MF_EXERCÍCIOS_2019_20

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Matemática Financeira 
ISCAC – 2019/2020 
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INSTITUTO POLITÉCNICO DE COIMBRA 
 
Instituto Superior de Contabilidade e Administração 
Coimbra 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
Ano Letivo 
 
2019/2020 
 
 
 
 
Caderno de Exercícios Práticos 
 
 
 
Licenciaturas em: 
 
 
 Secretariado de Direção e Administração 
 Marketing e Negócios Internacionais 
 Comércio Relações Económicas Internacionais 
 
 
 
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OPERAÇÕES DE CAPITALIZAÇÃO E DE ATUALIZAÇÃO 
 
1 – a) Considerando uma taxa de 3%, calcule o juro produzido por uma aplicação de 
10.000 € por um ano. 
b) Sabendo que recebeu 150 € de juros ao fim de um ano, determine a taxa de juro a 
que foi aplicado um capital de 30.000 €. 
 
2 – Foi efectuado um empréstimo de 20.000 € em regime simples ou simples puro. 
Sabendo que a taxa acordada foi de 5% ao ano, determine: 
a) O juro periódico a pagar no segundo ano. 
b) A quantia a pagar se quiser liquidar a totalidade da dívida no fim do 5º ano. 
 
3 – Um indivíduo emprestou a um familiar a quantia de 10.000 €, durante 4 anos, nas 
seguintes condições: taxa de juro mensal de 0,5%, com pagamento mensal do juro. 
a) Qual o regime de capitalização adoptado? 
b) Quanto recebe no fim de cada mês? 
c) Quanto recebe no final dos 4 anos? 
d) Quanto recebe de juros ao longo dos 4 anos? 
 
4 – Calcule, em regime de juro simples, o valor acumulado, ao fim de cinco anos, 
resultante da aplicação de um capital de 3.000 €, à taxa anual de 5%, e diga qual o 
valor dos juros totais a receber. 
 
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5 – Determine o capital que, em regime de juro composto, resultou da aplicação de 
5.000 €, durante 6 anos, à taxa anual de 2,5%. 
 
6 – Diga qual o capital investido num processo de capitalização composta, sabendo que 
o capital resultante ao fim de 6 anos foi de 10.000 €, com uma taxa de capitalização 
semestral de 1,5%. 
 
7 – Um investidor aplicou um capital de 10.000 €, em regime de juro composto e por um 
prazo de 8 anos, tendo-lhe sido prometido um valor acumulado de 13.727,86 €. Qual a 
taxa de capitalização anual subjacente à operação? 
 
8 – Um capital de 2.500 € transforma-se em 2.933,53 € quando aplicado em regime 
composto à taxa anual de 3,25%. Qual a duração do processo de capitalização? 
 
9 – Qual o capital resultante de uma aplicação de 10.000 €, pelo prazo de 3 anos, à 
taxa anual de 4%, em regime de capitalização contínua? Compare-o com o valor que 
seria obtido se o mesmo capital tivesse sido aplicado, nas mesmas condições, mas em 
regime de capitalização composta. 
 
10 – Qual a taxa que em regime de capitalização contínua corresponde à taxa anual de 
6% em regime de capitalização composta? 
 
11 – Um capital esteve aplicado, durante um certo tempo, à taxa anual de 4,5%, tendo 
proporcionado um valor acumulado de 21.331,51 €. Se tivesse estado aplicado, no 
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mesmo regime de juro, pelo mesmo tempo, mas à taxa anual de 6,25%, ter-se-ia obtido 
um montante acumulado de 24.362,55 €. 
Determine o montante do capital e o prazo da aplicação (em anos). 
 
12 – Um capital esteve aplicado durante 6 semestres, em regime de juro simples, à taxa 
anual de 3%. Caso tivesse sido aplicado em regime de juro composto, o juro periódico 
referente ao 3.º período excederia em 4,53 € o juro obtido em regime simples. 
Determine o montante de capital aplicado. 
 
13 – A diferença entre um capital investido durante 30 meses, à taxa mensal de 0,3%, é 
de 7,37 € consoante o mesmo esteja aplicado em capitalização composta ou em 
capitalização contínua. Pretende-se que: 
 a) Determine o montante de capital. 
 b) Calcule o montante de juros produzidos entre 19.º e o 27.º mês (ambos 
inclusive) em cada um dos regimes de juro considerados. 
 
14 – Certo capital foi aplicado em regime de juro composto, durante n anos, à taxa 
anual i. Sabendo que: i) o juro produzido no 4.º período foi de 1.331,10 €; ii) o juro 
produzido no 5.º período foi de 1.464,10 €; iii) os juros totais, produzidos ao longo do n 
períodos de capitalização, foram de 21.384,28 €; 
 Pretende-se que determine: 
a) A taxa anual i; 
b) O capital aplicado; 
c) O número de anos que o capital esteve aplicado. 
 
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15 – Uma herança no montante de 120.000 € será repartida por dois irmãos, 
respetivamente com 12 e 15 anos. Ambos aplicarão o montante recebido a uma taxa de 
juro de 5% ao ano. Qual o montante a entregar a cada um dos irmãos, sabendo que: 
 o mais novo aplica o respetivo montante em regime de juro simples e o mais velho 
aplica o seu em regime de juro composto; 
 ambos receberão a mesma quantia na data em que atingirem a maioridade? 
 
16 – Em regime de juro simples, investiu-se a quantia de 9.000 €, à taxa de 5% ao ano, 
durante um determinado número de meses. Na data de vencimento, o capital 
acumulado foi reinvestido à taxa de 4%, pelo prazo de 9 meses, tendo sido obtida a 
importância de 9.501,75 €. 
a) Qual o tempo de aplicação e qual o valor acumulado do primeiro 
investimento? 
b) Se o valor acumulado do primeiro investimento tivesse sido reaplicado em 
regime de juro composto, pelo mesmo prazo, qual deveria ser a taxa de juro 
para obter o mesmo valor acumulado? 
 
