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1 MATERIAL DIDÁTICO MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA À GESTÃO EMPRESARIAL I CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 0800 283 8380 www.ucamprominas.com.br Impressão e Editoração 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 4 UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C ........................................................................... 8 1.1. Objetivos da Unidade ................................................................................ 8 1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeira Aplicada a Gestão ...... 8 1.3. Elementos Básicos .................................................................................. 10 1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações ................................... 13 1.5. 5. Regimes de Capitalização ................................................................... 18 1.6. O Regime Linear de Juros ...................................................................... 19 1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O que são? ........................ 26 1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos) .............................. 30 1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial .................................... 31 1.10. Como Caracterizar Taxas Equivalentes no Regime Exponencial? ...... 39 1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-las no Mercado Financeiro? ....................................................................................................... 42 1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos ....................................... 46 UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP 2C ......................... 48 2.1. Objetivos da Unidade .............................................................................. 48 2.2. Informações Iniciais da HP 12C .............................................................. 48 2.3. Como Operar com Datas na HP 12C? .................................................... 54 2.4. Principais Funções Matemáticas ............................................................. 57 2.5. Resolvendo Problemas sobre os Regimes de Capitalização .................. 60 2.5.1. Problemas Simulados – Juros Simples ....................................................... 61 2.5.2. Problemas Simulados – Juros Compostos ................................................. 62 2.5.3. Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes e Taxas Efetivas 67 2.6. Códigos de Erros .................................................................................... 74 3 CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ........................................................................... 76 REFERÊNCIAS .................................................................................................... 78 4 INTRODUÇÃO Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes que compõem a sua matriz curricular do seu curso, que é a disciplina de Matemática Financeira Aplicada à Gestão Empresarial I, ou seja, uma disciplina em que estaremos estudando e aplicando as principais funções no âmbito da Gestão de Negócios ou no Mercado Financeiro. Desta forma, você saberia escolher qual a melhor forma de comprar? Saberia descrever quanto está pagando de juros? Saberia caracterizar o rendimento da sua caderneta de poupança? Saberia explicitar o verdadeiro custo efetivo de uma operação financeira? Para respondermos questões como estas e muitas outras que aparecem comumente na nossa vida, seja ela pessoal ou empresarial, é que utilizamos dos conceitos, métodos e técnicas da Matemática Financeira. No mundo moderno, sabemos que a Matemática Financeira ocupa uma posição de destaque, pois é a partir dela que podemos olhar de forma mais estruturada para o que acontece no mercado financeiro. De outra forma, podemos visualizar que a Matemática Financeira tem extrema importância na vida financeira de uma organização, já que a sua aplicação quando bem desenvolvida, possibilita melhor desempenho, desde a parte relacionada à rentabilidade como a de redução de custos ou dispêndios. Num primeiro momento, podemos dizer que a Matemática Financeira trata em essência do estudo do dinheiro ao longo do tempo, ou ainda, como a área da Matemática Aplicada que tem como objeto o de estudar o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, com a busca quantitativa sobre as transações que ocorrem no universo financeiro, levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo, o que é amplamente conhecido no mercado financeiro como “Time Value Money”. Cabe ressaltar ainda que as operações de financiamento, empréstimos e análise da viabilidade econômica de projetos empresariais podem ser melhores discutidos e implementados com as ferramentas da mesma, fazendo com que a empresa diminua o risco associado ao negócio e consiga estruturar de uma melhor forma os seus investimentos. Em verdade, ao longo do tempo, seja a nível pessoal ou empresarial, na área econômico-financeira, todos nós enfrentamos situações que envolvem 5 tomadas de decisões em alternativas que se aplicam os estudos da área financeira. Não é uma tarefa simples tomar decisão quando falamos em gestão financeira de um modo geral. Nesta direção, especificamente falando, para que possamos analisar investimentos, devemos levar em consideração uma série de fatores, como o tipo de série de anuidade aplicada, o custo do capital utilizado, o prazo da operação, o retorno do investimento e a taxa implícita de juros para confirmarmos ou não a viabilidade do projeto em questão. Antes de iniciarmos, propriamente dito, todos os aspectos teóricos relacionados à disciplina em si, listamos aqui alguns Cases Empresariais que são interpretados e resolvidos a partir das ferramentas práticas da Matemática Financeira (conceitos introdutórios e regimes de capitalização) e no Foco da HP 12C. Case Empresarial 01: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o montante que será devolvido ao final do ano? Case Empresarial 02: A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal. Qual a rentabilidade efetiva desta caderneta de poupança? Case Empresarial 03: Um médico emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. A que taxa única esse médico poderia empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual? Case Empresarial 04: Um componente médico é oferecido a um hospital por R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. Case Empresarial 05: Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é? a) ( ) 30% superior ao capital inicial. b) ( ) 130% do valor do capital inicial. 6 c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente. d) ( ) 133% do capital inicial, aproximadamente. e) ( ) O dobro da quantia inicial. Case Empresarial 06: Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das alternativas de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital AFA: a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero). b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em 120 dias. Case Empresarial 07: Alessandro aplicou suas economias em um banco, a juros simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos e à taxade 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime simples). Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de? Case Empresarial 08: Um equipamento eletrônico está anunciado por R$ 950,00 para pagamento a prazo ou cartão de crédito. Para o pagamento à vista é dado um desconto de 18%. Qual o valor do desconto? Por quanto sai o equipamento eletrônico se você pagar à vista? Qual o percentual de acréscimo que você pagará se optar pelo cartão de crédito? Implementar a solução na HP 12C. Case Empresarial 09: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o montante que será devolvido ao final do ano? A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está estruturado em duas Unidades, descritas a seguir: Unidade 1: Conceitos Fundamentais e Regimes de Capitalização – apresentaremos os conceitos fundamentais da Matemática Financeira e da 7 Gestão Financeira Empresarial, bem como, diferenciaremos os dois regimes de capitalização e apresentaremos as principais taxas associadas que aparecem no âmbito financeiro brasileiro, como as taxas proporcionais, efetiva e nominal. Unidade 2: A Gestão Financeira no Foco da HP 12C – apresentaremos a resolução de situações comuns do dia a dia empresarial e pessoal, via a HP 12C, que é considerada a principal ferramenta para a implementação de soluções no mundo dos negócios. Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Desta forma, é muito importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos, revistas e, principalmente, nas nossas referências. Além disso, tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como forma de propiciar um bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina. Sempre refaça os diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio. “O único lugar onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário.” (Albert Einstein) “Os números governam o mundo”. (Platão) "Tempo é dinheiro." (Benjamin Franklin) 8 UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C 1.1. Objetivos da Unidade Nesta unidade é de nosso interesse apresentar os conceitos introdutórios da Matemática Financeira aplicada à gestão empresarial como um todo, bem como, apresentar as propriedades fundamentais dos regimes de capitalização simples e composto, além de discutirmos as principais taxas que comparecem nos mesmos, que são as taxas proporcionais, taxas equivalentes, taxa nominal e taxa efetiva. Neste sentido, ao final desta unidade, o aluno será capaz de: apresentar e discutir os conceitos introdutórios da Matemática Financeira Aplicada à Gestão de Negócios; apresentar e aplicar os conceitos fundamentais da Matemática Financeira; apresentar e diferenciar os dois tipos de regimes de capitalização aplicados no mercado brasileiro; caracterizar taxas proporcionais, taxas nominais e taxas equivalentes; interpretar e aplicar a noção de taxa efetiva de juros; interpretar e aplicar a noção de equivalência financeira; apresentar uma série de exemplos resolvidos que ilustram a aplicação prática dos conceitos apresentados anteriormente. 1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeira Aplicada a Gestão É sabido que a Matemática Financeira é uma ferramenta fundamental para analisar, por diversos pontos de vista, o cotidiano financeiro e, principalmente, “pegar uma carona” na máquina do tempo da matemática, com o objetivo de planejar a vida financeira futura tanto de uma empresa como de um indivíduo, ou seja, com o objetivo central de maximizar resultados em caráter empresarial ou pessoal. Em outras palavras, podemos dizer que a Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma geral, analisando seus diferentes fluxos de caixa ao longo do tempo. Entendemos 9 por fluxo de caixa as entradas e saídas de dinheiro efetivadas no decorrer do tempo numa dada operação. Desta forma, para analisarmos e tomarmos a decisão acerca de uma situação financeira, num primeiro momento, temos que nos familiarizar com os conceitos fundamentais da Matemática Aplicada à Gestão de Negócios. Ressaltamos ainda, que segundo Samanez (2006), postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida como sendo os juros, que é um termo que nos preocupa muito nos dias atuais. Sendo assim, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e novos investimentos na economia. Um dos elementos básicos que apresentaremos na sequência, é o conceito de taxas de juros, porém tais taxas devem ser eficientes de maneira a remunerar: 1. O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado em linhas gerais pela incerteza com relação ao futuro. Este risco denominamos de risco do negócio. 2. A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. Note que a inflação, termo também que ouvimos comumente no cotidiano, é um fenômeno que desgasta o capital, determinando o volume cada vez menor de compra com o mesmo montante. 3. O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Importante! A Matemática Financeira propõe-se avaliar fluxos de caixa, de modo a permitir a tomada de decisão racional a partir dessa avaliação. Dinheiro tem custo associado ao tempo. Em outras palavras, o tempo é uma variável chave para a Matemática Financeira. As três razões que influenciam pela posse atual do dinheiro são: risco, utilidade e oportunidade. Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC), que é uma representação gráfica fácil e simples das movimentações financeiras no contexto geral de finanças, ou seja, é muito 10 importante o entendimento desta ferramenta para que possamos analisar com maior estrutura e clareza as operações financeiras no âmbito do mercado. Figura 01: Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de situações financeiras do nosso dia-a-dia. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 1.3. Elementos Básicos Você com certeza já deve ter escutado sobre os termos que descrevem os elementos fundamentais para a construção da teoria envolvendo a Matemática Financeira Aplicada ao Meio Empresarial ou à Gestão? De outro modo, com certeza, emprega os mesmos no seu cotidiano? Você se lembra deles? Saberia, por exemplo, descrever e definir o valor futuro de uma determinada situação? Os juros inseridos em um financiamento? Sendo assim, antes de definirmos propriamente os dois tipos de regimes de capitalização, ou caracterizar as séries de pagamentos ou anuidades, caracterizar taxas de mercado e entender os sistemas de amortização, é necessário introduzirmos os elementos básicos da Matemática Financeira, ou seja, seriam as células fundamentais para a construção de toda a teoria da gestão financeira de empresas ou de pessoas. Logo, a descrição específica de cada um aparece a seguir. 11 Valor Presente ou Capital Inicial ou Principal (PV, P ou C): termo proveniente do inglês “Present Value”, sendo caracterizado como a quantidade inicial de moeda que uma pessoa tem em disponibilidade e concorda em ceder a outra pessoa, por um determinado período, mediante o pagamento dedeterminada remuneração. Taxa de Juros (i): termo proveniente do inglês “Interest Rate” (taxa de juros) e relacionado a sua maneira de incidência. Salientamos que a taxa pode ser mensal, anual, semestral, bimestral, diária, entre outras. Além disso, comumente, a taxa de juros pode ser descrita na forma percentual (1,45% ao mês ou 1,45% a.m.) ou na forma unitária (0,25 ao mês ou 0,25 a.m.). Juros (J): é o que pagamos pelo aluguel de determinada quantia por um dado período, ou seja, é a nomenclatura dada à remuneração paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe. Montante ou Valor Futuro (FV ou M): termo proveniente do inglês “Future Value”, sendo caracterizado em termos matemáticos como a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o período. Em outras palavras, é a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Em símbolos, escrevemos FV = PV + J. Tempo ou período de capitalização (n): nada mais é do que a duração da operação financeira, ou seja, o horizonte da operação financeira em questão. O prazo pode ser descrito em dias, meses, anos, semestres, entre outros. 12 Figura 02: Elementos básicos da Matemática Financeira. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Além disso, é interessante ressaltarmos que temos dois princípios básicos a serem respeitados quando analisamos problemas no contexto financeiro, que são: Princípio 01: Só podemos comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na mesma data. Em outras palavras, isto nos mostra que só podemos comparar dois valores quando estes estiverem referenciados na mesma data, data esta chamada de focal ou comum ou de comparação. Princípio 02: Só podemos efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma unidade, ou seja, se apresentarmos a taxa de juros como a anual, o prazo em questão também deve ser referenciado em anos. Importante! Jamais posso somar dois fluxos de caixa em datas diferentes para efeito comparativo, bem como, por exemplo, não posso comparar quem seria melhor: R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.300,00 daqui 4 meses. 