 1111 - - -- .
,--,u X
a) 1 b) 2 e) 3 d) 4 e) 6
12)(EN-88) lim 1Jx 2 +4x-Jx 2 +11=
X ➔ tr.:
a)0 b)2 c)3 d)4 e)oo
13) (EN-90) J~~ [ Jx
3
+ x
2 -R] é igual a:
a) O b) l /3 e) 1/2 d) 2/3 e) r:r.
. sen x - stn n
14) (IME-69) Calcular hm ----.
,-,.r X - TT
a
~1.1111111,
1 i lll "( ,I + X ~ - 2 .
15) (EN-92) O valor de - - -- e:
X ➔ 1 X~ + 2x ~ - .l
a) 2/3 b) 4/5 c) 1 d) 3/2 e) 2
16) (EN-94) Os números de assíntotas horizontais distintas e verticais distintas da
3x . . .
curva y = -, - são, respect1va111ente, 1gua1s a:
x- -2
(A) O e 2 (B) 1 e 1 (C) 1 e 2 (D) 2 e 1 (E) 2 e 2
17) (EFOMM-00) O valor de lim -~ e:
, --, 2 v3x - 5 - I
(A)I (8)2 (C)3 (0)4 (E)2'
. )
. 3x.'-4:c-x+2
18) (EFOMM-00) O valor de 11111 . ,
.\-->I 2x ' - 3x-+l
(A)-3:
3
(B)~
3
cqi
5
(E) 2
. J1 + '2x -.Jt-2x
19) (EFOMM-02) Calcule l1m ------
' >li X
a)-oo b)O e) 1 d)2 e)+ ,::o
20)(EFOMM-03)Calcule lim [log(x+l)-logx]
X~ +.-,:,
a)+oo b)0 c)I d)-1 e)-oo
. ( 1
3
+2
3
+3
3
+ ... +n
3 J,
21)Ovalorde }~.:
11 4
e
a) 1/8 b) 1/6 e) 1/4 d) 1/3 e) 1/2
. . ;,/2x + ú-2
22) (EFOMM-04) Deter1111ne '1111--- -
.\ - , 1 X - J
a) 1/6 b) 1/3 e) 1/2 d) 1 e) e
d 1
.. ,. -h -1 .
23) (EFOMM-05) O valor o 1m1tc 1m -- e
, - >I X - J
a) - 114 b) - l /2 e) O d) 1/ 4 e) 1/2
2:/'-J
24) (EFOMM-04) Calcule lim ( ~ )~
3
i:i~
x ➔+11_ -y3
a) - oo b)+(fJ e) ✓3 d) O
./3
e)-
J
25) (EFOMM-05) O valor do limite lim ---¾-~ é
\ - )2 ... - -1
a) - 1/8 b)- 1/ 16 e) O d) 1/ 16
26) (EFOMM-10) Analise as afirmativas abaixo.
e) 1/8
1
X! - 3x + 2 . , . I
1-Seja f(x)= x - 1 'se x;t: , logo ~i~;~flx)=0
3, se x = 1 •
lx
2 -4, scx 1
C6/IIIBII l. IJirlHI
III - Sejam ft: g funções quaisquer, pode-se afirmar que lim(f.g) 11 (x)=(LM) 11
,
nElN,se limf(x)=L e limg(x)=M .
. "í - >i.l
Assinale a opção correta:
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira
(B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras
(C) Apenas as afirmativas I e 11 são verdadeiras
(D) Apenas a afirmativa 111 é verdadeira
(E) As afirmativas 1, 11 e Ili são verdadeiras
( J;+; J:i J e· 27) (EFOMM-12) O valor de ~~~Jt , x
1 , 1 ,
a) , b) "ª e) ., , d) 2.va e) O
va -'-'ª
• ( 1 1 ) • 28)(EFOMM-13)Ovalorde l1m -- - , - e
.,-,o' x x-+x
a)-2 b)- 1 e) O d) 1 e)2
X ➔a
rfttlfl t llmíll
2x-n
29) (EN-15) A função real de variável real f(x) = , . onde a. b e c são
constantes reais, possui as seguintes propriedades:
1) o gráfico de f passa pelo ponto ( 1. O) e
II) a reta y = 1 é um assintota para o gráfico de f.
O valor de a+ b + c é
(A)-2 (B)-1 (C)4 (D)3 (E)2
b - +ex -:!
30) (EFOM M-13) O gráfico de f(x) = ( x - 3 f .e'. x E IR . tem uma assintota horizonta 1
r. Se o gráfico de f intercepta r no ponto P = (.:i. b ). então a~+ b.c"·,,2" - 4a é igual a:
a)-3 b)-2 c)3 d)3 e) 1/2
.... , 1 ...
. 1- + 2-+J-+ ... + 11 -
31) (IME-70) G = hm , . Calcule G.
11-)'Y.l 11 -'
a) O b) 1 c) rr. d) 1/3 e) 1/2 f) nda
V::..+1 - iK
32)(EFOMM-14)Ovalorde lim - ,_ é
1-->0 t
a)0 b)l / 10 c)t ! W d) 1 l 3ifis e) oo
33) (EN-17) Se
. ~(x + 3 1
-~ A=l1111....:...,_ ___ _ e e ,__,o x ,--,n x
e= lim(x -1)9 .sen - -
1
- ,. então o valor de A' 6 - e é
x - ,1 (x - li-'
a)~ b)-2-- _!_ c)
64
d) 6J -I e)~-_!_
3
4 if1 3 i l 34 3
34) (EN-18) Sejam g e f funções reais, determine a área da região I imitada pelo eixo
y, por g(x) = - lx - 31 + 4 e pela assintota de f(x) = ~x ~ -x 1 e assinale a opção
correta
a) 13/4 b) 40/9 c) 7 d)81 / 16 e)9
]
. (x+~t-x·;)
35) (EN-19) Determine o valor do limite 1m - - - - e assinale a opção ,
correta.
a)-w e) 1 d) 0.5 e) zero
"
CJl#ílDIII l I/J/J/14
O) S • f ti I S d 11·m r x)-f(b --M. calcule 36) (EN-2 e.1a uma unção rea . upon o que
X-)b X - b
f b + pJ-f(b - p) lim ___:__.:....;__,:______:__:_ e assinale a opção correta
p->0 p
a) M b)- M e) 2M d)- 2M e) O
. X
2 + 6X + 9 + COS X ,
37) (EN-21) O valor de 11111 ~ e
X-->+·n X-+x+9
a) O b) 5/9 c) 1 d) 3 e)-oo
38) (EFOMM-19) Determine o valor do seguinte limite lim x,- I .
x-,Jx--1
a)I b)+XJ c)-oo d)0,5 e)zero
. • . . Va + b - 2 7
39) (EFOMM-20) Sejam os números reais a e b tais que hm ----= - . O
• X-->Ü X ]2
valor do produto a.b é
a)52 b)56 c)63 d)70 e) 84
.Ji+;.-~
40) (!ME-71) Indique abaixo o valor da expressão lim ~ ~ .
x-,o -vl+x --vl-x
1
a)l / ✓2 b) ✓2 c)2 d)l/2 e) ✓2+ ✓2 f)nra
41) (EFOMM-21) O valor do limite lim ( e-" + 2 cos(3x )) é dado por
X ➔T.l
a)-2 b) O e) 2 d) oo e) .J
42) (EFOMM-23) Assinale a alternativa que contém o valor do limite abaixo
1
. 1 2x - 1 1-1 2x + 1 1
\ln
x-->0 X
a)-4 b)-2 e) O d) 2 e) 4
43) (IME-65) Calcule lim JxJx✓xf.. .
X-42
a
44) (IME-91) Dada a função racional :
x .1 +ax 2 + bx + c
f(x) = . 2 e sabendo que a, b, c, m, n, p E Z e que;
mx + nx + p
!º) f(2) = O
2°) Para x = -1 tem-se uma indeterminação do tipo 0/0.
30) lim f(x) = -6
X ➔ -1
4º) x = 1 é raiz do polinômio mx2 + nx + p.
5º) t{J) = -
1
-
1( 4)
Determine os coeficientes a, b, c, m, n, p.
45) 1
. tg(3x)1 1m-- vae
X ➔ IJ 2X
a) O b) 2/3 c) 1
46) 0 I d 1
. en(x- 1) ,
va or e 1m , e
X➔ l X- -4X + 3
d) 3/2
a)-1/2 b)-1/4 c) O d) 1/4
7
47) O valor de lim sei: - é
x➔ O sen- 2x
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 1
e) /12
e) 4
e111nu1o l 1/mlll
48) Sabendo-se que f:IR➔IR é uma função tal que lim :·lx) = 5, pode-se afirmar
x➔0 x - + 2x
que lim f(x) vale
X->0 X
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8
49) O valor de lim ( -
1
- - -
1
-) é
,-,1" lnx x-1
a) O b) 1 /2 e) 1 /3 d) - oo
50) O valor de lirn ( e2' - 3x )11
' é
X ➔Ü
a) e2 b) e e) I d) 1/e
a
e) 10
e)+ oo
e) l/e2
(
1 1 J, · I 51) (EN-O4) O lim ✓x - 1 r e 1gua a
x-->I 2(] - X 3( 1 -VX)
a) O b) 1/16 c) 1/12 d) 1/2 e) 1
52) (EFOMM-97) Dadas as afirmações:
(
a. ln x j 1- lim -- =a
X-► I 1- X
II - Se f(x) = 3x -4 e f(g(x)) = 7x - 1, logo li111 g(x) = 1
x->0
7 1
Ili - li111 (cus x.cosscc x. tgx.scn~ x) = -
x➔rr/4 • 2
Podemos afirmar que:
a) todas as verdadeiras; b) todas são falsas;
IJ11#//UII t lbllfll
c) somente I e II são falsas; d) somente II e III são verdadeiras;
e) somente I e III são verdadeiras.
53) (EFOMM-97) Dada a função f(x) = ' , entao, o valor de
{
10' +5 se x =t-1og2 _
2, se x = 1og2
lim f(x) é igual a:
x ➔ log2
a) 7 b) 2 c) 5.log 2 d) log 2
tgx -sen x
54) Qual o valor de lim
3
•
X-►0 X
a) 1 b)- 1/2 c) indeterminado d) 1/2
55) (EFOMM-OO) O valor de ;~;!, ( 1 + ~ J é:
(A)e-3 (B)e- 1 (C)e (D)e2 (E)e3
e ) X - ]
56) (EFOMM-O1) Calcule lim --
x ➔ o X
a) e5 b) O e) e d) 1 e) 5
. . . sen 5 2x .
57) (EFOMM-O6) O valor do l1m1te l1m ; e:
X-► Ü 4x·
a)l b)3 c)4 d)6 e)8
e) 8
e)- 1
fllp/lJJ/8 t Jlmlll
58) (EFOMM-07) Analise as afirmativas abaixo:
. (✓a-1) 1 1. lun -- = -
a--+! a-1 2
11. lirn ( x{k+;J =e;
, -,o v~
IIL :~{g~J I
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a afirmativa III é falsa.
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
c) As afirmativas I e III são verdadeiras.
d) As afirmativas II e III são falsas.
e) As afirmativas I e III são verdadeiras.
59) (EFOMM-11) Analise a função a seguir: f(x)= x-l' X*
2 .
1
x1 -4
Para que a
3p-5, X= 2
função seja contínua no ponto x = 2, qual deverá ser o valor de p?
a)l/2 b)I c)3 d)-1 e)-3
• (X+] J~ 60) (EFOMM-15) Sabendo-se que a="~~"' x _ 1 , pode-se afirmar que o ângulo
0, em radianos, tal que tg 0 = ln a - 1, pode ser
a)- rr/4 b)- rr/2 é) 3rr/4 d) rr/4 e) rr/2
61) s b d • b • d fi ·d 1• • • ( sen4a+sen2a -sena J a en o que e e m1 o como o 1m1te !Jm .... ~ , o valor
a--+O sen J..1 + sen 2a +)sena
1
d fi(b) fi _ f( ) l Ox +(✓2 ); e na unçao x =-- --'
1
- -'--
x
a) 7/2 b) 41 c)l0+ ✓2 d) 10✓2- 1
✓2
en1t111, 1. 1/mb
62) (EFOMM-17) Sobre a função f(x) =
1
+,x , analise as afirmativas:
x-
1- f(x) é contínua em todo xEIR
li - lim f(x) = lim f(x)
Ili - lim f(x) = +oo
X->ll
Então, pode-se dizer que
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
63) (EFOMM-17) Para que a função f(x) = x -2 ' x.,.. - seja contínua, para
{
s ·1 - 1ox 2
...,.,.,
k. x =2
todo valor de x, qual será o valor de k?
a)2 b) 10 c)20 d)40 e)50
64) (EFOMM-18) Os valores de A, sabendo-se que a função abaixo é contínua para
· {A2
x -A x > 3 todos os valores de x, são f(x) = ' - .
4, X OJ X - 2~
5 5 5
b)ln--ln2 c log . - d)-
1 ~ 4 3
- 1
5 3
a) ln-- ln-
4 2
e) 1
4
67) (EFOMM-22) O valor do limite lim(l- 2x)x é
X---->Ü
a) e- 8 b) e- 4 c) e2 d) e4 e) e8
68) (EFOMM-24) Calcule o limite a seguir limeº - l
n---->O n3
a) 1 b)-oo c)+oo d)0 e)e2
69) (EN-87) lim l -c~s ::!x vale:
x---->0 x-
a) 4 b) 2 e) 1 d) 1/2 e) 1/4
,
70) (EN-98) O valor de lim cn - ~ é:
x->ll scn x-
a) -1 b)0 c) 1 d)2 e)+oo
ca1ítJ1to l lltnlt6
71) (EFOMM-99) Sabendo que y = lim e~1
+
2
x, o logaritmo de y vale:
,--,o
a)e2 b) ✓e c)eº d)2e e)-3e
72) (EN-06) Sejam f e g funções reais de variável real. Se
j
-F.-✓7
se
f(x)= Jx2+\5-8 X'#7 ( 6) é contínua em x = 7 e g(x) = ln 2 2x + 7 , pode-
x = 7 a se
se afirmar que g' ( ✓7a) vale:
a)0 b)ln2 c)I d)ln4 e)2
73) (EN-07) O valor de lim [(lnx).ln (x - 1 )] é:
,----,1 +
a)+oo b)e c)l d)0 e)-1
74) (EN-12).Calculando-se lim (cotx)senx, obtém-se
,--,o+
a) oo b) O c) e d)- 1 e) 1
75) (EN-22) Assinale a opção que apresenta o valor de lim ( x +
1
)'
X---->0 X
a) O b) 1 c) e d) + oo e)- oo
{
1 +e~ se x O se x _
x+2
é contínua em x
, a f 2 (0)
= O xEIR, qual e o valor de-, onde b =--?
' b 4
a) 8 6)2 c) 1 d)-1/4 e)-8
{
co x-x x -sen x}
78) (EN-16) Calculando lim º + . encontra-se
• x---->O x-senx tg~x
a)7/3 6)13/6 c)S/2 d)\3/3 e)7/6
.. Ji + x-(1-2ax) d • d
79)(EN-16)Nolim1te l1111 , ovalordeapodeser etermma opara
X-->Ü X-
que tal limite exista. Nesse caso, o valor do limite é
a)- 1/4 b) 1/4 c) 1/8 d) - 1/8 e) O
80) (EN-17) Sendo k = lim (x: :x +
4 r, então ln (2k) + log 5 é igual a:
., - ,+·o X - _)X + 7 j
a) ( 1--
1
- ) 1112+9
ln l O
d) ( 1+-
1
- ) 1112+9
ln 1 O
b) ( 1+-
1
-)1112+7
ln 10
e) ( 1+-
1
-lii,2-7
ln I O)
c) ( 1--
1
- ) 1112-9
ln 10
81) (EN-23) Seja fuma função definida no conjunto dos números reais. Supondo que
f(x) • . fx 1 - I) , .
1 lim --= L, é correto afirmar que o valor do lim _ e 1gua a
x-->0 X x-->I X - 1
a)-2L b)-L c)0 d)L e)2L
a
ea;/IJJ111 1. lhttltl
82) (EN-24) Assinale a opção que apresenta o resultado de Jim x + 9
(
3 )
4
x+4
a)+ IXl b)- IXl c) e- 1 d) e- 314 e) O
1
83) Seja L = fim (x 2 + l)lnx, então
x->a::
a) L = O b) L = I c) L= e d) L = e1 e) L = IXl
84) (IME-54) Determinar lim (1 +i )x
!C➔ +e.o.
u2 -a+4
f(x) = x-3-[(x2 + 1t3 - x213]
88) (!ME-70) D = lim ( x +
2
Jx+
2
. Calcule D.
X ➔co X-1
a)e
2
b)l c)e3 d)O e)e(e-1)
X-►+O'.J 4X +]
d) nda
89) (!ME-71) Assinale abaixo o valor que deve ser atribuído à função y = 2-sen rcx
no ponto de abscissa x = O para tornar a mesma contínua no intervalo (-ro :IXl)
(A) 1 (B) 1/n (C) n (D) n/2 {E) O (F) NRA ' •
90) (IME-77) Sendo x E IR, calcule: fim x';Jcos x.
• X-40
a
ea,1m1, t 11111n,
91) (1 ME-78) Para t > O e x ~ 1, defino a função t;, real de variável real, como:
ft{x)=x [ xt-;t+l)l
Supondo-se que o limite indicado exista, define-se
f(x)=limft(x),x~ 1.
t➔O
Determine f(e2
), onde e é a base dos logaritimos neperianos.
(
X-} ) X
92) {IME-79) Calcule lim --
x ➔ro x+l
. n
93) (IME-85) Determine o valor de b tal que lim I logP 5t+I = 4, onde p = b(t+ll
21
X-)a'J t=O
94) Considere a função f: IR➔IR dada por f(x) =-/-.Usando o teorema do valor
X +l
intermediário, prove que existe CE(O, + oo) tal que f(c) = .!. .
TC
95) Demonstre, usando o teorema do valor intermediário, que a função f: IR➔IR
dada por f(x) = ✓x' + 1 -2x admite uma raiz no intervalo (O, 1 ).
179 1 )3 .
96) Demonstre que a equação x • + , = 119 possui pelo menos uma
1 + x - +sen- x
solução.
97) Mostre que os gráficos de f(x) = 1 e g(x) = x1·tg(x) têm pelo menos um ponto de
interseção com abscissa nointervalo (- n/2, + n/2) .
98) Demonstrar que a equação tg x = x tem uma infinidade de raízes reais.
99) Demonstre que a equação x2 = cos x possui raízes.
100) Mostre que a equação sen x = e -x possui uma solução no intervalo ( 1, 2).
CiJI/ID/12. Dlllfuda
DERIVADA
2.1. INTRODUÇÃO
No século XVII, Fennat estudou o que costumamos chamar de "o problema da
tangente". Até então, o conceito de reta tangente à uma cLu-va era a reta que cortava
a curva em apenas um ponto . Fermat não estava satisfeito com esse conceito. que
falha em diversas situações, e passou a estudar o problema da reta tangente . Para
determinar a reta rangente a um gráfico num ponto fixo P, Fermat tomou um outro
ponto Q sobre a curva e traçou a reta PQ. Fazendo o ponto Q se aproximar de P, a
rela PQ vai se aproximando da reta tangente ao gráfico no ponto P, como indicado
na figura abaixo.
Fermat também percebeu que as retas tangentes em pontos de rnax1mo ou
mínimo de funções eram horizontais e por isso acreditou que a det rminação da ,·era
tangente a um gráfico estava intimamente ligada ao estudo dos máximos e mínimo
de uma função.
ermat não tinha. à época. recursos matemáticos pra determinar a equação chi
reta tangente mas. intuitivamenre foi o primeiro matemático a perceber a ligação
entre máximosiminimos e reta tangente. Por isso, Fermat é considerado o inventor
do cálcu lo diferencial. Posteriormente Leibniz algebriza o cúlcu lo infiniresimal
introduzindo a notação dy/dx, como endo a razão e~1tre diferença infi ni tesima l d~
suas va riáveis e criando nomenclaturas que são usadas ate hoje .
lsaat.: Newton também desenvo lveu, de forma independenk. os conceitos
fundamentais do càlculo. inclusive antes de Leibniz.. porém at.:abou publicando suas
descobertas depois das publicações de Leibniz. Alguns resultados dos doi s são
conceitualmente diferentes, sendo os estudos de Leibniz mais aceitas e adotados em
praticamente toda a Europa, com exceção do reino Unido.
a
e,pflllfl 2. 011rlvaú
2.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
Suponha que f(x) é uma função contínua e P(xo, f(xo)) é um ponto sobre seu
gráfico. Adote que Q(x1, f(x1)) é outro ponto do gráfico de f(x) e que s é a reta
passando pelos pontos P e Q. Da geometria analítica sabe-se que a inclinação da reta
sé igual a
Fazendo o ponto Q se aproximar, cada vez mais, do ponto P, a reta s se
aproxima da reta tangente ao gráfico de f(x) em P. Em outras palavras. fazendo
X1➔Xo tem-se que Q➔P estende à reta tangente ao gráfico de fem P. Utilizando a
notação de I irn ite:
m = lirn f( , 1 - f( xu
, 1 ..... , 0 x
1
-x 0
Caso esse limite exista, existe a reta tangente ao gráfico de f em P e sua equação
vale y -yo = m(x - xo). Entretanto, como estudado no capítulo anterior, esse limite
pode não existir, onde há duas possibilidades:
i) os limites laterais para X1➔Xo- e X1➔Xo+ são distintos e ai não existe a reta
tangente;
ii) a reta tangente é vertical, não possuindo coeficiente angular.
Por exemplo, considere que se deseja calcula a reta tangente à função f(x) = x~
por ponto ( 1, 1 ). A reta tangente à função nesse ponto tem coeficiente angular:
f(x) f (I x2 -l ("4(x + L)
m=Jim - =lim--=lim=-~- - •
1
--=limx+l=2
X->I x -1 x➔I x-1 X->I 0 x- >I
Portanto, a reta tangente tem equação:
y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x - 1
a
CU/rm. 2. llllfWlla
Há funções que, apesar de serem contínuas, não apresentam reta tangente em
determinado ponto de seu gráfico. Um exemplo clássico é a função f: IR➔IR dada
por nx) = !xJ. Perceba que:
1
. f (x)- f(O)
1
. lxl-0
1
. -x
1 1m - - - - = 1m - - = 1m - = -
X ➔Ü- X - () X ➔Ü- X - Ü x ➔Ü- X
1
. f(x)-f(O)
1
. Jxl-0
1
. x
1 un - - - - = 1111 - - - = 1111 - =
,-.o+ x - O ,-.O"' x - O x--.o+ x
C l. . 1 . - dº . - . 1· f(x)-ftO) . 1· d orno os 1m 1tes atera1s sao 1stmtos, nao existe 1m ~---, 1111p 1can o
x ➔O X-0
que não existe reta tangente ao gráfico de f(x) = lxl em x = O. De fato, observando o
gráfico da função, se verifica que a reta tangente ao gráfico em x = O não está bem
definida.
2.3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Definição: Uma função f: A➔B é chamada de derivável ou diferenciável num ponto
xo E A se existe e é finito o limite
f
'()
1
. f(x 1)-f(x 0 )
Xo = 1111 .
X1->Xo X1-Xo
Nesse caso, f'(xo) é denominada de derivada da função f(x) no ponto xo . Caso o limite
acima não exista, se afirma que a função t~x) não é derivável (ou diferenciável) em
xo. Como visto no tópico anterior, f'(xo) é o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função f(x) no ponto xu.
A importância da derivada vai muito além de calcular o coeficiente angular dt:
uma reta tangente a um gráfico. A descoberta da derivada permitiu, no passado, a
solução de problemas que eram considerados insolúveis por vários matemáticos
renomados.
Repare que o limite que define uma derivada leva a uma indeterminação do
tipo Q. Desta forma, pra calcular a derivada de uma função num ponto é necessário
o
aplicar todo o conhecimento absorvido do capítulo de limites.
ti
\
Ca/lÍillÍ02. 01rtm11
Por exemplo, suponha que se deseja calcular a derivada de f(x) = X
3 no ponto
x = 2. Calculando pelo limite:
f(x)-t"(2) . x"-8 . p.,/4(x
2
+2x+4) . 2
f'(2)= lim----= llm-- = lim .:,.,4 = !Jmx +2x+4=
x➔ 2 , _ x ➔2 x -2 , ..... 2 • - x ➔2
=4+4+4=12
No item anterior foi apresentado um exemplo em que não existe o limite em
determinado ponto da função: f(x) = lxl em x =O.Nesse caso, se afirmar que a função
f não é derivável em x = O.
No caso de o limite tender pra infinito, afirma-se que a reta tangente é vertical.
Isso ocorre, por exemplo, na função f: IR➔IR dada por f(x) = v;. em x = O:
. f(x)-l'(OJ . v;._o
1
. 1
!Jrn----= lim---= 1m--=oo
,-,n x - () x-► íl X ,-,o~
A imagem abaixo representa a reta tangente, que é vertical, ao gráfico de
f(x)=½ emx=O.
Esse procedimento de calcular o limite, quando existe, pra determinar o
coeficiente angular da reta tangente pode ser feito pra qualquer função, porém é
muito trabalhoso em determinados casos. Assim, é interessante sistematizar esse
f(x )-ftx ) , .
cálculo, estudando as propriedades do limite lim
I
u , que sera feito no
X1-->Xo X1-Xo
próximo item desse capítulo.
2.4. A FUNÇÃO DERIVADA
No tópico anterior já aprendemos como calcular a derivada de urnn funçã > r
num ponro do seu domínio. Entretanto, m d terrninadas situações. é necessário
calcular o valo r das deri adas de uma mesma função em Vt~rios pontos e.lo !')CU
domínio e não é nada prático c.i lcular diversos limites semelhames alterando apenas
a tendênch de x. Por exemplo, suponha que de ejamos ca lcular as derivadas de l{x)
= x1 nos pontos x = 1 . . = 2 e , = 3. Utilizando o metodo ensinado por item an terior.
seria necessário calcu lar os tr · s limites :
5
1
. X -1
1m-
x-->I x -1 '
1
. x5 -32
im--
x--> 2 X - 2
5
l
. X -243
e 1m--
,__.3 x-3
011 enhamos que esse procedimento não é nada prático! Nesse tipo de
si tuação, é útil determinar a expressão gera l dct derivada da função e substituir nesta
os elementos adequados do dom ínio. Ou seja, é necessário tratar a derivada como
uma fünç.ão . Vamos mosrrnr como fazer isso num exemp lo. dete1111inando a função
de rivada de f(x "' J__ Pra facilitar o cálculo, será aplicadct uma mudança de var iá el,
X
fazendo x - xo = h, onde x ➔ xo equivale a h ➔ O. Assim, a expressão geral da
derivada de f(x) = _!_ é dada por:
X
x-(x+h) -){
---
1 im _f_( x_· +_l_i )_-_f_( x_} = 1 im -'"'x--'+__,_h,__-_-=-x = lim _(c...x_+_h_,)_x_ = 1 im ( x + h )x = 1 im - ---=
h-,o h h-,o h h->O h h-,o ){ h-,o (x + h )x
Assim, para um elemento qualquer xo do domínio da função f(x) "'_!_ tem-se
X
que f'tx 0 )aa- \. Por exemplo: f'(l)= -1, f'(2)=-I_ e r•(-~)=-9 .
Xo 4 .J
Esse procedimento. que pode ser generalizado para qualquer ti.mção deriváve l
é fundamental pra calcular o valor da derivada em ários elementos do domínio de
uma função. Note que esse processo é equivalentea tratar f' corno uma ti..mção. onde
é posslvd substituir qualquer elemento do domínio na sua fórmula pra determinar a
imagem respectiva.
A formalização desse tratamento de f' como uma função está apresentada na
definição seguinte.
fJII/IJl/1 l. OartVltla
Definição: Considere uma função f: A➔B. A furn,:ão f ', denominada de função
derivada de f, é definida corno:
. tl - h -f(x)
f'(x)= 11111-'----- .
1,-,11 h
o domínio de f •, conjunto onde f' eslú de tinida, é subconjunto do _d?mín~o de f.
Quando uma função fpossui derivada em todo os pontos de seu do1111n10, at1rrna·:e
.b . , dt
que fé derivúvel ou di ferenciàvel. Outra notação para f ·, criada por Lei n1z, e dx.
O leitor pode ficar à vonlade para decidir qual notação utilizar.
Por exemplo, qual seria a função derivada de f(x) = x'? Vamos determinar
usando a definição:
• 1 ) 1'( ) ( + I )· x +3x-h+J 'h
2
+h · - / . . f(x + 1 - • 1· • 1 - , =.1 ·1111~---------- = t '(x) = l1m-'----- = 1111 1
h-,0 h h->0 h • 1,-,U 1
1
. h(3x
2
+3xh+lr
2
)_ 1• ,x2+,xll+h2=.),x2
= IITI --'------- - llll .J .),
h-->0 h h➔U
2.5. REGRAS DE DERIVAÇÃO .
Algumas propriedades facilitam a determinação da função derivada. Essas
propriedades recebem o nome de reg1:as de, derivação e ser~o apresen~adas_ ne~~e
tópico. Em todas as regras adote que k e um nume1~0 r~al f~xo nao_n~lo,_ n e um mte110
positivo, x é uma variável real. nx), g(x) e h(x) sao tunçoes denvave1s em todo seu
domínio.
2.5.1. Se g(x) = k.f(x) então g'(x) = k.f'(x)
Demonstração: . .
. kJ(x+ h)-Utx} .. Hx-h)-i"(x)_,. 1. ttx+h)-11,x)=kf'(x)
l!.'(x)= !1111-...:..._ ____ = l1111 k------ "· 1111 •
- h ,o h h >IJ h h ,o h
2.5.2. Se h(x) = f(x) + g(x) então h'(x) = f'(x) + g'(x)
Demonstraçiio:
f(x+h)+"(x+h)-f(x)-l!(X) . f(x+h) - fl X) g,(x+ hJ-g(x)_
h '(X) = 1 i 111 • "' - = 11111 + h -
h ·- ►Ü h h->U h
. t'(x + h)-f(x) 1· g(x+h)-g(x)_t''(x)+u'(x)
= l1rn ----- + 1m - , "'
11-► II 1, h-► IJ h
2.5.3. Se h(x) = f(x).g(x) então h'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x) .
Demonstração:
f'(x) = lim f X - F(x o = lim g(x)h(x) - g(xu) h(xo) =
X->Xo X - Xo .\-->.\" X - Xo
= lim g(x)h(x)-g(x 0 )h(x 0 )-h(x)g(x 0 )+h(x)g x
0
) =
.\-)Xo X-Xo
= lim [g(x)-g(.-.:n Jh(x) + g(x0 )[h (x) -h (x,I)] =
X - Xo
2.5.4. Se f(x) = g(x) então f '(x) = g '(x).h(x)- g(x).h '(x)
h(x) [h(x)l2
Demonstração:
filx] _ g_(xo)
f '( )- 1• f tx) -f(x 11) h(x) h(x) g( x )h(x) n( • )h(x) x - 1m --- --"-- = lim • • 0 lim - • ' o - .,. n • • =
x-,x,, x-x 0 x-,x,, x-x0 x-,x,, h(x)h(x
0
)(x-x
0
)
= lim g(x)h(x 0 )- g(x
0
)h(x) + g(x
0
)h(x
0
)-g(x
0
)h(x
0
) _
x ➔ xº h(x)h(x 0 )(x-x
0
) -
t:alall2. Osrllllh
.=a:
g '(XI) ) 'h ( X li ) - g ( X li ) 'h '(XI) )
[h(x 0 )]"
Como xu pode assumir qualquer valor real (dentro dos domínios de definição das
l!'( x ).h(x )- l!(X ).h '(x)
funções f, l!, eh), segue que f'(x) = --- -
0
- [h(x)J-
2.5.5. Se f(x) = h(g(x)) então f'(x) = h'(g(x)).g'(x).
Demonstração:
Sendo u = g( x), tem-se 6.u = g( x + 6.x) - g( x). Então, 6.u depende de 6.x e quando
6.x ➔ O tem-se 6.u ➔ O.
Assim, g(x+.6.x)=g(x)+6u=u+6u e pode-se escrever:
h(g(x))=h(u) e h(g(x'..6.x))=h(u+6u).
6.y . h(u ~ u) - h(u) - _ .
Logo, lim - = !1m --'------ . Suponha que 6.u 1' O. Entao.
,\, ->U .6.x ,-,u 1:),. •
. ilY . h(u + u- h u)
1
. h(u+.6.u)-h(u).6.u _
hm - = hm ------ = 1111 ------.--
._,_,0 L',.x "' -,o t.x 21,-,u .6.x L',.u
. h(u + u)- h(u .6.u . h(u+6u)-h(u) g(x+L':.x)-g(x)
= JJ 111 --'---.;__----'-- . - = J I m ---'------.. ..=....:.--.;__-"--'--
--"·'➔ U 6.u L',.x -~x-,u 6.u L',.x
Quando .6.x ➔ O, tem-se L',.u ➔ O:
lim L',.y =h'(u).g'(x)=h'(g(x)).g'(x), o que completa a prova no caso em que
t,,-.u L',.x
t.u * O.
1
2.5.6. Se g(x) = r- 1(x) então g'(x) =
1 f' tf - (x))
Demonstração:
Sabe-se que tF 1(x)) = x.
, . . htx+ h)- htx) . /+h-/ _. _
Alem disso, se h(x) = x: h '(x) = lim ----- = lim ---- - lim 1 - 1
1,-,[) h h-► il h 1,-,()
Aplicando a regra da derivada da função composta:
h(x) = rcr 1(x)) = X ⇒ h'(x) = f'( t" 1(x)).(f 1 )'(x) = f'(f 1(x)).g'(x) = 1 ⇒
1
o'(x)=---
c- f '( f- 1p.:))
2.6. DERlVADAS DAS PRINCIPAIS FU ÇÕES
2.6.1. Derivada da Função Constante: Se f(x) = k ⇒ f'(x) = O
Demonstração:
-'itit/i1Mtftitn.
Se f(x) = k, kEIR : r'(x) = lim f(x+h)-f( x) = lim k-k = JimQ=O
• h->0 h h-->0 1, h->íl k
2.6.2. Deriva da da Parcela Polinomial: Se f(x) = x11 ⇒ f'(x) = nxn-1
Demon traçiio:
( . 1 )" - ·" // + ( 111J x11-1h + ( 11 ) x"-2h2 + ... + h" - /
t• '( ) j ' X + l X 2
X = llll ---=---- = li 111 - - -'-~----'--~----- ---
' 'Hº1u:r '+[f 'h+ ••• +h" '] (:') (n')
t (x)=lun-=---- -'--....:....,------..d = Jim x"-1+ x11-2h+ ... +h"-1 ⇒
h-->0 )( h-> CI j 2
f'(x) = nx 11
-
1
2.6.3. Derivada da Função Polinomial:
Se f(x) = aox" + ª"- 1x 11 - 1 + a11-2x 11 - 2 + ... + a2x2 + a1x + ao ⇒
f'(x) = annx'' - 1 + 311- 1(11 - 1 )x"-: + an-:(n - 2)x11 -, + ... + 2a:x + a1
Demonstração:
Utilizando a derivada da parcela polinomial e a regra 2 de derivação (a derivada da
soma é a 0 111 n das derivadas):
f '(x) - (a x11)' + (a .11 i 1· + ( " ') · . ( , . -, - 11 11 1x a11 :x - + ... + a:x-J + (a1x)' +(ao)'=
= annx"- 1 + an- 1(11 - 1 )x"- 2 + an-:(n - 2)x 01
- 3 + ... + 2a:x + a,
2.6.4. Deri adêl da Função f(x) = _!__: Se f(x) = _l ⇒
x" x 11
Demonstração:
1
(x h)" x 11 (x +h )n-x" f'(x)= lim - ·--- -· - = lim----- =
h->O h ,,_.o x + h) '' x" h
r"(x)=--11-
11+1
X
( • 1 )11
" 1
'
• - ---/' X+ l - X __ ( ·")'- J ,n-1 11 = - IITI IITI ----- - -,- X - ---nx = ---
h-->O (x + h)'1 x" h-,o h x-" x2n xn+I
E , 1 - 1 1 m pmi1cu ar, se t(x) = - então f'(x) = -,
X x-
1-n
X n
2.6.5. Derivada da Função Raiz Enésima: Se flxJ=,f; ⇒ f'(x)=--
n
Demonstração:
Fazendo a mudança de variável: t = x 11 ⇒ x = t" ⇒ f(x) = f(t") = ½ = t
Pela 5ª regra de derivação: f'(x) = [tlt")J' = f'(t")(t")' = l .n.t'1 -
1 ⇒
É fato que g(x) =½é a função inversa de f(x) = x".
1
--- - =
l - 11
X ll
Pela 6ª regra de derivação: g'(x)=----
- ' f'(f- 1 (x)) n.(x 1,11 )"-1 n
2.6.6. Derivada da Função Exponencial Neperiano: Se f(x) = e' ⇒ f'(x) = e
Demonstração:
a' -1
No capítulo de limites, item 1.6.1, foi demonstrado que lirn -- =!na.
,--,o ' X
e' -1
Fazendo a= e tem-se que lirn -- = 1.
,--,o X
- I . \T h , 1, I II I . !( ·+ 1) - I( · ) . e -e . ,e - ., . e - ,
1
_,
f'(x)= lirn ---'---'-- -= lim-- -- = lime --=e l1m-- =e. -e
h ➔O h h-,11 h h-.0 k h-.() k
2.6.7. Derivi1da da Função Exponencial: Se f(x) = a' ⇒ f'(x) = a'.ln a
Demonstração:
No capítulo de limites, item
a' -1
1.6.1, foi demonstrado que lim -- = ln a.
,-,o' X
,+ I , h J h 1
i'( 1i + h) I'( x J . .i ' -a . ' a - ' . a - ·' 1 f'(x)= lím • - ' = lim---- = l1m a· --=a lim --=a na
h-,o h h-,o h h- ,o k h ➔O k
1
2.6.8. Derivada dll Funções Logarítmica Neperiano: Se trx) = ln x ⇒ f'(x) = -
X
Demonstração:
Note que g(x) = ln x é a função inversa de t(x) = e', onde f '( x) = e'
1 1 1
Pela6"regradederivação: u'(x)= - - -- -- -
~ ~ f'(f- 1(x)) e1"' - x
t:11/lll/ol. //61fnia
2.6.9. Derivada da Função Logarítmica: Se f(x) = log., x ⇒ f'(x) = _!__logn e
X
Demonstração:
Repare que g(x) = Ioga x é a função inversa de f(x) = a', onde f'(x) = a'.ln a
1 1 1
Pela6'regradederivaçào: g'(x) = - --- = ---- = -lon a
f'(f- 1(x)) a10g"'.lna X"'º
2.6.1 O. Deri ada da Função Seno: Se f(x) = sen x ⇒ f'(x) = cos x
Demonstração:
t
.,)
1
. f'(x+h)-f(x)
1
. sen( x+ h) -scmx
1
. sen:-.,rnsh+senh.rns x-senx
(X = 1111 - - --- = llll - - ---- 1111 - --- - --- - --
!, ->U h h >li h J, . >0 1,
Para h pequeno, sabe-se que sen h "' h ecos h "' 1.
Substituindo obtém-se: f'(x) = cos x
2.6.11. Derivada da Função Cosseno: Se f(x) = cos x ⇒ f'(x) = - sen x
Demonstração:
f
'()
1
. f(x+h - f(x)
1
. cos(x + h) - co. x
1
. cosx.cosh-senx.senh-cosx
X = l\ll --- - - = l\ll ---- - - = l\ll ---- --- - - -
h--->0 1, 11->íl h h---> 0 h
Para h pequeno, sabe-se que sen h :::: h e cos h :::: 1.