17 – Um capital esteve aplicado em regime de juro composto durante 8 anos à taxa 
anual i. Sabendo que o quociente entre o total de juros produzidos nos 3 primeiros anos 
e o total de juros produzidos nos 3 últimos anos da aplicação é de 0,635228: 
a) Determine a taxa de juro i. 
b) De quanto seria esse quociente se estivéssemos em regime de juro simples? 
 
18 – Um capital esteve aplicado durante 3 anos, em regime de juro simples, à taxa 
anual de 3%. Caso tivesse sido aplicado em regime de juro composto, os juros totais 
excederiam em 681,75 € o juro obtido em regime simples. 
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a) Determine o montante de capital aplicado. 
b) O juro total obtido em regime de juro simples. 
c) O juro periódico referente ao 2.º ano em regime de juro composto [EXAME DE MF de 
11.02.2019]. 
 
19 – Num processo de capitalização em regime de juro composto, o capital acumulado 
ao fim de 3 anos é de 17.117,49 €; ao fim de 7 anos, esse capital é de 20.412,93 €. Em 
função destes valores, determine: 
a) A taxa de juro; 
b) O capital inicial; 
c) O juro periódico relativo ao 6.º ano. 
 
20 – Um capital de 10.000 € esteve aplicado durante 3 anos em regime de juro 
composto. Sabendo que a taxa de juro praticada no 1º ano foi de 4,2%, sendo alterada, 
no 2.º ano e no 3.º ano, respectivamente, para 3% e para 2,25%, qual terá sido o valor 
acumulado no final? 
 
21 – Um indivíduo fez uma aplicação, em regime de juro composto, com capitalizações 
anuais, à taxa anual de 4,2%. No entanto, resolveu levantar todos os anos 50% dos 
juros produzidos. Sabendo que no fim dos 4 anos do prazo da aplicação levantou 
16.635,51 €, determine o capital aplicado. 
 
22 – Uma pessoa emprestou a outra, em regime de juro composto, a quantia de 5.000 
€, à taxa de 10%. Passado algum tempo, essa taxa alterou-se para 8%. Sabendo que 
no final do 2.º ano o montante de juros vencidos ascende a 967,31 €, diga em que 
momento do tempo ocorreu a alteração da taxa. 
 
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23 – Um capital de 10.000 € esteve inicialmente aplicado à taxa de 3%, a qual desceu, 
passados dois anos e meio, para 2,25%. Sabendo que, no final, se obteve um capital 
acumulado de 12.033,99 €, pretende-se que determine: 
a) O período de tempo pelo qual o capital esteve aplicado; 
b) A taxa média de aplicação. 
 
24 – De modo a diversificar o seu investimento, um investidor pretende repartir a 
quantia de 100.000 € por três aplicações, as quais capitalizam em regime de juro 
simples. A primeira aplicação temum retorno de 4,5%, a segunda de 6% e a terceira de 
10%. Por isso mesmo, o investidor colocará na terceira aplicação o dobro dos recursos 
que colocará na primeira. Sabendo que no final do ano poderá receber um rendimento 
de 7.300 €, como repartiu o investidor os seus 100.000 €? 
 
25 – Um capital de 12 000 euros foi aplicado durante 10 anos à taxa anual de 6%. Nos 
primeiros 5 anos os juros foram acumulados ao capital. Nos três anos seguintes os juros 
foram entregues ao depositante. Nos últimos dois anos, metade dos juros foi 
capitalizada e a outra metade entregue no vencimento ao depositante. 
Calcule o montante a capitalizar no fim do quinto, sétimo e nono ano, bem como a 
quantia a levantar no fim do décimo ano. 
 
26 – Considere um valor nominal de 1.000 € e uma taxa de juro de 5% ao ano. Calcule 
o respetivo valor actual quando faltarem 3 anos para o seu vencimento, caso seja 
praticada cada uma das seguintes modalidades de desconto: 
a) Desconto composto; 
b) Desconto por dentro; 
c) Desconto por fora. 
 
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27 – Pretende-se receber um capital cujo valor nominal é de 5.000 € quando faltarem 2 
anos para o seu vencimento. Admitindo uma taxa de juro anual de 3,5%, determine o 
valor a descontar ao beneficiário, utilizando: 
a) A taxa de juro dada; 
b) A taxa de desconto equivalente. 
 
28 – O valor nominal de um título é igual a 10 vezes o seu desconto por fora à taxa de 
4% ao ano. Calcule o tempo de antecipação do pagamento. 
 
29 – Um capital é descontado 15 meses antes do seu vencimento à taxa anual de 5%. 
Existe uma diferença de 33,35 € no montante obtido, consoante seja praticada a 
modalidade do desconto por fora ou a modalidade do desconto composto. Pretende-se 
que determine: 
a) O valor nominal do capital; 
b) O montante do desconto na eventualidade de ser aplicado o desconto por dentro. 
 
30 – Um capital vai ser descontado 2 anos e 8 meses antes do seu vencimento a uma 
taxa anual de 5%. A diferença entre o capital obtido é de 1.305,46 €, consoante seja 
aplicada a modalidade do desconto por dentro ou a modalidade do desconto composto. 
Calcule o valor nominal do capital. 
 
31 – Por insuficiência de tesouraria uma empresa solicitou a antecipação do 
recebimento de uma fatura. Sabendo que: (i) foi negociada uma taxa de 5% na 
antecipação desta fatura; (ii) que o quociente entre a despesas do desconto por fora e 
as de desconto por dentro é de 1,125; (iii) que a diferença entre as despesas do 
desconto por fora e as de desconto por dentro é de 208,33 €. Pretende-se que 
determine o prazo pelo qual a fatura foi descontada bem como o respetivo valor. 
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32 – A empresa imobiliária XYZ pretende vender um imóvel pelo valor de 900 mil euros, 
exigindo ao comprador um pagamento imediato de 1/3 do valor e que pague o 
remanescente passados 5 anos. Como a empresa atravessa dificuldades financeiras, 
está disposta a aceitar um desconto sobre o valor em dívida se o comprador pagar a 
pronto pagamento. Para uma taxa anual de 20% com capitalização trimestral, calcule o 
valor do desconto a oferecer para as situações de: 
a) Desconto por dentro; 
b) Desconto por fora; 
c) Desconto composto; 
d) Interprete os resultados. 
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TAXAS DE JURO 
 
33 – Tomando a taxa efectiva ao trimestre de 3%, calcule as taxas equivalentes para os 
seguintes períodos de capitalização: 
a) mensal; 
b) semestral; 
c) anual. 
 