13 1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações Você já interpretou um diagrama de fluxo de caixa? Saberia descrever o mesmo? Saberia identificar os seus elementos? Já pensou em relacionar as entradas de dinheiro e seus pagamentos em um determinado mês? Desta forma, o Diagrama de Fluxo de Caixa, é uma importante ferramenta para uma melhor interpretação e tomada de decisão a nível gerencial em operações financeiras do mercado. Geralmente! No mercado financeiro denotamos um Diagrama de Fluxo de Caixa pela sigla DFC. Vejamos um exemplo ilustrativo introdutório. Exemplo Introdutório: Gilberto necessita comprar um CD Player, sendo que a compra do mesmo custa à vista R$100,00, ou pode ser paga em duas parcelas mensais (sendo uma entrada no ato) no valor de R$60,00. Se Gilberto faz a opção de compra do CD Player em duas prestações de R$60,00 como descrito anteriormente, qual é a taxa de juros mensal cobrada pela distribuidora que repassa tal componente? Devemos observar com cuidado o exemplo para não respondermos com equívoco o mesmo, ou seja, a priori, parece uma resposta muito óbvia, mas devemos sempre ter cuidado com as respostas diretas e sem interpretação. Sendo assim, antes da análise detalhada do Diagrama de Fluxo de Caixa desta operação, uma pessoa qualquer, em um primeiro momento, poderia achar que a resposta seria 20%, já que se pagou R$120,00 (duas parcelas de R$60,00). Todavia, será mesmo a resposta do exemplo? Estaremos resolvendo este exemplo introdutório com coerência e interpretando corretamente o mesmo, se fizermos a interpretação a partir da ferramenta geométrica do Diagrama de Fluxo de Caixa. Note que ao comprar e pagar o componente no valor de R$100,00, Gilberto já havia pagado a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a diferença no valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês depois. Desta maneira, a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a: [(60/40 – 1)x100%] = 50% 14 A representação geométrica da situação descrita (DFC), nos auxilia e muito para o um melhor entendimento da operação financeira apresentada, ou seja, da caracterização da taxa de juros encontrada. Inicialmente, devemos perceber que como na data zero existem dois valores, um positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser representados por um valor líquido igual a R$40,00. Vejamos o DFC associado na Figura 03 a seguir. Figura 03: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. A partir do exemplo anterior, percebe-se que para facilitar a representação das operações financeiras da gestão financeira como um todo, utiliza-se uma representação gráfica que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa). Figura 04: O Diagrama de Fluxo de Caixa. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Segundo Bruni, Adriano e Famà, Rubens (2003), nesta representação gráfica destacam-se alguns aspectos fundamentais, tais como: 15 a escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso de qualquer uma das formas, por exemplo, em dias, semanas, meses, anos, entre outros; os valores (ou os pontos) 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim, o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, então consideramos n meses e, assim por diante; as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Desta maneira, é associado o sinal positivo e estas entradas são representadas por setas apontadas para cima; as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Desta forma, é associado o sinal negativo e estas saídas são representadas por setas apontadas para baixo. Figura 05: Os elementos formadores do DFC. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Em termos gerais, no mercado financeiro ou na gestão financeira temos duas representações para as operações financeiras a partir de um DFC, que são mostradas na Figura 06 a seguir. 16 . Figura 06: Diagramas de Fluxo de Caixa. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Vejamos mais exemplos ilustrativos acerca do diagrama de fluxo de caixa. Exemplo 01: Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes pagamentos ou recebimentos: Ano Fluxo de Caixa (em R$) 0 450,00 1 300,00 2 800,00 3 (150,00) 4 350,00 5 (150,00) Solução: Inicialmente, devemos salientar que toda vez que um valor do fluxo de caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento, ou seja, ele representa uma saída de caixa. Sendo assim, note que os fluxos de data (3 e 5) são pagamentos ou saídas de caixa. 17 Figura 07: Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Importante! Sempre que um fluxo de caixa aparecer com o seu valor colocado em parênteses, significa que o mesmo é um PAGAMENTO. Exemplo 02: Representar o DFC associado aos fluxos de caixa definidos abaixo. Ano Fluxos de Caixa (em R$) 0 (500,00) 1 250,00 2 250,00 3 150,00 4 100,00 Solução: Neste caso, o DFC associado é dado por: Figura 08: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 18 Exemplo 03: A Argepal Implementos Agrícolas pensa em abrir uma nova unidade com investimento inicial igual a R$ 1.000.000,00. Sabe-se que os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em R$80.000,00, e as receitas, em R$200.000,00. Representar o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. Solução: Neste caso, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa seguindo a visão da ArgepalImplementos Agrícolas: Figura 09: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 1.5. 5. Regimes de Capitalização Chamamos de Regime de Capitalização a maneira pelo qual será pago o juro por um capital aplicado ou tomado emprestado. Em verdade, temos dois regimes de capitalização, que são: o Regime Linear de Juros (ou Juros Simples) e o Regime de Capitalização Exponencial (ou Juros Compostos). Ressaltamos que o primeiro tem aplicações limitadas no mercado financeiro, enquanto que o segundo é usado amplamente. Podemos dizer que: 19 Regime Linear de Juros: comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo, sendo que aqui os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados; Regime Exponencial de Juros: incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. Pode-se falar que é um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG), pela qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Figura 10: Aplicações envolvendo os regimes de capitalização. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 1.6. O Regime Linear de Juros Como podemos descrever o regime linear de juros simples? Saberia descrever onde os mesmos são utilizados no mercado financeiro brasileiro? Especificamente falando, no Brasil, os juros simples são usados nas operações de empréstimo de curtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que no mercado financeiro chamamos de hot Money, na cobrança de cheques especiais, nos financiamentos indexados em moeda estrangeira e, também, no desconto de duplicatas e notas promissórias. Neste contexto, geralmente, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado 20 por ocasião de um investimento ou empréstimo. Vejamos um exemplo introdutório para descrevermos o processo de cálculo dos juros no regime linear de juros. Exemplo Introdutório: Vamos considerar um empréstimo de R$5.000,00 pelo qual deverão ser pagos 4% de juros simples por mês. Para saber de quanto serão os juros ao final de um mês, basta calcular o valor de: 4% de R$5.000,00 = 0,04 x 5000 = R$200,00 No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante. Desta forma, para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer: Juros = 5000 x 0,04 x n Geralmente, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital C a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela seguinte expressão: J = PV x i x n Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização da mesma de outra forma como é descrito a seguir. PV = nxi J i = nxPV J n = ixPV J Importante! Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira, denomina- se juro exato. Além disso, salientamos que o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo. De outro modo, como podemos calcular o valor futuro no regime linear de juros? Segundo Samanez (2006), um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado, o 21 qual denominamos de Montante ou Valor Futuro e, identificado por FV ou M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: FV = PV + J (I) Por outro lado, sabemos que: J = PV.i.n (II) Substituindo (II) em (I), obtemos que: FV = PV.(1 + i.n) ou M = C.(1 + i.n) Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébrica PV = )1( nxi FV . Além disso, de acordo com Samanez (2006), a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro – FCS) dos juros simples e o fator inverso, ou seja, ).1( 1 ni é chamado de Fator de Atualização (ou de Valor Presente – FAS). Figura 11: Fator de Capitalização e Fator de Atualização. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de apresentar sobre as expressões características do regime linear de juros. 