Substituindoobtém-se: f"(x) = - sen x
2.6.12. Derivada da Função Tangente: Se f(x) = tg x ⇒ f'(x) = scc: x
Demonstração:
Lembrando que tg x = sen x . pela regra da derivada da razão de du,1s funções :
cosx
f
'() , (senx)'.cosx-senx.(cosx)' cos~x+sen-x 1 2 x =(tgx) = , = , =--,- =sec x
(cosx)" cos"x cos-x
2.6.13. Derivada da Função Cotangente: Se r1x) = eot x ⇒ f'(x) = -cossec: x
Demonstração:
L b d CtlS x I d d • d d - d d t' -em ran o que col x = -- . pe a regra a enva a a rnzao e uas unçoes:
scn x
t
''() , (cosx)'.scnx-cosx.(scn x ' - sen2 x -cos2 x 1 2 x =(cotx) = , = , =--- =-cossec x
(SC l1 X)" SC11 - X . Cll - X
t:afl61B 2. Ullhllda
2.6.14. Derivada da Função Secante: Se f(x) = see x ⇒ f'(x) = see x.tg x
Demonstração:
1 (l)' .1.:1.rx - l .(-:usx) '
r'(x)=(sco)'=--= ,
COS X lt:O, )-
2.6.15. Derivada da Função Cossecante:
Se f(x) = cossec x ⇒ f'(x) = - eossee x.cot x
Demonstração:
scn x
--,- = SCC X. tg X
CO - X
1 (1) '.senx- 1.(scnx
f '(X) = ( COSSCC X)' = -- = ~
' cusx
= - --., - = -eossec x.cot x
sen x (sen x) sen- x
. l
2.6.16. Derivad.1 da Função Arco Seno: Se t{x) = are sen x ⇒ t '(x) = ~
✓1-x~
Demonstração:
Note que t(x) = are sen x é a ti.1111,:ào inversa de,g(x) = sen x, onde g'(x) = cus x
• 1 1 1
Pela 6" reurn de derivação: f '(x) = 1 = ) = ~
~ g '( g- l · )) cos(.1rcs.1..:11 • ✓ 1-x-
2.6.17. Derivada da Função Arco Cosseno: Se t{x) = are eos x ⇒ f '(x) = - ~L,
✓ 1 - x·
Demonstração:
Se sabe que t(x) = are cns x é a função inversa de g(x) = cos x, onde g'(x) = - sen x
1 1 1
Pela 6" regra de derivação: f '( x) = = - ~
g '(g- 1 ( -.;_ )) sen(arccos x) vi - x 2
1
2.6. t 8. Derivada da Função Arco Tangente: Se t(x) = are tg x ⇒ f '(x) = --7
l + x-
Demonstração: ,
É fato que t(x) = are tg x é a funçàu inversa de g(x) = tg x. unde g'(x) = sec- x
1 1 1 1
r '(X)= I 1 , ) = I + X 1
g'(g (X)) sec- (.:t1\:tgx) l+tg-(arctgx
ti
2.6.19. Derivada da Função Arco Cotangente:
Sef(x)= arceotx => r'(x)=--
1
-,
l+:c
Demonstração:
f(x) = are eotg x é a função inversa de g(x) = eotg x, onde g'(x) = - eossee: x
1 1 1 1
f'(x)=
1
= - - - - - - = = ,
g'g- (x)J -eossec1 (arceotx) l+cot 1 (arecotx) l+x-
2.6.20. Derivada da Função Arco Secante:
1
Se f(x) = are see x => f'(x) = ~
lxl vJ-x-
Demonstração:
f(x) = are see x é a função inversa de g(x) = see x, onde g'(x) = sec x.tg x
1 1 1
f '(x) - - --=--- - ---- -
g '(g- 1 ( x)) see(an.: ec x ). tg{arcsee x)
=
x.(± J1 -sec 2 (arcseex)
2.6.21. Derivada da Função Arco Cossecante:
Se f(x) = are eossee x => f'(x) = - 1
lx/ Ji-x 1
Demo nstração:
Sabe-se que se l'(x) = are cossee x é a
g'(x) = - cossee x.cot x
função inversa de g(x) = eossee x. onde
1 f '(x) = = ~- --- ----·
g'(g. ' (x)) -eossecx(arccossecx1.cot(a rccos secx)
= -
x.(±J1 - cossee2 (areeossee x)
f(x)
k
li
X
e'
ln x
log., x
sen x
eos X
f'(x)
o
nxn-1
11
1-11
X n
11
a'.ln a
X
1
-.log., e
X
eos X
- sen x
TABELA DE DERIVADAS
f(x)
tg X
eot x
see x
cossee x
are: sen x
are eos x
are tg x
are c:ot x
are see x
are eossee x
"
eatt,/82. 0811118dl
f'(x)
,
see- x
- eossee2 x
see x.tg x
- eossee x.eot x
1 + x1
2.7. DERIVADAS SUCESSIVAS
. No item 2.-1 de.se ca zero, basta derivar y = ~ ✓9- x 2 em relação a x e substituir a _,
abscissa de P na função derivada obtida, pra calcular o coeficiente angular da reta
tangente em P. No caso do ponto P da elipse, por onde deve passar a reta tangente,
estiver no 3º ou 4º quadrantes do plano cartesiano, a relação entre y ex é dada por
2~
y = -- '1/9 - x ~ - 3 s; x s; 3. O gráfico dessa função está representado abaixo.
3 '
E11lTCtam0, con vcnhnmos que esse prnces o. a1 esar de poss ível, não é nada
prático. lém do mais. ex iste uma out ra manci rn bem mais simples de obter a rela
tangente, usm1do a relação i111plicirn de y ex d.-i dr1 pela equação da el ipse.
Agora é fundamenrn l relembrar n reg rn da cadeia. e l(x) é u111 :i fu nção
composta. do tipo Ftx) = g(h('s )). en!fio f"( x)- ;f(h(x)).h ' (x l. Ap lic ando a regrn da
' '
cadeia é possível derivar, na variável x. a equação da elipse ~ + L = 1. A parcela
9 4 ,
f(x) = x- é tranquila de ser derivada cm x. Porém. como derivar. em x. a parcela
9
'
g(y) = L? Bem simples! Basta lembrar que y é uma função na variável x, fazendo
4
com que g(y) seja um a função composta (do tipo g(y(x)) e aplicar a regra da cadeia,
e,,/tJIJtJ2. Dsfivlda
obtendo g'(y).y' . Se preferir, pude também ser usada a notação de
d(g(y)) = d(g(y)) . dy . Pra finalizar, lembre-se que a derivada de I é O:
dx dy dx
d( x
2
+y_2 !
9 4 1 d(I)
=
dx dx
2x 2y dy dy 4x
⇒ - + - -=O ⇒ - =--
9 4 • dx dx 9y
Leibniz:
A substitu ição das coordenadas de P(x. y) nessa última expressão permite
determinar ' + /)
dx
d( 0)
d.x
⇒ 1 y dy 2 dy _ O dy _- __ _ -e-+ y-- ⇒
dx dx dx cY- 2y
dy
Substituindo y = O ⇒ 111 = - = l .
clx
Substituindo na equação da reta:
y -yr = m(x - xr) ⇒ y - O= 1 (x - 1) ⇒ x -y - 1 = O
a
Dercícfos ~esolviilos :,:-
!itido/dl@&ú
01) (EFOMM-94) A reta tangente à curva y = 7x -3x 2 no ponto P faz um ângulo de
45° com o eixo dos x. O ponto P da cmva tem coordenadas:
(A)(0,0) (8)(2,2) (C)(-1,-10) (0)(3 , -6) (E)(l,4)
Solução: Alternativa E
Se a reta tangente faz um ângulo de 45º com o eixo, então seu coeficiente angular é
• 1 1 • dy l 1gua a , ou se1a, - = ;
~ • dx
Derivando a função : dy =7-6x=1 ⇒ x= l ⇒ y=4 ⇒ P(l,4)
dx
02) (EFOMM-98) Se f(x) = sen 3x e M = f '( f) + f" ( % )+ f'"(
2
; J.
a)-7 b)-21 c)8 d)24 é)25
Solução: Alternativa B
f(x) = sen 3x ⇒ f'(x) = 3.cos 3x ⇒ f"(x) = - 9.sen 3x ⇒
f "'(x) = - 27.cos 3x
M = f '( f )+f"( ~)+ f "'(
2
3
n) = 3cos n-9sen
3
; -27cos 2n = -3 + 9-27 = -21
03) (IME-51) Determinar a equação da tangente à curva y = x log x no ponto em que
seu coeficiente angular é 2/3.
Solução:
Sendo g(x) = x e h(x) = log x, segue que f(x) = g(x).h(x)
loge
f'(x)= g'(x).h(x) + g(x).h'(x) = 1.logx +x.-- = logx + loge
X
Como o coeficiente angular é 2/3:
'J 2 ' - 1 02 /3
=-=logx+loge ⇒ logx=--loge=loglO-'º-loge=log-- ⇒
3 3 e
(
10
213
1 0
11
: 10
213 J Assim, a reta é tangente à curva no ponto --, --log--
e e e
A equação da reta vale:
10
2
:; 1 0
2
'
3
2 ( 10
113 J y---loa-- = - x--- ⇒
e e- e 3 e
2 2 1 0113 1 0213
1 010
y=-x----+--log--
3 3 e e e
10213
x=--
e
CI/J/IJJ/112. DIIMd8
04) (IME-68) Seja fuma função definida na coleção dos números reais, tal que:
.) t·( 1 l 1 x) = x - sen - , x ,t O.
x ·
ii) f(O) = O.
a) Determine a função f' derivada de f
b) Diga,justificando, se f' é ou não contínua.
Solução:
a) Sejam g(x) = x" e h(x) = sen _!_, ou seja, f(x) = g(x).h(x).
X
f '(x) = g, ' (x).h(x) + g(x) .h'(x) = 2x.sen _!_ + x 2 .cos _!_ .(- ~ ) = 2x . scn _!__cus J:..
X X x- X X
b) Claramente, há uma descontinuidade em x = O na fun ção f'(x) .
05) (EN-22) Sejam as funções f e g tais que f(x) = 5x~ - 2x3 + 2x, g '(x) = _
2
_ e
X +3
g( 1) = O. O valor de (fog )'( 1) é igual a:
a) ln 16 b)5 .ln4 c)O d) 1 e) 1/2
Solução: Alterna tiva D
Inicialmente, observe que: f'(x) = _Qx3 - 6x" + 2
Pela regra de deri ada da função composta:
(t(g(l)))' =f'(g(l)).g'(l) = f'(O) .g'(I)= 2._!_=l
2
06) (EFOMM-95) Sabendo que f(x) = tg2 (3x + 1), o valor de f"(-.!_) é:
3
(A) 24 (B) 22 (C)20 (O) 18 (E) 16
Solução: Alternativa D
A função f(x) é
1
definida como uma tripla composição de funções .
Sen~o g(x) = x-, g(x) = tg x e t(x) = 3x + 1, então f(x) = g(h(t(x))) .
Assim, f'(x) = g'(h(t(x)) .h'(t(x)) .t'(x) = 2tg(3x + 1 ).sec2 (3x + 1 ).3 ⇒
f'(x)= 6se~(3x+l
cosº(3x+l)
f "(x) = 6. cos(3x + 1J.3.cos\3x + 1)- 6.sen(3x + 1).3 .cos
2
(3x + l).[
co/' (3x+I)
f"(x) = 18.cos
4
(3x + 1) +54.sen
2
(3x +l) .cos
2
(3x+ ]) ⇒
cos6 (3x+1)
f "( 1) IS. 1+ 54.0 -- =-- -=18
. 3 1
6
lil
sen(3x+l)). 3
⇒
CIIJlta/112. Dlrlmll
2
07) (EFOMM-95) A equação da reta normal do gráfico da função y = escnix -ll no
ponto ( 1, 1) é:
(A)2y-x+3=0
(D) y- 2x + 3 = O
(B)y+2x-3=0
(E)2y-x-3=0
Solução: Alternativa C
(C)2y+x-3=0
/\plicando a regra da cadeia: y' = e'"111
'
2
-
11 .cos(x
2
-1) .2x
Substituindo x = 1: m = e'cn ° cos 0.2.1 = 2
A reta normal tem coeficiente angular m' = _ _!_ = _ _!_
111 2
A reta norm al tem equação:
1 y-l=--(x-1) ⇒ 2y-2=0-x + 1 ⇒ 2y+x-3=0
2
08) (EFOMM-22) Seja a função real definida por f(x) = x3 + x + 2. Assinale a
alternativa que indica o valor da derivada da função inversa de f em X = o, isto é,
cr-1 rco) .
a)-1 b)O c) 1 d) 1/2 e) 1/4
Solução: Alternativa E
Pela regra de derivação da função inversa, se g(x) = r- 1(x) então g'(x) = \
f'(r (x))
Note que pra calcular g'(O) é necessário anteriormente calcular r- 1(0).
Igualando f(x) a zero: f(x) = O ⇒ x3 + x + 2 = O ⇒ a única raiz real é x = - 1
Po1iant0. o ponto (- 1, O) peti ence ao gráfico de f, fazendo com que (O, - 1) pe1iença
ao grá lico de f 1(x), implicando quer- 1(0) = - 1.
. 1 1 1 1
Ass11n: g'(O)= f '(f- 1(0) f'(-1) 3 -1)2 +1 =4
09) (IME-71) Um corpo se move no plano xy descrevendo a trajetória y = Ax
2
- C.
Sua projeção no eixo dos x se move com a velocidade de B u.v. (unidades de
velocidade). A velocidade da projeção vertical será, portanto:
A
(A) 2Ax (B) 2Ax + B (C) 2ABx (D) 2Ax- B (E) 2-x (F) N .R.A.
B
Solução: Alternativa C
Da física sabe-se que a velocidade é a derivada da posição no tempo.
Derivando implicitamente a equação da trajetória no tempo:
dy d( x2-C) =A ')_x _dx-O ?A iAB Vy = - XV, ⇒ V, = - X
dt dt dt
C6J1/lll/o2. 0111'/nda
10) (IME-67) Sendo as coordenadas do ponto P (x, y) definidas por
{
x = 2a tgu
y=2acos2 u
d2
Pede-se calcular o valor de -{ no ponto zero.
dx-
Solução:
Determinando y em função de x:
, 2a 2a
y = 2a cos- u = --, - = ,
2a 8a3
= - - - =---
sec u l + tg- u x2 4a 2 + x2
l+ -
4a 2
- 8a3 (2x) 16a3x
y'= - - --'---=
(4a 2 + x1
)
1 16a 4 +8a 2 x 2 +x 4
y"=
l 6a3 (16a 4 + 8a 2 x 2 + x 4
) - l 6a 3 x(I 6a 2 x + 4x 3
)
(16a 4 +8a 2 x 2 +x 4 )2
Substituindo x = O: y "(O)=
l 6a \ 16a4
=
(! 6a•lf! a
11) (IME-70) Dada a equação x -cos (xy) = O, calcule dy .
dx
1 1
a) b)
x. sen(xy) y. cn xy)
c) y/x
d) x/y e) - ( 1 + y) f) nda
Solução: Alternativa F
Derivando implicitamente na variável x:
d( x -cos( xy))
0
dx d cos xy))
0 1
d(xy)
--- - - = ⇒ --- - -------'--'-= ⇒ +sen(xy)--=0 ⇒
dx dx d dx
1 +sen(xy)(dx .y+ x. dy) = O ⇒ l +sen(xy)(y+x dy) = O ⇒
dx dx dx
dy dy (1 + y sen(xy))
I+ysen(xy)+xsen(xy)-=0 ⇒ -=------
dx dx x sen(xy)
C6JJ/IR/•2. lllrlvaâ
u V l J ,
12) (1 ME-71) Dada a função z = - . onde u = -x e v = x-, assinalar, entre os
v" 3
vnlores abaixo. o correspondente a dz no ponto em que x = 1.
dx
3 7 3 7
a) --log , 2-- b) -logc 2+-
2 e 9 2 9
2 7
c) --log,3+-
3 e 9
2 ~ 7 ) 2, 9 d) -]oo . J-- e -- o 0 2+-
3 oc 9 3 oc 7
e) NRA
Solução: Alternativa C
Inicialmente, perceba que para x = 1 tem-se u = _!__ e v = l.
3
Vamos agora calcular as derivadas de u1
• e v" na variável x.
.
1 1
.
1
d(ln y) d(v.lnu)
1) y = u' ⇒ n y = n u' = v. nu ⇒ -- = --'----- ⇒
dx dx
y' dv d(Ln u) x3
, 3 2 • x3
-=-.lnu+v.-- =2x.ln-+x- .-.x =2x.ln-+3x
y dx dx 3 x3 3
Substituindox= 1: r =3+2.ln½ ⇒ y'=l-½ln3
3
ii) w = v" ⇒ ln w = ln v" = u.ln v ⇒
d(]n x) d(u.ln v)
dx dx
' d d(I ) x3
2 , 2x 2
~=~.ln v+ u.~ = x2 .lnx 2 +- - 2x = x .ln x- +-
w dx dx 3 • x 2
• 3
w' ? , 2
Substituindox= 1: -=l.lnl+::. ⇒ w =-
1 3 3
\'
Finalmente: z = .::._ ⇒
v"
dz =2__3_1n3
d( x = ll 9 3
dz
d(x = 1)
13) (IME/CG-15) Em um ce110 ambiente, ex istem alguns tipos de bactérias. A
concentração da bactéria A em função do tempo t. em horas, é expressa por:
a
f(t)=--
1
, t?:Ü
l+c't
Se no instante l = O a concentração dél bactéria A é de 20 g.m - ' e a mesma cresce
com velocidade de~ g.m - ·;_ h- 1. determine os valores de a e b e determine qual será
o seu valor após um longo período de tempo.
li
Cllf/ÍllJll l. 11811VRdl
Solução:
a a
Para t = O tem-se f(O) = 20: f(O) = 20 = -- = - ⇒ a= 40 g.m- 3
1 +eº 2
Assim : f(t) = ~b· ⇒ f'(t) = - 40.b.el>i
l e i ( l +ch1 2
o (l
f'(0)=2= - 4 .b.e = - 10b ⇒ b=-_!_
( l + e0 )2 5
d 1 • 40 O
Logo, a expressão da concentração e Ava e t (t) = --_-
1
, t :2: .
l+e 5
. . . 40 40 ,
Para um tempo tendendo a infinito: hm f(t) = hm --= - = 20 g.m-
1-->"' l-->OC -I 1 +]
l+e 5
l 4) (IME/CG-20) Seja f(x) = Jscn(?x + l11(5x )) . Calcule a l ª derivada da função
f(x).
Solução:
Note que t{x) é resultado de três composições de funções :
f(x) = g(h(t(x))), onde g(x) = ✓x, h(x) = sen x e t(x) = 7x + ln(Sx)
Pela regra de derivada da função composta:
f'(x) = g'(h(t(x))).h'(t(x)).t'(x) ⇒
f'(x)= J 1
.cos(7x+ln(5x)).(7+ 1 J ⇒
2 sen(7x + ln(Sx)) p x
f ' cos(7x + ln(Sx)) ( 7 1 J (X) = ------,.============ + -
2Jsen 7x + 111(5x)) x
15) (IME/CG-21) Dada a função abaixo, mostre que o coeficiente angular de toda
reta tangente a essa função é negativo.
1 -
f(x)= --r;; - -
7
+tg(l5-40xº)
(v3+2x)
Solução:
Sabe-se que o coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada na função:
f'(x)= j 7•-
8
+sec2 (15-40x3 ).(-120x 2
) ⇒
( J +-X)
f'(x) =-[ ✓3 1 4 ~ + 120x
2
sec
2
(15-40x
3
)]
( .J + _x)
Como as parcelas dentro dos colchetes são sempre positivas, segue que f '(x) O segue que f(x) > O.
Perceba que o fato de f(x) = _!_, x > O, não admitir máximo global nem mínimo
X
global ocorr()u porque a função tem ass intotas, que faz f tender a infin ito ou a zero
quando x tende a zero u a infinito, respectivamente. Caso o domínio da função seja
um intervalo limitado [a b] com a O, VxE[a, b] então fé estritamente crescente em [a, b);
2. Se f'(x) O, ou seja, x > c f(x) > f(c), que
X->c X -C
caracteriza f(x) como uma função estritamente crescente.
f(x - í (c
Se cE[a, b], segue que f'(c) = lim • = O ocorre apenas de f(x) = f(c), para
X➔C X -C
qualquer XE[a, b], implicando que fé constante.
Vamos aplicar esse teorema pra analisar o comportamento de crescimento e
decrescimento da função f:IR➔IR dada por f(x) = x3
- 3x2.
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
i) f'(x) > O XE(- ro, 0)u(2, + ro)
ii) f'(x) XE(Ü, 2)
Aplicando o teorema, segue que a função f(x) é estritamente crescente nos
intervalos (- oo, O) e (2, + oo) e f(x) é estritamente decrescente no intervalo (O, 2).
De fato, a análise algébrica concorda com; o gráfico da função:
_,
A am\lise do crescinw nto/decrescimento de um a função será a base de um
critério que é usado pra detem1inar máximos e mínimos de uma função, denominado
de ''Teste da Prime ira Deri ada". que erá abordado mais ad iante nesse mesmo
capítulo.
2.9.2. Extremos Locais
Definição: Considere uma função real fde domínio D. Um ponto aED é denominado
de máximo local de f se existir um intervalo AcD, com a E A, tal que f(a) ;::, f(x),
qualquer que seja XEA. Analogamente, um ponto bED é denominado de mínimo
local de f se existire da Alemanha. Hoje
se sabe que ambos fizeram suas descobertas de formas independentes e
simultâneas, com Newton iniciando seus estudos pela Derivada e Leibniz pela
Integral.
Com o cálculo foi possível analisar o movimento dos corpos de forma
instantânea, utilizando a geometria analítica e também permitiu a determinação
precisa de áreas e volumes, que, à época, ainda era feito usando o método da
exaustão. Atualmente, o Cálculo é aplicado em diversas outras áreas, como a
Física, a Química e a Economia.
O desenvolvimento da Geometria Analítica é devido a dois matemáticos
franceses, Descartes e Fermat. que desenvolveram, de forma independente,
mélo?os parecidos para caracterizar curvas por expressões algébricas ,
relacionando as coordenadas x e y num plano. A grande Importância da
geometria analítica é permitir que problemas algébricos possam ser
interpretados de forma algébrica e que manipulações algébricas possam permiti r
encontrar resultados geométricos.
Essa via de mão dupla da geometria analitica revolucionou os estudos da
matemática e permitiu, algum tempo depois , que o Cálculo fosse criado por
Newton e Leibniz.
É difícil precisar qual foi o primeiro trabalho publicado sobre Lógica
Matemática. Há textos de Platão sobre o assunto, porém não como estudamos a
L?gica ~tualment~ Quem primeiro apresentou um trabalho mais amplo,
s1stemat1zado e rigoroso sobre a Lógica foi Aristóteles . numa época que a
Filosofia e a Matemática andavam de mãos dadas. Os conceitos da lógica
aristotélica foram aceitas e ensinados por muitos séculos, até pelo menos o
Inicio do século XIX.
A coleção Elementos da Matemática passou por vários formatos de divisão
de conteúdos e autores em seus volumes. Atualmente, a coleção está
organizada da seguinte maneira:
Volume O - Álgebra, Aritmética, Proporção e Frações
Autor: Marcelo Rufino de Oliveira
Volume 1 - Conjuntos, Funções e Teoria dos Números
Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Volume 2 - Geometria Plana
Autores: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Volume 3 - Sequências, Combinatória, Probabilidade e Matrizes
Autor: Marcelo Rufino de Oliveira
Volume 4 - Números Complexos, Polinômios e Geometria Analítica
Autores: Marcelo Rufino de Oliveira
Volume 5 - Geometria Espacial e Trigonometria
Autor: Marcelo Rufino de Oliveira
Volume 6 - Cálculo, IR3 e Lógica
Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro
Os autores
,
lndice
Capítulo 1. Limite
1. Introdução....... . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 1
2. Vizinhança de Um Ponto ...... . ... .. . .. . ...... , . . . . . . . . . . . . 2
3. Limites e Gráficos - Noções Intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Alguns Resultados Importantes ..... ... . .... ......... , ... , . . . 8
5. Limites do Tipo 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6. Mudança de Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7. Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Capítulo 2. Derivada
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68
2. O Problema da Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Derivada de uma Função num Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4. A Função Derivada .. . . ....... ......... .. .. . . .. . . , . . . . . . . . . 72
5. Regras de Derivação . . . . . ..... .. ..... .. .. . . . ........ , . . . . . 73
6. Derivadas das Principais Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7. Derivadas Sucessivas . . . . . .... .. . .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8. Derivadas Implícitas . .. ......... ...... .. ... . .. .. ... . , . . . . . . 83
9. Máximas e Mínimo de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1 O Funções Côncavas e Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11 . Construção de Gráficos de Funções ........... , . .......... , . . 113
12. Taxas Relacionadas ... ........ .. ...... . ... ................ 120
13. Aplicações de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14. Regra de L'Hopital . . . . . .. . . ...... . ...................... 134
Exercicios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Capítulo 3. Integral
1. Introdução . . .. . ..... .. ....... .. ... . ........... .. . . , , . . . . . 173
2. Propriedades da Integral . .. . ... . ............. . . .. .... . .... .. 175
3. Teorema Fundamental do Cálculo . . . .. .. .. . ......... . . .. .. .. 176
4. Áreas Compreendidas por Dois Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5. Determinação de uma Primitiva ... . . ........................ 181
6. Comprimento de um Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7. Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8. Área de Superfícies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9. Integrais Impróprias . . . . . . . ... ..... . . ............... .. ...• 213
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Capítulo 4. Vetores
1. Segmentos Orientados .... . . . .... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2. Adição de Vetores (Forma Geométrica) .. . , . , _ . . . _ .. . . ..... _ . _ 234
3. Multiplicação de Número Real por Vetor (Forma Geométrica) .. _ ... '235
4. Sistema de Eixos Cartesianos .. . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5. As componentes de um Vetor (Forma Algébrica) . _ . . _ . _ ... _ . __ . . , 239
6. O Módulo de um Vetor (Forma Algébrica) . . . . . . . . .. , ... __ ... __ 240
7. Soma de Vetores (Forma Algébrica) . . . . . . ... . . . .... . . .... __ . 241
8. Multiplicação de um Vetor por um Escalar (Forma Algébrica) . . . , ... 242
9. Vetor Definido Por Dois Pontos (Forma Algébrica) .. ... . . . ... , , , , 243
1 O. Vetor Definido pelo Vetores Unitários (Forma Algébrica) _ . . . . .. . ___ 243
11 . Produto Escalar (Forma Algébrica) ... . . . . . , .... , . ... . _ . __ .. , .. 247
12. Produto Vetorial ... . . , . .. . ..... .. . . . _ . .. . .... . ...... . . _ . . 253
13. Produto Misto .. . , .. .... . . ... . . , .. ... .. , . . _ .. . . . . . . .... _ . 256
Exercícios Propostos . .. . ... .. . . . .. . . .... . . . _ . __ . . . .. . . . . , . 263
Capítulo 5. Geometria Analítica no IR3
1. Equação de um Plano . . . . . . . . . . ... . . .... . . ... . _ ..... . , . . . _ .
2. Condição para um Ponto Pertencer a um Plano
3. Interseção de um Plano com os Eixos Coordenad~~ • • • • • • • • • • • • • •
4. Equação Segmentária de um Plano . . ... .. .. .... '.: _-: : : : : : : _- .• ..
5. Plano Normal a um Vetor e que Passa por um Ponto _ ... .. . . . _ . . .
6. Condição de Paralelismo .... . .... . . __ .. . . __ . .. _ . . _ . _ . . _ ... .
7. Condição de Ortogonalidade . .. .... . ___ . _ . _ . _ . .. , .... _ , . ... .
8. Distância de um Ponto a um Plano
9. Distância Entre Planos Paralelos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1 O. ~!anos Bissetores ......... .. .. - • _· .• .• .- .-_- .- .- .' _· .- .- .- .• .• .• .• .• _· .• .• .' .' _· .• _· .•
11 . Angulo Entre Dois Planos .. . . . .. .. ... ..... . ... .. _ . _ . . . __ . .. _
12. Projeção de um Ponto Sobre um Plano
13. Equação da Reta no IR3 . . . . . . . . . . .• . • _· _· _· • • • • .- •• .' ." .• ." .• • .• .• •• .' .- _·
14. ~osições Relativas Entre Duas Retas no Espaço .. ..... , . . . . . . .
15. Angulo Entre Duas Retas
16. Posições Relativas Entre R~t~ ~-Pl~-n~· • •um intervalo BcD, com bEB, tal que f(b);::, f(x) , qualquer que
seja xEB.
A figura abaixo ilustra uma situação de máximo local. A.função apresenta um
máximo global em x1 . Porém, para todo xEl, ocorre que f(x2);::, f(x), caracterizando
x2 como um ponto de máximo local.
global
~
1 "'--
Note que todo ponto de máx imo global também é ponto de máximo local. O
contrário não ocorre, necessariamente. Na verdade. o ponto de müximo global,
quando existe (lembre-se que a função pode tender pra infinito , é um ds ponltl X - a ,->a' X - [l
$0
Dos limites laterais se conclui que f'(a) = O.
Note que o teorema não é uma implicação do tipo "se e somente se". É possível
que f'(a) = O e a não seja ponto de máximo local nem ponto de minimo loca l. Em
outras palavras, esse último teorema permite determinar candidatos a máxi mos e
111 inimo locais de uma função derivável.
Por exemplo, vamos aplicar o teorema anterior na análise de máximos e
mínimos locais da função f(x) = 3x5 - Sx'. Resolvendo f'(x) = O:
f'(x)=l5x4 -15x2 =0 ⇒ x=0.x=loux=-1
Assim , os candidatos a máximos locais da função são O, l e - l . Contudo,
apenas - l é máximo local e l é mínimo local. Observando o gráfico abaixo da
função, se percebe que O não é máximo nem mínimo local.
...
a
Antes de enunciarmo os critérios pra verificar quais pontos a, em que f'(u) =
O, são pontos de máximo ou mínimo locais, vamos a uma definição:
2.9.2.1. Pontos Críticos: Considere uma função f: A➔B derivável. Afamamos que
aEA é ponto crítico de fse f'(a) = O ou f (e:,) não existe.
Agora vamos apresentar dois critéri s pra decidir se um ponto crítico de uma
função é máximo local , mínimo local ou nenhum dos dois.
2.9.2.2. Teste da Primeirn Derivada: Considere que f(x ) é uma ti.111çâo contínua
c.;om um p nlo crítico em CE ,, b). Caso fscja derivável em (a, e:) (e, f ),
i) se f"(x ) > O para todo xe(a, e e f ' (x) O para todo XE(c, b) então fpossui um
mínimo local em e.
iii) Se f'(x) possui mesmo sinal em (a, e) e (e, b) então e não é ponto de extremo
local de f.
Demonstração:
i) Se f (x) > O para todo x E(a, e) ⇒ fé estritamente crescente em (a, e) ⇒
f(c) > f(x) , Vxe(a, e) (1)
se f'(x) f(x), VxE(c, b) (2)
De ( 1) e (2 segue que fi c) > f(x), Vxe ( 1, b ⇒ e é ponto de máximo local der
ii) Demonstração amiloga ao item anterior, ficará a cargo do leitor
iii Se f ' (x) não muda de sinal então f mantém sua tendéncia de crescimento ou
decrescimento no intervalo (a b) fazendo com que e não seja ponto de 111fo.:i111 0 nem
mínimo de f.
Vamos agora aplicar o teste da primeira derivada pra verificar, sem auxílio de
um gráfico, os pontos de máximos locais e/ou mínimos locais da função que foi
apresentada na página anterior: f:IR➔ IR, dada por f(x) = 3x5
- 5x3
.
f'(x)= 15x4
- l5x2 = 15x2(x- l)(x+ l)=0 ⇒
os pontos críticos de f são x = - 1, x = O e x = 1
i) se xE(- oo, - 1) então f'(x) > O
ii) se xE(- 1, O) então f'(x) O
Aplicando o teste da primeira derivada conclui-se que - 1 é ponto de máximo local,
O não é máximo nem mínimo local e l é ponto de mínimo local de f.
Perceba que essas conclusões batem perfeitamente com o gráfico da função,
apresentado na página anterior.
a
e,JJtr,/12. llll'lv6lll
2.9.2.3. Teste da Segunda Derivada: Seja fuma função derivável duas vezes em
um intervalo (a, b) e ce(a, b).
i) Se f'(c) = O e f"(c) > O ⇒ ftern um mínimo local em e.
ii) Se f'(c) = O e f"(c) O então f'(x) é crescente na vizinhan~a _· '."'e: Como f'(~) ~ O_, entao
infinitesimalmente à esquerda de e lem-se f'(x) O. Pelo teste da primeira derivada, segue que e é ponto de max1mo
local de f.
As demonstrações dos itens (ii) e (iii) ficarão como exercício pro leitor.
Vamos agora aplicar o teste da segunda derivada pra determinar os pontos de
máximo e mínimo locais da função f: IR➔IR dada por f(x) = x4
- 2x
2
:
f'(x) = 4x'-4x = 4x(x- l)(x + 1) = O ⇒ x ='- 1, x = O ou x = 1 (pontos críticos)
Segunda derivada: f"(x) = 12x2
- 4
i) f"(- I) = 8 > O ⇒ - I é ponto de mínimo local de f
ii) f"(0) = O - 4 O ⇒ 1 é ponto de mínimo local de f
Observando o gráfico de f, conclui-se que a análise algébrica realmente
concorda com a análise gráfica:
Nesse momento o leitor deve estar se perguntand q1ial test é _?reforíve l de ser_
usado na detem1inação dos máximos mínimos locais de uma fu~ça~? A r~sposta e
simples! O teste da segunda deri vada é mais prático que o da pnme1ra denvada. ~
único inconveniente do teste da segunda derivada é quando f"(c) = O, onde o teste e
inconc lusivo. Apenas nesse caso, utilize o teste da primeira derivada, que não tem
situações inconclusivas.
2.9.3. Determinando os Extremos Globais de uma Função Contínua
Já foram apresentados neste livro todos os recursos necessários pra determinar
os extremos globais de uma função. Assim, caso seja necessário, lançaremos mão de
usar o cálculo de lim ites, determinação de assintotas, cálculo de pontos críticos, teste
da primeira derivada e teste da segunda derivada. Entretanto, nem todos esses
recursos serão aplicado pra todos o ripos tle funções. Um detalhe que influencia
decisivamente na determinação dos extremos g loba is é o domínio da função. Por
isso, serâ necessário dividir essa análi se em dois casos.
I" caso: Função contí.nua definida num intervalo fechado do tipo la, bl
Como a função é contínua, os candidatos a extremos g lobais são os pontos
críticos e os extremos do intervalo. Assim . o procedimento para determinar os
extremos globais de uma fun çâCl fé o seguinte:
(l) Determinar os pontos críticos de f, bastando calcular x de modo de f'(x) = O ou
que f'(x) não está definida;
(2) Analisar quais pontos críticos de fsão máximos locais e quais são mínimos locais,
aplicando o teste da 1" deri ada ou o teste da 2" derivada;
(3) Identificar a maior imagt:m entre os pontos de máximos locais e a menor imagem
e11tre os pontos de mínimos locais ;
( 4) Calcular f(a) e f(b );
(5) ponto de máximo global é o ponto que tem maior imagem entre todos os
calculados nos itens 3 e 4 e u ponto de 111 ínimo global é o ponto que tem menor
imagem entre todos os calculados nos itens 3 e 4.
Observação: É possível adaptar os passos listados acima na determ inação dos
máx imosglobais de uma função com domínio (a, b [a, b) ou (a, b] , com a e b finitos ,
bastando verificar se ex_istem assintotas verticais nos extremos abertos do domínio .
Vamos aplicar esse procedimento para determinar máximo e mínimo globais
da função f: [- 5, 3]➔IR dada por f(x) = x3
- 12x.
( l) Determinando os pontos críticos: f'(x) = 3x~ - 12 = O ⇒ x = 2 ou x = O - 2
(2) Teste da 2ª derivada: f"(x) = 6x ⇒ f"(2) = 12 e f"(- 2) = - 12 ⇒
- 2 é ponto de máximo local e 2 é ponto de mínimo local
C') Calculando as imagens dos pomos críticos: f(_ = - 16 e t~- 2) = 16
(4) Calcu lando as imagens dos extremos do domínio: f(- 5) = -65 e 1'{3) = - 9
(.5) DentTe todas as imagens dos itens (3 e (4 , o maior valor é de f(- 2), fazendo
cm que - 2 seja ponto de máximo global de f
Dentre todas as imagens dos itens 3) e (4), o menor valor é de f(- 5), fazendo com
que - 5 seja o ponto de mínimo global de f
O gráfico da função está representado na imagem seguinte, confirmando os
pontos de máximo e mínimo globa is calculados.
a
t:#iJ1IJI 2. D!lllnlfll
- Sx: A d
Considere agora a função f: [- 2, 3 )➔ 1 R dada por t ( x) = --1 • pesar o
9-x
intervalo ser aberto em 3 (há um motivo pra isso!), é possível aplicar o passo a passo
pra intervalos fechados :
10x(9-x 1 )-5x 2 (-2x)
(]) f '(X) = -, ,
(9- x-t
90x
⇒
O, 3 e - 3 são os pontos críticos de f, porém 3 e - 3 estão fora do dom!nio de f
(2) f'(x) O depois de O ⇒ O é ponto de mínrmo local
Perceba que lim Sx
1
, = +w ⇒ f não tem máximo global
x--,3 · 9 - ,e
(3)f(O)=O
(4) f(- 2) = 4
(5) Como t~0) O ⇒ O é ponto de mínimo local
Como f"(I) O ⇒ 3 é ponto de mínimo local
(3) f(0) = O, f( 1) = 5 e f(3) = - 2 7
(4) lirn f(x) = lim f(x) = +ro ⇒ f não tem máximo global e ftem um mínimo
X--4,-:::,_, X - ) + u_·
global
Como f(3) O quando x➔Ü. ou seJa, O e ponto de
mínimo local de f(x)
(3)f(0) = 0
,
( 4) lim ~ = +m ⇒ assintota vertical em x = 4 ⇒ f não tem máximo global
' ,-l ' 4- )i.
,
(5) lim ~ = +::1: ⇒ ftem mínimo global, que é O
, ~ -, g~,~i~o da função concorda perfeitamente com a conclusão algébrica.
a
exercícios ~esolvitfos
O ) _ l -2x
1 A fun ao f =-- • ·• ' • · ç (x) 2 tem max,mo local e mrnrmo local respect1vamente nos
X +2 ' '
pontos
a)-2el b)-le2 c)le-2 d)2e-l e)le2
Solução: Alternativa B
f'(x)= - 2(x
1
+2)-(l-2x).2x _ 2(x 2 - x-2)
(x
2 +2)2 - x-1+4x 1 + 4
f'(x) = O ⇒ x=' - x - 2 = O ⇒ (x - 2)(x + 1) = O ⇒ x = 2 ou x = - 1
2( 2 l) 4 0
, f"(x)= x- (x +4x-+4)-?(x--x-?)(4x3+8x)
(x"+:2)4
'li 2.3.J(i
f (2)=--~->0 ⇒ 2épontodemínimo
6
f"( 1)- 2.(- 3 .9 .
- - ,.J O.o valor mínimo de x' é obtido para x .i~uéll a:
a) 1/ 10 b) 1/3 e) 1 /e d) 1/2 e) 1 ~
Solução: Alternativa C
y=x' ⇒ lny=lnx' ⇒ lny=x.lnx ⇒ d(lny)=Li(x . lnx)
dx dx
⇒
YI 1 y'
-=l.lnx+x.- ⇒ -.=l+lnx ⇒ y·=x'(l+lnx)
y X x'
y' = O ⇒ ln x = - 1 ⇒ x = e- 1
Para provar que e -
1
é ponto é necessário analisar a segunda derivada de y:
y"=(x')'+(x'.lnx)'=_x'(I +lnx)+(x')'(l +lnx)+ x' ⇒
y" = x'( 1 + ln x) + x'( 1 + ln xf + x'- 1
1 -1
y"(e- 1
) = (e- l" _,>O ⇒ e- 1 é ponto de mínimo
a
X
03)(EN-9l)Omínimovalorde x·' :x
2
~
5 ,xreal,é:
(x- + 1r
a) 0,50 b) 0,80 e) 0,85 d) 0,95 e) 1
Solução: Alternativa D
. x4 x2 +5
SeJa y = , ,
(x- + I)~
, _ ( 4x 3 + 2x )(x 4 + 2x 2 + 1) - (x .J + x 2 + 5)( 4x 3 + 4x) _ 2x 5
- l 6x 3
- l 8x
Y- ? 4 - , 4
(x-+I) (x-+l)
y' = O ⇒ 2x(x" - 8x2
- 9) = O => 2x(x2
- 9)(x=' + 1) = O ⇒
x = O, x = 3 ou x = - 3
Perceba que para xE(- oo, - 3) tem-se y' O, ou seja, y é crescente.
