capitulo4 - Cinética do Crescimento Celular

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TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 51 
44.. CCIINNÉÉTTIICCAA DDOO CCRREESSCCIIMMEENNTTOO CCEELLUULLAARR 
 
4.1 Introdução 
 Quando células vivas presentes em um meio encontram condições físico-químicas favoráveis, elas 
crescem e se multiplicam. Com esse objetivo, as células realizam uma série de reações que convertem 
compostos do ambiente em massa celular. Como resultado, produtos do metabolismo são liberados no meio 
extracelular. Enquanto as condições favoráveis e ideais persistem, a velocidade específica de crescimento é 
máxima. Se o ambiente é fechado ou não permite uma mistura perfeita, compostos nutricionais se esgotam 
e produtos do metabolismo se acumulam. Esses fatores, isoladamente ou em conjunto, poderão começar a 
limitar o crescimento celular. 
 Tanto a concentração dos substratos assimilados pelas células, quanto os produtos excretados, 
podem afetar sua velocidade de crescimento e multiplicação. A variação das concentrações desses 
componentes no meio e seus respectivos efeitos sobre a fisiologia da célula caracterizam o estudo da 
cinética do crescimento celular. Esse processo pode ser descrito como: 
 
SUBSTRATO + CÉLULA → PRODUTOS EXTRACELULARES + CÉLULAS 
∑ +→+∑ nX P XS 
 
 O crescimento celular é função de muitos fatores, entre eles: 1) o número de microrganismos 
presentes; 2) a natureza e a concentração dos nutrientes no meio de cultura; 3) a genética do 
microrganismo; 4) as condições fisiológicas; 5) a história prévia do microrganismo; e 6) as condições físico-
químicas da cultura. 
 
A cinética do crescimento celular estuda as velocidades (ou taxas) de crescimento das células, de 
consumo de substrato(s) e de formação de produto(s), e os efeitos das várias condições químicas e 
físicas do ambiente sobre essas taxas. 
 
 Apesar de algumas bactérias crescerem muito lentamente, requerendo horas para a síntese de uma 
nova célula, o crescimento rápido é característico de muitas espécies, particularmente aquelas que 
precisam competir no meio por nutrientes escassos ou intermitentes. O processo total de síntese de uma 
célula de Escherichia coli, por exemplo, em meio mínimo, com glicose e minerais, dura cerca de 40 minutos 
a 37ºC e pode ocorrer em metade desse tempo em um meio rico (NEIDHARDT et al., 1990). 
 Quando a concentração de cada componente celular aumenta de forma constante e na mesma taxa, 
o crescimento é balanceado, ou seja, existe equilíbrio dinâmico. Na prática, esse é o único período onde 
todos os dados são reproduzíveis. Quando o aumento dos componentes de novas células não é constante, 
o crescimento é não-balanceado. 
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 O crescimento é irrestrito quando a concentração de nutrientes não é limitante e os compostos 
tóxicos produzidos pelas células não estão em níveis efetivos. O crescimento celular se torna restrito devido 
às mudanças no meio resultantes do próprio crescimento ou por alterações externas nas condições físicas 
e, ou, químicas, sendo as mais comuns o esgotamento de nutrientes, a redução da disponibilidade de 
oxigênio e o acúmulo de ácidos e outros produtos do metabolismo celular. 
 É possível quantificar o crescimento celular pelo rendimento, que é a medida da quantidade total de 
crescimento, ou pela taxa, que é a medida de sua velocidade. Ambas as medidas são importantes para 
entendimento dos fatores que são críticos ao processo de crescimento. 
 O estudo cinético do crescimento de qualquer célula – microbiana, vegetal ou animal – é importante 
para o entendimento, o projeto e a operação dos sistemas que empregam essas células. Além disso, o 
conhecimento da cinética do crescimento microbiano pode ser útil na determinação da vida-de-prateleira de 
produtos e na definição de pontos críticos e de estratégias de controle nos processos de conservação de 
alimentos. Em adição a esses propósitos, ainda existe o interesse pelo entendimento da fisiologia das 
células. 
 Existem diversos sistemas onde a cinética do crescimento celular é de interesse para o engenheiro, 
por exemplo: 
• produção de massa celular; 
• produção de etanol, ácidos orgânicos e solventes, enzimas e outras proteínas, aminoácidos, 
antibióticos, vitaminas, pigmentos, produtos farmacêuticos, etc.; 
• biotransformação em processos fermentativos e sistemas de tratamento de resíduos; 
• controle ou inibição do crescimento de microrganismos indesejáveis em alimentos, durante seu 
processamento, estocagem ou vida-de-prateleira. 
 Em todos esses sistemas é de fundamental importância a combinação dos conhecimentos da biologia 
e da engenharia. Com os avanços da genética, tornou-se possível a construção de células com 
características especiais, como capacidade para superproduzir medicamentos, produzir alimentos, degradar 
componentes especiais ou produzir compostos antes apenas produzidos por células vegetais ou animais. 
Essas e outras características resultam em uma variedade de aplicações que somente são obtidas com o 
trabalho de equipes multidisciplinares. 
 
 Um bom exemplo dessa combinação de conhecimentos é a produção da penicilina. Quando 
Alexander Fleming, em 1928, realizava estudos de isolamento da bactéria Staphylococcus aureus , observou 
que uma das placas havia sido contaminada por uma partícula e que nenhuma bactéria foi capaz de crescer 
próximo à partícula contaminante. Fleming entendeu que as bactérias não cresciam devido à produção de 
algum agente bactericida e, então, recuperou a partícula e isolou um fungo do gênero Penicillium. Após a 
descoberta, a cultura foi mantida em seu laboratório por aproximadamente uma década antes da realização 
de pesquisas aplicadas, em conseqüência da Segunda Guerra Mundial. Laboratórios de empresas privadas 
e governamentais, assistidos por universidades, começaram a buscar uma solução para a produção do 
composto em quantidade suficiente para sua utilização na guerra. 
 Em 1939, a concentração final do composto, a penicilina, era de 0,001 g/L, em um meio típico de 
fermentação. Entretanto, tratava-se de um produto sensível e instável, o que dificultava os processos de 
recuperação e purificação. Hoje, a concentração de penicilina no meio de fermentação alcança 
concentrações superiores a 50 g/L. Esse avanço envolveu o melhor entendimento da fisiologia do fungo, 
das vias metabólicas, da estrutura da penicilina, dos métodos de mutação e de seleção de fungos, do 
desenvolvimento de meios de cultura, do controle de processos e do projeto de reatores, o que não seria 
possível sem a combinação de conhecimentos. Durante esse período, a Merck , uma das indústrias 
farmacêuticas envolvidas, verificou que não era possível encontrar um profissional com conhecimento de 
engenharia e de biologia no nível desejado. Assim, selecionou um engenheiro e um microbiologista para 
trabalharem em todas as etapas do projeto; eles deveriam, juntos, planejar, executar e analisar o projeto 
experimental. 
Neste capítulo serão utilizados os conhecimentos adquiridos sobre cinética de reações e projeto de 
reatores para descrever, matematicamente, sistemas biológicos envolvendo crescimento celular. Também 
serão derivadas as equações aplicadas na análise e no projeto de biorreatores ideais tipo batelada, PFR e 
CSTR, ou suas combinações, e as equações para biorreatores não-ideais. Os conhecimentos adquiridos 
poderão ser facilmente estendidos para entendimento e descrição matemática do crescimento microbiano 
em alimentos in natura, processados, ou durante as diferentes etapas do seu processamento. 
 
 
 
Tarefa: Transformações resultantes do crescimento celular 
Identifique dois sistemas biológicos que envolvam transformações provocadas pelo crescimento 
celular, um no qual as transformações são desejáveis e outro no qual as transformações são 
indesejáveis. Descreva o sistema e cite fatores que podem afetar a velocidade dessas transformações. 
1) 
Descrição e fatores: 
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2) 
Descrição e fatores:4.1.1 Condições ambientais para cultivo de células 
 
 Uma etapa importante no estudo da cinética do crescimento celular é identificar, nas condições de 
crescimento, os fatores que o afetam e, com base em dados experimentais, descrever matematicamente o 
efeito de cada fator na velocidade específica de crescimento da célula. 
Células vivas podem ser encontradas nos mais diversos ambientes da natureza, desde que exista 
água no estado líquido. Temperatura, pH, nível de oxigênio e umidade variam de um microrganismo para 
outro. 
As células podem crescer desde temperaturas de -20oC, em solução salina para prevenir 
congelamento, até 120oC, onde a água encontra-se sob pressão suficientemente alta para prevenir 
evaporação. A maioria dos microrganismos eucarióticos não cresce, ou até mesmo morre, em temperaturas 
acima de 45ºC (apesar de alguns fungos terem capacidade de crescer em 60ºC), enquanto o crescimento 
bacteriano pode ocorrer em valores extremos de temperatura: -7ºC e 90ºC (DAWES e SUTHERLAND, 
1992). 
De acordo com sua faixa de temperatura para crescimento (mínima, ótima e máxima), os 
microrganismos são classificados em quatro grupos, apresentados na Tabela 4.1. A Fig. 4.1 ilustra o efeito 
da temperatura na velocidade de crescimento de microrganismos que crescem em diferentes faixas de 
temperatura. 
Tabela 4.1 – Temperaturas mínima, ótima e máxima para o crescimento de microrganismos 
Tipo de microrganismo T mínima (°C) T ótima (°C) T máxima (°C) 
Psicrófilo -5 a 5 12 a 15 15 a 20 
Psicrotrófico -5 a 5 25 a 30 30 a 35 
Mesófilo 5 a 15 30 a 45 35 a 47 
Termófilo 40 a 45 55 a 75 60 a 90 
 
 
Figura 4.1 – Faixas de temperatura para crescimento dos diferentes tipos de microrganismos, com alguns 
exemplos (BROCK et al., 1994). 
 
Muitos organismos crescem em pH ótimo próximo à neutralidade. No entanto, é possível encontrar 
organismos na natureza que crescem em ambientes com pH desde 1,0 ou 2,0 até 9,0. Da mesma forma, a 
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maioria dos organismos cresce em ambientes com elevada atividade de água, enquanto alguns podem 
crescer em meios com alta concentração de sal. 
Células que necessitam de oxigênio para crescimento e metabolismo são denominadas aeróbicas. 
Os organismos anaeróbicos têm seu crescimento inibido pela presença de oxigênio e crescem apenas na 
sua ausência. Os facultativos conseguem crescer na ausência ou na presença de oxigênio, com adaptação 
do seu metabolismo. 
Alguns organismos são capazes de crescer em ambientes com restrita presença de nutrientes. 
Algumas cianobactérias (normalmente chamadas de algas azul-verdes) podem crescer em ambiente com 
reduzida umidade e com alguns minerais dissolvidos. Essas bactérias são fotossintéticas e podem converter 
CO2 da atmosfera nos componentes orgânicos necessários. Também podem converter N2 em NH3 para 
utilização nas macromoléculas. Dessa forma, esses organismos são importantes na colonização de 
ambientes nutricionalmente deficientes. 
4.2 Determinação da concentração de células 
A quantificação da biomassa em um meio de cultura é essencial no estudo da cinética do 
crescimento celular. O crescimento pode ser estimado pelo aumento da massa celular ou do número de 
células ou, ainda, pela concentração de qualquer outro constituinte celular. As taxas de desaparecimento de 
nutrientes e de acúmulo de metabólitos também estão relacionadas ao crescimento. Quando a cultura está 
em crescimento balanceado, todas essas medidas são equivalentes e qualquer uma delas pode ser usada 
para estimar a velocidade de crescimento. 
Os métodos para quantificar biomassa podem ser classificados como diretos e indiretos . Em muitos 
casos, a quantificação direta das células, em termos do número ou da massa de células, não é possível 
devido à presença de sólidos em suspensão ou outros componentes no meio, os quais podem interferir na 
determinação, ou devido às características do crescimento celular. 
Na maioria dos estudos cinéticos, a determinação da massa celular é sempre desejada, uma vez 
que reflete tanto o aumento da massa de uma célula, como a divisão celular, o que não ocorre com a 
estimativa do número de células. 
A concentração de células pode também ser estimada por técnicas indiretas, a partir das taxas 
metabólicas ou da quantificação de um componente celular, do substrato consumido ou do produto 
formado. 
As limitações de cada método tornam sua escolha uma decisão difícil, a qual é influenciada por: 1) 
propriedades da biomassa (por exemplo: facilidade de separação do meio, idade das células ou sua taxa de 
crescimento); 2) propriedades do meio de cultura, como viscosidade, cor, presença de sólidos em 
suspensão ou matéria dissolvida; e 3) precisão, sensibilidade e velocidade das medidas. Portanto, a 
escolha pelo método ideal considera as vantagens e desvantagens de cada técnica, a finalidade dos dados 
e as condições das análises, como tempo para amostragem, disponibilidade dos materiais e instrumentos, 
bem como a cultura em estudo. 
Os métodos para quantificar biomassa podem ser relacionados entre si por meio de curvas-padrão, 
que indicam a proporcionalidade entre as medidas, permitindo ao investigador escolher o método que mais 
lhe convier e também expressar os dados de várias formas. 
4.2.1 Métodos diretos 
Peso seco. A estimativa do peso seco é o método direto mais comum, o qual envolve separação das 
células do meio por filtração ou centrifugação, lavagem das células para remoção de compostos aderidos, 
secagem até peso constante e, finalmente, pesagem. A lavagem da biomassa deve ser feita de forma a 
eliminar os compostos presentes no meio; é recomendado o uso de uma solução salina isotônica ao invés 
de água, a fim de evitar a lise celular por choque osmótico. A lavagem isotônica, entretanto, pode resultar 
em uma medida superestimada do peso, devido à remoção incompleta da solução salina, o que pode ser 
corrigido. Alguns autores sugerem que a secagem das células seja feita à 85oC, sob vácuo, enquanto outros 
sugerem a temperatura de 105oC. 
 O peso seco é, provavelmente, o parâmetro que melhor reflete a biomassa, porém o método possui 
as desvantagens de requerer uma grande quantidade de amostra e de ser demorado, não sendo adequado 
para monitoramento contínuo de uma cultura em crescimento. Esse método não pode ser aplicado se o 
meio tiver uma quantidade indeterminada de outros sólidos, além da biomassa; pode ainda ocorrer a 
precipitação não específica de materiais inorgânicos durante o processo de centrifugação ou filtração, 
podendo resultar em valores errôneos do peso. 
 
Peso úmido. Se na determinação da biomassa por pesagem direta não for realizado o processo final de 
secagem, é obtido o peso úmido. Normalmente, um determinado volume de meio é centrifugado, com 
rotação e tempo definidos, em um tubo especialmente projetado para permitir a separação e a compactação 
das células, as quais são quantificadas em termos de volume ou peso de material compactado. Esse 
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método não é tão preciso quanto o do peso seco, porém é mais rápido, sendo muito utilizado no 
monitoramento de processos industriais. 
 
Contagem de células totais em microscópio ou contador eletrônico. A biomassa pode ser estimada 
pela contagem do número total de células individuais ou organelas, como núcleo, presentes na amostra. 
 As vantagens desse método são a rapidez na obtenção dos resultados e a possibilidade de 
observação das características morfológicas dos organismos. As desvantagens incluem: 
possibilidade de células mortas não serem distinguidas das células vivas (assim como nos métodos de peso 
seco e peso úmido), a não ser que um corante adequado seja utilizado; impossibilidade de utilização do 
método para suspensões de células com baixa densidade; dificuldade de visualização de células pequenas 
no microscópio, as quais podem ser desconsideradas na contagem; procedimento demorado decontagem, 
o que pode causar cansaço visual; e impossibilidade de aplicação do método para células floculantes, como 
micélios. Existe, ainda, a possibilidade de erro quando o número de células na amostra for muito grande. 
 
Contagem de células viáveis. Esse método baseia-se na habilidade de uma única bactéria viável, com 
capacidade de se multiplicar, produzir uma colônia em um meio sólido. Meios ricos são preferenciais porque 
células individuais isoladas freqüentemente são mais exigentes nutricionalmente do que uma população 
densa. Se for utilizado meio seletivo, o método pode ser empregado para enumerar organismos de 
diferentes tipos em uma cultura mista. As amostras são adequadamente diluídas e alíquotas de volumes 
definidos são espalhadas, com uma alça de vidro estéril, na superfície do ágar solidificado em placas de 
Petri (método spread plate), ou distribuídas, com agitação adequada, após a adição da amostra em ágar 
ainda liquefeito na placa de Petri (método pour plate). As placas são, então, incubadas em condições 
apropriadas para a contagem das colônias que se desenvolverem. 
Entre as desvantagens desse método estão a possibilidade de uma colônia ser iniciada por mais de 
uma célula, subestimando o número de células na amostra, e de uma célula não apresentar capacidade de 
se multiplicar, apesar de estar viva. Por isso, os dados resultantes são expressos como UFC (Unidades 
Formadoras de Colônias) por unidade de volume. Se as células estão agregadas, o número de colônias 
reflete o número de grupos e não de células individuais. Devem ser tomados cuidados especiais com o 
tempo entre a amostragem e o plaqueamento da amostra a fim de evitar a multiplicação ou a morte celular; 
esse tempo deve ser reduzido ou as condições de estocagem da amostra devem ser apropriadas. 
É importante que a diluição da amostra seja definida de modo a evitar alta ou baixa concentração de 
células. O número de colônias desenvolvidas nas placas não deve ser muito grande, para permitir que todas 
as células cresçam e formem colônias facilmente identificadas, ou muito pequeno, para que os dados 
estatísticos sejam representativos. Na prática, é comum a contagem somente em placas que têm entre 30 e 
300 colônias. O número de colônias depende não somente do inóculo, mas também do meio de cultura 
utilizado e das condições de incubação (meio, temperatura e tempo). 
 
Número Mais Provável - NMP. Essa técnica é utilizada também para estimar o número de células viáveis e 
com capacidade de reprodução em um meio de cultura. O método consiste do preparo de diluições 
decimais sucessivas da amostra e da transferência de alíquotas dessas diluições para uma série de três ou 
cinco tubos contendo meio de cultura adequado. A estimativa do NMP baseia-se na probabilidade 
estatística de um certo número de microrganismos estar presente na amostra quando uma série de 
resultados positivos ocorre, isto é, quando o crescimento for evidenciado na amostra por algum indicador, 
como produção de gás, turbidez do meio, etc. O NMP é, então, obtido em uma tabela apropriada a partir da 
combinação de resultados positivos e negativos. A vantagem do método é a possibilidade de estimar 
pequenas concentrações de células. 
 
Densidade ótica. O uso de medidas turbidimétricas é um método simples e muito comum para estimar 
massa celular. A estimativa, baseada nas propriedades de dispersão da luz das células bacterianas, é de 
grande importância histórica, uma vez que tornou possível a medida instantânea da biomassa, essencial na 
elucidação da natureza do crescimento celular. Se um feixe paralelo de luz atravessa uma suspensão de 
células, sua intensidade é diminuída devido à absorção e à dispersão da luz pelas células, o que ocorre 
quando o índice de refração celular e do meio são diferentes. Assim, quanto mais material celular estiver 
presente, maior a turbidez do meio. 
A turbidez visível começa a se desenvolver quando a densidade celular alcança 105 – 106 /mL, 
dependendo do tamanho e do formato da célula, e pode ser determinada em um espectrofotômetro pela 
medida da luz transmitida (transmitância) ou da luz absorvida (absorbância). 
 Diversos fatores físicos e biológicos importantes, nem todos geralmente conhecidos, podem afetar a 
magnitude da turbidez de uma suspensão de microrganismos. A concentração de células, X, e o 
comprimento da onda de luz, d, são relacionados às intensidades da luz incidente, I0, e da luz transmitida, It, 
pela expressão: 
 dXA
I
I log
t
0 ⋅⋅=





 (E4.1) 
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 O valor de log(I0/It) é denominado densidade ótica (DO) e o fator A, chamado de coeficiente de 
extinção, é constante em baixas concentrações de células. 
 O grau e a direção da dispersão da luz dependem do tamanho e da forma das partículas, do 
comprimento de onda da luz e da diferença entre o índice de refração das partículas e do meio. O 
comprimento de onda escolhido deve ser tal que minimize a absorção por componentes do meio. 
Geralmente o valor de d está entre 600 e 700 nm. 
É comum a utilização da curva de calibração, entre a densidade ótica e o peso seco ou UFC/mL. 
Deve-se observar nessa curva o valor da densidade ótica na qual a relação com o peso seco deixa de ser 
linear. Normalmente esse valor é superior a 0,4. Para estimativa da concentração de células em amostras 
com densidade ótica na faixa não-linear, deve ser realizada sua diluição apropriada. 
A turbidimetria é uma medida da concentração celular muito menos sensível que a contagem de 
células, mas apresenta algumas vantagens: é rápida e não afeta ou destrói a amostra. As medidas de DO 
são muito utilizadas para determinar a velocidade de crescimento de populações celulares, uma vez que a 
mesma amostra pode ser analisada repetidamente. A cultura a ser avaliada deve ter uma densidade capaz 
de registrar alguma turvação no espectrofotômetro. Culturas em meios com coloração intensa ou que 
contenham outros materiais em suspensão, além dos microrganismos, podem não ser medidas. Além disso, 
tanto as células vivas como as mortas contribuem para a turbidez do meio. 
4.2.2 Métodos indiretos 
Concentração de um componente celular. A quantidade de um componente intracelular como, por 
exemplo, DNA, RNA, proteína e nitrogênio, pode ser determinada por método indireto para definir 
crescimento celular. A proporcionalidade entre o nitrogênio da célula e a biomassa seca somente ocorre sob 
uma faixa limitada de condições e depende da fase de crescimento na qual o microrganismo se encontra. 
A determinação da quantidade de DNA é baseada na estimativa colorimétrica da deoxirribose. O 
conteúdo de DNA, devido à sua constância e especificidade, é um bom método para estimar biomassa. 
Entretanto, esse método tem sido pouco empregado por ser mais demorado e menos sensível do que a 
quantificação de proteína. 
A quantidade de proteína é uma medida razoável do crescimento, por constituir, normalmente, a 
maioria (50-70%) do peso seco orgânico da célula. O método a ser utilizado depende do propósito do 
experimento e da quantidade de material envolvido. Recentemente, kits para determinação de proteína são 
encontrados no mercado e permitem uma determinação simples e rápida, comparada ao método de 
Kjeldahl. 
 
