Felder - 3 edição

Prévia do material em texto

1111111 /f Ili lllll lllll llllJ 11111111 
* 1 6 7 3 3 * 
TABELAS E FIGURAS SELECIONADAS 
Miscelânea 
Fatores para Conversão de Unidades 
Pesos e Números Atômicos 
Carta Psicrométrica (Umidade): Unidades SI 
Carta Psicrométrica (Umidade): Unidades Americanas de Engenharia 
Propriedades Físicas Selecionadas (pesos moleculares, densidades relativas de sólidos e 
líquidos, pontos de ebulição e de fusão, calores de fusão e de vaporização, temperatura 
e pressão críticas, calores de formação e de combustão padrão) 
Leis para Gases (Relações PVT) 
Constante dos Gases 
Condições Normais para Gases 
Fatores Acêntricos de Pitzer 
Cartas de Compressibilidade 
Dados de Pressão de Vapor 
Carta de Cox (gráficos de pressão de vapor) 
Pressão de Vapor da Água 
Constantes da Equação de Antoine 
Dados Termodinâmicos 
Capacidades Caloríficas 
Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Temperatura 
Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Pressão 
Propriedades do Vapor Superaquecido 
Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades SI 
Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades Americanas de Engenharia 
Capacidades Caloríficas Atômicas para a Regra de Kopp 
Calores Integrais de Solução e Mistura a 25ºC 
Dados para Sistemas Específicos 
Diagrama de Fase Triangular para Água-Acetona-Metil Isobutil Cetona a 25ºC 
Diagrama Entalpia-Concentração para H2S04 - H20 
Diagrama Entalpia-Concentração para NH3- H20 
Gl 
G3-G4 
336 
337 
545-550 
G4 
170 
176 
182-184 
215 
553-554 
555-556 
551-552 
557 
558-560 
561-562 
563 
563 
564 
564 
239 
349 
352 
1 ' 1 
' 1 ! 
. . ' ' i 
- ~ - ---+~~~ --~ 
FATORES PARA CONVERSÃO DE UNIDADES 
Grandeza Valores Equivalentes 
Massa 1 kg = 1000 g = 0,001 tonelada métrica = 2,20462 lbm = 35,27392 oz 
llbm = 16 oz = 5 X 10-4 t = 453,593 g = 0,453593 kg 
Comprimento lm = 100 cm = 1000 mm = 106 mícrons (µm) = 1010 angstroms (Â) 
= 39,37 in = 3,2808 ft = 1,0936 yd = 0,0006214 milha 
1ft = 12 in = 1/3 yd = 0,3048 m = 30,48 cm 
Volume 1 m3 = 1000 L = 106 cm3 = 106 mL 
= 35,3145 ft3 = 220,83 galões imperiais = 264,17 gal 
= 1056,68 qt 
1 ft3 = 1728 in3 = 7,4805 gal = 0,028317 m3 = 28,317 L 
= 28.317 cm3 
Força lN = 1 kg·m/s2 = 105 dinas = 105 g·cm/s2 = 0,22481 lbr 
1 lbf = 32,174 lbm·ft/s2 = 4,4482 N = 4,4482 X 105 dinas 
Pressão 1 atm = 1,01325 X 105 N/m2 (Pa) = 101,325 kPa = 1,01325 bar 
= 1,01325 X 106 dinas/cm2 
= 760 mm Hg a OºC (torr) = 10,333 m H20 a 4ºC 
= 14,696 lb/in2 (psi) = 33,9 ft H20 a 4ºC 
= 29,921 in Hg a OºC 
Energia 1 J = 1 N·m = 107 ergs = 107 dina·cm 
= 2,778 X 10- 1 kW·h = 0,23901 cal 
= 0,7376 ft-lbr = 9,486 X 10-4 Btu 
Potência lW = 1 J/s = 0,23901 cal/s = 0,7376 ft·lb/s = 9,486 X 10-4 Btu/s 
= 1,341 X 10- 3 hp 
. , (2,20462 lb ) Exemplo: O fator para converter gramas em lbm e m . 
1000 g 
., 
,, 
PRINCIPIOS BCPT 
ELEMENTARES 
DOS PROCESSOS ,, 
QUIMICOS 
Terceira Edição 
Richard M. Felder 
Departamento de Engenharia Química 
North Carolina State University 
Raleigh, North Carolina 
Ronald W. Rousseau 
F acuidade de Engenharia Química 
Georgia Institute of Technology 
Atlanta, Georgia 
Tradução: 
Martín Aznar 
Faculdade de Engenharia Química 
Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP 
Campinas, SP 
IW.tersidade Esti'ldua·r rlo Maranhão 
BIBLIOT: . ~/1d'RAL 
COMt'RA 
a 
l-
i-
, . 
umar10 
' { ·1 1 ' ' 1
1 , r~ li , ·1 [ l · 
· · 1 1 1, ! 
Prefácio da Primeira Edição ix 
Prefácio da Terceira Edição xi 
Ao Professor xiii 
Nomenclatura xv 
Glossário de Termos de Processos Químicos xix 
PARTE 1 ANÁLISE DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA 1 
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Capítulo 3 
O que Alguns Engenheiros Químicos Fazem da Vida 3 
Introdução a Cálculos de Engenharia 6 
2.0 Objetivos Educacionais 6 
2.1 Unidades e Dimensões 7 
2.2 Conversão de Unidades 7 
2.3 Sistemas de Unidades 8 
2.4 Força e Peso 10 
2.5 Estimação e Cálculos Numéricos 12 
2.6 Homogeneidade Dimensional e Quantidades Adimensionais 18 
2.7 Representação e Análise de Dados de Processo 20 
2.8 Resumo 27 
Problemas 28 
Processos e Variáveis de Processo 38 
3.0 Objetivos Educacionais 38 
3.1 Massa e Volume 39 
3.2 Vazão 41 
3.3 Composição Química 42 
3.4 Pressão 48 
3.5 Temperatura 54 
3.6 Resumo 56 
Problemas 58 
PARTE 2 BALANÇOS DE MASSA 71 
Capítulo 4 Fundamentos de Balanços de Massa 73 
4.0 Objetivos Educacionais 73 
4.1 Classificação de Processos 74 
4.2 Balanços 74 
4.3 Cálculos de Balanços de Massa 78 
xxii Sumário 
Capítulo 5 
4.4 Balanços em Processos de Múltiplas Unidades 91 
4.5 Reciclo e Desvio 97 
4.6 Estequiometria das Reações Químicas 102 
4.7 Balanços em Processos Reativos 110 
4.8 Reações de Combustão 125 
4.9 Algumas Considerações Adicionais Acerca de Processos Químicos 133 
4.10 Resumo 135 
Problemas 137 
Sistemas Monofásicos 164 
5.0 Objetivos Educacionais 165 
5.1 Massas Específicas de Líquidos e Sólidos 165 
5.2 Gases Ideais 167 
5.3 Equações de Estado para Gases Não-ideais 174 
5.4 A Equação de Estado do Fator de Compressibilidade 181 
5.5 Resumo 186 
Problemas 187 
Capítulo 6 Sistemas Multifásicos 207 
6.0 Objetivos Educacionais 208 
6.1 Equilíbrio de Fases para um Componente Puro 210 
6.2 A Regra das Fases de Gibbs 216 
6.3 Sistemas Gás-Líquido: Um Componente Condensável 217 
6.4 Sistemas Gás-Líquido Multicomponentes 223 
6.5 Soluções de Sólidos em Líquidos 231 
6.6 Equilíbrio entre Duas Fases Líquidas 237 
6.7 Adsorção sobre Superfícies Sólidas 240 
6.8 Resumo 243 
Problemas 245 
PARTE 3 BALANÇOS DE ENERGIA 271 
Capítulo 7 Energia e Balanços de Energia 273 
7.0 Objetivos Educacionais 274 
7 .1 Formas de Energia: A Primeira Lei da Termodinâmica 27 5 
7.2 Energias Cinética e Potencial 276 
7.3 Balanços de Energia em Sistemas Fechados 277 
7.4 Balanços de Energia em Sistemas Abertos no Estado Estacionário 279 
7 .5 Tabelas de Dados Termodinâmicos 284 
7.6 Procedimentos de Balanços de Energia 287 
7.7 Balanços de Energia Mecânica 290 
7.8 Resumo 294 
Problemas 296 
Capítulo 8 Balanços em Processos Não-reativos 311 
8.0 Objetivos Educacionais 311 
Capítulo 9 
8.1 Elementos em Cálculos de Balanços de Energia 312 
8.2 Mudanças na Pressão a Temperatura Constante 318 
8.3 Mudanças na Temperatura 319 
8.4 Operações deMudança de Fase 329 
8.5 Mistura e Solução 345 
8.6 Resumo 355 
Problemas 358 
Balanços em Processos Reativos 384 
9.0 Objetivos Educacionais 385 
9.1 Calores de Reação 385 
9.2 Medição e Cálculo de Calores de Reação: Lei de Hess 388 
9.3 Reações de Formação e Calores de Formação 390 
9.4 Calores de Combustão 391 
9.5 Balanços de Energia em Processos Reativos 392 
9.6 Combustíveis e Combustão 404 
9.7 Resumo 412 
Problemas 415 
Capítulo 10 Cálculos de Balanço Auxiliados por Computador 439 
10.0 Objetivos Educacionais 439 
10.1 A Análise de Graus de Liberdade Revisitada 439 
10.2 Simulação Seqüencial Modular 445 
10.3 Simulação Baseada em Equações 454 
10.4 Pacotes Comerciais de Simulação de Processos 463 
10.5 Considerações Finais 463 
Problemas 463 
Capítulo 11 Balanços em Processos Transientes 472 
11.0 Objetivos Educacionais 472 
11.1 A Equação Geral do Balanço . .. de Novo 472 
11.2 Balanços de Massa 476 
11.3 Balanços de Energia em Processos Monofásicos Não-reativos 481 
11.4 Balanços Transientes Simultâneos 486 
11.5 Resumo 489 
Problemas 490 
PARTE 4 ESTUDOS DE CASO 501 
Capítulo 12 A Produção de Cloreto de Polivinila Clorado 503 
A Química da Reação de Cloração do PVC 504 
Descrição do Processo 504 
Problemas 507 
Sumário xxiii 
Capítulo 13 Reforma por Vapor de Gás Natural e Subseqüente Síntese 
de Metanol 513 
Descrição do Processo 514 
Problemas 517 
Capítulo 14 O Uso de Lavagem por Lama de Calcário para Remover Dióxido 
de Enxofre de Gases de Combustão de Plantas de Energia 523 
Descrição do Processo 524 
Problemas 525 
Apêndice A Técnicas Computacionais 527 
A.1 O Método dos Mínimos Quadrados 527 
A.2 Solução Iterativa de Equações Algébricas Não-lineares 529 
A.3 Integração Numérica 540 
Apêndice B Tabelas de Propriedades Físicas 544 
B.1 Propriedades Físicas Selecionadas545 
B.2 Capacidades Caloríficas 551 
B.3 Pressão de Vapor da Água 553 
B.4 Constantes da Equação de Antoine 555 
XXIV Sumário 
B.5 Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Temperatura 557 
B.6 Propriedades do Vapor Saturado: Tabela da Pressão 558 
B.7 Propriedades do Vapor Superaquecido 561 
B.8 Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades SI 563 
B.9 Entalpias Específicas de Gases Selecionados: Unidades Americanas de 
Engenharia 563 
B.10 Capacidades Caloríficas Atômicas para a Regra de Kopp 564 
B.11 Calores Integrais de Solução e Mistura a 25ºC 564 
Respostas dos Testes 565 
Respostas aos Problemas Selecionados 572 
Índice 576 
Parte Um 
Análise de Problemas de 
Engenharia 
I 
Capítulo 1 
O que Alguns Engenheiros 
Químicos Fazem da Vida 
No último mês de maio,1 os formandos de engenharia química de uma grande universidade fizeram a sua 
última prova final, foram à sua festa de formatura, despediram-se uns dos outros prometendo fielmente 
ficar em contato e se dispersaram em uma impressionante variedade de direções geográficas e carreiras. 