Para XE(Ü, 3) tem-se y' O, ou seja, y é cresçente.
Assim, conclui-se que - 3 e 3 são pontos de mínimo e O é ponto de máximo.
S b · · d t· - ,, l±3/ + (±3/ + 8.1 + { + 5 95 u st1tu1n o na unçao: Ymin = y(±.)) = 1 , = , = - = 0,95
((_3 J- + , >- (9+ rr 100
04) (EN-98) A função /(x.) = x.é' é decrescente no intervalo:
a)]l,+u:[ b)]-xi,1[ c)J-x,0[ d)]0,1::G[
Solução: Alternativa E
Derivando f: J''(x) = e
1
'+ x.e
1
'.(- x
1
2 ) = e
1 '(1 - ~)
t., 1 x -1 J l (x) 1-- -- xE O, 1
X X
e) ]O, 1 [
05) (EN-16) Um gerador de corrente direta tem uma força eletromotriz de E volts e
uma resistência interna de r ohms. E e r são constantes. Se R ohms é a resistência
. , . 1 , R h p . , . - p El R externa, 8 res1stenc18 tota e r + o ms e, se e 8 potencia. ent8o = , .
( r + R 1-
Sendo assim, qual é a resistência externa que consumirá o máximo de potência?
a) 2 r b) r + 1 c) r/2 d) r e) r( r + 3)
Solução: Alternativa D
Repare que, sendo E e r constantes, P é uma função de R.
~=P'=E" (r+ Rr - R('.!r ~R)=E" (r -R ) =O => R=r
dR (r+ R) .J (r+R)'
Para O O, que significa que nesse intervalo Pé crescente.
a
Par R> · , · · • . ·;:71Ô1i\%f:)
a ' ter~-se PAlternativa D
c) 2JabJ d) (lal + lblf e)2(a+b)2
1 1
a· b·
f(x)=--+-- ⇒
1 ,
sen· x cos- x
f'(x)= a
2
(- 2senx.1.:os x) + b2(-2cosx.( - senx))
-1 4 ⇒
f '( ) ") ( b~ a 2 ]. x =sen_x - . -_
1
- - --
cos x scn -1 •
sen x cos x
Assim, f'(x) = O ocorre cm duas situaçiics:
i) sen 2x = O 2 = k _ krc _ . .
⇒ x rc ⇒ x - 2 . que nao convem, pois a função não está
definida para esses arcos
.. b2 a 2 ,
) ~ a - l ·1 1
li - --1-- - -=0 ⇒ tn X=- ⇒ tg2x :=-'- ⇒
cu · x scn -1x "" · b2 ~ bl
sen 2 x I a i 2 1 a 1 1 b 1
, = - ⇒ sen x = --- ⇒ cos 2 x = -'-'--
scn 2 x Ia j
--,-=- ⇒
cos- x I h 1
1 - sen • x 1 ~ 1 1 a 1 + 1 b 1 • • 1 a j + 1 b /
Para _descobrir s_ e esse ponto é de máximo ou 111 ínimo é 11 e, ·ess,"i·,·c> -- . " analisar o cresc11nento de f(x).
(
~ q , 1
f'(x)=sen2x b e11 x-a·cos x J- l6 sen 2;,,; ( 2 .J , .i )
., ., - 1 b sen x - a - cos ;,,; ⇒
sen x co. ~ (sen 2x )
X - . - - tg X--f '( ) _ 16 b
1
( -1 a
2
)
(sen 2'X)" COS 2 X ~ b2
, 1 a 1
Para O i ~: tem-se f' > o (f
crescente), implicando que o ponto x tal que tg 2 x = i:: é um ponto de mínimo.
Portanto, o ponto de mínimo de f ocorre para :
f(.x). =~+~ a
1
(ia/+ j bl) b2 (j a J+ l bl)
1111n -, , ---'---'--..:...+----- =
sen - x cos- x I a 1 1 (1 l
=I ª 1 (1 ª 1 + 1 b 1 )+ 1 b 1 (1 a 1 + 1 b 1) = (1 a I + 1 b 1) 2
a
07) (JME/CG-1 O) Determine o valor máximo de f(x) = x3
- 3x, para XEA, onde A=
{xEIR/ x" -20x2 + 64 ~ O} .
Solução:
O primeiro passo é determinar o conjunto A.
x"-20x2 +64~0 ç:::;, (x1 -4)(x2 - 16)~0 ç:::;, (x-4)(x-2)(x+2)(x+4)~0 ⇒
XE[-4, - 2]u[2, 4]
Derivando f duas vezes
f'(x) = 3x2
- 3 ⇒ f"(x) = 6x
Note que para x E [- 4, - 2]u[2, 4] tem-se f '(x) > O, ou seja, fé crescente dentro de
cada um dos intervalos [- 4, - 2] e [2, 4]. Desta forma, o valor máximo de fé o maior
dentre t{- 2) e t{4).
Como f(- 2) = - 2 e f(4) = 52, então o valor máximo de t{x) é 52.
08) (IME/CG-23) Considere a função f(x) dada abaixo, onde x E IR. Encontre e
classifique seus pontos críticos.
Solução:
.1 .
X -- x = -loux=-
3
Note que antes de - 1 tem-se f ' > O (crescente) e dcp11is de - 1 tem-se f '
3 3
(crescente), ou seja, ~ é ponto de mínimo de r.
3
a
2.1 O. FUNÇÕES CÔNCAVAS E CONVEXAS
2.10.1. Definição: Seja f: A➔IR urna função
(1) fé uma função convexa em A se, para todos x, y E A, tem-se que
r(x;yJ::; f(x);r(yl _
(2) fé uma função côncava em A se, pnra todos x. y E A, tem-se que
f(x;yJ~ /'( x); r(y) _
Por exemplo, de acordo com essas definições tem-se que f(x) = x2 é uma função
convexa. De fato:
f( x+2yJ=(x+2yJ2= x2+24."'y+y·2 x2 2 ( ), 2 , ,, _, Y x-y - x y- f(x)+f(y)
--+-------'...,;_ O. pcsc1r dessa conclusão ter ido or igin ada de um exempl o.
devido ao fa ro que. numa fu nção corwexn, a linha do gráfico es t,i scmp1-e aba ixo do
segmento de reta que une dois pontos distintos, sempre ocorrerá que f'(x) é crescente,
implicando que f"(x) > O.
Utilizando um raciocínio análogo, é possível justificai· que numa função
côncava tem-se f"(x) O. pélra todo x real. então
I'(:,) = e' e uma funçàn Ci'111WX 8.
Por outro lado. analisando a função f: 1 R ' ➔ IR dada por f( x) = .J;: , segue que
1 1
f'(x) = , e f"(x) = - r, . Como x 2 O. para todo x do domín io d1.: f~ então se
2vx 4vx ·'
conclui que f''(x) O para todo XE(c, b] ou
(2) f"(x) > O para todo xE[a, e) e f"(x) O, fazendo com que fseja convexa para es~es valores
de x. Corno houve uma mudança de sinal de f em x = TI, segue que TI e ponto d~
inflexão de trx) = sen X. De fato, observando gráfico de trx) = sen x (O ~ x ~ 2TI) e
imediata a constatação do ponto de inflexão em x = TI.
u f - . ,,-o/tVidM§tttt
. .- ma unçao pode mudar sua concavidade sem que isso ocorra num ponto de
mtlexao. Isso ocorre. por exemplo, quando a concavidademuda antes e depois de
uma assíntota. Por exemp lo. na função g:[o. i)u( i· n] dadc1 por g(x) = tg x, a
função é convexa para x E [ o. ~) e l! é côncava P'll"a x E(~ rr] e I d n - ·
1 ~ e e , , • 017 LI O, - nao e
- 2 2
ponto de inflexão de g, até porque f não pertence do domínio da função . Pan.1 que
um ponto c seja ponto de inflexão de uma função g é necessário c pcl"lença ao
domínio de l! e que g"(c) ex ·st N J • n - · · - _ - 1 a. o caso e o exemplo dado. - nc10 snt1sf1:1z nenhuma
')
dessas duas condições: -
g(x) = t_g X ⇒ µ'(x) = S''C" .'" ⇒ .. ' _ ~ - - ., g (x) = 2.scc- x.tg x
De fato, g"(x) não esta definida para x = ~.
')
~ observação do gnifico de g(x) = tg xjustifica a mudança da concavidade sem
que exista ponto de inflexão.
5
- 4
o
- - ,-
- 3 __ _j_
,
. .
2.11. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Nesse tópico vamos aplicar tudo que já foi abordado nesse livro pra construir
o gratico de uma função. A construção do gratico depende da obtenção de
informações sobre o comportamento da função e é composto de várias etapas, a
saber:
( 1) Determinação do domínio máximo da função. caso não seja fornecido;
(2) Identificação dos pontos onde o gráfico cruza os eixos coordenados;
(3) Estudo do comportamento da função quando x tende a + .:r_, e - ,x-;
(4) Estudo da primeira derivada da função, identificando pontos críticos, regiões de
crescimento e decrescimento;
(5) Determinação dos máximos locais e globais da função, usando o teste da I"
derivada ou o teste da 2" derivada;
(6) Identificação dos intervalos onde a função é convexa ou côncava, bem como seus
pontos de inflexão, casos existam;
(7) Cálculo, se e:-,:istirem , das assintotas verticais , horizontai s ou oblíquas.
(8) Verificar se a função é par (simetria em reJação ao eixo y) ou ímpar (simetria em
relação à origem do plano cartesiano);
(9) Juntar todas as informações anteriores e desenhar o gráfico da função.
, , , . . . 2x 2 +1
Vamos apl 1car essas etapas pra construir o grafico da funçao t ( x) = --- :
(1) O domínio da função é IR- {O}
(2) Fazendo y = O ⇒ 2x2 + 1 = O, que não possui raiz real ⇒
o gráfico de f não cruza o eixo x
X
Como x = O não peIience do domínio de f, então o gráfico de f não cruza o eixo y
. 2x 2 +1 . 2x 2 +1
(3) 111n --- = +w e hm --- = -rn
X - >+ci... X X - >-,., X
4)
., 4x.x-(2x 2 +1).l 2x 2 -l , . d . ✓2
( t (x) = , =--,- ⇒ os pontos crit1cos e t são O e ±-
x· x· 2
Pelo sinal de f', se conclui que fé crescente para xE(-m,- ~]u[ ~ ,+oo J e fé
decrescente para XE [-1; ,O}-{ O, 1;]
✓2 . ✓2 O . ✓2 , ' . 1 l
(5)sex 0ese-- - ⇒ > : - e maxI1110 oca
') , ,
- -
(6)f"() 4x.x
3
-(2x
2
-1).2x 2
x = 4 = ~ ⇒ f" O ⇒
X XJ
fé côncava para x O
Devido à tendência ao infinito fnão tem máximo global nem mínimo global
. 2x 2 + 1 7x 2 + 1
(7) lim --- = - 00 e lim ---- = +oo ⇒ há assíntota vertical em x = O
x->0- X ,-,O X
Do resultado de (3) não há assintota horizontal
. f(x) . 2x 2 + 1 . 2x 2 -'- i J
lim --= l,m - -,-= 2c lim f(x)-2x:c.c l1m --- -2x = lim -=0 ⇒
X-4±00 X X➔ ±·r.. x- X-+~·r.- X--\±~r. X '\;->±·r X
ftem uma assintota oblíqua em y = :?.x
(&)f( ·)-2(- x)~+I 2x2 +1
-x - = - --- = -f(x) ⇒ fé írn11:ir ⇒
-X X
o gráfico de fé simétrico em rel #iVWIM,M&bl
Ol)(EN ?J)S" f' - f • . 2x
2
-2x+I . -- eJa a unçao definida por t (x) = - ---- assinale o ponto de
2
1 ,
x-
inflexão do gráfico da função .
a)(3/2, 5/9) b) (l, 1/2) c)(l/2, l) d) (3/2, 5/8) e) (- 1, 5/2)
Solução: Alternativa A
f'(x) = (4 x -2)2x ~ -(2x
2
- _ • + 1)4x = ;w!' -4x 2 -JW!' +8x 2 -4x _ x-1
➔ ---
➔X 4x 4 x3
l 3 ( l ), 2 - , f"(x)= .x - x- .JX = -2xJ+3x- = -2x+3
x'' x 6 x4
O ~onto ~e infl~xão oc?rr_e quando é alterado o sinal de f"(x), ou seja, x = 3/2 é ponto
de mtlexao de f. S_ubst1tu111do x = 3/2 na expressão da função obtém-se tt]/2) = 5/9.
Logo, o ponto de inflexão de fé (3/2, 5/9)
02) EN-17) Assinale a opção que representa o intervalo onde a função f de variável
real, definida por f x = :ce"', é côncava para cima. '
a)(--- - 1[ b)]-L +~[ c)[-1,+co[
d) ]-co,- l[ e)]- 1/2, + co[
Solução: Alternativa B
f'(x) = e2
' + x.e2 '.2 = e2
' + 2xe2
'
f"(x) = 2e2
' + 2( e2
' + 2xe2
') = 4e2' + 4xe2' = 4e2'( 1 + x)
Como e
2
' > O, f"(x) > O se 1 + x > O, que é equivalente a x E]- 1, + oo[
03) (IME-60) Dada a função y = ✓Itt _ _!_, dar:
X
a) O campo de definição da função.
b) Os intervalos em que é crescente.
c) A concavidade da curva no intervalo 3 $ x $ 4.
Solução:
a) Pra determinar o domínio da função deve-se impor:
i) l + X 2': 0 ⇒ X 2': - 1
ii) X ;é Ü
Assim, o domínio é [- 1, O) u (O,+ co)
b)y'= I +__I,.=x 2 + 2✓x+J
2✓x+l x- 2x-Jx+i
Como x2
> O e ✓x+l 2': O, segue que y' > O para todo x do domínio.
li
Como há uma assíntota em x = O, lim y = +oo e lim y = -co, mesmo que y' > O, a
x ➔O- x--.o+
função decresce quando passa do intervalo [- l, O) para o intervalo (O, + ::r..). Por
exemplo,f(-1)= l > ✓2-1 =f(l).
Assim, o correto é afirmar que y é crescente para x E [- 1, O) e também crescente
para x E (0, + oo), mas não é crescente em todo o seu domínio.
c) Calculando a segunda derivada de y obtém-se y" = h- 2
, .
4 X+] Xº
Como y" ±, x- -1
. x1 +l . x1 + 1
11111 -
1
- = -oo e lim -
1
- = +co
,➔ ±1 x- -1 , ➔±1+ x- -1
⇒ y tem assíntotas vetiicais em x = ± 1
d) Falsa
Conforme o cálculo do item b a função é côncava para x E(- l, 1)
e) Falsa
A função não está definida para x = ± 1.
a
CIJJJ/111/o 2. Dlld1nltla
lnx
05) Qual dos seguintes gráficos representa melhor a função f(x) = - ?
a)
Solução: Alternativa D
D(t) =(O, + oo)
b)
e)
f(x) = O ⇒ x = 1 é raiz de f
e)
. lnx -oo h' , · 1 o lim - = - = -oo ⇒ a uma assintota vert1ca em y =
,-,O" X Ü
X
ln x d , • 1 • d • Pra calcular lim - vamos usar a regra e L·Hop1ta, que sera apresenta a mais
x----,,+w X
adiante nesse capítulo:
. lnx . (lnx)' . l
11111 -= 11111 --= 11111 X= lim -=O ⇒ assíntota-horizontal em x = O
x ➔ +:-J'J x x➔+:1_, (x) 1 X ➔-ta.: 1 x ➔+:r; x
l
-., -lnx. l 1-lnx
f'(x)= X '.2 o x-
⇒ x = e é ponto crítico e f'(x) > O (f crescente) pra
XE(- oo, e) e f'(x) O
(f convexa) para XE(O, e312) e f "(x) : j + X - X -->±>O 2_ + X
⇒ há uma assíntota horizontal em y = O
X
1
1
' l-x
2
y '= +x -x.-x = --- ⇒ y ' = Opara x=± 1
(l+x 2 )2 (l+x 2 )2
y"= - 2x(l +x 1
)
2 -( I - x 2 )(4x+2xj) = -2x-4x.1-2x5 -4x+2x 3 +2x5 = -2x (x 2 - 2)
(l +x 1
)"
1 (l + x 2
/ (1+x 2)4
y"( 1) O ⇒ - 1 é ponto de mínimo
y" = Ü ~ X = Ü OU X = ✓2 OU X = -✓2
Como há mudança no sinal de y" nesses pontos, então x = O, x = ✓2 e x = -✓2 são
pontos de inflexão de y.
y"(x) > O (função convexa) para XE(-oo, -✓2 )u(O, ✓2)
y"(x)dt dt 300
05) O tronco de urna árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de
l /4 cm /ano e sua altura cresce à razão de l m/ano. Determine a taxa de variação do
volume do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura é 50 m.
Solução:
Sabe-se que o volume de um cilindro é V= m·:h.
Derivando no tempo: - = n 2rh - + r- -. dV ( dr -, dh J
dt dt dt
. / 2.dr 1 / dh O / b . Substituindo r = 3 2 cm. h = 5000 cm, - = - cm ano e - = 1 O cm ano o tem-
• dt 4 dt
dhV ,
se -- = 21 OOn cm /ano
c\t
06) Uma luz está no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste
em linha reta à razão de 1,2 rn /s. A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra?
Solução:
"ili
Por semelhança de triângulos :
_ Y_ = .!::!._=-2._ ⇒ 8y = 25y - 25x ⇒
y-x h 1,6
25x = 17y ⇒
25 . 1, 2 = 1 7 dy
dt
25 dx = 17 dy ⇒
dt dt
⇒ dy =1,76 rn /s
dt
C6JJ/161112. Dflllvlt6
2.13. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Até agora, nesse capítulo, foram apresentadas várias aplicações da derivada,
porém, à exceção da determinação do coeficiente angular da reta tangente à uma
curva (aplicação em geometria analítica), as demais aplicações são todas dentro do
próprio cálculo, como máximos e mínimos de funções e limites (regra de L 'Hopital,
... ). Entretanto, é possível aplicar derivada em outras áreas da matemática, gerando
soluções alternativas.
2. 13. l. Polinômios
É possível aplicar derívada em funções polinomiais, além da determinação dos
máximos e mínimos da função. em situações que envolvam o estudo das raízes de
uma função pol inomi.al e também na análise da igualdade de polinômi os de grau
relativamente altos. Acompanha os teoremas a seguir, suas demonstrações e
aplicações de derivadas em polinômios.
2.13. l. l. Teorema: Se o número complexo a é raiz de multiplicidade n do polinômio
P(x) então a é raiz de multiplicidade n - 1 de P'(x).
Demonstração:
a é raiz de multiplicidade n de P(x) ~ P(x) = (x - a)"Q(x) ⇒
P'(x) = 11(x - a) 11
-
1Q(x) + (x - a)"Q'(x) = (x - a)"- 1[11Q(x) + (x - a)Q'(x)] ~
(x - 0:)11
-
1
1 P'(x) ~ a é raiz de multiplicidade 11 - 1 de P'(x)
2.13.1.2. Teorema: Se aEC é raiz do p >linõmio P(x) e a é raiz de multiplicidade
11 - l de P'(x ). ~ntào a é raiz de multiplicidade 11 de P(x).
Demonstração:
a é raiz de multiplicidade n - 1 de P'(x) ⇒ P'(x) = (x - a)"- 1Q1(x) ⇒
P(x) = (x - c.1.) 11Q2(x) + k, onde k E e ( 1)
Como a é raiz de P(x) então P(a) = O
Substituindo x = a em ( 1) segue que k = O ⇒ (x - a)" j P(x) ⇒
a é raiz de multiplicidade n de P(x)
Por exemplo, é possível aplicar esse último teorema de modo a provar que o
polinômio p(x = x2
" - nx11
+
1 + nx11
-
1 - 1 é divisível por (x - 1)2, para todo n inteiro
positivo . Inicialmente, observe que l é raiz de p(x).
De fato: p( 1) = 1 - n + n - 1 = O.
Derivandop(x): p'(x)=211x211
-
1-n(n+ l)x 11 +11(n- l)x11
-
2
Substituindo x = 1 em p'(x) : p'(l) = 2n - n2 - n + n2
- n = O ⇒
1 é raiz de p'(x) ⇒ I é raiz dupla de p(x) ⇒ (x - 1)21 p(x)
e111fDIJo 2. 111r111111
2.13.1.3. Teorema: Se P(x) é um polinômio de grau n > 1 de modo que os números
reais a1- x~ for máximo.
f'(x) = 8R::x - 4x' = O ⇒ x = O (não convém) ou x = ✓2R
f"(x)=8R 2 -12x2 ⇒ f"(✓2R)=-16R 2 0 ⇒ le-lsãopontosdemínimo
x4
Logo, há dois pontos da hipérbole que estão mais próximos da origem do plano
cai1es iano, a saber: (l, 1) e (- 1, - 1)
Acompanhe os exercícios resolvidos pra entender melhor as aplicações de
derivadas em outras áreas da matemática.
e,xercícfos ~esolvidos_,
01) (EN-98) A relação entre os coeficientes b e c para que a equação X3 + bx +e= O
possua duas raízes iguais é:
a)4b3 +27c2 =0 b)b3 +c2 =0
c)2b3 +3c2 =0 d}b3 +c2 =0
e)3b=c
Solução: Alternativa A
Derivando: p'(x) = 3x" + b
Suponha quer seja raiz dupla de p(x) = x3 + bx + c.
Desta forma, ré raiz de p'(x), ou seja, p'(r) = O ⇒ 3r2 + b = O ⇒ r = ±H
p(c) = O ⇒ ( ±HJ +b( ±H)+c = O ": ,±J- b: +J- l~ +e= o ⇒
elevando no
⇒
quad, adu
4 bJ 2 -- = e
27
⇒ 4b3 + 27c" = O
111
::,':,;::,'e t\x) = li " ,)" = e; H': ], +(;),' +(; }' +[: )x' + -(: ]x"
Derivando: f'(x)=n(l+x)" -
1
=l
1
~)+ 2(~Jx+3(;)x
2
+4(:)x
3
+, •• -n(:~ )x "-1
Multiplicando por x: _
xr '(x) = nx( 1 + x)"-
1
= e J x + 2 l ~ J x
2
+ 3(
1
; J x" + 4(: Jx ~ + ••• + 11 l ~ jx"
Derivando mais uma vez:
11-I j )11 - 2 f'(x)+xf"(x)=n(l+x) +n(n-l)x( +x =
= l2(~) +22 ( ~ J x+J
2(;)x 2
+4
2
( : J x
3
+ ••• +' n
2
(:)x"
1
Substituindox=5: n.611 - 1 +n(n-l).S .611
· , S ⇒ S=5.n.611
-
2 .(6 + 5n-5) ⇒
5
S = 5.n.(Sn + 1).611
-
2
4n
03) (ITA-10) Se os números reais a e B, com a+ B =-:;- O~a~~. maximizam a
,)
soma sen a. + sen B, então a é igual a.
a) rr.✓3 b) 2n c) 3n d) 5n
3 3 5 8
Solução: Alternativa B
• ( 4rc ) SeJa f(a)=scna+scn 1 -a
f '(a) = cos a - cos (
4
; - a ) = O ⇒ cos a = cos ( 4
3
n - a )
4n 2n
i) a=--a ⇒ a=-
3 3
4n 4n
ii) -a= 3 - a. ⇒ O== 3 (absurdo)
f"(u.)=-sena.-sen (
4
3
n-a. J ⇒ f"(
2
3
n ) = -vG(2x + 1) = 3(1 + x)2q(x) + (1 + x)'q"(x) + 2ax + b
Fazendo x = - 1: - 2a + b = - 40
Derivando novamente: -W.39( 1 X+ x2 •1s(2x + 1 )2 + -Hl( 1 X + x2)").2 =
=6( 1 +x)q(x)+ 3{1 -'- xf q '( x) + J(l +xf q·(x)+ (l +x)'q"(x)+2a
Aplicando x = - l obtém-se a = 820 ⇒ b = 2a - 40 = 1600
Finalmente: c = 1 - a + b = 1 - 820 + 1600 = 781
05) (IME-08) Considere todos os pontos de coordenadas (x, y) que pertençam à
circunferênc ia de equação x2 + y2 - 6x - 6y + 14 = O. Determine o maior valor
possível de 2'.. _
X
Solução:
Parametrizando esta circunferência temos que:
x = 2.cos 8 + 3 e y = 2.sen 8 + 3 ⇒
(
, X - 3 ) : ( y - 3 )~
-- + -- = I
2 2
y 2.sen8 + 3
= ----
x 2.cos0+ 3
D • d 8 d(y/x) (2.cos8)(2.cos8+3)-(-2sen8)(2.sen8+3)
envan o em : ---= - - --- --- - --::--- - ----
d0 (2.cos0+3)2 ⇒
d(y / x) 6.cos0+6.sen8+4
--- ;;. - - - ----=--
d8 (2.cos8 + 3/
De modo que y/x seja máximo a derivada acima tem que valer zero :
J
6.cos0+6.sen0+4=0 ⇒ scn0+cos(-)=-::.. ⇒
3
, , 4 5
sen- 8 + 2.sen 0.cos 0 + cos- (➔ = - ⇒ sen 2(-) = --
9 9
~ J9±2,114 sen8=±y18 e cos8 = ±
18
2✓14
⇒ cos20=±-- ⇒
9
De modo que y/x seja máximo deve-se minimizar o denominador:
Logo: (rJ
X lll ílX
2~+3 t,"";"
~-- 18 9+2v14
- ----a== ===---= - --
-2/9 ~\ 2;4 + 3
5
a
06) Qual é maior, e" ou rr 2?
Solução:
_ ln x
Considere a função t{O, + Y) )➔ IR dada por t ( x) = -
X
1
.. x - ln x. l 1 - ln x
f'(x) = x = --
1
- = O ⇒ x = e é ponto crítico de f
x1 x-
Além disso, f'(x) > O, ou seja fcrescente, praxe(- ::D, e) e f'(x) 1 e ⇒ e" > rrº t{e) > t{rr) ⇒ ->- ⇒ rr. ne>c. nrr ⇒ ne nrr
e rr
07) (Olimpíada lberoamericana-90) Seja t{x) um polinômio ~e grau ~ c?m
coeficientes racionais. Provar que se o gráfico de fé tangente ao eixo x, entao f(x)
tem suas 3 raízes racionais.
Solução:
Se um polinômio f de grau 3 tangencia o eixo x então existe t racional de modo que
t é raiz dupla de f: f(x) = k(x - t)"(x - s), onde k, te s são racionais
Sabe-se que se t é raiz dupla de f então t é raiz de f': f'(x) = k(x - t)(x - u), u E Q
Dividindo fpor f ':
f(x) = f'(x).q(x) + r(x) ⇒ k(x - t)"(x - s) = k(x - t)(x - u)(x - v) + ax + b,
onde v, a e b silo racionais
a
Substituindox=t: O=at+b ⇒ t=--E ~l
b
Como os coeficientes são racionais, então a soma das raízes é racional:
2t+seQ ⇒ se Q
08) Deseja-se fabricar um recipiente cilíndrico de volume igual a 27rr m3
. Em ambas
as tampas, será utilizado um material que custa R$ 4,00 o metro quadrado e 110
restante , isto é, na superf1cie lateral , um makrial que custa RS 1,00 o metro quadrado .
Para que o custo seja o menor possível. a área da superfície latt:ral deve ser igual a
a) 14rrrn2 b)3(mrn 2 c)5-hm2 d)72rrrn 2 e)90rrrn 2
Solução: Alternativa B
Sejam r o raio da base do ci I indro e h sua altura.
, 1 27 V = m 2h ⇒ 27rr = rrr-11 ⇒ 1 =----:,
r-
O custo de produção do recipiente:
, , 27 ( 2 27) C = 4.2m- + l .2mh = 8m- + 2m? = 2rr 4r + -
r· r
C
1
=2n(sr-
27)=o ⇒ 8r=
27 ⇒
r r
r3 = 27
8
ltiP1:11ittf&f).
3
⇒ r=- ⇒ h=l2
2
C" = 2n( 8 + ;
1
~ J ⇒ e(%)> o ⇒ 3 ' d , • d C r = - e ponto e m 1n 1111 o e
2
SL = 2mh = 36rr m"
09) (IME-67) De u111 ponto Q(0. '1) traçam-se as tangentes à curva de equação y =
2 - x\ que interceptllm a reta y = O nos pontos A e 8. Pede-se determinar y I de modo
que a área do triângulo QA8 seja mínim a.
So lu ção:
o
Pela simetria, pode-se afirmar que A(a, O) e
8(- a, O), Se r é uma reta que passa pelo
ponto Q(0. y1) ⇒ r: y- y1 = mx
Interseção entre r e a parábola:
Íy=2-x 2
,
⇒ 2 - x- = )'1 + mx ⇒
·1y=y1+mx
X:+ mx + )'1 - 2 = Ü
11 = lll: - 4(y1 - 2) = ITI: - 4y1 + 8
01110 a reta é tange111e á parábola:
6=0 ⇒ m=±2Jy1-2 ⇒ m,\()= - 2Jy1- 2 e111
110
=2Jy
1
- 2
N t . _ 2 ~_Y1 o e que. 111 80 - vY1 -"" --
a
8 4(y1-2)=y1 ⇒ 3y1=8 ⇒ Y1=-:;-
⇒
_)
É possível provar que 8/J é ponto de mín imo ana lisando o si nal de segunda derivada.
porém es a conclusão e imediata pelo fato de n área assumir um va lor mínimo e não
ãssumir valo r nuix imo (q uando )' 1 ➔ 2' !em-se que Sr_i,1 11 -> + :r.,).
10) (!ME-70) De um disco de raio R = 1/2rr retire um setor cujo arco é x. Com o
restante do disco forme um cone, Calcule o valor de x para que o volume do cone
seja máximo,
a) l-✓2/3 b)4 c) 1+✓2/3
d) rr/6 e 2rr + 2 e) nda
Solução: Alternativa A
esfl1lla1. J/8Jlv,t6
Como O compritm:nlo da circunl~rência é C ~ 2rrR = 1, tira_ndo um
comprimento x O comprimento da circunferência da base do cone e 1 - x.
1-x
Ser é o raio da base do cone: 2rrr = 1 - x ⇒ r = h
A geratrizdo cone será igual ao raio do setor circular: g = R = l /2rr
1 12 (l - x)1
' h' º + ⇒ Assim, a altura do cone vale: g- = - + r- ⇒
4
n2 = 1
4
7t ,
24rr2
(l-x)[-2(2x-x 2 )+1-2x+x 2 ]=0 ⇒ -4x+2x"+ 1-2x+x"=0 ⇒
, _c, ± ✓36 - 12_ +-54= 1+ {I
Jx- - 6x + 1 = O ⇒ x -
6
- 1-
6
- '{3
Corno x a
S 1• f '( X . , _ . f ( X ) . f '( 3 )
e 1111 -- existe ou e± w , entao /Jm -- = /Jm - · - .
X->a g '( X) X->ag( X) X- >n!,!'(a)
Observações:
(1) A regra 2 é válida se trocarmos x➔a por x➔a • ou x➔a- ou x➔±,fJ.
• j'
1
( X ) , , , , () ±x .
(2) Caso l1m - ,- resulte numa 111dcter1111naçao do tipo - ou - e ns demais
x->ag(x) O = ,:;
condições de aplicaçilo s~j,1 m mi. l~iln . é possívd aplicar novmncnte n regrn de
L'TT • 1 l 1· f(x) ' f"(n) l""(ul ·
- op1ta e o Jter 1111 -- = l1m -- . Célso - - ex1stél. Esse processo pode
x- ,a g( x) ~- :1g''(a) g"(a)
• d • d d d • • l d · . f 1
"
1(a) seguir pra enva as e or em supenor. ate o Jter umél envada em que 11111 - --
exista ou seja igual a ±cr..
Demonstração:
.,-•n g (n I a
Vamos apresentar aqui apenas a demonstração da regra 1. A demonstração da
regra 2 necess ita de conce itos que fogem do objetivo desse livro, que são os
concursos mi litares.
Corno f(a) = g(a) = O:
f(x)-f(a)
I • t'(x )
1
• C(x)-Í\;1)
1
. x-a f'(a )
1111 - - == 1m --- - = 1111 --- - -,-- = --
,--,a g( x) x-,ag(x)-g(a) ,_,a ~(x)-_g( a ) g'(a)
x-a
Por exem pio, no capítulo de I imites vou necessário usar o teorema do valor
. scn x
intermediário pra demonstrar o limite fundamental trigonométrico: !~~
1
-x- = 1.
Usando a regra de L' l--lopital, a demonstração de_sse resulta~o é_ extremame1~e
simples . Inicialmente deve-se verificar que as condições d~ aplica?ª? d~ regr~ ~ao
satisfeitas. De fato, fazendo f(x) = sen x e g(x) = x, tem-se t e g denvave1s em x - O
. i' "t O) . . .
(note que f ' (x) = cos x e g'(x) = 1 ), t(O) = g(O) = O e g '(O) existe. Portanto.
lim sen x = f'(ü) = cosü = 1
, - ,o X g'(O) l
Mas esse não é exatamente o tipo de limite que necessite da aplicaç~o da '.·egr~
de L'Hopital , até porque é um dos limites fundamentais. A regra de L Hop1tal e
e' -1 ..
especialmente útil pra resolver limites do tipo lim -- . ln1c1almente, repare que as
, ,u sen x
condições de aplicação e.la regra c.lc L • Hopilal ':-ião satisCeitas. Deslc modo, fazendo
t(x) = e' - 1 e g(x) = sen x, tem-se que f'(x) = e' e g'(x) = cos x:
. c'-1 f'(O) e0
[1111 -- = -- = -- = 1
,-,o sen x g'(O) cosO
Pra tinalizar esse tópico, vamos aplicar c1 regra de L'HopiLal para calcular
' +oo h !• .: Note c1ue h{1 uma indeterminação do tipo - . Supon a que 1111 - , • + CIJ
, --,+J.• ~- J - -1-:c + (ix - 1
r'( x) .
f(x) = e' e .!!.(X) = x' - 4xc + 6x - 1. Repare que lim -- ainda gera uma
- ' ,;.., g'(x)
indeterminação do tipo +w e satisfaz as condições parn continuar a aplicar a regra
+m
de L'Hopital. Na verdade, a indeterminação só de~aparece na 3" derivada de f e g,
onde f'"(x) = e' e g'"(x) = 6. Portanto, poc.lemos afirmar que
e' . f "'( x) . e·'
lirn _ , = 11111 - - == lirn -=+co
X-> W.• ,x' - 4:-c+úx -l X-->ng'"(x ) X---Hz 6
A re!!.ra de L'HopiLal é uma ferramenta muito poderosa na dcLerminaçào d_e
limites que~nào podem ser calculados pelos meios trad!cionais . Aco111panhe a seguir
os exercícios resolvidos pra entender 111elhor como aplicar essa regra.
ê,xerdc-ios ~esolv-idos
ln x 01) Calcule o valo1· de lim --,----
Híl tg(;-x )
Solução:
-cr.;
Temos claramente uma indeterminação do tipo - e todas as condições para a
+w
aplicação da regra de L'Hopital são satisfeitas . Se f(x) = ln x e g(x) = tg( f- x J:
cos
2
( rr_x J
Iim ln x = lim f'(x) = lim x = lim - 2
x->O' (rr ) ,_,n e'(x) ,-,o ' 2 ( rr ) ,-,o· tg - - X ~ - SCC - X
2 2
X
Agora há uma indeterminação do tipo Q. Aplicando novamente a regra de L 'Hopital: o
2cos ( rr -x Jscn( -rr -xJ
lim lnx = lim f"(x) = lim - 2 2 =0
,-,o· (rr J ,-,o- g"(x') ,-,o· 1 tg --x
2
. an: tg(Jx2)
02) O valor de l1m , é
,-,o ln( 1 + x·)
a)O b) 1 c)2 d)3 e)+•~
Solução: Alternativa O
Como há uma indeterminação do tipo*· é possível aplicar a regra de L 'Hopital :
Fazendo f(x) = are tg 3x 2 e g(x) = ln (1 + x2)
'
. are tg(3x ~)
Im ,
,-,o ln( l + x-)
. rrx) . r'( x ) .
l1m-- = l1m-- = l1m
x-► 0 g( X) ,-,O g '(X) x-► íl
6/
1 + 9x 1
2/
(l+x1)c
6
=-=3 -,
- 2 + 2coé x
03)(EFOMM-95) O valor de !~~t ,J _ x~ é:
(A)-2 (B)-1 (C) O (D) 1 (E) 2
Solução: Alternativa E
. o
Claramente há uma indeterminação do tipo 0.
Fazendo t{x) = _ 2 + 2cos2 x e g(x) = x' - x\ pode-se aplicar a regra de L'Hopital.
• • 1 r(·) r '(x ) . ---4·o·x. ·cnx . -2sen2x
• -2 + 2 L:Oli X = 1 • ~ = 1 i 111 -- = IJ lll o = IJ117 .... 2
lim , -, imo , ·) u,, '(,· ) ,-,u ".)x · -'1x x->O.) x -2 x➔ Ü ,x· -x - x➔ g,x '.\ ➔ :=i ~, • . - ·
. o
Mais uma vez apareceu uma indeterminação do tipo
0
.
Aplicando a regra de L'HopiLal mais uma vez:
. - 2scn2x . (-2-scn2 x)' _
I
. - -li.:us2x =-4=
2 IJ171 --::---- = IJ117 ' ' - llll -2
,-,u3x 2 -2x ,-,o px--2x) ,-,u 6x - 2
111 2
04) Calcule lim x 1' 111 '.
X ► +'l_
Solução: · d 1· · •
• ,· I • b e ·=eI11 ' Apl1can 0110 11rnte. Das propriedades de exponene1a se sa e qu x .
ln2 1112 1112, lnx
X i~inx = ( e''" )l+ln~ = e l+lnx
Usando a continuidade da função exponencial:
1112 ln~.111_, li111~1_2_.~1x . . - +oo
]• 1+111, 1· cl+lnx -e•-•-•l+ln, ondeháuma111determ1naçao-. 1111 X • = 1111 - ' +oo
X ➔ -l 'l.1 X ➔ ---l-!Z'
Faze~do t(x) = ln 2.ln x e g(x) = 1 + ln x, pela regra de L'Hopital:
1
ln 1. ln x
lim ---
X->+"' 1 + ln x
ln 2.-
. f '(X) I' X ] ?
11111 -- = 1111 -- = 11 -
X->+", g '(X) X ~ :,e 1
X
ln 2 111 2.111 X ln 2.111 x
Assim: lim xl+l11, = lim e l+lnx
lim ------- 1 .,
=e·-•-• l+l11, =e"- =2
05) (IME/CG-05) A função g(x) possui derivadc1 g'(x) pc1rn todo x 1·eal e satisfaz as ~
seguintes equações:
g'(0) = 2
g(x y) = el g(x ~ e' g(y) para quai. quer x e y m1is.
a) lostrc que g(2x = 2e' g('x) e cncontTC' uma fórmula similm· para g(3x).
b Genera lize o resuilado do item anlcrio1·, encontrando u1m1 fórmula pnra g(nx) em
função de g(x). vúlid~ para 111do in teirn positivo n. Demonstre essa fi'i rmula por
ind ução matem~tit:a.
"( h) c) Mostre que g(0) = O e calcule lim .!2.___ .
h-,0 h
Solução:
a) y = x ⇒ g(2x) = 2e'g(x)
y = 2x ⇒ g(3x) == e2' g(x) + e g(2x) = e2'g(x) + 2e2'g(x) = 3e2'g(x)
b) Vamos provar, por indução,que g(nx) = ne111 1l'g(x)
y = nx ⇒ g((n + 1 )x) = e'"g(x) + e'ne1"- 11'g(x) = (n + 1 )e'"g(x)
c) Fazendo x = y = O: g(0) = g(0) + g(0) ⇒ g(0) == O
P b 1
. g(h) . . O
erce a que 11n -- e o tipo-.
