Resolução Braja M Das 7ª Ed Capítulo 10 Tensões em uma massa de solo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA DOS SOLOS
Lista de exercícios
Braja M. Das – 7ª Edição
Capítulo X
Tesões em uma massa de solo
Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez
Nelson Poerschke
UFRR- Boa Vista – RR
2016
Tensões em uma massa de solo
Formulário
1) Tensão normal 
2) Tensão de cisalhamento 
3) Tensão principal maior 
4) Tensão principal menor 
5) Aumento da tensão vertical causada por carga pontual 
Onde:
coeficiente de Poisson.
	Onde:
	Tabela de variação de em função de .
6) Aumento da tensão vertical causada por uma linha de carga vertical 
ou
ou
	Tabela de variação de em função de .
7) Aumento da tensão vertical causada por uma linha de carga horizontal 
	Tabela de variação de em função de .
8) Aumento da tensão vertical causada por uma faixa de carga vertical 
9) Aumento da tensão vertical devida ao carregamento de um aterro 
ou
Onde:
 é uma função de no gráfico de Osterberg.
10) Aumento da tensão vertical abaixo do centro de uma área circular uniformemente carregada 
	A equação em função de é obtida na tabela:
11) Aumento da tensão vertical em qualquer ponto abaixo de uma área circular uniformemente carregada 
Onde e são funções de e nas Tabelas 10.6 e 10.7, respectivamente 
12) Aumento da tensão vertical abaixo do centro de uma área retangular uniformemente carregada . 
Onde: 
	 lado menor do retângulo;
	 lado maior do retângulo; e
	 profundidade do ponto.
13) Aumento da tensão vertical abaixo do canto de uma área retangular uniformemente carregada . 
Onde: 
	 lado menor do retângulo;
	 lado maior do retângulo; e
	 profundidade do ponto.
14) Aumento da tensão vertical utilizando o gráfico de influência de Newmark. . 
	Valor da influência = 
	 escala igual ao valor de .
Onde:
	 valor de influência;
	 pressão na área carregada; e
	 nº de elementos dentro do perímetro da planta da área carregada.
Exemplos
Exemplo 10.1
	Um elemento de solo é mostrado na figura. As magnitudes das tensões são: 
	
	
	
	
	Determine:
As magnitudes das tensões principais.
As tensões normais e de cisalhamento no plano AB. Utilize as equações:
Solução:
Tensões principais:
As tensões normais e de cisalhamento no plano AB.
	Tensão normal:
	Tensão de cisalhamento:
Exemplo 10.2
Para o elemento de solo sob tensão mostrado na figura, determine:
A tensão principal maior;
A tensão principal menor; e
As tensões normal e de cisalhamento no plano AE.
	Use o método do polo.
Solução:
	Tensões no plano AD (inspeção na figura)
	Tensões no plano AB (inspeção na figura)
	Traçado do círculo de Mohr:
Tensão principal maior 
Tensão principal menor 
Tensões normal e de cisalhamento no plano AE.
Exemplo 10.3
	Considere uma carga pontual , conforme mostra a figura. Calcule o aumento da tensão vertical para ; ; ; ; e . 
	Dados:
; e
.
Solução:
	Usar a tabela de variação de e função de .
	Para ; :
	Para 
	Consultando a tabela e interpolando:
	Seguindo os cálculos para as outras profundidades, podemos montar a seguinte tabela:
	
	
	
	
	
	5
	0
2
4
6
10
20
	
2,5
1,25
0,83
0,5
0,25
	0
0,0035
0,0424
0,1295
0,2733
0,4103
	0
0,0044
0,0133
0,0180
0,0137
0,0051
Exemplo 10.4
	A figura mostra duas linhas de carga na superfície do solo. Determine o aumento de tensão no ponto A.
Solução:
Exemplo 10.5
	Uma linha de carga inclinada com magnitude de 14,6 kN/m é mostrada na figura. Determine o aumento da tensão vertical no ponto A, decorrente da linha de carga.
Solução:
	De posse de x/z, consulta-se as tabelas de variação , para carga vertical e para carga horizontal.
	Tabela para carga vertical (interpolando os valores entre 1,2 e 1,3.
	Tabela para carga horizontal (interpolando os valores entre 1,0 e 1,5.
	Aumento de tensão vertical
Solução alternativa:
	Em caso de as tabelas não estarem disponíveis:
	Aumento de tensão vertical
Exemplo 10.6
	Com referência à figura, são dados:
	Determine o aumento da tensão vertical em ; ; e . Trace o gráfico em relação a .
Solução:
	Usar a tabela de variação em função de e .
	Pode-se elaborar a seguinte tabela.
	