Já que você comprou este livro, provavelmente está pensando em seguir os passos desses recém-forma-
dos - passar os próximos anos aprendendo a ser um engenheiro químico e possivelmente os próximos 40 
aplicando ·o que você aprendeu. Mesmo assim, é quase certo que, como a maior parte dos seus colegas, 
você tem apenas uma idéia limitada do que é ou do que faz um engenheiro químico. Portanto, uma forma 
lógica de começar este livro seria com uma definição precisa da engenharia química. 
Infelizmente, não existe uma definição universalmente aceita da engenharia química, e quase qualquer 
tipo de atividade que você possa pensar está sendo desenvolvida em algum lugar por pessoas que foram 
treinadas como engenheiros químicos. Portanto, vamos abandonar a idéia de formular uma definição sim-
ples e, em vez disso, vamos dar uma olhada no que aqueles recém-formados fizeram, seja imediatamente 
após a formatura ou depois de umas merecidas férias. Considere estes exemplos e veja se algum deles soa 
como o tipo de carreira que você gostaria de seguir.2 
• Cerca de 45% da turma foram trabalhar para grandes firmas fabricantes de produtos químicos, 
petroquímicos, polpa e papel, plásticos e outros materiais, e têxteis. 
• Outros 35% foram trabalhar em agências governamentais e firmas de consultoria e projeto (muitas de-
las especializadas em legislação ambiental e controle da poluição). 
• Cerca de 10% passaram diretamente para a pós-graduação em engenharia química. Os candidatos ao 
mestrado aprofundarão o seu conhecimento nas áreas tradicionais da engenharia química (termodinâ-
mica, projeto e análise de reatores químicos, dinâmica dos fluidos, transferência de calor e massa, e 
controle e projeto de processos químicos), e em cerca de dois anos a maior parte deles defenderá a sua 
tese e conseguirá trabalho fazendo projetos de processos, sistemas de controle ou desenvolvimento de 
produtos. Os candidatos ao doutorado aprofundarão ainda mais o seu conhecimento, desenvolvendo novos 
projetos de pesquisa, e em quatro ou cinco anos a maior parte deles defenderá a sua tese e irá para pes-
quisa e desenvolvimento industrial ou para o corpo docente de uma universidade. 
• Os 10% restantes da turma voltaram à universidade para fazer um outro curso, em uma área diferente, 
como medicina, direito ou administração. 
• Vários foram trabalhar em empresas fabricantes de produtos químicos específicos - fármacos, tintas, pig-
mentos e cosméticos, entre muitos outros. Todas essas empresas costumavam contratar apenas químicos 
para projetar e operar os seus processos de produção, mas nas últimas décadas descobriram que, se quises-
sem continuar competitivas, teriam que prestar atenção a coisas como eficiência de mistura, transferência 
de calor, controle automático de temperatura e de nível de líquido, controle estatístico de qualidade e con-
trole de emissão de poluentes. As empresas descobriram também que os engenheiros químicos eram trei-
nados e educados nestes tópicos, enquanto os químicos não; nesse momento, essas indústrias se transfor-
maram em um mercado de trabalho de crescente importância para engenheiros químicos. 
• Alguns foram trabalhar para companhias que fabricam circuitos integrados semicondutores. Uma etapa 
crítica na produção de chips de computador, por exemplo, envolve o revestimento de pequenos sanduí-
' Nos Estados Unidos, o ano escolar vai de setembro a maio, com férias de verão durante os meses de junho, julho e agosto. (N.T.) 
2 Deve ser levado em conta que os autores se referem aqui à realidade do mercado de trabalho nos Estados Unidos. No Brasil, a situação é bastante 
diferente. (N.T.) 
4 Capítulo Um 
EXEMPLOI 
ches de silício com camadas extremamente finas e uniformes de materiais semicondutores contendo si 
lício. A técnica usada para este processo chama-se deposição química de vapor, na qual o material de 
revestimento é formado em uma reação química na fase gasosa e depois depositado sobre a superfícü 
do sanduíche. Os engenheiros que trabalham nesta área podem vir a ser chamados para identificar rea 
ções que possam ser usadas para produzir os filmes desejados, para determinar as melhores condiçõe: 
nas quais conduzir essas reações, para projetar os reatores e para melhorar a sua operação. 
• Alguns cursaram disciplinas eletivas em bioquímica e microbiologia e arranjaram emprego em empre 
sas de biotecnologia pequenas, mas com perspectivas de rápido crescimento. Um engenheiro trabalh, 
no projeto de processos de produção de fármacos que envolvem enzimas imobilizadas, catalisadore: 
biológicos que podem fazer com que reações específicas transcorram muito mais rápido do que o farian 
na ausência destes materiais. Vários outros trabalham em processos que envolvem engenharia genéti· 
ca, na qual o DNA recombinante é sintetizado e usado para produzir valiosas proteínas e outros produ 
tos medicinais e agrícolas que seriam muito difíceis de se obter por quaisquer outros meios. 
• Alguns se juntaram a companhias que fabricam polímeros (plásticos). Um está trabalhando no desen· 
volvimento de membranas para dessalinização de água do mar (a água potável passa através da mem 
brana e o sal é retido) e para separações de gases ( o hidrogênio passa através da membrana e os hidro· 
carbonetos ficam retidos, ou vice-versa); outro está desenvolvendo membranas para serem usadas err 
rins artificiais de fibra oca ( o sangue flui do corpo do paciente através de tubos de paredes finas; os dejetrn 
metabólicos no sangue passam através das paredes finas do tubo, mas as proteínas e outras substância: 
importantes permanecem no sangue; no fim, o sangue purificado retoma ao corpo). 
• Quatro dos engenheiros recém-formados foram estudar medicina (engenheiros químicos que cursarr 
várias disciplinas eletivas em ciências biológicas costumam ter sucesso no acesso às escolas de mediei· 
na). Um foi estudar direito. Três entraram em um curso de MBA (Master of Business Administration) e 
depois de completá-lo, provavelmente irão trabalhar na parte administrativa de indústrias químicas. 
• Uma das recém-formadas juntou-se aos Corpos de Paz para um período de dois anos na África Orienta: 
ajudando comunidades locais a desenvolver sistemas de tratamento de esgoto e ensinando ciências e 
inglês em uma escola rural. Quando ela retomar, cursará um programa de doutorado, entrará para o quadre 
docente de uma faculdade de engenharia química, escreverá um livro definitivo sobre as aplicações am-
bientais dos princípios da engenharia química, progredirá rapidamente até se tomar professora titular 
se demitirá depois de dez anos para concorrer ao Senado dos Estados Unidos, será eleita por dois man-
datos e finalmente se tomará presidente de uma grande e altamente bem-sucedida fundação privad:: 
dedicada à melhoria da educação em comunidades economicamente prejudicadas. Ela atribuirá o suces-
so da sua carreira às habilidades de resolução de problemasque adquiriu no seu curso de graduação err 
engenharia química. 
• Em vários momentos das suas carreiras, alguns dos engenheiros trabalharão em laboratórios químicos, 
bioquímicos, biomédicos ou de ciência dos materiais, fazendo pesquisa e desenvolvimento ou engenharia 
de qualidade; em terminais de computador, projetando processos, produtos e sistemas de controle; em ati-
vidades de campo, administrando a construção e a partida de plantas químicas; na planta de produção, su-
pervisionando, resolvendo problemas e melhorando a operação; na rua, prestando serviços de assistêncü 
e vendas técnicas; em escritórios executivos, realizando funções administrativas; em agências do governe 
responsáveis pela saúde e segurança ambiental e ocupacional; em hospitais e clínicas, praticando medicin:: 
ou engenharia biomédica; em escritórios de advocacia, especializando-se em patentes de processos quími-
cos; em salas de aula, ensinando a próxima geração de estudantes de engenharia química. 
Mesmo os engenheiros químicos que vão trabalhar em processos químicos tradicionais acabam desem-
penhando uma ampla variedade de tarefas. Considere o seguinte exemplo e veja se algum dos problema~ 
descritos se assemelha a desafios com os quais você se envolveria. 
Um químico do departamento de pesquisa e desenvolvimento da sua companhia descobriu que, misturando doü 
reagentes em uma certa proporção e a temperatura elevada, obtém um produto significativamente mais valioso de 
que os reagentes. A companhia pretende fabricar esse produto usando um processo baseado nessa reação. Nesse 
ponto, o assunto se transforma em um problema de engenharia, ou, mais precisamente, em centenas de problemas 
de engenharia. 
1. Que tipo de reator deve ser usado? Uma tubulação comprida? Um tanque grande? Vários tanques pequenos? 
Um tubo de ensaio extremamente grande? De que tamanho? Feito de quê? Deve ser aquecido? Se deve, quantc 
e como? Com um aquecedor elétrico fora ou dentro do reator? Passando um fluido quente por uma serpentina 
dentro do reator? Aquecendo os reagentes antes de eles entrarem no reator? A reação fornece o seu própric 
calor, de maneira que o aquecimento é necessário apenas para dar a partida? Se isto acontece, a reação poderia 
a 
s 
n 
1-
l-
i-
) -
ill 
>S 
as 
m 
:i-
e, 
tal 
; e 
Iro 
m-
ar, 
Ul-
tda 
es-
em 
:os, 
rria 
ati-
su-
!lCia 
:mo 
::ina 
ími-
em-
mas 
dois 
;o do 
-esse 
emas 
mos? 
llfilltO 
:ntina 
iiprio 
Jderia 
O que Alguns Engenheiros Químicos Fazem da Vida 5 
fugir ao controle e explodir o reator? Devem ser introduzidas medidas de controle para prevenir isto? Quais 
seriam essas medidas? 
2. De onde devem ser obtidos os reagentes? Podem ser comprados ou produzidos diretamente? Em que proporções 
eles devem alimentar o reator? 
3. O efluente do reator, que contém o produto e os reagentes não consumidos, deve ser vendido tal como está ou os 
reagentes devem ser separados do produto e devolvidos ao reator? Se a opção é pela separação, como pode ser 
feita? Aquecendo a mistura e condensando o vapor, que será mais rico nas substâncias voláteis do que a mistura 
original? Adicionar outra substância que extraia o produto e que seja irniscível com os reag;entes, e separar as duas 
fases mecanicamente? Se todos os materiais são gases à temperatura da reação, a mistura poderia ser resfriada a 
uma temperatura na qual o produto condense mas os reagentes não, ou vice-versa? Se os materiais são líquidos, a 
mistura pode ser resfriada até uma temperatura na qual o produto cristalize mas os reagentes não, ou vice-versa? 
Em cada uma destas alternativas, que tipo de equipamento será necessário? De que tamanho? De que material? 
Quais os requisitos de aquecimento ou de resfriamento? Serão necessários controles para manter a operação den-
tro de limites rígidos? Que tipo de controles? Devem ser manuais ou automáticos? 
