Unidade 2 - Equação da Reta e Sistemas Lineares

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1 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS 
Química - CEATEC 
Matemática A 
Prof. Miro 
valdomiro.santos@puc-campinas.edu.br 
 
Unidade 2 – Equação da reta e sistemas lineares 
 
Avaliações 
T1 P1 T2 P2 P3 P4 
05/03 20/03 17/04 07/05 05/06 19/06 
 
Exercícios para aula 
 
Estudo da reta 
 
Tipos de equação e nomenclatura 
 
1) Desenhe no plano xy a reta r cuja equação 
reduzida é : 2 10r y x= − + . 
a) Identifique o coeficiente angular e o seu 
papel no gráfico. 
b) Identifique o coeficiente linear e o seu papel 
no gráfico. 
 
2) Desenhe no plano xy a reta s cuja equação 
geral é : 6 2 12 0s x y− + = . 
a) Identifique o coeficiente angular e o seu 
papel no gráfico. 
b) Identifique o coeficiente linear e o seu papel 
no gráfico. 
 
3) Desenhe no plano xy as retas t e u cujas 
equações especiais são 
a) : 3t y = . 
b) : 2u x = 
 
Equação da reta 
 
Uma equação de uma reta é uma condição matemática 
estabelecida para que um par ordenado genérico 
( , )x y do plano cartesiano pertença à tal reta. 
 
4) Faça uma ilustração da reta r que passa pelos 
pontos (1,3)A e (4,9)B e determine uma 
equação para a reta r . 
 
1ª opção: usando a equação reduzida da reta 
 
A equação reduzida de uma reta tem a forma 
 
y ax b= + ou y mx b= + 
 
 
❖ Coeficiente angular a (ou m ): 
 B A
B A
y yy
a m
x x x
−
= = =
 −
 
❖ Para obter o coeficiente linear b : 
Basta substituir um dos pontos (A ou B) na 
expressão após calcular o valor de a . 
 
 
 
2ª opção: usando a equação fundamental da reta 
 
A equação fundamental de uma reta tem a forma 
 
0 0( )y y m x x− = − 
onde: 
 0 0( , )x y → qualquer um dos pontos dados da reta. 
 m a= → coeficiente angular (taxa de variação). 
 
5) Determine uma equação para a reta que passa 
pelos pontos (5,100)A e (10,80)B . 
 
Equações especiais da reta 
 
6) Determine uma equação para reta que é paralela 
ao eixo x e passa pelo ponto (3,2)P . 
 
7) Determine uma equação para reta que é paralela 
ao eixo y e passa pelo ponto (3,2)P . 
 
Exemplo de aplicação 
 
8) Enquanto o tempo x decorre, em minutos, a 
quantidade restante y , em miligramas, de um 
reagente numa reação satisfaz à equação 
3 60x y+ = . 
a) Identifique a curva dada pela equação. 
b) Desenhe a curva no plano cartesiano. 
c) Qual é a taxa de diminuição do reagente? 
d) Qual é a quantidade inicial de reagente na 
reação? 
e) Em quantos minutos o reagente irá 
desaparecer? 
 
Sistemas lineares 2x2 
 
Solução de um sistema linear 2x2 
 
9) Considere o sistema linear 3 11
2 4 16 
x y
x y
+ =

+ =
. 
a) Verifique se o par (8, 1) é solução do sistema. 
b) Resolva o sistema por substituição. 
c) Resolva o sistema por cancelamento. 
 
10) Determine os parâmetros reais a e b, de modo que 
o terno ordenado (2, 3, –1) seja solução do 
sistema 
2
 
x y z a
x ay z b
− + =

+ − =
 
 
 
2 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
Número de soluções e classificação de sistemas 
 
Classificação de sistemas lineares 
 
• SPD: Sistema possível e determinado 
(possui apenas uma solução) 
 
• SPI: Sistema possível e indeterminado 
(possui infinitas soluções) 
 
• SI: Sistema impossível (não tem solução) 
 
11) Considere o sistema linear 10
2 8 
x y
x y
+ =

− =
. 
a) Represente graficamente este sistema. 
b) Qual é o número de soluções? 
c) Classifique o sistema. 
d) Dê o conjunto solução do sistema. 
 
12) Considere o sistema linear 2 10
4 2 22 
x y
x y
+ =

+ =
. 
a) Represente graficamente este sistema. 
b) Qual é o número de soluções? 
c) Classifique o sistema. 
 
13) Considere o sistema linear 2 10
4 2 20 
x y
x y
+ =

+ =
. 
a) Represente graficamente este sistema. 
b) Qual é o número de soluções? 
c) Classifique o sistema. 
 
