Matematica_Financeira

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Administração 167 Módulo III
NOÇÕES BÁSICAS
Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de
evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e
comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.
Capital  é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível
em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de
capital inicial ou principal.
Juros  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro
durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela
utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.
Taxa de Juros  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos
no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente
empatado.
Ex.:
Capital Inicial : $ 100
Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período
 a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês,
ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.
Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase
que exclusivamente utilizada na aplicação de
fórmulas de resolução de problemas de Matemática
Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 )
a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a
taxa percentual por 100:
5 % / 100 = 0.05
Montante  denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação
financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros
pagos (ou recebidos).
Capital Inicial = $ 100
+ Juros = $ 50
= Montante = $ 150
Regimes de Capitalização  quando um capital é emprestado ou investido a uma certa
taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante
pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de
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capitalização de juros:
 capitalização simples;
 capitalização composta;
Capitalização Simples  somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são
devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao
longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de
juros
Capitalização Composta  os juros produzidos ao final de um período são somados ao
montante do início do período seguinte e essa soma passa a
render juros no período seguinte e assim sucessivamente.
 comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o
primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto
para o regime de capitalização simples quanto para o regime de
capitalização composto;
 salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros
postecipados) a que se refere a taxa de juros.
 No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma
progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de
capitalização composta o montante evolui como uma progressão
geométrica, ou seja, exponencialmente.
Fluxo de Caixa  o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um
empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas
(pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.
PORCENTAGEM
Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de reajuste
salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno com
30% de desconto”...
Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto,
pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal,
onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “.
100
80
= 0,80 = 80%
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CÁLCULOS DE PORCENTAGEM:
Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:
POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:
Exemplo: Quanto é 20% de 800?
20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas.
20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160
ou usando taxa unitária:
20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 160
POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:
Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto
passou a ser o seu novo salário?
Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:
1ª). 2000 100%
x 5% x =
100
5.2000
x = 100,00
Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00
2ª) 2 000 100%
x 105% x =
100
105.2000
x = 2 100,00
Salário: 2 100,00
Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi
a taxa de desconto?
15 000 100%
1800 x x =
100
1800.100
x = 12%
Taxa de desconto: 12%
Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual
de 5 200,00. De quanto era o capital?
13% 5 200
100% x x =
100
5200.100
x = 40.000
Capital: R$ 40 000,00
Administração 170 Módulo III
ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL:
Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de
porcentagem:
Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P)
Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i).
Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa
porcentual (p)
Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte
raciocínio:
Porcentagem =
100
.Pr taxaincipal
p =
100
.iP
, onde P =
i
p.100
e i =
P
p.100
É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25
ATIVIDADES:
1. Calcular:
a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550
2. Qual a taxa unitária de 20%?
3. Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?
4. Qual é o número principal em que 20 representa 3%?
5. Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?
6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?
7. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?
8. Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?
9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num
concurso público com 6 500 inscritos?
10. Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples
reajuste (que naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na
ocasião, seu salário era de R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do
mês, ele recebeu R$ 3 092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa,
Administração 171 Módulo III
responda se o pedido foi atendido.
11. Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida,
vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço (valor inicial do automóvel). Qual foi
a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?
12. Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram
encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool.
Quanto por cento o álcool de um posto é, mas aguado que o do outro?
13. Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação,
restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?
14. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa
cidade se nela residem 60 500 mulheres?
15. Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial,
calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.
16. Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?
17. Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00
de comissões, qual o total vendido por ele?
18. Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto5% desse valor em impostos e
3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?
19. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado
dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às
aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?
20. Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a
taxa de desconto?
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
JUROS SIMPLES
É composto da seguinte fórmula :
j = C.i.n
Exemplo
Você pediu a seu chefe um empréstimo de $ 10.000,00 e ele, que não é bobo, vai lhe cobrar uma
Administração 172 Módulo III
taxa de juros de 5% ao mês , sobre o capital inicial . 6 meses depois você quita sua dívida. Quanto a
mais você terá de pagar , a título de juros?
Aplicando a fórmula:
j : o que você quer descobrir
C:R$ 10.000,00
i:5% a.m.
n:6 meses
Logo: j=10000. 0,05.6 resultando R$ 3.000,00 de juros pagos (Whoa!). Quase um terço do total
emprestado
Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica evidenciado que
mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou menos longo, pode causar um
verdadeiro prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a-dia? Crediário !