Concentração de ATP. A concentração intracelular de ATP (mg ATP/mg células) é aproximadamente 
constante em um certo organismo, podendo ser utilizada para estimar concentração de biomassa. O método 
baseia-se na atividade da enzima luciferase, que catalisa a oxidação de luciferina na presença de oxigênio e 
ATP, com a emissão de luz: 
LUCIFERINA + O2 + ATP → LUZ 
 
Quando luciferina e oxigênio estão em excesso, o total de luz emitida é proporcional ao total de ATP 
presente na amostra. A intensidade de luz emitida é medida em fotômetros. Esse método apresenta a 
vantagem de detectar pequenas quantidades de células, já que pequenas quantidades de ATP (10 – 12 g 
ATP/L) podemser medidas por fotômetros. 
 
Taxa de utilização de nutriente ou de formação de produto. Algumas vezes, a formação de produtos e o 
consumo de substratos, como nitrato, fosfato ou sulfato, podem ser utilizados para estimar crescimento 
celular. Para esse método devem ser evitados os nutrientes usados na formação de produtos, ou seja, a 
utilização de fontes de carbono e as taxas de consumo de oxigênio podem ser medidas para monitorar o 
crescimento quando a massa celular for o produto preponderante. 
 Os produtos finais do metabolismo da célula também podem ser usados para monitorar e quantificar 
crescimento celular. Alguns produtos formados sob condições de anaerobiose, como etanol e acido lático, 
podem ser relacionados, de forma precisa, com massa celular. Nos processos aeróbicos, o produto mais 
utilizado é CO2. 
 Mudanças no pH ou no consumo de ácido ou base em sistemas de controle de pH podem também 
ser utilizados, tanto para monitorar consumo de nutriente, como para crescimento de células. 
 Em alguns processos onde ocorre o crescimento micelial de fungos ou a formação de polissacarídeos 
extracelulares por certos microrganismos, a viscosidade do meio, que pode aumentar durante o crescimento 
celular, pode ser também utilizada para estimar crescimento. 
 
 
 
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4.3 Ciclos de crescimento para cultura em batelada 
 
Na cultura de células em um biorreator tipo batelada pode ocorrer um intervalo de tempo entre a 
inoculação e o início do crescimento rápido, conhecido como fase lag e caracterizado pela ausência de 
crescimento. O final da fase lag é seguido pela fase de crescimento exponencial. Como as células não 
alcançam simultaneamente o fim da fase lag, um curto período de tempo é observado entre o final dessa 
fase e o início da fase exponencial, denominado fase de crescimento acelerado. O crescimento exponencial 
é seguido por um período curto, a fase de crescimento desacelerado, na qual a fisiologia celular encontra-se 
em constante mudança, função das condições do meio, como limitação de substrato ou inibição por 
produtos excretados pelas células. A fase de desaceleração é seguida pela fase estacionária, durante a 
qual as taxas de produção de células e de morte são iguais. Após a fase estacionária, a morte celular se 
torna maior que a produção de células viáveis, caracterizando a fase de morte (ou de declínio), sendo esta 
também uma função logarítmica. A presença e a duração de cada fase depende da célula e das condições 
ambientais. 
Uma curva típica do ciclo de crescimento de células em uma cultura em batelada é representada na 
Fig. 4.2, na qual podem ser observadas as seis fases distintas. 
 
 
Figura 4.2 – Curva de crescimento típica para organismos unicelulares. 
 
I. Fase lag: período de tempo durante o qual a variação do número de células é zero. 
II. Fase de crescimento acelerado: o número de células começa a aumentar em conseqüência da 
velocidade específica de crescimento, que aumenta até atingir um valor máximo. 
III. Fase de crescimento exponencial: o número de células aumenta exponencialmente à medida que as 
células se dividem. Durante essa fase, a velocidade de divisão celular e a velocidade específica de 
crescimento permanecem constantes. 
IV. Fase de crescimento desacelerado: após a velocidade de crescimento alcançar um valor máximo, 
começa um período de desaceleração, tanto da velocidade de crescimento como da velocidade de 
divisão. 
V. Fase estacionária: a população de células alcança um valor máximo. 
VI. Fase de morte ou de declínio: após esgotamento dos nutrientes disponíveis e, ou, acúmulo de 
produtos metabólicos, as células começam a morrer e o número de células viáveis diminui. 
 
É necessário enfatizar que as fases de uma curva de crescimento celular são reflexões dos eventos 
em uma população. As descrições a seguir não se aplicam a células individuais, mas somente a populações 
de células. 
 
Fase lag. Período de adaptação das células ao novo ambiente, iniciado imediatamente após a inoculação, 
quando ocorre, então, intensa atividade metabólica. Na fase lag, as células reorganizam a sua constituição 
molecular em função do ambiente. Dependendo da composição de nutrientes, novas enzimas precisam ser 
sintetizadas, a síntese de outras enzimas é reprimida, e todo o metabolismo da célula é adaptado às novas 
condições de crescimento. Apesar do número de células permanecer constante, a massa celular pode 
aumentar durante esse período. 
 
A fase lag (estacionária inicial ou latente) é um período inicial de cultura, durante o qual a variação 
no número de células é zero ou desprezível, podendo ser caracterizado como fase de adaptação das 
células. 
 
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 Baixas concentrações de nutrientes e de fatores de crescimento podem causar a fase lag. O tempo 
da cultura ou a fase de crescimento do inóculo, bem como a porcentagem de inóculo, também afetam a 
extensão do período lag. Para eliminar ou minimizar essa fase, recomenda-se a utilização de um inóculo 
ativo, estando as células na fase exponencial de crescimento, em um meio idêntico ao definitivo, sendo a 
porcentagem de inóculo entre 5 e 10%. 
 Em processos industriais, é desejável reduzir ou eliminar a fase lag por se tratar de um período 
improdutivo. Quando se trabalha com grandes biorreatores, é necessário ter uma série de tanques 
progressivamente maiores e com meios de cultura idênticos ou semelhantes para se reduzir ou eliminar 
essa fase. Uma alternativa comum na indústria de laticínios é a utilização de culturas starts, congeladas ou 
desidratadas, com alta concentração de células, já adaptadas ao meio. 
É possível observar mais de uma fase lag quando o meio contém mais de uma fonte de carbono e a 
célula consome os substratos em seqüência, não simultaneamente. Esse fenômeno, chamado de diauxia, é 
causado pela troca de uma via metabólica para outra, durante o crescimento. Normalmente, a seqüência de 
nutrientes consumidos está relacionada com o valor da velocidade específica de crescimento da célula 
proporcionada por cada nutriente: a célula consumirá primeiro o substrato que proporcionará a maior 
velocidade específica de crescimento ou a maior eficiência energética. A Fig. 4.3 ilustra graficamente a 
relação entre o log da concentração de células e o tempo de cultivo, quando a célula cresce em meio com 
diferentes substratos. 
 
Figura 4.3 – Fenômeno da diauxia no crescimento celular: a célula consome preferencialmente o substrato 
que lhe garante maior velocidade de crescimento; após o esgotamento desse substrato, 
ocorre um período de adaptação das células (fase lag) para alteração de sua via 
metabólica e consumo de outro substrato. 
 
Existem também interpretações errôneas, verificadas em diversos trabalhos científicos, que 
confundem fase lag com sensibilidade do equipamento de medida da concentração celular. A maioria dos 
espectrofotômetros utilizados em laboratórios não é sensível a, por exemplo, concentrações de bactérias 
inferiores a 105 – 106 UFC/mL. Dessa forma, se forem utilizadas concentrações iniciais de células para as 
quais variações na concentração não são detectadas pela técnica de determinação utilizada, as mudanças 
na concentração apenas serão observadas quando as células alcançarem populações detectáveis pelo 
equipamento. Portanto, esse período de tempo não pode ser confundido com fase lag. 
A duração da fase lag pode ser estimada por um método gráfico, proposto por PIRT em 1975, no 
qual são representados os valores de log (ou ln) da concentração de células, logX (ou lnX) versus tempo, 
como mostrado na Fig. 4.4, utilizando os dados obtidos na fase exponencial de crescimento. A parte linear 
da curva é extrapolada até o nível de biomassa inicial, ou seja, até cruzar a linha reta que representa log (ou 
ln) da concentração inicial de células, logX0 (ou lnX0). Pelo ponto em que as retas se cruzam, estima-se o 
tempo de duração (L)da fase lag. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 59 
 
Figura 4.4 – Método gráfico para estimativa da extensão da fase lag. 
 
O período de transição entre a fase lag e a fase exponencial de crescimento é chamado de fase de 
crescimento acelerado e é freqüentemente incluído como parte da fase lag. 
 
Fase de crescimento exponencial . Durante essa fase, a célula encontra-se adaptada ao meio, crescendo 
sem nenhuma limitação (crescimento irrestrito). O microrganismo pode crescer tão rápido quanto possível, 
limitado somente por seu próprio potencial genético. Os sistemas metabólicos da célula operam com 
eficiência e taxas máximas. Se todos os requerimentos para esse crescimento são mantidos em níveis 
constantes e em excesso por um certo período de tempo, então, durante esse intervalo de tempo, dt, 
espera-se que o aumento na biomassa, dX, seja proporcional à concentração de células presentes no meio: 
 ìXdt
dX
rX == (E4.2) 
sendo rX a velocidade de crescimento celular, X a massa de células por unidade de volume da cultura e µ a 
constante de proporcionalidade, definida como velocidade específica de crescimento, cuja unidade é o 
inverso do tempo. 
 Depois de um certo tempo de crescimento irrestrito, a concentração de todos os constituintes 
celulares começa a aumentar na mesma proporção sobre o mesmo intervalo de tempo. Em outras palavras, 
o tempo necessário para duplicar o número de células será o mesmo tempo gasto pelas células para 
duplicar seu conteúdo de DNA, ribossomas, moléculas individuais de enzimas, etc. Esta é a condição 
especial chamada de crescimento balanceado que, apesar de ocorrer por um tempo considerável em 
laboratório, normalmente não persiste por um longo período de tempo em ambientes naturais. O 
crescimento é geralmente não-balanceado para a maioria das bactérias em condições naturais. 
 
A fase exponencial é a fase de crescimento balanceado na qual todos os componentes da célula 
aumentam na mesma taxa e a velocidade específica de crescimento, µµ, é constante e máxima, para 
as condições químicas e físicas do ambiente. 
 
 A composição média de uma cultura permanece aproximadamente constante durante o período de 
crescimento balanceado. A velocidade específica de crescimento será a mesma, independente da unidade 
de concentração da biomassa (número ou massa de células). 
 A velocidade específica de crescimento não deve ser confundida com a velocidade de crescimento, 
que tem unidade e significado diferente. A velocidade de crescimento é a mudança na concentração de 
células com o tempo, enquanto a velocidade específica de crescimento é a variação da concentração de 
células por unidade de tempo por unidade de massa celular, expressa por: 
 
dt
dlnX
dt
dX
X
1
ì == (E4.3) 
Se µ é constante durante o período de crescimento exponencial, a Eq. (E4. 3) pode ser integrada 
dos tempos t0 = 0 a t: 
 ∫∫ = t0
X
0X
ìdt
X
dX
 (E4.4) 
 tXlnXln 0 µ+= (E4.5) 
 t0 eXX
µ⋅= (E4.6) 
 
 O tempo requerido para ocorrer a duplicação da população é denominado tempo de geração, tG, o 
qual pode ser estimado a partir da Eq. (E4.5). Considerando X = 2X0 quando t = tG: 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 60 
G00 ìtlnX)ln(2X += 
G
0
0 ìt
X
2X
ln = 
 ì
ln2
tG = (E4.7) 
 Os tempos de geração variam muito entre os organismos. Muitas bactérias têm tempos de geração de 
1-3 horas, mas os organismos que crescem um pouco mais rápido se dividem em 10 minutos, enquanto 
outros têm tempos de geração de várias horas ou mesmo dias (BROCK et al., 1994). Na Tabela 4.2 são 
apresentados os tempos de geração para algumas bactérias crescendo em diferentes temperaturas. 
 
Tabela 4.2 – Tempos de geração para algumas bactérias em meios complexos 
Organismo Temperatura (°C) tG (min) 
Vibrio natriegens 37 9,6 
Bacillus stearothermophillus 60 8,4 
Escherichia coli 40 22,8 
Bacillus subtilis 40 25,8 
Pseudomonas putida 30 45 
Vibrio marinus 15 81 
Rhodobacter sphaeroides 30 132 
Fonte: NEIDHARDT et al., 1990. 
 
Fase de crescimento desacelerado. É o período que segue a fase exponencial. Após certo tempo 
crescendo exponencialmente, sem limitação, um ou mais substratos podem alcançar concentração baixa o 
suficiente para não permitir um crescimento pleno, reduzindo assim a velocidade específica de crescimento 
da célula. Além disso, produtos tóxicos produzidos pelas células podem atingir concentrações altas que 
reduzem a velocidade específica de crescimento. Esses efeitos podem atuar individualmente ou 
combinados. Como resultado, a velocidade específica de crescimento diminui do seu valor máximo até zero, 
ou até a paralisação do crescimento, quando a cultura entra na fase estacionária. 
 
A transição entre as fases exponencial e estacionária, chamada de fase de crescimento 
desacelerado, envolve um período de crescimento não-balanceado, durante o qual a taxa de síntese 
dos vários componentes celulares é desigual. 
 
 Em um crescimento bacteriano típico, essa fase representa um período de tempo bastante curto e 
resulta em um crescimento não-balanceado, porque a síntese de alguns componentes celulares diminui ou 
pára antes de outros. Durante a fase de crescimento desacelerado, o estresse provocado pela limitação de 
nutrientes e, ou, acumulação de produtos tóxicos, induz uma reorganização da célula na tentativa de 
aumentar sua capacidade de sobrevivência no meio, com mecanismos moleculares de repressão e indução. 
Como estas mudanças acontecem muito rapidamente, a fisiologia celular da fase de crescimento 
desacelerado é mais bem estudada em biorreatores contínuos, discutidos no final deste capítulo. 
 
Fase estacionária. Durante a fase de crescimento desacelerado, em conseqüência das características do 
meio, as células podem começar a morrer. A fase estacionária inicia quando a velocidade específica de 
crescimento se torna igual à velocidade específica de morte. Durante este período, a maioria da energia 
produzida pela célula é direcionada para a sua manutenção no ambiente adverso. 
 
O início da fase estacionária é caracterizado pelo esgotamento de nutriente(s) ou pelo acúmulo de 
produto(s) inibidor(es). Nessa fase, a velocidade específica de crescimento é igual à velocidade 
específica de morte. 
 
 Assim, mesmo com crescimento global igual a zero, as células continuam apresentando atividades 
metabólicas, produzindo metabólitos secundários e primários, para produção de energia necessária à sua 
sobrevivência. De modo geral, metabólitos primários são associados ao crescimento e metabólitos 
secundários são associados a massa celular. Existem também produtos, a exemplo do ácido lático, 
associados ao metabolismo primário e que são produzidos durante todas as fases de crescimento, 
enquanto existir células com atividade metabólica, sendo sua produção, portanto, associada ao crescimento 
e também à massa celular (não-associado ao crescimento). Alguns compostos, como antibióticos (penicilina 
e estreptomicina), hormônios e algumas enzimas, são produzidos principalmente durante a fase 
estacionária. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 61 
 Durante a fase estacionária, as células podem apresentar comportamentos diferentes, dependendo 
das células e das condições de estresse. Por exemplo: 
1. A massa total de células pode permanecer constante, com a redução das células viáveis. 
2. A lise celular ocorre com a redução das células totais e viáveis e, nesse caso, pode ocorrer 
crescimento devido à utilização de produtos liberados pelas células lisadas. 
3. As células podem não crescer, porém podem se manter vivas com metabolismo ativo para produção 
de metabólitos secundários. A regulação das células é modificada quando concentrações de certos 
metabólitos (carbono, nitrogênio,fosfato) são baixas. 
 
 Assim como para o crescimento, a morte das células é uma função exponencial, representada por: 
 XK
dt
dX
D−= (E4.8) 
sendo KD a velocidade específica de morte, função de diferentes fatores presentes no meio. 
 
Fase de declínio ou morte. A fase de declínio ocorre quando a velocidade específica de crescimento é 
menor que a velocidade específica de morte. 
 Em algumas situações, é necessário representar a variação da concentração de células viáveis, XV, e 
de células totais, XT, com o tempo. Nesses casos, para células viáveis: 
 VD
V X )K(ì
dt
dX
−= (E4.9) 
e, para células totais: 
 V
T ìX
dt
dX
= (E4.10) 
 
 Para maiores informações sobre os métodos de determinação da biomassa, e também sobre o ciclo 
de crescimento de populações celulares, descrito a seguir, são sugeridos os seguinte livros: 
 
1. BROCK, T. D.; MADIGAN, M. T.; MARTINKO, J. M.; PARKER, J. Biology of microorganisms. New 
Jersey: Prentice Hall, Inc., 7. Ed., 1994. Cap. 9 
2. CALDWELL, D. R. Microbial physiology and metabolism . Belmont: Star Publishing Company, 2. Ed., 
2000. Cap. 5 
3. COOPER, S. Bacterial Growth and Division. Academic Press, Inc. 1991. 
4. NEIDHARDT, F. C.; INGRAHAM, J. L.; SCHAECHTER, M. Physiology of the bacterial cell: a 
molecular approach. Sunderland: Sinauer Associates, Inc., 1990. Cap. 7 
5. PIRT, S. J. Principles of microbe and cell cultivation. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1975. 
Cap. 3 
4.4 Quantificação da cinética de crescimento 
 Diferente da cinética de reações químicas ou de reações catalisadas por enzimas, a cinética de 
crescimento celular é o resultado de numerosas e complexas reações bioquímicas e de fenômenos de 
transporte, os quais envolvem múltiplas fases e multicomponentes. O processo de síntese de uma nova 
célula envolve mais de 2.000 reações químicas de grande variedade de tipos. Algumas dessas reações 
envolvem transformações energéticas, outras estão relacionadas com a biossíntese de moléculas 
pequenas, macromoléculas (DNA, RNA, proteínas, etc.), e também cofatores e coenzimas, necessários 
para as reações enzimáticas. 
 É possível distinguir o processo de crescimento celular em dois componentes: o componente 
biológico, formado pela população de células, e o componente físico-químico, que consiste do meio de 
cultura e das condições ambientais. 
A obtenção de uma descrição completa da cinética de crescimento de uma cultura deveria 
considerar a natureza estruturada de cada célula, formada por seus diversos componentes, e a segregação 
da cultura em unidades individuais (células), que podem ser diferenciadas entre si. Uma população de 
células em crescimento pode variar em tamanho, composição, idade e atividade metabólica. Sendo assim, o 
modelo deveria possuir os mesmos atributos. 
O modelo estruturado divide a célula em diferentes componentes e, quando representativo, deve 
refletir as alterações na relação entre esses componentes em função das mudanças ambientais. Da mesma 
forma, se o modelo de uma cultura é construído considerando unidades discretas, estará copiando a 
segregação observada no sistema real. Um modelo, portanto, dependendo dos seus objetivos, pode ser: 
estruturado e segregado; estruturado e não-segregado; não-estruturado e segregado; e não-estruturado e 
não-segregado. Os modelos estruturados e segregados são os mais realísticos, mas também os mais 
complexos em termos computacionais e, em especial, para validação experimental. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 62 
Uma visão conceitual das diferentes aproximações e representações para o conteúdo biológico do 
sistema estão apresentadas na Fig. 4.5. Essa perspectiva classifica as aproximações para sistemas 
microbianos de acordo com o número de componentes usados na representação das células, se formadas 
por diferentes componentes ou apenas como uma “massa celular”, e se as células são vistas como uma 
população heterogênea de unidades individuais, como elas realmente são, ou como uma “mistura 
homogênea de células”, tornando-se assim conceitualmente semelhante aos demais componentes na 
solução. 
 
 
Figura 4.5 – Diferentes perspectivas para as representações da cinética de populações celulares 
(modificado de Bailey, Ollis, 1986). 
 
 Um modelo não-estruturado considera que as células têm composição fixa, ou seja, assume 
crescimento balanceado. Durante a fase de crescimento exponencial de culturas contínuas em regime 
permanente, esta é uma consideração válida; assumir crescimento balanceado é inválido durante condições 
transientes. Se for considerado que a célula responde rapidamente a mudanças no ambiente, e se a 
magnitude dessas mudanças não é tão grande (isto é, variação de 10% a 20% em relação à condição 
inicial), então o uso de modelos não-estruturados é justificado. 
 
As representações celulares multicomponentes são denominadas estruturadas, enquanto aquelas 
que são componentes únicos são não-estruturadas. 
A consideração de células diferenciadas, heterogêneas, constitui um modelo segregado e a 
perspectiva não-segregada considera propriedades celulares médias. 
 