34 – Sendo 9% a taxa anual nominal, determine a taxa efectiva anual que lhe 
corresponde, considerando cada um dos seguintes períodos de capitalização: 
a) mensal; 
b) bimestral; 
c) quadrimestral; 
d) 7 meses; 
e) 16 meses. 
 
35 – Para a taxa efetiva anual de 6%, calcule as seguintes taxas nominais que lhe 
correspondem: 
a) Anual nominal, com capitalização ao trimestre; 
b) Anual nominal, com capitalização ao quadrimestre; 
c) Anual nominal, com capitalização ao triénio. 
 
36 – Calcule a taxa anual nominal com capitalização trimestral que corresponde à a taxa 
anual nominal de 12% com capitalização diária. 
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37 – Partindo da taxa anual efectiva de 6%, calcule: 
a) A taxa anual nominal com capitalização mensal que lhe corresponde; 
b) A taxa anual equivalente em regime de capitalização contínua; 
c) A taxa semestral em regime de capitalização contínua que equivale à taxa anual 
obtida na alínea anterior. 
 
38 – Em seu entendimento, qual das taxas é mais vantajosa para o depositante: taxa 
anual nominal de 6% com capitalização ao trimestre ou taxa anual nominal de 
5,97024% com capitalização mensal? 
 
39 – Considerando a taxa anual nominal com capitalização semestral de 8%, determine: 
a) A taxa efectiva anual; 
b) A taxa efectiva ao biénio; 
c) A taxa anual nominal com capitalização mensal que lhe corresponde. 
 
40 – Certo investidor pretende aplicar a quantia de 100.000 €, tendo realizado uma 
consulta a três instituições financeiras da praça, relativamente às condições de 
remuneração por elas praticadas. Deste modo: a instituição A proporciona uma taxa 
anual nominal de 3% com capitalização diária; por sua vez, a instituição B proporciona 
uma taxa efectiva semestral de 1,75%; por último, a instituição C oferece a taxa de 
1,5% nominal ao trimestre com capitalização mensal. 
Em seu entender, qual das três hipóteses se afigura mais vantajosa para o investidor? 
Justifique a sua resposta. 
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41 – António aplicou a quantia de 20.000 € à taxa de anual nominal com capitalização 
ao trimestre de 4%. Por sua vez, Bernardo aplicou 30.000 € à taxa efectiva bimestral de 
0,3%. 
a) Em que momento do tempo se tornam equivalentes ambas as aplicações? 
b) Discuta, em termos genéricos, as condições em que o problema é possível. 
 
42 – Uma aplicação no montante de 35.000 € possibilitou, em regime de juro composto, 
com capitalização bienal, ao fim de 10 anos, um rendimento de 26.681,96 €. Qual a taxa 
anual nominal praticada na operação? Justifique devidamente a sua resposta. 
 
43 – Calcule o valor do capital acumulado ao fim de 20 anos, sabendo que: 
▪ Capital inicial igual a 10.000 €; 
▪ Taxas de juro: 
i) 6% anual nominal, que capitalizava 3 vezes ao ano, em vigor nos 
primeiros doze anos; 
ii) 3,5% anual nominal, que capitalizava de 2 em 2 anos, em vigor no 
período restante. 
 
44 – Sabendo que um capital de 15.000 €, aplicado à taxa anual nominal de 8%, 
permitiu obter, ao fim de 5 anos, o capital acumulado de 22.289,21 €, formalize a 
expressão que lhe permitiria determinar o período de capitalização adotado. 
 
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45 – Qual a expressão do juro composto total produzido por 1000 € durante 5 anos à 
taxa anual nominal de 12% quando a capitalização se faz k vezes no ano? 
 
46 – Considere a taxa anual efetiva de 9%. Calcule a taxa anual efetiva líquida (para 
uma taxa de retenção de IRS de 28%), na eventualidade de a capitalização ocorrer 
trimestralmente. 
 
47 – Um capital no montante de 1.000 € esteve aplicado em regime de juro simples, 
durante um certo período de tempo, à taxa anual de 5%, tendo produzido um juro 
líquido de 12,50 €. Considerando uma taxa liberatória de 28%, determine por quanto 
tempo esteve aplicado este capital. 
 
48 – Qual o montante líquido a creditar na conta do detentor de um depósito a prazo no 
montante de 10.000 €, ao fim de 5 anos, sabendo que nesse período foram praticadas 
as seguintes condições: i) capitalização em regime de juro composto à taxa anual bruta 
de 2%, tendo descido, a partir do 4.º ano, para 1,75%; ii) retenção da fonte em cada 
capitalização à taxa liberatória de 28%? 
 
49 – Um capital no montante de 30.000 € esteve aplicado durante 4 anos, nas seguintes 
condições: i) nos 2 primeirosanos foi praticada uma taxa anual de 2,6%, tendo descido, 
nos anos seguintes, para 2,4%; ii) retenção na fonte, em cada capitalização, a uma taxa 
liberatória de 28%. 
a) Calcule os juros creditados no final da aplicação. 
b) Se a retenção ocorresse apenas no final da operação, qual seria a taxa 
efectiva líquida correspondente a cada período de capitalização. 
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50 – Uma instituição de aforro aceita depósitos a prazo superior a 1 ano, à taxa anual 
de 5,25%, sendo pago bimestralmente o juro ao depositante. Quanto produzirá de juro 
bimestral um depósito de 1.000 €? 
a) Admita que a taxa de juro declarada é efectivamente praticada. 
b) Interprete essa taxa tal como usualmente se faz na actividade bancária. 
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
51 – Considere os seguintes capitais: C1 = 2.500 €, vencido há 3 meses, C2 = 1.200 €, 
vencível daqui a 2 anos e C3 = 3.500 €, vencível daqui a 4 anos e meio. Admitindo o 
regime de juro composto e a taxa de avaliação de 5% ao ano com capitalização 
semestral, determine: 
 a) O vencimento comum referente ao capital comum de 7.000 €; 
 b) O vencimento médio; 
 c) O capital comum com vencimento daqui a 1,5 anos. 
 
