APLICAÇÃO DE PROGREASOES NA RESOLUCAO DE PROBLEMAS ECONOMICOS

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UNIVERSIDADE SÃO TOMAS DE MOÇAMBIQUE
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS & EMPRESARIAIS
CURSOS DE: GESTÃO FINANCEIRA BANCÁRIA, GESTÃO EMPRESARIAL, CONTABILIDADE / AUDITORIA E AGRICULTURA
DISCIPLINA: MATEMÁTICA I 
ANO: 1º/1º Semestre TIPO: Semestral
ANO ACADÉMICO: 2012 CARGA HORÁRIA SEMANAL: 3 horas
FICHA 3. APLICAÇÃO DE SUCESSÕES
TEMA: REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Tendo em conta os conhecimentos adquiridos nos anos anteriores sobre progressões aritméticas e geométrica, pretende-se agora resolver alguns problemas na área de negócio e na área financeira, aplicando tais conhecimentos.
Neste contexto, trataremos de algumas formas, através das quais, se processa a produção de juros.Dentro dessas formas, temos o regime de capitalização simples, o regime de capitalização composto e o regime de capitalização continua.
1. Regime de capitalização simples
Neste regime, o juro produzido em cada periodo é retirado do processo de capitalização e entregue ao detentor do capital, não havendo lugar à vulgarmente chamada formação de “juros de juros”. Isto significa que o capital que serve de base para o cálculo dos juros é constante ao longo do tempo, assim como, os juros produzidos a cada momento.
Assim tem-se:
J1 = C0 x i
que é o juro calculado no primeiro periodo de capitalização;
J2 = C0 x i
que é o juro calculado no segundo periodo de capitalização;
J3 = C0 x i
 que é o juro calculado no terceiro periodo de capitalização;
.
.
 Jn = C0 x i
que é o juro calculado no n-ésimo periodo de capitalização;
 Onde J é o juro, C0 é o capital inicial e i é a taxa anual de juro.
Se pretendermos calcular o montante total de juros vencidos após n periodos de capitalização, teremos que somar os juros obtidos em cada periodo.
Assim, o capital acumulado ( Cn ) no fim de n periodos de de capitalização, en regime de juros simples, sera igual ao capital inicial acrescido do montante do juros produzidos , logo
Cn = C0 + n C0 i
ou 
Cn = C0 ( 1 + n i )
EXEMPLO 1: Qual é o juro produzido por um capital de 5000 Euros, aplicado durante 3 anos, à taxa anual de 5%, em regime de capitalização simples? E qual é o capital acumulado?
RESOLUÇÃO: São dados o capital inicial C0 = 5000 Euros, o periodo de capitalização n = 3 anos e a taxa annual de juro i = 5%.
Assim, o juro produzido durante os 3 anos sera calculado pela expressão:
Juro total = n C0 I = 3 x 5000 x 0,05 = 750 Euros
E o capital acumulado no fim de 3 anos sera calculado por:
 Cn = C0 (1 + n i ) = 5000 ( 1 + 3 x 0,05 ) = 5000 ( 1 + 0,15 ) = 5000 x 1,15 = 5.750 Euros.
Pode suceder o caso em que o periodo de capitalização n não se encontra expresso em ano, mas sim em dias, meses, semestres ou ainda em qualquer outro periodo de tempo. Sendo as taxas de juro, em regra, taxas anuais, torna-se necessário fazer corresponder esses periodos a uma fracção do ano.
Se o periodo de tempo for expresso em meses, teremos o juro produzido por um capital C0 em cada periodo de capitalização dado por:
J = 
12
0
i
C
O juro total produzido por esse capital sera dado pela soma dos juros produzidos em cada periodo, ou Jtotal = n 
12
0
i
C
.
Assim, o capital acumulado calcula-se pela expressão: Cn = C0 ( 1 + 
12
i
n
)
EXEMPLO 2: Qual é o valor acumulado por um capital de 3000Euros, se estiver aplicado em regime de juros simples, durante 7 meses, à uma taxa anual de 8%?
RESOLUÇÃO: De acordo com a fórmula anterior, teremos:
Cn = C0 ( 1 + 
12
i
n
) = 3000 ( 1 + 7 x
12
08
,
0
 ) = 3000 x 1,0466667 = 3.140 Euros.
Se o periodo de tempo for expresso em dias, teremos o juro produzido por um capital C0 em cada periodo de capitalização dado pele expressão:
J = 
365
0
i
C
O juro total produzido por esse capital sera dado pela soma dos juros produzidos em cada periodo, ou Jtotal = n 
365
0
i
C
.
Assim, o capital acumulado calcula-se pela expressão: Cn = C0 ( 1 + 
365
i
n
).
EXEMPLO 3: Qual é o valor que, colocado à uma taxa anual de 6,4% durante 63 dias, produzirá um juro de 94,08 Euros em regime de capitalização simples?
RESOLUÇÃO: Uma vez conhecido o montante total de juro produzido, teremos: 
Jtotal = n 
365
0
i
C
 ; 94,08 = 
365
064
,
0
63
0
×
×
C
 ; 94,08 = 0,011 C0 ; C0 = 8.553 Euros.
2. Regime de capitalização composto
Neste regime, o juro produzido em cada periodo permanence no processo de capitalização, indo acrescer ao montante do capital acumulado no periodo anterior, para servir também de base ao cálculo do juro do periodo seguinte.
Assim, se C0 é o capital investido à uma taxa anual de i%, durante n periodos de capitalização, teremos:
J1 = C0 x i o juro produzido no primeiro periodo de capitalização e,
C1 = C0 + J1 = C0 + C0 x i = C0 ( 1 + i ) o capital acumulado durante esse periodo.
J2 = C1 x i = C0 ( 1 + i ) x i o juro produzido no segundo periodo de capitalização e,
C2 = C1 + J2 = C0 ( 1 + i ) + C0 ( 1 + i ) x i = C0 ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C0 ( 1 + i )2 o capital acumulado no segundo periodo de capitalização.
J3 = C2 x i = C0 ( 1 + i )2 x i o juro produzido no terceiro periodo de capitalização e,
C3 = C2 + J3 = C0 ( 1 + i )2 + C0 ( 1 + i )2 x i = C0 ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C0 ( 1 + i )3 o capital acumulado no terceiro periodo de capitalização, e assim por diante.
Em geral, no n-ésimo periodo de capitalização o capital acumulado, em regime de capitalização composto Cn, resultante da aplicação de um dado capital inicial C0, à uma taxa de juro anual I, durante n periodos de capitalização n, será dado pela expressão:
Cn = C0 ( 1 + i )n
Assim, o juro total produzido no processo de capitalização, obtém-se da seguinte maneira: 
 Jtotal = Cn - C0 = C0 ( 1 + i )n - C0 = C0 [( 1 + i )n - 1 ]
EXEMPLO 1: Qual é o capital acumulado resultante da aplicação de 5000 Euros, durante 3 anos, à taxa anual de 5%, em regime de capitalização composto? 
RESOLUÇÃO: São dados o capital inicial C0 = 5000 Euros, o periodo de capitalização n = 3 anos e a taxa annual de juro i = 5%.
Assim, o montante acumulado durante os 3 anos sera calculado pela expressão:
Cn = C0 ( 1 + i )n ; C3 = 5000 ( 1 + 0,05 )3 = 5000 x 1,157625 = 5.788,13 Euros 
Neste caso, o total de juro produzido será dado por: Jtotal = Cn - C0 = 5.788,13 – 5.000 = 788,13 Euros.
No caso em que as taxas anuais são diferentes, a expressão do valor acumulado sera: Cn = C0 
(
)
Õ
=
+
n
k
k
i
1
1
 com ik a representar a taxa periódica referente a cada periodo k. 
Assim, o total de juro sera: Jtotal = Co
(
)
Õ
=
+
n
k
k
i
1
1
 – Co = Co [
(
)
Õ
=
+
n
k
k
i
1
1
 -1 ].
EXEMPLO 2: Um capital de 10.000 € esteve aplicado durante 3 anos em regime de juro composto. Sabendo que a taxa de juro aplicada no 1º ano foi de 4,2%, sendo alterada, no 2º e no 3º anos, respectivamente, para 3% e para 2,25%, qual terá sido o valor acumulado no final?
RESOLUÇÃO: De acordo com a expressão: Cn = C0 
(
)
Õ
=
+
n
k
k
i
1
1
 , onde C0 = 10.000 €, i1 = 4,2% , i2 = 3% e i3 = 2,25%.
Assim, Cn = 10.000 
(
)
(
)
(
)
[
]
%
25
,
2
1
%
3
1
%
2
,
4
1
+
+
+
 = 10.000 x 1,09740835
 Cn = 10.974,08 €.
O montante total de juro é Jtotal = Cn - C0 = 10.974,08 - 10.000 = 974,08 €.
OBSERVAÇÃO: Consideremos a expressão Cn = C0 ( 1 + i )n que nos permite calcular o capital acumulado num processo de capitalização composta, à taxa de juro i, durante n periodos.
Suponhamos que a capitalização ocorra k vezes ao longo de cada um desses n periodos, em vez de ter lugar no final de cada periodo. Assim sendo, os juros vão produzir-se à uma taxa i/k. Logo, o capital acumulado nestas circunstâncias será dado pela expressão: 
Cn = C0 
k
n
k
i
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
1
EXEMPLO 3: Qual é o valor acumulado por um capital de 3000Euros, se estiver aplicado em regime de capitalização à juros compostos trimestralmente, durante 3 anos, à uma taxa anual de 8%?