 Os níveis de realismo e de complexidade do modelo dependem do sistema que se pretende 
descrever e dos objetivos do modelo. O modelador deve sempre procurar escolher o modelo mais simples, 
que descreve o sistema com precisão satisfatória. 
 Além das aproximações para o componente biológico, são também importantes as aproximações e 
considerações para o componente físico-químico. Como já mencionado, a célula consome diferentes 
nutrientes em taxas variadas durante seu processo de crescimento e, ao mesmo tempo, produz diversos 
produtos, que se acumulam à medida que a célula cresce. Alguns desses produtos são liberados para o 
meio (extracelular), enquanto outros permanecem no citoplasma. Assim, o meio de cultura é um sistema 
multicomponente que, além de conter todos os nutrientes requeridos para o crescimento, contém 
subprodutos do metabolismo celular. 
 A descrição das variações nas concentrações de todos os nutrientes e produtos extracelulares que 
acontecem no meio durante o crescimento é, para a maioria dos sistemas, desnecessária. Portanto, nos 
modelos são normalmente considerados apenas aqueles compostos que apresentam variações nas suas 
concentrações em níveis capazes de causar algum efeito no crescimento celular. 
 Uma fase importante e laboriosa no desenvolvimento de um modelo matemático para simular o 
crescimento celular é sua descrição para posterior simplificação, com relação ao componente biológico e ao 
componente físico-químico do sistema. 
 Para análise e descrição de populações celulares visando o projeto, a otimização e, ou, o controle de 
sistemas biológicos, é comum assumir o caso mais idealizado: modelo não-segregado e não-estruturado. 
No entanto, para algumas situações, como no estudo da fisiologia celular, pode ser necessário empregar 
modelos mais complexos para a fase biológica do sistema. 
 Neste capítulo serão considerados apenas os modelos não-estruturados e não-segregados, mas 
recomenda-se a busca por informações sobre outros tipos de modelos. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 63 
4.5 Fatores que afetam a velocidade de crescimento 
Uma etapa importante no estudo da cinética do crescimento celular é a definição dos fatores 
químicos e físicos que afetam significativamente os coeficientes cinéticos. Por exemplo, se a temperatura 
for um fator que pode variar em níveis representativos no sistema estudado, é fundamental definir 
quantitativamente o efeito dessa variação na velocidade específica de crescimento, dentro da faixa de 
interesse definida. Esse estudo é essencial para desenvolver e otimizar métodos de conservação de 
alimentos e assegurar a eficiência em processos fermentativos. 
Por conseguinte, uma das tarefas do pesquisador que pretende descrever a cinética do crescimento 
da célula é quantificaro efeito dos fatores que afetam o crescimento celular, ou definir a função para 
velocidade específica de crescimento: 
 ( )1 2 n 1 2 n 1 2 nì = f S , S ,..., S , P, P,..., P, I, I,..., I , T,... (E4.11) 
 e também para os demais coeficientes cinéticos. 
 Como o crescimento celular é conseqüência de muitas reações bioquímicas, os fatores que o afetam 
são os mesmos que afetam a taxa de reações bioquímicas em geral, incluindo disponibilidade de 
substratos, presença de produtos e parâmetros físicos, como temperatura, pH e pressão. Uma vez que 
algumas reações requerem oxigênio, enquanto outras são inibidas por condições oxidantes, a concentração 
de oxigênio é também um fator importante. O solvente para a maioria das reações celulares é água e, 
portanto, as condições que reduzem sua disponibilidade para a célula também afetam o crescimento. 
 A inibição do crescimento celular é análoga à inibição de reações enzimáticas. O efeito inibidor, seja 
por baixa concentração de substrato, ou por alta concentração de produto, de compostos tóxicos ou mesmo 
de substratos, será controlado por uma etapa de uma das vias metabólicas, na maioria dos casos. A etapa 
controladora será a reação, catalisada por uma enzima, mais sensível ao componente inibidor. 
 Como a definição do mecanismo de inibição, para posterior proposição da relação matemática, não é 
uma tarefa simples e pode envolver mais de uma reação ou mecanismo para um mesmo composto inibidor, 
a descrição do seu efeito é obtida a partir do ajuste de dados experimentais a uma equação matemática. 
4.5.1 Concentração de substrato 
Quando apenas a concentração de um substrato varia e todas as demais condições são mantidas 
constantes durante o crescimento celular, o efeito da concentração limitante desse substrato na velocidade 
específica de crescimento, µ, terá o comportamento hiperbólico ilustrado na Fig. 4.6 (linha sólida). Uma das 
expressões mais empregadas para representar o efeito da concentração de substrato limitante, (S), no valor 
de µ, é a equação proposta por Monod, em 1942, que tem a mesma forma da equação normalmente 
associada com a cinética de reações enzimáticas com um único substrato (equação de Michaelis-Menten): 
 o
S
ì (S)ì
K (S)
=
+
 (E4.12) 
sendo µo a velocidade específica de crescimento máxima para as condições de crescimento específicas, 
obtida quando o substrato limitante em estudo (S) está em excesso, ou seja, (S) >> KS, e as demais 
condições dos fatores que afetam o crescimento são constantes. 
 Neste capítulo será utilizado µo para se referir à velocidade específica máxima para crescimento em 
condições específicas, sendo µmáx a velocidade máxima de crescimento da célula, nas condições 
fisiológicas ideais. 
 Monod propôs que a relação entre a velocidade específica de crescimento e a concentração de 
substrato segue uma cinética de primeira ordem para concentrações muito baixas de substrato, sendo µ 
constante para altas concentrações de substrato. Esse comportamento, representado graficamente na Fig. 
4.6 (linha cheia), é descrito pela Eq. (E4.12). 
 
 
Figura 4.6 – Relação entre a velocidade específica de crescimento e a concentração de substrato 
limitante, de acordo com a equação de Monod. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 64 
 A equação proposta por Monod foi derivada empiricamente e é um modelo simplificado do 
complexo sistema de crescimento celular ou mesmo da utilização de substrato pela célula. Os parâmetros 
µmáx e KS podem ser estimados a partir de estudos em laboratório. 
 As equações de Michaelis-Menten e de Monod são diferentes, apesar de terem a mesma forma. A 
equação de Michaelis-Menten representa a taxa de formação de produto em uma reação catalisada por 
enzima e, como foi visto no capítulo 4, é um modelo mecanístico: 
 
)S(K
)S(v
dt
dP
m
máx
+
= (E4.13) 
 Um dos produtos de interesse formado durante o crescimento de microrganismos é massa celular. 
Então, pela equação de Monod (E4.12): 
 X 
(S)K
(S)ì
ìX
dt
dX
S
máx






+
== (E4.14) 
 De acordo com a equação de Monod, o aumento na concentração do nutriente limitante, após µ 
atingir o valor µmáx, não afeta a velocidade específica de crescimento, como mostrado na Fig. 4.6. Quando 
(S) << KS, existe uma relação linear entre a velocidade específica de crescimento e a concentração de 
substrato (Eq. E4.12), indicada pela região A da Fig. 4.6; na região B, a equação de Monod se aplica e C é 
uma região de alta concentração de substrato, isto é, (S) >> KS, ou, também de acordo com a Eq. (E4.12), µ 
= µmáx (linha sólida). 
 
O termo KS é um coeficiente do sistema, chamado de constante de saturação; seu valor é igual à 
concentração do nutriente limitante quando a velocidade específica de crescimento é metade do seu 
valor máximo. 
 
 Sendo assim, a partir da Eq. (E4.12) e para KS = (S): 
(S)(S)
(S)ìmáx
+
=µ 
(S)2
(S)ìmáx=µ 
2
ìmáx=µ 
Os valores de KS estão inversamente relacionados à afinidade do microrganismo pelo substrato e 
geralmente são muito baixos. Na Tabela 4.3 são apresentados alguns valores de KS para microrganismos 
em diferentes fontes de carbono e de energia. 
 
Tabela 4.3 – Valores da constante de saturação, KS, para alguns microrganismos em diversos substratos 
Microrganismo Substrato KS (mg/L) 
Aspergillus Arginina Glicose 
0,5 
5,0 
Candida Glicerol Oxigênio 
4,5 
0,45 
Enterobacter (Aerobacter) aerogenes 
Amônia 
Glicose 
Magnésio 
0,1 
1,0 
0,6 
Escherichia coli 
Glicose 
Lactose 
Manitol 
Fosfato 
Triptofano 
2,0-4,0 
20,0 
2,0 
1,6 
0,001 
Klebsiella sp. 
Dióxido de carbono 
Magnésio 
Potássio 
Sulfato 
0,4 
0,56 
0,39 
2,7 
Pseudomonas sp. Metano 
Metanol 
0,7 
0,4 
Saccharomyces cerevisiae Glicose 25,0 
Fonte: ATKINSON e MAVITUNA, 1991. 
 
 Os parâmetros cinéticos são muito importantes para estudo do crescimento de culturas mistas. O 
gráfico de Monod para dois organismos com valores diferentes de µmáx e KS é mostrado na Fig. 4.7. Pode 
ser observada uma situação na qual um organismo (com maior valor de µmáx) poderia prevalecer na cultura, 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 65 
em relação a um outro, em altas concentrações de substrato, enquanto o outro organismo poderia crescer 
mais rápido em baixas concentrações de substrato, devido à sua maior afinidade pelo substrato (menor 
valor de KS). 
 
Figura 4.7 – Relação entre velocidade específica de crescimento e concentração de substrato para uma 
cultura mista. Acima da concentração de substrato indicada, o organismo 1 cresce mais 
rápido; abaixo dessa concentração, o organismo 2 prevalece por ter KS menor e, portanto, 
maior afinidade pelo substrato (modificado de Dawes e Sutherland, 1992). 
 
 Em altas concentrações de substrato, o crescimento celular pode ser inibido, isto é, a velocidade 
específica de crescimento pode ser reduzida à medida que (S) aumenta na região C da Fig. 4.6 (linha 
tracejada). Para esses casos, a equação de Monod não se aplica e uma outra relação deve ser utilizada. A 
Eq. E4.15, proposta por Andrews em 1968, apresenta o mesmo formato do modelo para inibição da reação 
enzimática por alta concentração de substrato e tem sido bastante utilizada: 
 
 








++
=
I
2
S
máx
K
(S)(S)K
(S)ì
ì (E4.15) 
sendo KI a constante de inibição. 
 Se o nutriente limitante é a fonte de energia para a cultura, uma certa quantidade de substrato pode 
ser usada para outros propósitos, além de crescimento. Alguns modelos incluem o termo m, que representa 
o gasto de energia com manutenção da célula: 
 m
(S)K
(S)ì
ì
S
máx −
+
= (E4.16) 
 Quando a concentração de substrato, (S), é tão pequena de forma que o primeiro termo do lado 
direito da Eq. (E4.16) é menor ou igual a m, a velocidade específica de crescimento, µ, é igual a zero. 
 Outras equações têm sido propostas para descrever o efeito de umsubstrato limitante na velocidade 
específica de crescimento e, dependendo do formato da curva µ versus (S), uma ou outra equação pode ser 
escolhida. As seguintes equações são alternativas para a equação de Monod: 
 - Equação de Blackman: 
 máxµ=µ se S � 2KS 
 
S
máx
K2
)S(µ
=µ se S < 2KS 
 - Equação de Verhulst (1839): 
 



−µ=µ
X
X
1 0 máx 
 - Equação de Tessier (1942): 
 (S)máx s1 e /K
− µ = µ −  
 - Equação de Moser (1958): 
 [ ] 1nSmáxn
S
n
máx )S(K1
)S(K
)S( −−+µ=
+
µ
=µ 
 - Equação de Contois (1959): 
 
)S(XK
)S(
SX
máx
+
µ
=µ 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 66 
 Apesar da equação de Blackman sempre representar os dados experimentais melhor do que a 
equação de Monod, sua aplicação é limitada devido à sua descontinuidade. A equação de Tessier 
apresenta dois coeficientes de ajuste: k e µmáx. A equação de Moser é uma forma geral, equivalendo à 
equação de Monod quando n = 1. A equação de Contois tem uma constante de saturação proporcional à 
concentração de células que descreve limitação por substrato para altas concentrações de células. 
 Essas equações podem ser descritas por uma única equação diferencial: 
 
 ν = ⋅ ν − νa bd K (1 )
d(S)
 (E4.17) 
em que ν = µ/µmáx(S) é a concentração do substrato limitante e K, a e b são constantes. 
 Os valores das constantes são diferentes para cada equação e são apresentados na Tabela 4.4. 
 
Tabela 4.4 – Constantes para a equação diferencial da velocidade específica de crescimento (E4.17) 
Equação a b K 
Monod 0 2 1/KS 
Tessier 0 1 1/K 
Moser 1-1/n 1+1/n n/KS
1/n 
Contois 0 2 1/KSX 
 
 Se várias substâncias podem limitar o crescimento de um microrganismo, cada substrato deve ser 
avaliado individualmente e seu efeito descrito por uma das equações. Conhecidas as equações para cada 
substrato, uma equação conjunta pode ser composta na forma: 
 = ⋅ ⋅máx 1 2 3ì ì f ( S ) f(S ) f(S )... 
 É possível, também, não empregar a forma interativa e avaliar o efeito dos diversos substratos 
separadamente: µ = µmáx(S1) ou µ = µmáx(S2) ou . . . µ = µmáx(Sn), em que o menor valor de µ = µmáx(Si) é 
utilizado. 
4.5.2 Concentração de produtos e de compostos tóxicos 
À medida que as células crescem, elas produzem substâncias metabólicas que podem se acumular 
no meio. O crescimento dos microrganismos é geralmente inibido por esses produtos, cujo efeito pode ser 
adicionado à equação que descreve a velocidade específica de crescimento. As Eqs. (E4.18) a (E4.21) 
apresentam a descrição matemática para o efeito das concentrações de um substrato (equação de Monod) 
e de um produto no crescimento da célula: 
 





+




+
=
(P)K
K 
(S)K
(S)ìì
P
P
S
máx (E4.18) 
 
n
mS
máx )(P
(P)1 
(S)K
(S)ìì 





−





+
= (E4.19) 
 














−





+
=
n
mS
máx )(P
(P)
1 
(S)K
(S)
ìì (E4.20) 
 P(P)/K
S
máx e (S)K
(S)ìì −





+
= (E4.21) 
sendo KP a constante de saturação para o produto medido e (Pm) a concentração máxima de produto, acima 
da qual as células não apresentam crescimento (µ = 0). 
 
 
Tarefa: Efeito de S e P em µµ 
 
a) Utilizando as equações mencionadas para descrever o efeito da concentração de produtos ou 
de compostos tóxicos na velocidade específica de crescimento, esboce gráficos de µ versus (P). 
b) Qual a diferença básica entre as Eqs. (E4.19) e (E4.20) em relação ao valor de n? 
c) Analise as Eqs. (E4.19) a (E4.21) e cite suas características comuns e distintas. 
d) Esboce os gráficos para cada uma das equações. 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.3 Condições ambientais 
 As atividades microbianas são influenciadas pelas condições químicas e físicas do meio de cultura, 
como suprimento de oxigênio, temperatura, pH, atividade de água e pressão osmótica do meio. O 
entendimento do efeito das condições ambientais na velocidade específica do crescimento celular ajuda a 
explicar a distribuição dos microrganismos na natureza e torna possível o desenvolvimento de métodos para 
controle de atividades microbianas e crescimento de organismos indesejáveis. 
 
Oxigênio. O estudo dos efeitos do oxigênio nas culturas microbianas foi iniciado por Pasteur, que descobriu 
que leveduras obtinham energia para crescimento pela oxidação do açúcar ou pela conversão anaeróbica 
do açúcar em etanol e dióxido de carbono. O oxigênio inibe os processos anaeróbicos e, simultaneamente, 
diminui a taxa de conversão de glicose. Esse efeito inibidor do oxigênio é um exemplo da regulação 
metabólica por um substrato. Quando oxigênio é um fator limitante para microrganismos aeróbicos, a 
velocidade específica de crescimento segue a equação de Monod em relação à concentração de oxigênio 
dissolvido. 
 É importante lembrar que oxigênio dissolvido é um importante substrato em processos aeróbicos e 
pode ser um substrato limitante, considerando que o oxigênio gás apresenta baixa solubilidade em água. 
Oxigênio é o fator limitante quando o nível de oxigênio dissolvido é menor que a concentração crítica de 
oxigênio dissolvido. Em culturas com altas concentrações de células, a taxa de consumo de oxigênio pode 
exceder sua taxa de suprimento, resultando na limitação por oxigênio. CHEN et al. (1985) apresentaram a 
variação das velocidades específicas de crescimento com a concentração de oxigênio dissolvido para 
Azotobacter vineladii e E. coli, e confirmaram o formato hiperbólico dessas curvas. 
A concentração crítica de oxigênio para bactérias e leveduras é de aproximadamente 5% a 10% da 
concentração de saturação de oxigênio dissolvido e, para fungos, é de aproximadamente 10% a 50% da 
concentração de saturação de oxigênio dissolvido, dependendo do tamanho da partícula do fungo formado. 
A concentração de saturação de oxigênio dissolvido em água a 25oC e 1 atm é de aproximadamente 7 ppm 
(SHULER e KARGI, 2002). O aumento da temperatura reduz a concentração de saturação. A presença de 
sal e ácidos também afeta o valor da concentração de saturação. 
 
Tabela 4.5 – Solubilidade de oxigênio a 1atm em diferentes temperaturas, em água (ATKINSON e 
MAVITUNA, 1991) 
Temperatura 
(oC) 
Concentração de Oxigênio 
(mmol/L) 
0 2,18 
10 1,70 
15 1,54 
20 1,38 
25 1,26 
30 1,16 
35 1,09 
40 1,03 
 
Tabela 4.6 – Solubilidade de oxigênio a 1atm em soluções de sal e ácido, à 25oC (ATKINSON e 
MAVITUNA, 1991) 
Solubilidade do oxigênio (mM/L) Concentração 
(M) HCl H2SO4 NaCl 
0,0 1,26 1,26 1,26 
0,5 1,21 1,21 1,07 
1,0 1,16 1,12 0,89 
2,0 1,12 1,02 0,71 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 68 
 
O oxigênio é normalmente introduzido no biorreator pela injeção de ar no meio. A transferência da 
bolha de oxigênio para a célula é normalmente limitada pela transferência de oxigênio através do líquido 
que circunda a bolha. A taxa de transferência de oxigênio da fase gasosa para a fase líquida é representada 
por: 
 OTR)C*C( akN LL2O =−⋅= (E4.22) 
em que kL é o coeficiente de transferência de oxigênio (cm/h), a é área da interface gás-líquido (cm
2/cm3), 
C* é a concentração de saturação de oxigênio dissolvido (mg/L), CL é a concentração de oxigênio dissolvido 
(mg/L) e NO2 é a taxa de transferência de oxigênio (mg O2/L.h). O termo taxa de oxigênio transferido (OTR) 
é também usado. 
 A taxa de consumo de oxigênio, definida como OUR, é expressa como: 
 
2X/O
2O Y
ìX
XqOUR =⋅= (E4.23) 
sendo qO2 a taxa específica de consumo de oxigênio (mg O2/g célula.h), YX/O2 o coeficiente de rendimento 
de oxigênio (g célula/g.O2) e X a concentração de células (g células/L). 
 Quando oxigênio dissolvido é limitante, a taxa de consumo de oxigênio será igual à taxa de 
transferência de oxigênio do gás para o líquido. Se a quantidade de oxigênio para manutenção nãofor 
considerada desprezível, comparada com a quantidade para crescimento, então: 
 )C *(C ak
Y
X
LL
2X/O
−⋅=
µ
 (E4.24) 
ou: 
 )C *(C akY
dt
dX
LL2X/O −⋅⋅= (E4.25) 
 
Temperatura. A temperatura é um importante fator no comportamento do crescimento celular, por afetar as 
taxas das reações celulares, a natureza do metabolismo, os requerimentos nutricionais e a composição da 
biomassa. 
À medida que a temperatura aumenta, as taxas de reações químicas e enzimáticas nas células 
também aumentam e o crescimento se torna mais rápido. Como a maioria das reações que ocorre na célula 
é catalisada por enzima, existirá, para certa reação, uma temperatura ótima, acima da qual a velocidade 
específica de crescimento será reduzida. Aumentos na temperatura causam, eventualmente, ruptura da 
estrutura protéica, afetando, dessa forma, a afinidade do microrganismo pelo substrato e a atividade das 
enzimas regulatórias. Então, à medida que a temperatura aumenta, dentro de uma determinada faixa, a 
velocidade específica de crescimento e as funções metabólicas aumentam até certo ponto (quando a 
temperatura alcança o valor ótimo), a partir do qual começam as reações de inativação. Além disso, acima 
de uma certa temperatura, proteínas, ácidos nucléicos e outros componentes celulares podem ser 
desnaturados de forma irreversível com a interrupção da regulação metabólica ou a morte das células, 
representada pela Eq. (E4.8). 
Portanto, para cada microrganismo existe uma temperatura mínima, abaixo da qual o crescimento 
não ocorre, uma temperatura ótima, na qual o crescimento é muito rápido, e uma temperatura máxima, 
acima da qual o crescimento não é possível (Fig. 4.8). 
 
