EDP 2

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Problemas de valor de 
contorno em coordenadas 
retangulares
1
INTRODUÇÃO
• Nos próximos itens, serão enfatizados dois
procedimentos frequentemente utilizados para se
resolver problemas envolvendo temperaturas,
deslocamentos oscilatórios e potenciais.
• Esses problemas denominados problemas de valor de
contorno (PVC), são descritos por equações
diferenciais parciais (EDP) lineares de segunda
ordem relativamente simples.
• O objetivo de ambos os procedimentos é obter
soluções particulares de uma EDP reduzindo-a a uma
ou mais equações diferenciais ordinárias (EDO)
2
REVISÃO
• Uma EDP é uma equação envolvendo duas ou mais
variáveis independentes x, y, z, t,... e derivadas parciais de
uma função (variável dependente) u = u(x, y, z, t,....)
𝐹 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, 𝑢,
𝜕𝑢
𝜕𝑥1
, … ,
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑛
,
𝜕2𝑢
𝜕𝑥1
2 , … .
𝜕2𝑢
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
, … = 0
• Exemplos: 
𝑎) 𝑥𝑢𝑥 − 𝑦𝑢𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦
𝑏)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝛼2
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
𝑐) 𝑢𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑢𝑥𝑥 + 𝑥𝑢𝑥𝑢𝑦 + 𝑢𝑥 ² = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
3
• Equações diferenciais parciais (EDPs), como as equações
diferenciais ordinárias (EDOs), são classificadas como
lineares e não lineares. De forma análoga à EDO, a
variável dependente e as suas derivadas parciais
aparecem somente elevadas à primeira potência em uma
EDP linear.
• Exemplos:
𝑎) 𝑥𝑢𝑥 − 𝑦𝑢𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦 𝟏 ; 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫
𝑏)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦 𝟐 ; 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫
• Nesse e nos próximos capítulos estaremos interessados
apenas em equações diferenciais parciais lineares.
4
• Se considerarmos u representando a variável dependente e x
e y como as variáveis independentes, então a forma geral de
uma equação diferencial parcial de segunda ordem
linear é indicada por:
𝐴
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+ 𝐵
𝜕²𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝐶
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
+ 𝐷
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑢 = 𝐺 (1)
onde os coeficientes A, B,..., G são constantes ou funções de x e
y. Quando 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 a equação é dita homogênea, de outro
modo, ela é não homogênea. Por exemplo, as equações lineares
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
= 0
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑥𝑦
são homogêneas e não homogêneas, respectivamente
5
Solução de uma EDP
• Uma solução de uma equação diferencial parcial linear é
uma função 𝑢(𝑥, 𝑦) de duas variáveis independentes que
possui todas as derivadas parciais ocorrendo na equação
e satisfaz a equação em alguma região no plano xy.
• Não é nossa intenção examinar procedimentos para
obter soluções gerais de uma equação diferencial parcial
linear. A obtenção de uma solução geral de uma EDP
linear se segunda ordem não é apenas difícil como
também muitas vezes uma solução geral nem sempre é
útil em aplicações.
• Portanto, nosso foco estará em obter soluções
particulares de algumas importantes EDPs lineares, isto
é, equações que aparecem em diversas aplicações.
6
CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES
• Uma equação diferencial parcial de segunda ordem linear com duas
variáveis independentes de coeficientes constantes pode ser
classificada como uma de três tipos. Essa classificação depende
somente dos coeficientes das derivadas de segunda ordem.
Assumiremos, é claro que, ao menos um dos coeficientes A, B e C
não seja zero.
• Definição: A equação diferencial parcial de segunda ordem linear
𝐴
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+ 𝐵
𝜕²𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝐶
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
+ 𝐷
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑢 = 0
Onde A, B, C, D, E e F são constantes reais, é dita ser:
Hiperbólica se 𝐵² − 4𝐴𝐶 > 0
Parabólica se 𝐵² − 4𝐴𝐶 = 0
Elíptica se 𝐵² − 4𝐴𝐶 < 0
7
• Exemplo 1: Classifique EDPs de segunda ordem 
lineares 
𝑎) 3
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑏)
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
𝑐)
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
= 0
• Uma explicação detalhada do porquê de classificamos
uma equação diferencial parcial de segunda ordem está
além do escopo desse texto. Porém, a resposta está no
fato que desejamos resolver equações diferenciais
parciais sujeitas a determinadas condições laterais
conhecidas como condições de contorno e iniciais.
• Os tipos de condições laterais apropriadas para uma
dada equação dependem se a equação é hiperbólica,
parabólica ou elíptica.
