Unidade 2 - Parte 8

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 2: (Parte 8) 
 
2.8 Área de uma Superfície de Revolução 
A área de revolução consiste na rotação de um arco em torno de um eixo. 
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S 
obtida quando uma curva C, de equação 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], gira em torno do 
eixo dos x. 
 
Considerando que, o comprimento de arco é dado por: 
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]²
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
Vamos multiplicar esse comprimento pelo comprimento da circunferência que é 
2𝜋 𝑓(𝑥) e portanto, a área da superfície de revolução em torno do eixo dos x, será: 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]²
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
Observamos que, se considerarmos uma curva 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] gerando em 
torno do eixo dos y , a área será dada por: 
𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ 𝑔(𝑦)√1 + [𝑔
′(𝑥)]²
𝑑
𝑐
 𝑑𝑦 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
Exemplos: 
1) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos 
x, da curva dada por 𝑦 = 2√𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
 
𝑦′ = (2𝑥
1
2)
′
= 2.
1
2
 𝑥−
1
2 = 𝑥−
1
2 =
1
√𝑥
 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 2√𝑥 . √1 + (
1
√𝑥
) ²
2
1
 𝑑𝑥 
𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ √𝑥 . √
𝑥 + 1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 
𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ √𝑥 .
√𝑥 + 1
√𝑥
2
1
 𝑑𝑥 
𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ (𝑥 + 1)
1
2
2
1
 𝑑𝑥 
= 4𝜋 ∫ 𝑢 
1
2
2
1
 𝑑𝑢 
= 4𝜋 
𝑢
3
2
3
2
|
2
1
=
8𝜋
3
(𝑥 + 1)
3
2 |
2
1
=
8𝜋
3
 (3
3
2 − 2
3
2) =
8𝜋
3
(√3³ − √2³) 
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𝑆 =
8𝜋
3
(3√3 − 2√2) 𝑢. 𝑎 
2) O segmento de reta 𝑥 = 1 − 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 é girado em torno do eixo y gerando um 
cone. Determine sua área de superfície lateral. 
 
𝑥′ = −1 
𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ (1 − 𝑦). √1 + (−1)²
1
0
 𝑑𝑦 
𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ (1 − 𝑦). √2
1
0
 𝑑𝑦 
𝑆𝑦 = 2√2 𝜋 ∫ (1 − 𝑦)
1
0
𝑑𝑦 
𝑆𝑦 = 2√2 𝜋 (𝑦 −
𝑦²
2
) |
1
0
⇒ 𝑆𝑦 = 2√2𝜋 (
1
2
) ⇒ 𝑆𝑦 = √2𝜋 𝑢. 𝑎