Exercícios:
1) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano, rende
$ 72.000,00 de juros, determinar o futuro valor, no regime de capitalização simples.
Resp. $ 112.000,00
2) Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 meses.
Determinar as taxas mensal e anual cobradas nesta operação de capitalização simples.
Resp.: 8,33% a.m. e 100% a.a
3) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 2.000,00, feita a uma taxa
de 4,94% ao mês, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 76 dias.
Resp.: $ 250,29 e $ 2.250,29
4) Uma aplicação de $ 5.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 825,00.
Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação, no regime de juros simples?
Resp.: 33% a.a.
5) Determinar o valor de um título cujo valor de resgate é de $ 6.000,00, sabendo-se que a
taxa de juros simples cobrada para gerar este título é de 5% ao mês e que o seu vencimento é de 4
meses.
Resp.: $ 5.000,00
6) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 bimestres, à taxa de 36% ao ano rende $
7.200,00 de juros, determinar o montante no regime de capitalização simples.
Resp.: $ 19.200,00.
Exercícios Extras:
1) Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si próprio. Qual foi a taxa linear
considerada?25% ao m.
Administração 173 Módulo III
2) Depositei a quantia de $72.000,00 em um banco que remunera seus clientes a taxa simples de
36% ao ano. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo era de $73.800,00. Por quantos
dias deu-se essa aplicação? 25 dias
3) Pretendo poupar uma parte do salário, para daqui 2 bimestres ter um montante de $500,00,
sabendo que a taxa é de 48% ao ano, quanto devo aplicar sendo o regime de capitalização simples?
431,03
JUROS COMPOSTOS
Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a cada cálculo.
Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são
incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim
sucessivamente. Nos caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante. A fórmula é:
Cn=C. (1 + i)n
Exemplo
Uma aplicação bancária está oferecendo juros fixos de 3% a.m. por 6 meses, sobre um valor mínimo
de $ 10.000,00. Quanto renderá ao final desse período?
Aplicando a fórmula:
Cn ou M - o que você quer saber
C - 10.000,00
i - 3 % - 0,03
n - 6
Logo : 10000. (1+0,03)6 => 11.940,52.
DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A fórmula é:
A= N. 1/ (1+i)n
No final deste texto existe uma tabela com o cálculo dos fatores (1+i)n.
Exemplo
Suponhamos que você quer descontar um título de $ 25.000,00 , 2 meses antes do vencimento, de
um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m. Calcule o valor atual do título .
Administração 174 Módulo III
Aplicando a fórmula:
A - o que você quer saber
N - 25.000,00
i - 3 % - 0,03
n - 2
Logo: 25000.1/ (1+0,03)2 => 23.564,90
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta
de 4% ao mês.
Resolução:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.
C = R$ 600
i = 4% = 0,04
n = 12
M = C  (1 + i)n  M = 600  (1 + 0,04)12  M = 600  (1,04)12
 M = 600  1,60103
M = R$ 960,62
O fator (1,04)12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%.
(1 + i)n
n i
 2% 3% 4% 5%
9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133
10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889
11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034
12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586
13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565
2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros
compostos produzidos?
Resolução:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
Administração 175 Módulo III
M = C  (1 + i)n  M = 500  (1,05)8  M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3%
ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
Resolução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C  (1 + i)n
477,62 = C  (1,03)6
C =
19405,1
62,477
C = R$ 400,00
CÁLCULOS DO MONTANTE E DO CAPITAL
Montante  é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.
Ou Seja, montante nada mais é do que a soma de um capital com os juros aplicados a ele. Seguindo o
exemplo da seção anterior, o Capital inicial (principal) era de $ 10.000,00 e os juros incidentes foram
de $ 3.000,00 (ou seja , M = C+j). Logo, o Montante é de R$ 13.000,00. Bico, não?
A fórmula para calcular o Montante direto é:
M = C. (1 + i.n)
Exemplo
Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou que, no mês
que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários . Supondo-se que você ganhe $
1.100,00 , para quanto vai o seu salário?
Aplicando a fórmula =>
M = o que você quer descobrir
C=1.100,00
i=3% a.m.
n=1 mês
Logo: M=1100. (1 + 0,03.1) resultando $ 1.133,00 , o que já dá para pagar um cineminha ou então
comprar mais alguns lanchinhos no McDonald's para a criançada. (eheheheh)...
Administração 176 Módulo III
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e, claro,
desde que esse desconto esteja previsto em contrato.
A fórmula é:
d = N.i.n
Exemplo
Qual o desconto de um título no valor de R$ 50.000,00, se ele for pago 2 meses antes do vencimento
à uma taxa de 5,5 % a.m.?
Aplicando a fórmula:
d : o que você quer saber
N :50.000,00
i :5,5% - 0,055
n:2
Logo : 50000 . 0,055 . 2 = > R$ 5.500,00 de desconto
VALOR ATUAL / NOMINAL
O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros
Simples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto.
Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ 50.000,00 e o desconto
incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ 44.500,00. Bico, não?
A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:
A = N. (1-i.n)
Exemplo
Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu
consórcio, num valor total de $ 70.000,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1%
a.m. .Quanto você terá de pagar em cash ?
Aplicando a fórmula:
A = o que você quer descobrir
N=70.000,00
i=1% a.m.
n=5 meses
Administração 177 Módulo III
Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 .
CALCULANDO O MONTANTE EM CASOS DE RENDAS CERTAS
Como você deve se lembrar, montantenada mais é do que a somatória dos juros com o capital
principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por:
M=T.Sn¬i
Para saber o valor de Sn¬i você pode:
-usar as tabelas
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i.
Exemplo
Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m.
Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a
aplicação) :
n=5
T=100
i=10% a.m.
M=100.S5¬10%=>$ 610,51
Quando for uma situação de
antecipada : subtraia 1 de n
Diferenciada: após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)m
CÁLCULO DO CAPITAL
Em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas
diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim
de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas
de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.
Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos capitais
aplicados a taxas diferentes por prazos
diferentes que produzem a MESMA QUANTIA
DE JUROS.
Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
Administração 178 Módulo III
i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn
Taxa Média  é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um
certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que
seriam produzidos por diversos capitais.
Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nn
Prazo Médio  é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a
uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos
pelos diversos capitais.
Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn in
TAXAS EQUIVALENTES
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo
período de tempo, produzem o mesmo rendimento.
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização
composta, não.
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um
trimestre, de:
Atribuindo um capital R$ 100, temos:
M = 100(1,1)3  M = 10  1,331  M = R$ 133,10.
Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%.
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas;
são efetivas.
Administração 179 Módulo III
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)4
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = 1 + is
Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica
elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com
capitalização mensal, durante 1 ano.
Resolução:
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal.
A taxa efetiva é, portanto, 60%  12 = 5% ao mês.
C = R$ 1.500
i = 5% = 0,05
n = 12
M = C  (1 + i)n
M = 1.500  (1,05)12
M = 1.500  1,79586
M = R$ 2.693,78
2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e
meio, qual o valor do montante?
Resolução:
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral.
A taxa efetiva é, portanto, 12%  6 = 2% ao bimestre.
C = R$ 800
i = 2% = 0,02
n = 9
M = C  (1 + i)n
M = 800  (1,02)9
M = 800  1,19509
M = R$ 956,07
3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente,
eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital?
Administração 180 Módulo III
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral.
A taxa efetiva é, portanto, 12%  2 = 6% ao semestre.
M = R$ 1.969,93
i = 6% = 0,06
n = 10
C = M  (1 + i)-n
C = 1.969,93  (1,06)-10
C = 1.969,93  0,55839
C = R$ 1.100,00
4) Qual a taxa anual equivalente a:
a) 3% ao mês;
b) 30% ao semestre com capitalização bimestral
Resolução:
a) ia = ?; im = 3%
Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos:
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,03)12
1 + ia = 1,42576
ia = 1,42576 - 1
ia = 0,42576 = 42,57%
b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral.
A taxa efetiva é, portanto, 30%  3 = 10% ao bimestre.
Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos:
1 + ia = (1 + ib)6
1 + ia = (1,1)6
1 + ia = 1,77156
ia = 1,77156 - 1
ia = 0,77156 = 77,15%
5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal?
Resolução:
Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos:
(1 + im)6 = 1 + is
(1 + im)6 = 1,9738
im = 12%
TAXAS NOMINAL E EFETIVA, REAL E APARENTE
Administração 181 Módulo III
TAXA NOMINAL = É a taxa utilizada para preparar ou montar uma operação financeira. É a que
aparece nos contratos financeiros e que não coincide com o período de capitalização.