8
Equações clássicas e problemas de valor de 
contorno
• Para o restante da matéria, estaremos interessados em determinar
soluções produto de equações diferenciais parciais de segunda ordem
𝑘
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 𝑘 > 0 (1)
𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕²𝑢
𝜕𝑡²
(2)
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
= 0 (3)
ou de pequenas variações dessas equações. Essas equações clássicas de
física matemática são conhecidas como, respectivamente, equação do
calor unidimensional, equação da onda unidimensional e
equação de Laplace bidimensional.
• “Unidimensional” se refere ao fato de x representar uma dimensão
espacial, enquanto t representa o tempo, “duas dimensões” em (3)
significa que ambas dimensões são espaciais.
9
• A equação de Laplace é abreviada como 𝛻²𝑢 = 0, onde
𝛻²𝑢 =
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
é denominado Laplaciano em duas dimensões da função
u. Em três dimensões o Laplaciano de u é:
𝛻²𝑢 =
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑧²
• Comparando as equações (1)-(3) com a EDP de segunda
ordem linear indicada anteriormente, com t
desempenhando o papel de y, vemos que a equação do
calor (1) é parabólica, a equação da onda (2) é
hiperbólica, e a equação de Laplace (3) é elíptica.
10
Equação do Calor
• Considere um problema de condução de calor em uma barra
de seção reta uniforme feita com material homogêneo.
• Escolha o eixo dos x de modo a formar o eixo da barra de
modo que x = 0 e x = L correspondem às extremidades da
barra.
• Suponha que os lados da barra estão perfeitamente isolados,
de modo que não há transmissão de calor aí.
• Assumiremos que as dimensões da seção reta são tão
pequenas que a temperatura u pode ser considerada
constante em qualquer seção reta.
• Então u só depende da coordenada axial x e do instante t.
11
• A variação da temperatura na barra é governada pela equação
da condução do calor, e é da forma:
𝛼²
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0 (1)
Onde 𝛼² é uma constante conhecida como difusividade térmica.
• O parâmetro 𝛼² depende somente do material do qual a barra 
foi feita, e é definida por 𝛼² =
𝑘
𝜌𝑠
, onde k é a condutividade 
térmica, ρ é a densidade, e s é o calor específico do material 
da barra. 
• A unidade de 𝛼² são (comprimento)2 /tempo. 
12
• Os valores típicos de 𝛼² são dados na tabela abaixo
• Vamos supor que a distribuição inicial de temperatura na
barra é dada por
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 0 < 𝑥 < 𝐿 (2)
onde 𝑓(𝑥) é uma função dada.
Material 𝛼² (cm²/s)
Prata 1,71
Cobre 1,14
Alumínio 0,86
Ferro fundido 0,12
Granito 0,011
Tijolo 0,0038
Água 0,00144
13
• Finalmente, supomos que as extremidades da barra são
mantidas a temperatura fixas: a temperatura 𝑇1 em 𝑥 =
0 e 𝑇2 em 𝑥 = 𝐿
• Vamos considerar somente o caso 𝑇1 = 𝑇2 = 0, mais a
frente vermos o caso geral e como reduzi-lo a este caso.
Assim, temos as condições de contorno
𝑢 0, 𝑡 = 0, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 (3)
• O problema descrito pelas equações (1), (2) e (3)
𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝑢 0, 𝑡 = 0, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0, t > 0
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
14
• É um problema de valor inicial na variável t, é dada uma
condição inicial e a equação diferencial determina o que
acontece depois. No entanto, em relação a variável x, o
problema é de valor de contorno; são impostos condições de
contorno em cada extremidade da barra e a equação
diferencial descreve a evolução da temperatura no intervalo
entre elas.
15
• O problema de condução descrito anteriormente é
linear, já que u só aparece na primeira potência em
toda a equação. A equação diferencial e as condições
de contorno são, também, homogêneas.
• Estamos interessados em encontrar uma função
𝑢 𝑥, 𝑡 que satisfaça a Equação diferencial e as
condições de contorno.
• O método para encontrar tal equação é baseado no
método de Separação de Variáveis, que não será
aprofundado neste conteúdo.16
• Assim o problema fundamental da condução do calor é
encontrar 𝑢(𝑥, 𝑡) que satisfaz
𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝑢 0, 𝑡 = 0, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0, t > 0
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
A solução para esta equação é dada por:
𝑢 𝑥, 𝑡 = 
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒
−
𝛼𝑛𝜋
𝐿 ²𝑡𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
onde
17
𝑐𝑛 =
2
𝐿
 
0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
• Em outras palavras a solução para a equação do calor
reduz-se a calcular a série de Fourier de senos para a
função de valor inicial 𝑓(𝑥).
