Exercício 8: Calcule ∫∫ S rot ~F ·~n dS sendo ~F(x, y, z) = (xy2 + 2 , 2x + y3 , 2yz) e S a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 com z ≤ 0, orientada com ~n exterior.

Question

Ed · Answer

Para calcular a integral de superfície ∫∫ S rot F · n dS, onde F(x, y, z) = (xy^2 + 2, 2x + y^3, 2yz) e S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 com z ≤ 0, orientada com n exterior, podemos usar o Teorema de Stokes.

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de F é dado por:

rot F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)

Calculando as derivadas parciais, temos:

∂Fz/∂y = 2z
∂Fy/∂z = 2y
∂Fx/∂z = 0
∂Fz/∂x = 0
∂Fy/∂x = 2y^3
∂Fx/∂y = x^2

Portanto, o rotacional de F é:

rot F = (2z, 0, 2y^3 - x^2)

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de F e o vetor normal da superfície, rot F · n. O vetor normal da superfície é dado por n = (∂g/∂x, ∂g/∂y, ∂g/∂z), onde g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1.

Calculando as derivadas parciais de g, temos:

∂g/∂x = 2x
∂g/∂y = 2y
∂g/∂z = 2z

Portanto, o vetor normal da superfície é:

n = (2x, 2y, 2z)

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de F e o vetor normal da superfície:

rot F · n = (2z)(2x) + (0)(2y) + (2y^3 - x^2)(2z)
         = 4xz + 4yz^2 - 2xz^2

Agora, vamos calcular a integral de superfície:

∫∫ S rot F · n dS = ∫∫ S (4xz + 4yz^2 - 2xz^2) dS

Como a superfície S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 com z ≤ 0, podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície. Temos:

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ

O elemento de área dS em coordenadas esféricas é dado por dS = r^2 sinθ dθ dφ.

Substituindo as coordenadas esféricas e o elemento de área na integral, temos:

∫∫ S (4xz + 4yz^2 - 2xz^2) dS = ∫∫ S (4r^2 sinθ cosφ cosθ + 4r^2 sinθ sinφ cos^2θ - 2r^2 sinθ cosφ cos^2θ) r^2 sinθ dθ dφ

Simplificando a expressão, temos:

∫∫ S (4r^4 sin^2θ cosφ cosθ + 4r^4 sin^2θ sinφ cos^2θ - 2r^4 sin^2θ cosφ cos^2θ) dθ dφ

Agora, podemos integrar em relação a θ e φ. Os limites de integração para θ são de 0 a π/2, e os limites de integração para φ são de 0 a 2π.

Realizando as integrações, obtemos o valor da integral de superfície.

Exercício 8: Calcule ∫∫ S rot ~F ·~n dS sendo ~F(x, y, z) = (xy2 + 2 , 2x + y3 , 2yz) e S a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 com z ≤ 0, orientada c...

Cálculo III

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