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UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula
http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 
Doutorando em Engenharia-Universidade Estadual Paulista-UNESP 
Mestrado em Engenharia de Produção-Universidade Estadual Paulista-UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
Pesquisador pelo ITL/SEST/SENAT. Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança 
do Trabalho. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, 
Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística para o curso de Engenharia de 
Produção, Análise Estatística para o curso de Administração, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão 
de Segurança e Análise de Processos Industriais (Gestão Ambiental), Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de 
férias). Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Administração e Logística. Ex-professor 
na Universidade Barra Mansa – UBM nos cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo. Ex-professor 
Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Ex-professor em escolas 
técnicas nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade 
Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do 
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Ex-consultor interno, desenvolvedor e instrutor de cursos corporativos na CSN, 
a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Ex-Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia.
https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula�
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MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO) 
INTRODUÇÃO 
O termo “variação” sugere tornar vário ou diverso; alterar, diversificar; mudar; ser inconstante; não ser conforme, 
discrepar. Na maioria dos casos existirá variação em um conjunto de dados, independente da característica que 
você esteja medindo, pois nem todos os indivíduos terão o mesmo exato valor para todas as variáveis.  
EXEMPLO 
Durante o ano  letivo a Média das notas de  João, Mário, Maria e  José  foi 7,0. Se considerarmos apenas a 
Média, não notaremos qualquer diferença entre os quatro alunos. No entanto, observa‐se que as notas são 
muito diferentes em relação a Média. Há variação de notas e, no caso de João e José, é bem discrepante: 
 
 
Diante  deste  contexto,  podemos  questionar:  qual  o  aluno  é  mais  estável?  Qual  teve  melhor 
desempenho? Qual o aluno com pior desempenho? Notadamente o aluno de melhor desempenho é o 
Mário, pois todas as suas notas foram 7,0 e, portanto, não houve nenhuma variação em relação a Média. 
Já José e João tiveram o pior desempenho pois suas notas estiveram muito distantes da Média.  
Neste capítulo vamos desenvolver maneiras específicas de  realmente medirmos a variação, de modo 
que possamos usar números específicos em lugar de julgamento subjetivo. 
Outros exemplos de variações: 
 Os preços das casas variam de casa para casa, de ano para ano e de estado para estado.  
 Os preços de um produto variam de supermercado para supermercado. 
 O tempo que você leva para chegar ao trabalho varia dia a dia. 
 O tamanho das peças produzidas em uma empresa também varia.  
 A renda familiar varia de família para família, de país para país e de ano para ano.   
 Os resultados das partidas de futebol, de temporada para temporada, variam.  
 As notas que você tira nas provas, não diferente, também variam.  
 Seu saldo bancário também varia, podendo ser de hora em hora, dia a dia, mês a mês. 
Estudaremos  alguns tipos de medidas de variação: variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
o
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
7,0 7,0 7,0 7,0 7,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
o
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Mário 
6,5 6,5
7,0 7,5 7,5
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
o
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Maria
4,0
9,5
7,0
8,5
6,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
o
ta
s
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de José 
Sem variação a 
partir da Média 
Grande variação 
a partir da Média 
Pequena variação a 
partir da Média 
Grande variação a 
partir da Média 
4
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (amostral) 
São medidas que representam “um valor médio de variação” em torno da média. 
O desvio padrão é um modo que se usa para medir a variabilidade entre os números em um conjunto de dados. Assim como o termo 
sugere,  um  desvio  padrão  é  um  padrão  (ou  seja,  algo  típico)  de  desvio  (ou  distância)  da média. O  desvio  padrão  é  uma  estatística 
importante, mas,  frequentemente, é omitida quando os  resultados são  relatados. Sem ele, você está  recebendo apenas uma parte da 
história sobre os dados. Os estatísticos gostam de contar a história do homem queestava com um dos pés em um balde de água gelada e 
o outro em um balde de água  fervendo. O homem dizia que, na média, ele estava se sentindo ótimo! Mas  imagine a variabilidade da 
temperatura para cada um dos pés. Agora, colocando os pés no chão, o preço médio de uma casa, por exemplo, não lhe diz nada sobre a 
variedade de preços de casas com a qual você pode se deparar enquanto estiver procurando uma casa para comprar. A média dos salários 
pode não representar o que realmente está se passando em sua empresa se os salários forem extremamente discrepantes. 
 Entendendo a Variância e o Desvio Padrão       Calculando a Variância e o Desvio Padrão  
Desvios em torno da Média das notas de João 
 
 
 
 
 
