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Universidade Federal do Maranhão
Departamento de Matemática
Disciplina: DEMA 0305 - Cálculo 3 - 2019.2
Lista de exerćıcios com exerćıcios de provas anteriores
1a Avaliação
1. Considere a curva γ : R→ R3, dada por r(t) = (et, e−t,
√
2t). Reparametrize pelo comprimento
de arco, obtenha os vetores T (t), N(t), B(t) e a curvatura da curva.
2. Encontre o ponto na curva de r(t) = (2 cos t, 2 sen t, et), 0 ≤ t ≤ π, em que a reta tangente é
paralela ao plano
√
3x+ y = 1.
3. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P especificado.
z = x sen(x+ y), P = (−1, 1, 0)
4. Use a Regra da Cadeia para achar ∂z∂s e
∂z
∂t .
z = x2y3, com x = s cos t e y = s sen t
5. Determine a derivada direcional de f no ponto P dado e na direção indicada pelo ângulo θ.
f(x, y) = ye−x, P = (0, 4), θ = 2π3
2a Avaliação
1. Calcule as integrais (duplas ou triplas) a seguir
(a)
∫∫
R
x
1 + xy
dxdy, R = [0, 1]× [0, 1]
(b)
∫∫
D
y2dxdy, D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1,−y − 2 ≤ x ≤ y}
(c)
∫∫
D
x cos ydxdy, D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1
(d)
∫∫∫
E
ez/ydxdydz, onde E = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}.
2. Utilize a integral dupla para determinar o volume do sólido abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e
acima do disco x2 + y2 ≤ 4. (sugestão: use coordenadas polares)
3. Use integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + z2 = 4 e pelos
planos y = −1 e y + z = 4.
4. Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2dxdydz, onde E é a região que está dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e
entre os planos z = −5 e z = 4
3a Avaliação
Lista de exerćıcios de Cálculo 2 - DEMAT/UFMA Adecarlos Carvalho
1. Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C é dada pela função vetorial r(t).
(a) F(x, y) = (xy2,−x2), r(t) = (t3, t2), 0 ≤ t ≤ 1
2. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva
(a)
∫
C
yexdx+ 2exdy, onde C é o retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (3, 4) e (0, 4).
3. Encontre a área da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que está dentro do paraboloide z = x2 + y2
4. Calcule a integral de superf́ıcie
(a)
∫∫
S
(x + y + z)dS, onde S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v, y =
u− v, z = 1 + 2u+ v, 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 1
5. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫∫
S
rotF · dS
(a) F(x, y, z) = (x2 sen z, y2, xy), onde S é a parte do paraboloide z = 1 − x2 − y2 que está
acima do plano xy, orientada para cima.
3a Avaliação (Tipo 2)
1. Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z) = (senx, cos y, xz), r(t) = (t3,−t2, t), 0 ≤ t ≤ 1
2. Determine se F(x, y) = (yex, ex + ey) é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma
função f tal que F = ∇f .
3. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação
positiva ∫
C
yexdx+ 2exdy; C é o retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (3, 4) e (0, 4).
4. Calcule a integral de superf́ıcie
∫∫
S
(x + y + z)dS, onde S é o paralelogramo com equações
paramétricas x = u+ v, y = u− v, z = 1 + 2u+ v, 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 1
5. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F · dr. Em cada caso. C é orientado no sentido
anti-horário quando visto de cima.
F(x, y, z) = (x+ y2, y + z2, z + x2); C é triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
4a Avaliação (reposição da unidade 1)
1. Encontre equações paramétricas para o segmento de reta que liga o ponto P = (0,−1, 1) ao
ponto Q = (12 ,
1
3 ,
1
4)
2
Lista de exerćıcios de Cálculo 2 - DEMAT/UFMA Adecarlos Carvalho
2. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas,
no ponto especificado
x = t2 + 1, y = 4
√
t, z = et
2−t; (2, 4, 1)
3. Determine uma equação do plano plano tangente à superf́ıcie dada no ponto especificado.
z = ex−y; (2, 2, 1).