52 – Considere os seguintes capitais: C1 = 15.000 €, vencível daqui a 3 trimestres; C2 = 
20.000 €, vencível daqui a 4 quadrimestres e C3 = ? €, vencível daqui a 5 semestres. 
Admitindo o regime de juro composto e a taxa anual nominal de 8% com capitalização 
ao semestre, determine: 
a. O valor de C3, sabendo que o capital comum com vencimento daqui a 6 meses 
é de 63 361,51 €; 
b. O valor das novas entregas supondo que as inicialmente acordadas serão 
substituídas por 3 outras com vencimentos, respetivamente, a 12, 24 e 36 meses. 
Considere ainda que a segunda entrega é dupla da primeira e a terceira é dupla da 
segunda. 
 
53 – A empresa XY contraiu uma dívida de 10 000 €, tendo ficado acordado que a 
amortização seria feita após seis anos com inclusão de juros à taxa anual de 10% com 
capitalização trimestral. Exatamente um ano após a data contratual foi decidido 
amortizar a dívida através de duas entregas iguais a efetuar daí a dois e quatro anos. 
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Calcule a quantia a entregar no pressuposto de que a taxa acordada para a reavaliação 
do contrato foi de 12% ao ano. 
 
54 – Alberto tem para com Bernardino as seguintes dívidas: 
 - 10.000 €, vencíveis daqui por 6 meses; 
 - 15.000 €, vencíveis daqui por 12 meses; 
 - 5.000 €, vencíveis daqui por ano e meio. 
Alberto espera, contudo, poder realizar duas cobranças de montante significativo daqui 
por 3 e 6 meses, pelo que pretende substituir os pagamentos inicialmente previstos por 
apenas dois, de modo a que coincidam com os recebimentos. 
a) Considerando uma taxa anual de avaliação de 4,5%, calcule os montantes a 
entregar nas datas previstas, sabendo que o primeiro deverá exceder o segundo 
em 50%. 
b) Qual o impacto que teria sobre os montantes a entregar a Bernardino se fosse 
utilizada uma taxa de avaliação de 3% ao ano? Comente devidamente os 
resultados obtidos. 
 
55 – Um capital de 10.000 € com vencimento daqui por 8 meses vai ser substituído por 
3 pagamentos iguais a 3.330,43 €. O 2.º desses pagamentos vence 4 meses após o 1.º 
e o 3.º vence 6 meses após o 2.º. Para uma taxa anual de 3%, pretende.se que 
determine o vencimento dos três pagamentos. 
 
56 – Uma empresa de construção civil pretende substituir as dívidas que constam da 
tabela seguinte, por dois montantes, com vencimentos, respetivamente, daqui por 18 e 
por 30 meses, sendo o segundo triplo do primeiro: 
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Capitais Vencimento 
10.000 € Hoje 
22.000 € Daqui por 6 meses 
35.000 € Daqui por 15 meses 
27.000 € Daqui por 28 meses 
 
a) Para uma taxa efetiva anual de 6%, determine os dois montantes que substituem 
estas dívidas. 
b) Considere a eventualidade dessas 4 dívidas terem sido substituídas por um 
capital 82.000 €, com vencimento daqui por 8 meses. Essa situação seria 
vantajosa para o devedor ou para o credor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RENDAS 
 
57 – Determine o valor atual de uma renda semestral imediata, com a duração de oito 
anos, de termos normais, constantes e iguais a 5.000 €, supondo uma taxa de 
capitalização anual de 4%. 
 
58 – Uma empresa adquiriu uma máquina, cujo preço liquida por meio de uma renda 
imediata de 10 anuidades antecipadas no valor de 20.000 € cada. Supondo que a taxa 
de capitalização anual é de 6%, determine o custo da máquina. 
 
59 – Determine a quantia que é necessário depositar no início de cada trimestre, e a 
partir de hoje, para constituir ao fim de 10 anos um capital de 6000 €, à taxa de 
capitalização anual de 3%. 
 
60 – Durante os últimos 15 anos e no final de cada um dos anos, um indivíduo 
depositou 1.000 € numa conta de poupança. Supondo que a taxa anual de capitalização 
é de 2%, diga qual será o crédito da referida conta imediatamente após o décimo quinto 
depósito. 
 
61 – Determine o valor de cada prestação mensal postecipada necessária à formação 
de um capital de 16000 €, em três anos, supondo uma taxa de capitalização mensal de 
0,3%. 
 
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62 – Determine, à data de vencimento do último termo, o valor de uma renda imediata 
de 15 trimestralidades normais, constantes e iguais a 6000 €, supondo que: 
a) a taxa anual nominal é de 4%; 
b) a taxa anual efetiva é de 3,5%. 
 
63 – Para liquidar a compra de um determinado equipamento fabril, o vendedor propõe 
a entrega imediata de 2.000 € e de 36 prestações mensais constantes, no montante de 
562,40 €, que incluem juros calculados à taxa anual nominal de 7,8%. Em alternativa, 
qual deveria ser o montante da prestação se se pretendesse liquidar a dívida 
exclusivamente através de prestações trimestrais, ocorrendo a primeira delas no 
momento do contrato? 
 
64 – Para reembolsar uma divida de 20000 €, foi convencionado que o devedor pagaria 
5000 € no fim de um ano e mais 5 anuidades de 4000 € com o primeiro vencimento em 
data a determinar. 
Supondo que a taxa de capitalização anual é de 6%, diga quais são os vencimentos das 
ditas anuidades. 
 
65 – Um anúncio publicitário recente propõe as seguintes condições aquisição de um 
veículo SMART: 
• Entrega de 10% do valor do veículo no momento da compra; 
• Entrega de 1% do valor do veículo no final de cada mês. 
Sabendo que o preço de um SMART é hoje de 11.950 €, para uma taxa efetiva 
anual de 2,5%, quantas prestações serão necessárias para adquirir o veículo?. 
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Caso seja necessário, determine ainda a eventual quantia adicional a pagar 
juntamente com a última prestação. 
 