1,--,0 h O
Aplicando a regra de L'Hopital: lim g(h) = lim g'(h) == g'(O) == 2
h ➔O h h ➔O 1
06) (IME/CG-23) Determine o valor do seguinte limite lirn (e' + 4 /x)·
,--,a, e' + 5 / X
Solução:
O I imite proposto é o tipo 0/0 e satisfaz as condições para a aplicação da regra de
L'Hopital:
. e· +4 / x . x.ex +4 . (x.e+4)' . c~+ x.c'
hm --- == hm - - - == hm ---- == hm --- == 1
X--->occ~+ 5 / X ,--,,: ' .C ~ .l.) , ➔ z(X.C~+5)' ,➔>:e ' +X .CX
l6/lit.i112. 0811V61/I :
{!'o , •
~xerc1c1os , ... --,
fJroposros ,;....
01) (EN-98) A derivada da função t{x) = are tg(l/x) é:
x2 I -1 - 1
a)-,- b)--
0
e)-- d) , ,
x-+J l+x- l+x 2
. -(]+x-)
1
e) -
X
.1.x . e
02) (EFOMM-94) A derivada primeira da função f ( x) == 9 · l3 sen x - cos x) tem a
seguinte expressão:
(A) eh •(rnsx+st:nx)
10 -t'. ;, -si;:nx
(D) -·- --
l l
,/ ' · l:US;I:
(1:3) - --
J
' t'
tE)-~- ·scn x
03) (EN-89) Se t~x) = tg' 2x podemos atirmar que f'(rr/6) é igual a:
a) O b) 72 e) 144 d) 96 e) 2 4
04) (EN-90) A derivada da função ftx) = x / e' é:
1-x
a)f'(x)= 1/e' b)f'(x)=-.
e'
X
d) f '(x) = ~
e-
c)f'(x)=x+ 1/ec'
x-1
e) f '(x) = -,
e·
l O -05) (EFOMM-95) As equações das retas tangentes à curva y-2x+-;== que sao
paralelas à reta y - 3x + 1 = O são:
(A)y+3x+2==0 e y-3x-2==0
(C) y-3.x + 2 = O e y + 3x - 2 = O
(E) y-3x-2=0 e y+3x-2=0
(B)y-3x+2=0 e y-3x-2==0
(D)y+3x+2=0 e y+3x-2==0
06) (EFOMM-94) A razão da função f(x) == a 2 para a sua derivada de ordem n é:
(A) 2" -!na (8) T" ·lna" (C) 211 ·(lnar"
(D) 2"- 1 -lna (E) 211 -ln(a·n)
. 1iW11M,hfíff, .•
07) (EN~98) Con~1~ere_~- a reta tange'.lte ao gráfico da função y = f(x) 110 ponto ( J,
.f(I )). Se.1am/( 1) - J ej ( 1) = 2. Ser 111tercepta o gráfico da função g(x) = x2 _ Jx +
7 nos pontos (x1, Y1) e (xc, Y2) então os valores de y1 e y2 são respectivamente:
a)le2 b)2e3 c).3e5 cl)5c7 c)7e9
08) (EN-98) Seja y = x' - 3x + 5, onde x = g(t) . g'(2) = 3 e g(2) ,~ 4. A derivada de
y no ponto t = 2 é:
a)9 b)27 c)45 d)90 e)l35
09) (EFOMM-96) A derivada da função f( x) - ' cosscc x - st.:11" 1 1
- , ca cu ada no
SCC X - co:, X
n
ponto x == -- resulta :
3
(A)l (8) 2-Jj
3
(C) _::
3
(E)-~
3
,2 2
1 O) (EN-00) A reta tangente à curva de equação ~ + Y
25 9
é dada por
(A) 20y + 9x = 75
(D) 20y - 9x = 45
(8) 5y - 5x = 3 (C) 5y + l 5x = 51
(E) y- 5x = 75
1 nopontoP (3,
1
5
2
)
11) (EN-O 1) A derivada de 2" ordem da função real f(x)=✓x rn x em x = 1 é
(A) -J (8) O (C) __!_ (D) 1
4 4
12) (EFOMM-19) Considere a função f(x) == 1 + cos(2✓x) . Cal cu /e a derivada de
fi( ·) I _ , . df(x) x em re açao a x. ou se1a. --.
• dx
a) df(x) = sen(2✓x) b) df(x) _ -cos(2✓x)
dx ✓x dx - 2✓x
c) df{x) == -sen(2x
0
•
5
) d) clf (x) = cos(2xº·5 )
dx ✓x dx .[;
e) df(x) = l - 2J;. sen(2✓x)
dx
a
,b%Ml,btffiil
13) (EN-02) Sejam fe g funções definidas em IR e deriváveis em x = O tais que f(0)
== 3, f '(O)= 4, g(O) = 1 e g'(ü) = -1. Então (
2
/ :: Jco) é igual a:
a)21 /6 b)7/5 c)-21 /4 d)-21/2 •
1 ' d f-14) (EFOMM-96) Sabendo que f(x)=(:c-lt e g(x) = x·lnx, po emos a 1rmar
que :
1. f'(l) = O
11 . g '( 2) = ln 2
III . f '( 1) == g "( _!_) = -2
2
1 V . f '( l) == f "( -1)
V. g'(2)=g"(2)
(A) Somente a I é correta.
(C) III e V são corretas.
(E) Todas são corretas.
(8) I, _II e IV são corretas.
(D) 1: III e IV são corretas.
15) (EFOMM-19) Considere a função real f(x)=scn(2x 2 )+cos(2✓x). Calcule a
• df(x) A • 1 CORRETA derivada de f(x) em relação a x, ou seJa, - - . ssma e a resposta .
dx
dflx) .., 1 sen(2✓x)
a) -- =4xcos(~x-)----=,---
dx .J;_
b)
df(x)
4
(2 ") cosl2../i.)
--= XCOS X + - --'----==--
dx 2.J;.
df (x
2 2 (
2 2) sen(_f;.)
e) - - = x sen x r
tlx ~X
d)
df(x) ? 2) sen(✓x )
- - =sen(-x
tlx ,h
df" (.x) , r
e)-- =cos(2x-)-sen(2vx)
dx
16) (EN-99) A retas passa pelo ponto (3, O) e é normal ao gráfico de t{x) = x2 no
ponto P(x, y). As coordenadas de x e y de P, são, respectivamente,
1 1 1 1 5 '.:'.5
,1)2e4 b)-e- c)lel d)-e- e)-e-
2 4 3 lJ 2 4
17) (EFOMM-17) A equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = yrn' no
ponto x = O é:
a) y = (ln S)x + 1
d) y = x + 1
b)y=(-ln5)x-l
e) y = - X+ 1
e) y = Sx + 1
18) (EFOMM-18) Seja C = [a1 . a~. a3_ .... anJ com a, ~ íl ~ :2: a3 :2: ... :2: a,,, o conjunto
d , d - ltl '4 5 . as n ra1zes a equaçao: - .-(x · - ) -,------:- - 4(x+l)+4x. Deter1111ne o
.1. dx t -x 2) - 1
valor de a;' +a~ +a~ + ... +.i ::.
a)- 5 6)7 e) 25 d) 36 e) 37
19) Seja ruma função derivável cujo gr..í fico co nté111 o ponto ( 1. 1 ). Sabendo que
1
. xf' X) - ) .
1m ---• a equação da reta tangente ao gr:i f 1to de f e111 ( 1. 1) é
X ➔ I X- !
a) y = 1
d) y = 2x - 1
b) y = X
e) y = - 2x + 3
c)y =- x+2
20) Seja f(x) = are tg (x - 1) + x3 + 1 e seja g a função inversa de f. Então, g'(2) vale
a)4 b) 2 e) 1 d) 1/2 e) 1/4
21) (EFOMM-18) A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) =~no ponto (s__!_J
X 5
será
a) 25y + X - 1 Ü = Ü
d) l 0y + x - 1 O = O
b) 1 0y - x + 7 = O
e)Sy+x-10=0
c) 7y + 2x - 2 = O
22) (IME-81) Dada a função f: IR-> IR definida como
1 1
f(x)=---.x,;tQ
x3
X
f(x) = 1, X= Ü
determine os valores de m para os quais o gráfico de f admite tangente paralela à
reta y = mx.
23) (EN-18) Seja f(x) = x + ln x, x > O. Sabendo que fe) y =-X+ 5
e) y = -3x + 11
35) Seja f(x) = x3 + e'. Se g é a função inversa de f, então g'( 1 + e) vale
a)3+e b)l+e c)3+3e d)-1- e)-l-
3+e l+e
36) (EN-91) Se t{x) = ln sen2x determine f'(n/4).
a)-ln2 b)l c)n/4 d)2 e)2✓2
37) (EN-92) Se t(x) = -:!5--- então f '(2) vale :
x- +l
a)-0,4 b)-0, 12 c)O d)0,12 e)0,4
38) (EN-09~ Consi~er~ a função real f, de variável real, definida por t{x) = x + ln x,
x > O. Se g e a funçao inversa de ( então g"( 1) vale
a) l b)0,5 c)0,125 d)0,25 e)O
39) (EN-! O) Sejam:
a) fuma função real de variável real definida por f(x) = are tg ( x
3
3
-x} x > 1 e
b) La reta tangente ao gráfico da função y = r- 1(x) no ponto (O, r- 1(0)). Quanto
mede, em unidades de área, a área do triângulo formado pela reta L e os eixos
coordenados?
a) 3/2 b) 3 e) l d) 2/3 e) 4/3
40) (EN-93) A área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente à
curva y = 4x2 no ponto ( 1,4) vale:
a)8 b)4 c)2 d) l e) 1/2
41) ( EN-08) 15) Sejam L1 a reta tangente ao gráfico da função real f(x) = e J,. 2
"' no
ponto P (-1 J(-1 )) e L2 a reta tangente ao gráfico da função y = f'(x) no ponto Q (-
1,f(- I )). A abscissa do ponto de interseção de Lú L2 é:
1 1 1 1
a) -- b) -- e) -- d) -- e) l
9 3 9 3
42) (EN-08) A função real f, de variável real , é definida por f (x) = ln(x 5 + x3 +
x).Podemos afirmar que a equação da reta normal ao gráfico da função inversa f 1 no
ponto (ln3, f1(1n3) é.
a) y - 3x + 3 ln3 = 1
d) 3y + x - ln3 = -3
b) 3y - x + ln3 = 3
e) y + 3x - ln3 = 3
( l+xJ (lJ, 43) (EN-93) Se f(x) = ln
1
_ x , o valor de f' 2 e:
a)O b)l/3 c)2/3 d)4/3 e)8/3
e) y + 3x -11127 = 1
44) (EN-97) Sejam a, b E ~n tal que P(x) = 2x3 - 3x2 + ax + b e P'(x) a derivada de
P(x). Sabendo-se que P(x) + 3 é divisível por (x + 1) e P'(x)- 5 é divisível por (x -
2) então a+ b
a)-14 b)-12 c)-10 d)-8e)---6
45) (EN-13) Considere f e f funções reais de variável real, deriváveis, onde f( 1) =
f'(l) = l. Qual o valor da derivada da função h(x) = Jf(l +sen 2x) para x = O?
a)-1 b)-1 /2 c)O d)-1 /3 e)I
a
46) (EN-13) Um ponto P(x, y) move-se ao longo da curva plana de equação x" + 4y1
= 1, com y > O. Se a abscissa x está variando a uma velocidade dx = sen 4t, pode-se
dt
afirmar que a aceleração da ordenada y tem por expressão
? 2 ' 2 ?
a) (l+x-)sen 4t+4xJcos4t b) x sen4t+4xcos-4t
sy3 16/
)
-sen 2 4t-16xy"cos4t
c ,
16yJ
d) x 2 sen4t-4xcosc4t
sy3
)
-sen 2 4c+l6x/cos4t
e ,
l 6yJ
ejam p(x). q x e r(x) polinômios reais. Considere que p(x) cumpre os
seguintes requis itos:
1 - O polinômios q(x = 3x' - 2 lx + 18 divide p(x);
11-p(0 -" I 2:
111 - 1 é raiz de p'(x);
IV - p' (0)=--l77
V - p(x = q(x)
r x)
Sabendo qUt: u gr(q(x > gr(r(x) e p'(x) indica a primeira derivada de p(x), assinale
a opção que apresent~L o polinômio r(x).
n) r x = - 9x + 9 b r x) = 7x" - l 6x + 9
c)rx)=-5x" + 16x +9 d)r(x =3x"+ l4x+9
e rx)=-l6x +9
48) A equação da reta tangente à curva x1 - xy + y" = 7, no ponto ( l, 3 ), é
a -5x -J..2= 0 b)y-8x + 5=0
e) 5 - x -14 = O d) 5y- 8x - 7 = O
e) 8 -x-23 =O
49) (lME-72) Seja A= IR - {- 1, l} e f: A➔IR tal que f(x) =J_[_I ___ J_].
2 x-1 x+ I
' - -
a)a=l/2eb==1 b)a==leb==-1/2 c)a==-112eb-l
d) a == -1 e b == - 1 /2 e) a == 1 /2 e b == - 1
1 t da curva 4x= + y2 - 4x + 4Y;..
55) (EN-05) A equação da reta que passa pe o cen ro , . - 1
O e é normal ao gráfico da função real f (x) = are sen ✓x no ponto da absc1ssa x - 2
é
a) 2y - 2x + 3 == O
d) 2y + 2x + 3 = O
b)y-x+3=0
e)y-x-1==0
e) y +X+ 1 == Ü
56) (EN-11 )' Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2 - are
sen (x1 + 2x) com - rr/18 1
g(x) = Jiµx onde p > O
Mostre que urna condição necessária e suficiente para que seus gráficos se
P.
tangenciem é: a= eº
Neste case, determine, em função de p, a equação da tangente comum.
61 ) (EN-16) As curvas representantes dos gráficos de duas funções de variável real
y = f(x e = g(x) inrerceptarn-se em um ponto Po. , yo), sendo Xo ED(t)nD(g). É
possível definir o ângulo formado por essas duas curvas no ponto Po como sendo o
menor ângulo formado pelas retas tangentes àquelas curvas no ponto Po. Se flx) = x1
- 1, g(x) = 1 - x J e 0 é o ângulo entre as curvas na interseção de abscissa positiva,
então, pode-se dizer que o valor da expressão
a) .J82
5
(✓6-✓2)sen_2: +cos 20-cossec_2: é [
5 7 ]'
12
12 6
b) 3 ✓2 e) 68 d) }__ e) 2 ✓17
5 25 25 5
fflifi,11@ítf)·
62) (EN-17) A curva plana C é representada pelo gráfico da função real f(x~ = xcc" e
. t o ponto de abscissa x = 7t. Essa reta tangente, o eixo y e o
tem uma I eta tangen e n . . ·- R
d
. .2 +- 2 7 x = o situado abaixo do eixo x, determmarn uma 1eg1ao ,
arco e cu,va x y - _1-c,
cuja área vale
a) n(n + 1)
n
1
( 4 \
b) 2 n-; )
1 ( 4 \
e) n2 n+; j
e) n(n + 2)
(1 ( 3 + 8 2 + ? \ x + 19)) O valor da
63) (EFOMM-24) Seja a função f(x) ~ cos n x x - , •
derivada de f(x) calculada em x = - 2 e
a)cos(I) b)O c)n d)cos2 e)l
64) (EN-86) O valor deª para
tangentes é:
qual as curvas de equações y = a - x: e xy = 16 são
a) 12 b)-4 c)4 d) 2 e) 1
. d • •t'l e se desloca ao longo do eixo
65) (EN-99) A equação do movimento e um proJe' qu
. ~ ,-% ) t + 12 t t >O A aceleração do projéti I no instante t = n/4 é:
x e x(t)=c .scn co , - •
a)l6-Ji b)8+ ✓2 c)8-2✓2
d)l6-2Ji e)16+✓2
- ~+~ Y=~
66) (lME-85) Sejam as funçoes: Z = ~~ -~ e
',il+x--\11-x-
dZ Z
Mostre que no subconjunto dos reais onde as funções são definidas: dY = x1
, 1. , • b • são todas reais e distintas :
67) (IME-85) Sabe-se que as ra1zes do po mom10 a a,xo
f(x) = a,,xn + .. . +a,x +ao,
onde a ER, n=O,l, ... ,n:a 11 *0. . ..
" d .· da f'(x) possui também todas as suas raízes reais e d,stmtas.
Mostre que a e, ,va
68) (\ME-85) Encontre o valor de k para que a reta determinada pelos pontos
k
A (0,3) e 8(5,- 2) seja tangente a curva Y = x + 1 para x * -\.
~
IJ6/Jllt1/o 2. D1llwd6 ·,_ :• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
' . . . . .. . . .. .... ' ....... '
17. Ângulo Entre uma Reta e um Plano . . . .. . .. . . . .. ....... . .. . . .
18. Superfícies Quádricas
Exercícios Propostos . . •. • . . .. , . . •. •. •. •. •. •. ·_ •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •.
272
275
275
276
277
278
279
279
280
280
281
281
285
290
298
298
300
306
313
Capítulo 6. Lógica
1. Proposição . . . . .. ... . .. . ..... . .. , . . .... , . . ... . . , . . . . . . . . 325
2. Negação ........ . ... . .... . . . .. . . . . . . . . . . . . . .... . ..... . .. 326
3. Proposição Simples e Composta . . . ................ .. .. .. ... . 326
4. Condicionais ..... . . .. .. ..... .. . ......... .. ...... . . . . , . . . . 328
5. Tautologias . ... . . . ... . . .. ... . ............... , . . . . . . . . . . . . 329
6. Contradição ....... .. . . ......... . . ....... . .......... . . _ . . . 330
7. Argumento Válido .. .. . . .. . . . . . ....................... . . ... 331
8. Negação de Proposições Compostas ................... . .... . 332
Exerci cios Propostos . .... .. .... . ................... .. .. . . , . 338
Gabaritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
t:afDlll 1. 1/JJ/b
LIMITE
1.1.INTRODUÇÃO
Suponha-se que um corpo se move segundo a equação horária s(t) = 6 - Jt +
l2
• no S.l. Calculando a velocidade média entre os instantes lo e t =tu+ L'lt, com t :te to,
obtém-se:
L'ls [(1 3( lu+~t)+( l1,1+L'l1f ]- (6 - 3 tu+l~) -36t+2tul'lt+6t2
V - - - =--------------=------- -
m - 61 - 61 - 6t
Como se está supondo ,:.',t :;t:. O. conclui-se que
-~61 f- 2t 11 ~l t ól 2 • t( - 3 t 21 11 1- .:'lt) ,,
v,
11
= ------"---- =--- - ---=-_,+2t 0 +üt( 1)
t'-. t 1
Assim, por exemplo, entre os instantes tu = 2 se t = 5 s, a velocidade média é
de 4 m/s; entre tu = 2 se t = 3 s. tem-se v,,, = 2 m/s; e entre lo= 2 se t = 2,00000001 s,
obtém-se v,11 = 1,0000000 1 111 /s.
Para calcular a velocidade dita i11s/u111ci11ect em tu= 2 s. o genial Isaac Newton
fazia .61 =Os, na equa~·ào ( 1 ). Assim, obtinha tal velocidade igual a v,,, = v: = - 3 +
2.2 = 1 111/s. E, para um instante tu genérico, a velocidade instantânea era igual a:
V lo = - 3 + 2 t 1) ( li )
A equação da velocidade obtida é perfeitamente condizente com a equação
horária dada, mas havia um fato que intrigava físicos e matemáticos por todos os
lugares. Para obtê-la, Newton deliberadamente tornava 6t = O s. Mas isto é
6t(-3 + 2t 0 + 6t)
inaceitável, uma vez que a igualdade anterior ---'--- --'----'-=-3+2t0 + LH é
,'\1
verdadeira se, e somente se, 61 :te O, pois não pode existir, em hipótese alguma,
divisão por zero. Como resolver este paradoxo?
Newton, assim como Leibniz, independentemente, obtiveram outros resultados
corretos, como o cálculo de áreas de figuras irregulares, de modo semelhante, a saber:
a partir de um ponto inicial, forneciam um acréscimo nc7o nulo à variável do
problema. Em seguida, após algumas manipulações algébricas, "forçavam a barra",
fazendo aquele mesmo acréscimo (não nulo) ser igual u :::ao, a fim de obter uma taxa
de variação instantânea. Do ponto de vista técnico, este procedimento previu e
justificou de modo incrivelmente correto vários fenômenos quantificáveis. Tornou
se rapidamente a maior ferramenta matemática de todos os tempos: o Cálculo
Diferencial e Integral, que nascia a partir de raciocínios completamente dinâmicos,
porém que não conseguiam satisfazer a barreira do formalismo próprio da
Mate1mítica.
Só aproximadamente dois séculos adiante é que o problema foi resolvido,
atrav~s de uma abordagem estática do conceito de derivadas. O brilhante matemático
francês Caochy fo; om dos p;ooe;rn, , ,mdonm· ss ;d,;as genmét,•;cas, po,·ém
• , IJldIIm l lha/la
intrigantes, do conceito de derivada. Introduziu-se assim a definição de limites de
funções , para bem definir o Cálculo desenvolvido por Newton e por Leibniz. Surgia
a Análise Matemática, o sustentáculo que livrnva c1quele importrn1tíssimo
instrumento dc1s lc1cunas teóricas do passado.
Nestas linhas, contudo, será valorizadc1. quase que exclusivc1mente, a faceta
dinâmica, apresentando-se c1penas a parte práticc1 ( dinâm icc1) do Cá leu lo. 111 icia-se,
entretanto, por uma abordagem um tnnto elementar do conceito de limite.
1.2. VIZINHANÇA DE UM PONTO
Nas situações seguintes. considern-sc 8 > O. Sejn xo um número real qualquer,
Denominar-se-á vizinhança de xo. de comprimento 2t\ ou aindn. uma 0-vizinhm1ça
de xo. um intervalo (ou. mais precisamente. urna união de intervidos) de centro xn e
raio 8, da forma:
Ys (xo) = (xo- 8, xo + 8)- {xo}
Naturalmente. afirnrnr que um real x peI·tence a uma vizinhança V., de xn
equivale a escrever, sucessivamente:
x E V~ (xo) xo - 8 - i'i o O qualquer, pré-estabelecido, hasta
escolher 8 suficientemente pequeno.
CaJJ{to/11 l llmHIJ
Diz-se que o limite de/ (x) quando x tende a -1 é igual a 1/4. Com mesmo
significado, tem-se que, numa vizinhança de - 1, o conjunto das imagens f (x)
converge para 1/4. Indica-se tal fato pela simbologia:
lim f(x) = I_
x➔-1 4
Similarmente, concentrando os valores x do domínio em vizinhanças de X1 =
l, novamente quer pela esquerda, quer pela direita, percebe-se intuitivamente que as
imagens f (x) acumulam-se ao redor de Lr = 4, mesmo sem alcançar x 1 = 1. Em
verdade, neste caso, todas as imagens são iguais a 4, mas isto é irrelevante, sob a
ótica da teoria formal de limites. O que importa na determinação do limite das
imagens de uma função é o que acontece numa vizinhança ( comumente "minúscula")
do ponto xr, mas não necessariamente o que ocorre comf(x1).
.... 4 t----.----:--:-1 -,-1 -
!im f( X)= 4
X ➔ I
X
É fundamental observar o que sucede em vizinhanças ("pequenas") em torno
de x2 = - 3. Caso x se aproxime de - 3 pela esquerda, nota-se· que as imagens f (x)
aglomeram-se ao redor de 2 (ainda que, exclusivamente, por meio de valores maiores
que 2). Já ao tender69) (EN-99) Supondo que y = f(x) seja uma função derivável e que satisfaz a equação
xy1 + y + x = 1, podemos afirmar que:
a) f '(x == -f(x b)f'(x)= - l - (f x))2
• _xf x) -1 2xf(x)+l
c)f'(x) = -(f(x))2 d)f'(x) = - 1 + f (x)f
2xf(x) + 1 2xf(x) + 1
e) f '(X) = 1 - ( f (X)) 2
2xf(x) + l
70) (EN-12) Em que ponto da curva y2 = 2x3 a reta tangente é perpendicular à reta de
equação 3x - 3y + 2 = O?
a)({-/
6
) b)(±,-!) c)(l,-✓2)
d)(2,-4) e)(_!_ _ _!_)
2' 2
7 ) ( EN 1 " S 1 • • 1 • ( ~ 1 G + h - 2 ) d • d d • 1 1 - - ., e o 1m1te tm - --- representa a enva a e uma tunção reél
h- >ll h
de vari;ivel real y = t(x) cm x = a. então a equação da reta tangente ao gráfico de y =
f(x no p nto a. f{a) é
(A) 32y - x = 48 (8) y - 2x = - 30 (C) 32y - X= 3048
(D)y-32x= 12 (E)y-2x=O
72) Se a função t(x) = ..ix3
- 6kx2 + (9k-6)x - 2 é crescente em l R, então
a)k 5 - 3 b) -2 5 k: O, \ix E lR, ou seja, a função
dx
possui deri vada pos itiva em toda a reta. Portanto, pode-se afirmar que fé uma função:
a crescente . b decrescente.
c) simétrica em torno de zero. d estritamente pos itiva.
e) convexa.
74) (!ME-83) Considere a função f definida nos reais por
f (x) = (x - 1) ln lx - 11- x ln x :
a) Dê seu domínio e calcule lim f(x).
b) Dada a função g definida nos ceais poa
,x_ j f(x) se x0 LS
Podemos afirmar que
a) todas são falsas
b) tosão verdadeiras
e) apenas uma delas é verdadeira_
d) apenas duas delas são verdadeiras
e) apenas urna delas é falsa
OUI/Jll61. D1diln1'1. .
79) (EN-! O) Considere as funções reais f e g de variável real definidas por
J 2,-1 -1 _I_
f (x) = e , e g(x) = xe' respectivamente, A e B subconjuntos dos números
ln(4 - :C)
r a is, tais que A é o domíruo da fun ção f e B o conjunto onde g é crescente. Podemos
afirmar que A n B é ig ual a
a) [1. ✓3[uJ✓3 , +a:[
d) [1 , ✓3[u}J3 2[
b) [! 2[u ]2, +oo[
e) ]J3° , + oo[
e) ]2, + oo[
80) Quantos ·pontos de inflexão tem a função f(x) = 2x6
- 9x5 + 1 0x4 + 1?
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
81) Seja f (x) = 3x·1
- 4xJ - 12x2 + e, em que c E IR. Então, o valor mínimo atingido
por fé maior ou igual a zero se, e somente se,
a) c 2:. 5 b c ::: S c)5 ~ c :S 32
d) c ~ 32 e) c :2: 32
82) (EFOMM--0) ejam as funções reais f e g definidas por ttx) = x4
- 1 0x3 + 32x2
- 3 8x • 15 e g(x = - x·; + 8x- - I 8x + 16. O menor valor de I f(x) - g(x) j no intervalo
r 1. 31 é
a)! b)2 c)4 d)5 e)7
83) (EN-86) Os valores mínimo e máximo de f(x) = cx- '
2
no intervalo [O, !] são
respectivamente:
a)0e !/e b)0e 1 /✓-k c) 1/ee I5e
d) O e l/2e4 e) O e e
84) (EN-17) eja fuma fu nção da variável real x, definida por t{x) = 2x' - 3x2
- 3x
+ 4. O máxim o relativo de f a le:
a) 4+ ✓3 b) 4- ✓3
") 2
c) 3✓3-4
2
d) 4+3✓3 e) 4+ 3✓3
2 2
85) (EN-24 eja fuma função polinomial, na variável x, de menor grau possível e
CC>e fici entes reais, tal que f( I = 2, f(4) = 3, f(3) = 4 e f(2) = 1. Assim, é correto
afirm ar que f:
a) possui ponto de inflexão em x = 5/2.
b) possui pomo de máx imo absoluto em x = 3.
e) possui um ponto de mínimo absoluto em x = 1.
d não é contínua em x = 1.
e) não há um ponto de máximo local com x > 3.
a
ca,,/lllltl 2. D81/V8111
86) (EN-24) Se x > o, seja f(x) = 5x2 + Ax- 5
, em que A é uma constante positiva.
Assinale a opção que apresenta o menor valor de A tal que f(x) ê. 24, V x > O.
2' ' .J ; [6 23_31 t [6 c) 2s 2 7_311 {I e) i .r7 {I
a)f~7 b) - 7-lt-~7 d) 7'I f3 r' ~2
87) (EN-18) Analise as afirmativas abaixo.
1 _ Seja f derivável no intervalo I, fé estritamente crescente em I se, e somente se,
f'(x)>0eml. .
II_ Se f: A➔B é periódica de período T, então qualquer numero da forma kT, com
k inteiro positivo, também é um período de f.
Ill - Toda função contínua é derivável. .
IV_ Se uma função f: A➔B é estritamente crescente ou decrescente em um con.1unto
X e A então ela é sobrejetiva em tal conjunto. . _
v _ se'.iam f e g duas funções continua1~ente de!iyáveis que sat1sfaz_em as re~çoes
f '(x) = g(x) e f "(x) = - f(x). Se h(x) = f-(x) + g-(x), se h(0) = 5, entao h( 1 O) - 5.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas 1, 11 e IV são verdadeiras . .
b) Apenas as afirmativas li, lll, IV e V são verd_ade1ras.
e) Apenas as afirmativas 1, Ili e IV são verda_de1ras .
d) Apenas as afirmativas Ill e V são verdad~1ras .
e) Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras .
88) (EFOMM-20) Seja a função f: [t, + oo) definida por f(x) = x3
- 3x
2
+ 1. O menor
valor de t, para que a função seja injetiva, é
a)-1 b)0 c)l d)2 e)3
J l • k IR
89) (EN-22) Seja a função f definida por f(x) = ln(x- )-~ + k , com XE IR_ e E •
Sabendo que ftem apenas um zero real, o valor de k é
a)2-ln(2) b)ln(2)-2 c)2-ln(4)
d)ln(4)-2 e)ln(4)-4
fi( ) ~x 3 -x
2
90) (EN-08) Seja f a função real, de variável real , definida por x =
.Podemos afirmar que:
a).fé derivável Vx E 91'.
b) /é crescente Vx E 91+
cfrépositiva'dx E~H+e(l,f(l))épontodeintlexão. . . . .
d). a reta 3y _ 3x + 1 = o é uma assíntota do gráfico da.f e (0,./Z0)) e ponto de max1mo
local. d ' fi d 1·
,)fé dec;vávd Yx E 9!'. - { 1} e3y- 3, ~ O é uma ass;otota o g,·a ,co • .
91) (IME-68) Sejam r, m, p números reais maiores que zero, A a coleção dos pares
(x, y) de números reais tais que x + y = r e f a função cujo conjunto de definição é A
e que associa a cada par (x, y) de A o número x"'yP. Mostre que ftem máximo quando
__:. = 2'.
m p
' 92) (IME-70) Determinar os pontos de inflexão da Gaussiana y = e-x-
a) ( -7 , 1 J e ( - -7 1 J b) (O, !)
c . - , e e - - . e ) ( ✓2 -o.sJ ( ✓2 ~o.sJ
2 2 - . d) Não existem pontos de inflexão
e) (- a:i, O) e(+ CYJ, O) f) nda
93) Considere o ci lindro circular reto de ma ior volume, inscrito no cone reto de altura
12 cm e raio da base igual a 5 cm. O vol ume desse cilindro, em cm 3, é
a) 50n b) 45n c) 400n/9 d) 675n/16 e) 75n/2
94) Seja p(x) uma função polinomial de grau 6, tal que p(l) = - 1 e lim p(x) = +a:i
X➔+f'f_,
• abendo que a derivada de p se anula somente no ponto x = 1, então o número de
raíze reais distintas de p é
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
95) Qual é o maior va lor possível pa ra a área de um retângulo de lados paralelos aos
e ixo Ox e Oy. inscrito na elipse de equação 4x" + y" = 1?
✓2 1 ,fi
a) - 4 b e) - d I e) 2
2
96) (EN-06 Um recipiente ci líndrico que deve ter l m3 de volume vai ser construído
nas oficinas do Arsena l de Marinha, para atender a um dos navios da MB. Na laterale na tampa. scni utilizado um materia l cujo preço é R$ 1.0() 0,00 por m" e, no fun do,
um material cujo preço é R$ 2.000,00 por m ! . ue dimen sões deve ter o reci piente,
para que a MB tenha a menor despesa possíve l?
1 I l 1
a) -~me - -7 m b , ,me .,_,---:,m
✓3
b)--
9
E
B
25ô✓3
c) - -
9
e
104) (EN-89) A representação gráfica da função f(x) = x - 2arc tgx é:
") bJ .. )
/
d l
e)
' ~ '
_56✓3
e) - -
27
a) Vx E 91 é derivável Vx E ~TI. x * o
b) e derivável Vx E 9l. x * o
c) Vx E_~n: x * O é derivável V:-.: E:ll, x * O ex* 2
d) e derivavel Vx E:H . :,,: 7 o
e) Vx E~H. x * 2 ex* O e d~rivável Vx E'.11. x * O
106) (EN-97) O gráfico da função f (x ) ==/ln ~+ 'I é:
a)' !~ b) > la, - J
, ------- --
o e
o
c) Y d)
o
e)rt ; ~ 1
1
l -- - - t------ - -
• 1
' e X
X
ea,tm, 1. l/lffilfltli
107) (EN-99) Um navio levará estocado um latão de óleo contendo 100 -1 dm 3 de
volume e deve ter a forma de um cilindro com base plana e a parte superior
hemisférica, conforme a tigura acima. Desprezando a espessura do material,
podern;:is afirmar que o raio r da base. para que seja gasto a menor quantidade
possível de material para a confecção do latão é:
r: ~--·
a)3 -✓60 b)2M c)4✓50 d)3m e)¼o
108) (EN-00)
-5 j" -3 -2 -1 O 2 3 4 5 6
Seja y = f (x) urna função real cujo gráfico está representado acima. Nas proposições
abaixo, coloque C na coluna à direita quando a proposição for certa e E quando for
errada
( 1 ) f (x) é positiva e contínua V :-.: E [ - 4. 5]
( l l ) f (O) = f ( -4 )= O e f ( 2) = 2
( 1 1 1 ) f ' ( -4) > Ü e f ' ( X ) = 3 t/ :-.: E ] 3. 5 [
( 1 V) f(x) é crescente V x E] - :r:, - 3( u ]O. 2[ u ]5 . + w[
(V) lim f(x)=3e lirn f(x) = 2
\ - >3-,- .'\-)~
Lendo a coluna da direita de cima para baixo encontramos
(A)E E E e e (B)E e E e E
(C) E E E e E (D) e e E E E
(E) e e e e E
109) (EN-03) De um ponto p dos cais, João ob erva um barco AB ancorado. Para um
sistema de eixo ortogonais us pontos A e B tC:111 rnordcnadas respectivamente iguais
a (0, 20) e (O, . gnífico da funçào y = e:: : é
(bJ
y
___ )!_'
-- ~- --· -- - ...
-1 ,
• 1
X
(C)
Ay •
' V '
X
114) (EN-12) O ur,ífico
' 'I - 71 ~ f(x)= 4x' - 3x- é
que melhor repn:senta a funç·io 1-,.•~I t' > fi ·d ' "" , üe 1111 8 por
(A )
.V
a
X
/J#bll2. 01111111,
ICl ID)
115) (EN-I3) A tigura que melhor repn:se11t e
,1)
:,) yde S40. Supondo que, às 12 h, S40 verifica que, em seu sonar, P31 está 100 km a
oeste de P32 e que P3 I está navegando para o sul a 35 km/h e P32 está indo para
norte a 25 km/h. O comandante do S40 determina ao operador de sonar que verifique
e lhe dê a resposta de quão rápido estará variando a distância entre P3 I e P32, às 16
h. Assinale a opção que apresenta a resposta correta do operador de sonar ao
comandante do S40, aproximadamente.
a) 52,3 km/h b) 55,4 km/h c) 56.8 km/h
d) 59,3 km/h e) 59.9 km/h
121) (EN-24) Um cilindro circular reto de raio r e altura h possui volume igual a 300
cm'. Sabendo que o cilindro possui menor área total possível, a altura h, em cm, é
aproximadamente igual a:
a)7,25 b)6,90 c)6,15 d)J,63 e)2,00
a
CU/IIM2. 116lm16 -
122) (EN-22) Um barco catamarã foi construído de forma que a pc1rte central do casco
1 4 2 possui seção transversal modelada pela função f, definida por f(x)=-x -l.2x.
3
com x em metros. conforme apresentado na figura 1 .,
a) Determine o domínio e a imagem ck r. . - , d .· ,, 1
d d t• ºd de , os pontos onde t nao e e1 ivave .
b) Determine os pontos e escon 1nu1 a e . . • , d . t
c) Determine os intervalos em que fé cresc_ente e os ll~t~rval~s ~-n~~~'iL;I: o e;L~::~:no e~
d) Determine os pontos e os valores de max1mo e m1n1mo e •
o ínfimo da imagem de f •
128) ( 1 M E-84) Dada a função deti n ida nos reais por y = e:' "-1 , . .
.· ,- u·rnto a· continuidade e poss1vel s1111etna de sua a) Estude a sua va11açao q , • . _ , , t t
representação, crescimento ou decrescimento'. extremos, ~nflexoes e assm o as.
b) Faça o esboço gráfico da curva representativa da funçao.
129) (IME-88) Seja a função f(x) = 6-C\ -; j:
(A) Determine os pontos de máximo, mínimo e de inflexão de f(x) , caso existam.
(B) trace o gráfico desta função.
, - • - - f( •) = 5 •213 - x51' assinalando os
130) (IME-89) Esboce O grat1co da tunçao Y - x x. '
pontos críticos.
131 ) (IME-92 ) Seja f :[0, oo [ ➔ ~n uma função contínua tal que :
( 1) f(0)=0
x" - 1
(2)f'(x)= ·, ~, 'v'xE}O ,oc[
( X - I· 1 -
(3) lirn l'(x) = O
;\ ) :1:
Pede-se: · 1 1, • -escente)
(A) os intervalos onck fé crescente (respect1 vc1men e. e cc t - •
a
t:nlllll,1. llltlllUi.r..,
(B) Os intervalos onde o grMico de f é côncavo para cinrn (respectivarncnte, para
baixo).
(3) Onde ocorrem os pontos de máximo e mínimo absolutos e de inflexão?
132) ([ M E-97) Considere uma esfera inscr ita e tangen te à base de um cone de
revolução. Um cilindro está circun scrito .-, e. fera de tal fnrnrn que um;:i de suas bases
está apoiada na base do cone. e_jc1 Y1 o vo lume do cone e V ~ o vo lume do cilindro .
Encontr o menor valor da con. tantc k pélr:1 o qua 1 1 - k ;.
Sugestão : Considere o iingulo r·nrmado pelo diâmctrn da b,isc e a geratriz do cerne
em umc1 dc1s ex trem idades deste d i{i111etro.
133) U111 cubo estéÍ se dilatando de modo que, cm cada instante. mantém sua for111a
cúbica . No instante to. seu volume é de 8 c111' e cresce a u111;i rnxa de 1.2 cm ' Is. A
taxa de variação da sua aresta no instante \11. em c111 /s. é
a) 0,083 b) 0.1 e) Jo:;i d) 0.4 e)~
134) Qual é a taxa de variação. em cm/s. da di;igonal de um retângulo, num instante
·em que um dos lados mede 4 cm e está crescendo a taxa de 2 cm ls e o outro lado
mede 3 cm e está crescendo a taxa de 4 cm /s')
a)3 b)4 c :i d)6 e)7
135) (EN-97 Dois tren · l: de locam sobre tri lho pnntlélos, separados por 1,., km . A
velocidade do primeiro é de 40 km/h e a do scguncl 60km/h, no mesmo sentido que
o primeiro. O passageiro A do 1.rem mais lento observa o passag iro B do trem mais
rápido. A velocidade com que muda a distància entre eles quando está a 1/8 km à
frente ele B é. em km/h:
a) 20 / ✓5 b) ✓S c)O d)-✓5 e)-20 / ✓5
136) Em urna corrida de bicicletas, o consumo instanuinec de energia de urna atleta.
em cal /h, é dado em função de sua distância x ao ponto de largada. em km . conforme
a seguinte expressão E(x) = 5(x - 1 f(x - 5) 515 . ual t: o t: O
13 --- . . . . , ., . "º das abscissas com coordenada (x. O) , com x '
siste111a cartesiano , A t.:Stt!Ja no e, . . 1.d 1 .• lo / ACB Considere
. . d" nte , tl sc1a a meo1 a cio c1ngu ~ •
B este_ja no pri111e1ro qua ld t.: • . CB AB se·1·11n res11ectiva111ente, 3 cm
.• 1 'lllllS dos sc 0 111e11los e . ' • r"
também que os comp1111 e ."', , 1 1/7 . d/ . Desse modo. assinale a opção
e 'i crn e lJUC fl l'arie a urna taxa const,1111 + /JX2 + e/X + 2, cletenn ine p e Cf ele modo
143) (IME-75) Dado o polinôrnio
que seja divisível por (x - l )2.