Exemplo:
1) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a.
capitalizados trimestralmente?
PV = 5.000,00 FV = 5000( 1 + 0,24)²
n = 2 anos FV = 5000 . 1,5376
I = 24% a.a. = 0,24 a.a. FV = 7688,00
pela convenção adotada, temos:
PV = 5.000,00 FV = 5000( 1+ 0,06)8
n = 2 . 4t = 8t FV = 5000 . 1,5938
i = 24%a.a. = 0,24 a.a. = 0,24/ 4 = 0,06 a.t FV = 7969,24
(simples)
Pela conversão composta temos:
i = 5,52% a.t. temos: FV = 5000( 1+0,0552)8
FV = 7685,07
Exercícios:
1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros.
Qual seria o juro pago por um empréstimo de R$ 10.000,00, feito por 1 ano?
2) Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de R$ 20,00, após 2 anos
de aplicação, se rendeu juros nominais de 9% a.a. com as seguintes hipóteses de capitalização:
a) anual
b) semestral
c) trimestral
d) diária
Respostas:
1) FV = 10.506,25
2) a) FV = 23,76 i = 9% a.a.
b) FV = 23,85 i = 9,2% a.a.
c) FV = 23,90 i = 9,3% a.a.
d) FV = 23,94 i = 9,42% a.a.
TAXA EFETIVA = É a taxa que de fato está sendo praticada. É obtida por meio da relação entre os
valores final e inicial da operação financeira.
O período de capitalização corresponde ao intervalo de tempo em que os juros são empregados ao
Administração 182 Módulo III
capital. Quando a taxa nominal tem unidade de tempo diferente do período da capitalização, por
exemplo, 6% ao ano, capitalizados mensalmente, fazemos a divisão simples 6/12 = 0,5% a.m. para
encontrar a taxa efetiva que é proporcional à taxa dada. A conversão da taxa nominal em efetiva pode
ser feita regra de três simples e direta.
Exemplos:
1) Uma aplicação financeira paga juros compostos de 28% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual
é a taxa de juros trimestral efetiva da aplicação?
1 ano = 12 meses ......... 28%
1 trimestre = 3 meses......i
i = 3 . 28/12 = 7% a.t.
2) A caderneta de poupança rende juros de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva?
6%a.a = 6% /12 = 0,5% a.m. = taxa efetiva mensal
TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA DE INFLAÇÃO (JUROS COMPOSTOS) = Denominamos taxa
aparente aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, esta taxa é igual à taxa
real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada pela taxa da inflação e pela taxa de juro
real, ambas apuradas no mesmo período da taxa aparente.
Sendo : PV = capital inicial
ir = a taxa real
iap = a taxa aparente
iin = a taxa de inflação
Podem acontecer os seguintes casos:
 Taxa de inflação igual a zero e uma taxa de juros ir , o capital inicial se transformará, ao final de
um período, em : PV(1 + ir)
 Taxa de inflação igual a iin, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em: PV ( 1+ iin)
 Taxa de juro igual a ir e uma taxa de inflação igual a iin, simultaneamente, o capital inicial
equivalerá:PV(1+ ir ) ( 1 + iin)
 Taxa aparente igual a iap, o capital se transformará, ao final de um período, em: PV( 1+ iap)
Como as duas últimas expressões se equivalem, temos:
PV( 1+ iap) = PV(1+ ir ) ( 1 + iin)
Logo
( 1+ iap) = (1+ ir ) ( 1 + iin)
Administração 183 Módulo III
Obs.: A taxa de juro real é livre dos efeitos inflacionários, enquanto a taxa de juro aparente leva em
consideração os efeitos inflacionários do período.
Exemplos:
1) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e uma inflação de
20% no período?
( 1+ iap) = (1+ ir ) ( 1 + iin)
( 1+ iap) = (1 + 0,008) . ( 1 + 0,2)
( 1+ iap) = 1,008 . 1,2
( 1+ iap) = 1,2096
iap = 1,2096 – 1
iap = 0,2096
iap = 20,96% a.m.
2) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro
aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse
período, foi de 15%.
( 1+ iap) = (1+ ir ) ( 1 + iin)
( 1+ 0,25) = (1+ ir ) ( 1 + 0,15)
1,25 = (1+ ir ) . 1,15
)1(
15,1
25,1
ri
1,087 -1 = ir
ir = 0,087
ir = 8,7%
Exercícios:
1) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32%a.a.. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%,
calcule a taxa real anual.
2) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% a.a., com a intenção de ter um retorno real
correspondente a uma taxa de 9%a.a.. Determine a taxa de inflação do período.
3) Um capital foi aplicado à taxa de juro de 300% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de
250%. Qual a taxa real de juro dessa aplicação?
4) Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros aparente de 21% a.a.. No mesmo período a
inflação foi de 11%. Qual a taxa de juros real desse período?
Administração 184 Módulo III
5) Um banco deseja auferir 24% a.a. de juros reais sobre determinado período de aplicação. Qual
deve ser a taxa aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste período
for de 18%?
Respostas:
1) ir = 9,09% a.a.
2) iin = 11,93% a.a.
3) ir = 14,29% a.a.
4) ir = 9,01% a.a.
5) iap = 46,32% a.a.
CÁLCULO DO VALOR ATUAL
Valor Atual  o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago
(recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de
um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido
pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.
Vc = N - Dc
Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de
130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.
N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360
n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44
i = 130 a.a. = 1.30
Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44
Vc = ? Vc = $ 1.530,56
CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
Primeiro definimos:
Renda imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do 1º período a contar
da data zero.
Renda antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no início do 1º período, ou
seja, na data zero.
Renda diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado
número de períodos, a contar da data zero.
Capitalização: tem como objetivo determinar o montante constituído por depósitos periódicos de
quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa.
Administração 185 Módulo III
Amortização: tem como objetivo determinar o valor atual, o valor de um empréstimo, constituído por
prestações periódicas de quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa.
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
1) Fator de Capitalização =>  
 
i
1i1s
n
i/n

 (tabelado)
a) Renda Imediata: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais no final de cada período
(renda imediata), a uma taxa de rendimento i é de:
 i/nsTVF 
Exemplo 1: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no final de
cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês.
R: R$ 6520,61
Exemplo 2: Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa
de 6% ao ano, capitalizado anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital
de R$ 400.000,00?
R: R$ 30.347,19
Exemplo 3: A que taxa uma pessoa realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00,
forma um capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito?
R: 1,5% ao mês
Exemplo 4: Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2%
ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00?
R: 12 prestações.
Resolva:
Exercício 1: Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 25 ao
mês, quanto possuirá em 1 ano e 3 meses.
R: R$ 11.759,52
Exercício 2: Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa
de 25 % ao ano.
R: R$ 17.763,90
Exercício 3: Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do
décimo depósito constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar aquelas
importâncias?
R: 1% ao mês
Administração 186 Módulo III
Exercício 4: Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para , a 0,5% ao mês,
constituirmos um capital de R$ 16.283,00?
R: 8 mensalidades
b) Renda antecipada: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais, no início de cada
período (renda antecipada), a uma taxa de rendimento i é de:
  1sTVF i/1n  
Exemplo 5: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no início de
cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês.
R: R$ 6.618,41
Exercício 5 : Quanto se deve depositar no início de cada mês, numa instituição financeira que paga
1,5% ao mês, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos?
R: R$ 1.041,99
AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
2) Fator de Amortização =>  
 
 n
n
i/n i1i
1i1a


 (tabelado)
a) Renda Imediata: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no final de cada
período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de:
 i/naTVP 
Exemplo 6: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de
cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês.
R: R$ 502,31
Exercício 6: calcule o valor atual de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$
1.200,00 e o restante à taxa de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da
prestação é de R$ 192,00.
R: R$ 3001,93
Exercício 7: O preço de um carro é de R$ 37.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é
financiado à taxa de 2,5% ao mês em 12 meses. Calcule o valor da prestação mensal.
R: R$ 2.205,16
b) Renda antecipada: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no início de
cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de:
Administração 187 Módulo III
  1aTVP i/1n  
Exemplo 7: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas no início
de cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês.
R: R$ 487,68
Exercício 8: Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00
cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro?
R: R$ 9306,41
Exercício 9: Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um
empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês.
R: R$ 1.433,77
c) Renda diferida (carência): O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, após um
diferimento (carência de m períodos), no final de cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i
é de:
    i/mi/nm aaTVP  
Lembrando que m é período que antecede a renda imediata
Exemplo 8: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de
cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês e a primeira parcela deverá ser efetuada 3
meses após a realização do empréstimo.
R: R$ 532,90
Exercício 10: Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valordessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido uma carência de 2
meses?
R: R$ 3.616,60
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E CARÊNCIA
Amortização
Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada de empréstimo.
Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas.
Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações.
Administração 188 Módulo III
Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital
emprestado.
Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a
taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo
devedor maior, calculando juro sobre juro.
Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determinado instante de tempo.
Sistemas de Amortização
Definição: meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo
devedor a maneira mais conveniente para ele.
Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, prazo de carência.
Prazo de carência: período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira
amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros.
Sistema Americano
Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado, ou pode querer
pagá-lo durante a carência. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros
durante a carência.
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o desembolso a ser
efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana
e, na brasileira, por “fundo de amortização”.
C: 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização no 5º mês
Juro
Principal
Prestação
Períodos
Administração 189 Módulo III
Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final.
Mês Saque Saldo
devedor
Amortização Juros Prestação
0 50.000,00 50.000,00 - - -
1 - 50.000,00 - 750,00 750,00
2 - 50.000,00 - 750,00 750,00
3 - 50.000,00 - 750,00 750,00
4 - 50.000,00 - 750,00 750,00
5 - 50.000,00 750,00 50.750,00
Total - 50.000,00 3.750,00 53.750,00
Há capitalização dos juros durante a carência:
Mês Saque Saldo
devedor
Amortização Juros Prestação
0 50.000,00 50.000,00 - - -
1 - 50.750,00 - 750,00
2 - 51.511,25 - 761,25
3 - 52.283,92 - 772,67
4 - 53.068,18 - 784,26
5 - 50.000,00 796,02 53.864,20
Total - 50.000,00 3864,20 53.864,20
Sistema de amortizações variáveis
As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os juros são calculados sobre o saldo
devedor.
Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer
na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum
critério particular) e a taxa de juros cobrada.
Administração 190 Módulo III
Nestas condições a taxa de juros também será sobre o saldo devedor. O empréstimo é amortizado
mensalmente conforme abaixo:.
1º mês – 10.000
2º mês – 15.000
3º mês – 10.000
4º mês – 15.000
C: 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização: 4 meses
Coloca-se inicialmente as amortizações, a seguir são calculados os juros sobre o saldo devedor do
período anterior e calculada a prestação:
Mês Saque Saldo
devedor
Amortização Juros Prestação
0 50.000,00 50.000,00 - - -
1 - 40.000,00 10.000,00 750,00 10.750,00
2 - 25.000,00 15.000,00 600,00 15.600,00
3 - 15.000,00 10.000,00 375,00 10.375,00
4 - 0,00 15.000,00 225,00 15.225,00
5 -
Total - 50.000,00 1.950,00 51.950,00
Amortização
Juro
Períodos
Prestação
Administração 191 Módulo III
DETERMINAÇÃO DO SALDO DEVEDOR (Sistema Price e de Amortização Constante)
No mundo dos negócios, é bastante comum contrair-se uma dívida para saldá-la a médio e longo
prazo. Considerando o fato de que o valor nominal de cada pagamento consiste em uma mescla de
pagamentos de juros e de amortização do principal, podem-se usar várias metodologias para
estabelecer a forma de liquidar-se uma dívida. Para efeito ilustrativo, lembramos que a crise pela qual
vem passando o S.F.H. (Sistema Financeiro da Habilitação), aliada à estabilização da economia,
implicou uma série de alternativas de financiamentos, consórcios e cooperativas no ramo imobiliário.
Tais situações práticas constituem-se na aplicabilidade do assunto aqui tratado; sobremaneira nos
sistemas utilizados com maior freqüência.
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e
financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos
financeiros.
Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados é a utilização
exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor
(montante) apurado em período imediatamente anterior.
Conceitos Iniciais
Amortização: é o pagamento do principal ou capital emprestado que é feito, normalmente, de forma
periódica e sucessiva durante o prazo de financiamento.
Juros: é o custo do capital tomado sob o aspecto do mutuário e o retorno do capital investido sob o
aspecto do mutuante.
Prestação: é o pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente
anterior ao período referente à prestação. A taxa de juros pode ser pré ou pós-fixada, dependendo de
cláusula contratual. Entende-se como taxa pré-fixada aquela cuja expectativa de inflação futura já
está incorporada à taxa, enquanto na pós-fixada existe a necessidade de apurar-se a desvalorização
ocorrida por conta da inflação, compensado-a através da correção monetária.