Sistemas lineares 3x3 
 
Escalonamento de sistemas (método de Gauss) 
 
14) Considere o sistema a seguir. 
 
a) Resolva este sistema por substituição. 
b) Resolva este sistema por escalonamento. 
 
15) Considere o sistema abaixo. 
2 11
2 3 2 21
4 5 8 
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ − =
 − + = −
 
a) Resolva este sistema por substituição. 
b) Resolva este sistema por escalonamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
16) A quantidade y , em miligramas, de um reagente 
restante numa reação decai linearmente (a curva 
é uma reta) com o passar do tempo x , dado em 
minutos. Um químico deseja estabelecer a 
equação dessa reta. Para isso, ele mediu a 
quantidade de reagente restante na reação em 
dois instantes diferentes. Os dados coletados 
estão na tabela abaixo. 
 
Tempo x (em min) Quantidade y (em mg) 
3 102 
5 90 
 
Dica: se a curva é uma reta, então tem equação 
da forma y ax b= + . 
 
a) Determine a equação da reta resolvendo o 
sistema correspondente. 
b) Qual é a taxa de decaimento do reagente? 
c) Qual é a quantidade inicial de reagente na 
reação? 
d) Qual o tempo necessário para a quantidade de 
reagente zerar? 
 
17) Um químico está analisando a demanda de 
reagente para reações realizadas com três 
substâncias (A, B, C). Ele já constatou que a 
quantidade do reagente, em mg, demandada para 
cada litro da substância A presente na reação é 
fixa, mas desconhecida. O mesmo vale para as 
demais substâncias. Ele convencionou o seguinte: 
❖ Para cada litro da substância A presente na 
reação, são necessários x mg do reagente; 
❖ Para cada litro da substância B presente na 
reação, são necessários y mg do reagente; 
❖ Para cada litro da substância C presente na 
reação, são necessários z mg do reagente; 
Com a finalidade de descobrir essas quantidades, 
ele realizou três experimentos (3 reações), 
conforme tabela. 
 
Experimento 
Quantidades utilizadas das 
substâncias (em litros) 
Total de 
reagente 
necessário 
(em mg) 
A B C 
Reação 1 1 2 4 70 
Reação 2 2 5 1 75 
Reação 3 3 2 3 100 
 
Veja que, por exemplo, na reação 1 foram 
utilizados 1 litro de A, 2 litros de B e 4 litros de C, 
sendo necessários 70 mg do reagente para a 
reação se completar. Com base nesses 3 
experimentos, determine os valores de x , y e z
, isto é, a quantidade de reagente que cada litro 
de cada uma das substâncias demanda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
Exercícios propostos e aplicações 
 
1) Considere a reta r cuja equação reduzida é 
: 3 12r y x= − + . 
a) Faça o gráfico dessa reta no plano xy . 
b) Identifique o coeficiente angular e o seu 
papel no gráfico. 
c) Identifique o coeficiente linear e o seu papel 
no gráfico. 
 
2) Considere a reta s cuja equação geral é 
: 2 4 0s x y− + = . 
a) Faça o gráfico dessa reta no plano xy . 
b) Identifique o coeficiente angular e o seu 
papel no gráfico. 
c) Identifique o coeficiente linear e o seu papel 
no gráfico. 
 
3) Considere, no plano cartesiano, o triângulo 
formado pelos pontos A(-1, 2), B(5, 3) e C(1, 7). 
a) Determine uma equação para a reta r que é 
paralela ao eixo y e passa pelo ponto B. 
b) Determine uma equação para a reta s que é 
paralela ao eixo x e passa pelo ponto B. 
c) Determine a equação geral da reta suporte 
do lado BC. Dica: a reta suporte do lado BC é 
a reta que contém o lado BC. 
d) Determine a equação geral da reta suporte 
do lago AB. 
e) Determine a equação geral da reta que passa 
pelo ponto B e é paralela ao lado AC. Dica: 
retas paralelas têm o mesmo coeficiente 
angular (mesmo m). 
 
4) Enquanto o tempo x decorre, em minutos, a 
quantidade restante y , em miligramas, de um 
reagente numa reação satisfaz à equação 
5 80x y+ = . 
a) Identifique a curva dadapela equação. 
b) Desenhe a curva no plano cartesiano. 
c) Qual é a taxa de diminuição do reagente? 
d) Qual é a quantidade inicial de reagente na 
reação? 
e) Em quantos minutos o reagente irá 
desaparecer? 
 