4. Como as correntes de reagentes e produtos devem se deslocar entre o reator e qualquer outro equipamento de aque-
cimento, resfriamento ou separação envolvido? Por gravidade, desde um tanque de alimentação elevado? Com 
bombas, compressores, ventiladores ou esteiras transportadoras? De que tipo? De que tamanho? Em tubos feitos 
do quê? 
5. Conhece-se o suficiente acerca do sistema reacional para responder a todas estas questões? Ou devem ser feitos 
estudos adicionais de laboratório? Que tipo de estudos? Podem ser usados diretamente os dados de laboratório 
para o projeto da planta industrial ou deve-se primeiro construir uma planta piloto para testar o projeto? Que tama-
nho deve ter esta planta piloto? 
6. O que pode dar errado durante o processo e quais as medidas que podem ser tomadas se e quando isso acontecer? 
7. Existem dejetos industriais do processo? Em que quantidade? São potencialmente prejudiciais se forem liberados 
no meio ambiente sem tratamento? Se sim, de que maneira? O que pode ser feito para reduzir os riscos de conta-
minação? Tratar quimicamente os dejetos? Selar os dejetos líquidos e sólidos em recipientes e jogá-los ao mar? 
Dispersar os gases na atmosfera com uma chaminé alta? Precipitar os sólidos eletrostaticamente do efluente gaso-
so? 
8. Quanto do processo deve ser automatizado? Como isto pode ser feito? 
9. Quanto tudo isso vai custar? Por quanto pode ser vendido o produto e para quem? Quanto dinheiro o processo 
renderá durante os próximos anos? É suficiente para tomá-lo viável? Se é, onde deve ser construída a planta? 
10. Uma vez que a planta tenha sido construída, qual o procedimento para a partida da mesma? 
11. Seis meses depois da partida do processo, por que o produto ainda não sai com as especificações que tinha no 
laboratório? É uma falha dos equipamentos ou uma mudança nas condições em algum lugar entre o laboratório e 
o processo industrial? Como podemos descobrir? O que pode ser feito para corrigir o problema? É necessário parar 
o processo para introduzir modificações? 
12. Durante os seis meses iniciais houve três explosões e quatro incêndios na unidade do reator. Isto é significativo ou 
apenas uma coincidência? Em cada caso, como podemos evitá-los? 
13. Toda sorte de outras coisas estão dando errado durante a operação do processo. Por que não estavam na lista das 
coisas que podiam dar errado? O que pode ser feito? 
14. Quando o processo finalmente começa a trabalhar perfeitamente e no dia seguinte vem uma ordem para mudar as 
especificações do produto, como isto pode ser feito sem reprojetar o processo inteiro? Por que eles não pensaram 
nisso antes de construir a planta? 
As diferentes trajetórias e atividades descritas neste capítulo são claramente muito diferentes para se-
rem agrupadas em uma única categoria. Elas envolvem áreas como física, química, biologia, ciência ambi-
ental, medicina, matemática aplicada, estatística, ciências da computação, economia, administração e ciên-
cia de informação, pesquisa, projeto, construção, vendas e assistência técnica, supervisão de produção e 
administração de negócios. A única característica comum é que os engenheiros químicos podem se encai-
xar em todas elas. Parte do conhecimento científico necessário para realizar estas tarefas será apresentado 
mais adiante, dentro do currículo de engenharia química; uma pequena parte aparece neste livro, e a maior 
parte deverá ser aprendida depois da formatura. No entanto, existem técnicas fundamentais desenvolvidas 
para formular e resolver problemas técnicos, que são independentes do problema específico. Quais são al-
gumas dessas técnicas e como e quando usá-las são os tópicos deste livro. 
Capítulo 2 
Introdução a Cálculos 
de Engenharia 
O Capítulo 1 sugere o amplo espectro dos problemas abrangidos pela engenharia química, tanto e1 
tradicionais de processos químicos quanto em áreas relativamente novas, como engenharia ambien 
genharia biomédica ou produção de semicondutores. As diferenças entre os sistemas mencionado 
capítulo - processos de produção de substâncias químicas, laboratórios de engenhariagenética, óq 
controle de poluição e outros - são óbvias. Neste livro, examinaremos as semelhanças. 
Uma semelhança é que todos os sistemas descritos envolvem processos projetados para transforn 
téria-prima nos produtos desejados. Muitos dos problemas levantados por ocasião do projeto de w 
processo ou da análise de um processo já existente são de um certo tipo: dadas as quantidades e proi 
des da matéria-prima, calcular as quantidades e propriedades dos produtos, ou vice-versa. 
O objetivo deste texto é apresentar uma abordagem sistemática para a solução deste tipo de pro 
Este capítulo contém técnicas básicas para expressar os valores das variáveis do sistema e para estai 
e resolver as equações que relacionam estas variáveis. No Capítulo 3 discutiremos as variáveis de in 
específico na análise de processos - temperaturas, pressões, composições químicas e quantidades 
zões das correntes do processo -, descrevendo como elas são definidas, calculadas e, em alguns 
medidas. As Partes 2 e 3 deste livro tratam das leis de conservação da massa e energia, que relacicx 
entradas e saídas dos sistemas de produção, das plantas de energia elétrica e do corpo humano. As 
natureza constituem a estrutura subjacente a todo o projeto e análise de processos; da mesma for 
técnicas que apresentamos neste capítulo formam a base de todas as aplicações das leis. 
2.0 OBJETIVOS EDUCACIONAIS 
Depois de completar este capítulo, você deve ser capaz de: 
• Converter uma quantidade expressa em um conjunto de unidades para o seu equivalente em qru 
outras unidades dimensionalmente consistentes, usando tabelas de fatores de conversão. [Por eXf 
converter um fluxo de calor de 235 kJ/(m2·s) para o seu equivalente em Btu/(ft2·h).] 
• Identificar as unidades comumente usadas para expressar massa e peso em unidades SI e dos filj 
CGS e americano de engenharia. Calcular pesos a partir de massas dadas, seja em unidades n; 
(por exemplo, kg·m/s2 ou lbm·ft/s2), seja em unidades definidas (N, lbr). 
• Identificar o número de algàrismos significativos em um dado valor, expresso seja em notação dl 
ou científica, e estabelecer a precisão com a qual o valor é conhecido, com base nos seus algai 
significativos. Determinar o número correto de algarismos significativos no resultado de uma Sl 
operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão). 
• Validar a solução quantitativa de um problema aplicando substituição reversa, estimação da ord 
grandeza e o teste de "razoabilidade". 
• Dado um conjunto de variáveis medidas, calcular a média, o intervalo, a variância e o desvio pad 
amostra. Explicar com as suas próprias palavras o que significa cada uma das quantidades calcul 
por que ela é importante. 
• Explicar o conceito de homogeneidade dimensional de equações. Dadas as unidades de alguns 
em uma equação, usar este conceito para atribuir unidades aos outros termos. 
• Dados valores tabelados para duas variáveis (x e y), usar interpolação linear entre dois pontos par 
mar o valor de uma variável para um dado valor da outra. Traçar um gráfico de y versus x e usá-1 
ilustrar como e quando a interp0lação linear pode levar a erros significativos nos valores estima 
Introdução a Cálculos de Engenharia 7 
• Dados dois pontos em um gráfico de linha reta de y versus x, deduzir a expressão para y(x). Dados valo-
res tabelados para x e y, ajustar uma linha reta por inspeção visual. 
• Dada uma expressão de dois parâmetros ajustáveis (a e b) relacionando duas variáveis [como (z, y) em 
y = a sen(2x) + b ou como (P, Q) em P = l/(aQ3 + b)], estabelecer que tipo de tratamento deve ser 
dado à expressão para que se possa representá-la graficamente por uma reta. Conhecendo valores para 
x e y, traçar o gráfico e estimar os parâmetros a e b. 
• Dada uma lei de potências ou uma expressão exponencial envolvendo duas variáveis ( como em y = aX' 
ou k = aeb17), estabelecer que tipo de tratamento deve ser dado para obter uma reta usando coordenadas 
retangulares, semilog ou logarítmicas. Dado um gráfico linear envolvendo duas variáveis em quaisquer 
dos três tipos de eixo e dois pontos na linha, determinar a expressão que relaciona as duas variáveis e os 
valores dos dois parâmetros. 
_ uDADES E DIMENSÕES 
Uma quantidade medida ou contada tem um valor numérico (2,47) e uma unidade (qualquer coisa que 
seja este 2,47). É muito útil na maior parte dos cálculos de engenharia-e muitas vezes essencial-escre-
ver tanto o valor quanto a unidade de cada quantidade que aparece em uma equação: 
2 metros,} segundo, 4,29 quilogramas, 5 anéis de ouro 
Uma dimensão é uma propriedade que pode ser medida, como comprimento, tempo, massa ou tempe-
ratura, ou calculada pela multiplicação ou divisão de outras dimensões, como comprimento/tempo (veloci-
dade), comprimento3 (volume) ou massa/comprimento3 (densidade). Unidades mensuráveis ( diferentemente 
das unidades contáveis) são valores específicos de dimensões que foram definidas por convenção, costume 
ou lei, como gramas para massa, segundos para tempo e centímetros ou pés para comprimento. 
As unidades podem ser tratadas como variáveis algébricas quando as quantidades são somadas, subtra-
ídas, multiplicadas ou divididas. Os valores numéricos de duas quantidades podem ser somados ou sub-
traídos apenas se tiverem as mesmas unidades. 
3 cm - 1 cm = 2 cm (3x - x = 2x) 
mas 
3 cm - 1 mm ( ou 1 s) = ? (3x - y = ?) 
Por outro lado, os valores numéricos e as suas unidades correspondentes podem sempre ser combinadas 
por multiplicação ou divisão. 
3NX4m=12N· m 
5,0 km = 2 5 km/h 
2,0 h ' 
km 
7,0 h X 4 h = 28 km 
3 m X 4m = 12m2 
6 cm x 5 cm = 30 cm2/s 
s 
~ = 3 
2g 
(3 é uma quantidade adimensional) 
(s,o ksg) / (0,20 :~) = 25 m3 ts (Convença-se) 
CONVERSÃO DE UNIDADES 
Uma quantidade medida pode ser expressa em termos de quaisquer unidades que tenham a dimensão apro-
priada. Uma determinada velocidade, por exemplo, pode ser expressa em ft/s, milhas/h, cm/ano ou qual-
quer outra razão entre uma unidade de comprimento e uma unidade de tempo. O valor numérico da veloci-
dade, naturalmente, dependerá das unidades escolhidas. 
A equivalência entre duas expressões da mesma quantidade pode ser definida em termos de uma 
razão: 
8 Capítulo Dois 
TESTE 
EXEMPLO 2.2-1 
SOLUÇÃO 
1cm 
10mm 
10mm 
1cm 
(1 centímetro por 10 milímetros) 
(1 O milímetros por centímetro) 
[
10 mm ]
2 
1cm 
100 mm2 
1 cm2 
(2.2-1) 
(2.2-2) 
(2.2-3) 
Razões da forma das Equações 2.2-1, 2.2-2 e 2.2-3 são conhecidas como fatores de conversão. 
