Geometria Espacial - Medidas e Fórmulas

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Aula 06
Matemática p/ PM-SP (Soldado) - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Equipe Arthur Lima
MATEMÁTICA Pっ PMどSP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 06 – Noções de geometria (continuação) 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 10 
3. Questões apresentadas na aula 51 
4. Gabarito 68 
 
Nesta aula daremos continuidade ao estudo da Geometria, agora com foco 
na Geometria Espacial. Tenha uma boa aula e, em caso de dúvidas, não hesite em 
me procurar. 
 
1. TEORIA 
1.1 Medidas de volume 
 A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo 
símbolo 3m . Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e 
submúltiplos: 
Milímetro cúbico 
(mm3) 
Centímetro 
cúbico (cm3) 
Decímetro 
cúbico 
(dm3) 
Metro 
cúbico 
(m3) 
Decâmetro 
cúbico 
(dam3) 
Hectômetro 
cúbico (hm3) 
Quilômetro 
cúbico (km3) 
1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 
 
 Repare que, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e 
ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para obter a 
conversão correta. 
 Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade 
hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm3, 
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m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes 
em sequência: 
15cm3 / 1000 = 0,015dm3 
0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3 
0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3 
0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3 
 
 Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015 
hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros 
cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, 
portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o 
que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia 
de 15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhões de centímetros cúbicos). 
 Por fim, é importante você conhecer outra unidade muito utilizada: o litro. 
Sabendo que 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), você consegue descobrir 
outros valores facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 
litros = 1m3. 
 
1.2 Geometria espacial 
 A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões 
(altura, largura e profundidade). Em especial, você deve conhecer os poliedros, que 
são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, cada uma delas sendo um 
polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas 
principais figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, 
além de áreas e volumes que podem ser pedidos em sua prova. 
 
a) Paralelepípedo: no desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, 
largura L e comprimento C: 
 
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 Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os 
ângulos entre os segmentos de retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos 
de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas ao todo. Essas arestas 
se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui 
exatamente 8 vértices. 
 Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre 
quatro arestas, formando um plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao 
todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, que diz que, para 
qualquer poliedro convexo: 
Vértices + Faces = Arestas + 2 
 
 Neste paralelepípedo, temos: 
8 + 6 = 12 + 2 
 
 Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura 
tridimensional como esta. O volume de um paralelepípedo, e de várias outras 
figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e a 
altura (H): 
Volume = Ab x H 
 
 A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste 
caso, tanto a face superior quanto a face inferior poderiam ser consideradas 
“bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L. Portanto, a 
área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L 
 Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas 
três dimensões: 
H 
L C 
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V = C x L x H 
 
 No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem 
estar na mesma unidade de comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 
0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para depois efetuar a 
multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico). 
 Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste 
paralelepípedo. Ela nada mais é que a soma das áreas das faces. Todas as faces 
são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades possuem área igual a 
L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área 
igual a C x L. Se um exercício pedisse “qual a área de papel de presente que 
precisamos para embrulhar uma caixa de sapatos com dimensões C, H e L”, 
bastaria calcular esta área superficial. 
 
b) Cubo: o cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas têm a 
mesma medida. Isto é, C = L = H. Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A: 
 
 Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o 
paralelepípedo. O seu volume também é dado pela multiplicação da área da base 
pela altura, de modo que teremos: 
Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 
 
c) Cilindro: veja na figura abaixo um cilindro: 
A 
A 
A 
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 Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. 
Portanto, a área da base do cilindro é: 
2Ab R 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V Ab H  
 
 A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser 
contada duas vezes, afinal temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a 
área lateral. 
 Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, 
temos o seguinte: 
 
 O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da 
circunferência da base, isto é, 2C R . 
 Assim, a área lateral do cilindro é: 
2lateralA HxC Hx R  
R 
H 
R 
H H 
C 
R 
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 A área total do cilindro será simplesmente: 
Área total = 2 x Abase + Alateral 
 
d) Cone: O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém 
com uma ponta na outra extremidade. Veja um exemplo: 
 
 Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R: 
2Ab R 
 Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é: 
3
Ab HV  
 Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples 
multiplicação da área da base pela altura – foi preciso dividir esse produto por 3. 
Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e o prisma (que 
veremos a seguir). 
 No cone, chamamos de geratriz osegmento de reta que liga a ponta até a 
extremidade da base. Veja-a marcada pela letra “G” na figura acima. 
 Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo 
retângulo. Portanto, fica fácil calcular a geratriz com auxílio do teorema de 
Pitágoras: 
G2 = R2 + H2 
 Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: 
R 
 H G 
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 Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. 
O comprimento deste setor circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual 
ao comprimento da circunferência da base, isto é, 2C R . Assim, podemos 
calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção: 
 
Área do círculo de raio G ---------------- Comprimento do círculo de raio G 
Área do setor circular --------------------- Comprimento do setor circular 
 
Isto é, 
 
  G2 ----------------------------------- 2 G 
Área lateral do cone --------------------------2 R 
 
 Portanto, podemos dizer que: 
Área lateral do cone =  xGxR 
 
e) Pirâmide: 
 Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular: 
R 
G 
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 Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 
3
Ab HV  
 Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em 
detalhes aqui. 
 Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces 
laterais, que são triângulos. 
Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas 
das faces laterais. 
 
f) Prisma: 
 Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com 
base retangular: 
 
 Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é 
facilmente calculada. Além disso, você já sabe calcular a área da base de cada um 
L 
H 
L L 
C 
H 
L 
C 
H 
L 
L 
H 
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deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um prisma – mas 
não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na 
extremidade inferior e superior das figuras. 
 O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V = Ab x H 
 
g) Esfera: a esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se 
encontram à distância R de um ponto central C: 
 
 O volume de uma esfera de raio igual a R é: 
V = 4 R3/3 
 A área da superfície da esfera é: 
A = 4 R2 
C 
R 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
Vejamos uma série de exercícios de geometria espacial para você praticar 
bastante. 
 
 
 
1. QUADRIX – CRP14/MS – 2012) Comprei três frascos de shampoo, cada um com 
500ml, pelo preço total de R$21,90. Se eu tivesse comprado 2,5 litros, quanto eu 
deveria pagar? 
a) R$ 33,30 
b) R$ 36,50 
c) R$ 39,90 
d) R$ 42,10 
e) R$ 45,00 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que 3 frascos de 500ml correspondem a 3 x 500 = 1500ml = 1,5 litro. 
Podemos montar a regra de três: 
1,5 litro ------------- 21,90 reais 
2,5 litros ---------- P reais 
 
1,5 x P = 2,5 x 21,90 
1,5P = 54,75 
P = 36,50 reais 
Resposta: B 
 
2. FUNCAB – CODATA – 2013) Uma obra de aterro consumiu 14 mil metros 
cúbicos de brita que foram transportadas em caminhões basculantes com volume 
interno de 8 metros cúbicos. O número mínimo de caminhões basculantes utilizados 
foi: 
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A) 1 250 
B) 1 480 
C) 1 550 
D) 1 675 
E) 1 750 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
8 metros cúbicos -------------- 1 caminhão 
14.000 metros cúbicos --- N caminhões 
 