Figura 4.8 – Efeito da temperatura na velocidade de crescimento celular e as conseqüências moleculares 
(modificado de BROCK et. al., 1994). 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 69 
 
 Um coeficiente cinético muito utilizado em processos biológicos que relaciona o efeito da temperatura 
na velocidade específica de reações é o Q10. Para o caso de crescimento celular, o valor de Q10, pode ser 
definido como a relação entre a velocidade específica de crescimento a uma temperatura (T+10) e a uma 
temperatura T. Esse valor é aproximadamente igual a 2 na faixa de temperatura abaixo da temperatura 
ótima de crescimento para um determinado microrganismo, o que significa que a velocidade específica de 
crescimento pode dobrar a cada aumento de 10ºC na temperatura do meio. Para a maioria dos 
microrganismos, a velocidade específica de crescimento se aproxima de zero em temperaturas de 10ºC a 
25ºC abaixo da temperatura ótima. 
 As vias do metabolismo de fontes de carbono e de energia podem ser sensíveis à temperatura. Um 
exemplo é Lactobacillus brevis, que a 24ºC fermenta glicose pela via heterolática, enquanto a 37ºC requer 
frutose como receptor de hidrogênio (formando manitol) na fermentação de glicose (DE LEY, 1962, citado 
por PIRT, 1975). 
 O metabolismo secundário e a produção de metabólitos intermediários podem responder de maneiras 
diferentes às mudanças de temperatura. Em uma cultura de Aspergillus nidulans , crescendo em um 
biorreator contínuo com glicose limitante, a taxa de produção de melanina duplica entre 23ºC e 37ºC, 
quando µ é mantido constante a 0,05 h-1 (ROWLEY e PIRT, 1972, citados por PIRT, 1975). 
 A produção de riboflavina por Ashbya gossypii requer crescimento a 28ºC, apesar do microrganismo 
crescer igualmente a 37ºC, mas sem produzir riboflavina; entretanto, quando as células são incubadas 
inicialmente a 28ºC, irão produzir riboflavina em ambas as temperaturas, pois o crescimento em 
temperaturas mais baixas resulta na interrupção da regulação normal da síntese do sistema enzimático que 
produz esse composto (DEMAIN, 1972b, citado por PIRT, 1975). Os resultados de OWEN e JOHNSON 
(1955), também citados por PIRT (1975), para uma cultura em batelada, indicam que a temperatura ótima 
para produção de penicilina é menor do que aquela para crescimento do fungo. 
 A temperatura também afeta os conteúdos de RNA, proteína e lipídio de bactérias e leveduras. Para 
um certo valor de µ, a quantidade de RNA aumenta várias vezes com a diminuição da temperatura. O 
conteúdo protéico total de leveduras pode aumentar ou diminuir com uma mudança na temperatura, 
dependendo da natureza do substrato limitante. Quando há redução na temperatura, o teor de ácidos 
graxos insaturados de leveduras aumenta. É provável que a estrutura lipídica da membrana seja 
continuamente modificada com as alterações de temperatura, a fim de manter a funcionalidade dos lipídios. 
A ruptura dessa estrutura pelo efeito da temperatura resulta na perda de metabólitos e, conseqüentemente, 
estimula sua produção pela célula. 
 Arrhenius propôs uma equação para descrever o efeito da temperatura na constante de uma reação 
química, k: 
 Ea/RTeAk −⋅= (E4.26) 
sendo A uma constante, R a constante universal dos gases, T a temperatura absoluta, em K, e Ea a energia 
de ativação. 
A Eq. (E4. 26) tem sido muito aplicada para descrever o efeito da temperatura na velocidade 
específica de crescimento das células, com a velocidade especifica de crescimento (�) substituindo a 
constante da reação (k). Para o crescimento celular, valores típicos de Ea estão na faixa de 10 a 20 
kcal/mol. Na forma logarítmica, a Eq. (E4.26) torna-se: 
 Aln
T
1
 
R
Ea
ln +







 −=µ 
 Então, o logaritmo velocidade especifica de crescimento é uma função linear do recíproco da 
temperatura absoluta; a linha reta tem uma inclinação negativa, -Ea/R, com a qual o valor da energia de 
ativação pode ser calculado. 
No entanto, se esse tipo de gráfico for construído para velocidade específica de crescimento de 
bactérias, um comportamento diferente será observado (Fig. 4.9). Em uma faixa média de temperatura, a 
cinética química pode ser aplicada, e uma linha reta é obtida, a qual se estende por uma faixa normal de 
temperatura. Na faixa de temperatura abaixo da temperatura normal, a inclinação da curva aumenta, 
tornando-se vertical no ponto de temperatura mínima para crescimento. Em valores altos de temperatura, a 
curva se torna vertical na temperatura máxima para crescimento. A temperatura na qual a velocidade de 
crescimento é máxima é chamada de temperatura ótima para crescimento, indicada nas Figs. 5.8 e 5.9. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 70 
 
Figura 4.9 – Forma geral de um gráfico de Arrhenius para crescimento celular (modificado de 
NEIDHARDT et al., 1990). 
 
pH. O metabolismo celular é facilmente influenciado pelo pH, o qual pode afetar a composição do meio e a 
natureza da superfície celular devido à dissociação de ácidos e bases. Esse efeito pode ainda causar 
alterações nas propriedades superficiais, como adesão da célula a vidros ou metais e floculação da 
biomassa. A relação entre pH e concentração de íons hidrogênio (H+) é representada por: pH = -log (H+). 
Em alimentos, os ácidos de interesse são quase sempre os ácidos fracos (HA). Ácidos fortes têm 
valores muito baixos de pKa e, conseqüentemente, estão sempre dissociados na solução, ao contrário dos 
ácidos fracos. A membrana plasmática não é permeável aos íons hidrogênio, de forma que não há, 
necessariamente, um equilíbrio entre as concentrações intracelular e extracelular desse íon. A forma não-
dissociada dos ácidos fracos pode difundir livremente através da membrana celular e se ionizar na célula 
em prótons, os quais acidificam o interior alcalino da célula. 
O pH do meio, por seu efeito na dissociação de um composto básico ou ácido, pode também 
influenciar a ação inibidora ou tóxica do composto. Por exemplo, a toxicidade de ácidos fracos, como ácidos 
acético e lático, é freqüentemente dependente do pH. O ácido não-dissociado é mais lipossolúvel do que a 
forma ionizada e, portanto, a reduçãodo pH indicará maior concentração de acido não-dissociado, 
favorecendo a entrada do ácido na célula. Dessa forma, o equilíbrio entre as concentrações interna e 
externa de íons hidrogênio pode ser atingido, desde que um ácido fraco lipossolúvel esteja presente no 
meio, o qual pode agir como condutor de prótons através da membrana plasmática. 
 De modo geral, a célula pode crescer em uma ampla faixa de pH, apesar de muitas enzimas 
necessárias ao crescimento só atuarem em uma faixa mais estreita. Para a maioria das bactérias, o pH 
ótimo varia entre 3 e 8; para leveduras, entre 3 e 6; para fungos, entre 3 e 7; para células vegetais, entre 5 e 
6; e, para células animais, entre 6,5 e 7,5. A maioria das células apresenta mecanismos de defesa, 
mantendo o pH intracelular constante, mesmo com variações do pH externo. Quando a diferença entre 
valores interno e externo do pH aumenta, o valor da energia de manutenção da célula também aumenta. 
O pH da cultura tem influência significativa nos produtos finais do metabolismo anaeróbico de fontes 
de carbono e de energia. Klebsiella aerogenes , em pH 5,0 e sob condições anaeróbicas ou de oxigênio 
limitado, produz 2,3-butanediol como produto principal da fermentação de açúcar; já em pH 7,0, lactato 
também é produzido. Em metabolismo anaeróbico, muitas bactérias em pH ácido tendem a produzir 
substâncias neutras e em pH alcalino tendem a produzir ácidos orgânicos. Entretanto, existem exceções a 
essa regra, como para bactérias do ácido lático, as quais fermentam açúcares formando ácido lático em pH 
ácido, e Acetobacter, que oxida álcoois transformando-os em ácidos também em valores de pH ácido. A 
natureza dos produtos finais da fermentação de açúcar por lactobacilos e estreptococos pode ser 
dependente de pH, porque esses microrganismos podem produzir ácido acético e ácido fórmico quando o 
pH é aumentado. A fermentação de açúcar por leveduras produz etanol em pH ácido, enquanto em pH 
alcalino são formados também glicerol e ácido acético1. 
As mudanças metabólicas na célula tendem a regular o pH do meio para a neutralidade. Alguns 
autores sugerem que as enzimas são reguladas de forma a manter uma atividade constante e compensar o 
efeito do pH do meio na célula. 
O pH de uma cultura pode ser controlado por soluções-tampão, ou pela produção balanceada e 
utilização de ácidos, ou ainda pela adição automática de ácido ou base. 
As equações mencionadas para descrever o efeito de inibidores na velocidade específica de 
crescimento são também utilizadas para o efeito do pH, ou, mais precisamente, da concentração de 
hidrogênio. 
 
 
1 Todos os dados de PIRT, 1975. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 71 
Atividade de água. Para a maioria dos microrganismos, água é o componente principal da célula (80%) 
e, conseqüentemente, a disponibilidade de água é um dos fatores mais importantes que afetam o 
crescimento de microrganismos em ambientes naturais. Nas células vivas, a água tem quatro funções 
básicas: 1) participa de hidrólises e condensações, como um reagente químico; 2) age como um solvente 
para os metabólitos celulares, cujas concentrações poderiam ser críticas na regulação metabólica; 3) tem 
um papel mecânico na manutenção da turgidez celular, devido à pressão hidrostática que desenvolve na 
célula; e 4) tem uma função estrutural na hidratação de proteínas e outros componentes, a qual depende da 
habilidade da molécula da água de formar pontes de hidrogênio com grupos polares. 
Existem diversas maneiras de restringir a disponibilidade de água para a célula, incluindo: 1) 
dissolução de sal ou açúcar para aumentar a pressão osmótica do meio; 2) remoção física da água por 
evaporação ou sublimação; e 3) congelamento, o qual, se for feito rapidamente, leva à cristalização da água 
dentro dos microrganismos. 
Apesar da água ser essencial para crescimento, nenhum desses tratamentos é necessariamente 
letal para o microrganismo. De fato, os processos de congelamento rápido e de liofilização (congelamento e 
secagem das células) são freqüentemente utilizados para preservar culturas por longos períodos de tempo. 
A disponibilidade de água para a célula pode ser expressa em termos de pressão osmótica 
(atmosferas), de tonicidade (osmoles) do meio, ou de atividade de água, aw, que é a razão entre a pressão 
de vapor da água na solução em estudo, ρsol, e a pressão de vapor da água pura, ρH2O, nas mesmas 
condições de temperatura e pressão: 
2
sol
w
H O
ña =
ñ
 
ou seja, aw é equivalente à umidade relativa da atmosfera em equilíbrio com a solução; seu valor varia entre 
0 e 1. 
 A maioria das bactérias não pode crescer abaixo de aw = 0,9. Uma exceção é Staphylococcus aureus 
(aw = 0,86) e as bactérias halofílicas (Halobacterium sp.), as quais podem crescer em aw = 0,75 (equivalente 
a 5,5M NaCl). A levedura osmofílica Zygosaccharomyces rouxii e alguns fungos xerófilos podem crescer em 
altas concentrações de açúcar, em meios com aw = 0,6 (por comparação, uma solução saturada de 
sacarose, ou 70% de frutose, tem aw = 0,76) (PIRT, 1975). 
 Valores mínimos de atividade de água para o crescimento de alguns microrganismos são 
apresentados na Tabela 4.7. Alguns microrganismos que são resistentes a altas concentrações de açúcar 
podem não ser também resistentes a altas concentrações de sal, como mostrado na Tabela 4.7, o que se 
deve às diferenças na forma como respondem aos íons e às moléculas orgânicas neutras. 
 
Tabela 4.7 – Valores limitantes de atividade de água para o crescimento de alguns microrganismos 
Bactérias aw Leveduras aw Outros fungos aw 
Bacillus mycoides 0,99 Saccharomyces cerevisiae 0,94 Mucor spinosa 0,93 
Bacillus subtilis 0,95 Torula utilis 0,94 Penicillium sp. 0,8-0,9 
Serratia marcescens 0,94 Zygosaccharomyces rouxii 0,65 
Aspergillus 
flavus 0,90 
Escherichia coli 0,93 Aspergillus niger 0,84 
Sarcina sp. 0,92 Xeromyces bisporus 0,60 
Staphylococcus aureus 0,87 
Halobacterium sp. 0,75 
Fonte: DAWES e SUTHERLAND, 1992. 
 
 A Fig. 4.10 ilustra graficamente a relação entre a velocidade específica de crescimento e a 
concentração de íons sódio para microrganismos com tolerâncias diferentes ao sal. A concentração ótima 
de NaCl para microrganismos marinhos é cerca de 3%; para halófilos extremos, 12% a 30% (BROCK et al., 
1994). 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 72 
 
Figura 4.10 – Efeito da concentração do íon sódio no crescimento de microrganismos com tolerâncias 
diferentes ao sal (BROCK et al., 1994). 
4.5.4 Coeficientes de rendimento 
 Além da velocidade específica de crescimento, algumas relações estequiométricas são 
indispensáveis no estudo da cinética do crescimento celular. Para alguns substratos, como glicose, que é 
fonte de carbono e de energia, a variação da sua concentração com o tempo, d(S)/dt, será função da taxa 
de substrato consumido para formação de biomassa, formação de produto extracelular, energia de 
crescimento e energia para manutenção, ou seja: 
 )manutenção()ocresciment()produto()biomassa( SSSSS ∆+∆+∆+∆=∆ 
 Observando a estequiometria, verifica-se que o consumo de substrato para formação de biomassa e 
produção de energia para crescimento é diretamente proporcional à variação da concentração de biomassa 
(crescimento celular), e a energia para manutenção é proporcional à quantidade de biomassa viável 
presente. A parcela do substrato convertido em produto extracelular poderá ser proporcional ao crescimento 
celular (associado ao crescimento), à massa celular presente (não-associado ao crescimento) ou misto 
(parte associado ao crescimento e parte não-associado ao crescimento). Assim, é possível representar a 
variação da concentração de um substrato com o tempo proporcionalmente à variação da concentração de 
biomassa e à concentração de biomassa presente, ou seja: 
 Xm
dt
dX
Y
1
dt
dS
X/S
⋅−



−= (E4.27) 
sendo YX/S o coeficiente de rendimento para crescimentoe m o coeficiente de manutenção. 
 O coeficiente de manutenção, m, representa o consumo de energia para a manutenção da célula, 
principalmente em ambientes adversos. Normalmente está representada nesse coeficiente a energia 
necessária para transferência de componentes tóxicos do interior da célula para o seu interior, ajuste da 
pressão osmótica do citoplasma e reparos em componentes celulares. 
 Durante a fase exponencial de crescimento, quando a grande maioria do substrato consumido é 
utilizada no crescimento celular, o coeficiente de rendimento para crescimento pode ser estimado como: 
 
S
XYX/S ∆
∆−= (E4.28) 
 Esta relação linear é válida para praticamente todos os nutrientes sobre uma ampla faixa de 
concentrações. Então, um meio que contém todos os nutrientes em excesso, exceto um, suporta uma 
quantidade final de células que é diretamente proporcional à concentração do substrato limitante. 
A Fig. 4.11 mostra o efeito da temperatura no coeficiente de rendimento para produção de células 
de Saccharomyces cerevisiae. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 73 
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
15 20 25 30 35 40
T (°C)
Y
X
/S
 (
g
 c
él
u
la
s/
g
 s
u
b
st
ra
to
)
 
Figura 4.11 – Efeito da temperatura em YX/S para S. cerevisiae, que tem maior rendimento em relação à 
biomassa na região de temperatura próxima a 29ºC (dados de ATKINSON e MAVITUNA, 
1991). 
 
 A relação linear entre a concentração de substrato limitante e o coeficiente de rendimento pode até 
ser usada para determinar a concentração de um determinado substrato. Por exemplo, um organismo que 
requer metionina para crescimento pode ser usado para estimar a concentração desse aminoácido em uma 
amostra. Para isso, um meio que contém todos os nutrientes, exceto metionina, é preparado; o coeficiente 
de rendimento para esse nutriente é determinado adicionando-o ao meio em várias concentrações 
conhecidas. Com os dados do coeficiente de rendimento e da medida de crescimento com uma certa 
quantidade da amostra, é possível calcular a concentração de metionina presente na amostra. Esse 
procedimento é conhecido como bioassay e foi muito utilizado nas décadas de 1940 e 1950 para determinar 
concentrações de aminoácidos, vitaminas e outros nutrientes, e também para estimar o potencial de 
preparações de vitaminas e o valor nutricional de alimentos. Hoje, devido à existência de métodos analíticos 
mais precisos, essa técnica não é muito utilizada, mas ainda é aplicada no estudo de intermediários 
biossintéticos. 
 Outros coeficientes de rendimento comuns na cinética de crescimento microbiano são: 
 
S
P
YP/S ∆
∆
−= (E4.29) 
 
X
P
YP/X ∆
∆
−= (E4.30) 
 
2
2X/O O
X
Y
∆
∆
−= (E4.31) 
 
 Para um microrganismo crescendo em glicose e em aerobiose, o valor de YX/S é tipicamente 0,4 a 0,6 
g/g para a maioria das leveduras e bactérias, enquanto YX/O2 é 0,9 a 1,4 g/g (ATKINSON e MAVITUNA, 
1991). O crescimento anaeróbico é menos eficiente e o coeficiente de rendimento é reduzido. 
 S. cerevisiae crescendo em condições de aerobiose e baixa concentração de glicose apresenta um 
coeficiente de 90 g de célula seca/ mol de glicose; em alta concentração de glicose, o coeficiente cai para 
27 g/mol; em condições de anaerobiose, este valor é reduzido para 18 g/mol (Kappeli, 1986). 
 Alguns coeficientes para condições anaeróbicas são apresentados na Tabela 4.8. Os coeficientes de 
rendimento para microrganismos crescendo em condições aeróbicas, com diferentes substratos, são 
listados na Tabela 4.9. 
 O parâmetro YATP é usado para descrever o rendimento de biomassa obtido por ATP gerado. Por 
exemplo, a fermentação de glicose para ácido lático via glicólise resulta na formação de duas moléculas de 
ATP por molécula utilizada de glicose. A Tabela 4.10 apresenta valores de YX/S e de YATP para alguns 
organismos fermentativos. 
 
Tabela 4.8 – Coeficientes de rendimento para condições anaeróbicas 
Microrganismo YX/S (g de células/g mol de glicose) 
Clostridium thermoaceticum 50,0 
Klebsiella aerogenes 23,4 (após 1 dia) 14,4 (após 3 dias) 
Lactobacillus casei 42,0 
L. plantarum 20,0 
Saccharomyces cerevisiae 20,0 
S. rosei 23,0 
 Fonte: ATKINSON e MAVITUNA, 1991. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 74 
 
Tabela 4.9 – Coeficientes de rendimento para condições aeróbicas, em g de células/ g mol de glicose 
(YX/S) e g de células/ g mol de O2 (YX/O2) 
Microrganismo Substrato Cultura T (ºC) µµ (h-1) YX/S YX/O2 
Escherichia coli 
Acetato 
Glicose 
Lactato 
Manitol 
Succinato 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
37 
30 
30 
37 
37 
0,14-0,37 
0,05-0,50 
- 
0,06-0,57 
0,08-0,38 
- 
0,64 
0,48 
- 
- 
1,20 
1,69 
1,41 
1,64 
0,91 
Pseudomonas 
fluorescens 
Acetato 
Citrato 
Etanol 
Glicose 
Lactato 
Malato 
Batelada 
Batelada 
Batelada 
Batelada 
Batelada 
Batelada 
35 
35 
35 
35 
35 
35 
0,78 
0,35 
0,33 
0,44 
- 
1,00 
0,34 
- 
0,46 
0,47 
0,39 
0,36 
0,53 
1,10 
0,55 
1,10 
1,15 
1,20 
Levedura Alcano Contínua 30 0,18-0,30 0,65 0,51 
Saccharomyces 
cerevisiae 
Etanol 
Glicose 
Batelada 
Contínua 
30 
30 
0,09 
0,00-0,15 
0,40 
0,67 
0,51 
1,14 
Micrococcus 
denitrificans 
Gluconato 
Malato 
Manitol 
Succinato 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
37 
37 
37 
37 
0,05-0,35 
0,05-0,35 
0,05-0,35 
0,05-0,35 
0,53 
0,42 
0,56 
0,41 
1,75 
1,49 
1,61 
1,41 
Klebsiella 
aerogenes 
Glicose 
Glicerol 
Lactato 
Manitol 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
Contínua 
30 
35 
35 
35 
0,05-0,60 
0,17 
- 
0,10-0,50 
0,54 
0,58 
0,50 
0,68 
1,79 
1,47 
1,02 
1,64 
Penicilium 
chrysogenum Glicose Contínua 25 0,02-0,09 0,55 2,00 
Fonte: ATKINSON e MAVITUNA, 1991. 
 
Tabela 4.10 – Coeficientes de rendimento para crescimento anaeróbico de bactérias e leveduras, 
utilizando glicose como doador de elétrons 
Organismo 
YX/S 
(g X/mol S) 
ATP 
(mol ATP/ mol S) 
YATP 
(g X/mol ATP) 
Zymomonas mobilis 9 1 9 
Streptococcus faecalis 20 2 10 
Lactococcus lactis 19,5 2 9,8 
Lactobacillus plantarum 18,8 2 9,4 
Saccharomyces cerevisiae 18,8 2 9,4 
Klebsiella pneumoniae 29 3 9,6 
Escherichia coli 26 3 8,6 
Fonte: BROCK et. al., 1994. 
 