Para converter uma quantidade expressa em termos de uma unidade ao seu equivalente em termos de 
outra unidade, multiplique a quantidade dada pelo fator de conversão (unidade nova/unidade velha). Por 
exemplo, para converter 36 mg ao seu equivalente em gramas, escreva 
(36 mg) X (iotOgmg) = 0,036 g (2.2-4) 
(Note como as unidades velhas se cancelam, deixando a unidade desejada.) Uma forma alternativa de es-
crever esta equação é usar uma linha vertical em lugar do sinal de multiplicação: 
36 mg 1 g = 0,036 g 
1000 mg 
Indicar explicitamente as unidades em cálculos deste tipo é a melhor forma de evitar o erro muito co-
mum de multiplicar quando se quer dividir ou vice-versa. No exemplo mostrado, sabemos que o resultado 
está correto porque os miligramas se cancelam, deixando apenas os gramas do lado esquerdo, enquanto 
36 mg 1000 mg = 36.000 mg2/g 
lg 
está claramente errado. (Mais precisamente, não é o que você pretendia calcular.) 
Se você tem uma quantidade com uma unidade composta [por exemplo, milhas/h, cal/(g·ºC)] e quer 
convertê-la ao seu equivalente em termos de um outro conjunto de unidades, monte uma equação 
dimensional: escreva a quantidade dada e as suas unidades à esquerda, escreva as unidades dos fatores de 
conversão que cancelam as velhas unidades e as substituem pelas desejadas, preencha os valores dos fato-
res de conversão e realize as operações aritméticas indicadas para achar o valor desejado. (Veja o Exemplo 
2.2-1.) 
1. O queé um fator de conversão? 
2. Qual é o fator de conversão para s/min? (s = segundo) 
/; ~ •. ''/s. 
/' '#~v 
3. Qual é o fator de conversão para min2/s2? (Veja a Equação 2.2-3. 
4. Qual é o fator de conversão para m3/cm3? 1 1~, 1 J :e I 
~ Jor.:v.,·" 
Conversão de Unidades /1. •.,/A 
Converta uma aceleração de 1 cm/s2 em seu equivalente em km/ano2 • 
1 cm 36002 s2 242 h2 3652 dia2 1 m 
' (') 
r I\ 'A\\V.. -, ~ - -1 
GG·":. __1 
1 km 
S2 12 h2 12 dia2 
(3600 X 24 X 365)2 km 
102 X 103 ano2 
12 ano2 102 cm 103 m 
= l 9,95 X 109 km/ano2 I 
2 
l h\.~"' 
.. , 2. 
<JtlJ'0i) 
O princípio ilustrado neste exemplo é que, elevando uma quantidade (especificamente um fator de conversão) a uma 
potência, elevam-se as suas unidades à mesma potência. O fator de conversão para h2/dia2, portanto, é o quadrado do 
fator para h/dia. 
-- = 242 --
( 
24 h )
2 
h2 
1 dia dia2 
2.3 SISTEMAS DE UNIDADES 
Um sistema de unidades tem os seguintes componentes: 
-- -- - -~--
Introdução a Cálculos de Engenharia 9 
1. Unidades básicas para massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica e intensidade de luz. 
2. Unidades de múltiplo, que são definidas como múltiplos ou frações das unidades básicas, como minu-
tos, horas e milissegundos, todos definidos em termos da unidade básica, o segundo. As unidades de 
múltiplo são definidas mais por conveniência que por necessidade: simplesmente é mais conveniente 
nos referirmos a 3 anos do que a 94.608.000 s. 
3. Unidades derivadas, obtidas de duas maneiras: 
(a) Multiplicando ou dividindo unidades básicas ou de múltiplo (cm2, ft/min, kg·m/s2, etc.). Unidades 
derivadas deste tipo são chamadas de unidades compostas. 
(b) Definindo equivalentes de unidades compostas (por exemplo, 1 erg = lg·cm/s2, l lbf= 32,174 lbm·ft/s2). 
O Sistema Internacional de Unidades ou SI, para simplificar, tem ganho ampla aceitação na comunida-
de científica e de engenharia. Duas das unidades SI básicas - o ampere para corrente elétrica e a candela 
para intensidade luminosa - não serão de interesse neste livro. Uma terceira, o kelvin, para temperatura, 
será discutida mais adiante. As outras são o metro (m) para comprimento, o quilograma (kg) para massa e 
o segundo (s) para tempo. 
No SI, usam-se prefixos para indicar potências de 10. Os mais usados e as suas abreviações são mega 
(M) para 106 (1 megawatt = 1 MW = 106 watts), quilo (k) para 103, centi (c) para 10-2, mili (m) para 10-3, 
micro(µ,) para 10-6 e nano (n) para 10-9 _ Os fatores de conversão entre, digamos, centímetros e metros são, 
portanto, 10-2 m/cm e 102 cm/m. As principais unidades SI e os seus prefixos estão resumidos na Tabela 
2.3-1. 
O sistema CGS é quase idêntico ao SI; a principal diferença entre eles é que gramas (g) e centímetros 
(cm) são usados no lugar de quilogramas e metros como unidades básicas para massa e comprimento. As 
principais unidades do sistema CGS também estão na Tabela 2.3-1. 
As unidades básicas do sistema americano de engenharia são o pé (ft) para comprimento, a libra-massa 
(lbm) para a massa e o segundo (s) para o tempo. Este sistema tem duas dificuldades principais. A primeira 
Tabela 2.3-1 Unidades SI e CGS 
Quantidade 
Volume 
Força 
Pressão 
Quantidade 
Comprimento 
Massa 
Moles 
Tempo 
Temperatura 
Corrente elétrica 
Intensidade de luz 
Unidades Básicas 
Unidade 
metro (SI) 
centímetro (CGS) 
quilograma (SI) 
grama (CGS) 
grama-mol 
segundo 
kelvin 
ampere 
candela 
Prefixos das Unidades de Múltiplo 
tera (T) = 1012 
giga (G) = 109 
mega (M) = 106 
quilo (k) = 103 
centi (c) = 10- 2 
mili (m) = 10- 3 
micro(µ)= 10- 6 
· nano (n) = 10- 9 
Unidades Derivadas 
Símbolo 
m 
cm 
kg 
g 
mo! ou g-mol 
s 
K 
A 
cd 
Unidade Símbolo Equivalente em Termos de Unidades Básicas 
litro L 0,001 m3 
1000 cm3 
netwon (SI) N 1 kg·m/s2 
dina (CGS) 1 g·cm/s2 
pascal (SI) Pa 1 N/m2 
Energia, trabalho joule (SI) J 1 N·m = 1 kg·m2/s2 
erg (CGS) 1 dina-cm = 1 g·cm2/s2 
caloria cal 4,184 J = 4,184 kg·m2/s2 
Potência watt w 1 J/s = 1 kg·m2/s3 
li 
1 O Capítulo Dois 
TESTE 
EXEMPLO 2.3-1 
SOLUÇÃO 
é a ocorrência de fatores de conversão (como 1 ft/12 in), que, diferentemente dos sistemas métricos, nãc 
são múltiplos de dez; a segunda, que tem a ver com a unidade da força, será discutida na próxima seção. 
Fatores de conversão de um sistema de unidades para outro podem ser determinados combinando-se as 
quantidades listadas na tabela no início deste livro. Uma tabela maior de fatores de conversão aparece nas 
páginas 1-4 a 1-20 do Perry' s Chemical Engineers' Handbook1• 
1. Quais são os fatores (valores numéricos e unidades) necessários para converter 
(a) metros em milímetros? 
(b) nanossegundos em segundos? 
(e) centímetros quadrados em metros quadrados? 
(d) pés cúbicos em metros cúbicos? (use a tabela de fatores de conversão no início deste livro) 
(e) cavalo-vapor em Btu (British thermal units) por segundo? 
2. Qual é a unidade derivada para velocidade no SI? E no sistema CGS? E no sistema americano de enge-
nharia? 
Conversão entre Sistemas de Unidades 
Converta 23 lbm·ft/min2 em seu equivalente em kg·cm/s2. 
Como anteriormente, comece por escrever uma equação dimensional, preencha as unidades dos fatores de conversão 
(novo/velho), os valores numéricos destes fatores e, por último, as operações aritméticas. O resultado é 
23 lbm ·ft 0,453593 kg 100cm 12 min2 
(Com o cancelamento das unidades, sobra kg·cm/s2) 
min2 3,281 ft (60)2 s2 
(23)(0,453593)(100) kg·cm 
(3,281)(3600) -s2-
O 088 kg·cm 
' s2 
2.4 FORÇA E PESO 
De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, a força é proporcional ao produto da massa pela 
aceleração (comprimento/tempo2). As unidades naturais da força são, portanto, kg·m/s2 (SI), g·cm/s2 (CGS) 
e lbm·ft/s2 (americano de engenharia). Para evitar lidar com estas unidades complexas em todos os cálculos 
que envolvem força, foram definidas unidades derivadas para força em cada sistema. Nos sistemas métri-
cos, as unidades derivadas para força (o newton no SI, a dina no CGS) são definidas como iguais às uni-
dades naturais: 
1 newton (N) = 1 kg·m/s2 
1 dina = 1 g·cm/s2 
(2.4-1) 
(2.4-2) 
No sistema americano de engenharia, a unidade derivada para força - chamada de libra-força (lbr) - é 
definida como o produto de uma unidade de massa (1 lbm) e a aceleração da gravidade ao nível do mar e a 
45º de latitude, que vale 32,174 ft/s2: 
(2.4-3) 
As Equações 2.4-1 até 2.4-3 definem fatores de conversão entre unidades naturais e derivadas da força. 
Por exemplo, a força em newtons necessária para acelerar uma massa de 4,00 kg a uma taxa de 9,00 m/s2 é 
F = · · = 36.0 N 4,00 kg 19,00 m 11 N 
s2 1 kg·m/s2 , 
A força em lbr necessária para acelerar uma massa de 4,00 lbm a uma taxa de 9 ,00 ft/s2 é 
4,00 lbm 9,00 ft 1 lbt 
F = ----+-----,1--------''---- 1,12 lbt 
1 R.H. Perry e D.W. Green (Editores), Perry' s Chemical Engineers' Handbook, 7.' edição, McGraw-Hill, New York, 1997. 
ÇÃO 
Introdução a Cálculos de Engenharia 11 
Os fatores necessários para converter uma unidade de força em outra estão resumidos na tabela no iní-
cio deste livro. O símbolo gc é usado algumas vezes para representar o fator de conversão da unidade natu-
ral da força para a derivada: por exemplo, 
1 kg·m/s2 
gc = 1 N 
32,174 lbm ·ft/s2 
1 lbt 
Não usaremos este símbolo no texto, mas se você encontrá-lo em qualquer outro lugar lembre-se de que ele 
é apenas um fator de conversão (não deve ser confundido com a aceleração da gravidade, que é usualmente 
representada por g). 
O peso de um objeto é a força exercida sobre o mesmo pela atração gravitacional. Suponha que um objeto 
de massa m esteja sujeito a uma força gravitacional W (W, por definição, é o peso do objeto) e que, se este 
objeto estivesse caindo livremente, sua aceleração seria g. O peso, a massa e a aceleração em queda livre 
do objeto estão relacionados pela Equação 2.4-4: 
W = mg (2.4-4) 
A aceleração da gravidade varia diretamente com a massa do corpo atraente (na maioriados problemas, a 
Terra) e inversamente com o quadrado da distância entre os centros de massa do corpo atraente e do objeto 
que está sendo atraído. O valor de g ao nível do mar e 45° de latitude aparece abaixo em cada um dos sis-
temas de unidades: 
g = 9,8066 m/s2 
= 980,66 cm/s2 
= 32,174 ft/s2 
(2.4-5) 
A aceleração da gravidade não varia muito com a posição sobre a superfície da Terra nem (dentro de limi-
tes moderados) com a altitude, de modo que os valores dados na Equação 2.4-5 podem ser usados para a 
maior parte das conversões entre massa e peso. 