5) Resolva o sistema linear 
2 25
3 4 55 
x y
x y
+ =

+ =
 
 
6) Resolva o sistema linear 
2 5
3 5 14 
x y
x y
− =

+ =
 
 
7) Resolva o sistema linear 
5
2 2 5
3 4 14 
x y z
x y z
x y z
+ − =

+ + =
 + − =
 
 
8) Resolva o sistema linear 
2 11
2 3 2 21
4 5 8 
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ − =
 − + = −
 
 
9) Uma reta passa pelos pontos A(1, 45) e B(3, 55). 
Determine a equação reduzida dessa reta 
utilizando sistemas lineares. 
Dica: a equação tem a forma y ax b= + . 
 
10) Para repor seus estoques, um empresário compra 
peças do tipo A e do tipo B. Em julho, ele comprou 
20 peças do tipo A e 60 peças do tipo B, gastando 
um total de R$1.320,00. Em agosto, ele comprou 
40 peças do tipo A e 50 peças do tipo B, gastando 
um total de R$1.380,00. Sabendo que o preço das 
peças não variou de julho para agosto, qual é o 
preço da peça do tipo A e qual é o preço da peça 
tipo B? 
 
11) Um químico está analisando a demanda de 
reagente para reações realizadas com três 
substâncias (A, B, C). Ele já constatou que a 
quantidade do reagente, em mg, demandada para 
cada litro da substância A presente na reação é 
fixa, mas desconhecida. O mesmo vale para as 
demais substâncias. Ele convencionou o seguinte: 
❖ Para cada litro da substância A presente na 
reação, são necessários x mg do reagente; 
❖ Para cada litro da substância B presente na 
reação, são necessários y mg do reagente; 
❖ Para cada litro da substância C presente na 
reação, são necessários z mg do reagente; 
Com a finalidade de descobrir essas quantidades, 
ele realizou três experimentos (3 reações), 
conforme tabela. 
 
Experimento 
Quantidades utilizadas das 
substâncias (em litros) 
Total de 
reagente 
necessário 
(em mg) 
A B C 
Reação 1 1 1 2 200 
Reação 2 3 4 1 350 
Reação 3 4 3 2 390 
 
Com base nesses 3 experimentos, determine os 
valores de x , y e z , isto é, a quantidade de 
reagente que cada litro de cada uma das 
substâncias demanda. 
 
12) Em uma certa época, uma epidemia atingiu 
determinada região. A fim de combater a doença, 
a população local foi dividida em três grupos, por 
faixa etária, e todas as pessoas foram vacinadas, 
cada uma recebendo a dose da vacina de acordo 
com o especificado no quadro a seguir. 
 
4 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
 
Considerando que, na primeira aplicação, foram 
gastos 800.000 ml da vacina, na segunda, 
600.000 ml e, na terceira, 500.000 ml, calcule o 
número de pessoas de cada grupo. 
 
 
Gabarito dos exercícios propostos 
 
1) Respostas 
a) Gráfico 
 
b) 3m a= = − . Representa a taxa de decrescimento 
da reta (variação de y em relação a x). 
c) 12b = . Representa a intersecção da reta com o 
eixo y (valor de y quando x = 0). 
 
2) Respostas 
a) Gráfico 
 
b) 2m a= = . Representa a taxa de crescimento da 
reta (variação de y em relação a x). 
c) 4b = . Representa a intersecção da reta com o 
eixo y (valor de y quando x = 0). 
 
3) Respostas 
a) x = 5 
b) y = 3 
c) 8 0x y+ − = 
d) 6 13 0x y− + = 
e) 5 2 19 0x y− − = 
 
4) Respostas 
a) Pela forma da equação, a curva é uma reta. 
b) Gráfico 
 
c) Taxa = a = - 5. Significa que a quantidade de 
reagente diminui 5 miligramas por minuto, 
isto é, a = -5 mg/min. 
d) b = 80 mg. É o valor referente a x = 0 min. 
e) Pelo gráfico, x = 16 min. Tempo necessário 
para a quantidade de reagente zerar na 
reação. 
 
5) {(5, 10)}S = 
6) {(3, 1)}S = 
7) {(3, 1, 1)}S = − 
8) {(4, 5,1)}S = 
9) 5 40y x= + 
10) Respostas: 
Tipo A: R$12,00 
Tipo B: R$18,00 
11) Resposta 
Substância A: cada litro demanda 30 mg do reagente 
Substância B: cada litro demanda 50 mg do reagente 
Substância C: cada litro demanda 60 mg do reagente 
 
12) Resposta: 
Grupo I: 100.000 
Grupo II: 150.000 
Grupo III: 50.000 
 
 
Leituras sugeridas e referências bibliográficas 
 
1. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
2. BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. V. 1. São Paulo: Pearson, 2012. 
3. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson, 1992 e posteriores; 
4. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2016.