66 – Um financiamento bancário para a aquisição de novo equipamento no valor de 
75.000,00 € foi efetuado em 15 de junho de 2018 à taxa anual de 7%. Ficou 
estabelecido que o pagamento da dívida seria efetuado em 12 trimestralidades, 
vencendo-se a primeira em 15 de dezembro do mesmo ano. 
Sabendo que as dificuldades financeiras se irão concentrar especialmente na fase 
inicial do empréstimo, e procurando facilitar o pagamento da dívida, ficou também 
estabelecido que as primeiras 6 trimestralidades seriam iguais entre si, sendo as 
restantes seis iguais ao dobro das primeiras. 
a. Qual o montante de cada trimestralidade? 
b. Qual a importância que a empresa deverá entregar ao banco caso pretenda 
liquidar toda a dívida juntamente com o pagamento da 5ª trimestralidade? 
 
67 – Considerando a taxa anual efetiva de 18,5%, calcule o valor atual das seguintes 
rendas: 
a) renda com 20 termos semestrais, sendo os termos de ordem ímpar iguais a 
1.000 € e os termos de ordem par iguais a 500 €; 
b) rendacom 10 termos iguais a 2.000 € vencíveis de 5 em 5 meses, supondo que 
o primeiro vencimento tem lugar daqui a um mês. 
 
68 – O Senhor Alberto efetuou, junto de uma instituição financeira, ao longo de 2 anos, 
depósitos mensais no montante de 100 €, que capitalizaram à taxa efetiva anual de 5%. 
O Senhor Bernardo efetuou também entregas mensais, ao longo de idêntico período de 
tempo, nas mesmas condições e junto da mesma entidade. Qual terá sido o montante 
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das entregas mensais efetuadas pelo Senhor Bernardo, sabendo que estas permitiram 
obter juros totais inferiores em 30 € que os obtidos pelo Senhor Alberto? 
 
69 – Uma empresa pretende atribuir ao ISCA uma renda perpétua de 5000 € por ano 
destinada à concessão de um prémio escolar. A uma taxa anual de 12%, determine o 
valor atual da renda no momento do contrato, supondo que o primeiro termo da mesma 
se vence: 
a) no momento do contrato; 
b) um ano após o momento do contrato; 
c) três anos após o momento do contrato. 
 
70 – Uma pessoa aplica hoje 2500 € à taxa anual efetiva de 13,5% ao ano. Tenciona, 
também, depositar no mesmo fundo, 100 € no fim de cada mês durante os próximos 
dois anos. Após esta data, pretende levantar 500 € ao trimestre, por forma a esgotar 
completamente o fundo. 
Calcule o número total de levantamentos completos e o montante do levantamento 
residual a efetuar dois meses após o último levantamento normal. 
 
71 – Uma empresa financiou a aquisição de um equipamento fabril, no valor de 40.000 
€, através de uma operação de locação financeira, nas seguintes condições: i) Duração 
do contrato: 4 anos; ii) Prestações: trimestrais e antecipadas; iii) Valor residual, a pagar 
no terminus do prazo do contrato: 4% do valor de aquisição do bem; iv) Taxa de juro 
implícita no contrato: 8%, anual nominal, com capitalização trimestral. 
a. Determine o valor das prestações (trimestralidades) pagas pela 
empresa. 
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b. Se a aquisição do equipamento tivesse sido financiada antes através de um 
empréstimo bancário, com idêntica duração, amortizável através de prestações 
semestrais postecipadas, à taxa de juro anual efetiva de 8%, e com um prazo de 
diferimento de 6 meses, qual o valor das semestralidades que a empresa teria 
pago? 
 
72 – O Sr. Américo decide depositar todos os anos 500 € na conta do seu filho, desde o 
dia do seu nascimento até ele completar 17 anos (inclusive), à taxa anual nominal de 
16% com capitalização semestral, com o objetivo de ele poder levantar uma quantia fixa 
nos 5 primeiros anos da sua maioridade. 
No entanto, 2 meses após o 3º levantamento, ou seja, 2 meses depois de completar 
20 anos, ficou decidido que o restante capital passaria a ser levantado em quotas 
trimestrais, sendo a 1ª paga 4 meses após esta decisão. 
Determine o valor do levantamento trimestral. 
 
73 – Um determinado edifício necessita de obras, as quais por razões de planificação, 
terão início daqui por 2 anos, decorrendo as mesmas nos 18 meses seguintes. De 
acordo com o orçamento apresentado pela empresa que se propõe realizar as obras, 
estas implicarão, após o seu início, o dispêndio de 20 mil euros em cada trimestre. Por 
uma questão de prudência, os condóminos decidiram constituir um fundo de poupança, 
para o qual verterão entregas mensais antecipadas, até ao início dos trabalhos. 
Para uma taxa efetiva de 4%, determine o montante das entregas a realizar 
mensalmente pela totalidade dos condóminos. [EXAME MF de 15.01.2016] 
 
74 – Uma instituição de crédito concedeu um empréstimo no valor de 200000 € a uma 
taxa anual nominal de 14%, amortizável por meio de 30 semestralidades constantes, 
vencendo-se a primeira 6 meses após a data da concessão do empréstimo. 
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Após o pagamento da oitava semestralidade, a instituição de crédito alterou a taxa 
nominal para 16%. 
Porém o devedor pediu que, em vez de lhe ser acrescido o valor de cada uma das 
22 semestralidades restantes, lhe fosse aumentado o número de semestralidades. 
Quantas semestralidades deverão ser pagas pelo devedor (bem como a eventual 
importância a adicionar à última semestralidade), para além das 8 já liquidadas, de 
forma a solver a dívida. 
 