 
No gráfico percebemos que o desvio determina o quanto 
cada  elemento  do  conjunto  de  dados  se  distancia  da 
média 7,0. No 1º Bim. faltam ‐3,5 para se chegar a Média 
e no 2º Bim.  ‐1,0.  Já nos 3º e 4º Bim.  temos +2,5 e +2,0 
acima  da  média,  respectivamente.  Transpondo  essas 
informações para uma tabela, temos: 
Notas  
(x) 
   Média 
( x ) 
Desvios  
(x ‐  x ) 
3,5  7,0  ‐3,5 
6,0  7,0  ‐1,0 
9,5  7,0  2,5 
9,0  7,0  2,0 
‐  ‐  =0 
Perceba  que  a  soma  dos  desvios  é  igual  a  zero.  Esta 
característica não é exclusiva deste exemplo. Ela sempre 
ocorre e prende‐se ao fato de que a média é o ponto de 
equilíbrio em um conjunto de dados.  
Como os desvios indicam o grau de variação dos valores 
em  relação à média, seria  interessante poder encontrar 
um  único  número  que  o  representasse.  Algo  como  a 
média  dos  desvios.  Mas,  para  fazer  essa  média, 
precisamos somar os desvios e acabamos de ver que essa 
soma é sempre igual a zero. 
O  problema  da  soma  dos  desvios  foi  resolvido  pelos 
matemáticos: basta elevar   cada desvio ao quadrado antes 
de  somá‐los. Um  número  ao  quadrado  é  sempre  positivo, 
portanto a soma não se anula mais, e a média dos desvios ao 
quadrado pode ser calculada: 
Notas 
(x) 
Média 
( x ) 
Desvios  
(x ‐  x ) 
Desvios elevado ao 
quadrado  (x ‐  x )
2 
3,5  7,0  ‐3,5        (‐3,5)2 =   12,25 
6,0  7,0  ‐1,0        (‐1,0)2 =   1 
9,5  7,0  2,5        (2,5)2   =   6,25 
9,0  7,0  2,0        (2,0)2  =   4 
n=4  ‐  =0     =23,5 
Variância amostral 
Agora,  podemos  calcular  a  média  dos  quadrados  dos 
desvios, chamada de Variância, representada por S2: 
S2 =   )( xx  2 → 
 n ‐ 1 
 23,5    =  7,8 
    4 ‐ 1 
A divisão por n−1 aparece por fornecer um melhor resultado do 
que a divisão por n. 
Desvio padrão amostral 
Mas,  se  elevamos  os  desvios  ao  quadrado  para  poder 
calcular sua média, não seria correto que agora fizéssemos a 
raiz  quadrada  dessa média,  para  desfazer  a  potenciação? 
Sim,  e  o  valor  dessa  raiz  é  chamado  Desvio  padrão, 
representado por S: 
Desvio padrão   →   S =  8,7 = 2,8  
Interpretação: O desvio padrão  indica que a maioria das notas de 
João  está  concentrada  dentro  dos  limites  de   2,8  em  torno  da 
média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,2 e 9,8: 
 
Equação da Variância e Desvio padrão 
Podemos concluir, então, o uso das equações: 
      da Variância 
 
S2 =   )( xx  2
 n ‐ 1 
do Desvio padrão 
S =  2S
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
   ‐3,5 
  ‐1,0 
 + 2,5    +2,0
  7,0 
  4,2      ‐2,8                   +2,8       9,8 
5
Calculando a Variância e o Desvio padrão das notas de Maria, José e Mário – passo a passo. 
Notas de Maria:         6,5   6,5   7,5   7,5 
1º Calcular a Média 
n
xx
 

x = 6,5+6,5+7,5+7,5 = 7,0 
 4 
2º Calcular a Variância 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx
S2 = (6,5 – 7,0)2 + (6,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2  =  0,33 
4 – 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
S =  2S   →   33,0
S = 0,5 
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria 
está concentrada dentro dos  limites de   0,5 em torno da Média
7,0. Ou seja, se concentrando entre 6,5 e 7,5. 
Notas de José:      4,0   9,5    8,5   6,0 
1º Calcular a Média 
n
xx
 

x = 4,0+9,5+8,5+6,5 = 7,0 
     4 
2º Calcular a Variância 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx
S2 = (4,0 – 7,0)2 +  (9,5 – 7,0)2 + (8,5 – 7,0)2 + (6,0 – 7,0)2  = 6,16 
      4 ‐ 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
S =  2S   →   16,6
S = 2,5 
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria 
está concentrada dentro dos  limites de   2,5 em torno da Média
7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,5 e 9,5. 
Notas de Mário:      7,0   7,0    7,0   7,0 
1º Calcular a Média 
n
xx
 