- J 3 .2 2 , + d = o em que d é uma constante
144)(1TA-04)Considereaequaçaox + x - x . • .. , ?
1 P
·a qL1al valor de da equação admite urna raiz dupla no 111te1 \ alo 10, 11 .
rea . ai, , '
, .- .> . + h = o (crb * O) tiver uma raiz
145) (ITA-60) Demonstrar que se a equ + 1.146)Dcter111i11eosvaloresdeae cerno o que.
1
- • · "_ ux"- 1 -1 ux - \ é divisível por (x -
147) Para que valores de u e li o po 111011110 " ,
if
a
C/JJl/18112. omvua
148) (IME-98) Determine ri.~ e y de modo que o polinômio, a_x ·r ' 1 + flx'1 + 1 racional
inteiro em x, seja divisív I por (x - 1 f e que o valor numérico do quociente seja igual
a 120 para x = 1.
149) (IME-80) Determine o polinômio f(x) de coeficientes racionais e do 7" grau,
sabendo-se que: f(x) + 1 é divisível por (x - 1 )4 e que f(x)- 1 é divisível por (x + 1 )-l.
150) Sejam x1, Xc, x,, ... , x,, as raízes de x11 + x" - 1 + ... + x + 1 =O.Ca lcule o valor
de:
1 1 1 1
--+-- +--+ ... +-- .
x 1 - I x 2 -l xJ -1 x
11
-I
151) Se a, b e c são as raízes da equação x' + 8x + 5 = O.calcule o va lor de
1 1 1
--+--+--.
a+I b+I c+I
. - l+u 1+[3 l+y
152) Seu.,~ e y são as ra1zes de x · -x- 1 = O. c,1lculc --+--+--.
1-u 1-p 1- 1
153) (IME-71) Achar o limite da soma dos termos da sér ie abaixo . (0 valor absoluto
da a é maior que 1 ).
a 2a 3a 4a
-+2 + 3+4+ ...
a a a a
I 54) (IT A-77) Sendo Sk = 1 + 2x + 3x 2 + ... + (k + 1) x1;, onde x > 1 e k é um inteiro
maior que 2, então, se k é um inteiro maior que 2.
(-X 11 + I
a) S11 = ,
(1-xt
1 11 + 1 ( !) _ + X 11 + · . 11+1 b)Sn - , - - -X
(I- xt 1- x
) S
= l+xn-1
e "
(1 - x)
( 11 + 2) 1111
, X
(1- x r
d)s
= l +x11 1 (11 + 2) .11,1
11 ., + X
(1-xt 1- x
e) n.d.a.
11
, ( 17 J 155)CalculeovalordeS=I(k+J)- , .
k=ll k
Cl/1/tr//D 2. 06111111
11 (n) t57)Calcule: ;k k 3k _
J 58) Prove que \ .2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + l )(n + 2) = (n + 3)(n + 2)(n + l )n/4
,
•• -sen x e·
159) O valor de lim ---
,_,0 ex - 1
a) - 1 b)- 1/2 c) O
. 2 ln X .
160) O valor de 11111 4 ., e
, -,ir ln l • +JX)
d) 1/2
a)0 b) 1/4 c) 1 d)2
e) 1
e) 4
. }(x - sen x) . . f · ·
161) Dada a função t(x) = - Sx 3 , o val01 de I~;ii (x) e
a)l/5 b)-1/5 c)l/15 d)-1/\5
1 ( 1 ) • t62)Ovalorde lirn -scn r e
,_,0·1 ln x -v x
a)-w b)-1 c)0 d)l e)+w
c h - 2 - X
163) O valor de lirn 2 •
x-► I X - 1
, 1
t 64) Indique o valor do limite lim sen x - . ln ,-,o 1-cosx
a) 1 b)- ,xi e)+ ,Y) d) O
165) (EN-91) Calcul~ lirn x e
1
'' ,_,o
a) O b) 1 e) ✓e d) e e) c.0
. ln(x+ l) -sen x
166) (EN-97) O valor de hm 2 , é:
, - ,o sen x
b)- 1/2 c) O
, ,12
e) Não existe.
167) O limite da função f(x) =~'quando x tende a zero é
cotx
a)- 1 b) 1 e)+ C/J d) - C/J e) O
CUIIIIIIJ2. Dllfnta",f.
168) (I ME-71) Indique abaixo o valor da expressão lirn log, ( 1 - x) .
a) e b) O e)- 1 d) l
169) (EN-02) Qual o valor do lim (cotx) 111 x?
x-:i,0 1
a) e b) l /e c) O d)-1
1
170)(EN-03)Se lim(cotx) 1ª-' =P,então
1
a) O :s; P :5 -
3
x ➔ O
1 1
b)-ll+t ( TC ) a --X
b 2
173) Calcule o valor de lim x. ln x
X-► Ü+
174) C 1 . ln sen 2x a cule o valor de lim - -----'-
_,--,o+ ln(sen 3x)
·u-ctg 5 • 175) Calcule o valor de lim 1~.1.1
dos intervalos 6x, tomados, onde t.x,➔Ü, e dos t, escolhidos. Quando fé integrável,
lim I
11
é chamado de integral de Riemann de f ou integral definida de f no
n ➔+-:r,
intervalo [ a, b ], cuja notação é:
lim I11 = t f(x)dx .
n➔ -t-0 e que A 2 =-J:f(x)dx >0. Caso ocorra
IJ.'.'r(x)dxl= "f(x)dx+ n g(x)dx;
(3) Se a 0 h
. Para_uma demonstração mais rigorosa desse teorema procure por um livro de
calclllo un, ersitáno. Como jâ foi justificado vârias vezes. o foco des ·e livro são os
concur _ _ s militares e para demonstrar muitos dos rcore111as de c{1kulo são
necessnrios t oremas muito avançados pro objetivo dessa obra.
D,efinição: Se f: A➔IR é uma função de modo que exista F: B➔fR derivável tal que
F (x) = f(x), para todo xEAn B, então Fé denominada de primitiva de f.
_ . Por exemplo se ttx) ~ Jx l então F(x) = x3 é primitiva de · f(x), desde que F'(x)
- f(x__ - Enn:etanto G(x)~= x> + 1 també111 e primitiva de f(x). Na verdade. qualquer
funçao do tipo H~x = x + k, onde k é uma constante real, é primitiva de (x ) = JxJ.
A observaçao desse resultado permite enunciar o seguinte teorema.
Teorema: Se F(x) e G(x) são primitivas de f(x) então existe uma constante real k tal
que F(x) - G(x) = k.
Demonstração:
Seja a função ê,(x) dada por F(x) - G(x).
e F e G são primitivas de f: F' x) = ttx e G' (x) = f(x).
Derivando dos dois lados: fi ' (x) = F'(x) - O x = o.
A única função que possui derivada numa em todos os pontos do seu domínio é a
função constante: x = k.
a
Mas como responder a pergunta: Qual é a primitiva da função f? Não parece
razoável apenas dizer que f admite infinitas primitivas. Para contornar esse problema,
tome a primitiva de f desprovida de termo independente e adicione uma constante k,
conhecida como constante de integração.
Deste modo, a primitiva de f(x) = cos x é F(x) = sen x + k, a primitiva de g(x)
= 2x é G(x) = x 2 + k e a primitiva de h(x) =_!_é H(x) = ln x + k, onde todos esses k's
X
são constante reais.
Teorema: Se f: [a, b]➔IR é uma função contínua e Fuma primitiva de f, então:
b lb J f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a) .
,1 a
Demonstração:
Sabe-se que I(x) é a função área, ou seja, r f(t)dt = I(x) é a área compreendida entre
a .
o gráfico de f e o eixo x, fazendo x variar desde x = a até um determinado x :-:; b.
Sabe-se, também, que l(x) é primitiva de f, de onde se conclui que l(x) .= F(x) + k, k
constante real, onde F(x) é uma primitiva qualquer de f. A chave da demonstração
está em observar que l(a) = O, o que é óbvio, já que l(a) é a área compreendida entre
o gráfico de f e o eixo x, desde x = a até x = a!
Desta forma: F(a) + k = O ⇒ k = - F(a) ⇒ l(x) = F(x) - F(a)
J
b
Fazendox=b ⇒ "f(x)dx=I(b)=F(b)-F(a)
Esse teorema mostra que o problema de calcular uma área abaixo de um gráfico
de uma funçào freside, basicamente, em determinar uma primitiva de f. Parece fácil,
porém calcular urna primitiva não é um processo tão simples quanto calcular uma
derivada, onde basta aplicar as regras de derivação. Por mais que a integral possa ser
interpretada corno o processo inverso da derivação, a todo momento é necessário
ficar se perguntando: Qual função, quando derivada, dá a função f? A resposta
pra essa pergunta, muitas vezes, é bem complexa, corno será visto mais adiante nesse
capítulo.
Além disso, outra pergunta que o leitor deve estar se fazendo é: Qual primitiva
F eu devo tomar? É uma pergunta bem pertinente, pois toda função admite infinitas
primitivas. A resposta é bem simples: tanto faz 1 Sabe-se que duas primitivas se
diferenciam apenas por uma constante real. Portanto, se F e G são primitivas de uma
mesma função f: F(x) = G(x) + k. Logo:
l(b) = F(b)- F(a) = G(b) + k- (G(a) + k) = G(b) - G(a).
Como t_anto faz a escolha da primitiva, o aconselhável é esco;~e; ; qu ~;a· :m
q~e o
3
termo independente da variável é nulo. Por exemplo, no cálculo da integra l
L 4x dx , deve-se adotar x~ como a primitiva de 4x' :
e 4 X
3
dx = X
4
1 :1 = 2
4
- ( -1) 4 = 16 -1 = 15
_. Qual é o sign~ficado_dessa in tegra l ter dado 15? É a área compreendida pelo
giafic~ de ~x) = 4x e o ~1xo x, quando x va ria desde - 1 até 2? A resposta, nesse
caso, e um 1etumbante NAO! Observe o grá fico de f(x) = 4x3:
Jll
. U1~a parte do gráfico de f está abaixo do eixo x e com isso a integral de_ 1 até
O e negat1va._Quando foi feita a integral de - 1 a 2, a área de_ J a o foi contada como
sendo _n_~gativa, que é_ um absur?º· Nesse caso, pra não cometer esse erro, é
necessai 10 separar os cal cu los das integrais acima do eixo x e abaixo do eixo x.
Abaixo do eixo x:_ A 1 = -e 4x
3
dx =-( x4
/ ~
1
J= -( Q4 - ·(-!)") = J
Acima.do eixo x: A2 = t,. 4x 3 dx = x4 / 2 = 24 _ 04 = 16
o
Portanto, a área compreendida entre o gráfico de f(x) = 4x 3 desde x = _ 1 até
x=2,valeA1+A:,=1+16=17. ' •
,tffrifihii)-11.f-w1
3.4. ÁREAS COMPREENDIDAS POR DOIS GR . FICOS
No item anterior aprendemos a calcular a área compreendida entre o gráfico de
uma função e o eixo x. Agora vamos desenvolver uma técnica pra calcular a área
compreendida entre dois gráficos de funções contínuas, desde que um dos gráficos
esteja sempre acima do outro.
Suponha que f e g são duas funções contínuas cujos domínios contém o
intervalo real [ a, b] e, para todo x E [a, b], tem-se que f(x) ~ g(x). Para calcular a área
compreendida entre os gráficos de f e g basta considerar a função h(x) = f(x) - g(x).
Observe o exemplo abaixo, onde f(x) = x + 4 e g(x) = x::. No intervalo - l S: x S: 2
sempre ocorre f(x) > g(x) e área delimitada pelos dois gráficos pode ser calculada
subtraindo a área compreendida pelo gráfico de f e o eixo da área compreendida pelo
gráfico de g e o eixo x.
.,
/
I
I
., ., x" x31 2
A=J-f(x)-g(x) dx=J-(x+4-x 2 )dx=.'.._+4x-~ =
-1 -1 2 .) -1
(
2
2
. 2
3
] ((-1)" (-l/]_22 (-19)_21 = -+4.2-- - --+4.(-1)--- -------
2 3 2 3 3 6 2 . .
Generalizando, a área delimitada pelos gráficos das funções contínuas f e g e
as retas X= a e X= b, onde f~ g para todo XE[a, b] é igual a A= r f(x)-g(x)dx'
É impo1iante ressaltar que o resultado acima vale mesmo que f e/ou g tenham
paiie de seus gráficos abaixo do eixo x. A única restrição é que f ~ g no intervalo
analisado.
a
Por exemplo, considere as funções f(x) = 3x" e g(x) = 4x3 - I. Deseja-se
calcular a área delimitada pelos gráficos de f e g e as retas verticais x = 1 e x = - 1.
Perceba que:
f(x)-g(x) = 3x2 -4x3 + 1 = (1-x)(4x2 +x+ 1)
Como 1 - x ~ O para XE[- 1, I] e 4x2 + x + 1 > O, VxEIR (ti > O), segue que
f(x) - g(x) ~ O, para todo x no intervalo [- 1, 1].
Desta forma, pra calcular a área hachurada no gráfi co abaixo, deve-se calcu lar
~ integral de fi x) - g(x) com limites de integração de - 1 até 1. Perceba que não
importa se paite do gráfico de g(x) esteja abaixo do eixo x. Para os va lores de x os
quais g(x)----+----
Portanto, a área hachurada vale:
A=f f(x)-g(x)dx=f
1
(3x~-4x 3 +l)dx=x 3 -x 4 +xl
1
=
1 -1 - 1
= ( 13
- 1
4
+ 1 )-( (-1 )' - (-1 )4 + (-1)) = l - l-3) = 4
#V/Viilwtnn
3.5. DETERMINAÇÃO DE UMA PRIMITIVA
Como foi enunciado e demonstrado no tópico sobre o teorema fundamental do
cálculo, se Fé uma primitiva de t: então F'(x) = f(x). Deste modo, pra determinar
uma primitiva de uma função f, se deve determinar uma função F de modo que sua
derivada seja igual a f. O nome que se dá a esse processo é integrar f.
Até este momento no capítulo, todas as integrais estudadas foram do tipo
(' f (x) dx, ou seja, são números associados a áreas no plano cartesiano. Quando os
b •
1 imites de integração estão definidos o valor de J f(x) dx é um número e dá-se o
~
nome de integral definida de f. Contudo, quando o objetivo é apenas determinar
uma primitiva de f,. não é necessário ter os limites de integração definidos. A
simbologia utilizada pra primitiva é F(x) = f f(x)dx + k, sem os limites de
integração, e a nomenclatura adotada é integral indefinida, sendo k a constante de
integração. Nesse caso, F(x) é urna função na variável x.
Como a operação integrar na variável x é a 'operação inversa de derivar em x,
pode-se afirmar que:
fr'(x)dx=f(x)+k
Pode-se citm os exemplos:
I , x
3 I X X J x -x dx
A integral J x.sen x dx foi calculada no exemplo..- 1 e vale -x.cos x + sen x + k.
Deste modo: f x2 cosx dx = x 2 .senx + 2x.cosx -2sen x + k
(4) Em determinados exercícios é necessário aplicar a integração por partes e por
substituição, urna de cada vez, pra chegar na primitiva. Um exemplo clássico desse
caso é no cálculo de f are tg x dx. Vamos iniciar usando a integração por partes. Seja
f(x) = x e g(x) = are tg x.
f f'.gdx = f.g- f r.g'dx
X
⇒ f are Lg x dx = x.are lgx -J--0 dx
1 + x-
Para calcular J~dx vamos lançar mão da integração por substituição, fazendo
1 + x-
u = 1 + x", onde obtém-se, diferenciando os dois membros, du = 2:-.: dx
Desta fornrn:
J
_x_· -dx = .!.J.!. du = .!.111u +k = _!_ln(I + x")+k
l+x" 2 u 2 2
Substituindo na expressão da integração por partes:
f 1 '
arcl!.!.X dx = x.arct!.!.X --ln(I + x-) + k
~ ~ ,.,
3.5.5. Integração de Funções Racionais
Por definição. função racional é toda função do tipo F(x). onde F(x) e G(x)
Gtx)
são polinômios na variável x. Um p linômio é uma função da forma an t· a,x + a.2x2
+ ... + anx''. onde ao. aI .. ... a,, são denominados coeficientes do poli nômio.
e o grau de F for menor que o grau de G denominamos de fun çiio racional
própr ia. Por outro lado. e o grau de P Cor maior ou igual que o grnu de G
denominamos de funçã o ra c ional imprópria . ào exemplos d1.: funções rnc iona is
, • X - 1 X ~ - 1 s- 1 d A - . . . ' . propnas: , e
1
. ao exemp os e unçoes rac IonaI improprias:
x - 2x+4 x · + 1. - '
3x 2 -4x+S x 111 -x~+x r' -x 4 +x 2 -1 - - - - -c-- - - --- - --
7x 4 -3x 2 +4 x-2
erão desenvol v idos doi s métodos pra ca lcular a integral de fu nções racionais,
um método pra função racional própria e outro pra função raciom1l irnprôrri a.
3.5.5. 1. 1 ntegração de Função Raciona I Próprin
Quando a função racional é do tipo ~(x). com o grnu de F menm ou igual ao
C.,(xl
grau de G. a estratégia é decompor a função em uma soma de frações parciais do tipo
A ,-\ ('· N " > 7) Ax + B (!-· lN ,. > 7 • A B -- ou ~ "E 1 , " __ ou , , ,E . " __ ),com . . a.
ax+b (ax+b) (ax·+bx+c)
b e e reais. 1\ pós decompor em l"raçê,c · f')arcic1i . é só cnlcular n intcgrnl de cc1da
cxpres füi. util izando o métudc, de ub. tit uic,:iiu ou n in tegraçiiu por pnncs.
Parece simples né?! ó tem um grnnde porém .. . cssn d composiçiiu cm sorna
de frações parciais depende se a. raízes de O(x) sã reai s ou co mplexas e também
depende se G(x) tem raizcs repetida . Por is o. é necessa rio scpm·,1 r cm '1 ca os.
l istados e comentado a seguir.
tº caso: Todas as raízes de G(x) são reais e distintas
Nesse caso é possível decompor a função racional como uma soma de frações
. . . J x
2 + 2x - 1 parc1a1s do t ipo - - . Como exemplo. vamos calcu lar , , dx.
-ax + b 2'c + 3x· - 2x
l nicinlmentc. devemos d compor G(x) = 2x' + Jx: - -X corno um \)r,idulo de
polinômio de 1° grau. Caso as raízes de G sejam r ::i lmente reais e distintas. isso
sempre é po . ível!
G(x) = 2x ' + 3x~ - 2x = x(2x! 3x - 2) = x(2x - 1 )(x + 2)
As parcelas da decomposição de G são os denom inadores das frações parciais:
x 2 +2x- l A B C
' ? =-+--+--
2x ·' +3x--2x x 2x-1 x+2
Desenvolvendo algebricamente essa igualdade obtém-se:
x:: + 2x _ 1 = A(2x _ 1 )(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1)
1 1 . 1
Substituindo, um por vez, x = O, x = - 2 e X = 2 se conclui que A= 2, 8 = 5
e e=-~. Assim, já é possível calcular a integral:
10
x
2
2x - 1 dx = J-1- + 1 _
1
dx = J 2xJ +3x! - 2x • 2x 5(2x-1) lü(x+2)
1 l 1
=-ln I x l+-ln l2x-\ l+--ln lx+2 l +k
2 \O \O
2" cnso: As raízes de G(x) são reais, mas algumas são repetidas _ . . _
Nesse caso, pra decompor a função racional como soma de trações parc1a1s nao
dá só pra usar parcelas do tipo _A_' também é obrigatório usar parcelas do tipo
ax + b •
A1 A,
ex+ d' (ex + d) 2 ' ... ,
A, onde r é a multiplicidade da raiz que repete e
r'
(t:X +d)
d . . t x = -- e urna raiz que repe e.
e 4x
Vamos mostrar a aplicação desse caso no cálculo de J , :,
1
dx •
X - ' - X+
Decompondo o denominador: , ,
x' _ x] - x + 1 = x\x - 1) - (x - 1 ) = (x - 1 )(x- - 1) = (x - 1 )·(x + 1 ~
Como x _ J tem expoente 2 no denominador da função racional, a
decomposição em uma soma de frações parciais é da forma:
4x A B C
------ = - - + ---, + --
x l - x 2 - x + I x-1 (x-l)" x+l
Desenvolvendo os dois membros:
4x = A(x - 1 )(x + 1) + B(x + 1) -t- C(x - 1 )2 =(A+ C)x:: + (B - 2C)x + (-A+ B + C)
Lo~o:
~ A + C = O. B - 2C = 4 e - A + B + C = O
Resolvendo o sistema pra A, B e C se conclui que A = 1. B = 2 e C = - 1.
Calculando a integral proposta:
í -lx dx= r_1_+ 1 , _\_ dx=lnlx-ll-_2_-lnlx+ll+k
J . .i _ .~ _•+I Jx-1 (x- 1)" x+l x-1
Nada impede de G(x) tenha mais de um raiz múltipla. Nesse caso. na
. A, . d
decomposição do denominado é necessário usar parcelas do tipo d)' pia ca a
(ex+
raiz que repete. a
3º caso: As raízes de G(x) não sao todas reais
Nesse ca: º· como os coeticientcs de G(.x) sào reais. as raízes não reílis de G(x
são pares de numeros comp lexos conjugados, i111plica11do que esses pares são rnizes
de equações de :2º grau do com codicicn les reais. Deste modo. a lém de parcelas dt1
. A
~ipo ax + b. a decornposição da função racional cm frações parc ic1is também teré.Í pel.o
Bx+c menos urna parcela do tipo -----
cx 2 +dx +c
Vamos a Llm exemplo pra analisar a aplicação do método. Suponha que se
deseja calcular J-1-
1
- dx. A decomposição do denominador vale:
x· + x
x·' + x = x(x= + 1 ). onde x=' + 1 tem raízes não reais
Como exp lanado anterior. a decomposição em frações parciais. nesse caso. é:
1 A Bx+C ,
-3-=-+-,- ⇒ 1 = A(x- 1)+(8,-..; C) = ( · B)x~ +Cx+A-1 ⇒
x +x x x - +1
A + B = O. C = O e A - 1 = O ⇒ A = 1. B = - 1 e C = O
Resolvendo a integral: J---1
- dx = J-'--~ dx = ln I x l--'- ln(x 2 + 1) + k
xj+x x x-+1 2
4º caso: As raízes de G(x) não são todas reais e hó raízes múltiplas não reais
Esse caso é uma espécie de inter. eç'i o do 2º e 3º casos. A decomposição dél
função racional teré.Í parcelas do tipo /\ 1:,;+B1 A,x+R,
, - - , . ... prn cada
(a 2 x- +b 2 x +c
2
)-a 1x~ + b
1
x + c
1
par de raízes complexas conjugadas.
. . . - X.: + ] X ~ - X + 1
Como exemplo. considere a integral f ~ , Jx.
x· 1 2x 1 -..;
Decompondo o denominador: x·' + 2x' + x = x(x:' + 1 f
Assim. a decomposição em frações parciais é da forma:
- x J +2x 1 -x+ I A Bx + Dx+E
=-+-- -+ - ~ - ⇒
x
5
+2x'+x x x1 +1 (xc+ I).'.!
_- x-' + 2x~ - x + 1 = A(x~ ~ 1 f + (Bx + C)x( x=' + 1) + (Dx + E)x ⇒
- :ç' + 2xc - x + 1 = (A + B)x 1 + Cx' + (2A .L B + D)x - + (C -r E)x + A ⇒
A + B = O. C = - 1. li\ B - O = 1, C + E = - 1. , = 1 ⇒
A=i. B=-1.C=-1.D=leE=O - ,
L ª. f-x "+ _x --x+ I fl .x+I x
o,,,o. 5 .1 dx = ---, -+ , , dx =
x +lx +x x x- + 1 rx -+1)-
1 , 1
=lnlxl--ln(x-+1)-arctgx- , +k
2 l(x - + 1)
~
li
3.5.6. Integração de Funções Trigonométricas
Nesse tópico vamos estudar corno calcular integrais trigonométricas dos tipos
J n ! J "d J n rnd J" rnd sen x (X, cos x x, sen x.cos x x, tg x.sec x x ou
J sen nx. cos rnx dx .
Independentemente da situação. algumas identidades trigonométricas são
utilizadas e é importante destaca-las:
cos 2x = 2cos2 x - 1 = 1 - 2sen 2 x
sen 2x = 2sen x.cos x
1 + tg2 x = sec2 x
Corno cada situação tem uma estratégia diferente de cálculo, será necessário
analisar caso a caso.
1° cas{1: J sen" x dx ou J cos" x dx
Pra ajudar a construir urna estratégia de cálculo que valha pra todo n, vamos
resolver dois exemplos numéricos.
(a) Jsen 4 x dx
Inicialmente. deve-se encontrar uma expressão equivalente a sen" x que não envolva
potências de funções trigonométricas:
• '
" 2 2 (' coslx l- 1 cos 2x ni ·· ]x scn x =(scn x) = ----- =----- +---
,2 2 , 4 2 4
1 rns2x cus4x 3 cos2x cos4x
=----+-+---=----T---
4 1 X X X 2 X
J
4 J 3 cos2x cos4x 3x scn 1x sen 4x
Lol';o: sen x dx= -----+---dx=----+---+k
~ 8 2 8 8 4 32
(b) J cos5 x dx
Como o expoente é ímpar. deve-setirar cos x em evidência pra depois desenvolver
cos" x em função de potências de sen x.
cos5 x = (cos=' x)='.cos x = ( 1 - sen=' xfcos x = ( 1 - 2senc x + sen" x).cos x =
= cos x - 2.senc x.cos x + sen" x.cos x
Fazendo u = sen x ⇒ du = cos x dx
J cos5 x dx = J cosx-2se1/ x.cosx +sen 4 x.cus x dx = J l-2u 2 + u4 du =
u3 u' sen 3 x sen 5 x = u - - + - + k = sen x - --+ --+ k
3 5 3 5
a
A análise dos dois exemplos rc!-iolv1dos pcn111te genen1lizar o procedimento do
cálculo de J sen" x dx ou J cos" x rfx .
( 1) J sen 11 x dx
s d b • • . ' 1 Cl.lS 1 X e n par, eve-se su st1tu1r, segu1damente,scn- x = - - - ·--_ até obter sen" x em
função de cos 2x, cos 4x, cos 6x, .. .
2 2
Se n ímpar, faça sen" x = sen"- 1 x.sen x e desenvolva sen"- 1 x em função de cos 2 x
cos
4
_ x, cos e, x, ... , usando várias vezes sen .:: x = 1 - cos2 x. Por fim , faça u = cos x ~
use mtegração por substituição.
(2) J cos" x dx
Se n par d l t· • ·d 1 cos 2x l , eve-se su )S 1tu1r .. segui ament,e, cos- x = --- - - até obter cos" x em
função de cos 2x .. cos 4x, cos 6x, ...
2 2
Se n ímpar, faça cos" x = cos"- 1 x.cos x e desenvolva cos 11 - 1 x em runçào de sen 2 x
sen4 6 • d • • ' ' ' . x, sen x, ... , usan o varias vezes cos- x = 1 - sen- x. Por fim, faça u = sen x e
use integração por substituição.
20 J ll lll d caso: sen x. cos x x
Vamos analisar alguns exemplos numéricos pra depois uerar um procedimento
padrão. ~
(a) J sen 5 x .cos 2 x dx
sen;; x .cos" x = (sen 2 x)".sen x.cos 2 x = ( 1 - cos2 xfcos: x.sen x =
= ( cos: x - 2cos.j x + cos'' x )sen x
Fazendo u = cos x ⇒ du = - sen x dx
Jsen
5
x.cos
2
x dx= J(cos2 x - 2cos.jx+cos0 d0 = -u- + u du = - 3 + 5 + k
Pra encontrar a resposta final é necessário desfazer as duas substituições feitas :
f 3 ~
4
, d 32u 3 32u5
1
32co. 1 O 3_cos5 O
1 X v4-x- X=---+ - - +,=--- -+---- +,=
3 5 3 5
32J(l-sen 2 0)3 3])(1-sen 2 0)) k 32J(l-x 2
)
3 32J(l-x 2
/
=- - ~ - - - - +-~ - - - -+ = -~---+- ~ - - - + k
3 5 3 5
A análise desse exemplo permite uma generalização:
(1) Se a expressão for ~ él substituiçi'io é x = a.sen (:l. com - rr. /2::; fl:::: TI.12 :
(2) Se a expressiio for Ja 2 + x 2 n substituiçi\o é x = a.lg 8. com - 1T.!2 $A::; rr. /2:
~
(3) Se a expressão for ...; x - -a - a substituição é x = a.sec A, com O:::: u:::: TT.12 ou 1T. $
ll $ 37T./2.
t:8Jlbla3. /J1/IIIBI
Vamos agora aplicar o método da substituição trigonométrica pra calcular a
inteora l f x"' c\x. De acordo com a teoria apresentada, a substituição mais
"' ✓(4x 2 + 9)3
~ 3 1 .
adequada é x =.:. tg 8. onde obtém-se que dx =; sec 8 d8 :
2 -
= i f (-1
~- -1,).scn 8 dtl
4 \ 1.'.I), - H
Fazendo u = cos 8 ⇒ du = - sen 8 d8:
J x ' clx=iJ1-~du=i(u+~J+k
✓(4 X 2+9)' 4 u- 4 \ LI, '
Desfazendo as substituições:
f x; dx=~ ( cos0 + -
1
- )+k=l_( -
1
-+secO) +k=
)c4x2 + 9)"' 4 \ cose 4 secf:l
=l_( I +J!+tg2 H]+ k::i[ ~ + .J~4 x_: _+_
9
]+k
4 J 1+1g" O 4 J~x- + I.J -'
Pra finalizar esse tópico, vamos apresentar uma aplicação de substituição
trigonométrica pra calcular a área do círculo de r~io R. Sa~e-se ~u~ a e~uaçã~, no
plano cartesiano, da circunferência centrada na origem e raio R ex-+ y- =. R~. De
forma que seja possível associar uma função à essa equação, vamos res_tnng1r _ao
primeiro quadrante, onde a área compreendida pelo gráfico da circunferência e o eixo
x equivale a um quarto do círculo:
R
- --- -- ..
a
\
\
l
Como no primeiro quadrante as coordenadas são pos1t1vas, a função que
representa o quarto de circunferência é f (x) = JR 2 - x 2 , com domínio em [O, R J e
contradomínio em [O, R]. Desta forma. a área do círculo é igual a quatro vezes a área
delimitada pelo gráfico de f e os eixos coordenados:
S=4f
1
~ JR 2 -x 2 dx
li
Fazendo x = RsenO ⇒ dx = Rcos O dO.
Percebc1 também que para x = O tem-se()= O e para x = R tem-se f) = ~- Lo!!o.
l ~
a integral definidc1 ticc1 da l'or111a: -
A 1• d ºd ºd d · · . , CllS _EJ + 1 p 1can o a I ent1 c1 e tngonometncc1 cos- A= --- :
2
?frr,2 , ,1rrn ( scn ?f) 1 rr12J
S=4R-
0
cos-0 dA=2R-
0
-(cos28+1) d8=2R\----f-+8
0
=
_ 1 R 2 ( scn TI TI scn O ) 2 - _ --+-----0 = TIR
2 2 2
.Sxercíc-ios ~esolvii:los ✓-'
01) (EFOMM-95) Sabendo que f'(x) = , x + 2
x- +4x + 1 I
f(O) é:
(A)ln( ~l (B) ln ✓li
ln4
Solução: Alternativa A
(C) ln(4-Íll)
e que f(l)=O,entãoovalorde
(D)~
ln ✓II
(E)✓ll ln 4
Seja u = ln (x 2 + 4x + l l) ⇒ du = , , x 2 dx
x - +4x+ l l
f(x)=ff'(x)dx=f ~ x + :2 dx=f_!_du=~+k=inJx 2 +4x+ll+k
:x- + 4x + 1 1 2 2
f( l ) = O ⇒ O = k + 111 4 ⇒ k = - 1 n 4 ⇒ f ( x) = lin/ x 2 + 4 x + 1 1 - 111 4
f(O) = ln ✓li - ln 4 = ln ji}
4
a
fc3J-l - ln x
02) O valor de ----dx é
1 2 .
a) a y-a "
logaritmos neperianos.
Solução:
Vamos calcular, inicialmente, o valor da integral: J.~ e" dx = e" 1 Y = cY -e"
,\ u
e:) - 1.: ·1 e::, - e~1
Assim, o limite a ser calculado tica na forma: lirn ay - -- = a. lim y. lim---
,--,a y - a ) ->a \->a y- a
O primeiro limite é bastante imediato: lim y = a
\ a
O segundo limite, 0 igual ú derivada dc.: t(,) ·- e" 110 ponto a lim ~ = f'(a) =e"
:->a y- a
05) A integral r 3x 2 ln(x)
(lJt
IIJ
-i.l 2 O 02 D.L
De início deve-se determinar os pontos de
interseção entre os gráficos de f e g, que é
equivalente a resolver o sistema :
{
y = x 2
y= ✓x
x2 = ✓x ⇒ X= 0 OU J
Assim, os pontos de interseção dos gráficos de
f e g são (O, O) e (1, 1 ).
Como o gráfico de g, no intervalo (O, 1) está
sempre acima do gráfico de f, a área da região
12 sombreada vale:
S= (g-f)dx= (vx-x )dx= -x - - =---=-
f
I f 1 1 2 • ( 2 3/21 I J ( X
3
1 I) 2 J J
º o 3 o 3o 333
12) Calcule f ex sen x dx
Solução:
Fazendo g(x) = e' e f(x) = sen x e aplicando na integral por partes:
f f'.gdx = f.g- f f.g'dx ⇒ f ex cosxdx = ex sen x-f ex sen xdx
Fazendo agora h x) =cos x e apUcando novamente na integral por paites:
fh '.gdx=h.g - fh .g'dx ⇒ - f e"sen · dx = excosx-Jexcosxdx ⇒
-J e· sen x dx = ex cos x - e" sen x + J e ' sen x dx ⇒
2 f e' sen x dx = e' sen x - e' cos x ⇒ " " I , d e sen x - e cos x
1 e senx x= - --- --- +,
2
C81Rllls3. 11118//nll
13) (IME- 74) Sejam f: IR----+IR e g: IR----+IR. Definimos min(f, g) como a função h:
TR----+TR tal que: h(x) = min (f(x), g(x)), Vx E IR. Se f(x) = x 2 + 8 e g(x) = 6x, Vx E
IR, calcule T = Ji' h(x)dx - f: f(x)dx.
Solução:
Inicialmente, vamos resolver a inequação f(x) :2: g(x):
x2 + 8 :2: 6x ⇒ x2
- 6x + 8 :2: O ⇒ (x - 2)(x - 4) :2: O ⇒ x E (- oo, 2]u[4, + ,:Y.J)De acordo com os intervalos de integração da primeira integral:
se 1 :;;; x:;;; 2: h(x) = g(x), se 2 l
Sabe-se que:
i) A função F é contínua sobre seu conjunto de definição.
ii) f~F(x) dx =1,5
iii) A função primeira derivada de Fé descontínua apenas em um número do conjunto
dos reais.
Pede-se determinar os números a, b, c.
Solução:
F contínua ⇒ lim F(x) = lim F(x) ⇒ a+ b + c = 2 (1)
x->l x->l +
J>(x) dx =J~ax
2
+ bx +e dx =( ª;3
+ b;
2
+ex 1 ~ J = 1,5 ⇒
a b ) - + - + c = 1, 5 ⇒ 2a + 3 b + 6c = 9 (2
3 2
Como há uma descontinuidade de F' em x = 5/3, então F' é contínua em x = 1:
lim F'(x) = lim F'(x) ⇒ lim 2ax + b = lim -3 ⇒ 2a + b = -3 (3)
,_,1- ,_,1° ,_,1 - ,_,1+
Resolvendo o sistema linear formado pelas equações ( 1 ), (2) e (3) encontra-se:
a = - 6, a = 9 e a = - 1
/l6JlllllmJ. 11116
15) (IME/CG-07) Considere a equação integral dada por
f(t) dt= t2f(t) dt+-+~+c IX f I Xl6 18
Ü X 8 9
Aplicando o teorema fundamental do cálculo, obtenha a forma matemática explícita
para f(x) e o valor da constante real c, sabendo que f(x) é integrável no domínio real.
Solução:
Seja F(x) uma primiriva de t{x), ou seja, F'(x) = t(x) .
Derivando, na variá el x, os dois membros da equação integral:
f(x) = - x"f(x) + 2x15 + 2x 17 ⇒ ( 1 + x")f(x) = 2x 15
( 1 + x2
) ⇒ f(x) = 2x 15
Vamos agora calcular as integrais da equação origina l:
f(t)dt= t2f(t)dt+-'-+~+c f
x f I Xl(i 18
Ü X 8 9
i
x I x'6 x'8
2x15 dt = f 2t 17 dt+-+-+c
Ü X 8 9 (t
16 1"J-(t18
11) x'
6
x'~ - - - +-+-+c ⇒
8 Ü 9 X 8 9
xl6 1 x1x x'6 x18
-=---+-+-+c ⇒
8 9 9 8 9
1
c=--
9
16) ( IM E/CG-1 1) A figura representa, para o
intervalo - k :5 x :5 k, o gráfico de uma ti.111çno
f(x) = ax3 + bx· + ex + d, onde a, b, c e d são
números reais. Determine, em função de k em:
a) A equação da função representada na figura.
b) O alor da área hachurada.
Solução:
y
a) Como as raízes de f são± k e O, então f(x) = a(x - k)(x + k)x = ax3
- ak2x
f'(x) = O ⇒ 3ax2
- ak2 = O ⇒ x = ± 1
3✓3m
⇒ a=---
2k3
t:11llllf13. lill811RI
1 ( n:-x 1 (l+e·x)cos -- )
17)(1ME/CG-14)Mostrequefrr , ; dx=0 .
- rr e'(l+x-+x)
Solução:
Como a função é ímpar, então:
rll f(x) dx = -[ f(x) dx ⇒ f,, f(x) dx + J: f(x) dx = o ⇒ L: f(x) dx = o
18) (IME/CG-14) Calcule o valor da integral trr ex sen x cos x dx .
Solução:
Se T = Lrr e' sen x cos x dx então 21 = forr ex sen 2x dx.
Fazendo g(x) = e' e f(x) = sen 2x e aplicando na integral por partes:
ff'.gdx=f .g-ff.g'dx ⇒ 2fexcos2xdx=ex sen 2x-fe" sen2xdx
Fazendo agora h{x) = cos 2x e aplicando novamente na integral por partes :
f h '.gdx = h.g- f h.g'dx ⇒ --f e~ sen 2x dx =e' cos2x - f e" cos _x dx ⇒
f , x e' scn 2x 1 f x d -2 e· sen 2x dx = e· cos 2x -
2
+ 2 e· sen 2x x ⇒
5 f e' sen :?.x x f x e' s n 2x - _e ' cos 2x - e' sen 2x dx = - - - -e· cos 2x ⇒ e· sen 2x dx = - --- --- -
2 2 5
• ? 1 X '.l • I" 2"] 2 Ol 1 rr . e sen _x - _e cos _x - e . + .e .
1
- e
Ass11n: 21=---- --- - =---- - ⇒ =--
5 o 5 5
a
CIJII/JJ/113. !/
19) (IME/CG-22) Calcule o valor da integral indefinida
J I d
(x 2 -4x+5)(x 2 -4x+4) x
Solução:
A forma de resolver essa integral é dividindo em soma de frações parciais.