75 – O casal XY decidiu abrir uma Conta Poupança - Habitação com o objetivo de 
comprar um apartamento no valor de 125.000 € daqui por 5 anos (dezembro de 2024). 
Na referida conta é feito um depósito de 500 € no início de cada mês, com exceção de 
junho e dezembro em que o depósito é de 1.500 €. 
Calcule a quantia suplementar a depositar na data de abertura da conta (1 de 
dezembro de 2012), de modo a conseguirem atingir os seus objetivos. Considere a 
taxa anual nominal com capitalização ao semestre. 
 
76 – Um indivíduo irá realizar 5 depósitos semestrais no montante de 5.000 €, os quais 
capitalizarão à taxa anual nominal de 3% com capitalização diária. Qual o valor 
acumulado imediatamente após o 5.º depósito, se a taxa se alterar para 1,25% efetiva 
ao trimestre 21 meses após o início da aplicação? 
 
77 – Uma Associação de Estudantes pensa propor aos caloiros a entrega de uma 
pequena quantia semanal, e efetuar no início de cada semana, durante os 3 anos 
correspondentes à duração normal do curso, com o objetivo de poderem realizar uma 
viagem de finalistas a uma ilha paradisíaca. 
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Supondo que a agência de viagens anuncia nos prospetos publicitários um preço de 
700 €, à data da 1.ª matrícula, supondo que esse preço venha a ter um agravamento de 
3% ao ano, determine a quantia semanal a disponibilizar pelos alunos que queiram 
aderir, sabendo que a Associação consegue investir o dinheiro que lhe é confiado, 
numa aplicação de risco mínimo, a uma taxa efetiva de 4% ao ano. 
 
78 – Uma empresa farmacêutica propõe-se constituir um fundo destinado ao 
financiamento de um programa de investigação na área das doenças neurológicas, o 
qual importará num custo de cerca de um milhão de euros por ano, o qual deverá ter 
início daqui por 3 anos. 
a) Considerando uma taxa anual de 2%, qual deverá ser o montante que a 
empresa deve disponibilizar de imediato? 
b) Refaça a alínea anterior, se se pressupuser que a taxa de juro subirá para 2,5% 
ao ano daqui por 10 anos. 
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LETRAS 
 
79 – Uma empresa detinha uma letra sobre um cliente cujo valor nominal era de 10.000 
€. Solicitando ao seu banco o desconto da mesma 30 dias antes do vencimento, obteve 
anuência nas seguintes condições: 
 Taxa de desconto - 16% 
 Comissão de cobrança - 1% 
 Portes - 1€ 
 Imposto de selo – 4% 
Qual o valor creditado pelo banco na conta da empresa? 
 
80 –. Um determinado equipamento é adquirido através de aceite de duas letras que 
vencem daqui a 30 e 60 dias no valor de 200 e 400 €, respetivamente. As letras 
englobam os encargos de uma possível negociação bancária: 
 Juros à taxa anual de 19%; 
 Comissão de cobrança de 0,5%; 
 Imposto de selo – 4% 
Determine o preço do equipamento. 
 
81 – O senhor A adquiriu hoje equipamento informático cujo preço a pronto pagamento 
é de 1000 € nas seguintes condições: entrega no acto da compra de 200 € e aceite de 2 
letras de igual valor nominal e com vencimentos daqui a 3 e 6 meses. 
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Sabendo que o vendedor, B, tenciona ficar com a primeira letra em carteira até à data 
do seu vencimento e que pretende descontar imediatamente a segunda, determine o 
valor nominal das letras, supondo que o banco de que B é cliente oferece as seguintes 
condições: 
 Taxa de juro anual para colocação de capitais até seis meses: 7,5%; 
 Taxa de desconto: 18%; 
 Comissão bancária: 1%; 
 Portes: 1,5 €; 
 Imposto de selo: 4%. 
 
82 – Uma letra de 1000 €, hoje vencida, é reformadapor inteiro a 90 dias. No cálculo do 
valor nominal da nova letra pressupõe-se a negociação bancária imediata. Condições 
do desconto: 
 Taxa: 14%; 
 Comissão bancária: 1%; 
 Imposto de selo: 4%. 
a) Qual o valor nominal da nova letra? 
b) Qual a taxa de juro anual efectiva subjacente à operação de reforma? 
 
83 – O Sr. B aceitou uma letra de 1500 € com vencimento para o dia 1 de julho. 
Sabendo que dificuldades de tesouraria o vão impedir de liquidar a letra no seu 
vencimento, 30 dias antes do prazo propôs ao sacador a sua reforma parcial (a 50%) e 
o seu vencimento a 45 dias, pretendendo que os encargos do desconto sejam 
englobados na nova letra. As condições de desconto são: 
 Juros à taxa anual de 16%; 
 Imposto de selo de 4%; 
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 Comissão bancária de 0,55%; 
 Portes de 1€. 
Calcule o valor nominal da nova letra e determine a taxa custo anual efetiva inerente à 
operação de desconto. 
 
84 – Certa mercadoria no montante de 5.000 € foi liquidada através do aceite de uma 
letra a 60 dias, a qual foi imediatamente descontada nas seguintes condições: taxa de 
desconto: 8%; comissão de cobrança: 1,5%; Imposto de Selo: 4%. Na data do seu 
vencimento, o sacado, vendo que não dispunha da quantia necessária à sua liquidação, 
solicitou a sua reforma parcial a 30 dias, tendo ainda procedido à entrega de 20% do 
montante em dívida. Pretende-se que calcule: 
a) O valor nominal da letra inicial; 
b) O valor nominal da letra de reforma, sabendo que nesta operação a taxa de desconto 
e a comissão de cobrança acresceram 1% e 0,5%, respetivamente. 
c) O valor nominal da letra inicial, na eventualidade de a mesma ter ficado em carteira, 
sabendo que a taxa de juro para operações passivas até 180 dias é de 2,5%. 
 