	
	
	 (da tabela)
	
	
	
0
	1
1
1
1
	0,017
0,084
0,480
0,818
	3,40
16,80
96,00
163,60
	Obs.: Na coluna 1, quando é maior que 2, temos que extrapolar.
	Gráfico de em relação a :
Exemplo 10.7
	O aterro é mostrado na figura. Determine o aumento da tensão sob o aterro no ponto A.
Solução:
	No ponto A:
	Ver figura (b) ( e )
	Com e entramos no gráfico de Osterberg e extraímos .
	Ver figura (c) ( e )
	Novamente, com e entramos no gráfico de Osterberg e extraímos .
	De posse de e , usamos a equação , assim:
Exemplo 10.8
	Considere uma área circular flexível uniformemente carregada as superfície do solo, como mostra a figura.
	Dados:
	Calcule o aumento da tensão vertical nas profundidades de ; ; ; ; e abaixo da superfície do solo para os pontos e .
Solução:
	Usaremos a equação onde são dados extraídos das Tabela 10.6 e 10.7, respectivamente (interpolar se necessário).
	Para , nas profundidades solicitadas: 
	Pode-se elaborar a seguinte tabela:
	Profundidade
	
	
(Tabela 10.6)
	
(Tabela 10.7)
	
	1,5
3,0
4,5
6,0
12,0
	0,5
1,0
1,5
2,0
4,0
	0,553
0,293
0,168
0,106
0,030
	0,358
0,354
0,256
0,179
0,057
	
64,7
42,4
28,5
8,7
	Para , nas profundidades solicitadas: 
	Pode-se elaborar a seguinte tabela:
	Profundidade
	
	
(Tabela 10.6)
	
(Tabela 10.7)
	
	1,5
3,0
4,5
6,0
12,0
	0,5
1,0
1,5
2,0
4,0
	0,095
0,098
0,080
0,063
0,025
	- 0,035 
0,028
0,057
0,064
0,040
	
13,70
12,70
6,50
Exemplo 10.9
	O plano de uma área retangular uniformemente carregada é mostrado na figura. Determine o aumento da tensão vertical abaixo do ponto , a uma profundidade .
Solução:
	Expande-se a área retangular até que o ponto fique sob um dos cantos
	Calcula-se a tensão para todo o retângulo:
	Com os valores de e , extrai-se do ábaco ou da tabela 10.8 o valor de .
	Calcula-se a tensão para a área expandida:
	Com os valores de e , extrai-se do ábaco ou da tabela 10.8 o valor de .
Exemplo 10.10
	A seção transversal e a planta de uma sapata de um pilar são mostrados na figura. Encontre o aumento de tensão vertical produzido pela sapata do pilar no ponto .
Solução:
	Transformar a carga pontual de 660 kN em carga distribuída pela área da sapata.
	O ponto A está localizado a uma profundidade de 3m abaixo da base da sapata. A planta da sapata quadrada foi desenhada novamente com uma escala e inserida no gráfico de influência, como mostra a figura a seguir, de tal forma que o ponto A na planta fique posicionado exatamente sobre o centro do gráfico. O número de elementos dentro do perímetro é cerca de 48,5.
	Portanto
Problemas
10.1
 Um elemento de solo é mostrado na figura. Determine:
As tensões principais máxima e mínima.
As tensões normal e de cisalhamento no plano AB.
Solução:
Tensões principais
	Máxima
	Mínima
Tensões normal e de cisalhamento no plano AB.
	Tensão normal
	Tensão de cisalhamento
10.2
 Umelemento de solo é mostrado na figura. Determine:
As tensões principais máxima e mínima.
As tensões normal e de cisalhamento no plano AB.
Solução:
Tensões principais
	Máxima
	Mínima
Tensões normal e de cisalhamento no plano AB.
	Tensão normal
	Tensão de cisalhamento
10.7
 As cargas pontuais de magnitude , ; e atuam em A, B e C, respectivamente. Determine o aumento da tensão vertical a uma profundidade de 3 m abaixo do ponto D. Use a equação de Boussinesq.
Solução:
	Posicionaremos o eixo na direção BA e o eixo na direção CB.
	Aumento de tensão em D, causado pela carga aplicada em A:
	Dados:
; ; 
	Com o valor de entramos na tabela 10.1 e encontramos o valor de .
	1,12 se encontra entre 1,00 e 1,20 encontrados na tabela. Interpolar.
	Aumento de tensão em D, causado pela carga aplicada em B:
	Dados:
; ; 
	Com o valor de entramos na tabela 10.1 e encontramos o valor de .
	1,12 se encontra entre 1,00 e 1,20 encontrados na tabela. Interpolar.
	Aumento de tensão em D, causado pela carga aplicada em C:
	Dados:
; ; 
	Com o valor de entramos na tabela 10.1 e encontramos o valor de .
	0,50 se encontra diretamente na tabela. 
10.8
 Consulte a figura.
Determine o aumento de tensão vertical no ponto A, com os seguintes valores:
Solução:
10.9
 Consulte a figura.
Determine o aumento de tensão vertical no ponto A, com os seguintes valores:
	Dados:
Solução:
10.10
 Consulte a figura.
Se o aumento da tensão vertical no ponto A, devido ao carregamento é de , determine a magnitude de .
	Dados:
Solução:
10.11
 Consulte a figura.
Devido à aplicação de linha de carga e , o aumento da tensão vertical em A é de . Determine a magnitude de .
Solução:
	Acréscimo de tensão devido à carga (
	