1. Quanto é o equivalente a uma força de 2 kg m/s2 em newtons? Quanto é o equivalente a uma força de 2 
lbm ft/s2 em lbr? 
2. Se a aceleração da gravidade em um ponto é g = 9 ,8 m/s2 e um objeto encontra-se em repouso neste 
ponto, este objeto está sendo acelerado a uma taxa de 9,8 m/s2? 
3. Suponha que um objeto pesa 9,8 N ao nível do mar. Qual é sua massa? Esta massa seria maior, menor ou 
igual na superfície da Lua? E o peso? 
4. Suponha que um objeto pesa 2 lbr ao nível do mar. Qual é a sua massa? Esta massa seria maior, menor 
ou igual no centro da Terra? E o peso? (Cuidado!) 
Peso e Massa 
A água tem uma densidade de 62,4 lb,jft3• Quanto pesam 2,000 ft3 de água (1) ao nível do mar e 45° de latitude e (2) 
em Denver, Colorado, onde a altitude é de 5374 ft e a aceleração da gravidade é 32,139 ft/s2? 
A massa da água é 
( 
lbm) 3 M = 62,4 ft3 (2 ft ) = 124,8 lbm 
O peso da água é 
(
ft)( llbr ) W = (ll4,S lbm)g si' 32,174 lbm ·Ws2 
1. Ao nível do mar, g = 32,174 ft/s2, de modo que W = 124,8 lbr. 
2. Em Denver, g = 32,139 ft/s2, de modo que W = 124,7 lbr, 
Como mostra este exemplo, o erro cometido ao se admitir que g = 32,174 ft/s2 é normalmente muito pequeno, des-
de que se esteja na superfície da Terra. Em um satélite ou em um outro planeta, a história seria diferente. 
12 Capítulo Dois 
2.5 ESTIMAÇÃO E CÁLCULOS NUMÉRICOS 
2.5a Notação Científica, Algarismos Significativos e Precisão 
Tanto números muito grandes quanto números muito pequenos são encontrados freqüentemente em cál-
culos de processos. Uma forma conveniente de expressar tais números é usar notação científica, na qual 
um número é expresso pelo produto de um outro número (usualmente entre 0,1 e 10) e uma potência 
de 10. 
Exemplos: 123.000.000 = 1,23 X 108 (ou 0,123 X 109) 
0,000028 = 2,8 X 10-5 (ou 0,28 X 10-4) 
Os algarismos significativos de um número são os dígitos a partir do primeiro dígito diferente de zero 
à esquerda ou (a) do último dígito (zero ou diferente de zero) à direita se existe uma vírgula decimal ou (b) 
do último dígito diferente de zero se não existe vírgula decimal. Por exemplo, 
2300 ou 2,3 X 103 tem dois algarismos significativos. 
2300 ou 2,300 X 103 tem quatro algarismos significativos. 
2300,0 ou 2,3000 X 103 tem cinco algarismos significativos. 
23.040 ou 2,304 X 104 tem quatro algarismos significativos. 
0,035 ou 3,5 X 10-2 tem dois algarismos significativos. 
0,03500 ou 3,500 X 10- 2 tem quatro algarismos significativos. 
(Nota: O número de algarismos significativos é facilmente mostrado e visto se for usada notação cien-
tífica.) 
O número de algarismos significativos no valor expresso de uma quantidade medida ou calculada for-
nece uma indicação da precisão com a qual a quantidade é conhecida: quanto mais algarismos significati-
vos, mais preciso é o valor. Geralmente, se você exprime o valor de uma quantidade medida com três alga-
rismos significativos, você indica que o valor do terceiro dígito pode estar errado aproximadamente pela 
metade. Então, se você exprime uma massa como sendo 8,3 g (dois algarismos significativos) você indica 
que a massa está entre 8,25 e 8,35 g, enquanto se você exprime o valor como 8,300 g (quatro algarismos 
significativos), você indica que a massa está entre 8,2995 e 8,3005 g. 
No entanto, note que esta regra se aplica apenas a quantidades medidas ou números calculados a partir 
de quantidades medidas. Se uma quantidade é conhecida exatamente - como um inteiro puro (2) ou uma 
quantidade contada (16 laranjas) - o seu valor contém implicitamente um número infinito de algarismos 
significativos (5 vacas significam exatamente 5,0000 ... vacas). 
Quando duas ou mais quantidades são combinadas por multiplicação ou divisão, o número de al-
garismos significativos do resultado deve ser igual ao menor número de algarismos significativos de 
qualquer dos fatores ou divisores. Se o resultado inicial de um cálculo viola esta regra, você deve 
arredondar o resultado para reduzir o número de algarismos significativos ao seu valor máximo per-
mitido. No entanto, se uma série de cálculos precisa ser feita em seqüência, é recomendável manter 
algarismos significativos extras nas quantidades intermediárias e arredondar apenas o resultado final. 
Por exemplo: 
(3) (4) (7) (3) 
(3,57)( 4,286) = 15,30102 =} 15,3 
(2) ( 4) (3) (9) (2) (2) 
(5,2 X 10-4)(0,1635 X 107) / (2,67) = 318,426966 =} 3,2 X 102 = 320 
(As quantidades entre parênteses indicam o número de algarismos significativos de cada número.) 
Atenção: se você calcula, por exemplo, 3 X 4, e a sua calculadora ou o seu computador dá uma res-
posta como 11 ,99999, e você copia esta resposta e a usa nos seus cálculos, o seu professor pode ficar 
nervoso! 
A regra para adição e subtração refere-se à posição do último algarismos significativo na soma - quer 
dizer, a localização deste dígito em relação à vírgula decimal. A regra é: quando dois ou mais números são 
somados ou subtraídos, a posição dos últimos algarismos significativos de cada número deve ser compa-
rada. Destas posições, aquela mais afastada à esquerda é a posição do último dígito permissível do resul-
tado. 
Vários exemplos aparecem a seguir, nos quais uma seta ( t ) representa o ultimo algarismo significativo 
de cada número. 
t 
1530 t 
-2,56 
1527,44 ==} 1530 
t 
t t t t 
Introdução a Cálculos de Engenharia 13 
1,0000 + 0,036 + 0,22 = 1,2560 ==} 1,26 
t t 
2,75 X 106 + 3,400 X 104 = (2,75 + 0,03400) X 106 
t 
= 2,784000 X 106 ==} 2,78 X 106 
Finalmente, uma regra empírica para arredondar números nos quais o dígito a ser rejeitado é 5 é sempre 
fazer o último dígito do número arredondado ser par: 
1,35 ~ 1,4 
1,25 ~ 1,2 
1. Expresse as seguintes quantidades em notação científica e indique quantos algarismos significativos 
tem cada uma. 
(a) 12.200 (b) 12.200,0 (e) 0,003040 
( i Expresse as seguintes quantidades em notação decimal padrão e indique quantos algarismos significa-
_ _) tivos tem cada uma. 
(a) 1,34 X 105 (b) 1,340 X 10- 2 (e) 0,00420 X 106 
3. Quantos algarismos significativos terá a solução de cada um dos seguintes cálculos? Quais as respostas 
de (c) e (d)? 
(a) (5,74)(38,27)/(0,001250) 
(b) (1,76 X 10'1)(0,12 X 10- 6) 
(e) 1,000 + 10,2 
(d) 18,76 - 7 
4. Arredonde os seguintes números até três algarismos significativos. 
(a) 1465 (b) 13,35 (e) 1,765 X 10-1 
5. Quando o valor de um número é dado, os algarismos significativos fornecem um indicativo da incerteza 
no valor; por exemplo, um valor de 2,7 indica que o número está entre 2,65 e 2,75. Assinale os interva-
los onde está cada um dos seguintes números. 
(a) 4,3 (d) 2500 
(b) 4,30 (e) 2,500 X 103 
(e) 2,778 X 10-3 
alidando Resultados 
Cada problema que você terá que resolver - nesta e em outras disciplinas e também durante a sua carreira 
profissional- envolverá duas questões críticas: (1) Como achar uma solução? (2) Quando achar uma, como 
saber se é correta? A maior parte deste livro está dedicada à questão 1 - quer dizer, a métodos de resolu-
ção de problemas que aparecem no projeto e análise de processos químicos. No entanto, a questão 2 é igual-
mente importante, e podem aparecer vários problema sérios se não for formulada. Todos os engenheiros 
bem-sucedidos adquirem o hábito de fazerem a si esta questão sempre que resolvem um problema e desen-
volvem uma ampla variedade de estratégias para respondê-la. 
Entre as abordagens que você pode usar para validar uma solução quantitativado problema estão a subs-
tituição reversa, a estimação da ordem de grandeza e o teste da razoabilidade. 
• A substituição reversa é um método direto: depois que você resolver um conjunto de equações, substi-
tua a sua solução de volta nas equações e assegure-se de que ela funciona. 
• A estimação da ordem de grandeza significa começar com uma aproximação grosseira e fácil de obter 
da solução de um problema e conferir se a solução mais exata está razoavelmente próxima. 
• Aplicar o teste da razoabilidade significa verificar se a solução faz sentido. Se, por exemplo, uma velo-
cidade calculada para água escoando por uma tubulação é maior do que a velocidade da luz, ou se a 
temperatura calculada dentro de um reator químico é maior do que a temperatura do interior do Sol, 
você deve suspeitar de que algum erro foi cometido em algum ponto do cálculo. 
O procedimento para checar um cálculo aritmético pela estimativa da ordem de grandeza é o seguinte: 
1 UI Ili 
14 Capítulo Dois 
1. Substitua números inteiros simples para todas as quantidades numéricas usando potências de 10 (nota-
ção científica) para números muito grandes e muito pequenos. 
27,36 __.,. 20 ou 30 (o que tornar o cálculo mais fácil) 
63.472---;. 6 X 104 
0,002887 ---;. 3 X 10-3 
2. Faça à mão os cálculos aritméticos resultantes, continuando a arredondar as respostas intermediárias. 
(36.720)(0,0624) = (4 X 104)(5 X 10-2) = 4 X lQ(4- 2+ 4) = 4 X 106 
0,00478 5 X lQ-4 
A solução correta ( obtida usando uma calculadora) é 4,78 X 106• Se você obtém esta solução, e já que é 
da mesma ordem de grandeza que a estimativa, você pode ter uma razoável confiança de que não foi 
cometido nenhum erro grosseiro durante o cálculo. 
3. Se um número é adicionado a outro muito menor, elimine o segundo número na sua aproximação. 
1 1 
4,13 +~ = 4 = 0,25 
A solução da calculadora é 0,239. 
EXEMPLO 2.s:z·1 Estimação da Ordem de Grandeza 
SOLUÇÃO 
O cálculo da vazão volumétrica de uma corrente de processo leva à seguinte fórmula: 
V = + X ----~ . [ 254 13 ] 1 
(0,879)(62,4) (0,866)(62,4) (31,3145)(60) 
Estime V sem usar uma calculadora. (A solução exata é 0,00230.) 