x = 7,0+7,0+7,0+7,0 = 7,0 
     4 
2º Calcular a Variância 
S2 =  
1 
)( 2


n
xx
S2 = (7,0 – 7,0)2 +  (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2  =  0 
      4 ‐ 1 
3º Calcular o Desvio padrão 
S =  2S   →   S = 0 
O  resultado  indica  que  todas  as  notas  de Mário  estão  dentro  dos  limites  de   0  em  torno  da Média  7,0.  Ou  seja,  se 
concentrando exatamente na média 7,0. Portanto, sem variação. 
NOTAS SOBRE O DESVIO PADRÃO. O  desvio  padrão  é 
sempre um valor que está na mesma unidade dos dados originais. 
Um desvio padrão pequeno, basicamente, significa que os valores do 
conjunto  de  dados  estão,  na  média,  próximos  do  centro  desse 
conjunto,  enquanto  um  desvio  padrão  grande  significa  que  os 
valores do  conjunto de dados  estão, na média, mais  afastados do 
centro. Então, quanto mais espalhados ou dispersos forem os dados, 
maior  será  o  desvio  padrão  e,  quanto  mais  concentrados  ou 
homogêneos  forem  os  dados, menor  será  o  desvio  padrão.  Se  os 
valores  forem  iguais,  ou  seja,  sem  variação,  o  desvio  padrão  será 
zero.  
Um  desvio  padrão  pequeno  pode  ser  um  bom  objetivo  em 
determinadas  situações, onde os  resultados  são  restritos,  como exemplo, na produção  e no  controle de qualidade de uma  indústria. Uma 
determinada peça de carro que deve ter centímetros de diâmetro para encaixar perfeitamente não pode apresentar um desvio padrão grande, 
nesse caso, significaria que acabariam sendo jogadas fora, pois ou não se encaixariam adequadamente ou os carros teriam problemas.  
Observe que o desvio padrão das notas de João indica que estão concentradas dentro dos limites de   2,8 em torno da média 7,0. Ou seja, se
concentrando entre 4,2 e 9,8.  Isto representa um desvio padrão grande.
  7,0 
  6,5      ‐0,5                   +0,5       7,5 
  7,0 
  4,5      ‐2,5                   +2,5       9,5 
média
desvios
Desvio padrão
6
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO - CV 
É a medida relativa do desvio padrão que é expressa sob a forma de porcentagem (%). 
Em algumas  situações, podemos estar  interessados em uma estatística que  indique qual é o  tamanho do desvio padrão em  relação à 
média. A melhor forma de representá‐la é através do coeficiente de variação por ser expressa na forma de porcentagem.  
Equação do Cv: 
Cv =     S   x 100 
x
Ou seja:    Cv = Desvio padrão  x 100 
  Média 
Exemplo: Com a média 7,0 de João e Desvio padrão de 2,8, temos: 
    Cv =   2,8  x  100   →    40% 
               7,0 
O resultado indica que a Média 7,0 de João teve um Desvio padrão em torno de 40%. 
Interpretação estatística do Cv: 
Cv ≤ 15%  = pequena variação em torno da média 
15% < Cv < 30%  = moderada variação em torno da média 
Cv ≥ 30%  = grande variação em torno da média 
Fazendo a Distribuição de Variabilidade das notas de João, Maria, José e Mário, temos: 
Alunos  x   S Cv (%)  Cálculo do Cv (%)  Interpretação do Cv 
João  7,0  2,8  40%  →   2,8/7,0 x 100  Grande variação 
Maria  7,0  0,5  7%  →   0,5/7,0 x 100  Pequena variação 
José  7,0  2,5  36%  →   2,5/7,0 x 100  Grande variação 
Mário  7,0  0  0%  ‐  Nenhuma variação 
VANTAGEM DO CV. 
O Cv é útil para compararmos a variabilidade de variáveis que têm desvios padrão diferentes e médias diferentes 
Exemplo: Suponha que o lote A de peças tenha média de 
65 cm de comprimento com desvio padrão de8 cm; e o 
lote B tenha média de 105 cm  com desvio padrão de 11 
cm. QUAL LOTE TEM MENOR VARIAÇÃO E É MAIS CONSISTENTE? 
 
Lote A 
Cv =    8   x 100 = 12,3% 
             65 
Lote B 
Cv =    11   x 100 = 10,47% 
           105 
O lote B é mais consistente pois tem menor variação. 
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES 
Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. 
Dois exemplos clássicos (por sua simplicidade) do conceito de Probabilidade são: 
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter “4”?    Ao lançar a moeda, qual a probabilidade de dar “cara”?
Como representar numericamente as chances desses eventos? 
Conhecidas  certas  condições,  é  possível  responder  a  essas  duas  perguntas,  antes mesmo  da  realização  desses  experimentos. A 
teoria da probabilidade surgiu para tentar calcular a “chance” de ocorrência de um resultado imprevisível, porém, pertencente a 
um conjunto de  resultados possíveis. Todos os dias somos confrontados com situações, que nos conduzem a utilizar a  teoria de 
probabilidade: 
Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar na loteria; 
Dizemos que existe uma grande probabilidade de não chover num dia de verão;  
O gerente quer saber a probabilidade de o projeto ser concluído no prazo; 
O analista financeiro quer saber a chance de um novo investimento ser lucrativo;  
O gerente de marketing quer saber as  chances de queda de vendas se aumentar os preços; 
O eng. produção quer saber a probabilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade. 
É  POSSÍVEL  QUANTIFICAR  O  ACASO.  Desse modo,  se  houver  probabilidades  disponíveis,  podemos  determinar  a 
possibilidade  de  cada  um  dos  eventos  ocorrer.  Para  continuar  o  estudo  de  probabilidades,  três  conceitos  são 
importantes: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos.  
 