85 – Uma letra cujo valor nominal é de 5.000 € vai ser descontada 42 dias antes do seu 
vencimento. Antes de proceder à operação de desconto, o detentor da letra faz uma 
consulta ao mercado tendo constatado que o Banco Mediterrâneo pratica as seguintes 
condições: taxa de desconto – 12%, comissão de cobrança – 2,5% e portes - 1,4€, 
enquanto o Banco Lusitano, em operações análogas, pratica as seguintes condições: 
taxa de desconto – 13% e comissão de cobrança – 1%. 
a) Sabendo que, em ambos os casos, será aplicado o Imposto de Selo à taxa de 
4%, qual das hipóteses se afigura mais vantajosa? 
b) Suponha que, uma vez realizada a operação de desconto, o detentor da letra 
verifica que, afinal, não necessita do montante obtido. Vai, então, aplicar o 
montante líquido do desconto de modo a que possa perfazer, no vencimento, a 
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quantia correspondente ao valor nominal. Qual a taxa efetiva anual a que deveria 
ser colocado este capital de modo a permitir obter os 5.000 € na data de 
vencimento? 
 
86 – Uma letra, cujo valor nominal é de 1.000 €, vai ser descontada 30 dias antes do 
seu vencimento, nas seguintes condições: 
 • taxa de desconto: 12%; 
 • comissão de cobrança: 5 €, independentemente do valor nominal da letra; 
 • Imposto de Selo: 4%; 
 • portes: 1,50 €. 
 a) Calcule o montante do desconto bancário. 
 b) Calcule o custo efetivo anual associado à operação anterior. 
 
87 – O portador de uma letra de 5 000 euros, por necessitar de imediata liquidez, 
propôs ao banco o seu desconto imediato, operação esta que proporcionou o montante 
de 4.901,11 €. Sabendo que as condições negociadas para o desconto foram: 
 Taxa de desconto: 10% 
 Comissão de cobrança: 0,5% 
 Imposto de selo: 4% 
 Portes: 5 € 
Determine, à data da realização da operação de desconto, quantos dias faltavam para o 
vencimento da letra. 
 
88 – Uma letra no montante de 7.500 € vai ser descontada 45 dias antes do seu 
vencimento, permitindo obter um valor de 7.301,53 €. 
a) Sabendo que foi praticada uma taxa de desconto de 8% e que sobre a operação foi 
aplicado Imposto do Selo à taxa de 4%, qual terá sido a taxa de comissão de cobrança 
aplicada? 
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b) A letra inicial foi parcialmente reformada a 30 dias, tendo o sacado procedido à 
liquidação de 30% do valor em dívida. Sabendo que na operação de reforma foram 
praticadas as mesmas condições de desconto que na operação inicial, qual o valor 
nominal da nova letra?. 
 
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FUNDOS DE AMORTIZAÇÃO 
 
89 – Para aquisição de determinado equipamento uma empresa contraiu um 
empréstimo de 10.000 € junto de uma instituição financeira, comprometendo-se a 
reembolsar capital e juros acumulados (Regime de Juros Compostos), à taxa de 4,5%, 
no fim de 4 anos. 
Para satisfazer o pagamento atempado da divida, a empresa decide constituir um fundo 
de amortização, depositando, em cada ano, uma quantia constante, que rende juros à 
taxa de 3% ao ano. 
a) Preencha o quadro do fundo de amortização na eventualidade de as entregas 
serem realizadas no final de cada ano. 
b) Preencha o quadro do fundo de amortização na eventualidade de as entregas 
serem realizadas no início de cada ano. 
 
90 – Um fundo de amortização está a ser acumulado à taxa de 3%, através de 
depósitos de 300 € por ano. Se o fundo ascender a 10.327,94 € logo após o Kº 
depósito: 
a) Quanto lá estava após o (kº - 1) depósito? 
b) Quanto lá estará depositado depois do (kº + 1) depósito? 
c) Determine qual o período k. 
 
91 – Uma empresa contraiu um empréstimo de 10000 € por um prazo de 4 anos à taxa 
anual de 5%. A amortização será feita por entrega única de capital e juros no fim do 
prazo contratual. 
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Para satisfazer o pagamento atempado da divida, a empresa decide constituir um fundo 
de amortização, realizando depósitos constantes no fim de cada semestre, numa conta 
remunerada à taxa anual nominal de 4%. 
No entanto, exatamente 3 anos após a data contratual do empréstimo, a empresa teve 
que fazer um levantamento de 4.000 € para fazer face a uma despesa extraordinária de 
carácter inadiável. 
Determine a quantia a depositar trimestralmente daí em diante, de modo a ser possível 
dispor do montante necessário para liquidar a divida. 
 
92 – A empresa Beta & C.ª contraiu um empréstimo de 300 mil euros a liquidar 
passados 6 anos, acrescidos de juros à taxa anual de 8%. De modo a fazer face ao 
montante da dívida, 2 anos após a contratação do empréstimo, a empresa decidiu 
constituir um Fundo de Amortização, para o qual efetuará entregas no início de cada 
mês que capitalizarão à taxa anual de 5%. Sabendo ainda que à data da constituição do 
fundo a empresa procedeu à amortização de 75 mil euros do capital em dívida, pede-se: 
a) Preencha as duas primeiras e as duas últimas linhas do quadro do fundo. 
b) Calcule quanto terá a empresa de desembolsar, para além da importância 
que tem no fundo, se quiser liquidar totalmente a dívida 1 ano antes da data 
de vencimento. 
 
93 – Uma empresa contraiu um empréstimo que liquidará no final de 8 anos, a cujo 
montante acrescerão juros capitalizados à taxa de 6% ao ano. De modo a fazer face ao 
montante em dívida, a empresa decidiu constituir um fundo de amortização, para o qual 
efetuará entregas trimestrais antecipadas no montante de 16.472.21 €, que capitalizarão 
à taxa anual nominal de 3%. 
a) Sabendo que essas entregas permitem perfazer, no final dos 8 anos, 75% da 
quantia em dívida, determine o montante do empréstimo. 
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b) Preencha as duas primeiras e as duas últimas linhas do quadro do fundo de 
amortização. 
 
