Considere a transformação T : R 3 → R 3 definida por T ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) . De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa: I. ( ) T é uma transformação linear. II. ( ) O núcleo de T é N ( T ) = { ( 0 , 0 , z ) ; z ∈ R } . III. ( ) O conjunto imagem de T satisfaz d i m ( I m ( T ) ) = 2. Agora, marque a sequência correta:

Question

Considere a transformação   T : R 3 → R 3   definida por   T ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) .     De acordo com a transformação dada e com os conteú...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre a transformação $ T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ definida por $ T(x, y, z) = (x, y, 0) $:

I. $ T $ é uma transformação linear. 
- **Verdadeiro (V)**. Para que uma transformação seja linear, ela deve satisfazer duas propriedades: aditividade e homogeneidade. A transformação $ T $ satisfaz ambas, pois:
  - $ T(u + v) = T(u) + T(v) $ para $ u, v \in \mathbb{R}^3 $.
  - $ T(cu) = cT(u) $ para $ c \in \mathbb{R} $.

II. O núcleo de $ T $ é $ N(T) = \{(0, 0, z); z \in \mathbb{R}\} $.
- **Verdadeiro (V)**. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor nulo. Para $ T(x, y, z) = (0, 0, 0) $, temos que $ (x, y, 0) = (0, 0, 0) $, o que implica que $ x = 0 $ e $ y = 0 $, mas $ z $ pode ser qualquer valor. Portanto, o núcleo é $ N(T) = \{(0, 0, z); z \in \mathbb{R}\} $.

III. O conjunto imagem de $ T $ satisfaz $ \text{dim}(I_m(T)) = 2 $.
- **Verdadeiro (V)**. A imagem de $ T $ é o plano $ z = 0 $ em $ \mathbb{R}^3 $, que é um subespaço de dimensão 2. Portanto, a dimensão da imagem é 2.

Agora, a sequência correta é: V - V - V.

Portanto, a resposta correta é: **d) V - V - V**.

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmação sobre a transformação T:

I. ( ) T é uma transformação linear.
Para ser uma transformação linear, T deve satisfazer duas propriedades: preservação da adição e preservação da multiplicação por escalar. No caso de T(x, y, z) = (x, y, 0), podemos verificar que T não preserva a adição, pois T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) ≠ T(x1, y1, 0) + T(x2, y2, 0). Portanto, a afirmação é Falsa.

II. ( ) O núcleo de T é N(T) = {(0, 0, z); z ∈ R}.
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são enviados para o vetor nulo. No caso de T(x, y, z) = (x, y, 0), o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (0, 0, z), onde z pode ser qualquer número real. Portanto, a afirmação é Verdadeira.

III. ( ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T)) = 2.
O conjunto imagem de uma transformação linear é o espaço vetorial gerado pelas imagens dos vetores da base. No caso de T(x, y, z) = (x, y, 0), o conjunto imagem de T é o plano xy no R³, que possui dimensão 2. Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Assim, a sequência correta é: F - V - V.

Ed · Answer

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