22 Exemplo 04: Determinar o juro simples que um capital de R$6.000,00 rende quando aplicado durante o período de dois anos, considerando uma taxa de 2,75% ao mês? Solução: Neste caso, temos que PV = 6000, n = 2 anos = 24 meses e i = 2,75% ao mês = 0,0275 ao mês. Daí: J = PV x i x n J = 6000 x 0,0275 x 24 J = 3960,00 Ou seja, o juro é de R$3960,00. Exemplo 05: Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$80.000,00 para que este, em quatro meses, renda R$2.335,60? Solução: Neste caso, temos que PV = 80000, n = 4 meses e J = 2335,60, daí: J = PV x i x n Ou seja, 2335,60 = 80000 x i x 4 i = 480000 60,2335 x i = 0,00729 ao mês, ou seja, 0,729% ao mês Portanto, a taxa mensal é de 0,729% a.m., para que o capital de R$80000,00 renda R$2335,60 em quatro meses. Exemplo 06: Uma pessoa aplica R$20.000,00 à taxa de 1,35% ao mês durante 6 meses. Qual é o valor acumulado ao final deste período? Solução: Temos que PV = 20000, n = 6 meses e i = 1,35% ao mês = 0,0135 ao mês. Daí: FV = PV x (1 + i x n) FV = 20000 x (1 + 0,0135 x 6) 23 FV = 21.620,00 Portanto, o valor acumulado depois de 6 meses foi de R$21.620,00. Exemplo 07: Um indivíduo possui uma dívida no valor de R$750.000,00 que irá vencer em cinco meses. O credor está oferecendo um desconto de 2,8% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para a data de hoje. Qual é o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida? Solução: Neste caso, temos que FV = 750000, n = 5 meses e i = 2,8% ao mês = 0,028 ao mês. Desta forma, escrevemos: FV = PV x (1 + i x n) 75000 = PV x (1 + 0,028 x 5) PV = 657.894,74 Exemplo 08: Coloquei certa quantia em um banco a 8% ao ano e retirei, depois de três quatro anos, R$861,00. Quanto recebi de juros sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? Solução: Do enunciado temos que FV = 856, i = 0,08 e n = 4. É de nosso interesse calcular o valor dos juros, sendo assim, escrevemos: J = PV x i x n J = PV x 0,08 x 4 J = 3,2.PV Mas, como FV = PV + J, segue que: 861 = PV + 3,2.PV 861 = 4,2.PV PV = 205 Logo, o capital investido foi de R$ 205,00. Para encontrarmos os juros, basta subtrairmos o montante do capital, ou seja, J = 856 – 205 = 651. 24 Exemplo 09: Alessandro aplicou suas economias em um banco, a juros simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos e à taxa de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime simples). Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de? Solução: Neste caso, temos a seguinte disposição de dados: J 1 = PV x 0,15 x 2 = 0,3.PV J 2 = (1,3.PV) x 0,2 x 4 = 1,04.PV J 3 = (2000) x 0,2 x 4 = 1600 (NOTE QUE O PRIMEIRO MONTANTE É PV + 0,3PV = 1,3PV) Logo: J 1 + J 2 + J 3 = 0,3.PV + 1,04.PV + 1600 = 18216 1,34.PV = 16616 Portanto, PV = 12400 Ou seja,o capital inicial da primeira aplicação era de R$12400,00. Exemplo 10: Um aluno na aula de Matemática Financeira faz a seguinte argumentação para a sala, a respeito de um dos fatores (inflação) que determinam à existência dos juros: “Inflação (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno menor que o capital investido”. Esta argumentação é coerente ou não? Justifique a sua resposta. Solução: Não está coerente a argumentação, pois diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno MAIOR que o capital investido. Exemplo 11: Um administrador de empresas emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21% ao ano. A que taxa única esse administrador poderia empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual? Solução: Neste caso, de acordo com a fórmula dos juros no regime linear, 25 temos que: para a terça parte a 15% ao ano: J1 = ( 3 PV ).0,15.1 = 0,05.PV; para a quinta parte a 18% ao ano: J2 = ( 5 PV ).0,18.1 = 0,036.PV; para o restante (1 – 1/3 – 1/5 = 7/15) a 21% ao ano: J3 = ( 7 15 PV ).0,21.1 = 0,098.PV. Logo, para descobrirmos a que taxa única esse médico poderia empregar todo o capital a fim de receber o mesmo rendimento anual, poderíamos escrever: J1 + J2 + J3 = PV.i.1 0,05.PV + 0,036.PV + 0,098.PV = PV.i 0,184 = i Ou seja, i = 18,4% ao ano. Exemplo 12: Um componente médico é oferecido a um hospital por R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada. Solução: Neste caso, podemos escrever: 20% de entrada = 20%.(R$130,00) = R$26,00 Saldo = 130 – 26 = 104 Logo, temos que PV = 104 e FV = 106,90 então J = 2,90. Daí: J = PV.i.n 2,90 = 104.i.1 i = 2,90 104 i = 0,02788 Ou seja, i = 2,788% a.m. 26 1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O que são? Você saberia descrever no regime linear de juros o que seriam taxas equivalentes? E taxas proporcionais? Vamos averiguar? Num primeiro momento já vimos que o regime linear possui aplicações limitadas no mercado financeiro, porém estas definições de taxas são muito utilizadas e, sendo assim, de fundamental importância para os nossos propósitos. Para compreendermos melhor estas definições temos dois prazos importantes para analisarmos que são: o prazo a que se refere à taxa de juros e o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. De acordo com Samanez (2006), no regime linear de juros, se estes dois prazos estiverem referenciados em unidades distintas, ou transforma-se o prazo específico da taxa para o prazo de capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. Sendo assim, por conta de sua linearidade, no regime linear de juros, esta transformação é processada pela taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou taxa nominal. Salienta-se que tal taxa é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de juros de 12% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros indicará sobre o capital a cada mês será Taxa proporcional = 12% 12 = 1% ao mês. Cabe ressaltar de forma específica, que a aplicação de taxas proporcionais é amplamente utilizada em operações de curto, tais como cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária, entre outros. De outro modo, dizemos que as taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. Por exemplo, as taxas de 4% ao mês e 12% ao trimestre são equivalentes, pois se considerarmos o valor presente de R$2.000,00, aplicados durante o período de 6 meses, podemos escrever: No primeiro caso, temos: 27 ..04,0..%4 6 000.2 mamai mesesn PV Logo: J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00. No segundo caso, temos: ..12,0..%12 2 000.2 tatai trimestresn PV Daí: J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00 Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 12% ao trimestre são taxas equivalentes. Importante! No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes é considerada a mesma coisa, sendo indiferente à classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou seja: Taxas equivalentes Taxas proporcionais. Além disso, observe que no regime linear podemos até dividir a taxa pelo número de períodos de capitalização exatamente por conta da igualdade descrita anteriormente. Porém, deve se ter em mente que tal divisão não pode ser feita no regime composto de juros. Definição (Capitais Equivalentes): Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum (denominada data focal). Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes, não se verificando um posicionamento técnico 28 definitivo da Matemática Financeira. Vejamos dois exemplos ilustrativos envolvendo taxas proporcionais, equivalentes e capitais equivalentes. Exemplo 13: Uma duplicata com valor nominal de R$8.500,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor dessa duplicata a) hoje. b) dois meses antes de seu vencimento. c) um mês após o seu vencimento. Solução: Neste caso, temos que: a) Valor da Duplicata Hoje = D 0 = 8.500,00 0,312 1 4 12 x = 8.500,00 1,104 = R$7.699,27 (Neste caso devemos atualizar o valor da duplicata para a data de hoje). b) Valor da Duplicata Dois Meses antes do Vencimento = D 2 = 8.500,00 0,312 1 2 12 x = 8.500,00 1,052 = R$8.079,85 (Neste caso devemos atualizar o valor da duplicata para a data n = 2). c) Valor da Duplicata Um mês após o Vencimento = D 5 = (8.500,00) x ( 1+ 12 312,0 x 1) = R$8.721,00 (Neste caso devemos capitalizar o valor da duplicata para a data n = 5). Exemplo 14: Um consultor de vendas tem os seguintes compromissos financeiros: 29 R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses; R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras, aplicando-as em uma conta de poupança que rende 55% ao ano de juros simples. Pede-se para determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta. Solução: Temos a seguinte disposição geométrica: Figura 12: A interpretação do exemplo. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois capitais). Além disso, i = 55% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo: C 0 = )5055,01( 00,000.65 )3055,01( 00,000.35 xx (Neste caso devemos atualizar os dois capitais). C 0 = 30.042,92 + 50.980,39 C 0 = 81.023,31 30 O consultor de vendas, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que paga 5,5% ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os momentos3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto é: Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16 (–) Resgate (35.000,00) Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30 (–) Resgate (65.000,00) Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à capitalização dos juros (regime linear), já que vimos anteriormente que neste regime o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a diferença que encontramos. 