8N = 14.000 x 1 
N = 14.000 / 8 
N = 1.750 caminhões 
Resposta: E 
 
3. ESAF – SUSEP – 2010) Um aquário em forma de cubo possui capacidade para 
abrigar 20 peixinhos coloridos por metro cúbico. Sabendo-se que uma diagonal de 
face desse aquário mede 10 metros, então o volume do aquário, em metros cúbicos 
(m3), e o número aproximado de peixinhos que podem ser abrigados neste aquário 
são, respectivamente, iguais a: 
a) 250 2 m³ ; 250 800 peixes 
b) 250 2 m³ ; 500 2 peixes 
c) 50 2 m³ ; 250 800 peixes 
d) 50 20 m³ ; 250 800 peixes 
e) 50 20 m³ ; 250 400 peixes 
RESOLUÇÃO: 
 Cada face de um cubo é um quadrado de lado L, e portanto a diagonal de 
cada face é a diagonal de um quadrado de lado L, isto é, 
Diagonal = L x 2 
10 = L x 2 
L = 10 / 2 
 
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 O volume deste cubo é: 
V = L3 
V = (10 / 2 )3 
V = 1000 / 2 2 
V = 500 / 2 
V = 500 x 2 / 2 
V = 250 2 m3 
 
 Como podemos ter 20 peixes por m3, então ao todo podemos ter: 
Peixes = 20 x (250 2 ) = 5000 2 peixes 
 
 Observe que: 
5000 2 = 
250 x 2 x 10 2 = 
250 x 4 x 100 x 2 = 
250 x 4 100 2  = 
250 x 800 peixes 
RESPOSTA: A 
 
4. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Considere um cubo C no qual a área de cada 
face mede 4 cm2. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que 
une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C 
mede, em centímetros: 
a) 2 3 . 
b) 2 2 . 
c) 4 2 . 
d) 3 3 . 
e) 3 2 . 
RESOLUÇÃO: 
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 Cada face do cubo é um quadrado de lado L. Assim, como a área da face é 
4, então cada lado mede L = 2cm. Veja na figura abaixo o cubo e sua diagonal (em 
vermelho): 
 
 
 Para calcular a diagonal, repare no triângulo retângulo ABC: 
 
 
 O segmento AB é a diagonal de uma face deste cubo, portanto ela mede 
2 2 2L  . O segmento BC mede 2, pois é um lado do cubo. Assim, a diagonal 
AC pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras: 
AC2 = AB2 + BC2 
AC2 = ( 2 2 )2 + 22 
AC = 2 3 
RESPOSTA: A 
 
5. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Se o volume de um cone de altura h e 
diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro 
da base 2d é: 
a) 2V. 
b) 4V. 
c) ヾV. 
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d) 2V2. 
e) V3. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que o volume do cone é dado por: 
V = (1/3) x Área da base x Altura 
 
 Assim, para o cone original tínhamos: 
V = (1/3) x ヾ.(d/2)2 x h 
V = (1/12) x ヾ.d2 x h 
 
 Para o cone cujo diâmetro da base é 2d, temos: 
Volume = (1/3) x ヾ.(2d/2)2 x h 
Volume = (1/12) x ヾ.4d2 x h 
Volume = 4 x (1/12) x ヾ.d2 x h 
 
 Lembrando que V = (1/12) x ヾ.d2 x h, então: 
Volume = 4 x V 
RESPOSTA: B 
 
6. CONSULPLAN – AVAPE – ARAÇATUBA/SP – 2013) O número de arestas dos 
poliedros convexos A, com 4 vértices e 4 faces; B, com 8 vértices e 6 faces; e C, 
com 12 vértices e 8 faces, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão r. O valor de r, tal que r א R, é 
A) 2. 
B) 4. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de arestas pode ser obtido pela relação abaixo:V + F = A + 2 
 
O poliedro convexo A tem 4 vértices e 4 faces, logo: 
4 + 4 = A + 2 
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A = 6 arestas 
 