Exemplo 2: Encontre a temperatura u(x,t) em qualquer
instante em uma barra de metal com 50 cm de
comprimento, insolada nos lados, a uma temperatura
uniforme, inicialmente, de 20°C em toda a barra, e cujas
extremidades são mantidas a 0°C para todo t > 0.
18
• Assim a temperatura ao longo da barra é dado por
• O fator exponencial com potência negativa em cada termo da
série faz com que ela convirja rapidamente, exceto para
valores pequenos de t ou 𝛼.
• Portanto, resultados precisos podem ser obtidos usando-se
apenas alguns poucos termos da série.
• Para apresentar resultados quantitativos, tome t tem
segundos; então 𝛼 tem unidade em cm²/sec.
• Se escolhermos 𝛼 = 1, isso corresponde a uma barra feita com
um material cujas propriedades térmicas estão entre o cobre
e o alumínio.
19
• O gráfico mostra a distribuição de temperatura na barra em
diversos instantes diferentes tempos.(fig. à esquerda).
• Observe que a temperatura vai diminuindo sempre, à medida
que a barra perde calor pelas extremidades.
• O modo no qual a temperatura decai em um determinado
ponto na barra, (fig. à direita), onde aparece o gráfico da
temperatura em função do tempo para alguns pontos
selecionados na barra
20
• O gráfico tridimensional de u versus x e t.
• Observe que obtemos os gráficos anteriores fazendo a
interseção da superfície abaixo com planos onde t ou x são
constantes.
• A pequena ondulação em
t = 0 resulta da utilização
de apenas um número
finito de termos na série
que representa u(x,t) e da
convergência lenta da
série para t= 0.
21
• Ainda do mesmo exemplo
• Qual é o tempo em que a temperatura atinge 1°C?
A. Suponha que queiramos determinar o tempo τ para o qual 
a barra inteira atinja a temperatura de 1°C. 
B. Devido à simetria da distribuição da temperatura inicial e 
das condições de fronteira, o ponto mais quente da barra é 
o centro
C. Assim τ é determinado resolvendo u(25,t) = 1 para t.
D. Usando só o primeiro termo da série de Fourier acima, 
obtemos 
22
• Exemplo 3: Considere uma barra metálica com 20
cm de comprimento, aquecida a uma temperatura de
uniforme de 100ºC. Suponha que, em t = 0 as
extremidades da barra são mergulhadas em um
banho gelado a 0 ºC e depois mantidas a essa
temperatura, mas não é permitido escapar calor pela
superfície lateral.
a) Encontre uma expressão para a temperatura em
qualquer ponto da barra em um instante posterior.
b) Determine a temperatura no centro da barra no
instante 𝑡 = 30𝑠 se a barra for feita de
i) prata
ii) alumínio
iii) ferro fundido
Compare os resultados
23
Outros problemas de condução de calor
Condições de Contorno Não-Homogêneas
• Quando as pontas do fio são mantidas a 0℃, ou quando são
isoladas, as condições de fronteiras são ditas serem
homogêneas. Mas, quando as extremidade do fio são
mantidas em temperaturas constantes diferente de zero, ou
seja
𝑢 0, 𝑡 = 𝑇1, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑇2, t > 0
Então as condições de fronteiras são ditas não homogêneas.
• A solução para um problema de fluxo de calor em condições
de fronteira não homogêneas consistirá em uma solução em
regime estacionário 𝒗(𝒙) que satisfaz as condições de
fronteira não homogêneas mais uma solução transiente
𝒘 𝒙, 𝒕 , ou seja
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 + 𝑤(𝑥, 𝑡)
24
Distribuição da temperatura estado 
estacionário x estado transiente
Estado estacionário Estado transiente
Um sistema em um estado
estacionário, (ou regime
permanente para a engenharia), tem
numerosas propriedades que são
inalteráveis no tempo. Isto implica que
qualquer propriedade p do sistema, a
derivada parcial em relação ao tempo é
zero
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 0
Depois de muito tempo (i.e., com t →
∞), antecipamos que será alcançada 
uma distribuição de temperatura 
estacionária v(x), a qual independe do 
tempo t e das condições iniciais.
• No âmbito da engenharia
química, um sistema diz-se
em estado transiente
quando pelo menos uma
variável do processo se
encontra ainda em mudança,
não tendo por isso o sistema
atingido o estado
estacionário.