	Acréscimo de tensão devido à carga (
	Componente vertical: 
	Componente horizontal: 
10.12
 Consulte a figura.
Determine o aumento da tensão vertical no ponto A.
	Dados:
;
.
Solução:
	Com os valores de e , entramos na Tabela 10.4 e interpolamos.
10.13
 Consulte a figura.
Determine o aumento da tensão vertical no ponto A.
	Dados:
;
.
Solução:
	Com os valores de e , entramos na Tabela 10.4.
10.14
 Um aterro é mostrado na figura.
Determine o aumento da tensão no ponto A devido à carga do aterro. 
Solução:
	O aumento de tensão no ponto A é 
	Cálculo de e à esquerda de A.
	De posse dos valores de e inserimo-los no gráfico de Osterberg, obtendo o valor de .
	Obtém-se 
	Cálculo de e à direita de A.
	De posse dos valores de e inserimo-los no gráfico de Osterberg, obtendo o valor de .
	Obtém-se 
10.15
 A figura mostra a carga de um aterro para uma camada de solo argilo-siltoso. Determine o aumento de tensão vertical nos pontos A, B e C.
Solução:
	Aumento de tensão vertical no ponto A:
	Pelo lado esquerdo
	Pelo lado direito
	
	
	
	
	
	
	Aumento de tensão vertical no ponto B:
	Pelo lado esquerdo
	Pelo lado direito
	
	
	
	
	
	
	Aumento de tensão vertical no ponto C:
	Pelo lado esquerdo (-)
	Pelo lado direito
	
	
	
	
	
	
10.16
 Considere uma área circular flexível uniformemente carregada na superfície do solo. Dado que o raio da área circular é e que a carga uniformemente distribuída é , calcule o aumento da tensão vertical nos pontos 1,5; 3,0; 6,0; 9,0 e 12,0 m abaixo da superfície do solo (imediatamente abaixo do centro da área circular). 
Solução:
	Exatamente abaixo do centro da área circular, .
	Para a profundidade de 
	Consultando as Tabelas 10.6 e 10.7 e interpolando, encontramos:
	Para a profundidade de 
	Consultando as Tabelas 10.6 e 10.7 e interpolando, encontramos:
	Para a profundidade de 
	Consultando as Tabelas 10.6 e 10.7, encontramos:
	Para a profundidade de 
	Consultando as Tabelas 10.6 e 10.7 e interpolando, encontramos:
	Para a profundidade de 
	Consultando as Tabelas 10.6 e 10.7, encontramos:
	Estes cálculos podem, ainda, ser simplificados com a confecção de uma tabela:
	z
(m)
	
	
	
(Tabela 10.6)
	
(Tabela 10.7)
	
	1,50
3,00
6,00
9,00
12,0
	0,375
0,75
1,5
2,25
3
	0
0
0
0
0
	
	
	
10.17
A figura mostra uma área circular flexível de raio . A carga uniformemente distribuída na área circular é de . Calcule o aumento da tensão vertical em , , , e e .
Solução:
	
	r
(m)
	
	
	
(Tabela 10.6)
	
(Tabela 10.7)
	
	0
0,6
1,2
2,4
3,6
	0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
	0
0,2
0,4
0,8
1,2
	0,55279
0,54403
0,51622
0,38390
0,18556
	0,35777
0,35752
0,35323
0,26236
0,02165
	87,41
86,55
83,47
62,04
19,89
10.18
Consulte a figura.
Uma área circular flexível está uniformemente carregada.
	Dados:
;
	Usando o gráfico de Newmark, determine o aumento da tensão vertical no ponto A.
Solução:
10.19
O plano de uma área retangular flexível uniformemente carregada é mostrado na figura. A carga uniformemente distribuída na área retangular é . Determine o aumento na tensão vertical a uma profundidade de 
Ponto A;
Ponto B; e
Ponto C.
Solução:
Ponto A:
	Onde:
	 lado menor e lado maior.
	De posse dos valores de e , encontramos na Tabela 10.8
Ponto B:
	Retângulo 1
	Retângulo 2
	Retângulo 3
	Retângulo
Ponto C:
	Retângulo + acréscimo
	Acréscimo
10.20
Consulte a área flexível retangular mostrada na figura. Usando a equação indicada, determine o aumento da tensão vertical abaixo do centro da área a 3,5 m de profundidade.
	Dados:
; e
.
Solução:
	;
	
	
	De posse de extrai-se da Tabela10.9 o valor de .
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das – Cap. X
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR16
Mestre: Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez
Acadêmico: Nelson Poerschke