Como x2
- 4x + 5 = O não tem raízes reais e x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 tem raízes reais
1
repetidas, a única forma de escrever ---------- como soma de
frações parciais é:
l
(x 2 -4x +5)(x 2 -4x +4)
Desenvolvendo:
(x 2 -4x+5)(x"-4x+4)
Ax+B e D
----+--+----
x2 -4x+5 x-2 x2 -4x+4
1 = (Ax + B)(x2 -4x + 4) + C(x2 -4x + 5)(x - 2) + D(x2 - 4x + 5) =
=(A+ C)x3 + (-4A + B - 6C + D)x2 + (4A-4B - l 3C - 4D)x + 48 - 1 OC + 5D
Assim, devemos resolver o sistema linear:
I
A+C=O
-4A+B-6C+D=0
4A-4B- 13C-4D = O
4B-10C+5D=l
A solução do sistema ficará a cargo do leitor, que deverá obter:
A= O, B = - 1, C = O e D = l
-l 1 -1
Assim: 2 J
2
+
2
=----+---
( X - 4 X + 5 )( X - - 4 X + 4) X - 4 X + 5 ( X - 2) ( X - 2 )2 + ] ( X - 2 )2
--- - - --- - dx = - - - - +--- dx = f 1 • f - 1 1
(x 2 -4x+5)(x 2 -4x+4) (x-'.!)2 +l (x-2)2
1
= -are tg(x - 2)---+ k
x-2
ca,111110 3. 11111,ra1
3.6. COMPRIMENTO DE UM ARCO
Suponha que f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] . Já aprendemo
como calcular, usando integral, a área da região delimitada pelo gráfico de f, o ei xo
x e as retas x = a e x = b. Vamos agora aprender como calcular o comprimento da
1 inha do gráfico de uma função comi nua.
Sejam A(x,, f(x,)) e B(x; + 1, f(x; + 1)) dois pontos distintos do gráfico da função.
A distância entre os pontos A e B vale:
- / 2 2 l+ ( f (x;~1)- f(x 1)J-AB = y(xi+l -X;) + (f(xi+I -f(x; )) = L'ix;
X;
onde L'ix ; = x; +1 - x,.
a b
A estratégia pra calcular o comprimento do gráfico de fé fazer L'ix; tender a
zero e somar os infinitos valores dos segmentos infinitesimais ligando dois pontos
. f(x . 1 )-f(x )
do gráfico. Repare que, quando L'ix;➔Ü, o quociente •+ ' tende a f '(x,).
ÓX ;
Deste modo, o comprimento L do gráfico de fé igual a
L = I, J1 + f'(x; )2 .ó.x;, onde .ó.x;➔O.
i=I
Note agora semelhança entre a integral de Riemann e o somatório indicado
acima. Fazendo n tender a infinito e, consequentemente, o comprimento de cada
intervalo tender a zero, "I, J1 + f '(x 1 )
2 L'ix 1 pode ser interpretado como a integral da
i=I
função Jr + f'(x; )2 na variável x, com x variado desde a até b:
L=Jh .J, +f'(x)2 dx .
a
Va111os aplic.'lr essa f nmda pra Galtular o perímetro de uma circun ferência de
raio R. Sabe-se que a circunferência centrada na origem e raio R no plano cartesiano,
rem equação x1
, y2 = R2. Sabe-se que urna circunferência não pode repre-entar
gnUOço de uma fimção, po;, geca proia de amb;gu;d,de (há retas ve,t;c, ;,
CltJ//JJfo 3. l/1/llral
encontram o gráfico da circunferência em dois pontos). Assim , é necessário restringir
domínio e imagem para ·que uma parte da circunferência possa representar o gráfico
de uma função. Pra simplificar o cálculo da integral, vamos restringir aos pontos do
primeiro quadrante do plano cartesiano, onde se localiza um arco de um quarto de
circunferência. Nesse caso, a função que representa esse um quarto de circunferênc ia
é f:[0, R]➔[0, R] dada por ftx) = ✓R 2 -x2
.
Pra calcular o comprimento de toda a circunferência, basta calcular o
comprimento desse um quarto de circunferência e depois multiplicar o resultado
obtido por quatro.
Derivando f na variável x :
f'(x) = 1 - 2x =
2.JR ~-x 2
X
Logo, o comprimento total da circunferência é dado por:
L=4f R ✓l+f'(x)2 dx=4f R l+ ,/
2
,
2
dx=4f R ,R ~ dx
o o R - x o ✓R - - x·
Fazendo x = Ru ⇒ dx = R du.
Quanto aos limites de integração, quando x = O tem-se u = O e quando x = R
tem-se u = 1. Portanto, a integra l fica da forma:
r1 R ri i 11
L=4J, 1 Rdu=4RJ, e-,- du=4R(arcsenu) =
0 vR 2 -R 2x 2 0 -vl-x2 0
= 4Rtarcsenl-arcsen O)= 4R ( ~-O) = 2nR
3.7. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Um sólido é denominado sólido de revolução quando é obtido pela rotação de
uma curva contínua sobre um eixo, como ilustrado na figura abaixo
X X
Vamos agora desenvolver uma técnica pra calcular o volume de um sólido de
re o lução. Cons idere que o sólido de revo lução foi gerado pela rotação do gráfi co de
uma função continua f: [a, b]➔IR em torno do e~xo x. Inicialmen te, amos di vidir o
intervalo [a. b] em n retângulos menores. usando um a ide ia muito parecida com a
demonstração da integral de Riemann . Ao rotac ionar o gráfi co de f em torno do eixo
x, esses retângulos rotacionados formam fatias cilíndricas, como indicado na figura
abaixo .
a b
O segmento de reta ABa - 3 pela direita, é notório que as imagens/(x) tornam-se mais
próximas de .4 e não saem mais de perto de lá.
y
Ca,//D/1 t. 11/Jllll
Como se sabe, elemento algum do domínio de uma função pode ter mais que
uma imagem, tal qual -3. De modo análogo, a definição de limite é criada de maneira
que as imagens não podem acumular-se em torno de dois valores distintos, quando x
tende a um mesmo ponto. Noutros termos, uma função jamais pode possuir dois
limites diferentes, para uma mesma tendência .
Faz-se necessária, desta forma, a ideia de limites laterais. No exemplo
precedente, diz-se que quando x tende a - 3 pela esquerda, as imagens f (x)
aglomeram-se em torno de 2. E que quando x tende a - 3 pela d ireitaJ(x) tendem
a 4. Indicam-se esses fatos com as seguintes notações:
lim f(x)=2; lim f(x)=4
X ➔-r X--->-3+
Como esses limites laterais são distintos, afirma-se que lim f ( x) não existe.
x➔-3
lmpo1tantíssimo ressaltar que o valor de .f (- 3) é completamente irrelevante na
determinação dos limites laterais tendendo a - 3. Em verdade, os casos mais
interessantes na obtenção de um limite são aqueles em que a tendência não está no
domínio da função. Isto deve ficar mais evidente nos exemplos subsequentes.
Suponha-se agora uma tendência para X3 = - 2, o qual não pertence ao
domínio dcf Não faz sentido. po1tanto, falar em.f(-2). É conveniente atribuir algum
significado ao símbolo lim f(x)? A resposta é SIM, mas merece esp~cial atenção.
x➔-2
Tal limite não indica mais uma concentração de imagens das vizinhanças (cada vez
menores) em torno de XJ, como nos exemplos anteriores. Pelo contrário, lim f(x)
X--->-2
indicará uma espécie· de "super dispersão" (ou ainda, uma "explosão") das imagens
próximas a - 2. A ideia (intuitiva) é que, por maior que seja o número real pensado,
pode-se obter urna vizinhança suficientemente próxima de - 2, de tal sorte que as
imagens nesta vizinhança são capazes (todas elas) de superar o número dado. É como
se, em vizinhanças diminutas de - 2, estivesse se confirmando o fato de o conjunto
dos números reais (observados nas imagens) não é Limitado superiormente (não há o
maior de todos os números reais).
- 2
Ga/lhUIB t Um/li
Quando x tende a - 2, as imagens / (x)
conseguem ser maiores do que qualquer
número real pré estabelecido. Indicam-se casos
como este pela simbologia:
lim f ( x) = +ro
X·•--,.-2
Ressalte-se, como já feito no estudo de intervalos reais, que o símbolo+ oo não
representa número real algum . Aqui, em Cálculo, o símbolo co também não indica
um número real. Simplesmente, o que se quer indicar com a notação lim f ( x) = +Cf.J
X➔-2
é que, em vizinhanças suficientemente pequenas em torno de - 2, as imagens
conseguem ser tão grandes quanto (e maiores ainda do que) se deseja. Também é
comum dizer que, em algumas vizinhanças de - 2, o conjunto das imagens f (x)
diverge.
Para fixar ideias, considere-se a função g: R - {- 2] -, R, definida por
1
g ( x) = -- . Suponha-se que alguém acredita na "superioridade suprema" do
x+2
número M = 69241 , chamando-o de "número enorme". No entanto, todo real na
vizinhança à direita de - 2 (- 2, - 2 + 69- 241 ), como x* = - 2 + 69- 251 , por exemplo,
tem imagem maior ainda que M, por g (note-se que é bastante razoável chamar x* de
um número muitíssimo próximo de - 2, já que M é enorme). Com efeito:
(
. ) 1 1 151 141 g x * = -- = -- = 69- • > 69- • = M
x*+2 69-25 '
Escrev~-se, assim, lim (-
1
-) = +oo, uma vez que as imagens de g só ficam
x➔-2+ X +2
maiores do que qualquer real pré fixado, em vizinhanças ("minúsculas") à direita
de - 2. Novamente, cabe destacar que o fato de existir ou não/(- 2) influencia em
praticamente nada o significado que se atribui ao símbolo lim f ( x).
x- >-2
Mais interessante ainda é o que ocorre em vizinhanças de X4 = 3. Existef(3) (a
saber, 1/4), mas lim f(x) não liga a mínima para essa existência. Quando x tende a
x➔3
CUIIDIII 1. 111/1/a
3 pela esquerda, já deve ser muito fácil perceber que as imagens acumulam-se em
torno de 2 (#f (3)) . Isto é representado, como visto, pela notação:
lim f(x) = 2
x➔r
No entanto, aproximando-se de 3 pela direita, nota-se analogamente à situação
descrita anteriormente, que as imagens conseguem ser menores que qualquer real
dado previamente. Desta forma, por menor que seja o número real dado como - M
= - 69~4
', é possível criar uma vizinhança à direita do 3, de modo que ~s imagens
nessa vizinhança conseguem ser inferiores ao número "muitíssimo pequeno". Mais
uma vez, portanto, as imagens de vizinhanças à direita de 3 nada têm a ver com a
imagem de 3. Aqui , as imagens "dispersam-se" cada vez mais, para baixo. Indica-se
isto pela notação :
lim f ( x) = -oo
X➔3+
Como as tendências laterais das imagens em torno de 3 são distintas (as
imagens "explodem para baixo", à direita de 3, e tendem a 2, pela esquerda), conclui
se que não faz sentido atribuir significado ao sfrnbolo lim f ( x).
X➔3
Finalmente, ocorrem fatos extraordinários com as imagens da função quando
os valores de x crescem ou decrescem indefinidamente (ou seja, sem limitações
superiores ou inferiçres, respectivamente). Diz-se que a variável x tende a mais
infinito quando é maior que qualquer real dado de antemão. Indica-se pela
simbologia x -+ + ao. Intuitivamente, consegue-se observar graficamente que,
conforme x vai ficando cada vez maior, as imagens concentram-se ao redor de - 2.
Escreve-se:
lim f(x)=-2
x ➔+~,;
Se x fica menor do que qualquer real pensado, diz-se que x tende a menos
infinito , representando-se por x -+ - ao. Agora, as imagens vão ficando cada vez
maiores, de tal forma que:
lim f(x)=+oo
~ - ) - R, dada porf(x) = k ( E R), tem-se que lim f ( x) = k, V x e R.
X-:t:J
Um tanto evidente (mesmo sem a posse da definição) que todas as imagens de uma
função constante acumu'lam-se em uma vizinhança (de qualquer raio) em torno de k.
Em verdade, todas as imagens são iguais ao valor k. Nesta propriedade, a tendência
a pode ser córretamente substituída por a+, a-, + oo ou, ainda, por - oo.
a
1.4.3. Existência Do Limite
•:llimf(x):l lim f(x);:l lim f(x) e lim f(x) = lim f(x).
X-►a x➔a- x➔a+ x➔a- x ➔a+
Embora não simplifiquefoi dividido em n partes iguais:
AB = [xo, Xi (u[x ,, x2[u [x2, x,[u ... U[Xn- , , Xn], onde a= Xo e b = Xn ,
b-a
Portanto, o retângulo de ordem i tem base t.x; = X; - X; _1 = -- e a altura
n
f(x,) . É notório que o volume de um cilindro de revolução de raio de base r e altura h
é dado por V= nr2h. Como a fatia cilíndrica item raio f(x;) e altura f(x,), seu volume
é dado por V, = n[f(x;)F x,. Como o volume do sólido pode ser aproximado pela
soma dos volumes das fa tias cilíndricas :
11 11
V= LV; = L n[f(x; )]2 6x;
i= I i= l
a a
C8Jl/11llll 1. /IIIIJ,ra/
Quando o número de retângulos tende pra infinito tem-se que .6.x;➔O e,
11
portanto, o somatório L n[f(x;)]2 L'i.x;, sendo f contínua, converge pra integral de
i=I
Riemann. Consequentemente, o volume do sólido de revolução é dado por:
V= Lb 1tf(x)2 dx
Vamos agora apresentar uma aplicação bem simples, que é a demonstração do
volume de uma esfera de raio r. É possível obter uma esfera rotacionando 360°, em
torno do eixo x, uma semicircunferência de raio r centrada na origem. A equação da
semicircunferência é dada por x2 + y2 = r2, com a restrição y ~ O. Desta forma, a
função associada é f:[- r, r] dada por f(x) = ✓r2 -x2 .
-r +r X
De acordo com a teoria apresentada, o volume da esfera de raio r é dado por:
Y=f n:f(xf dx=nf _r -x- dx=n: r-x--:;- =n r --+rJ __ =-~-r 7 r 2
, (
7 x
3 J I r ( 3 r
3
, r3 J 41tr)
-, -, .J - r 3 3 J
Também é possível calcular o volume de um parabolóide (sólido gerado pela
rotação de uma parábola em torno de um eixo) de revolução, bastando considerar a
função f[O, 1 ]➔IR dada por f(x) = 1 - x".
1
a
CaJIIIIl/o 3. ' /N8811JI
3.8. ÁREA DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
No item anterior apresentamos uma técnica pra calcular o volume de um sólido
de revolução. Agora vamos apresentar um método pra calcular a superfície lateral de
um sólido de revolução. A estratégia de demonstração é bem parecida. Suponha que
urna função contínua f: [a, b]➔IR é rotacionada 360º em torno do eixo x, gerando a
superfície de revolução. Divida o intervalo [a, b] é dividido em n intervalares
menores, todos de mesmo comprimento:
AB = [xo, x1[u[x1, x2[u[x2, X3[U ... U[Xn-1, Xn], onde a= Xo e b = Xn.
i : •• ... -... ..
' 1 1
X
Tome um desses intervalos [Xi-1, x,] e rotacione 360° a porção do gráfico de f
pe11ence a esse intervalo, em torno do eixo x. Considerando que .6.x, = x, - Xi-1 tende
a zero, pode-se supor que é gerada urna superfície lateral de um tronco de cone. Sabe
se que a área da superfície lateral de um tronco de cone vale S = ng(R + r), onde g é
a geratriz do tronco, ré o raio de uma das bases e Ré o raio da outra base. Na nossa
realidade, g = .J[f2
(x)-g2 (x)] dx ⇒
V= rrf>-x
4
dx =rr(\
2
_ x
5
5
I ~ J ⇒
V=rr(½-¼) ⇒ V=~~
06) Determine o comprimento da curva dada pelo gráfico de f(x) = ln(cos x) no
intervalo O :S x s rr/6.
Solução:
f'(x)=-
1
-(-senx)=-tgx ⇒ (f'(x))"=tg"x ⇒ 1 +(f'(x)f= 1 +tg"x ⇒
cosx
J + (f'(x))2 = sec2 x ⇒ ✓l +(f'(x)) 2 =secx
. rn/6 1 ., ? rn /6
Ass1m : L=J
0
yl+f(xtdx=Jo secxdx
O cálculo da integral de sec x não é óbvio!
i n / 6 ( ) /6 '
L = sec x --'------=---=- dx = _____ __::::__ dx • scc x + tg x f n sec x + sec x. tg x
o (secx + tgx) o sccx + tgx
Seu= sec x + tg x ⇒ du = sec x.tg x + sec:! x dx
Quando x = O tem-seu= 1 e quando x = rr/6 tem-seu =✓3
Substituindo na integral:
L= -----.::c.__dx = -du= lnlul =h1v3 frr'
6sec
2
x+secx. tgx 1✓3 1 ( 1 ✓3) r:;
o sec x + tg x I u 1
#11/tJ//13. llllnral
3.9. INT EGRAI S IMPRÓPRIAS
Uma integral é classificada como imprópria quando pelo menos um dos limites
de integração tende pra - ,yy ou + cn. Assim, são classificadas como integrais
impróprias:[''· f(x) dx' f', f(x) dx ou r;: Í(X) dx, onde a e b são reais. Os casos
f,~"·f(x) dx e f,J(x) dx são denotados como integrais impróprias em intervalos
semi-infinitos e o caso J:: f(x) dx é denominado de integral imprópria em intervalo
tinito.
Repare que não é possível ap lk:t1r direiamente as somas de Riemann pra
calcular essa integral, pois em qualquer divisão que se faça no intervalo definido
pelos limites de integração teremos um número infinito de retângulos.
A estratégia pra calcular uma in1egral imprópria é substituir o limite de
integração que tende prn infin ito (ou os dois limi1es, se for o caso) por um número L,
calcular a integral e depois fazer L tender pra infinito na formula encontrada pra
primitiva. Pra formalizarmos esse proced imento, observe a seguinte definição.
Definição: Seja f:[a,+ w)➔IR uma função contínua. Se o limite
f +«> f(x) dx = Jim f L f(x) dx,
a L➔+«> a
existe e é finito, então afirmamos que a integral imprópria fa""-·r(x) dx converge.
I
+c1,
Caso contrário, afamamos que ª f(x) clx diverge.
Observação: Integrais impróprias do tipo f: (- oo, b]➔ IR se definem ela mesma
maneira: f" f(x) dx = lim f b f(x) dx
--OJ l.➔-oo 1.
Definição: Seja f: IR➔ IR urna função contínua. Se existir aEJR tal que as integrais
f"" f(x) Jx e r ·r. f(x) clx existem e assumem valores finitos, então afirmamos que
a integral imprópria r:.· l'(x) clx converge e seu valor é definido como
f +oo f" f +«>
_
00
f(x) dx = -oc f(x) dx + " f(x) dx
Vamos agora apresentar aplicações de integrais impróprias. Iniciaremos
calculando o valor, caso seja tinito, de r +z e •• , dx. • J 11
r+.-r.e_' dx= lim r'-e-' dx= lim -e-,I'-= lim 1-e-L=I
Ju L--;t,,. Jo L- >+cr 1) L-H.X>
a
lffl,t}JiMn, t,h
Este resultado confirma que J1;·" c-' dx converge e vale l. Como f(x) = e-' é
~ontínua e seu gráfico está sempre aci111c1 do ei xo x. qualquer integ1·a I de f pode ser
In terpretada co111 0 Lllll íl área. mesmo que o int erva lo se_ja i•nfinitn. Louo. 0 resultado
[ "·'e-x dx = l signific0 que a área delimitada pe lo gnHico de f e o eix(:x. no primeiro
quadrante, é finita e vale 1, como ilustra a figura abaixo.
Agora vamos ca lcu lar o valo1· de f 1 '_!_ dx :
1 X
J+,. 1 Jr l I L
1
--:-dx=lirn --:-dx=limlnx =limlnL=+-1.:
X L->+ r:. 1 X !.-•+·,_ 1 L->+~,
Esse resultado significa que J" '__!_ dx dive1·ge. ou seja. a ,íreél delimitada 1Jclo
1 X • t
gráfico de f eixo x e él relél verticéll x = 1 tende prn infinito. como sugci·e a imagem
abaixo.
Os dois exemplos apresentados de integrais impróprias são bem interessantes,
pois tanto e-' quanto ~ tendem a zero quando x tende a mais infinito. Contudo esse
X '
fato, apesar de necessário, não é suficiente para que suas integrais sejam ambas
~onvergentes_, Mas por que isso aconteceu? Observe os gráficos das du~s funções,
rlustrados acima. Note que o gráfico de e-' converge muito rapidamente pro eixo
(que é equivalente a tender a zero), enquanto que o gráfico de _!_ demora bem mais
X
pra se aproximar do eixo x. Isso é suficiente pra entender porque a integral de e-'
converge e o gráfico de _!_ diverge.
X
WUtlltlbWM
3.9.1. Integrais Impróprias em Assíntotas Verticais
Um outro tipo de integral que é classificada como imprópria ocorre quando a
função fé detinidc1 num intervalo do tipo ]a, b] e hú uma assintota vertical em x = a.
Nesse caso, não é possível incluir x = a como limite de integração, uma vez que x =
a não pertence do domínio da função, porém é possível utilizar notação de limite pra
descrever a integral. Para tanto, basta escrever a' como limite inferior de integração.
Por exemplo, suponhamos que se deseja calcular, supondo convergente, a
integral f(x) = l no intervalo ]O, 4]. Claramente, há uma assintota vertical em x =
O, como indica o gráfico I abaixo. Existe uma teoria pra calcular a integral imprópria
com assintotas verticais. porém sua aplicação foge dos objetivos desse livro. Pra
contornar esse problema, vamos adaptar a técnica desenvolvida pra integrais
impróprias com assintotas horizontais. Sabe-se que os gráficos de f e r- 1 são
simétricos em relação à reta y = x. Desta forma, a área compreendida entre o gráfico
de f e o eixo y é igual à área dei imitada pelo gráfico r- 1 e o eixo x, sendo apenas
necessário adicionar à úrea de r- 1 a área o retân~ulo destacado no gráfico 2.
1
(j rúlíco 1: .' ~- ,
-../X
1
\
Se f: ]O. 4], COlll f(x)= l · então r- 1
: [~.+'l_ J COlll f- 1(x)= xl2. Logo, a
integral solicitada por ser deter111inadu da seguinte maneira:
J
.J [ ] J+"' ] JL [ ] 1 L , , dx=-.4+ --:,dx=2+ lim . --:,dx=2+ lim -- =
O ,/X 2 1,2 x- L-t+ '-' 1,2 x" L->+:c X 1/2
=2+ lim 2-_!_=2+2=4
1_-,+z L
Sendo o valor finito. significa que a integral converge.
a
Derdcios ~esolvidos ~
01) Calcule o valor de l +·r ✓x I dx .
1 X (X + 1)
Solução:
Se x = u1 então dx = 2u du
J+a: l 1 ✓1.
dx = lim J • 1
dx = lim J ··-2- du=
1 ✓x(x+l) L->+x 1 ✓x(x+l) L->+-" 1 u2 +1
= lim 2arctgul ✓I. = lim 2 ( arctg✓L-.::J = 2(.::_.::J=.::
L-►+·,, 1 1. -► - ·r. ' 4 2 4 2
02) Calcule o valor de J~,,~ dx .
1 X
Solução:
7 dx - lim 7 dx= l1111 -- == 11111 - 1- - = -f +ao _I_ _ • f I. 1 • ( 1 / '·) , ] ( J J J
1 X L ► +7' 1 X r. >+r , 6xr, 1 1 >+·r 6 Lr, 6
03) Calcule o valor de f -,. _,x_ dx .
li x· +]
Solução:
Suponha que u ""'x 2 + 1 ⇒ du = 2x dx
Note que x ➔ O entiio u ➔ 1
l+-,, X • , l '- X , J 1. 1 . l11 LI I' - 2-dx= lim - 1 -dx= l1111 -du= 1!111 - =
O X + J 1.-,~,. O X - + J 1 - >+·,. 1 2 U 1. - >+ ,. 2 1
. ln ( ·2+ 1) 1L. ~
= lim - - - = l1111 lnvL- + 1 = +rf~
L->+,,., 2 O L->+•r
Nesse caso, a área compreendida pelo gráfico da função e o eixo x diverge.
j
Dercicios
propostos
·. f, .., x
01) O valor de ,- " dx é
o (x- + 1
a)4ln2 b)l /8 c)3 l/ l60 d) 7/24
Cllfl6fl 3. 1111.8,ra/
e) 7/8
02) A área da região situada entre os gráficos de trx) = x" e g(x) = x>, para x E [O , 2] ,
é de
a)4/3 6)3/2 c)31 / 12 d)4 e)8
03) A figura abaixo mostra os gráficos das funções y = x", y = 4 - 3x2 e y = 4.
y
A área da região hachurada é
a) 1 b) 2 e) 8/3 d) 16/3
04) Sendo F uma primitiva de f(x) = x , . então F( 1) - F(0) vale
( x- ➔ )"
a) 1/20 b) 1/2 5 e) 1/40 d) 3/ 125 e) 3/250
05) O valor de Í
2
6x 3
/,
4 + lJ dx é
J11
a)386 b) 147 e) 125 d)98 e)49
J e 1 + ln X
06) O valor de --dx é
1 X
a)-1/e1 6)(2-e)/e c) 1 /e d) 3/2 e) 2
07) A área da reg ião limitada pelos gráficos das funções t{x) = x1 - x e g(x) = 2x3 e
pelas retas x = -1 e x = 1 é
a) 1/4 6)3/4 e) 1 d) 5/4 e)2
a
08) A área da região compreendida entre os gráficos das funçôes y = x1 e y = 4x. para
O :S x :S 4, vale
a)l0 b)20 c)30 d)40 c)50
T
09) O valor de T~'.~-, J
0
2xc ' clx é
a)-2 h)-1 c)0 d) 1 e) 2
f
l X
1 O) O valor de --
4
dx é
O J + X
a)rr/12 b)rr/10 c)rr/8 d)rr/4 e) rr/2
11) O valor de forr/
2
2x cos x dx é
a)rr-3 b)rr-2 c)rr-1 d)rr+ 1 e)n:+2
12) A área da região compreendida entre os gráficos das funçôes f(x) = x2 + 1 e g(x)
= 2x + 1, no intervalo [O. 3], é
a) 8/3 b) 7/3 c) 5/3 d) 4/3 e) 2/3
J' 3cos t2 dr
13) O valor de lim O é
,-,o r' c-1' dt
J11
a)0 b)I c)3 d)6 e)+UJ
14)Ovalorde f1 ✓9-x 2 dx é
a) 9rr/2 b) 7n:l2 e) 5rr/2 d) TT e) O
15) Seja r a reta tangente ao gréífico de f(x) = x1 + 1 no ponto ( 1. 2). Então, él área da
região contida no semiplano y >O.e delimitada pelo gráfico de f. pel O. ~
\ /
/
/
O valor de k para que A seja igual a I é
a)4/3 b)9/8 e) 1 d)8/9
/
\
\
e) 3/4
24) A área da região delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x.cos x e g(x) = cos
x, para O ~ x ~ rr/2. é
a) rr/2 + cos I b) sen 1 + cos I c) 2cos 1
d) rr/2 - cos 1 - sen e) rr/2 - 2cos 1
2S)Ovalorde Ín,
2
c'scnxdx é
Jo
a)(e""- 1)/2 b)e ª "-1 c)(I , eº 2)/2
d) 1 + e '2 e) 2 + e:
i
l , .
26) O valor de x-e' dx é
1)
a)2e-l b)2e c)e-2 d) e e) 2e- 2
a
C81flllla 3. lllll/1181
27) Uma tenda tem base circular de raio 4 m e paredes ve11icais. As seções
transversais da tenda por planos que contêm o mastro central são simétricas com
respeito ao mastro e estão representadas na figura abaixo.
r
Ó,.
A curva acima, no primeiro quadrante , que liga o mastro ú parede, tem equação
✓x = 4- y. O volume interior it tenda, em m-', é igual a
a) l 89rr/5
d) 20 1 rr/5
b) l 92rr/5
e) 207rr/5
c) l 96rr/5
28) Um sólidu , que tl.!m asp!.!cto di.! uma forma d.: pudim, é obtido por rotação em
torno do eixo Ox da região compreendida entre as retas x = O, x = 1, y = x + 3 e y =
- x + 2. Qual é o volume do sólido'.) '
a) 8rr b) I0n c) 12n d) 14n e) l(rn
29) Na figura abaixo, estão representadas a reta vertical x = ..7::., a reta horizontal y =
2
L e o gráfico da função t(x) = cos x, com xE[0, n/2].
)'
--+--------·
o 2
O valor de L para que as áreas das regiões A e 8, indicadas na figura, sejam iguais é
a) 112n b) 1/n e) 3/2rr d) 2/ rr e) 5/2rr
E J
X X
30) (EFOMM-94) ncontra-se para sen(-)-cos(-)dx a expressão:
2 2
(A) Jsen(%)+C (8) -cos(~)+C (C) -*cos2x+C
X
(D) -sen(-)+C
')
(E) (1-cosx)·0.S+C
31) O bojo de uma taça é obtido por meio da rotação da curva y = x2 ao redor do eixo
Oy. Coloca-se água na taça até que o nível do líquido atinja ,iltura 4. Então, o volume
de água na taça é •
a)8n b)6n c)5n d)4n d)3n
32) Seja A a região do plano definida por
A = { (X, y) E IR 2: o :s: X :s: n/2. ✓ scn X . cos X :s: y :s: /; :
y
: y -= fx
: J1 = Jsêiix COS X
!!:
2
X
O volume do sólido obtido pela rotc1ção de A em torno do eixo x é
a) n3/8 - n/3 b) n'/6 + n/2 c) n'/3 - 1/2
d) n3/4 + 1/2 e) n'/12 + n/4
33) (EFOMM-94) A primitiva da função f(x)=(x-1) 4
, que se anula para x=2,
tem a seguinte expressão:
(A) (x ~ l)
5
(B) (x- 1)'1
) 4
(E) 4-(x-i/
;r;.~
34) (EN-98) O valor de J tan 2 (2x) dx é:
o
a) i /3 b) l /6 c) ✓2 - 1
(C) 4-(x-1)5
d) sJi.-3n
24
35) (EFOMM-13) O valor clc1 integral J scn x.cos x dx é:
a)- cos x + c b)- (cos 2x)/4 + c c)- (cos x)/2 1- c
cl) (cos x)/4 + c e) (cos 2x)/2 + e
36) (EFOMM-15) O vc1lor da integral f xe ,' dx é
)
] , 2 X ,.' ] , •
a - .e + c b) - .e + e c) - .e + c 4 ..., ..., d 1 ' ) -.e +c
4
ti
4-n
e)--
8
1 ' e) -.e + e
4
C8JJIIRIIJ3. llllltal •
37) (EFOMM-13) O gráfico da função contínua y = t{x), no plano xy, é uma curva
situada acima do eixo x para x > O e possui a seguinte propriedade:
''A úrea da região entre a curva y = t(x) e o eixo x no intervalo as; x s; b(a > O) é igual
ú árec1 entre a curva e o eixo x no intervalo ka :S: x :S: kb (k > O)". Se a área da região
entre a curva y = t{x) e o eixo x para x no intervalo 1 :S: x :S: 3 é o número A então a
área entre a curva y = t{x) e o eixo x no intervalo 9 :S: x :S: 243 vale:
a)2A b)3A c)4A d)5A e)6A
38) (EFOMM-14) Uma pesquisa indica a taxa de cresci111ento populacional de uma
cidade através da função P(x) = 117 + 200x. por pessoas anualmente há x anos.
f
111
Passados 10 anos. o c1·escimento é dado pela intel!.ral (l 17+200x) dx. Pode-se
- li
afamar que esse crescimento será de
a) 1 O 130 pessoas. b) 1 1 170 pessoas. c) 1 1200 pessoas.
d) 11310 pessoas. e) 12171 pessoas.
39) (EN-1 O) Qual o valor de f sen 6x.cos x dx /
7cos7x 5cos5x b) 7 en7x 5 ·cn 5x
a) - --- - ---+e ---+---+c
2 2 1 2
)
sen 7x sen 5x
c --+--+c
2 2
d) _ cos7x _ cos5x +c
14 10
)
7cos 7x 5cos5x
e ---+---+e
2 -
40) (EFOMM-15) Dada uma função F: lR➔lR. sabe-se que:
i) F'(x) = sen 3x.cos 5x, onde F'(x) é a derivada da função F, em relação à variável
independente x;
ii) F(0) = O.
O valor de F( _2:_ ) é
16
a)- --- -\(~ 3]
4 2 4
d) - - --'----- +-\( \~ 3 ]
4 '.2 4
b) .!_( -~ +i]
4 2 4
c).!.. r ~
4 2
e).!_[ - ~ - 2]'
4 2 4
~ l:\
I
.,e
41) (EN-17) Calcule l _ , _ dx e assinale a opção correta.
C " +2e.º' + \
a)-(e3'+1) 1 +c b)(e1'+1) 1 +c c)-(e3'-I) 1 +c
d)(e''-l)- 1 +c e)-3(e''+l)- 1 +e
a
. .mvnzi,n, , , ;
42) (EFOMM-17) Se.ia g(x) - 4 - cos x e f '(x) = 4x - e2'. Sabendo-se que f(0) =
g(0), determine f(x).
a) f(x) = 3 - 2x
')
c) f(x)=c-2
' - +C c) _x+., +C
2 1 19 105
d) (5x +3 )"' + C e) (5 x + 3)21 + C
21 10:
a
. f x~-4xr'+ 6x 4 -4x 2 +J
52) (EN-17) A integral --:.------;----:--~- dx é igual a·
( 4 l )( r, 3 4 , •
X - X - X + 3x - - ])
a) are tg x + e b) _!_111/x-l/+c
2 X+ 1
c) ln /x - 11 + e
d) ln lx + 11 + e e) are sen x + e
53) (EFOMM-23) Seja I o valor da integrnl abaixo
O valor de 30.1 é
a) 256 b) 528
l= Í
1
(x 2 + l)(x 3 +3x)4 dx Jn
c) 1024 d) 2048 e) 4096
4tiM11MlirB i
54) (EFOMM-24) Sendo f(x) = sen 2x. calcule a área limitada por f(x) e pelas retas
x = O, x = rr/8 e y = O.
a) 1- ✓2 b) 2-✓2 e) 1- ✓2 d) 3- ✓2 e 3- ✓2
2 4 4 2 ) 4
55) (EN-89) f \ .. dx é igual a
0 2-'.:! x - + 'y' (x) =e·''+ , +-- e y (O)= -+-, pode-se afirmar que y (-1)
é igual a
a) c-
3
- 2ln2
3
d) J-_ ln 2+c
3
3
x- -1- '2 ·+ '2 l-3x _.4 3
b) ➔C-3 +5
4
e)c '- ln2 +3
3
c 2x
61) (EN-06) O cálculo de f--4-. dx é igual a:
1 +e ~
ln/I+e
4
' /
a) ---- + e b) 2 arctg e2
' + c
4
.e 2x 4x arctg
d)
ln / 1 + e • / e) ~ +e i, + e
4 4e
- are cotg e~"
e + e
2
62) (EN-19) Sejam h, p, f e g funções reais tais que h(x) = /x/ + /x - 1 /, p(x) = x3, f(x)
= x.:- e g(x) = ax\ com a > O. O valor de a torna a área da região limitada por fe g, no
intervalo [O, 1/a] igual a 2/3. A é o valor da área da região limitada por h, p e pelo
eixo das ordenadas. Assinale a opção que representa um número inteiro.
a) A/a2 b) A2
- 2a e) A.:- - a2 d) A2/a e) 2A - a2
63) (EN-07) Sejam a
(a'- bxr
e b constantes reais positivas, a c;i!:b. Se x é uma variável real,
mwnn.; v,
então f - - ---'- dx é:
a b·~
a) (ln a - ln b) ---:-----:- -2x + e (
a' bx)
b' a'
e) - - - - --- -2x+c 1 [ª' bx)
(lna-lnb) b' a'
e ---- --- -2x +e 1 (ª' b'J
(I11b-lna) bx ax
b)(ln b-lna) --- -2x+c (
u' bx J
b' a '
64) (EN-08) O valor de f 4 sen 2x cos2 x dx é
)
cos2x co 4x
a ---+--+e
2 4
) 4cos3
X C e - ---+
3
cos4x
e)-cos2x - --+e
4
sen 2 2x
b) --cos2x - ---+ e
2
3
d) - -cos2x + C
2
65) EN-08) Considere y = f(x) uma função real, de variável real, derivável até 2ª
ordem e tal quej"(x + j(x) = O, V x E 9'!. Se g (x) = f' (x) sen x - f(x) cosx + cos2 x
então. '
) ( ) sen 2x C
a g x = --+ b) g(x) = e
2
cos2x e) g(x) =f(x)- --+e
2
cos2x d) g(x) = 2/(x)- --+C
2
e) g(x) = senx + cos2 x + C
66) (EN-09) O valor de f 1 + x
2
+ ~ dx é
Jo-x 2 )(1+x 2
)
a) are cos x + are cotg x + C
b) are sen x - are tg x + C
e) - are sen x - are cotg x + C
d) are cos X + are tg X + e
e) - are COS X + are tg X + C
a
eapfl6fo 3. llllltal
67) (EN-11) Sejam f(x) = ln (cos x)2, O:,;; x a e) t > -ª a)t>-a b)t ~ e0IR e g: IR---->IR. Definimos min [ f, gj corno sendo a
função h: IR---->lR t~I que h(x) = min {f(x), g(x)], v'x E IR.
Se f(x) = x2 + 3 e g(x) = 4x, v'x E R, calcule L4 min{f,g} dx.
84) (1 ME-77) Sejam as regiões defi nidas pelos conjuntos de pontos A e B onde
A= {(x, y) E IR2
I y2A simbologia de módulo de um vetor é I AB 1-
Dado um vetor v = AB, o vetor BA é chamado de oposto de AB e se indica
por -AB ou por -v .
B
.;/A Note que dois vetores aposto
possuem o mesmo módulo:
1 vl=l-vl
4.2. ADIÇÃO DE VETORE (FORMA GEOMÉTRICA)
•ejam Li e v doi s elores quai squer. A soma ele u com v é o vetor Li + \; que
pode ser determinado da seguinte maneira : esco lhemos representantes ÃB e B ; dL>S
veto res Li e v. O etor soma é representado pela flecha que possui origem no ponto
A e ex trem idade no ponto C. como mostra a figura :
ü
2/c
A ü 8
A soma coincide com a diagonal do paralelogramo determinado por ü e v,
quando estes vetores são posicionados com o mesmo ponto inieial. Veja:
v
Assim fica evidente que ü + v = v + ü .
Vejamos agora algumas definições :
(i) Existe um só vetor nulo O tal que, v +O= O+ v = v. O vetor nulo tem módulo
zero e direção e sentido indeterminados. _
(ii) Qualquer que seja o vetor ,; , existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que
v+(-v) = o.
(iii) A diferença dos vetores ü e v é o vetor ü + (-v) .
-v
4.3. MULTIPLJCAÇÃO DE NÚMERO REAL POR VETOR (FORMA
GEOMÉTRICA) .
Dado um vetor v ,,t Õ (vetor nulo) e um número k E IR*, define-se produto de
um número real k pelo vetor v, o vetor k. v tal que:
a) módulo: 1 k. ~ j = j k j I v 1, ou seja, o comprimento de k. v é igual ao
comprimento de v multiplicado por I k 1.
b) direção: k. ~; e v possuem a mesma direção.
c) sentido: k.; e v têm o mesmo sentido se k > O e k. ~·. e v têm sentidos contrários
se kz
" ·"•~----
• ' - . !
~ :·· . , .,_, .. " ----··--···-.. ........ _, .
é•'' , .. ·-' ,,. o :
1 -·-'.r1 : ~- Yr
·- -· .-->C...-L _ ___..V y
Sejam dois pontos no espaço A(x 1,
Y1., z1) e B(x2, y2, z2). Construa um
paralelepípedo com diagonal AB. Se
AD é uma diagonal da base do
paralelepípedo, onde D(x2, y2, z1)
então, pelo teorema de Pitágoras:
-2 2 o
AD =Cx2-x1l +(Y2-Y1r
Observando agora o triângulo ABD,
também pelo teorema de Pitágoras :
AB
2
=AD
2
+BD
2 ⇒ AB= ✓(x 2 -x 1 ) 2 +(y2 -y 1 ) 2 +(z2 -z 1 ) 2
Assim, se A(9, -4, 3) e B(l, O, 2) então:
AB = ✓Cl-9) 2 + (0-(-4))2 +(2-3) 2 = .J,-64_+_16_+_1 = ✓81 = 9 .
