grelhas isostaticas

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Estruturas Isostáticas – DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 
 
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CAPÍTULO IX 
 
GRELHAS ISOSTÁTICAS 
 
I . ASPECTOS GERAIS 
 
Já sabemos que um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações 
fundamentais da estática: 
 
ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Fz = 0 
 
ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 
 
 
Admitamos um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si: 
 
 
Sendo todas as forças paralelas ao eixo z, verificamos 
que as equações da estática : 
 
ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 
 
se transformam em meras identidades, pois se todas as 
forças são paralelas à z elas não terão componentes na 
direção x , y e nem formarão momentos em torno do 
eixo z, por lhe serem paralelas. 
 
 
 
 
Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as tres restantes, isto é: 
 
 ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 
 
Podemos afirmar, então, que um sistema de forças paralelas no espaço é regido por tres equações da 
estática, sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados no plano perpendicular ao 
das cargas e a terceira de força nula em relação ao eixo paralelo as cargas. 
 
II . DEFINIÇÃO 
 
Definiremos como grelha a uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu 
plano, regida pelas equações: 
 
ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 
 
Observando o funcionamento de uma grelha podemos afirmar que suas barras, em uma seção 
genérica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforços simples: 
 
 
 
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 Esforço Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem ser calculados e 
expressos sob a forma de um diagrama. 
 
convenção de sinais: 
 
 
 
O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo. 
 
O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno de um 
eixo contido pela seção tranversal da barra em estudo. 
 
O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal. 
 
A. REAÇÕES VINCULARES 
 
Uma grelha será isostática quando tivermos apenas tres incógnitas a serem determinadas, pois 
dispomos de tres equações de equilíbrio para esta determinação. 
 
Exemplos: 
 
 
1. 
 
 
 
 
Neste caso, temos uma grelha engastada e livre, cujas reações de engaste são VD , MD e MtD , 
obtidas pelas equações disponíveis: 
 
 
ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 ΣΣΣΣ My = 0 
 
 
É conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referência junto ao engaste. 
 
 
2. 
 
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Neste segundo caso, temos uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio também podem ser 
determinadas pelas equações da estática que regem este tipo de estrutura. 
 
Podemos usar o artifício de deslocar os eixos x e y de referência fazendo-os coincidir com barras 
convenientes da grelha. 
 
Neste caso podemos iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que: 
 
Σ MAB = 0 
 
Com a aplicação desta equação de equilíbrio, determinamos VD. 
 
A seguir o eixo y será coincidente com a barras BD e aplicando a equação 
 
Σ MBD = 0 o que nos fornecerá VA . 
 
Finalmente por Σ Fz = 0 , calculamos VB. 
 
 
 
B. APLICAÇÕES 
 
Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os nós angulos 
retos, devemos analizar, por exemplo, pelo método direto, cada barra, levando-se em consideração 
os seus pontos de transição e em cada nó fazermos a conversão das solicitações devido a mudança 
de direção. 
 
O momento fletor que atua em uma determinada barra, fará o efeito de torsor em uma barra 
perpendicular a citada e vice-versa. 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
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Em uma grelha engastada e livre, não é necessário o cálculo prévio das reações vinculares, pois os 
diagramas solicitantes podem ser obtidos à partir da parte livre (Balanço) até o engaste. 
 
Fazemos sempre o estudo barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionará como 
uma viga engastada em B e livre em A. 
 
Os demais passos serão como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando por todas as 
barras. 
 
 
 
A partir dos esquemas vistos podemos obter facilmente os diagramas dos esforços solicitantes para 
a grelha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Grelha triapoiada 
 
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Cálculo das reações de apoio: 
 
Σ MBC = 0 
10 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0 ∴ VE = 60 kN 
 
Σ MCE = 0 
2 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0 ∴ VB = 20 kN 
 
ΣFV = 0 
VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0 
VC = 80 - VB - VE ou VC = 0 
 
Diagramas de Solicitações: