Lista de Cálculo I - Integrais Indefinidas e Definidas

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Lista de Cálculo I - Integrais indefinidas - 25/10/2013
1. Prove que
d
dx
ln |x| = 1
x
, x 6= 0.
Observe que isto permite concluir que∫
1
x
dx = ln |x|+ c, x 6= 0.
2. Calcule as integrais indefinidas a seguir:
(a)
∫
25x6dx
(b)
∫
(6x2 + 8x + 3)dx
(c)
∫
dx
x2 + 7
(d)
∫
dx√
8− x2
(e)
∫
dx
1− x
(f)
∫
a
a− x
dx, a : constante
(g)
∫
x(2x + 5)10dx
(h)
∫
xe−x
2
dx
(i)
∫
x2ex
3
dx
3. Calcule as integrais a seguir, utilizando as substituições indicadas.
(a)
∫
dx
ex + 1
, x = − lnu
(b)
∫
x(5x2 − 3)7dx, u = 5x2 − 3
(c)
∫
x√
x + 1
dx, u =
√
x + 1
(d)
∫
x√
1 + x4
dx, u = x2
4. Calcule as integrais a seguir, utilizando a fórmula de integração por partes,
(a)
∫
exsenxdx
(b)
∫
ex cosxdx
(c)
∫
xsenx cosxdx
(d)
∫
arctanxdx
(e)
∫
arcsenxdx
(f)
∫
ln2 xdx
(g)
∫
lnx√
x
dx
5. Para calcular
∫
senx cosxdx, um aluno propõe usar a substituição u = senx.
Fazendo isto, obtemos du = cosxdx e portanto,∫
senx cosxdx =
∫
udu =
u2
2
+ C =
sen 2x
2
+ C.
Um outro aluno faz a substituição u = cosx, obtendo du = −senxdx e portanto,∫
senx cosxdx = −
∫
udu = −u
2
2
+ C = −cos
2 x
2
+ C.
1
Um terceiro aluno lembra da identidade trigonométrica 2senx cosx = sen 2x e ele
escreve então ∫
senx cosxdx =
1
2
∫
2senx cosxdx =
1
2
∫
sen 2xdx.
Ele descobre que como uma primitiva de senx é − cosx, então uma primitiva de
sen 2x deve ser −cos 2x
2
.
Portanto, ∫
senx cosxdx =
1
2
∫
sen 2xdx = −1
4
cos 2x + C.
Qual dos alunos têm a razão?
2
Lista de Cálculo I - A integral definida. Aplicações - 08/11/2013
1. Calcule as integrais a seguir
(a)
∫ 1
0
(x2 + 1)10xdx.
(b)
∫ π/2
0
senx8 cosxdx.
(c)
∫ 2
0
x2n+1dx.
(d)
∫ 1
0
x√
1− x2
dx.
(e)
∫ π/4
0
tanx sec2 xdx.
2. Calcule as derivadas das funções F a seguir.
(a)
∫ x
0
cos2 tdt.
(b)
∫ 1
x
cos 3tdt.
(c)
1
x
∫ x
0
v(t)dt.
3. Para a integral definida valem as propriedades a seguir:
• Se f é uma função par, então
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
• Se f é uma função ı́mpar, então
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
Verifique as propriedades acima nas integrais a seguir.
(a)
∫ 2
−2
cos tdt.
(b)
∫ 3
−3
sen tdt.
(c)
∫ 1
−1
x2ndx.
(d)
∫ 1
−1
x2n+1dx.
4. Uma propriedade da integral definida diz que se h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), então∫ b
a
h(x)dx ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx.
Em casa caso abaixo, você poderá obter a desigualdade pedida aplicando
∫ x
0
na desigualdade
dada.
(a) Utilizando que cos t ≤ 1, obtenha que senx ≤ x.
(b) Utilizando que 1 ≤ sec t, obtenha que arctanx ≤ x.
5. Determine onde as curvas a seguir se interceptam, esboce os gráficos e calcule a áreas entre
as curvas.
(a) y = x2 − 3 e y = 1.
(b) y2 = x e x = 9.
(c) y = x2 e y = −x2 + 18x.
(d) y =
1
x
e y =
1
x2
e x = 3.
(e) y = cosx e y = cos2 x.
(f) y = ex e y = e2x−1 e x = 0.
6. Calcule a área limitada pelas retas y = 4− x, y = 3x e y = x.
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