1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos) Você já ouviu o termo “juros sobre juros”? Se nunca ouviu, com certeza já deve ter realizado alguma operação que se utilizou deste procedimento, ou seja, do regime exponencial de juros. Neste regime temos que o cálculo dos juros é realizado, no primeiro período, multiplicando-se a taxa de juros pelo capital e, a partir do segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a taxa de juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior, donde surge o linguajar popular “juros sobre juros”. Observe que os juros são incorporados, a cada período, a partir do montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior e, consequentemente, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos períodos. Saldo: R$925,30 Saldo: R$53.392,16 31 Figura 13: A diferença entre os regimes de capitalização. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. No gráfico, a linha em vermelha nos mostra o regime linear de juros, enquanto que a curva em azul representa o regime de juros compostos. Ou ainda: Figura 14: Interpretação dos dois regimes de capitalização. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial Consideremos um principal PV aplicado a juros compostos, à taxa de juros i. Desta forma, podemos observar que: 1FV = PV + PV. i logo 1FV = PV.(1 + i) 2FV = 1FV + 1FV . i, ou seja, 2FV = 1FV .(1 + i) = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 + i)² 3FV = 2FV + 2FV . i, isto é, 3FV = 2FV (1 + i) = PV.(1 + i)³ 32 ... ... ... Assim sendo, podemos deduzir que o valor futuro no enésimo período será dado por: FV = PV. (1 )ni Importante! Denomina-se fator de capitalização no regime composto a expressão (1 )ni , indicada por FCC(i, n), enquanto que a expressão 1 (1 )ni é dita fator de atualização (ou fator de descapitalização) no regime composto e descrita por FAS (i, n). Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo o regime exponencial de juros. Exemplo 15: Qual o valor futuro de uma aplicação de R$14.000,00 em um título pelo prazo de 6 meses à taxa de juros composta de 2,0% a.m.? Solução: Neste caso, temos que PV = 14000, i = 2% ao mês = 0,02 a.m. e n = 6 meses, daí: FV = PV.(1 + i) n FV = 14000.(1 + 0,02) 6 FV = 15766,27 Exemplo 16: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$60.500,00 que produz um montante de R$82.750,00 ao final de cinco meses. Solução: Do problema temos que: PV = 60.500,00, n = 5 meses e FV = 82.750,00. Sendo assim, escrevemos: FV = PV x (1 + i) n 82750 = 60500 x (1 + i) 5 60500 82750 = (1 + i) 5 1,367768595 = (1 + i) 5 33 5 51,36776859 = 5 5)1( i 1,064639378 = 1 + i i = 0,064639 ou aproximadamente 6,46% ao mês Exemplo 17: Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 1,8% ao mês? Solução: Neste caso, podemos considerar PV = PV, FV = 2.PV e i = 1,8% ao mês = 0,018 ao mês. Logo: FV = PV x (1 + i) n 2.PV = PV x (1 + 0,018) n 2 = (1,018) n log2 = log(1,018) n 0,301029995 = n.log(1,018) n = 38,85 meses Exemplo 18: Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 80.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e taxas: a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses c) i = 12% ao ano; n = 108 meses Solução: Neste caso, temos que utilizar mais uma vez a fórmula do valor futuro no regime composto: ni)PV.(1 FV . Daí: a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos 289167,19 R$ FV 5)0000.(1,058 FV 24 b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses 34 189389,09 R$ FV )0000.(1,098 FV 10 c) i = 12% ao ano; n = 108 meses 221846,30 R$ FV )0000.(1,128 FV 9 Exemplo 19: Determinar o juro de uma aplicação de R$ 100.000,00 nas seguintes condições de taxa e prazo: a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meio c) i = 5% ao semestre; n = 3 anos d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses Solução: Neste caso, temos que: Fórmulas: J = FV – PV e ni)PV.(1 FV Daí: a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano 119561,81 R$ FV 15)00000.(1,01 FV 12 FV 119561,81- 100000 J 19561,81 b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meio 141059,87 R$ FV 35)00000.(1,01 FV 10 FV 141059,87 - 100000 J 41059,87 c) i = 5% ao semestre; n = 3 anos 6FV 100000.(1,05) FV R$ 134009,56 FV 134009,56 - 100000 J 34009,56 d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses 237258,67 R$ FV 42)00000.(1,01 FV 21 FV 237258,67 - 100000 J 137258,67 35 Exemplo 20: Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é? a) ( x ) 133% do capital inicial, aproximadamente. b) ( ) 130% do valor do capital inicial. c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente. d) ( ) 30% superior ao capital inicial. e) ( ) Nada podemos concluir. Solução: Neste caso, podemos pensar em um capital inicial PV, com taxa i = 10% ao ano = 0,10 a.a. e n = 3 anos, daí: FV = PV. (1 ) ni Logo, substituindo os dados, vem que: FV = PV. 3(1 0,1) FV = PV. 3(1,1) FV = 1,331.PV Ou seja, FV = 133,1%.PV Donde concluímos, que o seu montante será 133% do capital inicial, aproximadamente, ou seja, a resposta correta é a letra (A). Exemplo 21: Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das alternativas de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital AFA: a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero). b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em 120 dias. Solução: Aqui, podemos atualizar a situação descrita em (b) e comparar com (a). Ou seja, vai representar menor custo para o Hospital AFA aquela situação que representar o menor valor na data zero. Logo, atualizando os valores da situação (b) para a data zero, temos que: 36 30 000 atualizado na data zero = 30 000; 40 000 em 60 dias atualizado para a data zero resulta em: 40000 (1 0,07)² = 34.937,54; 104.368,56 em 120 dias atualizado para a data zero resulta em: 4 104.368,54 (1 0,07) = 79.622,25. Portanto, a soma dos valores atualizados é dada por: PV = 30000 + 34.937,54 + 79.622,25 = 144.559,79 Desta forma, concluímos que a situação descrita em (a) representa o menor custo para o Hospital AFA, já que 140.000,00 < 144.559,79. Exemplo 22: Vamos encontrar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um quadrimestre. Solução: Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 43.894,63. Logo, podemos escrever que: FV = PV x (1 + i) n 3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4 00,000.40 63,894.43= (1 + i) 4 1,097366 = (1 + i) 4 4 097366,1 = 4 4)1( i 1,0235 = 1 + i i = 0,0235 ou 2,35% ao mês Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 2,35% ao mês. 37 Exemplo 23: Uma aplicação de R$22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em certa data futura. Qual é o prazo da operação? Solução: Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024 a.m. e FV = 26.596,40. Desta forma, podemos escrever: FV = PV x (1 + i) n 26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n 00,000.22 40,596.26 = (1,024) n 1,208927 = (1,024) n log (1,208927) = log (1,024) n 0,082400 = n x log(1,024) n = )024,1log( 082400,0 n = 8 meses Portanto, o prazo de tal operação é igual a 8 meses. Importante! Toda vez que nos interessar o cálculo do expoente n (ou seja, do horizonte da operação em questão), devemos utilizar o logaritmo decimal (na base 10) para encontrarmos tal valor, como mostrado no exemplo anterior. Exemplo 24: Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. Solução: Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a. m. = 0,045 a.m. Logo, temos que: J = PV x [ (1 + i) n – 1] J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1] J = 21.664,02 Ou seja, o juro pago por este empréstimo é igual a R$21.664,02. 38 Exemplo 25: Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a juros compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Qual é o valor desta quantia? Solução: Do enunciado do problema temos que: FV = 40000, i = 2% ao mês = 0,02 a.m. e n = 5 meses e queremos determinar o valor de PV. Daí: FV = PV x (1 + i) n 40000 = PV x (1 + 0,02) 5 40000 = PV.