4. Use a Regra da Cadeia para achar ∂z∂s e
∂z
∂t , onde
z = (x− y)5, x = s2t, y = st2.
5. Determine a derivada direcional de f(x, y) = y cos(xy) no ponto P = (0, 1) e na direção indicada
pelo ângulo θ = π4 .
4a Avaliação (reposição da unidade 2)
1. Calcule as integral dupla
∫∫
D
(2x− y)dxdy, onde D é o ćırculo de centro na origem e raio 2.
2. Use integral dupla para calcula o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo
plano 3x+ 2y + z = 6 e x+ y = 2.
3. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido abaixo plano 2x + y + z = 4 e
acima do disco x2 + y2 ≤ 1.
4. Calcule a integral tripla
∫∫∫
E
zdxdydz, onde E é sólido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e
pelos planos x = 0, y = 3x e z = 0 no primeiro octante.
5. Utilize coordenadas ciĺındricas para calcular a integral tripla
∫∫∫
E
(x+ y+ z)dxdydz, onde E
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 4− x2 − y2.
2a Avaliação
1. Calcule, caso exista.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen 1
x2+y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x+y
x−y
2. Considere a função dada por z = x sen xy . Verifique que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
3. Determine a derivada direcional de f no ponto P dado e na direção indicada pelo ângulo θ.
f(x, y) = x3y4 − x4y3, P = (1, 1), θ = π6
4. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P dado e a direção em que isso ocorre.
3
Lista de exerćıcios de Cálculo 2 - DEMAT/UFMA Adecarlos Carvalho
f(x, y) = 4y
√
x, P = (4, 1)
5. Encontre uma equação do plano plano tangente e da reta normal à superf́ıcie dada no ponto
especificado.
xyz2 = 6, P = (3, 2, 1)
3a Avaliação
1. Calcule a integral dupla ou tripla.
(a)
∫∫
R
1
1 + x+ y
dxdy, R = [1, 3]× [1, 2]
(b)
∫∫
D
x dxdy, D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ senx}
(c)
∫∫
D
y2dxdy, D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1,−y − 2 ≤ x ≤ y}
(d)
∫∫
R
(2x− y)dxdy, onde R é a região do primeiro quadrante entre os ćırculos com centro na
origem e raios 1 e 3.
(e)
∫∫∫
E
ez/ydxdydz, onde E = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}.
2. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x + 6y − 2z + 15 = 0 e acima
do retângulo R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1}.
3. Use integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + z2 = 4 e pelos
planos y = −1 e y + z = 4.
4. Calcule
∫∫∫
E
z dxdydz, onde E é a região limitada pelo paraboloide z = x2+y2 e o plano z = 4.
4a Avaliação
1. Determine as derivadas parciais
a) z = x
3+y2
x2+y2
b) z = xyexy
2. Use a Regra da Cadeia para achar ∂z∂s e
∂z
∂t .
a) z = x2y3, x = s cos t e y = s sen t
3. Determine a derivada direcional de f no ponto P e a direção dada.
a) f(x, y) = ye−x, P = (0, 4), na direção indicada pelo ângulo θ = 2π3 .
b) f(x, y) = ex sen y, P = (0, π3 ), na direção indicada pelo do vetor v = (−6, 8)
4
Lista de exerćıcios de Cálculo 2 - DEMAT/UFMA Adecarlos Carvalho
4. Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superf́ıcie dada no ponto especifi-
cado.
a) z = x sen(x+ y), P = (−1, 1, 0)
4a Avaliação
1. Calcule a integral dupla
a)
∫∫
R
ye−xydxdy, R = [0, 2]× [0, 3].
b)
∫∫
D
x cos ydxdy, D é limitada por y = 0, y = x2, x = 1
2. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3y2−x2+2
e acima do retângulo R = [−1, 1]× [−2, 2].
3. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
a)
∫∫
D
x2ydxdy, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
4. Calcule a integral tripla.
a)
∫∫∫
E
(xz − y3)dxdydz, onde E = {(x, y, z)| − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1}.
b)
∫∫∫
E
2x dxdydz, onde E = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}.
5