Saldo devedor ou estado da dívida: é o valor devido em certo período, imediatamente após a
realização do pagamento relativo a este período.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) – (S.A.F)
Este sistema estabelece, ao contrário do S.A. C, que as prestações são iguais e sucessivas durante
todo o prazo da amortização. È importante notar que, à medida que as prestações são realizadas, o
saldo devedor é diminuído implicando, dessa forma, uma concomitante diminuição dos juros
apurados para o período em análise. Porém, em função de manter-se a uniformidade em relação ao
valor da prestação, a amortização aumenta de forma a compensar a diminuição dos juros.
Administração 192 Módulo III
O cálculo do valor da prestação é feito, a partir do FATOR DE VALOR PRESENTE POR OPERAÇÃO
MÚLTIPLA, através da fórmula:
1)1(
1.)1(.


 n
n
i
iPR
Onde:
R = valor das prestações
P = principal
i = taxa de juros
n = período
Exemplo:
Uma pessoa contraiu um empréstimo de $20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos
com prestações semestrais (sistema francês) à taxa de 18% ao semestre. Monte a planilha financeira.
Resolução:
1º Cálculo do valor da prestação:
1)1(
1.)1(.


 n
n
i
iPR
1)18,01(
1.)18,01(.20000 10
10


R R = $4.4450,30
2º Montagem da planilha:
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual
0 - - - - 20.000,00
1 23.600,00 850,30 3.600,00 4.450,30 19.149,70
2 22.596,65 1.003,35 3.446,95 4.450,30 18.146,35
3 21.412,69 1.183,96 3.266,34 4.450,30 16.962,39
4 20.015,62 1.397,07 3.053,23 4.450,30 15.565,32
5 18.367,08 1.648,54 2.801,76 4.450,30 13.916,78
6 16.421,80 1.945,28 2.505,02 4.450,30 11.971,50
7 14.126,36 2.295,43 2.154,87 4.450,30 9.676,06
8 11,417,76 2.708,61 1.741,69 4.450,30 6.967,46
9 8.2221,60 3.196,16 1.254,14 4.450,30 3.771,30
10 4.450,13 3.771,47 678,83 4.450,30 0,00
Totalizações 20.000,00 24.502,83 44.502,83
Observações:
1. Os juros incidem sobre o saldo atual.
2. A amortização é a diferença entre a prestação e os juros.
3. O saldo atual consiste na diferença entre o saldo atual
anterior e a amortização.
4. O saldo devedor consiste na soma do saldo atual mais os
juros.
Administração 193 Módulo III
Exercício:
Um imóvel no valor de $60.000,00 será pago através de prestações trimestrais durante 4 anos.
Elabore a planilha financeira pelo sistema francês, sabendo que a taxa é de 7% a.t.
SISTEMADE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (S.A.C)
Este tipo de sistema, como o próprio nome sugere, consiste na amortização constante do principal
durante todo o prazo de financiamento. A prestação a ser paga será decrescente, na medida em que
os juros incidirão sobre um saldo devedor cada vez menor. O valor da amortização é calculado através
da divisão entre o capital inicial e o número de prestações a serem pagas.
Exemplo.
Fazer o quadro demonstrativo para um empréstimo no valor de $10.000, o qual será amortizado em
cinco prestações trimestrais à razão de 7% ao trimestre através do S.A.C.
Para montagem da planilha, devemos inicialmente calcular o valor da amortização:
n
PA 
Onde:
A = Amortização
P = Principal
n = números de prestações
Resolução:
n
PA 
5
10000
A A = $2.000,00
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual
0 10.000
1 10.700 2.000,00 700,00 2.700,00 8.000,00
2 8560,00 2.000,00 560,00 2.560,00 6.000,00
3 6420,00 2.000,00 420,00 2.420,00 4.000,00
4 4.280,00 2.000,00 280,00 2.280,00 2.000,00
5 2.140,00 2.000,00 140,00 2.140,00 0,00
Totalizações  10.000,00 2.100,00 12.100,00
Observações:
 Os juros são obtidos sobre o saldo devedor anterior ao período de apuração do
resultado.
Administração 194 Módulo III
 A prestação é a soma da amortização aos juros calculados no período.
 O saldo devedor é a soma dos juros ao saldo anterior;
 O saldo atual é a diferença entre o saldo devedor e a prestação;
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SOBRINHO, José Dutra Vieira – Matemática Financeira, Editora Atlas, 2008.