7
DISTRIBUIÇÃO NORMAL  (ABRAHAM DE MOIVRE  1667 ‐ 1754 ) 
É usada para distribuições SIMÉTRICAS e possui diversas aplicações, como calcular as probabilidades de 
PESOS e ALTURAS das pessoas, diâmetro e comprimento de peças em linhas de produção, tempo de vida 
útil de produtos e diversas outras medições de pesquisas científicas. 
 Aplicado para distribuições SIMÉTRICAS (Média=Moda=Mediana). Possui como parâmetro a MÉDIA e DESVIO PADRÃO. 
 Também chamada de Curva Normal, Curva de Gauss e Curva em forma de Sino. 
Para entender o conceito de uma Distribuição Normal, tomemos como exemplo a distribuição da vida útil de 340 
lâmpadas produzidas pela PHILIPS: 
Observe pela Distribuição Normal que o tempo de vida útil das lâmpadas: 
 Possui uma elevação em seu centro e pontas que vão tanto para direita quanto para a esquerda; 
 A Média, Mediana e Moda (1000 horas) encontram‐se exatamente no meio da distribuição; 
 A distribuição de valores menores que a Média (700, 800, 900) e maiores que a Média (1100, 1200, 1300) é simétrica, 
o que significa que se você dobrá‐la ao meio, suas partes serão como imagens refletidas por um espelho;
 Como a curva é simétrica em torno da Média, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média 
ocorrem com igual probabilidade; 
 A maioria dos dados é centralizada ao redor da média, de modo que quanto mais longe da média você se mover, cada 
vez menos pontos de dados você vai encontrar em ambos os lados. 
Analisando a variabilidade 
Analise a  figura abaixo. Veja que a maior parte da vida útil das  lâmpadas produzidas pela PHILIPS varia de 700 
horas  até  1300  horas,  com uma  boa  parte  das  lâmpadas  com  vida  útil  de  900  a  1100  horas.  Pensando  como 
consumidor, você gostaria de se deparar com tamanha variabilidade quando for comprar um pacote de lâmpadas? 
Veja que uma concorrente (OSRAM)  irá tentar fabricar  lâmpadas com vida útil menos variável; a vida útil terá 
uma média de 1000 horas, mas suas  lâmpadas  terão uma vida útil mais consistente, variando de 920 a 1080 
horas, com boa parte das lâmpadas com duração entre 980 e 1020 horas. 
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
u
an
ti
d
ad
e
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
Distribuição da vida útil de 340 lâmpadas 
produzidas pela PHILIPS
 
Curva NORMAL ou
Curva de GAUSS ou 
Curva em forma de SINO 
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
u
an
ti
d
ad
e
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
D istribuição da vida útil de 340 lâmpadas 
produzidas  pela OSRAM
PHILIPS
OSRAM
     920   1080
8
Em uma distribuição Normal, o Desvio padrão tem um significado especial, pois determina a distância da Média 
até um ponto dentro da distribuição, cada um com a mesma distância da Média. No caso abaixo, supomos (por 
fins didáticos) que o Desvio padrão do tempo de vida útil das lâmpadas é s=100 horas. 
 
 
PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Quando  se  tem uma  variável aleatória  com distribuição normal pode‐se obter a probabilidade de essa variável 
assumir um valor em determinado intervalo, pela área sob a curva dentro dos limites do intervalo. 
Exemplo 1. Seja X a variável aleatória que representa os tempos de vida útil das lâmpadas produzidas pela 
PHILIPS Sendo a Média de vida útil das lâmpadas de 1000 horas com Desvio padrão de 100 horas, ache a 
probabilidade de a lâmpada ter vida útil entre 1000 e 1150 horas, isto é, P(1000 < z < 1150). 
PARA ACHAR A PROBABILIDADE, SIGA 2 PASSOS: 
1º PASSO. Calcule o número de desvios padrão que o valor “1150” se distancia da média “1000”. Para isto, 
utilizamos a equação abaixo, chamada “escore Z”. 
EQUAÇÃO ESCORE Z 
s
xz x - 
 Calculando o escore Z, temos: 
z = 1150 - 1000 = 1,50 
 100 
O resultado indica que 1150 está distante 1,50 desvios 
padrão da média. Use  sempre 2  casas decimais. Veja 
demonstração da área de Z no gráfico acima. 
O escore Z é uma medida que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média.  
A regra empírica 
Na distribuição normal é possível determinar a posição 
da maioria dos valores, usando as distâncias de 1, 2 ou 3 
Desvios  padrões  da  Média  para  estabelecer  alguns 
marcos.  A  regra  que  lhe  permite  fazer  isso  se  chama 
Regra empírica, que diz o seguinte: 
Espera‐se que cerca de 68,26% dos valores encontram‐
se dentro de 1 desvio padrão da média;  
(no exemplo,  240 lâmpadas (70+100+70). 
Espera‐se que 95,44% dos valores encontram‐se dentro 
de 2 desvios padrões da média;  
(no exemplo, 320 lâmpadas: 40+70+100+70+40) 
Espera‐se que 99,74% dos valores encontram‐se dentro 
de 3 desvios padrões da média;  
(no exemplo, 340 lâmpadas: 10+40+70+100+70+40+10) 
Estes  resultados  são  aproximações.  A  regra  empírica 
não pode ser aplicada às distribuições que não possuam 
uma forma de montanha em seu centro. 
 Média 
 Variável aleatória procurada 
Desvio padrão 
Escore Z 
Probabilidade procurada
P(1000 < Z  < 1150) 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
Z= 1,50 
 P= 0,4332 
10
40
70
100
70
40
10
0
20
40
60
80
100
120
Q
u
an
ti
d
ad
e
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Horas
 s=100  
68,26%  
95,44%  
99,74%  
  S=100   S=100 
‐3S       ‐2S     ‐1S         x         1S        2S       3S 
9
2º  PASSO.  Com  o  escore  Z  de  “1,50”,  use  a  Tabela  de  Distribuição  Normal  Padrão  para  encontrar  a
probabilidade, como explicado abaixo
Na 1ª coluna encontramos “1,5”. Em seguida, encontramos na 1ª linha “0”, que é o último algarismo de “1,50”. Na
intersecção da linha e coluna encontramos 0,4332, que indica  a probabilidade P(1000 < z < 1150) = 0,4332 ou 43,32%
Interpretação: espera‐se que 43,32% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1150 horas 
Z  Último dígito
        0         1          2        3        4        5     6               7                8              9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
A área constante na tabela corresponde a área à direita (sinal positivo):  
 