. [250 W] 1 s _2 
V = 50+,ôO x(4 X 101)(6Xl01) = 25X102=0,2 x 10 = 0,002 
A terceira forma de checar um resultado numérico - e talvez a primeira coisa que você deve fazer quando 
chegar a uma solução - é ver se a resposta é razoável. Se, por exemplo, você calcula que um cilindro 
contém 4,23 X 1032 kg de hidrogênio, quando a massa do Sol é apenas 2 X 1030 kg, isto deve motivar você 
a refazer o cálculo. Você deve também ficar preocupado se calcula um volume do reator maior do que a 
Terra (102 1 m3) ou uma temperatura ambiente elevada o suficiente como para derreter ferro (1535ºC). Se 
você adquire o hábito de se perguntar "Isto faz sentido?" cada vez que chega à solução de um problema-
em engenharia e no resto da sua vida - você se poupará de muito embaraço e remorso. 
2.5c Estimação de Valores Medidos: A Média da Amostra 
Suponha que realizamos uma reação química da forma A ---;. Produtos, começando com A puro no reator e 
mantendo a temperatura do reator constante em 45°C. Após dois minutos retiramos uma amostra do reator 
e a analisamos para determinar X, a percentagem do A na carga que reagiu. 
Resfriamento 
(para controle 
da temperat_u_ra....,)-.....-- X(% conversão) 
Analisador 
Na teoria, X deve ter um único valor; no entanto, em um reator real, X é uma variável aleatória, mudando 
de maneira imprevisível entre uma corrida e outra nas mesmas condições experimentais. Os valores de X 
obtidos após 10 corridas sucessivas podem ser como segue: 
TE 
Introdução a Cálculos de Engenharia 15 
Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
X(%) 67,1 73,1 69,6 67,4 71,0 68,2 69,4 68,2 68,7 70,2 
Por que não obtemos o mesmo valor de X em todas as corridas? Existem várias razões: 
• É impossível reproduzir exatamente as mesmas condições experimentais em experimentos sucessivos. 
Se a temperatura do reator varia apenas O, 1 ºC de uma corrida para outra, isso pode ser suficiente para 
mudar o valor medido de X. 
• Ainda que as condições fossem idênticas para duas corridas, não poderíamos retirar a amostra exata-
mente em t = 2,000 ... minutos, e uma diferença de um segundo pode resultar em uma diferença mensu-
rável em X. 
• Variações nos procedimentos de amostragem e de análise química sempre introduzem espalhamento 
nos valores medidos. 
Neste ponto, podemos fazer duas perguntas acerca do sistema. 
1. Qual é o valor verdadeiro de X? 
Em princípio, poderia existir uma coisa como o "valor verdadeiro" - quer dizer, o valor que obtería-
mos se pudéssemos fixar a temperatura exatamente a 45,0000 .. . graus, começar a reação, manter atempe-
ratura e todas as outras variáveis experimentais que afetam X perfeitamente constantes, e então amostrar e 
analisar com precisão completa exatamente em t = 2,0000 ... minutos. No entanto, na prática, não há como 
fazer nenhuma destas coisas. Poderíamos também definir o valor verdadeiro de X como o valor que obte-
ríamos realizando um número infinito de medidas e tomando a média dos resultados, mas também não há 
uma forma prática de fazer isto. O melhor que podemos fazer é estimar o valor verdadeiro de X a partir de 
um número finito de valores medidos. 
2. Como podemos estimar o valor verdadeiro de X? 
A estimativa mais comum é a média da amostra (ou média aritmética). Obtemos N valores medidos de 
X (X1,X2, ... ,XN) e então calculamos 
Média da Amostra: 
1 N -LX 
N J = l ; 
(2.5-1) 
Para os dados fornecidos, estimaríamos 
- 1 
X = lO (67,1 % + 73,1 % + · · · + 70,2%) = 69,3% 
Graficamente, os dados e a média da amostra podem aparecer como mostrado a seguir. Os valores medidos 
se espalham em torno da média, como deveria ser. 
10 
Corrida 
Quanto mais medidas de uma variável aleatória, melhor será o valor estimado com base na média da 
amostra. No entanto, mesmo com um número muito grande de medidas, a média da amostra é apenas uma 
aproximação do valor verdadeiro e pode, de fato, estar muito longe do mesmo (por exemplo, se há algo 
errado com os instrumentos ou procedimentos usados para medir X). 
As taxas de produção semanal de um produto farmacêutico durante as últimas seis semanas foram 37, 17, 
39, 40, 40 e 40 bateladas. 
1. Pense em várias explicações possíveis para a variação observada na taxa de produção semanal. 
2. Se você usa a média da amostra dos dados fornecidos como base, qual seria a sua previsão da taxa de 
produção semanal? 
3. Faça uma previsão melhor e explique seu raciocínio. 
Ili 
16 Capítulo Dois 
2.5d Variância de Dados Espalhados 
Consideremos dois conjuntos de medidas de uma variável aleatória X - por exemplo, a percentagem 
conversão no mesmo reator em batelada, medida usando duas diferentes técnicas experimentais. 
Gráficos de espalhamento de X versus o número de corridas aparecem na Figura 2.5-1. A média de ca 
conjunto de dados é 70%, mas os valores medidos se espalham em um intervalo muito mais estreito para 
primeiro conjunto (entre 68% e 73%) do que para o segundo (entre 52% e 95%). Em cada caso, você esti-
maria o valor verdadeiro de X a partir das condições experimentais dadas como a média da amostra, 70% 
mas você teria claramente mais confiança na estimativa do conjunto (a) do que na do conjunto (b). 
Três quantidades - o intervalo, a variância da amostra e o desvio padrão da amostra - são usad 
para expressar o grau no qual os valores de uma variável aleatória se espalham em torno do seu valor mé-
dio. O intervalo é simplesmente a diferença entre os valores maior e menor de X no conjunto de dados: 
Intervalo: R = Xmáx - Xmín 
No primeiro gráfico da Figura 2.5-1 , o intervalo de X é 5% (73% - 68%) e no segundo gráfico é 439é 
(95% - 52%). 
O intervalo é a medida mais crua do espalhamento; envolve apenas dois dos valores medidos e não dá 
nenhuma indicação de que a maior parte dos valores fica próxima à média ou se espalha muito em tom 
desta. A variância da amostra é uma medida muitomelhor. Para defini-la, calculamos o desvio de cada 
valor medido em relação à média, Xi - X (j = 1,2, ... ,N) e então calculamos 
VariânciadaAmostra: si = - 1- [(X1 - X)2 + (X2 -X)2 + ··· + (XN - X)2] N -1 (2.5-3) 
O grau de espalhamento pode também ser expresso em termos do desvio padrão da amostra, definido como 
a raiz quadrada da variância: 
Desvio Padrão da Amostra: sx= # (2.5-4) 
Quanto mais um valo~ medido (X) se desvia da média, seja de forma positiva seja de forma negativa. 
maior é o valor de (X1 - X)
2 e, portanto, maior o valor da variância e do desvio padrão. Se estas quantidades 
são calculadas para os conjuntos de dados da Figura 2.5-1, por exemplo, serão obtidos valores relativamen-
te pequenos para o Conjunto (a) (s~ = 0,30, sx = 0,55) e valores grandes para o Conjunto (b) (s~ = 50, 
Sx = 7,1). 
Conjunto de Dados (a) Conjunto de Dados (b) 
Xm1n = 68% 
80% 
Xmáx = 95% 
\ 
Xnún = 52% 100% 
• • • • x = 70% l-"-~.c---11,______,,.------•~-c-=•-
• • 
60% ~---------
50% .__ ____ .;;..... ___ _ 
Corrida Corrida 
Figura 2.5-1 Gráficos de espalhamento para dois conjuntos de dados com diferentes níveis de espalhamento. 
X 
• 
• 
• 
x 
• • 
• • 
Corrida 
Figura 2.5-2 Espalhamento dos dados em tomo da média. 
TE 
EXEMPLO 2.5-2 
1-~~- : "li I Jf ':Ji/ii/://, 1111111!11! 
Introdução a Cálculos de Engenharia 17 
Para variáveis aleatórias típicas, aproximadamente dois terços de todos os valores medidos caem dentro 
de um desvio padrão da média; cerca de 95% caem dentro de dois desvios padrões; e cerca de 99% caem 
dentro de três desvios padrões.2 Uma ilustração gráfica desta afirmação é mostrada na Figura 2.5-2. Dos 37 
valores medidos de X, 27 caem dentro de um desvio padrão em relação à amostra, 33 caem dentro de dois 
desvios padrões e 36 dentro de três desvios padrões. 
Os valores das variáveis medidas são freqüentemente expressos com limites de erro, como X = 48,2±0,6. 
Isto significa que um único valor medido de X provavelmente deve cair entre 4 7 ,6 e 48,8. O ponto médio 
deste intervalo (X = 48,2) é quase sempre o valor médio do conjunto de dados usado para gerar este resul-
tado; no entanto, o significado dos limites de erro fornecidos (±0,6) não é óbvio a menos que seja dada 
mais informação. O intervalo entre 47 ,6 e 48,8 pode representar o intervalo do conjunto de dados (Xmáx -
Xmín) ou ±0,6 pode representar ±sx, ±2sx ou ±3sx. (Existem outras possibilidades, mas elas raramente 
acontecem.) Se você exprime o valor de uma variável desta maneira, esclareça o que significam os seus 
limites de erro. 
A vazão volumétrica de um fluido de processo, V(cm3/s), é medida cinco vezes, com os seguintes 
resultados: 
Medida 1 2 3 4 5 
V(cm3/s) 232 248 227 241 239 
(a) Calcule a média CV), o intervalo, a variância (si) e o desvio padrão (sv). . 
(b) Há uma alta probabilidade (acima de 90%) de. que um va_lor medido de V esteja dentro de dois 
desvios padrões da média. Exprima o valor de V na forma V = a ± b, escolhendo os valores de a e 
b para definir este intervalo. 
Controle Estatístico de Qualidade 
Quinhentas bateladas de um pigmento são produzidas por semana. Dentro do programa de qualidade da planta, cada 
batelada é submetida a um teste preciso de análise de cor. Se uma batelada não passa no teste, é rejeitada e enviada de 
volta para reformulação. 
~------, Y (bateladas/semana) 
500 bateladas/ Rejeitar 
semana Especificação 
de Qualidade 
(500 - Y) (bateladas/semana) 
~ ---~Aceitar 
Seja Y o número de bateladas ruins produzidas por semana e suponha que os resultados do teste de qualidade em um 
período de 12 semanas sejam os seguintes: 
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
y 17 27 18 18 23 19 18 21 20 19 21 18 
A política da empresa é considerar a operação do processo como normal sempre que o número de bateladas ruins pro-
duzidas por semana não ultrapasse três desvios padrões da média do período ( quer dizer, sempre que Y .;; Y ::!:: 3sy). Se 
Y supera este valor, o processo é suspenso para manutenção corretiva (um procedimento longo e custoso). Estes desvi-
os grandes da média podem acontecer como parte do espalhamento normal do processo, mas são tão infreqüentes que, 
se acontecem, a existência de um problema anormal é considerada a explicação mais verossímil. 
1. Quantas bateladas ruins por semana devem acontecer para parar o processo? 
2. Qual seria o valor limite de Y se dois desvios padrões e não três fossem tomados como critério de parada? Quais 
seriam as vantagens e desvantagens de usar este critério mais estrito? 
2 As percentagens exatas dependem de como os valores medidos se distribuem ao redor da média - se eles seguem urna distribuição gaussiana, por 
exemplo - e de quantos pontos estão no conjunto usado para calcular a média e o desvio padrão. 