 Os compostos produzidos pela célula são normalmente classificados em três categorias, descritas a 
seguir. 
1. Associados ao crescimento: compostos produzidos em conseqüência do processo de crescimento, 
como os produtos de enzimas constitutivas. A taxa de formação de produto, rP, é proporcional à 
velocidade de crescimento celular, rX: 
 
 XP/XP rYr ⋅= (E4.32) 
ou: 
dt
dXY
dt
dP
P/X= 
2. Não-associados ao crescimento: a taxa de produção é constante e proporcional à massa de células 
presentes. A produção desses compostos é mais eficiente durante a fase estacionária, quando a cultura 
se encontra na concentração máxima de células. Existem também aqueles produtos que apenas são 
produzidos em certas condições de estresse e após o início da fase de desaceleração. Muitos produtos 
secundários, como antibióticos e bacteriocinas, são não-associados ao crescimento. Nesse caso: 
 XYr mP ⋅= (E4.33) 
3. Mistos (associados e não-associados ao crescimento): produtos formados durante o crescimento e 
durante a fase estacionária, mesmo na ausência de crescimento, por exemplo: ácido lático, xantina e 
vários metabólitos secundários da célula. Para esses produtos, tem-se: 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 75 
XY
dt
dX
Y
dt
dP
r mP/XP ⋅+== (E4.34) 
 A Eq. (E4.34) foi proposta por Luedeking-Piret, em 1958, para descrever a variação da concentração 
de ácido lático em um processo fermentativo em batelada. De acordo com a equação, se Ym = 0, o produto 
é associado ao crescimento e, se YP/X = 0, o produto é não-associado ao crescimento. 
 Os métodos utilizados para estimativa dos coeficientes das equações para velocidade específica de 
crescimento e dos coeficientes derendimento serão vistos mais adiante. 
4.6 Biorreatores ideais 
 Em laboratórios, as células podem ser cultivadas em tubos de ensaio ou em frascos tipo Erlenmeyer 
em um shaker. Biorreatores com controles automatizados de pH, temperatura e oxigênio dissolvido são 
freqüentemente utilizados. Devido ao volume reduzido, normalmente entre 50 e 2000 mL, a obtenção de 
uma “mistura perfeita” em biorreatores tipo CSTR não é difícil, podendo ser alcançada com agitação em um 
shaker, com impeler magnético ou com agitadores mecânicos especialmente projetados. 
 A Fig. 4.12(a) ilustra um biorreator para cultivo de células em laboratório, constituído de um frasco de 
vidro vedado e equipado com sistemas de agitação e de coleta de amostras. A Fig. 4.12(b) mostra um 
biorreator com controle automático de temperatura, pH, oxigênio dissolvido e agitação, com capacidade 
para 1000 mL. 
 Como descrito no capítulo 3, os biorreatores podem ser contínuos ou tipo batelada. Para operação em 
larga escala, como os processos fermentativos industriais, os biorreatores tipo tanque agitado (batelada ou 
CSTR) são os mais empregados, podendo ser utilizados em condição anaeróbia ou aeróbia, e para o cultivo 
de um grande número de microrganismos. A aeração e a agitação mecânica desses biorreatores são 
importantes para homogeneização da mistura células-meio, oxigenação, mistura dos compostos do meio e 
transferência de calor. Apesar do reator contínuo CSTR ter maior aplicação em processos biológicos, os 
reatores tipo PFR são também utilizados, principalmente em sistemas que empregam células imobilizadas 
ou recirculação de células, como em tratamento de resíduos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
Figura 4.12 – (a) Biorreator para cultivo de células em pequena escala; (b) biorreator utilizado em 
laboratório, contendo controle automatizado, sistemas para medição das condições 
operacionais, aeração e agitação. 
 
Uma característica que diferencia os reatores dos biorreatores com crescimento celular é a célula, 
um organismo vivo e com capacidade para reprodução. O biorreator precisa ser inoculado com uma 
quantidade de células para que o processo tenha início. Em um biorreator operando em batelada, as células 
são inoculadas e, se encontrarem condições adequadas, irão crescer, promovendo as transformações 
desejadas no ambiente – consumo de um substrato, liberação de um produto, aumento de massa celular, 
entre outros. 
Para obter uma cultura contínua, ilustrada na Fig. 4.13, o biorreator é alimentado sem interrupção, 
enquanto produtos e células são descarregados continuamente, mantendo-se assim o volume constante. O 
crescimento de células acontece no interior do biorreator e sua velocidade específica de crescimento será 
função das condições operacionais do sistema e da composição do meio de alimentação, como acontece 
nos processos químicos e em reações catalisadas por enzimas. O regime permanente será alcançado em 
decorrência do controle da taxa de crescimento da célula por algum fator limitante. Esse fator limitante do 
crescimento da célula deve variar durante o processo de crescimento, sendo a velocidade específica de 
crescimento afetada pela variação. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 76 
 
Figura 4.13 – Sistema de cultura contínua, constituído de fluxo de alimentação de meio, mecanismo de 
injeção de ar ou outro gás, tanque para cultivo das células e fluxo para saída do efluente. A 
densidade da população de células é controlada pela concentração de substrato limitante 
no reservatório, e a velocidade específica de crescimento é controlada pelo fluxo, ou seja, 
pela taxa de diluição (BROCK et al., 1994). 
 
Como existe a necessidade de um fator limitante, as células que crescem em suspensão em um 
biorreator em regime permanente são mantidas em uma condição específica da fase de crescimento 
desacelerado do crescimento em batelada – cada condição de regime permanente no biorreator contínuo 
representa um ponto na fase de desaceleração do crescimento em processos do tipo batelada. Exceções 
são observadas em sistemas com células imobilizadas ou com recirculação de células – nesses casos pode 
ser possível o crescimento de células com a sua velocidade específica máxima de crescimento, para as 
condições do meio de alimentação. 
 Entre as vantagens de uma cultura contínua, quando comparada com uma cultura em batelada, 
podem ser citadas: 
1. Tanques menores são requeridos, o que reduz custo e tempo para limpeza. 
2. O crescimento celular ocorre a uma velocidade constante, em um meio constante, sendo mais fácil, 
portanto, controlar outros parâmetros como temperatura, pH e concentração de oxigênio. 
3. Em alguns sistemas contínuos a velocidade de crescimento pode ser variada de forma controlada, 
permitindo o estudo do efeito da velocidade de crescimento no tamanho e na composição da célula. 
4. O cálculo dos parâmetros de crescimento são facilitados. 
 Existem alguns problemas na operação de culturas contínuas, sendo a principal dificuldade a 
necessidade de manter alto grau de esterilidade no fluxo de alimentação de nutrientes e também de 
prevenir a contaminação por outras fontes, devido ao longo período de manutenção da cultura no biorreator. 
Isso não é muito difícil em laboratório, mas se torna um problema à medida que o tamanho e, 
conseqüentemente, a complexidade do sistema aumenta para alcançar escalas industriais. 
 Problemas técnicos são causados também por microrganismos que se aderem a superfícies ou 
crescem como filamentos. Em ambos os casos, os microrganismos estão em um estado fisiológico diferente 
das células em suspensão no meio de cultura. Dessa forma, células aderidas na superfície do tanque levam 
a desvios da performance teórica do biorreator contínuo; apesar de não serem problemas críticos nos 
processos industriais, a aderência e a formação de biofilme podem causar erros experimentais em estudos 
laboratoriais da cinética do crescimento celular. Quando comparados aos sistemas tipo batelada, os 
sistemas contínuos normalmente exigem equipamentos mais complexos e são menos adaptáveis para 
utilização em mais de um processo industrial. Outros problemas potenciais são a mutação e a instabilidade 
de microrganismos geneticamente modificados. 
 No caso do biorreator contínuo tipo CSTR, o tanque é inoculado com células e, em seguida, os 
processos de alimentação e de descarga têm início. A alimentação normalmente acontece com um meio 
estéril. Nesse sistema, é imprescindível a multiplicação celular, em termos de divisão celular. Se não houver 
multiplicação, a concentração das células irá reduzir com o tempo, até sua eliminação completa. 
 Como no biorreator PFR não existe mistura longitudinal, as células terão que ser introduzidas 
continuamente no início do biorreator para que cresçam ao longo do mesmo, causando as transformações 
desejadas no meio. A operação de alimentação contínua de células não é técnica nem economicamente 
viável, por isso para a operação de biorreatores tipo PFR, as células devem ser imobilizadas no sistema. 
Outra opção é recolher as células que deixam o biorreator na descarga e retorná-las para o fluxo de 
alimentação (recirculação ou feedback externo). 
 A Fig. 4.14 mostra alguns exemplos de sistemas do tipo PFR utilizados em processos biológicos. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 77 
Gás
Saída
Alimentação
Brita
Gás
Saída
Alimentação Manta
de Lodo
(A) (B) 
 
Figura 4.14 – (A) Representação esquemática de um filtro anaeróbio de fluxo ascendente com células 
imobilizadas e (B) reator anaeróbio de fluxo ascendente de manta de lodo (UASB). 
Ambos os biorreatores são utilizados para tratamento de resíduos (RAMOS, 2002). 
4.6.1 Biorreator tipo batelada 
Devido à simplicidade de projeto e de operação, os biorreatores tipo batelada são muito utilizados 
em sistemas biológicos industriais com crescimento celular. Após a inoculação das células, não há adição 
ou remoção de componentesdo sistema, exceto injeção de ar nos processos aeróbicos e exaustão de 
gases produzidos durante a fermentação. 
 
No biorreator operando em batelada, as concentrações de nutrientes, de células e de produtos 
variam com o tempo durante o processo de crescimento. No final do processo, a velocidade de 
crescimento da biomassa tende a zero, devido à ausência de um nutriente ou ao acúmulo de um 
produto inibidor. 
 
 Como o meio muda continuamente, os diversos componentes do processo de crescimento não estão, 
freqüentemente, em concentrações uniformes, isto é, o crescimento em batelada é não-balanceado. 
 Durante a fase de crescimento exponencial, a mudança na concentração de células com o tempo é 
expressa pela velocidade de crescimento das células, representada pela Eq. (E4.2): 
 ìX
dt
dX
rX == (E4.2) 
 Com já visto neste capítulo, a velocidade específica de crescimento, µ, será constante até que um ou 
mais fatores limitantes alcancem concentrações que afetem o crescimento celular. 
 Assumindo que o crescimento poderá ser inibido pela concentração de um substrato e, ou, de um 
produto, e que esses efeitos podem ser representados por: 
 





−





+
=
)(P
(P)1 
(S)K
(S)ìì
mS
max (E4.19) 
e utilizando a equação estequiométrica já apresentada para o substrato: 
 Xm
dt
dX
Y
1
dt
dS
X/S
⋅−



−= (E4.27) 
 e para o produto: 
 XY
dt
dXY
dt
dP
mP/X ⋅+= (E4.34) 
será possível, com a solução simultânea das três equações diferencias, realizar a simulação do crescimento 
da célula durante as fases de crescimento exponencial e desacelerado. 
 Na possibilidade de existir mais de um produto inibidor ou substrato limitante, novas equações, 
similares às apresentadas, poderão ser acrescentadas ao modelo. 
 
 
Tarefa: Fermentação lática 
As equações a seguir representam matematicamente o processo de fermentação de uma bactéria 
lática. Durante o crescimento da célula, para cada 1 mol de substrato utilizado, 2 moles de produto 
são formados. Com base no resultado de simulações do processo, para diferentes concentrações iniciais do 
substrato, explique os resultados obtidos em relação ao crescimento celular, ao consumo de substrato e à 
formação de produto. Esboce e explique os gráficos para, no mínimo, duas concentrações iniciais diferentes 
de substrato: 50 mM e 70 mM. Para os testes, utilize concentração inicial de célula DO = 0,1. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 78 
ìX
dt
dX
= 
2
120
(P)
1
S)(12
(S)
 0,24ì 


 −





+
= 
X15,0
dt
dX
06,0
1
dt
dS
⋅−



−= 




=
dt
dS
 2
dt
dP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para as Eqs. (E4.19), (E4.27) e (E4.34), foi assumido que a velocidade específica de morte, kD, é 
igual a zero. Nos sistemas em que a fase estacionária também é importante, é necessário acrescentar a 
velocidade específica de morte, que poderá ser considerada constante ou função da concentração de algum 
composto presente no meio. Nesse caso, será possível predizer a população total e a população viável de 
células. Assumindo a velocidade específica de morte constante, tem-se: 
 VD
V X )K(ì
dt
dX
−= (E4.9) 
e: 
 V
T ìX
dt
dX
= (E4.10) 
sendo XT e XV as concentrações de células totais e viáveis, respectivamente. 
 As Eqs. (E4.9) e (E4.10), em conjunto com as Eqs. (E4.19), (E4. 27) e (E4. 34), representam as 
equações mais comuns de um modelo não-segregado e não-estruturado para simular o crescimento celular 
em um biorreator tipo batelada. 
 Para uma interpretação rápida do desempenho do biorreator tipo batelada, e utilizando a mesma 
metodologia apresentada no capítulo 3, pode-se integrar a Eq. (E4.2): 
 ∫∫ = t0t
X
0X X
dt
r
dX
 (E4.35) 
 Substituindo rX = µX na Eq. (E4.35), tem-se que: 
 0X0X
tt
ìX
dX
−=∫ (E4.36) 
 A Eq. (E4.36) somente se aplica quando rX é maior que zero. Conseqüentemente, t0 na Eq. (E4.36) 
não é o tempo no qual a cultura foi inoculada, mas o tempo no qual as células começaram a crescer, que é 
o início da fase de crescimento acelerado. 
 De acordo com a Eq. (E4.36), o tempo de crescimento em batelada, t – t0, é a área sob a curva de 1/rX 
versus X, entre X0 e X, como mostrado na Fig. 4.15. A linha sólida no gráfico foi calculada com a equação 
de Monod e a área sob essa linha é igual a t – t0, para o biorreator tipo batelada. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 79 
 
 
Figura 4.15 – Representação gráfica do tempo para crescimento em batelada. 
 
 A curva obtida tem o formato de U, o que é característico de reações autocatalíticas , do tipo: 
 S + X → X + X 
 A velocidade da reação, rX, é baixa no início porque a concentração de células, as quais atuam como 
catalisadores biológicos, é baixa. Essa velocidade aumenta com a multiplicação das células e alcança um 
valor máximo. À medida que o substrato é consumido e os produtos tóxicos se acumulam, a velocidade 
diminui até um valor mínimo. 
4.6.2 Biorreator tipo CSTR 
 Biorreatores tipo CSTR são também chamados de quimiostato (ambiente quimicamente constante) ou 
turbidostato. Os quimiostatos operam com concentração limitante de um substrato, enquanto os 
turbidostatos são controlados pela densidade ótica e são muito utilizados na seleção de subpopulações 
capazes de crescer em determinadas condições de estresse. Como a concentração de células será mantida 
constante, em conseqüência da variação no fluxo, o meio de alimentação poderá conter um fator de 
estresse, sem o risco de eliminação das células presentes no biorreator, como será visto a seguir. Uma vez 
que é possível obter regime permanente para outros fatores limitantes, como inibição pelo produto, esses 
biorreatores serão apenas tratados como CSTR, independente do fator que limita o crescimento e define o 
regime permanente. Uma vantagem dos biorreatores CSTR é a possibilidade de manter as populações 
celulares em crescimento por um longo período de tempo. 
A Fig. 4.16 mostra o diagrama para esse tipo de biorreator, o qual é conectado a um reservatório de 
meio estéril, que o alimenta continuamente após a inoculação do mesmo com a célula de interesse. 
 A mistura no interior do CSTR ideal é considerada perfeita e, conseqüentemente, a composição do 
meio não varia com a posição dentro do biorreator. Uma implicação dessa consideração é que o líquido 
efluente tem a mesma composição do conteúdo do biorreator, como indicado na Fig. 4.16. 
 
 
Figura 4.16 – Diagrama esquemático do biorreator tipo CSTR. 
 
 O balanço de massa para células em um CSTR pode ser escrito como: 
 
dt
dXVrVFXFX X0 =⋅+− (E4.37) 
em que F é o fluxo de alimentação e de descarga, X é a concentração de células , em unidade de massa por 
volume, V é o volume do conteúdo no biorreator, rX é a velocidade de crescimento celular e dX/dt representa 
a variação na concentração de células no biorreator com o tempo. 
 A Eq. (E4.37) pode ser rearranjada, tornando-se: 
 ( ) X0 rXXV
F
dt
dX +−= (E4.38) 
 
 Considerando rX = µX e a taxa de diluição D = F/V, a Eq. (E4.38) pode ser escrita como: 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 80 
 ( ) ìXXX D
dt
dX
0 +−= (E4.39) 
que representa a variação da concentração de células com o tempo durante o regime transiente. 
 Se o meio de alimentação do biorreator é estéril, isto é, X0 = 0, o regime transiente também pode ser 
representado como: 
 ( )dX D X
dt
= µ − (E4.40) 
 A Eq. (E4.40) indica que: 
ü se D > µ, a diferença é negativa e, portanto, a população de células diminui; 
ü se D < µ, o número de células aumentará. 
 Assumindo regime permanente (dX/dt = 0), a Eq. (E4.40) torna-se:D = µ (E4.41) 
 
 A Eq. (E4.41) representa um dos conceitos mais importante no crescimento celular em um biorreator 
contínuo tipo CSTR: em um sistema ideal no qual o meio de alimentação é estéril e as células crescem em 
suspensão, o regime permanente será alcançado apenas quando o valor da taxa de diluição, D, for igual à 
velocidade específica de crescimento, µ. 
 
Em um CSTR ideal alimentado com meio estéril e com células crescendo em suspensão, o regime 
permanente será alcançado apenas quando D = �. 
 
 De acordo com a Eq. (E4.41), e assumindo meio de alimentação estéril, tem-se: 
 X
r
1
F
V
D
1
X
=τ== (E4.42) 
 A Eq. (E4.42) indica que o tempo de residência, τ, é igual a X, que é a concentração de células na 
condição de regime permanente, multiplicado por 1/rX, e igual à área do retângulo de base X e altura 1/rX na 
curva de 1/rX versus X (Fig. 4.17), sendo o valor de rX obtido nas condições de crescimento em regime 
permanente. Essa ilustração gráfica do tempo de residência pode ser usada na comparação da eficiência 
de sistemas fermentativos. 
 
Quanto menor o tempo de residência para obter uma determinada concentração celular, mais 
eficiente é o biorreator. 
 
Figura 4.17 – Representação gráfica da estimativa do tempo de residência para um biorreator CSTR. 
 
 A taxa de diluição é o inverso do tempo de residência: D = 1/τ. O valor de D caracteriza a taxa de 
diluição do CSTR e é igual ao número de unidades de volume de fluido que passam pelo tanque por 
unidade de tempo. 
 
É importante lembrar que D = µµ apenas quando a alimentação do biorreator é estéril. Quando o 
sistema opera com biorreatores tipo CSTR em série, a alimentação do segundo biorreator em diante 
não será estéril e, portanto, D ≠≠ µµ durante o regime permanente. 
 
 O mesmo acontece para sistemas de apenas um biorreator com recirculação de células, como 
ilustrado na Fig. 4.18. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 81 
 
Figura 4.18 – Sistema de um biorreator com recirculação de células (feedback externo). 
 
 O balanço de massa em relação ao substrato para um biorreator CSTR operando no regime 
transiente resulta em: 
 
dt
dS
VrV)S(F)S(F S0 =⋅+− (E4.43) 
 [ ] S0 r)S()S(V
F
dt
dS
+−= (E4.44) 
 Como D = F/V, a Eq. (E4.44) torna-se: 
 [ ] S0 r(S))(S Ddt
dS
+−= (E4.45) 
e em regime permanente: 
 [ ] 0r(S))(S D S0 =+− (E4.46) 
 De forma simplificada, a taxa de consumo de substrato pode ser definida como: 
 
X/S
S Y
ìX
dt
dS
r ==− (E4.47) 
 Substituindo a Eq. (E4.47) na Eq. (E4. 46), tem-se que: 
 
 [ ]
X/S
0 Y
ìX
(S))(S D =− (E4.48) 
 Como D = µ , a Eq. (E4.48) torna-se: 
 [ ]
X/S
0 Y
ìX
(S))(S ì =− 
 [ ](S))(SYX 0 X/S −= (E4.49) 
que é a mesma Eq. (E4.28) apresentada anteriormente, quando X0 = 0. 
 Se a velocidade específica de crescimento pode ser expressa pela equação de Monod, então: 
 (S)K
(S)ì1
ìD
S
máx
+
=
τ
== (E4.50) 
 A partir da Eq. (E4.50) é possível representar a concentração de substrato no efluente, (S), como: 
 [ ] (S)ì(S)K D máxS =+ 
 D(S)(S)ìDK máxS −= 
 Dì
DK
(S)
máx
S
−
= (E4.51) 
 Deve ser notado, entretanto, que a Eq. (E4.51) somente é válida quando D = µ , em regime 
permanente. Se D > µmáx, a velocidade de crescimento celular será sempre menor que a velocidade das 
células que deixam o biorreator no fluxo de saída e, conseqüentemente, a concentração de células dentro 
do biorreator diminuirá com o tempo até que todas sejam eliminadas, o que é chamado de washout ou 
lavagem das células. 
 Substituindo a Eq. (E4.51) na Eq. (E4. 49), tem-se que: 
 





−
−=
Dì
DK
)(SYX
máx
S
0 X/S (E4.52) 
 Assim como a Eq. (E4.51), a Eq. (E4.52) somente é válida quando µ = D. 
 Dessa forma, quando é assumido: 
ü Regime permanente (dX/dt = 0) 
ü Alimentação estéril (X0 = 0) 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 82 
ü 
X/S
S Y
ìX
r −= 
ü 
)S(K
)S(
S
máx
+
µ
=µ (Equação de Monod) 
é possível concluir, após os balanços de massa de células e de substrato, que: 
ü D=µ (E4.41) 
ü 
Dì
DK
(S)
máx
S
−
= (E4.51) 
ü 





−
−=
Dì
DK
)(SYX
máx
S
0 X/S (E4.52) 
 As Eqs. (E4.51) e (E4.52) mostram a dependência das concentrações de células e de substrato na 
descarga do biorreator na taxa de diluição e, conseqüentemente, no fluxo do biorreator, pois D = F/V. 
 O balanço de massa em relação ao produto em um biorreator CSTR é: 
 
dt
dP
VrVF(P))F(P P0 =⋅+− (E4.53) 
 Considerando a taxa de formação de produto como: 
 XìY
dt
dXYr P/XP/XP ⋅⋅== (E4.54) 
e que a concentração de produto na alimentação é zero, isto é, (P0) = 0, e que D = µ, a Eq. (E4.53), após a 
substituição da Eq. (E4.54), torna-se: 
 [ ](P)YX DXìYD(P)
dt
dP
P/XP/X −⋅=⋅⋅+−= (E4.55) 
 A Eq. (E4.55) representa a variação da concentração de produto no biorreator, em regime transiente. 
Em regime permanente: 
 [ ] 0(P)YX D P/X =−⋅ (E4.56) 
ou ainda: 
 
X
(P)
YP/X = (E4.57) 
que é a mesma Eq. (E4.30), considerando (P0) = 0. 
 