PUCCIN, Abelardo de Lima, OUCCINI, Adriana – Matemática Financeira, Editora Saraiva, 2008.
SILVA, André Luiz Carvalhal da – Matemática Financeira Aplicada, Editora Atlas, 2006.
EXERCÍCIOS:
Uma empresa contraiu um empréstimo para financiar uma subsidiária no valor de $300.000,00 à taxa
de 20% a.s. Sabendo que o empréstimo será amortizado em oito prestações semestrais pelo S.A.C,
monte a planilha financeira.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Totalizações
ANÁLISE COMPARATIVA S.A.F x S.A.C
Visando comparar as duas metodologias aqui apresentadas, faremos um estudo em conjunto a partir
de uma situação hipotética a seguir:
Principal: $15.000,00
Taxa de Juros: 10% a.p.
Número de Períodos: 10
1º Cálculo da amortização para o S.A.C
n
PA 
10
15000
A A = 1.500,00
Administração 195 Módulo III
2º Cálculo da prestação para o S.A.F.
1)1(
1.)1(.


 n
n
i
iPR
1)10,01(
10,0.)10,01(.15000 10
10


R R = 2.441,18
S. A. C.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual
0 15.000,00
1 16.500,00 1.500,00 1.500,00 3.000,00 13.500,00
2 14.850,00 1.500,00 1.350,00 2.850,00 12.000,00
3 13.200,00 1.500,00 1.200,00 2.700,00 10.500,00
4 11.550,00 1.500,00 1.050,00 2.550,00 9.000,00
5 9.900,00 1.500,00 900,00 2.400,00 7.500,00
6 8.250,00 1.500,00 750,00 2.250,00 6.000,00
7 6.600,00 1.500,00 600,00 2.100,00 4.500,00
8 4.950,00 1.500,00 450,00 1.950,00 3.000,00
9 3.300,00 1.500,00 300,00 1.800,00 1.500,00
10 1.650,00 1.500,00 150,00 1650,00 0,00
Totalizações 15.000,00 8.250,00 23.250,00
S. A. F.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual
0 15.000,00
1 16.500,00 941,18 1.500,00 2.441,18 14.058,82
2 15.464,70 1.035,30 1.405,88 2.441,18 13.023,52
3 14.325,87 1.138,83 1.302,35 2.441,18 11.884,69
4 13.073,16 1.252,71 1.188,47 2.441,18 10.631,98
5 11.695,18 1.377,98 1.063,20 2.441,18 9.254,00
6 10.179,40 1.515,78 925,40 2.441,18 7.738,22
7 8.512,04 1.667,36 773,82 2.441,18 6.070,86
8 6.677,95 1.834,096 607,09 2.441,18 4.236,77
9 4.660,45 2.017,50 423,68 2.441,18 2.219,27
10 2.441,19 2.219,25 221,93 2.441,18 0,00
Totalizações 15.000,00 9411,81 24.411,81
Como podemos constatar a partir da análise das planilhas, as prestações do S.A.C. são maiores do que
as do S.A.F no início do período, ficando menores no final. Evidentemente, existe um momento em
que ocorre a igualdade dos pagamentos. Podemos calcular este instante através do seguinte
raciocínio:
Sendo j = P. i. n (juros)
n
PA  (amortização)
Administração 196 Módulo III
R = A + j (prestação)
Então:
1..1 iP
n
PR 
De fato:
R1 = 1.10,0.15000
10
15000

R1 = $3000,00
Atentando para a planilha do S.A.C. notamos, a partir do 2º período, que as prestações apresentam
valores aritmeticamente decrescentes, daí podemos expor em termos matemáticos:
R2 = A + {j – [(1/n . P). i]}
n
niP
n
PR )1.(.{2 
De fato:
10
)110.(10,0.15000{
10
150002 R } = R2 = 2.850,00
Podemos generalizar esta fórmula da seguinte maneira:
n
kniP
n
PRk )1(.[.{  }
Onde: K = período de análise
Exemplo: Calcule a prestação do S.A.C. em relação ao 7º período.
Resolução:
10
)17(10.[10,0.15000{
10
150007 R
R7 = $2.100,00
ANOTAÇÕES:
Administração 197 Módulo III
	06 - Matemática Financeira.pdf
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