18 Capítulo Dois 
SOLUÇÃO 1. Com base nas Equações 2.5-1, 2.5-3 e 2.5-4, a média, a variância e o desvio padrão de Y durante o período bases· 
1 12 
Y = - L(17 + 27 + · · · + 18) = 19,9 bateladas/semana 
12 j- l 
1 
s} = -[(17 -19,9)2 + (27 - 19,9)2 + · · · + (18 -19,9)2] = 7,9 (bateladas/semana)2 
11 
sy = )7,9 = 2,8 bateladas/semana 
O valor máximo permitido de Y é 
y + 3sy = 19,9 + (3)(2,8) = 1 28,31 
Se 29 ou mais bateladas ruins são produzidas em uma semana, o processo deve ser parado para manutenção. 
2. Y + 2sy = 19,9 + (2)(2,8) = !25,5!. Se este critério fosse usado, 26 bateladas ruins por semana seriam suficie 
tes para parar o processo. A vantagem é que, se alguma coisa está errada no processo, o problema será corrigi 
antes, e menos bateladas ruins serão produzidas a longo prazo. A desvantagem é que podem acontecer mais p 
das, a um custo considerável, quando nada de errado está acontecendo, e o número grande de bateladas ruins s· 
plesmente reflete o espalhamento normal do processo. 
2.6 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL E QUANTIDADES ADIMENSIONAIS 
EXEMPLO 2.6-1 
Começamos a nossa discussão sobre unidades e dimensões dizendo que as quantidades podem ser somadru 
ou subtraídas apenas quando as suas unidades são as mesmas. Se as unidades são as mesmas, segue-se qw 
as dimensões de cada termo devem ser as mesmas. Por exemplo, se duas quantidades podem ser express 
em termos de grama/segundo, as duas devem ter as dimensões (massa/tempo). Isto sugere a seguinte regr 
Cada equação válida deve ser dimensiona/mente homogênea: isto é, todos os termos aditivos nos 
dois lados da equação devem ter as mesmas dimensões. 
Consideremos a equação 
u(mls) = uo(mls) + g(m/s2)t(s) (2.6-1 
Esta equação é dimensionalmente homogênea, já que cada um dos termos, u, u0 e gt tem as mesmas dimen 
sões (comprimento/tempo). Por outro lado, a equação u = u0 + g não é dimensionalmente homogênea (po 
que não?) e portanto não pode ser válida. 
A Equação 2.6-1 é ao mesmo tempo dimensionalmente homogênea e consistente nas suas unidades, j 
que cada termo aditivo tem as unidades m/s. Se valores de u0, g e t com as unidades indicadas são substitu 
ídos na equação, a soma pode ser feita para conhecer o valor de u. Se uma equação é dimensionalmen1 
homogênea mas os seus termos aditivos têm unidades inconsistentes, os termos ( e portanto a equação) podei 
ser tomados consistentes simplesmente aplicando os fatores de conversão apropriados. 
Por exemplo, suponha que na equação dimensionalmente homogênea u = u0 + gt deseja-se expressar 
tempo (t) em minutos e as outras quantidades nas unidades citadas anteriores. A equação pode ser escri' 
como 
u(m/s) = u0(m/s) + g(m/s2)t(min)(60 s/min) 
= uo + 60gt 
Cada termo aditivo tem de novo as unidades m/s (verifique isto), de modo que a equação é consistente. 
A recíproca da regra dada acima não é necessariamente verdadeira - uma equação pode ser dimensi 
nalmente homogênea e não ser válida. Por exemplo, se M é a massa de um objeto, então a equação M = 2 
é dimensionalmente homogênea, mas também é obviamente incorreta. 
Homogeneidade Dimensional 
Considere a equação 
D(ft) = 3t(s) + 4 
1. Se a equação é válida, quais são as dimensões das constantes 3 e 4? 
2.Se a equação é consistente nas suas unidades, quais são as unidades de 3 e 4? 
3. Deduza uma equação para a distância em metros em termos do tempo em minutos. 
fo 
l-
o 
1-
l-
s 
e 
s 
SOLUÇÃO 
EXEMPLO 2.6-2 
W ÇÃO 
Introdução a Cálculos de Engenharia 19 
1. Para a equação ser válida, deve ser dimensionalmente homogênea, de forma que cada termo deve ter as dimen-
sões de comprimento. Portanto, a constante 3 deve ter a dimensãofcomprimento/tempo~ e 4 deve ter a dimensão 
fcomprimentof. 
2. Para a consistência de unidades, as constantes devem ser!3 ft/s!e[li]. 
3. Defina novas variáveis D'(m) e t'(min). As relações de equivalência entre as variáveis novas e velhas são: 
D(ft) = D
1
(m) 3,2808 ft = 3,28D 1 
lm 
t(s) = t 1(min) 60 s = 60t1 
1 min 
Substitua estas expressões na equação dada, 
3,28D1 (3)(60rt) + 4 
e divida a equação por 3,28, 
D 1(m) = 55rt(min) + 1,22 
Exercício: Quais são as unidades de 55 e 1,22? 
O Exemplo 2.6-1 ilustra um procedimento geral para reescrever uma equação em termos de novas vari-
áveis tendo as mesmas dimensões mas diferentes unidades: 
1. Defina novas variáveis (por exemplo, colocando linhas nos nomes das variáveis velhas) que tenham as 
unidades desejadas. 
2. Escreva expressões para cada variável velha em termos da variável nova correspondente. 
3. Substitua estas expressões na equação original e simplifique. 
Uma quantidade adimensional pode ser um número puro (2, 1,3, 5/2) ou uma combinação de variá-
veis que não tenha dimensões. 
M(g) 
Mo(g) 
D(cm)u(crn/s)p(g/cm3) 
µ,[g/(cm·s)] 
Uma quantidade como M/M0 ou Dup/µ também é chamada de grupo adimensional. 
Expoentes ( como o 2 em X2) ,funções transcendentais ( como log, exp = e sen) e argumentos de funções 
transcendentais (como X em sen X) sempre devem ser quantidades adimensionais. Por exemplo, 102 faz 
sentido, mas 102 ft não tem nenhum sentido, assim como log (20 s) ou sen (3 dinas). 
Homogeneidade Dimensional e Grupos Adimensionais 
Uma quantidade k depende da temperatura T na seguinte forma: 
k( mal ) = 1 2 X 105 ex ( - 20.000) 
cm3 ·s ' p 1,987T 
As unidades da quantidade 20.000 são cal/mol, e Testá em K (kelvin). Quais são as unidades das constantes 1,2 X 105 
e 1,987? 
Já que a equação deve ser consistente nas suas unidades e a função exponencial é adimensional, 1,2 X 105 deve ter as 
mesmas unidades de k, mol/(cm3·s). Além disso, já que o argumento da função exponencial deve ser adimensional, 
podemos escrever 
20.000 cal 1 mol ·K 
mol T (K) 1,987 cal 
(Todas as unidades se cancelam) 
As respostas são então 
1,2 x 105 mol/(cm3 ·s) e 1,987 cal/(mol · K) 
20 Capítulo Dois 
TESTE 
i 
1,11 
1. O que é uma equação dimensionalmente homogênea? Se uma equação é dimensionalmente homogê-
nea, será necessariamente válida? Se uma equação é válida, será necessariamente homogênea? 
2. Se y(m/s2) = az(m3), quais são as unidades de a? 
3. O que é um grupo adimensional? Que combinações entre r(m), s(m/s2) e t(s) constituem um grupo adi-
mensional? 
4. Se z(lbr) = a sen(Q), quais são as unidades de a e Q? 
2.7 REPRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS DE PROCESSOS 
A operação de qualquer processo químico baseia-se, em última instância, nas medições das variáveis de 
processo - temperaturas, pressões, vazões, concentrações, etc. Às vezes é possível medir diretamente estm 
variáveis, mas geralmente devem ser usadas técnicas indiretas. 
Suponha, por exemplo; que você deseja medir a concentração C de um soluto em uma solução. Par, 
fazer isto, normalmente você mede uma outra quantidade X - como a condutividade térmica ou elétrica 
ou a absorbância de luz ou o volume titulado - que varia de uma forma conhecida com a concentração, é 
então calcula C a partir do valor conhecido de X. A relação entre C e X é determinada em um experimente 
separado de calibração, onde soluções de concentração conhecida são preparadas e X é medido para cad, 
solução. 
Consideremos um experimento de calibração onde uma variável y é medida para vários valores de um, 
outra variável x: 
X 1,0 2,0 3,0 4,0 
y 0,3 0,7 1,2 1,8 
De acordo com o parágrafo anterior, y poderia ser a concentração de um reagente ou alguma outra variável dé 
processo, enquanto x seria uma variável facilmente medida (tal como a condutividade) cujos valores estãe 
correlacionados com y. Nosso objetivo é usar os dados de calibração para estimar o valor de y para um valo1 
de x dentro do intervalo dos pontos tabelados (interpolação) ou além deste intervalo (extrapolação). 
Uma série de técnicas de interpolação e extrapolação é comumente usada, incluindo interpolação linem 
de dois pontos, interpolação gráfica e ajuste de curvas. Qual desses métodos é o mais apropriado depender~ 
da natureza da relação existente entre y e x. 
A Figura 2.7-1 mostra vários gráficos ilustrativos (x, y). Se o gráfico de um dado conjunto de dados tem 
a forma dos gráficos (a) ou (b) nesta figura, uma linha reta provavelmente pode ajustar os dados e servil 
como base para subseqüente interpolação ou extrapolação. Por outro lado, se o gráfico é nitidamente uma 
curva, como no gráfico (e), pode-se traçar uma curva por inspeção e usá-la como base para interpolação, ou 
podem ser usados segmentos de linha reta entre cada par sucessivo de pontos, ou pode-se usar uma funçãe 
não-linear y(x) que ajuste os dados. 
A técnica de traçar uma reta ou uma curva pelos pontos por inspeção não precisa de mais explicações. 
Os outros métodos aparecem na seguinte seção. 
2. 7 a Interpolação Linear de Dois Pontos 
A equação de uma linha reta através dos pontos (x1, y1) e (x2, y2) em um gráfico de y versus x é: 
(2.7-1) 
y y y 
•• 
• • •• 
• •• • 
• • • • • • • • • • • 
X X X 
(a) (b) (e) 
Figura 2.7-1 Gráficos representativos de dados experimentais. 
TE 
Introdução a Cálculos de Engenharia 21 
(Você pode demostrar isto?) Podemos usar esta equação para estimar y para um x entre x 1 e x2, bem como 
para estimar y para um x fora deste intervalo (quer dizer, para extrapolar os dados) mas com um risco de 
erro muito maior. 
Se os pontos em uma tabela estão relativamente próximos, a interpolação linear deve ser suficiente para 
proporcionar uma boa estimativa de y para qualquer x ou vice-versa; por outro lado, se os pontos estão 
separados, ou se os dados devem ser extrapolados, deve-se usar uma das técnicas de ajuste de curvas mos-
tradas na seção seguinte. 
1. Valores de uma variável (f) são medidos em diferentes tempos (t): 
[ZEEEJ 
~ 
Mostre que, se a interpolação linear de dois pontos é usada, (a)f(t = 1,3) = 1,9; (b) t(J= 5) = 2,25. 