 
motivo da qual desconsideramos o  sinal negativo no  z‐escore nas áreas à esquerda, poisa  curva é  simétrica em  torno da 
Média, ou seja, os valores maiores que a média e os valores menores do que a Média ocorrem com  igual probabilidade.  . A 
tabela não é de distribuição acumulada. Vamos ver alguns exemplos adiante. 
-3S -2S -1S 0 1S 2S 3S 
Área = 0,5 
-z +z 
10
 
Exemplo 2. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1000). 
Quando partimos da média  calculamos  apenas um  escore  Z.  Para  lado  esquerdo o  escore  Z  sempre  terá  sinal 
negativo, que não será considerado, pois os dois lados são iguais em termos de probabilidades.
Interpretação: Espera‐se que 34,13% das lâmpadas tenham vida útil entre 1000 e 1100 horas. 
Exemplo 3. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(900 < z < 1050). 
Neste caso, calculamos dois escores Z e somamos as probabilidades:
                                                                                                        
. 
Interpretação: Espera‐se que 53,28% das lâmpadas tenham vida útil entre 900 e 1050  horas. 
Exemplo 4. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P(1050 < z < 1150). 
Neste caso, calculamos dois escores Z (de 1000 a 1150; e de 1000 a 1050). Depois subtraímos as probabilidades: 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
Z1 = 1150 - 1000 = 1,50 
 100 0,4332 
 ‐‐ 
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50 
 100 0,1915 
  Subtração probabilidades =     0,2417 
Interpretação: Espera‐se que 24,17%  das lâmpadas tenham vida útil entre 1050 e 1150 horas. 
EQUAÇÃO ESCORE Z 
s
xz x - 
Calculando, temos: 
z = 900 - 1000 = -1,00 * 
 100 
Probabilidade: na tabela temos: 0,3413 
*Desconsidere o sinal negativo do escore Z 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
z1 = 900 - 1000 = - 1,00 
 100 0,3413 
  + 
z2 = 1050 - 1000 = 0,50 
 100 0,1915 
  Soma de probabilidades =       0,5328 
 Z= -1,00 
Probabilidade procurada 
P(900 < Z < 1000) 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
P= 0,3413 
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1050) 
P= 0,5328 
 Z2 
 =0,50 
 Z1= -1,00 
P1=0,3413 P2=0,1915 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
Probabilidade procurada
P(1050 < Z < 1150) 
P= 0,2417 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
 Z1=1,5 0 
 Z2= 0,50 
PZ2=0,1915 PZ1=0,4332 
11
Exemplo 5. Continuando com os dados do exemplo 1, ache P( z < 850 horas) 
Ou  seja, ache a probabilidade de a vida útil da  lâmpada  ser menor que 850 horas. Neste  caso, P1 = 0,5  (meia área). Daí, 
calculamos Z2 e subtraímos as probabilidades: 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
P1 = (meia área) 
 0,5 
‐‐ 
Z2 = 850 - 1000 = -1,50 
 100 0,4332 
  Subtração probabilidades   =   0,0668 
Interpretação: Espera‐se que 6,68%  das lâmpadas tenham vida útil abaixo de 850 horas. 
Exemplo 6. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio 
padrão de 100 horas. O fabricante oferece uma garantia de 800 horas, isto é, trocar as lâmpadas que apresentem 
falhas nesse período ou inferior. Fabrica 15.000 lâmpadas mensalmente. Quantas lâmpadas deverá trocar pelo uso da 
garantia, mensalmente? 
Interpretação:  Constatamos que 2,28% (0,0228) das lâmpadas não atenderão a garantia. Então o fabricante deverá substituir 
mensalmente: 15.000 x 0,0228 = 342 lâmpadas.  