' CBIJ/IIl/114. • V6/llfltS
4.5. AS COMPONENTES DE UM VETOR (FORMA ALGÉBRICA)
Qualquer vetor v = AB considerado no plano catiesiano possui sempre uma
representação (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem. Inicialmente,
serão considerados os vetores com origem na origem do sistema. Neste caso, o vetor
é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, ligando a origem ao ponto
P(x, y) tem-se o vetor v = OP e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são
identificadas como as componentes do vetor.
y
V
p /
V
---,---,,L...____,..r__ ___ ---,;,j + y1).
Tudo que foi apresentado para a sorna de dois vetores ern um plano é válido
para a soma de dois vetores no espaço. Isto ocorre, pois, dois vetores não paralelos
determinam um L111ico plano. A demonstração deste fato é bem simples. Faça
coincidir a origem O dos vetores com a origem do sistema de eixos tridimensionais.
O ponto O e os extremos A e B dos vetores v e Li determinam um único plano, que
é o plano que contém o triângulo OAB. Assim, somando os vetores u = (x, , y, , z,) e
v = (x: , y2, z2) encontra-se:
Por exemplo, se ü = (-3, 5, 1) e v = (2, -8, 0J então:
a
4.7.1. Módulo Da Soma De Dois Vetores (Forma Geométrica)
Considere a figura da página anterior, onde 8 = LAÔB é o ângulo formado
pelo? vetores v = OA e ü = 08 . Como AOBP é um paralelogramo, sabe-se que
LOAP = 180º - 8. Aplicando a lei dos cossenos em t-OAP:
-2 _, -1 - -
OP = OA - + AP- - 2.AO.AP.cos(l 80"-8) ⇒
1 ü + v 12 =1 ü 12 + 1 v 12 +2. 1 ü 1. 1 v 1 .cos 8,
onde 8 é o ângulo formado entre os vetores ü e v.
Por exemplo, se I ü I= 2. 1 v [= 3 e o ângulo entre os ü e v é 60°:
l u + v 12=1 ü 12 + [ 'ii 12 +2. 1 Li 1. 1 v, .cos 8 = 22 + 32 + 2.2.3.cos 60º= 4 +9 + 12.0, 5 = 13 + 6 = 18 ⇒
1 Li+ v I= 3✓2
Observação:
(1) Caso 8 = O os vetores possuem mesma direção e mesmo sentido e assim o módulo
da soma vale I ü + v 1=1 Li 1 + 1 v 1;
(2) Caso 8 = 180º os vetores possuem mesma direção e sentidos opostos e assim o
módulo da soma vale [ li -v I= li li 1- 1 vil-
4.8. l\JU L T I PLICAÇÃO DE lJM VETOR POR lJM ESCALAR (FORMA
ALGE BRI CA) •
Sendo L; = (x1, y1, z1) e k E IR. a multiplicação de um vetor por um escalar é
definida por:
A definição algébrica do produto por escalar dada acima concorda com a
definição geométrica vista anteriormente. O módulo de ; = (k .x1, k.y1, k.z1) é dado
por:
1 ~ 1 =.J(k.x1 )2 + (k.y1 )2 + (k.z1 )2 =.Jk 2(x12 + y/ + z~) = !ki.Jx1" + Y1" + z~ = 1 k li Ü 1
Logo, o módulo de k. ~ é igual ao módulo de L; multiplicado por lkl.
4.9. VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS (FORMA ALG ÉBRICA)
z
B
Considere o vetor AB de origem no ponto
A(x.,, y.,, z.,) e extremidade em B(xb, Yb, Zb), Da
figura :
. . • - -
OA+AB=OB ⇒ AB = OB-OA ⇒
AB = (xb, Yb, 21,) - (x., , y.,, z.,) ⇒
AB = (X b - X11, )'b - )'a, Zb - Za),
Observação: Sempre que ~ = AB ou ;, = B - A, pode-se concluir também que B =
A + ~ ou B = A + AB, isto é, o vetor ~ transporta o ponto inicial A para o ponto
extremo 8.
Suponha que os pontos A e B são dados por A(2, - 7, 5) e 8(0, 4, - 6). Assim,
o vetor AB é dado por
AB = B-A = (O, 4,-6)-(2, -7, 5) = (0-2 , 4-(-7), -6-5) = (-2, l 1,- 11).
4.10. VETOR DEFINIDO PELOS VETORES UNITÁRIOS (FORMA
ALGÉBRICA)
É possível associar um vetor de módulo unitário a cada eixo. O vetor unitário
i será associado ao eixo.\ e o vetor unitário j ao eixo unitário ao eixo y, conforme
figura abaixo:
y
O i 1
O par ordenado de vetores unitários ( i', j) constitui uma base do plano IR1, ou
seja, base do plano cartesiano Oxy. Verifica-se que um vetor Li = (x, y), pode ser
escrito univocamente como:
ii=x.i+ y.j
Analogamente. no espaço IR\ pode-se considerar os vetores unitários 1 , J e
k, respectivamente, associados aos eixos Ox, Oy e Oz, conforme figura abaixo, e a
representação do vetor .ü = x.i + y.} + z.k, no espaço é:
l
z ---- - - ---;,,
/ ,, 1
,, , 1
., ~•./ 1
f - - - - - - -- -- - '
F'(x ,y ,z)
1 1
1 1
1 :
1 1
1 1
1 () 1
1 --'F-+-:--- -,----,:-- ----
1 / ':' 1 / Y y
1 1 : , , r
--- - --- - - - ·
1(
O terno de vetores unitários ( f , .1 . k ), será a base do espaço IR'. O módulo do
' ' '
vetor ü = x. i + y.j + z.k será dado por:
1 ii 1= J xz + y2 + z2
Para demonstração esta fór111ula basta verificar que I ü I é a diagonal de u111
paralelepípedo de dimensões x. y e z. exatamente corno foi feito no ite111 4.6.
Todas as operações _já definidas para vetores da escritos na forma (x, y. z)
- - -
ta111 bérn valem para vetores escritos na forma x. i + y.j + z.k. Por exemplo, se
-· ·• -• . -• .
ü = x.i +y.j +z.k e v = a. i + b.j +c.k então:
i) ü = v x = a e y = b e z = c
ii) i.i + v = (x +a).i. + (y + b)._/ + (z+ c).k
i
1
C811llll114. VIIIJl'08
4.10.1. Versores
U111 versor de um vetor ,; não nulo é um vetor de módulo igual a 1 e que tem
mes111adireção e sentido de ,·,. A si111bologia do versor do vetor ,·, é \' ou vers v.
Algebricamente, o versor do vetor v é igual a ,, = I ~
1
, ,, ,=O.
Por exe111plo, se ,, = -2 T + ] + 2k então:
' . ' . v -2 i + j + 2k 2 .- 1 : 2 -
V=-= --;:====== =--1 +- J +-k
li.;I J (-2)2+12+22 3 3 3
4.10.2. Vetores Paralelos
Dois vetores não nulos ü e ,) são paralelos se e somente se existir um número
real não nulo À tal que
\Í = /,Ü'
Do ponto de vista das componentes, dojs vetores são paralelos se as razões
entre as respectivas componentes forem iguais:
v=t,ü a1i+b1_1+c 1k="Aa 2 f +;,.b 2 j+"Aci
a1 = /•,ac, b1 = Àbc e c1 = Àcc ~--~--5_
ª 2 b 2 C 2
Por exe111plo, os vetores Li = -5 ( + 15 J - 1 Ok e ,; = 3 f - 9 J + 6k são paralelos
-5 15 -10
desde que - =-=--.
3 -9 6
Dois vetores paralelos possuem sempre a 111esrna direção. Sendo v = ÀÜ, se À>
O então v e ü também possue111 mes1110 sentido. Se /, 1 então I v 1 > 1 ü I e se l"AI ü J_ \1 .
(3) (ü.v).\'i;1 é u111 vetor, pois (ü.,,) é um escalar e (ti.,,).,,;, é o produto de um escalar
por um vetor.
( 4) (ü.v).w -c;r. ü.( ,;;_\v) pois ( ü.v ).,,, é um vetor com é1 111esma direção de ,v e ü.( v.w)
é um vetor co111 a direção de ti.
(5) k.(Ü.\i)=(k.Li).,i. k E IR
Dercíc-ios ~esolvldos :::,> Mtrtttt IWú-:
O 1) Demonstre que o triângulo A(2, 3, 1 ), 8(2. 1, O - 1) e C(2, 2, - 2) é um triângulo
retângulo .
Solução:
Determinando os vetores formados pelos lados de 6ABC:
AB= B-A =(0, -2, -2)
AC=C-A=(O. -1,-3)
se= e - B = ( o, 1, - 1 l
Assim: AR.BC: = (O, - 2, - 2).(0, 1. -1) = O- 2 + 2 = O ⇒ AR J_ BC
02) Calcular I ú + ,, 1 sabendo que I ú 1= 4. 1 ,; 1= 6 e o ángulo formado pelos vetores
Li e v é 60°.
Solução:
, 1
1 ü + v 12 =1 ú 12 + [ v [2 -2 1 ü I-I ',;j.cus(➔ = 16+36-2.4.6.2 = 52-24 = 28 ⇒
1 Li+\; 1= 2✓7
03) Determinar o ângulo formado pelos vetores Li e,; sabendo que ü+v+,v=O,
1 ü 1= 2, 1 ;,; I= 3 e 1 \V i= 4 .
Solução:
v
Se ü + ,; +,.;, =O então os vetores Li, v c i 1 formam
um triângulo, como indicado na figura ao lado.
Pela lei dos cossenos:
I,,;,I2=iü i2 +Ivl
2
- 2.[i.il.Jv l .cos0 ⇒
]6=4+9-2.2.3.cosl:l ⇒ l2costJ=-3 ⇒
1 1
cos0 = - - ⇒ 0 = arccos- -
4 4
04) Determine um vetor que seJa simultaneamente ortogonal aos vetores
ü = (1, - 1, 0) e v = (1, O, l).
Solução:
Suponhamos que ,,, = (x, y. z) satisfaça \V J_ ü e .;.;, J_ ,:, .
\\'.Ü=Ü ⇒ (x,y,z).(1,-I,0)=0 ⇒ x-y=O (1)
,,;,.'ii = O ⇒ (x, y, z).( 1, O, 1) = O ⇒ x + z = O (2)
O sistema formado pelas equações ( 1) e (2) não apresenta solução única.
Todo vetor na forma \\' = (x, x, - x) satisfaz 'iv J_ Li e 'Í\1 J_ ,; .
05) Calcular o ângulo formado pelos vetores â + 26-ê e -â + b- :Zê, sabendo-se
-• .
que I â l=I b l=I é I= 1 e que â. b e é são ortogom1is dois a dois.
Solução:
Como â, 1; c e são ortogonais dois a dois entilo ,i, 21~ c -ê também são ortogonais
dois a dois e seus módulos são arestas de um paralelepípedo 1·eto retúngulo.
Assim: iâ+2l~-êi=Ji à/+l21~1 1 +lé/ 2 =Jl+4+1 =J(;
Analogamente: /-à+ b- 2é I= Ji à 1+11; /2 + l 2ê 12 = ~ = J(;
Corno ã, b e é são ortogonais dois a dois: ii.l; = O, :i.c = O e b.c = O
(a+ 2b- c).(-â + G- 2c) =-a.à+ à.b - 2à.c - 2à.L; + 21;_i:; _ 2L~.c + +à.e - b.c + 2c.c =
= - 1 ã 1
2
+21 G 12 +21 e 12 = - 1 + 2 + 2 = 3 . .
cos8= (ã+2~-c).(-â+b_-2é) =i =~ ⇒ 8=60º
1 â + 2b - ê 1. 1 -i:i + b - 2ê I 6 2
06) Os vetores ü e v -são colineares. Determine ;;, sabendo que li = -2 i + j + k e
ü.v = 24.
Solução:
Como ü e v são colineares, há uma proporcionalidade entre as componentesde ü e
v.Sev=xT+y]+zkentão_:._=2:'.=~ ⇒ x=-2zey=z ⇒ v=-2zT+z]+zf~
-2 1 1
ü.v = 24 ⇒ (- 2, 1, 1 ).(- 2z, z, z) = 24 ⇒ 4z + z + z = 24 ⇒ 6z = 24 ⇒ . -• -•
z = 4 ⇒ v = -8 i + 4 j + 4k
07) Determine o módulo da projeção do vetor v = (-1, 2, 3) sobre a direção do vetor
ü = (-2, -3, 6).
Solução:
Inicialmente, vamos calcular o ângulo formado por li e v:
lvl= JC-1)
2
+2
2
+3 2 = ✓14 e ILil= ✓C-2) 2 +(-3J 1 +62 = ✓49=7
cos 8 = v. ti = (- 1. 2. 3 .(- 2. - 3, 6) = 2 -6 + 18 = _14_ = 2._
/vJ.Jüi -M.7 7,/14 7,/14 ✓14
O módulo da projeção de \i sobre Li vale:
..,
1 proj ,; l=I V/ .cose= ✓14. ~ = 2
• ',,/14
a
1 . • Gflllll/84. VIJIBIIS :,
08) Determine \; de modo que as seguintes condições sejam satisfeitas:
i) 1 \; 1= ✓24:
ii) v é ortogonal a Li= (3. - 3, 0):
iii) \·· é ortogonal a 1Í'=(0,2,-I).
Solução:
• - 1 • 1 /,6 / 2 2 + 2 r:::;-;4 ⇒ "2 + vê + z2 - ')4 ( 1) Sev=(x,y,z)entao v_=',,/o ⇒ \JX +y z =',,/..é"1- ,, 1 --
\i.li=O ⇒ (x,y,z)(3,-3,0)=0 ⇒ 3x-3y=O ⇒ x=y (2)
\·'.\Í'=O ⇒ (x,y,z)(0,2,-1)=0 ⇒ 2y-y=O ⇒ z=2y (3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
24 = x2 + l + z2 = i + / + 4i = 6i ⇒ y2 = 4 ⇒ y = ± 2
Portanto: \;=(2,2,4) ou v=(~2,-2,-4)
09) Sabendo que os vetores Li, ,:. e \\• formam dois a dois ângulos de 60º e satisfazem
1 Li I= 4, 1 \:' 1= 2 e/\\'/= J, deter111 inar o módulo de Li+ v + \Í'.
Solução:
Vamos calcular o produto escalar entre os pares de vetores:
1
- , -• • • l O 1 -• -• 1 -• 1 1 - 1 6' ()º 4 ') l 4 ü.ü=lü/-=16, v.v=l\'l-=4, w.w=lw -='LI.V= LI. V .CDS = ·-·2= '
ü. w =I ü 1 . 1 \~' 1 . cos 60" = 4 .1. ½ = 2 e v. w =I v 1 . 1 \V 1 . cos 60º = 2. 1. ½ = 1
1 ü + ~- + ,,;, /2 = (ü + ,; + ,v).( ü +,; + w) =1 ü 12 + 1,; 12 + 1 vi' 12 +2( ü.\Í + ü.w + ,,;_0) =
= 16 + 4 + 1 + 2( 4 + 2 + J) = 21 + 14 = 35
Logo, segue que I ü + v + \\' I= /35
1 O) Determinar a área do quadrilátero de vértices A = ( 1, 4, O), B = (5, - 1, O), C =
(O, - 1, O) e O= (- 4, 2, O).
Solução:
A área de um quadrilátero qualquer vale S =I AC li BD/ .scn 0, onde 8 é o ângulo
formado pelas diagonais AC e BD.
AC=C-A=(-1, -5, O) e BD=D-B=(-9, 3, 0)
AC. BD 9- 15+0 6 2
costl= IA l .!.BD I J-l.6 ✓90 -3J260=- ✓260
. .. r:;-; r;;;:, 16
S =I ACII BD 1 .SCll 0 = ',,/26.',,/90. r;;-;-;; = 24
',,/260
16
⇒ sen0=--
✓2GÕ
11) Determine o ângulo form ado por duas diagonais de um cubo.
Solução:
Considere a figurn ao lado. onde 0(0. O, O). P( 1, 1,
1 ). A( 1. 1. O) e 8(0. O. 1 ).
OP=P-0=(1. I, 1)
RA=A-R=(l . 1, -I)
Se f-1 é o i\ ngulo formado por or e BA:
cose= c~r.B1\ . rI , 1. IJ.( I. 1. - 1 l
1.or r .1 n." 1 JiJJ
1.1 + 1.1 + 1.(-1)
=
3 3
12) (OBM-0I ) Em um qu~1dri látero convcx(>, n c, /111m em relaçào a um lado t: dclinida
como n perpendicular a esse ladc passa ndo pelo ponto méd io do Indo npnsI0. Prn vc
.que as quatro altu ras têm um pont o c.:0111u111 e e som ente se o quadril.i tero é
in_s c~·itível, isto e. se e somente se ex ist uma circ.:unícrencin que co,ntém cus quatro
vertIces.
Solução:
:\ 13
Considere no plano cartesiano 4 pontos: A, B, C
e D.
O ponto médio do lado AB é M = A + B.
')
. A+B + + D
Se.ia P um ponto dado por P = - - - - -
2
• ' O vetor MP é dado por:
--· A + B+C + D A+B C+D
MP=P - M= - - - - - --=--
2 2 2
O vetor CD é dado por CD= O - C.
Note que:
MP.CD= (e~ 0 }o-c) = 0 ~ ;c2
)
00 1~ ; 1 oc I.!
MP é perpendicular a CD MP ..l CD M P.CD= O J 0D J=I 0D J
C e D E circunferência centrada na ori!.'.e111
O mesmo ocorre para as alturas dos out~os lados de ABCD, ou seja. as alturas passmn
por P se e somente se os pontos A , B. C e D estão a uma mesma distância de O, que
é equivalente ao quadrilátero A BCD ser inscritível. com centro em O.
4.12. PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial é urna multiplicação entre dois vetores, onde o resultado
serú também um vetor. A simbolização do produto vetorial de Li por;;; é ü x ;;i ou
LI /\ V,
Os sinais :x ou/\ são usados para o produto vetori al e não podem ser substituído
pelo ponto(.) que é usado apenas para o produto escalar.
O Produto vetorial Li x ,:. é ddi11ido corno sendo um vetor que apresenta as
seguintes características:
MÓDULO: J ü x v J=l ü 1-1 v J .sen 0, onde 0 é o ângulo formado pelos dois vetores.
DIREÇÃO: perpendicular ao plano formado por u e v.
SENTIDO: determinado pela REGRA DA MÃO DIREITA. conforme mostra a
figura abaixo:
Os dedos indicador, médio e polegar devem estar esticados como indicado na
figura, com o dedo médio perpendicular à palma da mão e o polegar apontado para
cima. O primeiro vetor Li do produto vetorial é apontado com o dedo indicador e o
segundo vetor \; é apontado com o dedo médio. O produto Li x v é apontado com o
polegar.
O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos.
Para isso, inicialmente deve-se determinar os produtos de todos os pares de vetores
unitúrios ( . J e li. utilizando a expressão ü x v =1 Li 1-1 \; J .sen O e lembrando que o
üngulo fornrndo entre ( e _j, j e k e i e k é 90º e o úngulo entre i e i , j em _j e
k e k é Oº.
Assim, tem-se que:
ix _/=k, ./x f =-1~. i x k=j, k x i = -.i, j x k = i, k x j=-i, ixi=_jxj=kxk=O
(xJ +y1]+ziJ ü e v são paralelos
(4) (üxv)xw=üx(vxw) (associativa)
(5) ü x (v + w) = ü x v + ü x .;;,v (distributiva)
CaJI/IJJJo 4. fet/JIQS
4.12.2. Interpretação Geométrica Do Produto Vetorial
;;} /B C
A M
Considere o paralelogramo ABCD, abaixo.
Sabe-se que a área S desse paralelogramo é:
S = basexaltura ⇒ S =1 AB l ,h
Do triângulo AMO, segue que
h =I AD l .sen 8. Deste modo, tem-se que:
s =I A B 1 -1 A o 1 . sen e =1 A B x A o 1
Assim, a interpretação geométrica de I ü x v I é a área do paralelogramo cujos
lados consecutivos são ü e v. Inclusive, essa interpretação geométrica ajuda a
entender porque I ü x v 1= O se e somente ú//v, uma vez que é gerado um
paralelogramo degenerado se lados consecutivos de um paralelogramos sejam
paralelos.
Por exemplo, dados os vetores i.i = (2, 1, - 1) e v = (1, - 1, a), é possível
calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por ü e v seja
igual a .f0. unidades de área.
1 J k
--- - - --
üxv= 2 1 -1 =ai - j -2k- k- i -2aj = (a- l)i -(2a + l)j-3k
-1 a
Como S =I ü x v I segue que:
J6i= ✓(a-1)2 +(2a+1)2 +(-3) 2 ⇒ 62=a2 -2a+ 1 +4a2 +4a.+ 1 +9 ⇒
62 = 5a2 + 2a + 11 ⇒ 5a2 + 2a - 51 = O ⇒ (5a + 17)(a - 3) = O ⇒
a= - 17/5 ou a= 3
CIJlÍt/11111. Vl/6/'IJI
4.13. PRODUTO MISTO
O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e
vetoriais na forma li.(,i x w). O resultado v x w será um vetor que multiplicado
escalarmente por ü resultará em um escalar.
V X W = (Y2 2 3 -y3Z1 )Í + (X3Z2 - X2Z3 )] + (X2Y3 -X3Y1 )k ⇒
ü.(v X w) = X1Y2 2J -X1Y3 2 2 + Y1X3Z2 -y l X2Z3 + 2 1 XzY3 -Z1X3Y2,
que é um escalar igual ao determinante da matriz
X1 Y1 2 1
iL(vxw)=X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
Por exemplo, se Ü=-1.Í+3.]+4.k, v=O.Í-4.]-2.k e w=S.{+1.}-6.k
então ü.(vxw)é igual a
-1 3 4
ü.(vxw)= O -4 -2 =-24-30+0+80-2+0=24
5 -6
4.13.1. Algumas Observações Sobre O Produto Misto
1. ü.(,i x \V)* (ü .v) x w o primeiro um escalar e o segundo um vetor.
li. ü.(vxw)=(üxv).w
Ili. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto:
ü.(v x w) = v.(,v x ü) = w .(ü x v)
IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto:
ü.{v x ,v ) = v.(,v x ü) = \v .(ü x v) = -ü.(w x v) = -v.(ü x w) = -w.(v x ü)
Ga6fm/114. · ftJIIJIIJ$
4.13.2. lnterpretaçã_o Geométrica Do Produto Misto
Calculando o módulo do produto misto segue que:
1 ü.(v x w) 1=1 ü 1-1 v x w 1.cos e,
onde 0 é o ângulo formado pelos vetores ü e v x ,v . Lembre-se que v x w é um vetor
perpendicular ao plano formado pelos vetores v e w. Logo, a expressão I ü I cose
pode ser interpretada como o módulo da projeção de ü sobre v x w. Como I v x w 1
é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores ü e v, o produto
1 v x ...;.,, 1 (1 ú I cos 0) pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado
por ü, v e \V, como ilustrado na figura abaixo.
------------ -,
~ I , I
, , / ., ' I
, "' I ,, I
., I , f
, t I
I I
V X W
, I t
--- .... , ............ .,,. I
, ' ' I I I
I ,'
1
1
I I
,.,' , , .,,
, , ."
, ,'
~.:..::.. ___ _..,.w', '
Vparalelcpípcdo =1 Ü.{V X W) 1
Pela propriedade ü.(vx w) = v.(w x ü) = w.(ü x v), o volume do paralelepípedo
independe dos vetores que são tomados como base e do vetor que é tomado como
altura.
,.,.------ · ----,;
.,,..,., ,' ,..,.,,,,,, ... / .
I .,, I
' ... ,~ Í
~: - - - - - - - ..,'~ - r , '
1 , ,
1 1 I , , ,
I I I
--7-------- ,"
1 ,
, , ,
, ,
t.,,,
Tome três vetores ü , v e w no
espaço de modo que as origens coincidem
no mesmo ponto. Repare que esta
configuração sempre é possível. A origem
com um e as três extremidades dos vetores
formam um tetraedro, conforme indicado na
figura . O volume deste tetraedro é igual à
um sexto do volume do paralelepípedo
formado pelos vetores ü, v e w. Assim:
1 ü.(v x ,v) 1
Vlclracdro = 6
Por exemplo, considere no espaço os pontos A(2,l, 3), 8(2, 7, 4), C(3, 2, 3) e
D( l, - 2, 3 ). Deseja-se calcular o volume do tetraedro que possui A, B, C e D como
vértices . Tomando A como origem, os vetores definidos pelos pontos são
AB = (O, 6, 1), AC = (], 1, 0) e AD= (-1, -3, O). O volume do tetraedro ABCD é
1 AB.(AC x AD) 1
dado por V1cllacdro = - ---'--- -'-'
6
O 6
Calculando o produto misto: AB.(AC x AD)= 1 l O =O+ O- 3 + l +O+ O= -2
-1 -3 O
Portanto, o volume do tetraedro ABCD vale:
y _ 1 AB. ACx AD) I _ 1-21 _ 1
tct,acJru -
6
- -
6
- - 3
Dercícios ~esolvitfos _;(li'
01) Determinar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores ü = (2, 3, - 1) e v
=(!, 1,2).
Solução:
Se í1 J_ ü e ri J_ v então fi é paralelo a ü x v .
i J k
ü x v = 2 3 -1 = 6 T - ] + 2k - 3k + T - 4] = 7 T - 5] - k
l 1 2
1 ü X VI= J1 2 +(-5)2 +(-1)2 =✓75 = 5✓3
_ ü x v 7 -: I -; 1 ·
Dessa forma: n=--=--t --J--k
j Ü X V j 5✓3 ✓3 5✓3
02) Calcular I ii I sabendo-se que I ü x v I= 4✓2 , 1 v I= 2 e que o ângulo formado por
ü e v é 45°
Solução:
1 ü x v l=l ü 1-1 v [ . scn 0 ⇒ 4✓2 =I ü 1.2. ✓2 ⇒ 1 ü 1= 4
2
Ga,flJl/114. VIIBf8S
03) Determinar um vetor w = (x , y, z) tal que w.(l, O, 2) = 3 e w x (1, O, -1) = (- 2,
3, - 2).
Solução:
vdl,0,2)=3 ç:> (x,y,z).(1,0,2)=3 ç:> x+2z=3
1 J k
wx(l,0,-l)=(-2,3,-2) ç:> x y z =-yi +(x+z)j-yk=(-2,3,-2) ç:>
l O -l
y = 2 e x + z = 3 ç:> x = 3 e z = O ⇒ w = (3, 2, O)
04) Sendo,; = (1, -1, 1), determine um vetor ü que satisfaça as três condições:
i) i.i é ortogonal ao eixo x;
ii) ü.v=O;
iii) lvxül=3✓6.
Solução:
Se ü _l_Ox então ü = (O, y, z).
ü.v=O ç:> (1,-1,1).(0,y,z)=O -y+z=O y=z
1 j k
jvxül=3✓6 ç:> 1 -l 1 =-(y+z)T-z]+yk=-2yi-y]+yk
o y z
JvxüJ=3✓6 ç:> J c-2y)2+(-y)2+y2 =3✓6 ✓6.l yl=3✓6 ⇒ y=±3
Assim: ü = ±(0, 3, 3)
05) Sendo I ü j= 5, 1 v I= 2 e ü.v = 8, calcular o valor de I ü x v 1-
Solução:
Se 0 é o ângulo formado pelos vetores ü e v :
ü.v 8 4 3 lü x vl lüxvl
cos0=---=-=- ⇒ sen0=-= _ _ =-- ⇒ lüxv l=6
iül.lvl 10 s s 1u 1.l vl 10
06) Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores ü + 2v e ü -v,
sabendo que [ ü 1= 4, 1 v I= 3 e 120º é o ângulo formado por ü e v.
Solução: . .
Sabe-se que a área de um paralelogramo formado pelos vetores ã c b é S = 1 ã x b 1
S =I (ü + 2v)x (ü-v)l=I ji/u0
- ü x v+2vx ü-2_0° l=I vx ü +2.vx Li I=
= 3 \ vxü \= 3 I v\x I ü \.sen 120º=3.4.3. ✓3 = 18✓3
2
C6ilflld8 4. V610lfl6
07) Determinar a área do paralelogramo construído sobre ü e v cujas diagonais são
ii + v = (O, 3, 5) e ü - v = (2, 1, 1).
Solução:
{
ü + v = (O, 3, 5)
Resolvendo o sistema _ _ _ _ obtém-se ü = (1, 2, 3) e v = (-1, 1, 2)
U V - (2, 1, 1)
Assim, a área do paralelogramo vale:
i J k
s =I ü X VI= 2 3 =li-5}-3kl= ✓l 2 +(-5)2 +(-3)2 = ✓35
-1 2
08) Calcular a altura re !ativa ao vértice B do triângulo de vértices A = (2, 4, O), B =
(0,2, 4)eC=(6,0, - .
Solução:
Note que AB=B-A=(-2, -2, 4) e AC=C-A=(4, -4, 2)
Logo, a área do triângulo ABC vale:
1 J k
-2 -2 4
s J AB x Aél =
4
-
4 2
J 12í+20} +16k l =IGT+io]+skl=
2 2 2
= ✓36+ 100+64 =10✓2
Igualando com a fórmula original da área de um triângulo:
8 )AC [.h 8 ⇒ l0✓2 = ✓ 1 6 + 16 +4.h 8 = 6.h8 ⇒
118
= 10✓2
2 2 3
09) (EN-88) Os vetores 2i+2}-k, 3i+4]+2k e ai+2]+3k são coplanares.
Então a=
a) I b)3/2 c)2 d)5/2 e)3
Solução: Alternativa A
Se os vetores são coplanares então o volum e do tetraedro que eles formam é nulo:
2 2 - 1
[ü .(v x ~1) I= 3 4 2 =f -4 + 4a- 6+ 4a- 8 -1 81=!8a- 8 [= 0 ⇒ a = 1
a 2 3
a
•
1 O) Os vértices de um tetraedro são M(0, 3, 4), N(- l, 2, 2) e Q(2, - l, 2) e Pé um
ponto pertencente ao eixo Oz.
a) Calcule as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume
igual a l.
b) Calcule a altura do tetraedro MNPQ relativa à face MNQ.
Solução:
a) Se PEOz então P(0, O, z)
Tomando N como origem, é possível determinar os vetores que são usados corno
arestas do tetraedro.
MN = (l, 1, 2), QN =(3, -3, O) e PN = (1, -2, z-2)
Sabe-se que o volume de um tetraedro é igual a um sexto do módulo do produto misto
dos vetores que formam as arestas do tetraedro.
1 1 2
3 -3 O
V _ 1 MN. QN x PN) 1 _ -"---- -- 2_z_-_2---'
MNPQ - 6 - 6
[-3z + 6 -12 +6-3z+Cil =l-z+l l
6
Como o volume do tetraedro é igual a 1:
j l - zi = l ⇒ z = O ou z = 2 ⇒ P(0, O, O) ou P(0, O, 2)
b) A área da face MNQ pode ser calculada da seguinte forma:
1 J k
I 2
_ IMNxQN I _ 3 -3 o _ !61 + )] -6k l _ 6✓3 _
3
r.;
SMNQ - 2 - 2 - 2 - 2 - y.)
O volume de um tetraedro é igual a um terço do produto da área de uma das faces
pela sua altura correspondente.
SMNQ•hp 3✓3 .hr
VMNl'Q = 3 ⇒ 1 =--3- ⇒ h - ✓3
p-
3
11) (EN-86) O módulo do produto vetorial dos vetores ã e b, que formam um ângulo
obtuso, é Í41 e I ã 1 = 7 e I b 1 = 3. MP tem a direção da bissetriz do ângulo de ã e
b e JMP J = /42.; MQ= ã-b. A área do triângulo MPQ é:
a) 10 -/41 b) 8 /42. c) 20 Í41
d) 4 /42. e) 5Í41
Solução: Alternativa E
Se 8 é o ângulo formado pelos vetores ã e b :
• • ~ Í41 20
iã x bl=lãl. l bl.scn0 ⇒ 'a área de t-.MPQ basta calcular a área formada pelos vetores MQ = ã - b
e MP =3ã+7b:
s _ l (ã - b) x l3ã+ 7b ) I _l3Jí/a0
+7ãx b-3b x ã- 7~u 1
óMPQ - '.! -
2
=
_ 1 7ã x 5 + Jã x 51 1 o I ã x i, 1
51
_ 1
1
b- l
0
-141 ~ -'--- - - - ..;. =_e__~ = a . .sen =5 .3.7--=5v41
2 _ 21
a
Derdcios r/
propostos .,,
01) Sabendo que I ã I= 13, 1 b I= 19 e I ã + b I= 24 calcule o valor de I ã - b 1-
02) Sabendo que I ã I= 1 1 e I b I= 23 ·e I ã - b I= 30 calcule o valor de I ã + b 1.
03) Determinar para que valores de a. e~ os vetores u=-2i+3]+~k e
v = a T - 6} + 2k são colineares.
04) Dados os três vetores ã, b e ê que satisfazem a condição ã + b + ê = O e sabendo
que I ã I= 3, 1 b I= 1 e I ê I= 4, calcular o valor de ã.b + ã.c + b.ê.
05) Cada par de vetores ã, b e ê formam entre- si um ângulo de 6?,º· Sabendo que
que I ã 1=4, lb I= 2 e I e I= 6, determinar o módulo do vetor ü = â+ b+ê .
06) Sabendo que I ã 1= 3 e I b I= 5, determinar para que valor de x os vetores ã + xb e
ã - xb são perpendiculares.
07) Que condição devem satisfazer os vetores ã e G de modo que os vetores â + b e
ã - E sejam perpendiculares .
08) Sejam â, G e e três vetores não nulos no espaço. Determine o ângulo formado
pelos vetores ã e u = b(ã.ê) - c(ã.b) .
09) Sejam ã e b dois vetor~ não nulos no espaço . Determine o ângulo fçmnado
_ _ b. ã ã.b)
Pelos vetores a e u = ---,- .
1 ã 1'
10) Os vetores ã e b formam um ângulo de ~ . Sabendo que I â 1= ✓3 e I b I= l
6
-· .
determinar o ângulo formado pelos vetores ã + b e ã- b.
11) Determinar o vetor x é perpendicular aos vetores ã = 2 i + 3 j - k e
5 = i -2] + 3k e satisfaz a condição x.(2Í - J + lmuito a decisão sobre a existência ou não do limite de uma
função em a (pois devem ser verificadas as existências de outros dois limites - os
latera is), é muito importante destacar que uma função possui limite num ponto a se,
e somente se. os limites laterais existem e são iguais.
Exemplos:
a) Considere-se a função.f R*---> R, definida pela expressão f(x)=.Jxl. Como é
X
f(x) --{l, se x>O evidente, tem-se que
-1 , se x R+, de lei f ( x) = -J2- x . Observando que/ é a função
inversa de g: R+---> [-e.o, 2], definida por g (x) = 2 -x2, é muito fácil esboçar o gráfico
de_/, corno se segue.
t:811/Ju/1 l 1111/RtJ
y
E como é fácil ver, conforme x se aproxima de 2 por valores menores, as
imagens vão se concentrando em torno de O. Porém, é impossível concluir o que
ocorre com as imagens de uma semivizinhança direita de 2, pelo simples fato de
nenhum destes intervalos estar contido no domínio de/ Portanto, lim f ( x) =O, mas
x➔2-
não existe lim f(x), nem, consequentemente, limf(x).
X ➔2""' X ➔2
1.4.4. Limite Como Conceito Local
• Se existe algum iS > O, tal quef(x) = g (x), V x E V& (a) e lim g( x) = L, então
x-rn
limf(x)=L.
x➔a
Esta é uma propriedade muito útil no cálculo de limites e ensina que, caso duas
funções tenham mesmas imagens em alguma vizinhança de a, mas não
necessariamente em a, então a existência do limite em a para uma delas implica a
existência do mesmo limite para a outra. Isto costuma ser resumido dizendo-se que
o conceito de limite é local: não interessa (do ponto de vista teórico) o que ocorre
com uma função num ponto; nem o que ocorre com a função em qualquer vizinhança
de tal ponto (imagens muito "distantes" de a não influenciam na determinação do
limite). Caso seja possível obter outra função que, em alguma vizinhança desse
ponto (localmente, mas não pontualmente), produza o mesmo efeito (isto é, tenha
mesmas imagens) que a primeira, pode-se utilizar este teorema para obter tal limite,
mesmo que uma das funções esteja definida no ponto e outra não. Ou ainda, que em
outros infinitos intervalos elas assumam valores diferentes. O que impo11a é que,
nalguma vizinhança de a, as funções sejam idênticas.
a
CaltrJ/111. 1/111811
Exemplos:
c) O que Newton fazia e causava controvérsia, tal qual mostrado nas linhas iniciais,
pode ser reformulado assim: a velocidade instantânea de um corpo, sob a equação
s(t) = 6 - 3t + t2, num dado instante to, é em verdade o limite da função de lei
. - 3L'> t+2t11 t + t. t~ -
f ( t.t) = - --~- - - , quando M tende a zero. Note-se que se tem uma funçao
L', t
de t.t (a variável independente, portanto), não definida para t.t = O.Contudo, a função
ati m g (t.t) = - 3 + 2to + t está de finida para todo t.t rea l e, como é fácil pro ar, é
idêntica af, no conjunto R*. Confo rme será visto adiante,. g possui limite cm todo
R, sendo o limite em cada ponto rea l igual à imagem de tal ponto pela função g. Por
conseguinte, pode-se· afi rm ar, de acordo com o teorema 4.4, que:
lim g( t.t) = g (O)= -3 + 2t0 = lim f ( t.t) = v t (velocidade instantânea em to),
~~ &~ o
e o impasse fica resolvido. Muitos limites básicos são obtidos de modo semelhante a
este.
d) Suponha-se que seja necessário calcular lim ( I0-
2
x ). Note-se que a função de
X-> 5 X -5
1 . f ( ) 1 O- 2x _ . fi . - . e1 • x = --- nao esta de m1da para x = 5. Contudo, a funçao de lei g (x) = -
X -5•
. . . . . l0 - 2x (-2)(x-5 )
2 e 1de11/1ca af. para todo x c;t! 5. Com efeito: --_- = - ~--~ -2, V x e R -
x - x- 5
{5}. Logo, pelo teorema 4.4:
1• (1 0- 2x ) • ( ) fi u11 --_- = l1m -2 = -2, con arme 4.2.
X->.' X - x ➔5
1.4.5. Operações Com Limites
• Sejam[, g: X --> R, tai s que lim f(x) = L e lim g (x ) = M, com L, M e R.
x➔a x➔a
Então:
1. lim [ f ( x) ± g ( x)] = L ± M ;
X➔a
II. lim[f(x) ·g(x)]=L·M ;
X->U
Ili. seM~0, lim[f((x))]=_!:_ ;
x➔a g X M
IV. lim[f(x)]n =Ln, Vn e Z*;
x➔a
V. lim ~f ( x) = efI_, para qualquer n ímpar e para n par, desde que L > O;
x ➔a
VI. !imlf(x)l=ILI;
X -►i.l
VII. !~~,[ b1
l~J ] = bL , para todo b, tal que O O;
: 2 + ... + ª" x 11 = 2:>i x;
i=I
. Aplicando sucess i amente as propriedades vistas até aqui, conclui-se que:
l~n (f aix ' J! f 1~ ( aixi )~ f [1i n~ ( ai )][1 im ( x i )] = f a/= P( a) ,
'i >1.t i=O i~ I '..: '1 i=I X '1 ~-,n i=I
is to é. o limite de um polinômio em qualquer ponto a é igual ao valor numérico
do polinômio naquele ponto .
g) Algo inteiram ente análogo ao que acontece em polinômios, ocorre tam bêm com
funções exponenciais, loga rítmicas e muitas outras funções elementares, em todos os
pontos dos respectivos domínios . Assim : lim2' =2ª, para todo valor real a;
lim log I x = log I a, qualquer que seja o real pos itivo a; lim if;. = ZÍa, para qualquer
"\ )a X -► .1
1t 1t
real JJositivo a; lim °12- x = °12-a , para todo real a. É crucial notar, todavia, que,
X-)>U
apesar de lim ✓2-x = ✓2-a, para todo a> 2, não existe o limite lim ✓2-x, como
x ➔a x➔ 2
visto no exemplo b. Isto não destoa da pro priedade V deste item, uma vez que
lirn~=✓L apenasparaL > O. Mas lim(2-x) = 0 .