(1,104080803) PV = 104080803,1 40000 PV = 36.229,2324 Ou seja, o valor presente (ou a quantia inicial) desta aplicação é igual a R$36.229,2324. Exemplo 25: Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa de 7% ao mês, para produzir o montante de R$12.000,00? Solução: Do problema temos que: PV = 5.000,00, i = 7% ao mês = 0,07 a.m. e FV = 12.000,00. Desta maneira, temos que: FV = PV x (1 + i) n 12000 = 5000 x (1 + 0,07) n 12 = 5 x (1 + 0,07) n log 12 = log[5 x (1 + 0,07) n ] = log5 + log(1,07) n 1,079181 = 0,69897 + n.log(1,07) n n = 029384,0 380211,0 n 12,9 meses Portanto, o prazo de tal operação é aproximadamente igual a 12,9 meses. Exemplo 26: Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada? Solução: Do problema temos que: PV = 7.500,00, n = 5 meses e FV = 9.500,00. Logo, podemos escrever: 39 FV = PV x (1 + i) n 9500 = 7500 x (1 + i) 5 7500 9500 = (1 + i) 5 1,266666667 = (1 + i) 5 5 266666667,1 = 5 5)1( i 1,048413171 = 1 + i i = 0,048413171 ou 4,8413171% ao mês Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 4,8413171% ao mês. 1.10. Como Caracterizar Taxas Equivalentes no Regime Exponencial? Quando discutimos o regime linear de juros, vimos que taxas proporcionais e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa. Tal fato só acontece no regime linear de juros, não acontecendo quando trabalhamos com o regime de juros compostos. O conceito de taxa equivalente visto no regime linear continua sendo o mesmo no regime exponencial, porém sua maneira de calcular é diferente, por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é: i q q i 1 – 1 Onde: q = número de períodos de capitalização. Importante! Na expressão de cálculo para taxas equivalentes no regime composto, salientamos que o parâmetro i da fórmula descreve a taxa relacionada ao maior período, enquanto que o parâmetro i q descreve a taxa relacionada ao menor período. Desta maneira, por exemplo, se temos o interesse de calcular a taxa semestral equivalente, para juros compostos a 10% ao ano, temos que i = 10% ao ano (maior período) e i q (menor período) será a taxa de interesse a ser calculada. 40 Figura 15: Interpretação do conceito de taxas equivalentes. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Exemplo 27: Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano? Solução: Para resolvermos tal problema, devemos utilizar a fórmula: i q q i 1 – 1 Onde: q = número de períodos de capitalização. Em que i é a taxa anual (maior período), ou seja, i = 10% ao ano = 0,1 a.a. Além disso, temos que q = 2 (1 ano = 2 semestres). Desta maneira, temos que: i q q i 1 – 1 i 2 = 2 1 i – 1 i 2 = 2 1,01 – 1 i 2 = 2 01,1 – 1 i 2 = 1,04880 – 1 i 2 = 0,04880 ou seja i 2 4,88% a.s. (ao semestre) Portanto, a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano é aproximadamente igual a 4,88%. 41 Exemplo 28: Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% ao bimestre? Solução: Neste caso, devemos encontrar o valor de i, já que o maior período em questão é ano. Notemos também, que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e i q = i 6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, temos que: i q q i 1 – 1 i 6 = 6 1 i – 1 0,07 = 6 1 i – 1 1 + 0,07 = 6 1 i 1,07 = 6 1 i Elevando ambos os membros a potência 6, obtemos: (1,07) 6 = ( 6 1 i ) 6 1 + i = (1,07) 6 i = (1,07) 6 – 1 i = 0,500730351 ou seja i 50,07% a.a. (ao ano) Portanto, a taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,07%. Importante! (Cálculo de Taxas Equivalentes) Se denominarmos i a = taxa de juros anual, i s = taxa de juros semestral, i t = taxa de juros trimestral, i m = taxa de juros mensal, i d = taxa de juros diária e i b = taxa de juros bimestral e, considerarmos o ano comercial (360 dias), a fórmula a seguir permite o cálculo dessas taxas equivalentes é dada por: 1+ i a =(1 + i m ) 12 = (1 + i s ) 2 = (1 + i t ) 4 = (1 + i b ) 6 = (1 + i d ) 360 42 1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-las no Mercado Financeiro? Segundo Samanez (2006), a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Definição (Taxa Efetiva): Taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. Em símbolos, temos que: Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i) q – 1 Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros. Exemplo 29: Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja: i f = (1 + 0,038) 12 - 1 = 56,44% ao ano Definição (Taxa Nominal): Dizemos que uma taxa de juros é nominal quando o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao valor presente) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Exemplo 30: Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 48% ao ano, capitalizada de forma mensal. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere à taxa de juros igual a um ano (12 meses). Dessa maneira, 48% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. Salientamos ainda que, ao falarmos de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 48%/12 = 2% ao mês (taxa proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Com base nos dados do exemplo acima, temos: 43 taxa nominal da operação para o período = 48% ao ano; taxa proporcional simples; (taxa definidapara o período de capitalização) = 4% ao mês; taxa efetiva de juros: i f = 12 0,48 1 12 – 1 = 60,10322% ao ano Importante! Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. Ao falarmos que os juros anuais são de 48%, mas capitalizados mensalmente, apuramos que a efetiva taxa de juros atinge 60,10322% ao ano. Para que 48% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja: Taxa Equivalente Mensal de 48% ao ano: 12 12 12 1 1 1 0,48 1 1,48 1 3,32% . . q qi i i a m Ao se capitalizar exponencialmente 3,32% ao mês chegamos aos 48% ao ano. Taxa Efetiva Anual 12 12 (1 0,0332) 1 (1 0,026) 1 48% f f i i ao ano Importante! Vamos convencionar que, quando houver mais de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada através da taxa proporcional. Por outro lado, quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formação dos juros) a representação da taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a expressão única “10% ao ano” indica que os juros são também capitalizados em termos anuais. Muitas vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma operação, expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização. Por exemplo, o custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por um banco, pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o mesmo período, ou seja: 1042,130 0,137234% ao dia x 30 = 4,12% ao mês A taxa de 4,12% ao mês é nominal (linear) e equivalente a taxa efetiva de 44 4,2% ao mês. Exemplo 31: Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o montante que será devolvido ao final do ano? Solução: Como a capitalização é bimestral, podemos dizer que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e i = 18% ao ano. Desta forma, temos que: Taxa Proporcional bimestral = 6 %18 = 3% a.b. = 0,03 a.b. Logo: Taxa Efetiva: (i f ) = (1 + i) q – 1 = (1 + 0,03) 6 – 1 = 0,194 Desta forma, a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano aproximadamente. No cálculo do montante a ser devolvido, temos que FV = PV.(1 + i) n onde: n = 1 ano = 6 bimestres e PV = 8000 Desta maneira, temos que: FV = PV.(1 + i) n FV = 8000.(1 + 0,03) 6 FV = 9552,418372 Portanto, concluímos que o montante a ser devolvido será de aproximadamente R$9.552,00 e a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano. Exemplo 32: Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizado trimestralmente. Pede-se para determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. Solução: Vamos admitir, de acordo com a convenção adotada, que a taxa de juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples, desta forma, temos que: Taxa Nominal (taxa linear): i = 32% ao ano = 0,32 a.a. 45 Descapitalização Proporcional: i = 4 %32 = 8% ao trimestre (já que 1 ano = 4 trimestres) = 0,08 a.t. Montante do Empréstimo: FV = PV.(1 + i) n FV = 11000.(1 + 0,08) 4 FV = 11000.