Z-ESCORE E VALOR DE “X” NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Na seção anterior você encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado  intervalo ao calcular a área sob a curva 
normal para um dado intervalo. Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor de x? 
Encontrando o Z-ESCORE dada uma PROBABILIDADE 
Exemplo 7. Encontre o z- escore que corresponda à área de 0,2123 (21,23%) da área à direita? 
Observando a Tabela de Distribuição Normal Padrão encontramos z‐escore de 0,56 conforme destacado abaixo. 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADES 
P1 = (meia área) 
 0,5 
‐‐
Z2 = 800 - 1000 = - 2,00 
 00 0,4772 
  Subtração de probabilidades = 0,0228
Probabilidade procurada P( Z < 850)
 Z1= -1,50 
Área = 0,5 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
PZ2=0,0668 
P1=0,4332 
Z  Último dígito 
   0          1          2      3      4        5         6      7          8     9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Probabilidade procurada P( Z < 800)
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
Garantia de 
800 horas 
12
Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a um Z-ESCORE 
Da equação do Z‐ESCORE podemos formar a equação do VALOR DE “X”, conforme demonstrado abaixo: 
Equação para encontrar valor de “x” 
s
xz x -           xxzs                  xzsx  zsxx 
x = variável procurada 
x  = média  
z = escore Z 
s = desvio padrão 
Importante. Para encontrar valores de “x” vamos considerar os sinais dos Z-escore (negativo ou positivo) 
Exemplo 8. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio 
padrão de 100 horas. Encontre o tempo de vida útil “x” que corresponda a: 
a) Z-escore de 1,5
a) Z = 1,5:    zsxx         →  x = 1000 + 1,5 (100)    =   1.150 horas. 
Interpretação: Para z escore de 1,5 o tempo de vida útil das  lâmpadas é de 1.150 horas. Você pode confirmar o 
resultado consultando o exemplo 1. 
b) Z-escore de -2
b) Z = ‐2:    zsxx           →  x = 1000 + (‐2)(100)    =   800 horas. 
Interpretação: Para  z escore de  ‐2 o  tempo de vida útil das  lâmpadas é de 800 horas. Você pode  confirmar o 
resultado consultando o exemplo 6. 
Encontrando VALOR DE “X” que corresponda a uma PROBABILIDADE 
Exemplo 9. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio 
padrão de 100 horas. O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em horas, de tal modo que, se a duração da 
lâmpada for inferior à garantia, a lâmpada seja trocada. De quantas horas deve ser este prazo para que somente 4% 
das lâmpadas sejam trocadas? 
Z  Último dígito 
   0          1          2       3      4       5         6     7          8     9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
0,5 
-Z 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
 0,04 
Passo   1    →  0,5  – 0,04 = 0,46   
Passo  2    →  Procurando  na  tabela  P(x)=0,46  (0,4599  é  mais 
próximo), encontramos Z = ‐1,75. (negativo pois é à esquerda) 
Passo 3. Logo:  
zsxx     →   x = 1000 + (‐1,75)(100)    =   825 horas.
Interpretação: O prazo de horas para que seja trocado 4% das lâmpadas 
deve ser de 825 horas. 
-1,75 
13
Exemplo 10. As pontuações para um teste de Engenheiro em uma empresa são normalmente distribuídas, com uma 
média de 7,5 com e um desvio padrão de 0,5. Para ser adequado ao emprego, você deve ter pontuação dentro dos 
9% primeiros. Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda ser adequado ao emprego? 
, 
 