•-~ X➔2
h) A afirm ação lim[f (x)±g(x)]= limf(x)± limg(x) é falsa . Para que seja
X➔D X➔a X ➔a
verdadeira, é necessário e suficiente que existam os limites reais lim f(x) e
X -►d{¾,¾ , i ).
b)(6,6,3) c)(l0,10,5)
52) (EN-99) Se ii+v+w=Õ, [ü[=i, [vi=~ e [w[=2, o valor da soma dos
2 2
produtos escalares ü · v + ü · w + v · w é igual a:
-] -13
a) 1 b)O c)- d)-1 e)-
4 4
53)(EN-OO)Sejam ü =(-1 , l,O)e v =(! ,O, l)vetoresnolR3.Se0 é o ângulo entre
os vetores (ü x v) e (ü + 2 v ), então o valor de sen (8/3) é
(A) O (8) ~ (C) ✓2 (O) ✓3 (E) 1
2 2 2
54)(EN-Ol)Sejam ü=(-1,0, l+C), v=(-1,0 ,0) e w=(O, 1,-l)vetores do~H \ C
E ~H. Se o ângulo entre os vetores ü e ( v x w ) é rr/3 radianos, então o valor não
nulo de C é
(A) 3 (8) 2 (C) -2 (D) -3
55) (EN-04) Sabendo que ü = 2 i + j 3k, ü = v + w onde v é paralelo a
p=3i-jew
a) ✓19 b) ✓4
2
é perpendicular a p, podemos afirmar que jv- wl é
e) ✓27 d) ✓2Õ e) ./ii
4 2
a
CUI/Jda4. 161118S
56) (EN-05) Dados vetores Ü= ( l,~,¾ J- b= (1, O, 3) e ê= (2,-1, !), o valor do
módulo de \i, onde v é um vetor perpendicular aos vetores a e b tal que v. e = 8
é
a) ✓li b) ✓13 c) ✓l5 d) ✓l7 e) ✓19
57) (EN-06) Seja 1v um vetor unitário do IR\ normal aos vetores Li = (-1, 1, 1) e v
= (O , -1 , -1) e com 2" coordenada positiva. Se 8 é o ângulo entre os vetores
( ✓2w +i.i) e(-;;•), O ü.v =O .
( ) Se ü = (3, O, 4) e v = (2, ✓8, 2) então li ü li= 5, li v li = 4 e tg 8 = ✓SI, onde 8 . 7
representa o ângulo formado pelos vetores ü e v .
( ) li Li+ v 11;J
limg(x). É possível que algum dos dois últimos limites não exista (ou mesmo os
x ➔a
dois), muito embora o primeiro estej a bem definido . Um exemplo bem si mples é com
a= O, f(x)=_!_ e g(x)=-_!_. Não existem os lim ites limI (x) e Li.m g(x) , mas
X X X U X 10
l_im [ f( x )+ g( x )] =O. O mesmo ocorre para Iim [ f ( x) · g( x )].
x ➔O x➔u
i) Caso limg(x)=O, nada se pode afirmar, previamente, sobre lim[r (x)) l· Se
~- a x ➔ a g(x
lim f ( x) :;e O, como será visto adiante, o limite 'explode", tendendo a ín fi nito (+ w
x........,, ;1
GaJJIIIJltJ t 11111/ttl
ou - e.o, podendo ocorrer diferenças pelas laterais). Mas se lim f ( x) =O, muita coisa
x-->u
pode suceder. Por exemplo, suponha-se queji (x) = k(x -4) e g1 (x) = x - 4, com k
real qualquer. Conforme é evidente, limf(x)=0= limg(x) . Porém,
x➔4 X➔.\
lim [L] = lim [ k ( x - +)] = lim k = k , ou seja, o limite do quociente de duas
x -►4 g x) x-►4 (x - 4 x -►4
funções que tendem a zero pode assumir um valor real qualquer. Por causa disso, é
usual dizer que a expressão simbólica (quer dizer, sem sentido formal) "Q"
o
representa o que se chama tradicionalmente sím!:>0lo de indeterminação. Trata-se
tão somente de um recurso didático. Resumindo, quando se obtém, no cálculo de
limites, uma expressão como .. Q,,, significa que deve ser utilizado outro caminho
o
para tentar calcular o limite, que não a propriedade indicada em Ili. Quando se
consegue, por intermédio de outros resultados, calcular tal limite, como feito em
lim [ k ( x -
4
) ] = k, é costumeiro dizer-se que se "levantou a indeterminação".
X➔4 ( x - 4)
Deve-se ressaltar, todavia, que esse limite pode não existir. Por exemplo, ao tentar-
se obter o limite lim (-;-) pela utilização incorreta de lll, encontra-se uma
x-► 0 X
indeterminação do tipo" Q" (pois lim x =O= lim x 2
). Como, entretanto, x ;t. O, tem-o x➔O x➔O
se-;-= l., que, em vizinhanças de O, não possui limite (real) algum.
X X
j) Finalmente, é útil comentar que, caso exista lim f ( x) = L, é fácil perceber
x➔a
(graficamente) que limlf(x)l=JL[ . Por exemplo,
x➔a
1
. 1 1
1m - = - - , enquanto
X➔-2 X 2
lim l.!_1= 1-_!_I = _!_ ,
X-►-2 X 2 2
li
"'11/tJt Um/16
y y
- 1
- 1
2
Porém, como é imediato . a recíproca desse teorema é falsa. Ou seja. o fato de
ser limjf(x)j=JLJ não significa que lim r (x = L, a não ser no caso tri vial em que
X---+a , n
L = O. Basta ver, por exemplo, que, apesar de lim ll_l = _!_ = l_!_I, não se tem
X ➔-~ X 2 2
lim _!_ = _!_
x - >-2 X 2.
1.4.6. Limites Infinitos
Suponha-se que lim f ( x) = L ;t. O e lim g ( x) =O . Caso exista uma vizinhança
x➔a x➔a
f {x) . f(x)
V,, (a), tal que V x E v~ (a), -(-) >O, então lun-( -) = +CXJ . No caso em que V x E
g X x ➔a g X
ft x) f (x)
V;,(a), - -O, situação em que a explosão é para + oo.
g x)
Como será analisado no exemplo m, este teorema pode ser adaptado para os limites
laterais.
Exemplos:
k) Considere-se a função real definida por f ( x) =
1 ~ . Quando x-+ - 2, ocorre,
(x+:zt
certamente, uma explosão das imagens, visto que lim 1 = 1 e que lim ( x + 2 )" =O,
x---;-::! X->-2
,m coafocm;dad, com o teocema 4.6. Si [;cameate. é usml cep,·eseata,· esse lbto
CU/JJJ/11 IJJ1llll
pela igualdade simbólica lim -
1
- '"= _!. = C1J ". Rigorosamente falando, esta
,-,-]X+ 2 Ü
igualdade não faz sentido (pois jamais divisão por O tem algum significado). No
entanto, serve como recurso didático para entender que ocorre um limite infinito (a
"explosão"). Além disso, cabe destacar que o símbolo Xc, quando utilizado sem sinal,
significa que, a prim:ípio, não se sabe se a tendência é para+ oc, ou para - w. É mais
cornurn, porérn, o sírnbolo :n indicur que é indiferente se ocorre+ n ou - •x:, pelo
rnenos nurn primeiro lllOlllento.
Para determinar que divergência ocorre de fato. deve-se estudar o sinal da função
f( x) = 1
, . em vizinharn,:as ("minúsculas'') de - 2. Jú que, 'çl x E R - [- 2},
(x+ 2 r
tem-se (x + 2f > O, tem-se que /'(x) > O em qualquer vizinhança de - 2. Assim, pelo
teorema I A.6, lim -
1
- = +w. Grat1camente, ocorre o que se costuma denominar
, >-2 X+ 2
nssíntota vertical, em x = - 2. Intuitivamente, a ideia é que, caso um ponto se
desloque continuamente sobre o grútico de/num mesmo sentido, a distância entre o
ponto e a reta x = - :?. tende a zero, conforme x--> - 2.
~ X 1 -X
1) Seja C(x)= _- ,, . Quando x--> 5, ocorre a igualdade sirnbólica lim - ',
(s-x r \ ➔5 ( s-xr
-3
"= 0 = -x; " . Pnrlanlo, pode-se garantir a ocorrência de uma explosão das imagens,
em torno de xo = 5. Contudo, não se sabe. ainda, se para+ x; ou se para - oo. Assim,
2- X
o teorema 4.6 pede que se es111cle o sinul do quociente - --
( 5- ,· )2 '
li
MMIJtM
o
(5 - .,)' 1- -1 + +. : ->- + t .J 1 1 -1 1 .. _.. -1 -1 .,_ + 1 + .J_-!- --1
(1 - I --- -
Deste modo, existem vizinhanças (a propósito. nem tão pequenas assim) de 5
nas quais as imagens de/têm , todas. o mesmo sinal: negativo. Por conseguinte, pode-
se garantir, pelo teorema 1.4.6. que: 1 im ?. - x , = -if.l. Novamente. percebe-se
x -►5(5-xt
graficamente a existência de uma assíntota vertical. agora representada pela reta x =
5.
(
1
m) Para determinar o sinal da divergência infinita, não é suficiente obter o sinal do
real k (não nulo) na igualdade simbólica"~" (embora isto íuncionc nos exemplos
anteriores). A divergência para o intinito depende completamente do caráter loca l da
função. É perfeitamente possivcl que as exp losões ,i esquerda e à direita s~jam
distintas. iipcsar de o s inal de k estar detcrm inado. Isso - ?. .f(x) ;.- (), Deve- e. as im. adequar o
X+?.
teorema em 4.6 para justilicar as tendências laterais. uma vcz que, scmivizi nhanças
à esquerda de - 2 têm empre imagens negati as por/ ao passo que ú direita de- 2.
as im agens são positiva~ em qualquer semivizinhança. Portanto. tem-se q~1e
1•
1 1· I • b 1 1· I - 1· 1111 - - = - JJ, 1111 -- = -1-v.l . enquanto o sim o o 1111 - - nao ·az
~_._2- x+2 ~ - 1 ' x+?. ,- -! x+1
sentido, porque as tendências laterais são diferentes. O grMico de/é exibido a seguir.
li
t:ubkl ! IJlll/11
- 2
1.4.7. Limites No Infinito
Valem as seguintes propriedades básicas de limites(eventualmente, infinitos)
no infinito:
IX. lim k = k. 'ti k E R;
X - > J_
X. lim x" =+::.o,\::/ n EN*;
XI. lim x" = ' {
+w se n é par
,_,_" -oo, se n é ímpar
XII. !im ~=O,\::/ k E R.
:",; ➔ 7JXl1
Nas propriedades I e IV acima, o símbolo r, significa que a propriedade vale,
indistintamente, para + rr.J e para - CF-·.
A propriedade I é bastante intuitiva geometricamente. A propriedade IV indica,
simbolicamente, que--~= o•·. Intuitivamente, dividir um nL1mero real c1uulc1uer por
:n
um númern "" muito grande" produz um ri::sultac.lo com módulo "muito pequeno",
consoante pode ser visto no exemplo seguinte.
~
j~N_l_\_11.-· l(_U_l_(I •-: \-1.-(.-ll -, \-1.-( l-l -J:-,1( 1 ,
_......'.·===========-· _...;-=-== = = =-·- = J l) Ili = O.0000000001.
Nl i ,\11: IW RE.\l. ,\ll'I I O UR·INl)I ' 50ll ll00UOUUD 5. 10
111
a
#llftll61. 1111111•
Enfim, as propriedades li e Ili exibem o comportamento das denominadas
.funções potências, de leif(x) = x", em que n é um número inteiro positivo. A seguir,
os gráficos de.f para alguns valores de n.
11 1
11 1 li l
Percebe-. e 1ue. qwmdn o üpocnlc e pa r. como a função potênc: ifl , c1 i u111 11
função par. o gráfico scr{1 simétrico cm rcl.1ção nn eixo ~. /\ . sim . a tendência parn ,
'!rJ deverá ser idõntica à tendência para - "f. Tendência oposta . ílrnrn:111 qu ,mclo n e
ímpar. Também é fácil conclu ir que o ~inal d:, pot..:ncia x" scrú 11mi1im. : e 11 for /)(Ir.
e negatim, quando 11 for i111pur. no ca o cm que " é ~1111 número "muiw pequeno"
(como - M = - 6() ~J' ). Assim. cxpl icam-s (por indução vulgar. u seja . de modo
intuitivo) as seguintes igualdades simbólicas: ( +oo )" = +oo, para todo inteiro positivo
)
,, {+oo, se n é par n, bem como ( -oo =
-oo, se n é ímpar
1.4.8. Mais Propriecfades Do Infinito
As seguintes propriedades continuam vá! idas substituindo-se (simultaneamente,
em cada propriedade) a tendência real a por a-, por a ', por+ oo ou por - ao:
XIII.Iimf(x)=limg(x)=±oo ⇒ lim[f(x)+g(x)]=±oo (os limites devem ser
X ➔a x-► :i .'a X ->~I
XVIIl.limf(x)=w ⇒ lim~(I )=O;
-➔• X➔JÍ X
XIX. lirn-1 -=0 ⇒ limf(x)=+oo ou limf(x)=-xi .
•-►" f (X) •-► a •-► a
. r(,) {+O'.l, se b > 1 XX.lirnf(x)= +oo; ül
XXI. ]1117 t ( x) = -oo; O 1
XXII. li111 r( x) = + Y: ; Oa l - x, se O O, '
,\-).!
X XI I I. f -Cf] se b > 1
lim[logi,r{x)]= 1 _'
, • >d l +:z:, se O O
k O
iv. "(±oo )· k = ' ., (uma simples dilatação ou compressão das imagens
+--r.:, se k . ai, casou equaçuo ten w .\'O uç·oo reo , eve ser x = --- . ~ possrve
2
provar, num contexto muito mais avançado, todavia, que o valor encontrado é, de
fato, a única solução da equação dada (porque n sequência numérica ( Jl , -J1 + JI ,
J1 + -J1 + ✓1 , ... ) converge, mas isto é urna outra história).
p) Entretanto, grandes matemáticos, tais corno Euler. atacaram erroneamente o
infinito. Seja n "soma" S = 1 - 1 + 1 - 1 + ... , em que os termos+ 1 e - 1 alternam
se "indefinidamente". Caso se tente estender a associatividade da adição a tal
expressão. pode-se reescrever S assim: S = ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + ... = O + O + .... uma
fl
vez que em cada um dos ·"infinitos" pares de: parêntc:sis, a sorna é nula. Daí, S seria
i!!_ual a O.
P~or outro lado, na hipótese de algut:rn "prc:ferir" que seja válida a distributividade (e
suas consequências), poder-se-ia escrever S = 1 - ( 1 - 1 + l - ... ) = 1 - S, o que traria
o surpreendente resultado S = 1 /2, urna total contradição com o valor "obtido"
precedentemente (S = O) . Pior: S = 1 - ( 1 - 1) + ( 1 - 1) + .... = 1 (?!). Tudo isto se
deve ao fato de pensar que, "no infinito", sào válidas todas as propriedades
aritméticas usuais, o que deve ser, pelo visto. FALSO. A propósito, diz-se que a
"soma" (n rigor, a série) S diverge , no sentido de que não existe
[
n+l] ·' TIi ••
1
!~;. 1-1 + \ -1 + ... + (-1) , em que n e o numero de termos da soma. a 1rn1te
não se concentra em torno de número algum.
q) Urna consequência fundamental das propriedades ncima é o limite de um
polinômio no infinito. Conforme a justificativa seguinte, o limite de um polinómio
no inflnito é igual ao limite do termo dominante. Com efeito, supondo todos a; reais,
com a11 .':- O (e. obviamente, n nntural):
P(x)=a x"+a 1x
11 1 +a ,xn 2 + ... +n,.x+a 0 ⇒ n n- n-_ ,,
lim P(x)= lim [ a,,xn(I + ~11
: + ª11
~~ + .. . ++,+~]]=
x -> 'l. , •➔..., l c. t II x a
II
x a II x , l
II
x
=(lima x11
)[ lim li+ ª11
-
1 + ª 11
- :; + ... +~+-ª-1- J] = lim a 11 x
11
.l= lim a,1x
11
7' >:1
11 x - ► 'l- · l x ·1 , .- ,, x 11 1 ·t xº x ► •J_• x-►:(;
- • '- 11 • '- n '' " n 1: 11 •
a
, uma vez que, quaisquer que sejam a, e a,,(* O) reais, tem-se que: lim - -'-,--=O,
x->:1- nnx ' 1
V i E { O, 1, 2, ... , 11}. Assim, por exemplo,
,~'.~" ( 2-3x + 5x3 -4x•
2
+ ... +a,x +a 0 j
1
. ( a11 x
11
·j\
1
. ( a11
llll I • ~ = 1111 -- = 1111 -
X-)Z b,nx"' 7 h,,,_1Xm - -"-b,11 - 1x"'-- - ... + b,x+ h,1 ' »: b,,,x 111
,--».• 6111
Aqui, vale a pena comentar três casos possíveis:
r. l) n m. Agora, o limite é ± oo, dependendo do sinal do quociente ~ e da
6111
paridade de n - m.
Desta forma, tem-se, por exemplo, que:
• ( 3x
7
-5x
2
+4x-8 ) • (3x
7
) • , ltm , = ltm --, = ltm (-3x·)=+oo,
X->-7'.: 1-x- X - >-ú - X- X - >--r_
. 3x -5x +4x -8 . 3x . ,
(
7 2 ) ( 7) lim , = 11111 --, = lim (- 3x·) = -,YJ,
;'(-4+o.' 1-x- \~-'-[/." -x- -.; - >+·,_·
. ( -2x
10
(l/l+6x
200
+rcx - e ) . ( -2 .'l: 11
~H,·) . 2
lnn HPI 1) ,,~ = l1m 1 , 1 = 11111 ~=O e
X-):0 -X _, +7x 1
" +11x-- - 2-1 69 \ ➔/ - X 0
-· ,-► ;/'. x·"
• (-3 0x
17
+x
11
+5x
6
-1 J . ( -30x
17 J . lim 17 ~ 8 = l1m - - -7- = ilm (-2)=-2 .
,_,,_"" l5x - 5 9x +ln2 ,-+-,, 15x 1 ,-,-z
1.4.9. Assíntotas Horizontais
No item anterior foram apresentados exernplos de limites no infinito que dão
valores finitos. Isso significa que. quando lim f(x) = k (k finito), o traçado do
\ - )+ ·,
gráfico da função f fica praticamente igual ao gráfico da reta y = k quando x tende a
mais infinito. O mesmo ocorre com a tendência a menos infinito.
x-1
Por exemplo, do fato que lim -
x->+•,: X - 2
lim " - I = l conclui-se que o gráfico
_, _ ,_-, X - '.!
da função f: IR - {2}➔ 1R, dada por f(x) = x -I . tende à retU X ., - >IJ x·
Quando x se distancia da origem, para a esquerda ou direita, tem-se 2x3 >> l e
, , . . 2x ·
1
+ l 2x 3
.
daí 2x' + 1 = 2x '. Isso tazcom que l (x) = --,- = - 0- = 2x , para x longe da origem
X - X -
do plano cartesiano. Deste modo, o traçado do gráfico de f se aproxima do gráfico da
. 2x 3 +1
função g(x) = 2x quando x se distancia da origem. Isso implica que t (x) = --2-x
em uma assintota oblíqua em y = 2x.
/1
/ ··•1 ,- lt t
O método ::ilgébrico utilizado a11terior111cnte re::ilmente justifica a existência de
uma assíntota oblíqua. poré111. nem sempre é prático executá-lo. princip,ilmente
quando a função é compost::i de várias parcelas de categorias diferentes. como
polinomiais. exponenciais. logarítmicas e trigonométricas. Vamos desenvolver u111a
técn ica prn verificar_ por meio de l imite. se uma !'unção admite LI111 a assin tota obl iqua.
Caso o grúnco de uma função f tenha uma assintota ob liqua en!ii > a l inl1a do
gráfico de f se aproxima. no infinito. da equação de uma retc1 da íorma y = ax + b.
Deste modo. ê possível afirmar que lim l"( x ) - (ttx + b) = O. At ; foi poss ível inserir
\-) ~ •
limite na identificação de u111a assintota oblíqua. 111as como verificar se esse limite
dá zero e, caso seja igual a zero. como identificar os valores de a e b? Observe o
seguinte desenvolvimento:
, ~!;/ ( x) - ( ax + b) = O ⇒ , ~:1,, x [ f ~-) - a - ~] = o
Como ,~'.~-,.~=O então ,~~:,_, x [ f~x) - a - ~] = ,~~-,. x [ f~x) - a]= O. Por
1 d l • • • 'b'l'd d d 1· [ f(x) ] o • outro a o, como ,~!1,,x=±xi . aunicaposs1 11 a e e ,~~"x -x--a = e que
1
. f(x)
0
.
1
. f(x)
ocorra 1111 -- - a= . ou se1a. 1111 -- =a.
x ➔±x. X • x ➔ ±u:::: X
f(x)
Caso lim não seja finito ou seja igual a zero, então f não possui uma
x➔ ±:r:.• X
assíntota oblíqua.
Já aprendemos a calcular o coeficiente angular da assintota oblíqua. Mas. como
calcular o coeficiente linear? Muito. simples! Depois de determinar o valor de a,
basta voltar no limite original lim f(x)-(ax+b)=0 e concluir que ele é
x ~l-r
equivalente a b = lim f(x) - ax. Pronto, já snbemos como determinar a equação da
X->±-,~
reta que é uma assíntota obliqua da função f.
É impo1iante ressaltar que é necessário fazer esse cálculo, separadamente, para
x ➔ + oo e para x ➔ - --x:. uma vez que a função pode ter nssíntotas diferentes em
mais infinito e em menos infinito.
Voltemos ao exemplo mrnlisado 110 inicio do item. ou se_jn. f: IR - {0] ➔ IR
. 2x_i + l
dada por t (x) = --, - .
x-
1
( 1) 1
. f(x)
1
. 2x · + 1
1m -- = 1111 - - .-
x ➔+z X :,;. -) +:r. x"
1
lim 2+-::-=2
x-~+,z x_ -'
(
")
1
. f(x)
1
. 2, ,:; 1
1
. 1
.!. llll -- = llll - - ,- = llll 2 +-:;- = 2
x ➔- -:r. X X ➔ · 'l x•"' .\ ➔ ':f x-'
a
eatlollt IJlll/11
Assim, ttx) tem u111a assintota oblíqua com coeficiente angular igual a 2.
2x 3
. - 2x
(3) lim f(x)-2x= lirn -,--2x= 11111 -,- =0
x->+>.• x ->+·,e X - + 1 ,x->+•-· x- + 1
7 x3 - 7 X
(4) lim f(x)-2x= lim ~ - 2x = lim - --·- =o
X-->->.· x - ,-,; x- f-- 1 X->-,-· x- T 1
Deste modo, a função tem apenas uma assintota oblíqua, que é a reta y = 2x.
Considere agora a função g: IR ' ➔lR cuja fórmula é g(x)=x+✓x. Há um
detalhe curioso sobre essa função e assintotas oblíquas. Até é possível calcular,
supondo que exista, o valor do coeficiente angular da assintota oblíqua, a saber:
. ~(X) . X+ -../x . 1
a= 11111 -~- = 11111 --- = l1m 1 + , = l
x-•±·r X X- ·>± -r X x - >±•:r ....JX
Entretanto, o valor de b, coeficiente linear da reta, não existe:
b= lirn g(x)-x = li111 ✓x =+X>
X-> 1 ' - X-) 1'
Desta forma, a função g( x) = x + ✓x nfto possui assintota oblíqua.
Pra finalizar esse tópico, analisemos agora a função h: IR ' ➔ IR cuja expressão
algébrica é h(x) = ✓x 1 + 2x.
. h(x) . J~x-1 _+_2_x . [2'
( I) ª1 = ' ~~7, -----;- = , ~:l;T x = ,~:1,1" V 1 +-; = 1
. h(x) . ✓x !+ 2x
1
. [2°
1
2
1 (2) ª:i = ,~;~i_, - x- = , ~;~\ x = ,~;~1, -Vi+-;= -
, , . 2x ?
(3) b
1
= lim h(x)-x= lim vx-+2x-x= lim = lim ~ =I
X-> + Z X➔ +>e X ➔ +'-' ✓x -+'2 .v.+x .x ➔+:C ✓l+~+I
(4) b,= lirn h(>)->= llrn J,'+2>->= llm_ d =llm_ R =-l
x➔-z X➔-z x-,-:r. x-+2x+x x ➔-:r. 1+2+1
X
Logo, h(x) tem duas assintotas oblíquas, urna pra x➔ + oo e outra pra x➔ - oo,
como pode ser constatado no gráfico:
) ' =-x-1
✓x~ + 2x
1
•X
êxerdcios .,?esolvilios ~
01) Calcule lim scn~x
Solução:
Observe o gráfico de f(x) = scn~ x
L /
Note que não é possível precisar o comp01ta111ento de f(x) = sen 2 x quando x tende a
infinito, uma vez que f(x) não tende a nenhum valor específico.
Assim, lirn scn 2x não existe.
X - )+•YJ
02) Calcule
~--=-=-=-
) 1
. Jx+ ✓x+J;
a Jm --- = --
x--->+xi ~
b) ]. )x+ ✓x+✓x
1111 - - - - --
x--->-oc ~
Solução:
Como lirn -~-=O . segue que:
x ➔+oc X _n ......,
1
. Jx+ ✓x+✓x
1
. l+Jx
1
~ +/;:
1
. l +0+0
1 Jm - - -==-- = llll ~---=-- = llll --- =
X--->+ 17: X
b 1
. ln l l +e')
) IITI ----
X ➔-·,_ X
Solução:
, ( 1 ) , r 1 1)
.
ln e ,,, + 1 . ln e + ln , e' +
1
. ln(I +e' ) .;
a) 1m ---- = l1111 - - -"----'-- = l1111 --- ---- =
.\ >+ ,_ X X ) ti-' X " \- -' X
. x + ln ( cl' + 1 J . ln ( cl" + 1)
IIm - -----= lirn l+----
x~+r,. X x->+'r. X
ln(J_ + 1J e'
1
. ln ( l+c ' )
1 Note que lim --- -=O , fazendo com que 1rn --- - =
' > " X .\ - )-i-X X
. ln(l+e')
b)Percebaque lim lnll+e ' )=ü,implicandoque11111 ----=O
x ➔ - .-,., :x - >-r:.1, X
04) Calcule lim are tgx.
Solução:
- ---- ---------- : ----------------
05) Calcul e lim J;"+t -✓x .
Solução:
Ao lado está representado o
gráfico da função ttx) = are tg x.
Note que, aumentando os
valores de x, o gráfico da função
se aproxima de uma assíntota
horizontal em y = rr/2.
• 1· rr Assim: 1111 are tg x = -
\ - >+Y.:. 2
~ r . ~ rF+T+✓x 1· 1 o lim ...;x+l-...;x = l1rn (...;x+l-...;x)~=~ ~ = 1111 ----== ~--= =
X >+Ic X · H-J.. F+T + ✓x .\ >+ L ~ +✓x
✓6x+9 - 3
06) Calcule lim - - -- .
x-->íl t
Solução:
. ,./(,,x + IJ 3 . Júx + O X x ---> 11 X J 6x + 9 + 3 x->11 ,,_..f(1x + 0 + 3
6 6
= lim - --- =--=I
x-,0J(1x+9 + 3 ✓9+3
07) Calcule lim
Solução:
lim e' -e2
' = li111 e'(l-e')
Como lim e' = +:o e lim 1-e' = -,-,a ⇒ li111 e' -e2
' =-uJ
. -+x 1 - -+ x1 +5
08) (EFOMM-99) Resolvendo 11111 _ . encontramos
x-->-r• (i'( J +3x - 7
a)+oo b)-oo c)O d)2/3 e)4
Solução: Alternativa D
4-0+0 2
---=
6+0-0 3
09) (EFOMM-94) O valor de lim c(x+Js~ - h l é:
-1 / I.'
(A) 1 (8) e 2 (C) e J/l (D) e/2
Solução: Alternativa E
Como a função exponencial é contínua
Como x é negativo :
. ~ . 3x -.; -..: ll . 3 3 3
11111 (x+....;x--3x)= \Jrn J = 11111 ~ = -= -
:-+00 x-> +oo x -+ax + x -+bx
]. x2 +ax-x 2 -bx
1
. (a-b)x
1
. a-6
= llll = 1111 - 1111 -
x-->+"" .Jx 2 +ax+ ✓x 2 +bx x-->+r- .Jx 2 +ax+ 1x::!+bx - x->+"- R p -'\J I+ - + l + -
x X
a-6 a-b
= --=--
1+1 2
) O d • ( X +9/; ) , l2) (EFOMM-95 valor e hm are tg r r:; e:
x->+z, v X + -v 3x
rc rc rc rc 3rc
(A)- (8)- (C)- (O)- (E)-
12 6 4 3 4
Solução: Alternativa D
, , • ( X + 9--Jx ) ( ] ' X + 9--Jx ) Como a função are tg e contmua: hm are tg , r:; = are tg 1m , r:;
X-->+:r. -vx +v3x X-HY. "1/X +-vjX
r l + 9,- + 9f;_ , O
/. x+9vx
1
• -vx --~-- r:;.J, 1111 - - -- = 1111 '\Jj
, >+z ..Jx + ✓Jx x->+x .fj + J_ .fj + O
X
(
x+9f;.) ( . x+9✓x j r:; n Portanto: _limarctg, r:; =arctg /Jm , r:; =aretgv.J=~
,.,+,: vx+v'3x x->+ocvx+v3x .J
li
Ga/JIIUID l UmH11
13) (EN-21) Sejam f e g duas funções reais de modo que, para todo x, (f(x))8 + (g(x))8
= 4. Assinale a opção que apresenta o valor do limite lim f(x)✓x.
x-►0
a) indefinido b) oo c)- oo d) O e) 1
Solução: Alternativa D
Se, para todo x real, ocorre (f(x))8 + (g(x))8 = 4, então t{x) é uma função limitada, ou
seja, para todo real aED(f) tem-se que lim f(x) = L,, onde Lu é finito.
x➔a
Assim, lim f(x)✓x = lim f(x). lim ✓x = L0 .0 = O
X--->Ü X--->Ü X--->Ü
3
14) (!ME-70) Determine as assíntotas da curva y = x + 2 -- .
a) A única assintota é x = O
c) x = O, y = O e y = x + 2
e)x=Oey=O
Solução: Alternativa D
b)x=Oey=x-2
d) X = 0 e y = X + 2
e) nda
Verificação de assintotas horizontais:
X
lim x+2-i=+oo e lim x+2-i=-oo ⇒ nãoháassíntotashorizontais
x ➔+:r.: X X➔ --OT X x➔O- X
Verificação de assintotas oblíquas:
3
x+2--
lim f(x)= lim x = lim 1+3. - ...;-=J
x->+:o X X -►+a; X x->+::o X x-
3
x+2--
lim f(x)= lim x = lim 1+3._2_=1
x➔ -':f_l X x ➔-OC X x➔-C,J X x 2
Para determinar a assíntota oblíqua basta fazer:
0= lim f(x)-(ax+b)= lim x+2-2-(ax+b)= lim (\-a)x+(2-b)-2 ⇒
X➔+:x> X➔+:IJ X X--->+oc X
a= l e b = 2 ⇒ assíntota oblíqua é y = x + 2.
t:ulill/6 t lhlJt6
15)s • b • •• 1· ( 2 ·~+ 3--:+h bl 4E-. , e.1am a e nu meros rea,s tars que 1m - ax - = . ntao, e
X--->+r. X -4
correto afirmar que a + b é
a)7 6)8 c)9 d) 10
Solução: Alternativa C
'
. ( 2x~+3x + b bJ 1• ( 2x
2
+3x+b-ax
2
+(4a-b)x+5b J
1111 -ax- = 1111 =
X--H:r. x -4 X--->+c,, x -4
l
. ((2 - a)x~+(4a - b+3)x+3b ) 1· ( (2-a)x+4a-6+3+~1 4 = 1111 = 1n1 =
X-->+ct. ' -4 X--++cç 4
1- -
x
Se 2 - a* O então esse limite tenderia pra + oo. Como o limite é finito, então a= 2.
Pro limite dar 4 quando x tende a+ oo deve-se impor que:
4a - b + 3 = 4 ⇒ b = 7
Desta forma: a + b = 9
. JP+2P+)P+ ... + n ll
16) (IME-66) Calcule: lim ---- - - -, sabendo que p + l > O.
n---+x• n11+1
Solução:
No volume 3 dessa coleção, capítulo 2 de progressão aritmética, foi demonstrada a
fórmula para calcular Sp = 1 P + 2P + 3P + ... + nP:
sp = -
1
-[cn + 1r
1
- 1- I(p ~ 1Jsj(n)]
p+l j=O J
Por essa fórmula, é possível deduzir que Sp é um polinômio de grau p + e cujo
fi . d P + , , • 1 1 . S n p+I ( ) d ( ) . coe 1c1ente e n e 1gua a --, ou seJa, r =--+q n, on e q n e um
p+ 1 p+l
polinômio de grau n.
11 p--1
S - +q(n)
1
. P
1
. p + 1
1
. 1 q(n) 1
Logo: 1111 --= 11n ...,___-- -= 1m --+-.-=--
11-->"'np+I ,, __ .,., llr+I n--+xp+I n 1h 1 p+I
GaPIJufl l 1111188
17) (IME/CG-11) Determine o valor de Iim .Jx +-Jx +✓x -✓x, com XEIR.
X➔-t,Q.:
= lim j;;7x = lim ----.=====ê'=====:;,---- -
x-->+-L J x + -J x + ✓x +✓x X➔+a, x+-Jx+✓x + ~
x+✓x ~-;+✓x
= lim
X➔ +ct.::
1 1 1 I
+--1- + ~ - 1- = J - 1- -r o +J-l_ l+l =2
I+ 1 Jx +✓x 1 +-1- l+O l+O
✓x ✓x
1
18) (IME/CG-88) Calcule lim (J__) 1+2 rn~, onde ln denota logaritmo neperiano.
n➔:t.J n
Solução:
1
Se L = lim (J._) 1 2111 +, ⇒
O➔:IJ TI
ln L= lim 1 .ln]_= lirn -lnn = lim -l =---1---
n-w, 1+ 2 lnJ__ n 11-,o-, ]-2lnn n->cc _l __ 2 0-2 2
n ~n
1.5. LIMITES DO TIPO~
o
No item sobre limites no infinito fomos deparados, diversas vezes, com limites
00
do tipo oo - oo ou - , onde foram apresentadas técnicas necessárias para determinar,
00
quando existem, os valores corretos desses limites . Agora serão estudas situações em
de limites de funções racionais, onde tan to numerador quanto denominados tendem
a zero. Essas situações não podem ser analisadas usando as técnicas já descritas e
representam indeterminações do tipo Q.
o
Sabe-se que Q é uma indeterminação, entretanto, limites do tipo lim f(x)
0 X->U g(X) '
onde lim f(x) = O e lim g(x) = O podem ser calculados. Por exemplo, apesar de
x ➔a x➔a
J
lim x 2 -1 = O e lim x -1 = O, é possível demonstrar que lim x- - l = 2 .
x->I x->I x->I X - ]
1.5. 1. Limites lim p(x), onde p(x) e q(x) são polinómios divisíveis por x - a.
x->a q(x)
Há uma técnica, baseada em divisão polinomial, que permite calcular o limite
• d P I h d • 1 I 1· xi- 4x+ 3 ·fi supra cita o. or exemp o, supon a que se eseJa ca cu ar 1m 1 . Ven 1que
X->I x- -1
que os polinômios p(x) = x2
- 4x + 3 e q(x) = xl - 1 se anulam para x = 1. Assim, se
conclui que x - 1 divide p(x) e q(x). Logo:
1
. x1 - -h + 3
1
. j.Y"Íl(x-3)
1
. x-3 -2
1 llll-- - -= 1111 - - - - -= 1111--=-=-
'I x2 - 1 ~--;I ~ (X+\ ) X->I x + l 2
Essa mesma técnica pode ser usada em limites onde o denominador ou o
numerador não sejam polinômios, mas que seja possível cancelar a parcela que zera
o numerador e o denominador. Por exemplo:
~, 1 ( 9, ~ I )(90 ,,, 1
1
. {J'(, - _
1
. ~ - 1 vx -+ vx + _
1
. 9'2 q,
1
_
3 1m ~ - IITI - IITI {,/X-+ -,JX + -
x--,1 .Z,x - 1 x->I Jj:d x->I
Em determinadas situações também é possível utilizar a técnica de multiplicar
numerador e denominador pelo conjugado algébrica do denominador:
1. X -4 1· X-4 ✓x +2 1· {0)(,f; +2) 1· , 2 2 2 4 1m - ---= 1m------= 1m-- - - - - = 1m...;x+ = + =
X-> 4 ✓x - 2 X->4 ✓x -2 ✓x + 2 X-> 4 0 x·➔4
ti
cnl/JJto t U//llla
(x+Llt)° - x"
1.5.2. O limite lim ..:...,_ _ ____:__ _ _
Ll.t➔ O Llt
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- Avaliação I - Individual Perspectivas Profissionais (198471)
- 1
- estatistica descritiva
- Estatistica descritiva
- Estatistica descritiva atv
- Represente , graficamente em R2, na circunferencia, os pontos cujas coordenadas polares são : a) A(1,pi/4), B(3,pi/4), C(5,pi/4), D(2,-3pi/4)
- Represente , graficamente em R2, os pontos cujas coordenadas polares são : a) A(1,pi/4), B(3,pi/4), C(5,pi/4), D(2,-3pi/4)
- ER AVALIAÇÃO Avaliação II - Individual (Cod.:1524011) Cálculo Diferencial e Integral IV (181001) Prova 109455230 Período para responder 27/10/2025 ...
- a P U 9 P Seja / (x) função inversível tal que ambas f(x) ef⁻¹(x) são deriváveis e integráveis. Assuma que F(x) é uma primitiva de f (x) Com respeito
- Eder Gomes de Mello Engenharia Mecânica (5258281) RESPONDER AVALIAÇÃO Avaliação Final (Discursiva) - Individual (Cod.:1524009) Cálculo Diferencial ...
- calcule o valor de a para que a função F, definida por f(x)=⎩ ⎨ ⎧x2−1x3−1,a,se x=1,se x=1
- 4 Marcar para revisão Qual é O valor de G (0) para que a função G (t) = et t+1 t -1 , 2 sen t t > seja, contínua em t = 0? A (1,2,1) B (2, - 1,1) C...
- 9 Marcar para revisão A área definida pela equação p = cos 30, para O intervalo 0<0 O, vale 16 π Qual é O valor de K, ? π A 2 - T a B 4 ...
- Marcar para revis x = 1 + u² Um objeto percorre uma curva definida pela função F(u) = y= u³+3,u>0. Z = u² + 5 Assinale a alternativa que apresenta ...
- ercorre uma curva definida pela função F(u) = y= u³+3,u>0. + z = u² + 5 Z = u² ternativa que apresenta o valls da componente normal da aceleração n...
- 2 Determine o terceiro termo da série numérica associado à sequência an= se iniciando para n = 1. 3-1-2 A 3 5 8 B 7 C 7 29 D 35 3 E 11 21
- Seja um circuito com corrente 𝑦 y. Sua equação diferencial é dada por: 𝑦 ′ + 12 𝑥 𝑦 = 0. y ′ +12xy=0. Determine, por meio da Transformada de Fouri
- Ao final do esboço vale observar se todas as relações de esboço estão totalmente definidas. Isso ocorre quando o esboço fica totalmente: I – Apaga...
- Prova [capítulos - 12,13,14,15,16]
- Prova 2 Introdução ao Calculo