(1,08) 4 FV = 14.965,40 Taxa Efetiva: i f = (1 + i) q – 1 i f = (1 + 0,08) 4 – 1 i f = (1,08) 4 – 1 i f = 0,36 ao ano i f = 36% ao ano Portanto, o montante é igual a R$14.965,40 e o custo efetivo do empréstimo é igual a 36% ao ano. Exemplo 33: A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Qual a rentabilidade efetiva desta caderneta de poupança? Solução: Neste caso, mais uma vez a taxa efetiva dará a rentabilidade efetiva da Caderneta de Poupança, já que podemos observar que a taxa de juros de 6% é uma taxa nominal de juros, já que a capitalização é realizada mensalmente. Notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses), segue que: Taxa Efetiva: i f = (1 + q i ) q – 1 i f = (1 + 12 06,0 ) 12 – 1 i f = (1 + 0,05) 12 – 1 i f = 0,617 ao ano i f = 6,17% ao ano 46 Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao ano. 1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos Anteriormente já vimos a definição de capitais equivalentes e foi falado que seriam a essência da Matemática Financeira. No regime composto, como poderiam ser definidos? Em verdade, temos que a definição de capitais equivalentes não difere conforme apresentado anteriormente para o regime linear, aqui no regime composto de juros, a relação fundamental de equivalência de capitais para um período é expressa pelas seguintes equações: FV = PV. (1 )ni e PV = (1 )n FV i Sendo assim, através destas relações e uma vez caracterizada uma data focal para contagem do tempo, é que podemos estabelecer a troca de dois ou mais capitais, de forma que eles sejam equivalentes financeiramente. Importante! Note que não existe ganho nem perda para nenhuma das partes, apenas um eventual interesse na troca temporal das datas de cumprimento dos compromissos. Exemplo 34: Um hipermercado de uma rede multinacional possui compromissos de R$2.000,00 e de R$2.500,00 a vencer de hoje a três meses e oito meses, respectivamente. Gilberto, seu gerente financeiro, prevê problemas de caixa nestas datas e, então, propõe à empresa credora a troca desses compromissos por outros dois que lhe sejam equivalentes, a vencer de hoje a 10 e 15 meses, respectivamente. Considere que a taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês e que as obrigações equivalentes devem ter valores iguais. Qual deve ser o valor único dessas obrigações? Solução: Inicialmente vamos representar geometricamente a descrição do problema a ser resolvido como segue. 47 Figura 16: Interpretação dos fluxos do exemplo. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Notemos que neste caso temos as seguintes informações: 1FV = 2000, 2FV = 2500, 1n = 3, 2n = 8, 3n = 10, 4n = 15 e i = 10% a.m. = 0,10 a.m. Vamos definir a data focal como sendo a data atual hoje, ou seja, a data zero, donde podemos escrever: 3 8 10 15 2000 2500 (1 0,10) (1 0,10) (1 0,10) (1 0,10) FV FV Note que todos os valores foram atualizados para a data focal = zero, portanto, resolvendo a igualdade acima em FV, obtemos: 2000 2500 1,331 2,143589 2,593742 4,177248 FV FV 2.668,90 = FV.( 1 1 2,593742 4,177248 ) 2.668,90 = FV.(0,385543 + 0,239392) 2.668,90 = FV.(0,624935) FV = R$ 4.270,68 Ou seja, o valor destes pagamentos únicos seria igual a R$4.270,68. 48 UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP 2C 2.1. Objetivos da Unidade Vimos através das expressões características do regime exponencial de juros que o cálculo do parâmetro n (prazo) não é uma tarefa muito cômoda, já que temos que utilizar do logaritmo na base 10. E, também, temos outros cálculos não tão simples de serem realizados. Sendo assim, nesta unidade, é de nosso interesse apresentar a principal ferramenta utilizada para a implementação de soluções do contexto financeiro empresarial, que é a calculadora HP 12C, tornando-se assim um importante instrumento para a simplificação de cálculos algébricos realizados até o presente momento, bem como, uma poderosa ferramenta para a resolução geral de questões envolvendo séries de pagamentos e sistemas de amortização. Além disso, ela pode ser utilizada para a caracterização de maneira mais simples com relação a descrição de indicadores associados a rentabilidade e risco do negócio. Neste sentido, ao final desta unidade o aluno será capaz de: estar plenamente familiarizado com a HP 12C como a principal ferramenta para a implementação de problemas práticos na área da gestão financeira; apresentar algumas informaçõesbásicas e funções elementares da HP 12C; implementar a resolução de problemas envolvendo os dois regimes de capitalização; disucutir a implementação na HP 12C de problemas relacionados a taxas equivalentes e convenções associadas; descrever os principais códigos de erros apresentados pela HP 12C; apresentar uma série de exemplos resolvidos que ilustram a aplicação prática dos conceitos apresentados anteriormente. 2.2. Informações Iniciais da HP 12C 49 Como simplificar os cálculos na gestão financeira? Qual instrumento a ser utilizado? Grosso modo, a HP 12 C atualmente é considerada a calculadora mais popular e mais vendida em todo o mundo. Salientamos, que estaremos apresentando a implementação de situações práticas daqui em diante que depende da HP 12C, exatamente como ocorre no mercado financeiro nacional e na prática empresarial relacionada à gestão de negócios, ou seja, vamos trabalhar com operações aritméticas, algumas funções básicas, cálculos com datas, operações com percentagens, bem como trabalhar com conceitos relacionados aos regimes de capitalização linear, ao regime de capitalização composto e taxas equivalentes. Importante! Quem não possui a calculadora HP 12C pode baixar um modelo de simulador para a mesma (aplicativo), para versão de computador, tablet ou smartphone. De todas as calculadoras atualmente disponíveis no mercado, a HP 12C é, talvez uma das mais antigas. Em verdade, a mesma foi lançada na década de 80, mais precisamente no ano de 1981, juntamente com outras calculadoras da família 10C, composta pelas máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 16C, todas lançadas entre os anos de 1981 e 1985. Figura 17: Algumas calculadoras do tipo 10C. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 50 Segundo Samanez (2006), suas características fundamentais englobam o fato de possuir mais de 120 funções específicas para usos em negócios, as quais permitem trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa, operações com taxas internas de retorno e valores presentes líquidos. Mas, qual seria a diferença básica entre a HP 12C e uma calculadora científica tradicional? Em verdade, o que difere a HP 12C reside no fato da notação que a mesma utiliza, ou seja, no caso particular da HP 12C, a mesma usa a notação com a lógica RPN (do inglês Reverse Polish Notation, ou Notação Polonesa Reversa), que permite uma entrada mais rápida de dados e a execução mais eficiente nos cálculos. Em tal notação, primeiramente entramos com os dados que são separados pela tecla ENTER para depois introduzirmos as operações a serem feitas. Talvez este seja o motivo de que algumas pessoas acham a implementação mais difícil. Porém, isto não é verdade, porque a partir do momento que vivencia na HP 12C a resolução de problemas financeiros, você observa que é mais fácil o seu manuseio. A Figura 18 a seguir apresenta a frente de um dos modelos da calculadora HP 12C (modelo ouro), enquanto que a Figura 19 apresenta o outro modelo (Platinum). Figura 18: A Calculadora HP-12C. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 51 Figura 19: O simulador da HP-12C Platinum. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Salientamos que: a diferença inicial entre uma calculadora HP 12C e as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados; as calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à sequência natural da Matemática. Por exemplo, para fazermos a operação em uma calculadora científica tradicional 5 + 4, tecla-se primeiro 5, depois +, em seguida 4 e finalmente a tecla =; a HP 12C trabalha com o sistema de entrada de dados RPN (Notação Polonesa Reversa), onde introduzimos primeiro os dados, separados pela tecla ENTER, para depois inserir as operações, ou em outras palavras, introduzimos em primeiro lugar os dados e depois as operações em ordem inversa. Desta forma, na HP 12C o cálculo da soma (5 + 4) é realizada da seguinte forma: introduzimos o valor 5, depois clicamos na tecla ENTER, a seguir colocamos o dígito 4 para no fim, clicarmos em +. Por outro lado, temos que a calculadora HP-12C possui quatro memórias (X, Y, Z e T), chamadas de memórias principais, que funcionam como se fosse um tambor rotativo. A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor. Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteúdos das memórias X e Y. 52 Figura 20: As quatro memórias da HP 12C. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. A função <x> e <y>, ao ser acionada, troca os conteúdos das memórias X e Y, mantendo as memórias Z e T inalteradas. A tecla <ON> serve apenas para ligar ou desligar a HP-12C. A função <CHS> troca o sinal do número que aparece no visor. Por exemplo, para trocar o sinal do número 58, procede-se da seguinte maneira: 58 <CHS> resultando – 58 (no visor) Importante! A HP 12C pode operar as seguintes funções: i) Função Normal, escrita na face superior da tecla. ii) Função Amarela, <f>, escrita na parte superior da tecla. iii) Função Azul, <g>, escrita na face lateral inferior da tecla. A tecla <1/x> é utilizada para calcular o inverso de um número x 0. Se acionarmos a tecla azul <g> e depois a mesma tecla <e x >, ela passará a executar a função azul <e x >. A função <STO> serve para guardar e operar com as 20 memórias fixas existentes na calculadora HP 12C, chamadas de memórias secundárias. Essas memórias serão indexadas de 0 a 9 e de .0 a .9. Além disso, a função <RCL> serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 9 e .0 a .9) 53 para o visor e com relação a limpeza de dados na HP 12C, temos as funções associadas descritas a seguir: a) Função <CLX>: limpa apenas o visor (memória X). b) Função <f> <FIN>: limpa apenas o conteúdo das memórias financeiras, isto é, coloca zeros para <n>, <i>, <PV>, <PMT> e <FV>. c) Função <f> <REG>: limpa, de uma só vez, os conteúdos da memória principal, secundária e financeira. d) Função <f> <PREFIX>: cancela o prefixo amarelo <f> ou o prefixo azul <g>. e) Função <f> <PRGM>: limpa os programas que estão gravados na HP- 12C. Importante! Na grande maioria dos casos trabalha-se com duas casas decimais, salvo com alguma especificação colocada contrariamente. Desta forma, para fixarmos em duas casas decimais na HP 12C procedemos da seguinte forma: pressionamos a tecla <f> e a seguir pressionamos o número 2. Aparecerão duas casas decimais no visor. Se você quiser operar com 6 casas decimais, por exemplo, pressionar <f> e a seguir pressionar o número 6. Aparecerão seis casas decimais no visor. Ao trabalharmos com duas casas decimais, a HP 12C, no seu visor, apresentará um número com duas casas após a vírgula, mas, em sua “memória”, o número armazenado terá uma precisão bem maior. Desta forma, por exemplo, (25 14) x 100 será na calculadora igual a 1, 79 x 100 e, finalmente, 178,59. Salientamos ainda que o trabalho envolvendo o arredondamento de duas casas decimais após a vírgula, utiliza-se o procedimento: pressionar as teclas <f> 2 e logo a seguir <f> <RND>. Analogamente, para arredondar para três casas decimais após a vírgula, basta pressionar <f> 3 <f> <RND> e assim por diante. Ressaltamos ainda que a função <R >, quando acionada, desencadeia as seguintes transferências nas memórias principais: o conteúdo de X é transferido para T; o conteúdo de T é transferido para Z; o conteúdo de Z é transferido para Y; o conteúdo de T é transferido para X. 54 Sendo assim, observa-se uma rotação completa no tambor para cada vez que a função <R > é acionada, sem que haja qualquer perda de informação. Se acionarmos quatro vezes consecutivas, a função <R >, conhecemos os conteúdos das quatro memórias X, Y, Z e T (ao passarem pelo visor) e o tambor vai para sua posição inicial. Em verdade, a HP 12C possui a “pilha operacional”,que pode ser encarada como quatro compartimentos (memórias principais), onde ela armazena dados para efetuar operações. Esses compartimentos encontram-se empilhados dentro da calculadora (daí o nome de “pilha operacional”), sendo aquele que aparece no visor “X” e os demais, nessa ordem, “Y”, “Z” e “T”. Para um melhor entendimento do processo, vejamos o exemplo na Figura 21 a seguir. T e c la M e m ó ri a 5 E N T E R 3 E N T E R 9 E N T E R 7 R R R R + x > < y T 5 5 7 9 3 5 5 5 Z 5 5 3 3 5 7 9 3 5 5 Y 5 5 3 V is o r X 5 5 3 3 9 9 7 9 3 5 7 16 3 Figura 21: A rotatividade das memórias na HP 12C. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Importante! Você sabe como trocar o ponto pela vírgula na HP 12C? Para tal, basta efetuarmos os seguintes passos: - desligue a calculadora; - com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e . (ponto); - solte a tecla ON e logo após a tecla . (ponto). 2.3. Como Operar com Datas na HP 12C? O trabalho com datas na HP 12C é importante para a caracterização de datas peculiares, bem como para a determinação do número de dias entre duas datas referenciadas. 55 Em termos específicos, temos que a função <DYS> fornece o número de dias entre duas datas, calculado com base no ano comercial (360 dias), enquanto que a função <DATE> obtém-se uma data futura ou data passada, tomando-se como base uma data especificada. Particularmente falando, essas duas funções são úteis nas operações correntes do mercado financeiro, permitindo relacionar a data de aplicação, a data de resgate e o prazo de aplicação. Figura 22: Funções relacionadas a datas. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Antes da utilização das funções descritas anteriormente, é necessário que seja estabelecido o formato das datas, ou seja, a ordem de apresentação das mesmas, desta maneira, para tal, as funções <MDY> e <DMY> estabelecem o formato das datas e indicam a ordem de apresentação, respectivamente, MÊS, DIA, ANO e DIA, MÊS, ANO. 56 Figura 23: Funções relacionadas ao formato das datas. Fonte: Elaborado pelo próprio autor. Importante! É necessário fixar em 6 (seis) o número de casas decimais para que apareçam no visor as datas digitadas. Além disso, é recomendável limpar todos registradores (inclusive o visor), usando a função <f> <REG>, antes de se iniciar qualquer operação com a HP-12C. Exemplo 35: Qual é o número de dias entre as entre as datas 17/03/2015 e 26/05/2015. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores <g> <DMY> 0,00 DMY Estabelece o formato da data <f> 6 0,000000 DMY Número de casas decimais exigidas 17.032015 <ENTER> 17,032000 DMY Mostra a data passada 57 26.052015 26,052000 DMY Mostra a data atual <g> <DYS> 70,000000 DMY Número de dias entre as duas datas referenciadas Exemplo 36: Adicionando 52 dias à data 17/01/2015, obtemos qual data e dia da semana? Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores <g> <DMY> 0,00 DMY Estabelece o formato da data <f> 6 0,000000 DMY Número de casas decimais exigidas 17.012015 <ENTER> 17,012015 DMY Mostra a data atual 52 <g> <DATE> 10.03.2015 2 DMY Data pedida e dia da semana (Terça-feira) Importante! O dígito que aparece bem à direita do visor indica o dia da semana, sendo 1 para segunda-feira, 2 para terça-feira, ..., 6 para sábado e 7 para domingo. 2.4. Principais Funções Matemáticas Vejamos agora as principais funções matemáticas na HP 12C, bem como alguns exemplos para fixação das ideias. Porcentagem: < %> – nos permite calcular a porcentagem de um determinado número. 58 Exemplo 37: Quanto representa 8,5% de R$ 48.3600,00. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 48360 <ENTER> 8.5 <%> 4.110,60 Valor de 8,5% de R$ 48.360,00 Exemplo 38: Um equipamento médico, adquirido por R$ 780,00, foi vendido com um lucro de 20,75% sobre o preço de compra. Qual o preço de venda? Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 780 <ENTER> 780,00 Preço de compra 20.75<%> <+> 941,80 Preço de venda Percentagem do Total: < %T > – nos possibilita encontrar quanto um número representa percentualmente, em relação a outro número. Exemplo 39: Vamos encontrar quanto 62 representa percentualmente, em relação a 380. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 380 <ENTER> 62 16,32 Indica que 62 é igual a 59 <%T> 16,32% de 380 Exemplo 40: Efetuar a soma das parcelas R$ 1.550,00, R$ 3.450,00, R$ 4.720,00 e R$ 5.200,00 e a participação percentual de cada uma delas no total. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 1550 <ENTER> 1.550,00 Valor da Primeira parcela 3450 <+> 5.000,00 Soma da primeira e segunda parcelas 4720 <+> 9.720,00 Soma da primeira, segunda e terceira parcelas 5200 <+> 14.920,00 Total 1550 <%T> 10,39 % da primeira parcela sobre o total <CLX> 3450 <%T> 23,12 % da segunda parcela sobre o total <CLX> 4720 <%T> 31,64 % da terceira parcela sobre o total <CLX> 5200 <%T> 34,85 % da quarta parcela sobre o total Diferença Percentual entre os Números: < % > – devemos digitar primeiro o valor antigo e, depois, o valor atual. 60 Exemplo 41: Calcular a percentagem de prejuízo de um investidor que aplicou R$ 1.650,00 em CDB a prazo fixo e, antes do resgate, vendeu R$ 1.525,60. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 1650 <ENTER> 1.650,00 Valor da aplicação 1525,60 <%> – 7,54 % de prejuízo Exemplo 42: Um equipamento eletrônico está anunciado por R$ 950,00 para pagamento a prazo ou cartão de crédito. Para o pagamento à vista é dado um desconto de 18%. Qual o valor do desconto? Por quanto sai o equipamento eletrônico se você pagar à vista? Qual o percentual de acréscimo que você pagará se optar pelo cartão de crédito? Implementar a solução na HP 12C. Solução: A sequência de passos a ser desenvolvida na HP 12C para resolução do exemplo é mostrada a seguir. Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? <f> <REG> 0,00 Limpa os registradores 950 <ENTER> 950,00 Valor do equipamento eletrônico 18 <%> 171,00 Valor do desconto < – > 779,00 Preço à vista 950 <%> 21,95 % do acréscimo pago pelo cartão de crédito 2.5. Resolvendo Problemas sobre os Regimes de Capitalização Vamos discutir agora a implementação de alguns exemplos envolvendo
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