TAREFA 3

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TAREFA 3 
1) Considere a família de retas que passam pela origem: y=C x, C∈ R. 
1. Encontre a EDO que representa essa família. 
2. Encontre a EDO das trajetórias ortogonais. 
3. Resolva essa EDO e descreva a família ortogonal. 
2) Um marca - passo de coração consiste de uma chave, uma bateria de tensão constante 0E , 
um capacitor com capacitância constante C , e o coração como um resistor com resistência R . 
Quando a chave está fechada, o capacitor carrega; quando a chave está aberta, o capacitor 
descarrega, enviando um estímulo elétrico para o coração. Durante o tempo em que o coração 
está sendo estimulado, a tensão E através do coração satisfaz a equação diferencial linear 
E
RCdt
dE 1
 . Resolva a equação diferencial sujeita a .)4( 0EE  
3) Lei de Newton do resfriamento: A formulação Matemática da lei de Newton do 
resfriamento de um objeto é dada pela equação diferencial de primeira ordem Linear 
 = 𝑘(𝑇 − 𝑇 ), onde k é uma constante de proporcionalidade, 𝑇(𝑡) é a temperatura do objeto 
para 𝑡 > 0 e 𝑇 é a temperatura ambiente, isto é, a temperatura do meio em torno do objeto. 
Considerando a definição acima resolva o problema de resfriamento de um bolo. Quando um 
bolo é removido de um forno, sua temperatura é medida como sendo 300°𝐶. Três minutos 
depois, sua temperatura é de 200°𝐶. Considerando a temperatura ambiente (𝑇 ) igual a 70°𝐶, 
monte a equação diferencial que descreve esse problema e resolva-a. 
4)(Para fazer esse exercício olhe o conteúdo no livro página 60) Problema – Crescimento de 
uma população de bactérias: Uma cultura de bactérias cresce de acordo com a equação 
diferencial 
 
onde N(t) é o número de milhares de bactérias e t o tempo em horas. Se N(0)=5, determine N(t). 
 
5) Problema (oscilador massa–mola com amortecimento) Uma massa de m=1 kg está presa 
a uma mola de constante elástica k=10 N/m e a um amortecedor viscoso com coeficiente 
c=2 N/m. Sem forças externas, o movimento x(t) satisfaz: 
 
Dada a solução 
 
Verifique se ela é solução da equação diferencial. 
6) Resolva o problema de valor inicial 034
2
2
 y
dx
dy
dx
yd
, 1)0( y , .2)0´( y 
 
7) Problema: Um sistema massa–mola ideal, sem atrito e sem força externa, é formado por 
uma massa de m=2 kg presa a uma mola com constante elástica k=18 N/m. A posição da massa 
em função do tempo é x(t), com x=0 representando o equilíbrio. Sabendo que inicialmente a 
massa é deslocada 0,1 m para a direita e solta sem velocidade inicial. 
Modelagem da equação diferencial: A lei de Hooke e a 2ª Lei de Newton dão: 
 
Substituindo m=2e k=18 temos: 
 
Observe que temos uma equação diferencial de segunda ordem. Determine: 
1. A solução geral da equação diferencial. 
2. A função x(t) que descreve o movimento com as condições iniciais dadas.