94 – Uma empresa contraiu um empréstimo no montante de 100.000 €, que liquidará 
passados 2 anos, acrescidos dos juros calculados à taxa anual efetiva de 6%. De modo 
a ter acumulado o montante necessário ao pagamento da dívida, optou, nessa data, por 
constituir um fundo de amortização, para o qual efetuaráentregas trimestrais 
postecipadas, que capitalizarão à taxa anual nominal de 2%. 
Porém, 7 meses após a contratação do empréstimo amortizou o montante em dívida 
(nessa data) em 20.000 €, que lhe resultaram de uma cobrança extraordinária. Ainda 
assim, a empresa continuará a efetuar entregas para o fundo de amortização, sempre 
com o objetivo de ter acumulado, após os 2 anos, a quantia que lhe permita liquidar 
exatamente o montante em dívida. 
Preencha o quadro do fundo de amortização. 
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EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS 
 
95 – Um empréstimo de 10000 € é contraído por um prazo de 4 anos, à taxa anual de 
5%. 
A amortização do referido empréstimo é feita por 4 anuidades constantes (Sistema de 
Amortização Periódica Progressiva). 
Construa o quadro de amortização. 
 
96 – Um empréstimo de 10000 € é contraído por um prazo de 4 anos, à taxa anual de 
5%. 
A amortização do referido empréstimo é feita através de 4 reembolsos de capital iguais 
(Sistema de Amortização Constante). 
Construa o quadro de amortização. 
 
97 – Um empréstimo encontra-se a ser amortizado através de 6 semestralidades que 
incluem quotas constantes de capital e juros calculados à taxa de 3% anual nominal. A 
diferença entre o primeiro juro e o último é de 3.562,50 €. Pretende-se que determine o 
montante do empréstimo e preencha o quadro do fundo de amortização (3.º teste MF, 
de 2018/19). 
 
98 – Um empréstimo vai ser amortizado durante os próximos 4 anos, através de quotas 
semestrais constantes de capital. Sabendo que a 3ª prestação é de 24.800 € e que a 
quantia de juros contida na 5ª prestação é de 3.200 €, determine a taxa efetiva anual 
praticada na operação, bem como o montante do empréstimo. 
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99 – Sabendo que determinado empréstimo foi amortizado pelo Sistema de 
Amortização Periódica Constante, em n semestralidades, à taxa anual nominal de 17%, 
com capitalização trimestral de juros, e que o juro referente ao 1º período ascendeu a 
13.020,94 € enquanto o juro do último período foi de 2.604,19, elabore o quadro de 
amortização deste empréstimo. 
 
100 – Um empréstimo será amortizado nos próximos 5 anos através do sistema de 
amortizações constantes, às quais acrescem juros calculados à taxa de 3% ao ano. 
Porém, a amortização nos dois últimos anos será o dobro da observada nos restantes. 
Sabendo que a diferença entre a última e a 2.ª prestações é de 30.000 €, preencha o 
quadro de amortização do empréstimo. 
 
101 – São conhecidos os seguintes elementos relativos a um quadro de amortização de 
um empréstimo reembolsável em 10 anuidades constantes: (1) M8/M3 = 1,640005736; 
(2) M10M1 = 66 303,37 €. Determine: 
a) A taxa de juro efetiva do empréstimo. 
b) A prestação e o capital mutuado. 
c) As duas ultimas linhas do quadro do empréstimo. 
 
102 – Relativamente a um certo empréstimo que se encontra a ser amortizado através 
de 48 prestações mensais constantes, conhece-se a seguinte informação: 
 
 
 
 
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(em €) 
Tempo Juros Amortização 
: - - 
K 336,43 2.012,07 
: - - 
k + 3 - 2.042,40 
: - - 
 
Pretende-se que determine: 
a) A taxa efetiva anual praticada no empréstimo; 
b) O montante das mensalidades; 
c) O capital inicial; 
d) A ordem do período k; 
e) O capital amortizado imediatamente após a 27ª entrega. 
 
103 – Um empréstimo de 300.000 € será amortizado nos próximos 12 anos, através de 
prestações constantes, as quais incluem juros calculados à taxa efetiva anual de 5%. 
Pretende-se que calcule 
a) O montante da anuidade. 
b) A quota de capital da 9:ª prestação. 
c) O montante de juros contidos entre a 5.ª e a 8.ª prestações (ambas inclusive). 
d) O tempo necessário para amortizar um terço do empréstimo. 
 
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104 – Do quadro de um empréstimo que se encontra a ser amortizado através de 60 
mensalidades constantes retirou-se a seguinte informação: 
 
 (em €) 
Tempo Capital em 
dívida no início 
Juros Amortização Prestação 
: 
6 165 628,80 € 1 959,42 € 
: 
14 2 207,27 € 
: 
 
Pretende-se que: 
a) Determine a taxa efetiva anual do empréstimo. 
b) Calcule o montante do capital inicial. 
c) Preencha as duas primeiras e as duas últimas linhas do quadro de 
amortização. 
 
105 – Um empréstimo poderá ser amortizado ao longo dos próximos 10 anos, através 
do sistema de prestações constantes ou através do sistema de amortizações 
constantes, sendo os juros calculado s à taxa anual de 5%. 
a) Sabendo que a diferença entre as eventuais prestações a pagar no primeiro período, 
em ambas as modalidades, é de 204,95 €, calcule o montante do empréstimo. 
b) Em seu entender e sem efetuar quaisquer cálculos, qual a modalidade de 
amortização mais vantajosa para o mutuário?. 
 
 
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ANEXO AO CADERNO DE EXERCÍCIOS PRÁTICOS 
Durante o ano transato, verificaram-se os seguintes movimentos na conta de depósitos 
à ordem de que o Sr. Belmiro é titular: 
Data Descrição dos movimentos Quantia (€) 
01.01 Saldo anterior 5.325 
10.01 Depósito 1.270 
27.02 Débito de despesas cartão de crédito 1.780 
13.03 Cheque nº 531 5.100 
22.04 Depósito 7.200 
17.05 Transferência a n/favor 2.000 
22.06 Cheque nº 532 2.740 
13.07 Depósito 1.350 
22.08 Levantamento ATM 750 
15.09 Transferência a favor de outrem 2.000 
22.11 Depósito 1.100 
14.12 Cheque nº 533 1.250 
 
Sabendo que a taxa de juro praticada é de 1,5% ao ano, determine o montante de juro 
final calculado através do: 
a) Método direto. 
b) Método hamburguês.