RESOLUÇÃO: Comoa capitalização é feita trimestralmente, significa que em cada ano esta feita 4 vezes, por isso, k = 4 que corresponde ao número de trimestres existentes num ano. Assim, nos 3 anos em que decorrerá o processo de capitalização, este ocorrerá 12 vezes, pois em 3 anos teremos 12 trimestres.
Neste caso, o capital acumulado durante 3 anos, resultante da aplicação de C0 = 3000€, à taxa anual de 8% em regime de juros compostos, capitalizados trimestralmente calcula-se aplicando a expressão: Cn = C0 
k
n
k
i
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
1
Cn = 3.000 
4
3
4
08
,
0
1
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
 = 3.000 x (1,02)12 = 3.000 x 1,2682 = 3.804,6 €.
3. Regime de capitalização continua
Neste regime observamos as mesmas características que no regime de capitalização composto, uma vez que há lugar à formação de “juros de juros”; porém, o periodo de capitalização é tão pequeno que o número de capitalizações k tende para infinito.
Baseando-se na expressão Cn = C0 
k
n
k
i
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
1
 e considerando k
¥
+
®
, teremos: 
k
n
k
i
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
1
 = ein
Assim, Cn = C0 . ein que é a expressão que nos permite determinar o capital acumulado à taxa i, durante n periodos de tempo, num processo de capitalização contínua.
EXEMPLO 1: Qual é o capital que resulta da aplicação de 10.000 € por 1 ano e, à uma taxa anual de 8%, em regime de capitalização contínua? Compare com o valor que seria obtido se o nesmo capital tivesse estado aplicado, nas mesmas condições, em regime de capitalização composta.
RESOLUÇÃO: Em regime de capitalização contínua, temos: Cn = C0 . ein 
 Como n = 1, segue: Cn = 10.000 x e0,08 = 10.000 x 1,0832871 = 10.832,876 €.
Em regime de capitalização composta, teríamos: 
Cn = C0 ( 1 + i )n = 10.000 ( 1 + 0,08) = 10.800 €.
Comparando os resultados obtidos verifica-se que o montante que se obtém em regime de capitalização contínua, é maior do que aquele que resultaria da aplicação do mesmo capital, à mesma taxa e pelo mesmo capital, à mesma taxa e pelo mesmo periodo de tempo, mas em regime de capitalização composta.
Daí que um dado capital, em regime de capitalização contínua, possa produzir o mesmo montante acumulado a uma taxa menor do que aquela a que teria de ser aplicada em regime de juro composto.
EXERCÍCIOS
1. Foi depositada num banco no início do ano 2005 uma quantia 2.000 Mt. O Banco paga 4% de juro anual e pretende-se:
a) O valor acumulado na conta, a juros simples, no início de 2009.
b) O valor acumulado na conta, a juros compostos, no início de 2009.
c) O valor acumulado na conta, a juros compostos semestralmente, no início de 2009.
2. Num banco foram depositados 10.000 Mt. Sabendo que a taxa anual é de 10%, determine: 
a) O capital acumulado durante 200 dias em regime de juros simples.
b) O capital acumulado durante 10 meses em regime de juros simples.
c) O capital acumulado durante 3 anos em regime de capitalização composto.
d) O capital acumulado durante 3 anos em regime de capitalização composto trimestralmente.
e) O capital acumulado durante 3 anos em regime de capitalização contínua.
3. Num banco foram depositados 100.000 Mt, em regime de juros simples. No fim de 5 anos foram acumulados na conta 106.000 Mt. Determine a taxa anual de juro aplicada.
4. Um banco paga 3% de juro anualmente, em regime de juros compostos. Ao fim de 4 anos foi acumulado na conta o valor de 225.102 Mt. Determine o valor actual ( valor inicial).
5. Uma quantia de 25.000 Mt esteve aplicada durante 6 anos, em regime de juro composto, tendo a taxa de juro sido de 3% nos dois primeiros anos, de 3,5% nos dois anos subsequentes e de 4,5% nos dois últimos anos. Determine o valor acumulado.
6. No início do ano 2009 um certo produto custava 8.000 Mt. Qual será o preço do mesmo produto no início de 2015, sabendo que até ao início de 2012 o preço diminuiu a uma taxa de 10%, por ano e, nos restantes anos o preço subiu 10% por ano.
7. O senhor X fez um empréstimo de 600.000 Mt a um banco e concordou devolver 10.000 Mt/ mês, mais uma taxa de 10% sobre a dívida.
a) Determine quantas prestações deve pagar ao banco.
b) Determine o montante total que terá devolvido ao banco até a 5ª prestação.
c) Determine o total de juro pago até a 5ª prestação.
8. Se um individuo possui $2.400 , quantos anos são necessários para acumular $3.000, sabendo que a taxa de juro é de 5%?
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Ficha compilada por: M.E.F.S
Consulta: Quelhas, A.M. ; Correia,F: “Manual de Matemática Financeira”; Livraria Almedina- Coimbra.
www.almedina.net
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_1295684877.unknown
_1295684265.unknown
_1295684388.unknown
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