Exemplo 11 Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com Desvio 
padrão de 100 horas. Dentro de que limite, de ambos os lados da média, ficará 95% das lâmpadas? 
USANDO UMA TABELA DE 
VÍDEO DISTRIBUIÇÃO NORMAL:  https://www.youtube.com/watch?v=ec9HWoY2kt8
Resolução 
Passo 1  →  
0,95/2 =  0,4750  (para cada lado da média).
Passo 2  → Procurar 0,4750 na tabela. Encontramos Z = 1,96 (neste 
caso teremos Z1= ‐1,96 e Z2 = +1,96). 
Passo 3. Logo:  
X1 = 1000 + (‐1,96)(100)   =   804 horas. zsxx 
X2 = 1000 + (+1,96)(100)  =  1.196 horas. 
Interpretação: 95% das  lâmpadas  ficará entre 804 horas e 1196 horas, ou 
seja, P 95% ( 804 < z < 1196) 
   0,95 
   ‐ 0,4750               + 0,4750 
 z=  ‐ 1,96                                  z= + 1,96 x̄  
Z  Último dígito 
   0          1          2       3      4        5         6     7          8     9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Passo 1  →  0,5  ‐ 0,09 = 0,41   
Passo 2 → Procurando na tabela P(x)=0,41 (0,4099 é mais próximo)encontramos Z = 1,34 (positivo pois é à direita). 
Passo 3 
zsxx      →      x = 7,5 + (1,34)(0,5)      = 8,17.
Interpretação: A menor pontuação que você pode conseguir e ainda 
assim ser adequado ao emprego é 8,17. 
 0,5 
+Z 
 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 
 0,09 
+1,34 
Z  Último dígito 
   0          1          2       3    4        5         6     7          8     9
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
14
https://www.youtube.com/watch?v=ec9HWoY2kt8�
Tabela Distribuição normal padrão 
acumulada 
Esta tabela que tem o seguinte princípio: 
  0%        50%                     100%    
  Distribuição acumulada de 0% a 100%    
15
Exemplo de aplicação. Sabe-se que a Média de vida útil das lâmpadas produzidas pela PHILIPS é de 1000 horas com 
Desvio padrão de 100 horas. Encontre P (900 < z < 1050) usando a tabela de distribuição normal padrão acumulada. 
SUBTRAÇÃO DE PROBABILIDADE 
Z1 = 900 - 1000 = -1,00* 
 100 0,1587 
*Considere o sinal negativo
Z2 = 1050 - 1000 = 0,50 
 100 0,6915 
P(x)= Z2 – Z1  →    0,6915 – 0,1587= 0,5328 
Veja o Z‐escore destacado na tabela acumulada acima. Confronte o resultado com o exemplo 3.  
Probabilidade procurada
P(900 < Z < 1050)  P= 0,5328 
Z2 = 0,50 → 0,6915 
 Z1= -1,00 → 0,1587 
 700 800 900 1000 1100 1200 1300 
-3z -2z -1z 0 +1z +2z +3z 
16
Capa 
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	 Nota: 5 é um valor arbitrário.
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	CAPA
	SUMÁRIO
	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
	Exercícios propostos
	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	2.2 Decil e Percentil
	2.2.1 Decil e Percentil simples
	2.2.2 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS E DIAGRAMA DE PONTOS
	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
	Capa pdf livro digital.pdf
	CAPA
	APRESENTAÇÃO
	SUMÁRIO
	CAPÍTULO I - ESTATÍSTICAS, TABELAS E GRÁFICOS
	1.1 O que é Estatística? Para que serve?
	1.2 Como estudar Estatística com eficiência?
	1.3 Tabelas e Gráficos: O que são? Para que servem?
	1.4 Tabelas
	1.5 Gráficos
	1.5.1 Gráfico em Colunas
	1.5.2 Gráfico em Barras
	1.5.3 Gráfico em Linhas
	1.5.4 Gráfico em Setores
	1.5.5 Gráfico Polar
	1.5.6 Gráfico Cartograma
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	CAPÍTULO II - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
	2.1 O que é Distribuição de frequência? Para que serve?
	2.2 Distribuição de frequência (sem classes) e tipos de frequências
	2.2.1 Frequência e histograma
	2.2.2 Frequência relativa (fr%)
	2.2.3 Frequência acumulada (fa)
	2.2.4 Frequência relativa acumulada (fra%)
	2.2.5 Aplicações da distribuição de frequência
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	2.3 Distribuição de frequência (com classes)
	2.3.1 Conceito e construção
	2.3.2 Histograma com classes
	2.3.3 Polígono de frequência
	2.3.4 Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	CAPÍTULO III - MEDIDAS RESUMO: MÉDIA, MEDIANA E MODA
	3.1 O que são Medidas Resumo? Para que servem?
	3.2 Médias
	3.2.1 Média simples
	3.2.2 Média ponderada
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3.2.3 Média de distribuição de frequência (sem classes)
	3.2.4 Média de histogramas (sem classes)
	3.2.5 Média de distribuição de frequência (com classes)
	3.2.6 Média de histogramas (com classes)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3.3 Mediana
	3.3.1 Mediana simples
	3.3.2 Mediana de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.3.3 Mediana de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.3.4 Qual a lógica da equação da mediana com classes?
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3.4 Moda
	3.4.1 Moda simples
	3.4.2 Moda de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.4.3 Moda de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.4.4 Qual a lógica da equação da moda com classes?
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3.5 Relação entre média, mediana e moda
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
	pag 61.pdf
	Resolução dos exercícios propostos
	Estatística 2 (para leigos) - aprenda fácil e rápido! Uanderson Rébula - Cópia.pdf
	CAPA
	SUMÁRIO
	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
	Exercícios propostos
	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	2.2 Decil e Percentil
	2.2.1 Decil e Percentil simples
	2.2.2 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS E DIAGRAMA DE PONTOS
	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
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	SUMÁRIO
	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
	Exercícios propostos
	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	2.2 Decil e Percentil
	2.2.1 Decil e Percentil simples
	2.2.2 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	Exercícios propostos
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	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
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	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
	Exercícios propostos
	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	2.2.1 Decil e Percentil simples
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	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
	Exercícios propostos
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	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
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	Capa
	1 O que é um Gráfico de Pareto? Para que serve?
	2 Qual é o princípio do Gráfico de Pareto?
	3 Como construir um Gráfico de Pareto?
	4 Estratificação de um Gráfico de Pareto