25
• Consideremos agora o problema de condução de calor com 
condições de contorno não homogêneas:
𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝑢 0, 𝑡 = 𝑇1, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑇2, t > 0
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Assim a solução 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑣 𝑥 + 𝑤 𝑥, 𝑡 é dado por
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑇2 − 𝑇1
𝑥
𝐿
+ 𝑇1 + 
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒
−
𝛼𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
Onde
𝑐𝑛 =
2
𝐿
 
0
𝐿
𝑓 𝑥 − 𝑇2 − 𝑇1
𝑥
𝐿
− 𝑇1 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
26
• Exemplo 4: Considere o problema de condução de 
calor não homogêneo, determine a solução 
𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝑡 , 0 < 𝑥 < 30, 𝑡 > 0
𝑢 0, 𝑡 = 20, 𝑢 30, 𝑡 = 50, 𝑡 > 0
𝑢 𝑥, 0 = 60 − 2𝑥, 0 < 𝑥 < 30
A solução não homogênea u(x, t) é dada pela
distribuição da temperatura do estado
estacionário v(x) e a distribuição da
temperatura transiente w(x, t).
27
• A figura mostra os gráficos da distribuição inicial de temperatura
60 − 2𝑥 , da distribuição final de temperatura 20 + 𝑥 e, da
temperatura em dois instantes intermediários encontrados
resolvendo-se as equações. Note que a temperatura intermediária
satisfaz as condições de contorno para qualquer 𝑡 > 0. Quanto t
aumenta, o efeito das condições de contorno move-se, gradualmente,
das extremidades da barra para seu centro
28
• Ainda do exemplo
• Qual é a temperatura da barra no tempo 10 
segundos em 𝑥 = 23 𝑐𝑚? Utilize 𝛼 = 1.
• O cálculo condiz com o gráfico?
29
Barra com Extremos Isolados
• Suponhamos agora que as extremidades da barra estão
isoladas, isolada tanto nas extremidades quanto nos lados,
de modo que não há transferência de calor através delas.
• A taxa de fluxo de calor através de uma seção reta é
proporcional à taxa e variação da temperatura na direção
x. Assim, no caso de ausência de fluxo de calor, o problema
é da forma
𝜕𝑢
𝜕𝑥
0, 𝑡 = 0,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝐿, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0
30
Barra com Extremos Isolados
• A equação juntamente com as condições de
contorno e a condição inicial que satisfaz o
problema é:
𝛼²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
0, 𝑡 = 0,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝐿, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
31
• A solução para o problema é:
𝑢 𝑥, 𝑡 =
𝑐0
2
+ 
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒
−
𝛼𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
Onde
𝑐𝑛 =
2
𝐿
 
0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥 𝑒 𝑐0 =
2
𝐿
 
0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
32
• Vale a pena observar que a solução 𝑢 𝑥, 𝑡
𝑢 𝑥, 𝑡 =
𝑐0
2
+ 
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑒
−
𝛼𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
pode também ser considerada como a soma de uma distribuição
de temperatura no estado estacionário, independente do tempo t,
e uma distribuição transiente, que tende a zero no limite quando
𝑡 → ∞ . O fato de que o estado estacionário é constante é
consistente com a intuição de que o processo de condução de
calor irá, gradualmente, uniformizar a distribuição de
temperatura na barra, enquanto não for permitido ao calor entrar
nem escapar para fora. A interpretação física do termo
𝑐0
2
=
1
𝐿
 
0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• É que é o valor médio da distribuição de temperatura original
33
Estado 
estacionário Estado transiente
• Exemplo 5: Encontre a temperatura 𝑢(𝑥, 𝑡) em
uma barra metálica com 25 cm comprimento,
isolada tanto nas extremidades quanto nos lados,
cuja distribuição inicial de temperatura é 𝑢(𝑥, 0) = x
para 0 < 𝑥 < 25.
34
• Observa-se que à medida que aumenta o tempo 
t, a distribuição de temperatura u(x,t) ao longo 
da barra é suavizada para o valor médio (12.5) 
da distribuição de temperatura inicial u(x,0)= x, 
0 < x< 25.
35
• Outros exemplos: Encontre a solução para o 
problema de valor de fronteira e inicial dado:
6)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 5
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0
𝑢 0, 𝑡 = 𝑢 1, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0
𝑢 𝑥, 0 = 1 − 𝑥 , 0 < 𝑥 < 1
7)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 3
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
, 0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
0, 𝑡 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜋, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0
𝑢 𝑥, 0 = 𝑥, 0 < 𝑥 < 𝜋
36