 
Tarefa: Efeito do produto 
Como serão as equações para X, (S) e (P), se as equações para taxa de consumo de substrato e 
de formação de produto forem as mesmas da demonstração anterior, mas sendo a equação para 
a velocidade específica de crescimento representada por: 
 






−=
)(P
(P)1ìì
m
máx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 83 
4.6.3 Lavagem das células (washout) 
 De acordo com as Eqs. (E4.51) e (E4.52), e as condições assumidas, à medida que D aumenta 
continuamente, (S) aumenta inicialmente de forma linear com D e então mais rapidamente quando o valor 
de D se aproxima de µmáx. A concentração de células, X, diminui com o mesmo comportamento funcional: 
primeiro linearmente com D e depois mais rapidamente à medida que D se aproxima do valor de µmáx. Em 
algum ponto, pouco antes de D = µmáx, X se torna zero, como mostrado na Fig. 4.19. A taxa de diluição, 
nesse caso, ultrapassou a velocidade máxima possível de crescimento. Essa condição de perda de todas as 
células no regime permanente, denominada washout, ocorre quando D > Dwmáx, cujo valor é calculado 
considerando X = 0 na Eq. (E4.52): 
 0
Dì
KD
)(SY
máxwmáx
Smáxw
0 X/S =








−
− 
 0
Dì
KD
)(S
wmáxmáx
Swmáx
0 =−
− 
 )S(D)S(KD 0wmáx0máxSwmáx −µ= 
 )S(K
)S(
D
0S
0máx
wmáx +
µ
= (E4.58) 
 
O valor máximo de D para o biorreator funcionar em regime permanente será menor do que o valor 
da velocidade específica máxima: Dwmáx < µµmáx. 
 
 Analisando-se a Eq. (E4.58), verifica-se que o valor máximo de D será sempre menor que a 
velocidade específica máxima. 
 Na Fig. 4.19 nota-se que, próximo ao ponto de washout, o biorreator é mais sensível a variações no 
valor de D, isto é, uma pequena mudança no fluxo do biorreator resulta em alteração significativa em X e, 
ou, em (S). Essa sensibilidade deve ser considerada se a produção de massa celular for o objetivo do 
cultivo contínuo. Esse fato também deve ser considerado na definição do valor da taxa de diluição de 
trabalho; o valor de D escolhido não deve ser muito próximo do valor de Dwmáx, porque pequenas alterações 
não previstas no valor de F ou de V poderão causar a lavagem das células. 
4.6.4 Produtividade do CSTR 
 Se o objetivo do processo é a produção de massa celular, a produtividade de células deve ser 
observada. Emum biorreator CSTR operando no regime permanente, com alimentação estéril, a 
produtividade (g células/L.h) em relação à massa celular pode ser definida como: 
 DXXeodutividadPr ⋅=
τ
= (E4.59) 
 Substituindo a Eq. (E4.52) na Eq. (E4. 59), tem-se que: 
 D 
Dì
DK
)(SYDX
máx
S
0 X/S 





−
−=⋅ (E4.60) 
 A produtividade será máxima quando d(X.D)/dD = 0, ou seja, quando o ponto crítico da curva X.D 
versus D, ilustrada na Fig. 4.19, for um ponto de máximo. Derivando Eq. (E4.60) e igualando a zero, obtém-
se o valor da taxa de diluição para produtividade máxima, Dmáx: 
 








+
−=
)(SK
K
1ìD
0S
S
máx máx (E4.61) 
 Considerando a equação de Monod para velocidade específica de crescimento, se (S0) >> KS o valor 
de Dmáx se aproxima de µmáx (Eq. E4.61) e, conseqüentemente, estará perto do washout. Essa situação, 
ilustrada na Fig. 4.19, pode requerer produção máxima de biomassa em uma região de grande 
sensibilidade, o que demonstra a importância da necessidade do conhecimento da cinética do processo e 
do seu controle. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 84 
 
Figura 4.19 – Mudança da concentração de células e de substrato no efluente e da produtividade de 
massa celular, como função da taxa de diluição. Quando a produtividade é máxima, o valor 
de D é Dmáx. Para evitar a lavagem das células (washout), D deve ser menor que o valor no 
ponto em que X = 0, ou seja, D < µmáx. 
 
A partir das Eqs. (E4.52) e (E4.57), pode-se calcular a produtividade, (P).D, em relação à 
quantidade de produto formado: 
 





−
−⋅⋅=⋅
Dì
DK
)(S DYYD(P)
máx
S
0X/SP/X (E4.62) 
 O coeficiente de rendimento de produto em relação ao substrato consumido é YP/S, que é a razão 
entre a massa de produto formado e a massa de substrato consumido. Portanto, YP/S = YP/XYX/S. Assim, a 
Eq. (E4.62) pode ser escrita como: 
 





−
−⋅=⋅
Dì
DK
)(S DYD(P)
máx
S
0P/S (E4.63) 
 A produtividade máxima de produto é obtida quando d(P.D)/dD = 0. Como a velocidade específica de 
crescimento (equação de Monod) é função apenas da concentração de substrato, a produtividade máxima 
de produto também será obtida para o mesmo valor de D no qual a equação de produtividade máxima de 
células, X.D, foi desenvolvida (Eq. E4.61). 
 A substituição da Eq. (E4.61) na Eq. (E4.63) permite calcular o valor da concentração de produto, 
(P)máx, obtida quando o biorreator opera com produtividade máxima: 
 [ ][ ])(SK KK)(SY(P) 0SSS0 P/Smáx +−+= (E4.64) 
 Nessa condição, o valor da concentração de células, X, será: 
 [ ][ ])(SK KK)(SYX 0SSS0 X/S +−+= (E4.65) 
 
 
Exercício Resolvido 4.1 – Eficiência de degradação no CSTR 
 Você deseja degradar um determinado poluente, S, e para isso você vai utilizar uma bactéria que 
consome esse composto e o converte em substâncias inofensivas à saúde e ao meio ambiente. Durante o 
crescimento da bactéria no meio, todos os demais substratos estarão em excesso e apenas S limitará o seu 
crescimento. Para o tratamento desse poluente você vai utilizar um biorreator CSTR. Na tentativa de 
otimizar o sistema, você decidiu trabalhar com o fluxo de alimentação que garanta a maior eficiência de 
degradação de S (massa degradada de S por volume de biorreator por tempo – g/L.h). O volume do 
biorreator é de 120 L e a concentração do composto S no fluxo de alimentação é de 120 g/L. O biorreator é 
alimentado com meio estéril. São conhecidas as seguintes informações da bactéria: 
 X 
(S)2,4
0,6(S)
dt
dX
rX 





+
== (E4.66) 
 
dt
dX
15
1
dt
dS
rS −== (E4.67) 
 Utilizando esses dados, calcule a taxa de diluição que garantirá a máxima eficiência de degradação. 
Solução 
 A eficiência de degradação de um composto S pode ser definida como: 
 [ ] [ ]D (S))(S
V
F
(S))(SEf 00 −=−= (E4.68) 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 85 
 No CSTR operando em regime permanente: µ = D. Como rX = µX, a Eq. (E4.66) pode ser escrita 
como: 
 
)S(4,2
)S(6,0
D
+
==µ (E4.69) 
 [ ] 0,6(S)D (S)2,4 =+ 
 [ ](S)D0,62,4D −= 
 
D6,0
D4,2
)S(
−
= (E4.70) 
 A substituição da Eq. (E4.70) na Eq. (E4.68) resulta em: 
 D 
D0,6
2,4D
)(SEf 0 



−
−= 
 
D6,0
D4,2
D)S(Ef
2
0 −
−= (E4.71) 
 A eficiência máxima de degradação pode ser calculada fazendo a derivada primeira da Eq. (E4.71), 
em relação a D, igual a zero: 
 0
D)(0,6
2,4DD)(0,6 D 4,8
)(S
dD
d(Ef)
2
2
0 =








−
+−
−= 
 [ ] 02,4DD)(0,6 D 4,8D0,6 )(S 220 =−−−− 
 [ ] 02,4D4,8D2,88DD1,2D0,36 )(S 2220 =−+−−− (E4.72) 
 Substituindo (S0) = 120 g/L na Eq. (E4.72), tem-se: 
 02,43D 12,141D 117 2 =+−− 
e, finalmente: 
D = 0,253 h-1 
 
 
 
 Tarefa: Concentrações no CSTR 
Utilizando os dados e as condições de trabalho definidas no exercício resolvido 4.1, calcule as 
concentrações de substrato e de células no biorreator. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 86 
Exercício Resolvido 4.2 – produção de P em um CSTR 
 Pretende-se produzir um composto de interesse industrial, o qual é liberado por uma certa levedura 
como produto do seu metabolismo secundário. A velocidade de formação desse produto pela levedura, rP, é 
função apenas da massa celular: 
 XYr mP ⋅= (E4.33) 
sendo Ym = 0,25 g/g. 
 Esse produto também inibe o crescimento celular, de acordo com o modelo: 
 





−µ=µ
)P(
)P(1
m
máx (E4.73) 
 Para a produção de P foi escolhido um biorreator CSTR de 20 L, e o meio de crescimento foi 
formulado de forma que apenas o produto irá controlar a velocidade específica de crescimento (todos os 
substratos encontram-se em excesso). 
 Sabe-se que: µmáx = 0,8 h
-1 e (Pm) = 20 g/L. Os valores dos coeficientes de rendimento são: YX/S = 0,5 
g/g e YP/X = 6 g/g. Qual deverá ser a produtividade máxima de produto alcançada, em g/L.h? 
 
Solução 
 A partir da Eq. (E4.73) e, como µ = D para um biorreator CSTR no regime permanente e com 
alimentação estéril, tem-se que: 
 





−µ==µ
)P(
)P(1D
m
máx 
 





µ
−=
máx
m
D1 )P()P( (E4.74) 
 A produtividade em relação ao produto é calculada multiplicando (P) pela taxa de diluição; então: 
 
máx
2
m
m ì
)D(P
)D(PD(P) −=⋅ (E4.75)
 Fazendo a derivada primeira em relação a D igual a zero, obtém-se a produtividade máxima de 
produto: 
 0
D)P(2
)P(
dD
)DP(d
máx
m
m =µ
−=
⋅
 
 
2
D máx
µ
= (E4.76) 
 Resolvendo a Eq. (E4.76), tem-se que D = 0,8/2 = 0,4 h-1. A substituição dos valores de (Pm) e de D 
na Eq. (E4.75) resulta em: (P).D = 4 g/L.h. 
 
 
Tarefa: Concentrações na descarga do CSTR 
Qual a concentração de produto e de células na descarga do biorreator CSTR, com os mesmos 
dados e nas condições operacionais definidas no exercício anterior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 87 
 Em várias ocasiões, os biorreatores são projetados considerando que existe uma relação entre a 
velocidade específica de crescimento da biomassa e a concentração de um substrato limitante no biorreator. 
Com base nessa relação, é possível controlar a concentração do substrato limitante na descarga do 
biorreator, a partir do controle da velocidade específica de crescimento, controlando, por exemplo, o fluxo de 
alimentação e, ou o volume do biorreator, desde que o substrato, cuja concentração o engenheiro deseja 
controlar, seja o substrato limitante. Dessa forma, quando existe a possibilidade de limitação do crescimento 
devidoa mais de um substrato, alguns cuidados devem ser tomados no projeto e no funcionamento de um 
biorreator. 
 Exemplos típicos da limitação do crescimento por mais de um substrato são os processos aeróbicos 
de crescimento. Devido à baixa solubilidade de oxigênio, esse gás é normalmente injetado continuamente 
no biorreator e sua concentração no líquido dependerá da quantidade injetada e da taxa de consumo pelas 
células. Em sistemas de tratamento de resíduos, o oxigênio representa uma elevada parcela dos custos e 
por isso é comum o funcionamento de biorreatores com limitação na concentração de oxigênio. A Fig. 4.20 
apresenta a simulação do efeito da concentração de oxigênio dissolvido (0,1; 0,5; 2,0 e 8,0 mg/L) e de 
nitrogênio amoniacal (0,0 a 10,0 mg/L) na velocidade específica de crescimento de uma bactéria autotrófica, 
representada pela equação: 
       
    2
máx 2
O 2 N
ì (O ) N
ì = 
K +(O ) K +N
 (E4.77) 
 
Figura 4.20 – Efeito da concentração de oxigênio dissolvido e de nitrogênio amoniacal na velocidade 
específica de crescimento de uma bactéria autotrófica. 
 
 Nesse exemplo, se a velocidade específica de crescimento for definida como 0,0225 h-1, a 
concentração de nitrogênio na descarga do biorreator será de 2,8 mg/L. Se, por algum distúrbio operacional, 
a concentração de oxigênio dissolvido for reduzida para 2,0 mg/L, a concentração de nitrogênio será 
automaticamente aumentada para 7,0 mg/L, considerando que a velocidade será mantida constante (µ = 
F/V). 
 
 
 Tarefa: Oxigênio limitante 
O que acontecerá com o sistema representado na Fig. 4.20, se a concentração de oxigênio 
dissolvido for reduzida para 1,0 mg/L? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 88 
4.7 Estimativa dos parâmetros cinéticos 
 Os parâmetros cinéticos podem ser determinados experimentalmente em biorreatores tipo CSTR, ou 
em batelada, utilizando a técnica da velocidade inicial. 
4.7.1 Biorreator contínuo – CSTR 
 A igualdade entre a velocidade específica de crescimento e a taxa de diluição para um CSTR em 
regime permanente (Eq. E4.41) é útil para estudo e quantificação dos efeitos de vários componentes do 
meio na velocidade específica de crescimento. Pela medida da concentração do fator limitante (substrato ou 
produto) no regime permanente com diferentes fluxos de trabalho, é possível relacionar o efeito da 
concentração do fator limitante na velocidade específica de crescimento e, então, estimar os valores dos 
parâmetros cinéticos. 
 Durante o estudo do efeito de um fator de inibição na velocidade específica de crescimento da célula, 
é necessário garantir que apenas esse fator varie para as diferentes condições de regime permanente. É 
possível até que um segundo efeito inibidor esteja afetando a célula, mas esse fator e seu efeito devem ser 
conhecidos. 
 Assim, assumindo um único fator limitando o crescimento e, para cada condição de regime 
permanente obtida, ou seja, µ = F/V, a velocidade específica de crescimento estará diretamente relacionada 
com a concentração do fator limitante no interior do biorreator, como visto nas demonstrações anteriores. 
 Uma seqüência lógica para estimativa dos coeficientes da equação da velocidade específica de 
crescimento é: 
1. Cálculo do valor da taxa de diluição, D, ou da velocidade específica de crescimento para cada valor de 
F. A taxa de diluição para o biorreator CSTR, operando no regime permanente, é D = F/V = µ. 
2. Apresentação, em forma de gráfico, do efeito da concentração do fator inibidor (substrato ou produto) na 
velocidade específica de crescimento. 
3. Definição, a partir do comportamento dos dados no gráfico, da(s) equação(ões) que melhor se 
adapta(m) à descrição matemática do efeito. 
4. Estimativa dos coeficientes utilizando regressão linear ou não-linear. 
 
 Para o caso dos coeficientes de rendimento, a estimativa deverá ser feita com base na equação de 
balanço de massa em condições de regime permanente. De acordo com a Eq. (E4. 43): 
 − + ⋅ =o SF(S ) F(S) V r 0 (E4.78) 
 Considerando a forma mais completa para a equação da taxa de consumo de substrato (Eq. E4.27) e 
que dX/dt = µX, então: 
 − = µ + ⋅o
X/S
1
[(S ) (S)]D ( X) m X
Y
 (E4.79) 
 Como µ = D, a Eq. (E4.79) torna-se: 
 −  = +  
o
X/S
(S ) (S) 1
D D m
X Y
 (E4.80) 
 = +ap
X/S X/S
D 1
D m
Y Y
 (E4.81) 
 
 A relação X/[(So) – (S)], denominada coeficiente de rendimento de crescimento aparente, YX/S
ap, pode 
ser facilmente calculada se forem conhecidas as concentrações de substrato, no meio de alimentação e no 
interior do biorreator, e a concentração de biomassa. Os valores calculados para cada condição de regime 
permanente são apresentados em um gráfico que representa os valores do lado esquerdo da Eq. (E4.81) 
versus D. Na equação da reta obtida por regressão linear, YX/S é o inverso da inclinação e o coeficiente de 
manutenção, m, é o intercepto da reta no eixo Y. Esses dados poderão apresentar três comportamentos, 
mostrados na Fig. 4.22. 
 Para estimativa dos coeficientes de rendimento de produto, utiliza-se o mesmo procedimento, a partir 
da equação de balanço de massa para produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 89 
 
 
 
Figura 4.22 – Relações entre D/Yap e D para três casos possíveis, dependendo do tipo de produto formado, 
sendo a) associado ao crescimento: m = 0 e YX/S � 0; b) não-associado ao crescimento: m � 
0 e YX/S = 0; e c) misto (associado e não-associado ao crescimento): µ = 0 e YX/S = 0. 
 
 
 
Exercício Resolvido 4.3 – Crescimento de levedura 
 O estudo cinético de uma levedura foi feito por meio de experimentos em um CSTR. O fluxo de meio 
foi variado e as concentrações de células e de substrato (glicose) no biorreator, em regime permanente, 
foram medidas para cada condição de regime permanente alcançada e estão apresentadas na tabela 
abaixo. A concentração de glicose na alimentação foi de 100 g/L. O volume do biorreator era de 500 mL e o 
meio de alimentação estéril. 
 
Fluxo, (mL/h) Conc. de células, (g/L) Conc. de substrato, (g/L) 
31 5,97 0,5 
50 5,94 1,0 
71 5,88 2,0 
91 5,76 4,0 
200 0 100 
a) Encontre a equação de velocidade para o crescimento celular. 
b) Estime os coeficientes de rendimento de crescimento e de manutenção. 
c) Qual deve ser a faixa de fluxo para prevenir a lavagem das células? 
 
Solução 
 Inicialmente, para cada valor de F, calcula-se o valor de D ou a velocidade específica de crescimento. 
A taxa de diluição para o biorreator CSTR, operando no regime permanente, é D = F/V = µ. 
 
Fluxo, (mL/h) Conc. de substrato, (g/L) D = � = F/V, (h-1) 
31 0,5 0,062 
50 1,0 0,100 
71 2,0 0,142 
91 4,0 0,182 
200 100 0,400 
 
Uma segunda etapa é a apresentação, em forma de gráfico, do efeito da concentração do substrato 
na velocidade específica de crescimento (Fig. 4.23). 
D 
D0,6
2,4D
)(SEf 0 



−
−=
 
Figura 4.23 – Relação entre taxa de diluição e concentração de substrato para os dados do exercício 
resolvido 5.3. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 90 
 
 De acordo com o formato do gráfico de D (ou µ) versus (S), conclui-se que a velocidade específica de 
crescimento pode ser expressa pela cinética de Monod. Nesse caso, o gráfico de 1/D versus 1/(S), obtido a 
partir da linearização da equação de Monod pelo método de Lineweaver-Burk para a equação de Michaelis-
Menten, deverá resultar em uma linha reta. Esse gráfico está mostrado na Fig. 4.24, com inclinação KS/µmáx 
e intercepto 1/µmáx. 
 
y = 6.5274x + 3.3245
R2 = 0.9872
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
1/(S)
1
/D
 
Figura 4.24 – Relação entre 1/D e 1/(S) para os dados do exercício resolvido 5.3. 
 
 De acordo com a equação da reta obtida (Fig. 4.24), os valores da inclinação e do intercepto são: 
6,5
ì
K
máx
S = e 3,3
ì
1
máx
= 
 Conseqüentemente, µmáx = 0,3 h
-1, KS = 1,96 g/L e a equação para a velocidadede crescimento das 
células será: 
(S)1,96
0,3(S)X
(S)K
(S)Xì
ìXr
S
máx
X +
=
+
== 
 Outras formas de linearização podem ser utilizadas, mas é importante lembrar que se for desejado um 
ajuste mais preciso, deve ser utilizado um programa estatístico para regressão não-linear. 
b) Como a concentração de substrato no meio de alimentação é 100 g/L, então: 
 
D, (h-1) Conc. de substrato, (g/L) Conc. de células, (g/L) o
(S ) (S) D
X
−−  
    
 
0,062 0,5 5,97 1,033 
0,100 1,0 5,94 1,667 
0,142 2,0 5,88 2,367 
0,182 4,0 5,76 3,033 
0,400 100 0 0 
 
 A partir da Eq. (E4.80) é possível construir um gráfico, mostrado na Fig. 4.25, de [(S0)-(S)]D/X versus 
D, cuja inclinação é 1/YX/S e o intercepto é m: 
 −  = +  
o
X/S
(S ) (S) 1D D m
X Y
 (E4.80) 
 
y = 16.667x + 3E-06
R2 = 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2
D
[(
S
0)
-(
S
)]
D
/X
 
Figura 4.25 – Relação entre [(S0)-(S)]D/X versus D para os dados do exercício resolvido 5.3. 
 