	5 Elaborando um Gráfico de Pareto no Excel 2010
	6 Elaborando um Gráfico de Pareto no Excel 2013
	7 Elaborando um Gráfico de Pareto no software Minitab
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	Sites recomendados
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas
	Folder Estatística (para leigos) - Udemy.pdf
	CAPA
	APRESENTAÇÃO
	SUMÁRIO
	CAPÍTULO I - ESTATÍSTICAS, TABELAS E GRÁFICOS
	1.1 O que é Estatística? Para que serve?
	1.2 Como estudar Estatística com eficiência?
	1.3 Tabelas e Gráficos: O que são? Para que servem?
	1.4 Tabelas
	1.5 Gráficos
	1.5.1 Gráfico em Colunas
	1.5.2 Gráfico em Barras
	1.5.3 Gráfico em Linhas
	1.5.4 Gráfico em Setores
	1.5.5 Gráfico Polar
	1.5.6 Gráfico Cartograma
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	CAPÍTULO II - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
	2.1 O que é Distribuição de frequência? Para que serve?
	2.2 Distribuição de frequência (sem classes) e tipos de frequências
	2.2.1 Frequência e histograma
	2.2.2 Frequência relativa (fr%)
	2.2.3 Frequência acumulada (fa)
	2.2.4 Frequência relativa acumulada (fra%)
	2.2.5 Aplicações da distribuição de frequência
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	2.3 Distribuição de frequência (com classes)
	2.3.1 Conceito e construção
	2.3.2 Histograma com classes
	2.3.3 Polígono de frequência
	2.3.4 Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	CAPÍTULO III - MEDIDAS RESUMO: MÉDIA, MEDIANA E MODA
	3.1 O que são Medidas Resumo? Para que servem?
	3.2 Médias
	3.2.1 Média simples
	3.2.2 Média ponderada
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	3.2.3 Média de distribuição de frequência (sem classes)
	3.2.4 Média de histogramas (sem classes)
	3.2.5 Média de distribuição de frequência (com classes)
	3.2.6 Média de histogramas (com classes)
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	3.3 Mediana
	3.3.1 Mediana simples
	3.3.2 Mediana de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.3.3 Mediana de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.3.4 Qual a lógica da equação da mediana com classes?
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	3.4 Moda
	3.4.1 Moda simples
	3.4.2 Moda de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.4.3 Moda de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.4.4 Qual a lógica da equação da moda com classes?
	Exercícios propostos
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	3.5 Relação entre média, mediana e moda
	Mensagem do autor
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	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
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	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	2.2 Decil e Percentil
	2.2.1 Decil e Percentil simples
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	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS E DIAGRAMA DE PONTOS
	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
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	1 MEDIDAS SEPARATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS
	1.1 O que são medidas separatrizes? Para que servem?
	1.2 Conceitos de mediana, quartil, decil e percentil
	1.3 Diagrama de caixas (ou gráfico Boxplot)
	1.4 Exemplo de aplicação das medidas separatrizes
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	2 MEDIDAS SEPARATRIZES: APRENDENDO A CALCULAR
	2.1 Quartil
	2.1.1 Quartil simples
	2.1.2 Quartil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.1.3 Quartil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	2.2 Decil e Percentil
	2.2.1 Decil e Percentil simples
	2.2.2 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	2.2.3 Decil e Percentil de distribuição de frequência e histograma (com classes)
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	3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS E DIAGRAMA DE PONTOS
	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
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	2.2.1 Decil e Percentil simples
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	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
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	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
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	1.1 O que é Estatística? Para que serve?
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	1.5.6 Gráfico Cartograma
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	2.1 O que é Distribuição de frequência? Para que serve?
	2.2 Distribuição de frequência (sem classes) e tipos de frequências
	2.2.1 Frequência e histograma
	2.2.2 Frequência relativa (fr%)
	2.2.3 Frequência acumulada (fa)
	2.2.4 Frequência relativa acumulada (fra%)
	2.2.5 Aplicações da distribuição de frequência
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	2.3 Distribuição de frequência (com classes)
	2.3.1 Conceito e construção
	2.3.2 Histograma com classes
	2.3.3 Polígono de frequência
	2.3.4 Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)
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	3.1 O que são Medidas Resumo? Para que servem?
	3.2 Médias
	3.2.1 Média simples
	3.2.2 Média ponderada
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	3.2.4 Média de histogramas (sem classes)
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	3.3.2 Mediana de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.3.3 Mediana de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.3.4 Qual a lógica da equação da mediana com classes?
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	3.4 Moda
	3.4.1 Moda simples
	3.4.2 Moda de distribuição de frequência e histograma (sem classes)
	3.4.3 Moda de distribuição de frequência e histograma (com classes)
	3.4.4 Qual a lógica da equação da moda com classes?
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	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
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	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
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	3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS E DIAGRAMA DE PONTOS
	3.1 Diagrama de Ramo e Folhas
	3.1.1 O que são diagramas de ramo e folhas? Para que servem?
	3.1.2 Construindo um diagrama de ramo e folhas
	3.1.3 Relação entre diagrama de ramo e folhas e o histograma
	3.1.4 Diagrama de ramo e folhas: um caso de aplicação real
	3.2 Diagrama de Pontos
	3.2.1 O que são diagramas de pontos? Para que servem?
	3.2.2 Construindo um diagramas de pontos
	Exercícios propostos
	Resolução dos exercícios propostos
	Mensagem do autor
	Referências Bibliográficas