2. Se uma função y(x) aparece como mostrado em cada um dos gráficos abaixo, as estimativas obtidas 
usando a interpolação linear de dois pontos seriam muito baixas, muito altas ou corretas? Se a fórmu-
la para a interpolação linear de dois pontos (Equação 2.7-1) for usada para estimar y(x3) a partir dos 
valores tabelados de (x1, y1) e (x2, Yz) no gráfico (b), as estimativas seriam muito altas ou muito bai-
xas? 
y 
--- Função verdadeira 
• Ponto tabelado 
'-------x 
(a) 
I 
Y3 ------- - --/ ,, 
;' 1 
Y2 -- - --_;-,~' : 
Y1 - ........ - 1 1 
1 1 1 
1 1 
y 
~-----x 
(e) 
7b Ajustando uma Linha Reta 
~-, 1 ti1i,lill\l~IIIIIIIIIIIII 
Uma forma conveniente de indicar como uma variável depende de outra é com uma equação: 
y = 3x + 4 
y = 4,24(x - 3)2 - 23 
y = l,3 X 107 sén(2x )/ (x 112 + 58,4) 
Se você dispõe de uma equação analítica para y(x) como as mostradas acima, pode calcular y para qualquer 
valor de x ou (com maior dificuldade) determinar x para qualquer valor de y, ou pode programar um com-
putador para fazer estes cálculos. 
Suponha que os valores de uma variável dependente y foram medidos para vários valores de uma vari-
ável independente x, e um gráfico de y versus x em coordenadas retangulares fornece o que parece ser uma 
linha reta. A equação que você usaria para representar esta relação entre y e x seria 
y = ax + b (2.7-2) 
Se os pontos são relativamente pouco espalhados, como os da Figura 2.7-la, umalinha pode ser traçada 
através deles por inspeção, e se (x1, y1) e (x2, Yz) são dois pontos - que podem ou não ser dados da tabela 
- sobre a reta, então 
Inclinação: (2.7-3) 
Intercepto: (2.7-4) b { 
= Y1 - ax1 
= Y2 - ax2 
Uma vez que a é calculado da Equação 2.7-3 e b é calculado da Equação 2.7-4, é conveniente checar o 
resultado verificando se a Equação 2.7-2 é satisfeita no ponto (x1, y 1) ou (x2, y 2) que não foi usado para 
calcular b. 
22 Capítulo Dois 
EXEMPLO 2.7-1 
SOLUÇÃO 
Ajustando uma Linha Reta a Dados de Calibração de um Medidor de Fluxo 
Dados da calibração de um rotâmetro (vazão versus leitura do rotâmetro) são como segue: 
Vazão 
V(L/min) 
20,0 
52,1 
84,6 
118,3 
151,0 
Leitura do Rotâmetro 
R 
10 
30 
50 
70 
90 
1. Desenhe a curva de calibração e determine uma equação para_ V(R) 
2. Calcule a vazão que corresponde a uma leitura no rotâmetro de 36. 
1. A curva de calibração aparece como segue: 
200.....-,--,.---.---.--r-~..--,--,.--. 
150 
ê 
~ 100 
-;::,. 
50 
20 40 60 80 100 
R 
. . 
Uma linha traçada através dos dados por inspeção visual passa pelos pontos (R 1 = 1 O, V1 = 20) e (R2 = 60, V2 , 
101). Portanto, 
V = aR + b (Já que todos os dados caem sobre a linha) 
V2 - V1 101 - 20 
Rz _ Ri = 
60 
_ 10 = 1,62 (Pela Equação 2.7-3) a = 
b = )7! - aR1 = 20 - (1,62)(10) = 3,8 (Pela Equação 2.7-4) 
O resultado, portanto, é: 
v = l,62R + 3,8 
Checando: No ponto <2>, 
aR2 + b = (1,62)(10} + 3,8 = 101 = V2 
2. ParaR = 36, V= (1,62)(36) + 3,8 = j62,1 L/minl. 
2.7c Ajustando Dados Não-lineares 
Durante uma semana recente em uma grande universidade, 423 experimentadores mediram separadamen-
te e traçaram gráficos dos seus dados e encontraram que os dados não estavam sobre uma linha reta; 4H 
desses pesquisadores encolheram os ombros, disseram "Perto o bastante" e traçaram uma linha reta mesmc 
assim; e os outros sete procuraram uma relação diferente de y = ax + b para relacionar as variáveis. 
Ajustar uma equação não-linear (qualquer outra que não seja y = ax + b) aos dados é normalmente 
bastante mais difícil do que ajustar uma reta; no entanto, com algumas equações não-lineares você ainda 
pode fazer ajustes de linha reta se você representa graficamente os seus dados de maneira conveniente. 
Suponhamos, por exemplo, que x e y estão relacionados pela equação y2 = ax3 + b. Um gráfico das medi-
ções de y versus x claramente terá a forma de uma curva; no entanto, um gráfico de y2 versus x3 será uma 
linha reta com uma inclinação a e intercepto b. De forma mais geral, se quaisquer duas quantidades estão 
relacionadas por uma equação do tipo 
(Quantidade 1) = a (Quantidade 2) + b 
çJo 
Introdução a Cálculos de Engenharia 23 
então um gráfico da quantidade 1 (y2 no exemplo anterior) versus a quantidade 2 (x3 no exemplo anterior) 
em coordenadas retangulares será uma linha reta com inclinação a e intercepto b. 
Aqui estão outros exemplos de gráficos que fornecem uma linha reta: 
I. y = ax2 + b. Plote y versus x2• 
2. y2 = Í + b. Plote y2 versus 1/x. 
3. :f; = a(x + 3) + b. Plote 1/y versus (x + 3). 
4. seny = a(x2 - 4). Plote seny versus (x2 - 4). A reta que passa pelos dados deve passar pela origem. (Por 
quê?) 
Ainda que a equação original não esteja em uma forma apropriada para gerar uma linha reta, você às 
vezes pode rearranjá-la para obter esta forma: 
1 1 
5. Y = C C ===? - = C1x - Cz. 
1X - 2 Y 
Plote 1/y versus x. Inclinação = C1, intercepto = - C2• 
(y - 1)2 
6. y = 1 + x(mx2 + n)112 ===? 
2 
= mx2 + n. 
X 
Pl (y - 1)2 2 ln 1· - . ote versus x . c maçao = m, mtercepto = n. 
x2 
Vamos resumir o procedimento. Se você tem dados (x, y) que deseja ajustar com uma equação que pos-
sa ser escrita na formaf(x, y) = ag(x, y) + b, 
1. Calcule as funçõesf(x, y) e g(x, y) para cada ponto tabelado (x, y) e plotefversus g. 
2. Se os pontos traçados caem sobre uma linha reta, então a equação ajusta os dados. Escolha dois pontos 
sobre a linha - (g1,f1) e (g2,f2) - e calcule a e b como mostrado na seção anterior. 
a = 
h - fi. 
b = !1 - ag1 ou 
Ajuste de Curva Linear a Dados Não-lineares 
Uma vazão mássica m (g/s) é medida como função da temperatura T(ºC). 
T 10 20 40 80 
in 14,76 20,14 27,73 38,47 
Existem razões para acreditar que m varia linearmente com a raiz quadrada de T: 
m = ar1!2 + b 
Use um gráfico de linha reta para verificar esta fórmula e determinar a e b. 
Se a fórmula está correta, então um gráfico de m versus T112 deve ser linear, com inclinação = a e intercepto = b. A 
tabela de dados é aumentada adicionando-se uma linha para T'12: 
T 10 20 40 80 
y1/2 3,162 4,472 6,325 8,944 
in 14,76 20,14 27,73 38,47 
m é plotada em função de T112• 
T112 
24 Capítulo Dois 
TESTE 
Já que o gráfico é linear, a fórmula proposta é verificada. A linha reta passa pelo primeiro e pelo último ponto, de for 
que estes pontos podem ser usados para calcular a inclinação e o intercepto: 
ln = ar1!2 + b 
li (T~12 = 3,162, m1 = 14,76) n (T}'2 = 8,944, rnz = 38,47) 
Inclinação: a - m2 - m1 38,47 - 14,76 = 410 g/(s·ºC1/2) 
- y 1/ 2 - y 1/ 2 8 944 - 3 162 ' · 
2 1 ' ' 
Intercepto: b =m1 - aTf
2 = 14,76 - (4,10)(3,162) = 1,80 g/s 
(verifique as unidades) de forma que 
m = 4,10T1/ 2 + 1,80 
Checando: No ponto@, 4,10Til2 + 1,80 = (4,10)(8,944) + 1,80 = 38,47 = m2 . 
Duas funções não-lineares que acontecem com freqüência na análise de processos são a função exponell 
cial, y = aebx [ou y = a exp(bx)], onde e= 2,7182818, e a lei de potências, y = axb. Antes de descrev€ 
como podem ser determinados os parâmetros destas funções por ajuste linear, revisemos alguns conceito 
elementares de álgebra. 
O logaritmo natural (ln) é o inverso da função exponencial: 
P = eº ~ lnP = Q (2.7-~ 
Disto segue-se que 
ln[eºJ = Q e eln.P = p (2.7-
O logaritmo natural de um número pode ser calculado a partir do logaritmo comum (log10 ou apenas lo 
usando a relação 
ln x = 2,302585 log10 x (2.7-
As regras familiares para logaritmos de produtos e potências são aplicáveis a logaritmos naturais: 
y = ax, então ln y = ln a + ln x, e se y = xb, então ln y = b ln x. Estas propriedades sugerem formas 
ajustar as funções exponencial e lei de potências a dados (x, y): 
{
y = aexp(bx) =? lny = lna+bx } 
Plote lny versus x. Inclinação = b, intercepto = ln a. 
{ 
y = axb =? ln y = ln a + b ln x } 
Plote lny versus ln x. Inclinação = b, intercepto = ln a. 
Uma vez que você determinou ln a como sendo o intercepto para cada um desses gráficos, você pode cal-
cular a a partir da Equação 2.7-6 como exp(ln a); por exemplo, se ln a = 3, então a = exp(3) = 20,l. 
1. O seguinte gráfico representa dados experimentais (x, y). 
y 
x2 - 2 
Que equação você usaria para relacionar x e y? 
2. Como você traçaria dados (x, y) para obter uma linha reta, e como determinaria a e b para cada uma das 
seguintes funções? 
(a) y = a.Jx + b 
ma 
n-
er 
os 
5) 
6) 
g) 
7) 
,e 
le 
1) 
1-
IS 
--------- --
Introdução a Cálculos de Engenharia 25 
Solução: Trace y versus .jx; faça com que ( _Jxi,y1) e ( .Fz,y2) sejam dois pontos sobre a linha; 
calcule a = (y2 - Y1)/ ( .JXz - .jxi), b = Yl - a .jxi. 
(b) 1/y = a(x - 3)2 + b (e) y = aéx 
(c) y = (ax 2 - b)113 (f) y = axb 
(d) sen (y) = x(ax + b)-2 
Coordenadas Logarítmicas 
Suponha que você deseja ajustar uma função exponencial y = a exp(bx) a dados medidos (x, y). Se existem 
muitos pontos, calcular o logaritmo de cada valor de y (necessário para plotar ln y versus x) pode levar mais 
tempo e esforço que o procedimento de ajuste propriamente dito. No entanto, suponhamos que uma escala 
adicional seja traçada paralela ao eixo ln y, sobre a qual apareçam mostrados valores de y, adjacentes aos 
valores correspondentes de ln y da primeira escala. (Veja a Figura 2 .7-2.) Neste caso, em vez de ter que 
calcular o ln y para cada y tabelado para posicionar os pontos no gráfico, você pode encontrar os valores de 
y na segunda escala e posicionar os pontos diretamente. Se o mesmo tipo de escala ( chamada de escala 
logarítmica)