 A equação da reta para esse gráfico é: y = 16,667 X + 3x10-16. A partir desses valores pode-se 
considerar YX/S = 0,06 g/g e m = 0. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 91 
c) Para evitar o washout, a concentração de células deve ser mantida em um valor maior que zero e, 
conseqüentemente, F deverá ser menor que 0,147 L/h. 
 
 
Tarefa: lavagem das células 
Demonstre como o valor máximo de D e, conseqüentemente, o valor de F, para prevenir o 
washout, encontrado no exercício resolvido 5.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7.2 Biorreator batelada 
 No capítulo 4 foi descrita a técnica da velocidade inicial para estimativa do efeito da concentração de 
substratos ou de inibidores na velocidade de reações catalisadas por enzimas. Procedimento similar 
também é utilizado em processos de crescimento celular, para estimar o efeito da concentração de 
nutrientes e de inibidores na velocidade específica de crescimento e nos demais coeficientes cinéticos. 
 Diferentes biorreatores com condições idênticas de crescimento, exceto a concentração do 
componente que se deseja estudar, são inoculados com células e o crescimento é acompanhado durante a 
fase exponencial. A velocidade específica de crescimento será a inclinação da reta no gráfico ln(X) versus 
tempo (de acordo com a Eq. 5.5), para os dados na fase exponencial. A velocidade específica de 
crescimento estimada será relacionada à concentração do fator em estudo. A partir dos dados obtidos 
segue-se o procedimento sugerido anteriormente. 
 A técnica da velocidade inicial também é utilizada no estudo de outros efeitos, além da concentração 
de nutrientes e de inibidores. Essa técnica é utilizada para estudar o efeito de temperatura, nível de oxigênio 
dissolvido, pressão osmótica, e qualquer outro efeito no crescimento. 
 Da mesma forma, os coeficientes de rendimento podem ser estimados. No caso dos coeficientes para 
a equação de consumo de substrato, considerando a equação proposta para descrever a variação de 
substrato com o tempo (Eq. 5.27), tem-se que: 
 = − µ − ⋅
X/S
dS 1 ( X) m X
dt Y
 (E4.27) 
 A Eq. (E4.27) pode se re-escrita como: 
 ∆ = − µ − ⋅
∆ X/S
S 1 ( X) m X
t Y
 
ou: 
 
 −  = µ +   −  
0
0 X/S
(S ) (S)1 1
m
X (t t ) Y
 (E4.82) 
 O lado esquerdo da Eq. (E4.82) pode ser estimado para cada condição de crescimento, sendo ∆S/∆t 
a variação da concentração de substrato no intervalo de tempo; o valor de X será o valor médio no intervalo 
considerado. Poderia ser interpretado como a concentração de células responsável pelo consumo de 
substrato no intervalo de tempo considerado. Os dados tabelados poderão ser representados em gráficos 
de (∆S/∆t)/X versus µ e os coeficientes estimados. Procedimento similar poderá ser feito para produtos. 
 A técnica da velocidade inicial é muito utilizada na estimativa de coeficientes da cinética de 
crescimento celular, principalmente devido à simplicidade na montagem dos experimentos (batelada) e à 
geração rápida de dados experimentais (muitos biorreatores operando ao mesmo tempo). Entretanto, como 
já mencionado no capítulo 4, essa técnica apresenta o inconveniente da variação das concentrações de 
nutrientes, de produtos e de biomassa com o tempo, o que é característico do crescimento em biorreatores 
tipo batelada. Uma forma de tentar minimizar essa desvantagem é inocular quantidades reduzidas de 
células, mas suficientes para o acompanhamento do seu crescimento, o que dependerá da técnica utilizada. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 92 
4.8 Variações em projetos de biorreatores 
 
 Muitas vezes, na tentativa de se obter produtividades maiores, são encontradas variações nos 
projetos dos biorreatores. Essa escolha dependerá do objetivo do sistema, das características da indústria e 
das possibilidades técnicas e econômicas. 
 Em alguns sistemas, é interessante aumentar a população de células em suspensão ou separar o 
processo em duas fases distintas: fase de crescimento e fase de produção, que são condições impossíveis 
de serem alcançadas nos projetos descritos. Entre as configurações utilizadas destacam-se: CSTR em 
série, CSTR ou PFR com recirculação, batelada com alimentação, biorreator com células imobilizadas, 
biorreator fluidizado, biorreator tipo coluna empacotada, entre outras. 
4.8.1 CSTRs em série 
 Um sistema com dois estágios é apresentado na Fig 5.26. As equações de balanço de massa para 
células e para substrato serão as mesmas já apresentadas: 
 
1máx
S1
1 Dì
KD
)(S
−
⋅
= (E4.51) 
 [ ])S()(SYX 10X/S1 −= (E4.49) 
 
 
Figura 4.26 – Diagrama esquemático de dois biorreatores CSTR conectados em série. 
 
 Para o segundo biorreator o balanço de biomassa será: 
 
dt
dX
VXVFXFX 2222221 =⋅µ⋅+− (E4.83) 
o qual, em regime permanente, torna-se: 
 



−=µ
2
1
22 X
X
1D (E4.84) 
 Verifica-se, na Eq. (E4. 84), que µ2 < D2. 
 O balanço de substrato limitante no segundo biorreator será: 
 
dt
dS
V
Y
Xì
V)F(S)F(S 22
X/S
22
221 =−− (E4.85) 
 No regime permanente, a Eq. (E4. 85) torna-se: 
 
X/S2
22
12 YD
Xì
)S()(S −= (E4.86) 
sendo: 
 
2
2 V
F
D = e 
)S(K
)(S
2S
2máx
2 +
µ
=µ 
Após substituir µ2 nas Eqs. (E4.84) e (E4.86), as mesmas podem ser resolvidas simultaneamente 
para o cálculo de X2 e S2. 
 Em alguns sistemas é interessante a adição de um meio complementar no segundo biorreator, com o 
objetivo de complementar algum nutriente, por exemplo. Assumindo que é adicionado meio estéril, sendo o 
fluxo representado por F*, o balanço de células será: 
 
dt
dX
VXVX F*)F(FX 2222221 =⋅µ⋅++− (E4.87) 
 Em regime permanente: 
 
22
1'
22 XV
FX
D −=µ (E4.88) 
sendo: 
 
2
*
2 V
*)FF(
D
+
= e 
)S(K
)(S
2S
2máx
2 +
µ
=µ 
Em relação ao substrato, a equação de balanço de massa será, em regime permanente: 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 93 
 
X/S
22
2201 Y
Xì
V)S*)(FF()S*)(F()F(S =+−+ (E4.89) 
 Equações semelhantes podem ser obtidas também para produto, a partir do balanço de massa. 
 Uma importante observação em sistemas de biorreatores CSTR ligados em série é o fato de que, 
apesar do sistema operar em regime permanente, não é possível considerar que as células estão em 
crescimento balanceado a partir do segundo biorreator. O segundo biorreator é alimentado com células 
provenientes de um ambiente com diferentes condições de crescimento e que encontraram células com 
diferentes períodos de adaptação nas novas condições de crescimento. O mesmo acontece com os demais 
biorreatores. 
 
 
Exercício Resolvido 5.4 – Crescimento de E. coli 
 A velocidade de crescimento para Escherichia coli, em g/L.h, pode ser expressa pelo seguinte 
modelo:X 
)S(71,0
)S( 935,0
dt
dX






+
= (E4.90) 
sendo (S) a concentração do substrato limitante (glicose). Você irá cultivar esse microrganismo em um 
CSTR, cujo volume é de 10 L, com fluxo de trabalho de 7 L/h. A concentração de substrato na alimentação 
é de 10 g/L e o valor de YX/S é 0,6. O meio de alimentação é estéril. 
a) Em regime permanente, qual será o tempo de geração das células? 
b) Em regime permanente, qual será a concentração de célula na descarga do biorreator? 
c) Se você conectar mais um biorreator CSTR de 10 L na saída do primeiro, qual será a concentração de 
células e de substrato na descarga do segundo biorreator? 
d) Se você aumentar o fluxo de alimentação de 7 L/h para 10 L/h, nos dois biorreatores ligados em série, o 
que acontecerá e por quê? Faça uma recomendação para evitar o problema, se existir. 
 
Solução 
a) O tempo de geração pode ser calculado pela Eq. (E4.7): 
ì
ln2
tG = 
 Como µ = D = F/V = 10/7 = 0,7h-1, o valor de tG será: 
7,0
69,0
7,0
2ln
tG == 
tG = 0,99 h = 59,4 min 
b) A concentração de substrato na descarga do biorreator pode ser determinada a partir da expressão para 
µ na Eq. (E4. 90): 
1h7,0
)S(71,0
)S(935,0 −=





+
=µ 
)S(935,0)S(7,0497,0 =+ 
 (S) = 2,115 g/L 
 Fazendo o balanço de substrato é possível calcular a concentração de células na descarga do 
biorreator, considerando regime permanente, o que resulta na equação: 
 [ ](S))(SYX 0 X/S −= (E4.49) 
 Substituindo na Eq. (E4.49) os valores dados de YX/S e (S0), e também o valor de (S) calculado, tem-
se que: X = 4,731 g/L. 
 
c) Para o caso de dois biorreatores conectados em série, como ilustrado na Fig. 4.22, a Eq. (E4.28) ou 
(E4.49) pode ser escrita como: 
 [ ])(S)(SYXX 21 X/S12 −=− (E4.91) 
 [ ])(S2,115 0,64,731X 22 −+= 
 )S(6,06X 22 −= (E4.92) 
 Os balanços de substrato para os dois biorreatores são: 
 [ ] )rV((S))(S F S10 −=− (E4.93) 
 [ ] )rV()(S)(S F S221 −=− (E4.94) 
 As velocidades de produção de células e de consumo de substrato no segundo biorreator são: 
 22
X/S
2
X/S
2
2S XìY
1
dt
dX
Y
1
dt
dS
r ==−=− (E4.95) 
 O meio que alimenta o segundo biorreator não é estéril, pois X1 ≠ 0, portanto, µ não será igual a D. A 
substituição da Eq. (E4.90) na Eq. (E4.95) resulta em: 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 94 
 2
2
2
X/S
2S X )(S0,71
)0,935(S
Y
1r 





+
=− (E4.96) 
 Substituindo as Eqs. (E4.92) e (E4.94) na Eq. (E4. 96), tem-se que: 
 [ ])0,6(S6
0,6
1
)(S0,71
)0,935(S
 10)7(S7(2,115) 2
2
2
2 −





+
=− (E4.97) 
Pela Eq. (E4.97) calcula-se o valor da concentração de substrato na descarga do segundo biorreator: 
 (S2) = 0,1261 g/L 
Com o valor de (S2), determina-se a concentração de células a partir da Eq. (E4.92): 
 X2 = 5,9243 g/L. 
 
d) Para F = 10 L/h, a taxa de diluição no primeiro biorreator será: 
 D = µ = F/V = 10/10 = 1,0 h-1 
 Como µmáx = 0,935 h
-1, D será maior que µmáx se o fluxo for aumentado para 10 L/h, o que resultará 
na lavagem das células. Para evitar esse problema, quando o aumento do volume for necessário, pode-se 
empregar um fluxo de retorno (reciclagem) da descarga do primeiro ou do segundo biorreator para o 
primeiro, repondo as células, ou usar células imobilizadas no biorreator. 
 
4.8.2 Biorreatores com recirculação 
 Foi demonstrado que a velocidade específica de crescimento, em um biorreator CSTR, será igual à 
taxa de diluição, quando o regime permanente é alcançado. Para cada condição de regime permanente, o 
biorreator apresentará uma concentração definida de substrato limitante, de produtos e de biomassa. A 
recirculação de biomassa é uma forma de se alcançar concentrações mais elevadas de células e valores de 
taxa de diluição superiores à velocidade específica de crescimento. A recirculação, além de aumentar a taxa 
de conversão do sistema, aumenta sua estabilidade e, por isso, é uma prática muito utilizada em sistemas 
de tratamento de resíduos, por serem estes sistemas sujeitos a grandes variações. As células podem ser 
separadas em centrífugas, filtros ou por sedimentação em tanques cônicos. A Fig. 4.27 ilustra um biorreator 
CSTR com recirculação. 
 
Figura 4.27 – Diagrama esquemático de um biorreator CSTR com recirculação de células. 
 
 O balanço de células no reator para esse tipo de sistema será: 
 
dt
dX
VXVX)FF(XFFX rrr0 =⋅µ⋅++−+ (E4.98) 
 Considerando regime permanente, meio de alimentação estéril (X0 = 0) e FFr α= e XXr β= , a Eq. 
(E4.98) pode ser escrita como: 
 0XìVFX )(1X)( F)( =⋅⋅+α+−βα (E4.99) 
 Da Eq. (E4.99) tem-se que: 
 )1( D βα−α+=µ 
ou: 
 [ ])1(1 D β−α+=µ (E4.100) 
 De acordo com a Eq. (E4.100), é possível ter o biorreator funcionando com velocidade específica de 
crescimento menor que a taxa de diluição, quando é utilizada recirculação de células. 
 O balanço de substrato limitante será: 
 
dt
dS
V
Y
X
VS)()F(FS)(F)S(F
S/X
rr0 =
µ
−+−+ (E4.101) 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 95 
 Assumindo as mesmas relações e considerando regime permanente, a Eq. (E4.101) torna-se: 
 0
Y
X
VS)()F1(S)(F)S(F
S/X
0 =
µ
−α+−α+ (E4.102) 
 e: 
 





µ
−
=
)]S()S[(D
YX 0S/X (E4.103) 
ou, substituindo a Eq. (E4.100) na Eq. (E4.102): 
 
)1(
)S()S(
YX 0S/X αβ−α+
−
= (E4.104) 
 A concentração de substrato poderá ser determinada a partir da Eq. (E4.104). Se for assumindo que a 
equação para velocidade específica de crescimento (E4. 100) segue a cinética de Monod, então: 
 
)1(D
)1(DK
S
máx
S
αβ−α+−µ
αβ−α+
= (E4.105) 
 A Eq. (E4.105) pode ser escrita como: 
 





αβ−α+−
αβ−α+
−
αβ−α+
=
)(1 Dì
)(1 DK
)(S
)(1
Y
X
máx
S
0
X/S (E4.106) 
 A equação para estimativa da concentração de biomassa na descarga do biorreator, Xd, pode ser 
obtida a partir do balanço de células em torno do concentrador ou pelo balanço global. Para o primeiro caso: 
 rrdr XFFX)XF(F +=+ (E4.107) 
 Rearranjando a Eq. (E4.107), tem-se que: 
 )X(1Xd αβ−α+= (E4.108) 
Para melhor visualizar os efeitos da recirculação em um biorreator CSTR, a Fig. 4.28 ilustra 
graficamente a variação da concentração de células e da produtividade de biomassa na descarga, para 
diferentes condições de recirculação, com o valor de D. Nesse exemplo, o crescimento é limitado pelo 
substrato e obedece a equação de Monod, sendo a velocidade específica máxima, µmáx, igual a 0,20 h
-1. 
Na Fig. 4.28, o gráfico A mostra o efeito da variação do fator de recirculação do fluxo, α, na 
concentração de células na descarga, mantendo-se o nível de concentração de células no fluxo de 
recirculação, β, constante. Em B, α é constante e β varia. Os gráficos C e D mostram os resultados das 
simulações para as mesmas condições operacionais de A e B, com relação à produtividade de células 
(g/L.h). 
Observa-se claramente na Fig. 4.28 a possibilidade de funcionamento do biorreator com valores de 
taxa de diluição, D, superiores à velocidade específica máxima de crescimento, e também a obtenção de 
maior produtividade de células com a recirculação (gráficos C e D). 
De acordo com a Eq. (E4.100), 0 < (1+ α� - αβ) < 1. Quando (1+ α� - αβ) = 1, obtém-se 
comportamento idêntico ao processo sem recirculação de biomassa. Por exemplo, se não existir 
concentração de células (β = 1), então (1+ α� - αβ) = 1 para qualquer valor de α, ou, em outras palavras, a 
simples recirculação de uma parcela do fluxo de descarga do biorreator, sem a concentração de células, 
não altera o comportamento do sistema. Além disso, verifica-se que para cada valor de β existirá um valor 
máximo de α e vice-versa.TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 96 
Figura 4.28 – Relação entre concentração de células e produtividade em relação à 
 biomassa e taxa de diluição, para diferentes condições de recirculação. 
 
 
 
Tarefa: recirculação de biomassa 
 
Um biorreator operando com recirculação apresenta os seguintes parâmetros operacionais: fluxo 
de 10 L/h e volume de 100 L. O sistema opera com limitação de glicose (equação de Monod), com 
os seguintes parâmetros cinéticos: YX/S = 0,5 g células/g glicose;�µmáx = 0,3 h
-1; KS = 1g/L. A concentração do 
substrato no fluxo de alimentação é de 10 g/L. Parâmetros da recirculação: α �= 0,8 e β �= 1,5. Considerando 
regime permanente, calcule: 
 
a) a concentração de substrato na descarga; 
b) a velocidade específica de crescimento; 
c) a concentração de célula no interior do biorreator e na descarga; e 
d) a produtividade de célula do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
C
on
ce
nt
ra
ca
o 
de
 b
io
m
as
sa
0
1
2
3
4
5
6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
P
ro
du
tiv
id
ad
e 
de
 b
io
m
as
sa
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0
1
2
3
4
5
6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
D
β = 2,0β = 2,0
β = 2,0β = 2,0
α = 0,25α = 0,25
α = 0,25α = 0,25
α = 0,25α = 0,25
α = 0,50α = 0,50
α = 0,75α = 0,75
Ausência 
de recirculação
D
ββ = 2,5
Ausência 
de circulação
ββ = 2,0
ββ = 1,5
ββ = 2,5
Ausência 
de circulação
ββ = 2,0
ββ = 1,5
α = 0,25α = 0,25
α = 0,50α = 0,50
Ausência 
de circulação
α = 0,75α = 0,75
D
B 
D 
B
DC
A
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 97 
4.8.3 Biorreator semi-batelada 
 Em biorreatores semi-batelada, ilustrados na Fig. 4.25, o meio de cultura ou apenas um nutriente 
específico alimenta o biorreator, de forma permanente ou intermitente, existindo, assim, variação de seu 
volume. Esses biorreatores têm sido utilizados, por exemplo, para evitar inibição por altas concentrações de 
substrato ou repressão catabólica durante o processo. Se alta concentração de substrato apresenta efeito 
inibidor no crescimento celular, a alimentação ao longo do processo irá aumentar a produtividade do 
sistema. Tais sistemas são também chamados de semi-contínuos ou tipo batelada com alimentação. 
 
Figura 4.25 – Sistemas de biorreatores tipo batelada com alimentação. 
 
 Como mencionado, o volume do sistema irá variar, função do fluxo de alimentação, ou seja, 
 F
dt
dV = 
 Se o fluxo de alimentação é constante, então: 
 
 FtVV i += (E4.109) 
 O balanço de massa de células no sistema será, portanto: 
 X0 rVFXdt
dV
X
dt
dX
V
dt
d(VX)
⋅+=



 += (E4.110) 
 Se X0 = 0 (meio de alimentação estéril), a Eq. (E4.110) torna-se: 
 X
V
F
)X(
V
F
X
dt
dX




 −µ=µ+−= (E4.111) 
 Para substrato: 
 S0 rV)S(Fdt
dV
S
dt
dS
V
dt
d(VS)
⋅+=



 += (E4.112) 
 Assumindo que: 
 )X(
Y
1
r
S/X
S µ



=− (E4.113) 
então a Eq. (E4.112) pode ser escrita como: 
 )X( 
Y
1
V
F )(S
V
F (S)
dt
dS
X/S
0 µ





−




+




−= 
 
X/S
0 Y
X
V
F
 )]S()S[(
dt
dS µ
−



−= (E4.114) 
 Da mesma forma, para produto, assumindo P0 = 0 e: 
 )X(Y
dt
Pdr P/XP µ== 
então: 
 )X(YPD
dt
dP
P/X µ+−= 
 Se for assumido que a velocidade específica de crescimento da célula é função de apenas um 
substrato limitante e segue equação de Monod, então: 
)S(K
)S(
S
máx
+
µ
=µ 
e: 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 98 
)(
K
S
máx
s
µ−µ
µ
= 
 
 
Literatura Consultada 
 
AIBA, S.; HUMPHREY, A. E.; MILLIS, N. F. Biochemical engineering. New York: Academic Press, Inc. 
1973. 
 
ATKINSON, B; MAVITUNA, F. Biochemical engineering and biotechnology handbook. New York: M 
Stockton Press, 2nd Ed., 1991. 
 
BAILEY, J. E.; OLLIS, DAVID F. Biochemical engineering fundamentals. New York: McGraw-Hill, 2nd Ed., 
1986. 
 
BAIRD-PARKER, A. C.; BRYAN, F. L.; CHRISTIAN, J. H. B.; CLARK, D. S.; OLSON, J. C.; ROBERTS, T. A. 
Microbial ecology of foods: factors affecting life and death of microorganisms. Vol. 1. Orlando: 
Academic Press, Inc., 1980. 
 
BROCK, T. D.; MADIGAN, M. T.; MARTINKO, J. M.; PARKER, J. Biology of microorganisms. New 
Jersey: Prentice Hall, Inc., 7th Ed., 1994. 
 
CALDWELL, D. R. Microbial physiology and metabolism . Belmont: Star Publishing Company, 2nd Ed., 
2000. 
 
DAWES, A. W; SUTHERLAND, I. W. Volume four of basic microbiology: microbial physiology. Oxford: 
Blackwell Scientific Publications, 2nd Ed., 1992. 
 
JACSON, A. T. Process engineering in biotechnology. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1991. 
 
LEE, J. M. Biochemical engineering. New Jersey: Prentice Hall, Inc., 1992. 
 
LEVENSPIEL, O. Chemical reactions engineering. New York: John Wiley & Sons, 2nd Ed., 1974. 
 
NEIDHARDT, F. C.; INGRAHAM, J. L.; SCHAECHTER, M. Physiology of the bacterial cell: a molecular 
approach. Sunderland: Sinauer Associates, Inc., 1990. 
 
PASSOS, F. J. L. Kinetics and modeling of cucumber fermentation. 1993. 269p. Raleigh, USA: North 
Carolina State University, 1993. (Ph.D. Thesis). 
 
PIRT, S. J. Principles of microbe and cell cultivation. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1975. 
 
RAMOS, A. L. S. Desempenho de reatores anaeróbios de alta taxa no tratamento de efluentes 
gerados em unidade de abate e processamento de suínos. 2002. 79p. Viçosa: Universidade Federal de 
Viçosa, 2002. Tese (Mestrado). 
 
Anotações de aulas. 
 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 99 
EEXX EERRCCÍÍCCIIOOSS PP RROOPPOOSSTT OOSS 
 
 
1. O crescimento de uma bactéria em um biorretor tipo batelada pode ser descrito pelos seguintes modelos: 
 X
dt
dXrX µ== 
 



=−=−
dt
dX
Y
1
dt
dS
r
X/S
S 
 
)S(K
)S(
S
máx
+
µ
=µ 
Assumindo os parâmetros µmáx = 0,935 h
-1; KS = 0,71 g/L; YX/S = 0,6 g/g; X0 = 0,1 g/L e (S0) = 10 g/L: 
a) Qual a concentração de substrato no meio para a qual a velocidade específica de crescimento da 
bactéria será 0,12 h-1? 
b) Calcule o tempo para que 95% do substrato seja degradado. 
 
2. Utilizando as mesmas equações e dados do exercício anterior e assumindo um biorreator CSTR com 
volume de 500 L: 
a) Esboce o gráfico de X, S e produtividade de célula, X.D, versus D. 
b) Se o interesse é a produção de massa celular, existirá alguma condição operacional na qual será obtida 
produtividade máxima? Se positivo, quais são essas condições? 
c) Qual a faixa de fluxo que irá prevenir a lavagem das células? 
 
3. O crescimento de E. coli em meio sintético pode ser expresso pelo modelo de Monod, com µmax = 0,935 
h-1 e Ks=0,71g/l. Você esta cultivando a E. coli em um CSTR, em regime permanente, com volume de 
10 L, fluxo de 7 L/h e Yx/s de 0,6. A concentração de substrato na alimentação é 10g/l e o meio é 
estéril. 
a) Qual será o tempo de geração da célula no CSTR? 
b) Qual a concentração de células e substrato na descarga? 
c) Se você conectar mais um reator de 10 L na descarga do primeiro, qual será a concentração de 
células e substrato na descarga do segundo CSTR? 
d) Se você aumenta o fluxo de 7 L/h para 10 L/h para os reatores em serie, o que deverá acontecer e 
porque? É possível fazer alguma recomendação para evitar o problema se por acaso existir 
problema? 
 
4. Considere que a velocidade especifica de crescimento de um m.o. expressa pela seguinte equação: 
 µ = µmax . (1 – exp(-S/Ks)) 
sendo µmax = 0,365 h
-1 e Ks = 6,8 g/l. O rendimento celular, Yx/s, é 0,45 g/g. 
Se você cultivar este m.o. em um CSTR de 10 L e fluxo de 2,8 L/h, qual será a concentração de células 
na descarga, se a concentração do substrato na alimentação é 13 g/L. 
 
5. O crescimento do organismo que você trabalha pode ser representado através do seguinte modelo: 
X
S2,0
S85,0
dt
dX
⋅




+
⋅
= 




⋅−=
dt
dX
5,0
1
dt
dSO organismo será cultivado em um reator do tipo CSTR, onde o fluxo será 12L/h e a concentração de 
substrato no meio de alimentação é So=10g/L. 
a) Qual a concentração de substrato no tanque, se o volume é 30L? 
b) Qual serão as concentrações de células no fermentador? 
c) Qual a produtividade de células? 
PS: Assumir regime permanente e derivar as equações e relações utilizadas. 
 
6. Para melhorar a produtividade do sistema descrito anteriormente alguém recomenda desenvolver um 
sistema com dois reatores. Cada reator terá 15 L (metade do reator do problema anterior) e a descarga 
do primeiro reator alimentará o segundo reator. Após o regime permanente ser alcançado, 
a)Qual a concentração de substrato e de células nos tanque 1 e 2? 
b)Qual a produtividade de células? 
 
7. Suponha que você trabalhe com uma bactéria que obedece a equação de Monod, sendo µmax= 0,7 h
-1 e 
Ks = 5 g/l. O rendimento celular, Yx/s, é 0,65 g/g. Você deseja cultivar esta bactéria em um reator do 
tido CSTR. O volume do reator é 1 L a concentração de substrato no meio de alimentação é 85 g/l. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 100 
a) Mostrar em gráfico a variação da concentração de células, substrato e da produtividade em função 
da taxa de diluição. 
b) Qual deverá der o valor do fluxo que garanta a produtividade máxima de células? 
c) Qual deverá ser o fluxo de alimentação se desejamos que a concentração na descarga do 
fermentador seja 5 g/l? 
 
8. Considerando os dados do exercício anterior: 
a) Descreva, em gráfico, a variação de (dX/dt) em função da concentração de células e outro gráfico 
relacionando 1/(dx/dt) função de células. Procure distribuir dados para todo o intervalo de valore de 
X. 
b) O que representa no gráfico o tempo de residência ou 1/D? 
c) Para o um reator do tipo batelada, o que representará o tempo de processamento nos gráficos? 
d) E se o reator fosse do tipo PFR? 
e) Qual deverá ser o fluxo de alimentação de você resolve conduzir o processo em dois fermentadores 
ligados em serie, com a descarga do primeiro alimentando o segundo, e cada fermentador com 
volume de 500 ml? A concentração de substrato do segundo fermentador deve ser 5 g/l. Qual a 
concentração de substrato na descarga do primeiro reator? 
f) Represente este resultado nos gráficos (dX/dt) e 1/(dX/dt) versus X? 
 
9. Estudo em um fermentador continua foi conduzido com levedura. O fluxo de alimentação do meio foi 
variado e as concentrações de célula e glicose quando cada regime permanente era alcançado foram 
determinadas. A concentração de alimentação de glicose era 100g/L e o volume do reator, 500 ml. As 
concentrações encontradas foram: 
Fluxo, ml/h Célula, g/l Glicose, g/l 
31 5,97 0,5 
50 5,94 1,0 
71 5,88 2,0 
91 5,76 4 
200 0 100 
Assumindo que apenas concentração de glicose afeta a velocidade especifica de crescimento, 
determinar: 
a) A equação que descreve o efeito de S na velocidade especifica de crescimento. 
b) Qual deverá ser o intervalo de valores de fluxo que previna a lavagem de células? 
c) Estimar os coeficientes de rendimento celular (Yx/s) e de manutenção (m) para esta célula. 
d) Apresentar as equações que descrevem a variação da concentração de células e substrato em um 
fermentador em batelada. 
e) Apresentar as equações que descrevem a variação da concentração de células e substrato na 
descarga de um fermentador contínuo CSTR em regime transiente e em regime permanente. 
 
10. Andrews (1968) propôs o seguinte modelo para descrever o efeito inibidor de substrato para 
microrganismos: 
I
S
máx
K
)S(
)S(
K
1 ++
µ
=µ 
O microrganismo foi estudado em um biorreator CSTR com volume de 1 L e os resultados são 
apresentados na tabela a seguir. O meio de alimentação era estéril e a concentração de substrato no meio 
de alimentação, (S0), variou em cada fluxo de trabalho, F. 
F, L/h (S0), g/L (S), g/L 
0,20 30 0,5 
0,25 30 0,7 
0,35 30 1,1 
0,50 30 1,6 
0,70 30 3,3 
0,80 30 10 
0,50 60 30 
0,60 60 22 
0,70 60 15 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 101 
Pelo método de regressão não-linear, no programa estatístico SAS, foram encontrados os seguintes 
valores para os parâmetros cinéticos: 
 µmáx = 1,182 h
-1 
 KS = 2,328 g/L 
 KI = 22,139 g/L 
a) Se o valor de YX/S é 0,46 g/g e o consumo de substrato está associado apenas com o crescimento 
celular, qual a concentração de célula, no regime permanente, para o fluxo de 0,20 L/h? 
b) Andrews concluiu em seu trabalho que o crescimento de microrganismos que apresentam esse 
comportamento em um CSTR pode ser um sistema instável. Esboce um gráfico de µ versus (S) e 
explique o que poderá acontecer se, inesperadamente, a concentração de substrato for aumentada de 
30 g/L para 60 g/L. 
 
11. Aiba et. al. (1968) reportou os resultados de estudos em fermentadores contínuos em regime 
permanente com leveduras, apresentados na tabela abaixo. O fluxo de alimentação era estéril. 
D, h-1 Gli. na 
alimentação, g/l 
Gli. na 
descarga, g/l 
Etanol. na 
descarga, g/l 
Célula na 
descarga, g/l 
0,084 21,5 0,054 7,97 2,00 
0,100 10,9 0,079 4,70 1,20 
0,160 21,2 0,138 8,57 2,40 
0,196 20,7 0,186 8,44 2,33 
0,242 10,8 0,226 4,51 1,25 
a)Assumindo que a levedura não é afetada pelas concentrações de produto presentes no meio, estimar 
a equação que descreve o crescimento celular. 
b)Sugerir as equações com os respectivos coeficientes para taxa de consumo de substrato e formação 
de produto. 
 
12. A tabela abaixo apresenta um conjunto de dados coletados em um fermentador continuo em diferentes 
regimes permanentes. O fermentador tinha um volume de 1 L e o meio de alimentação era estéril. 
Para cada fluxo utilizado, as seguintes informações foram coletadas: 
Fluxo, 
l/h 
Gli, g/l 
alimentação 
Gli, g/l 
descarga 
0,20 30 0,5 
0,25 30 0,7 
0,35 30 1,1 
0,50 30 1,6 
0,70 30 3,3 
0,80 30 10 
0,50 60 30 
0,60 60 22 
0,70 60 15 
a)Determinar os parâmetros cinéticos da equação que descreve o efeito de glicose na velocidade 
especifica de crescimento. 
b)Se o rendimento de células, Yx/s, é 0,46 g/g, qual a concentração de células no regime permanente 
quando o fluxo é igual a 0.2 h-1? 
c) O autor deste experimento concluiu que o resultado da inibição por substrato em fermentação 
continua por ser um processo instável. Explicar o que pode acontecer se você repentinamente 
aumenta a concentração de substrato de 30 g/l para 60 g/l e porque. 
 
13. Utilizando a equação estimada no problema anterior de µµ vs. P, estimar a equação da velocidade 
especifica de crescimento (�) função da concentração de S (substrato) e de P, ou 
µµ� = f(S).f(P) 
Para isto, foi realizado uma nova serie de experimentos, em um fermentador continuo com volume de 
100ml, o meio de alimentação contendo concentrações de P e S (substrato) tais que, após alcançados 
os diferentes regimes permanentes, as concentrações de P e S no fermentador, para cada valor de 
fluxo trabalhado, foram as seguintes (cada linha na tabela representa uma condição de regime 
permanente): 
P(mM) S (µµM) F(ml/min) 
5 0.2 31 
18 0,12 19 
35 0,075 7,5 
45 0,45 11 
a) Estimar os valores de µ para as condições estudadas. 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 102 
b) Estimar os valores de µ função apenas da concentração de P. 
c) Os valores de µ dos itens a e b são iguais ou diferentes? 
d) Se são iguais é porque as concentração de S em cada regime permanente não afeta a veloc. 
especifica de crescimento da bactéria. Se são diferentes e menor que 1, é porque µ é afetada pela 
concentração de S. 
e) Considerando: µ = f(S).f(P), 
definir a equação geral da velocidade especifica de crescimento da bactéria função das 
concentrações de S e de P. 
 
14. Os dados abaixo representam o efeito da concentração de um produto, P, no crescimento de uma 
célula após 10 h de crescimento. As células foram inoculadas e após 2 horas a concentração (DO) de 
células em todos os fermentadores era 0.006. (Assumir que neste período as culturas estãona fase de 
crescimento exponencial. 
 
P(mM) DO (10h) 
10 0.328 
20 0.147 
30 0.066 
40 0.030 
Qual a equação que descreve a variação de concentração celular com tempo (dX/dt)? 
PS: Colocar a equação de inibição de m = f(P) na forma: 
onde: 
 µmax , α e Pmax são as constantes de ajuste 
 
15. Você ira cultivar levedura utilizando um fermentador de 10 m3 que sua companhia possui. Você deseja 
saber qual a quantidade de etanol que o fermentador pode produzir. Para isto você realizou estudos de 
cinética e verificou que que a célula obedece o modelo de Monod, sendo � max = 0,25 h
-1 e Ks = 0,025 
g/l. O rendimento celular, Yx/s, é 0,019 g/g e o rendimento em etanol, Yp/s, 0,44g/g. A concentração 
de alimentação do substrato é 50 g/l. 
a) Qual o fluxo que permitirá a máxima produtividade de etanol em um fermentador continuo e qual o 
valor desta produtividade? 
b) Se você deseja converter 95% do substrato de alimentação, qual será o fluxo de trabalho e a 
produtividade? 
c) Se você tiver dois fermentadores de 5 m3 cada, ao em vez de um fermentador de 10m3, qual a sua 
recomendação de utilização destes fermentadores para converter 95% do substrato? Você 
recomendaria utilizar os dois fermentadores em serie ou não? Porque ou porque não? 
 
16. Para tentar aumentar a produtividade de células no fermentador, você resolveu conectar na saída do 
reator um sistema de filtração com retorno de parte da células para o reator, de acordo com a figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
F = B + L, em L/h 
Qual a equação geral para concentração de células e de substrato na saída do reator? 
Fazer um gráfico de X e de produtividade de células versus D assumindo β=1 e β=0,5. 
PS: Para os gráficos, assumir µmax = 0,60 h
-1 , Ks = 2,0 g/l e rendimento celular, Yx/s, de 0,45 g/g. 
 
17. Uma espécie de levedura esta sendo cultivada em um CSTR de 30 L com reciclagem de células, com 
mostrado na figura abaixo. O sistema de recuperação foi projetado de forma que a concentração de 
células na sua descarga é 30% da concentração de células que entra no sistema de recuperação e as 
F
Bâ =
á
max
max P
P
1ìì 





−=
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 103 
concentrações de substrato são iguais na alimentação e descarga do sistema. O crescimento 
celular pode ser representado pelo modelo de Monod, sendo Ks = 0.05g/l, �max = 0.3h
-1 e Yx/s = 0.025. 
a) Calcular as concentrações de célula e substrato em regime permanente. A concentração de 
substrato que alimenta o sistema é 100 g/l e o fluxo é 20l/h. A alimentação do sistema é com 
meio estéril. 
b) Se o sistema de recuperaç ão de células fosse eliminado, qual as concentrações de célula e 
substrato em regime permanente? 
 
 X , S 
 F, So 
 F , 0,3X , S 
 
 
 
 
 
 
18. Você desejava estimar a velocidade especifica de crescimento máxima de uma célula crescendo em um 
fermentador CSTR continuo. O reator foi preparado contendo meio com 500 mmoles/l de substrato e 6,0 
g/l de células. A concentração de substrato no fluxo de alimentação foi de 500 mmoles /l. O fluxo de 
alimentação era 80 ml/h e o volume 100ml. A partir do tempo zero, foi determinada a concentração de 
células em um espectrofotômetro. Os dados da variação da concentração de células com tempo são 
apresentados na tabela abaixo. 
a)A partir destes dados, é possível estimar a velocidade especifica de crescimento máxima? Demonstre 
e estime. Comente a demonstração e as aproximações e limitações que por acaso foram feitas. 
 
b)Para testar a metodologia você resolveu fazer uma simulação no computador utilizando a subrotina 
RKF45. Para isto você escreveu um programa que simulasse o processo em regime permanente e 
utilizou os seguintes coeficientes cinéticos: 
Ks = 0.71mmoles/l, Yx/s = 0.064, fluxo = 80 ml/h e o µmax , aquele que você estimou no item 
anterior. Para as concentração iniciais, utilizar dois grupos de dados: 
S no reator no tempo zero = 500 mmoles/l 
S na alimentação = 500 mmoles/l 
 S no reator no tempo zero = 50 mmoles/l 
S na alimentação = 100 mmoles/l 
X no tempo zero = 6,0 DO 
 Com os dados gerados de X versos tempo, estimar o valor de �max utilizando a mesma metodologia do 
item a. Comentar os resultados. 
 
TEMPO, 
h 
CELULA, 
g/l 
 TEMPO, 
 h 
CELULA, 
g/l 
 0 6 16 0.457 
1 5.108 17 0.389 
2 4.348 18 0.331 
3 3.702 19 0.282 
4 3.151 20 0.24 
5 2.683 21 0.204 
6 2.284 22 0.174 
7 1.944 23 0.148 
8 1.655 24 0.126 
9 1.409 25 0.107 
10 1.2 26 0.091 
11 1.021 27 0.078 
12 0.869 28 0.066 
13 0.74 29 0.056 
14 0.63 30 0.048 
15 0.537 
 
 
19. Dois bioreatores do tipo CSTR são ligados em série para a produção de um composto P. No primeiro 
bioreator, a concentração de alimentação de substrato é (S0) e as concentrações de produto e de células 
TAL 416 – Cinética de Processos Bioquímicos 104 
são zero. O fluxo de alimentação é F e o volume dos bioreatores é V. A taxa de degradação de 
substrato, –rS, e a taxa de formação de produto, rP., são apresentadas abaixo. Quais as equações que 
descrevem a variação da concentração de célula, substrato e produto na descarga de cada um dos 
bioreatores no regime permanente? Referenciar adequadamente cada uma das variáveis. 
 



=−=−
dt
dX
Y
1
dt
dS
)r(
S/X
S PK
K
I
Imax
+
⋅µ
=µ 
 Xy)r( mP ⋅= 
 
20. Debatemos e demonstramos, em sala, que quando a taxa de diluição de um bioreator tipo CSTR alcança 
um determinado limite máximo, ocorrerá a eliminação das células do interior do bioreator (washout). Se a 
velocidade especifica de crescimento de uma levedura, crescendo em um determinado meio é função 
apenas da concentração de substrato, de acordo com a equação proposta por Monod, qual será este valor 
máximo de D para que não ocorra o washout (demonstrar)? 
Em caso do D de funcionamento ser superior ao D máximo, qual será a equação que descreverá a 
variação da concentração de células com o tempo de funcionamento do CSTR? 
Para facilitar os cálculos, assumir que a célula estará crescendo na velocidade especifica máxima 
(µµmax). 
 
SKs
Smax
+
⋅µ
=µ 
 Xm)r( S ⋅−=− 
 
21. Dois biorreatores do tipo CSTR são ligados em série para a produção de um composto P. No primeiro 
biorreator, a concentração de alimentação de substrato é (S0) e as concentrações de produto e de células 
são zero. O fluxo de alimentação é F e o volume de ambos os biorreatores é V. A taxa de degradação de 
substrato é –rS e a taxa de formação de produto é rP. Liste as equações de balanço de massa e de todas as 
variáveis em cada um dos biorreatores, assumindo regime permanente. Referencia adequadamente cada 
uma das variáveis. 
 
22. Suponha que você está trabalhando com um microrganismo que obedece a equação de Monod: 
 
(S)K
(S)Xì
ìX
dt
dX
S
máx
+
== 
sendo µmáx = 0,7 h
-1 e KS = 5 g/L. O coeficiente de rendimento de células, YX/S, é igual a 0,65. Você quer 
cultivar esse microrganismo em um único biorreator ou em dois biorreatores em série. O fluxo, F, e a 
concentração de substrato na alimentação, (S0), são 500 L/h e 85 g/L, respectivamente. A concentração 
de substrato no fluxo de saída é 5 g/L. 
a) Se você usar um CSTR, qual deve ser o seu volume? Qual é a concentração de células no fluxo de 
saída do biorreator? 
b) Se você usar dois CSTRs em série, qual o volume dos biorreatores que garantirá maior 
produtividade? Quais os valores das concentrações de células e de substrato no fluxo de saída do 
primeiro biorreator? 
c) Qual a melhor combinação dos tipos e volumes dos biorreatores se você usar dois biorreatores em 
série? 
 
23. As equações da cinética de crescimento de uma levedura são apresentadas abaixo: 
 X 
(S)K
(S)
)(P
(P)1ìf(P)f(S)ì
dt
dXr
S
n
m
máx máxX 





+



−=== 
 
dt
dX
Y
1
dt
dS
r
X/S
S =−=− 
 
dt
dX
Y
1
dt
dP
r
X/P
P == 
sendo: KS = 1,6 g/L; µmáx = 0,24 h
-1; YX/P = 0,16; YX/S = 0,06; (P)m = 100 g/L; n = 2. As concentrações 
iniciais são: X0 = 0,1 g/L; (S0) = 100 g/L e (P0) = 0. 
a) Utilizando a sub-rotina RKF45, estimar as mudanças em X, S e P função do tempo em uma fermentação 
do tipo batelada. 
b) Mostrar o efeito da concentração inicial de substrato na variação da concentração de células versus 
tempo. 
c) Fazer um gráfico mostrando os valores da velocidade específica de crescimento, concentrações de 
substrato e de produto, com o tempo de operação.