B tem 8 vértices e 6 faces, logo: 
8 + 6 = A + 2 
A = 12 arestas 
 
C tem 12 vértices e 8 faces, portanto: 
12 + 8 = A + 2 
A = 18 arestas 
 
Os números 6, 12, 18 formam uma PA de razão r = 6. 
RESPOSTA: C 
 
7. CONSULPLAN – PREF. BARRA VELHA/SC – 2012) Uma torneira A despeja 18 
litros em 15 segundos, e uma torneira B despeja 25 litros em 24 segundos. A 
diferença de vazão entre essas duas torneiras é 
A) 9,5 litros/minuto. 
B) 8,2 litros/minuto. 
C) 8,9 litros/minuto. 
D) 8,5 litros/minuto. 
E) 9,2 litros/minuto. 
RESOLUÇÃO: 
 Dividindo 18 litros por 15 segundos, vemos que a vazão da torneira A é de 
18/15 = 1,2 litros por segundo. 
 Dividindo 24 litros por 24 segundos, vemos que a vazão da torneira B é de 
25/24 = 1,042 litros por segundo (aproximadamente). 
 Assim, em um segundo a diferença de vazão é de 1,2 – 1,042 = 0,158 litros. 
Em um minuto (60 segundos), essa diferença é de 60 x 0,158 = 9,48 litros 
(aproximadamente o resultado da alternativa A). 
RESPOSTA: A 
 
 
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8. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008 – adaptada) Uma torneira mal fechada 
goteja cem vezes a cada 5 minutos. Admitindo-se que todas as gotas têm a 
capacidade de 3ml, a quantidade de água que vaza por hora é: 
 a) menor que 1 litro. 
 b) maior que 1 litro. 
 c) igual a 1 litro. 
 d) maior que 10 litros. 
 e) igual a 10 litros. 
RESOLUÇÃO: 
 Em 5 minutos temos 100 gotas de 3ml cada, totalizando um volume de 100 x 
3 = 300ml. Em 1 hora temos 60 minutos, que correspondem a 60 / 5 = 12 intervalos 
de 5 minutos. Portanto, neste período o vazamento é de 12 x 300 = 3600ml = 3,6 
litros. 
Resposta: B 
 
9. CONSULPLAN – SDS/SC – 2008) A uma caixa d’água de forma cúbica com 1 
metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de 
comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-
se a água pelo cano até que fique cheio. Qual é o valor aproximado da altura, em 
cm, da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? 
 a) 90 
 b) 92 
 c) 94 
 d) 96 
 e) 98 
RESOLUÇÃO: 
 A caixa cúbica tem volume: 
Volume caixa = 13 = 1m3 
 
 O cano é um cilindro cuja base tem diâmetro d = 4cm, ou seja, raio R = 2cm = 
0,02m; e altura H = 50m. Portanto, seu volume é: 
Volume cano =  R2 x H =  .0,022 x 50 = 0,02 
 
 Usando a aproximação  = 3,14, podemos dizer que: 
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Volume cano = 0,02 x 3,14 = 0,062m3 
 
 Portanto, para encher o cano foi preciso tirar 0,0,062m3 de água da caixa, 
que ficou com apenas 1 – 0,062 = 0,938m3 de água. 
 Como a caixa é um cubo, a sua base é um quadrado cujo lado mede 1 metro. 
Assim, a área da base da caixa é 1 x 1 = 1m2. Para que a água tenha volume de 
0,938m3, a altura desta água precisa ser: 
Volume da água = área da base x altura 
0,938 = 1 x altura 
Altura = 0,938m = 93,8cm 
(aproximadamente 94cm) 
Resposta: C 
 
10. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Uma caixa em forma de 
paralelepípedo apresenta volume igual a 1,8dm3 e altura igual a 6cm. Qual das 
alternativas a seguir pode representar as possíveis dimensões da base dessa 
caixa? 
A) 18cm e 10cm 
B) 20cm e 15cm 
C) 22cm e 12cm 
D) 16cm e 14cm 
E) 25cm e 16cm 
RESOLUÇÃO: 
 1,8dm3 corresponde a 1800cm3. Assim, o volume do paralelepípedo deve ser 
este. Lembrando que: 
Volume do paralelepípedo = altura x largura x comprimento 
1800 = 6 x largura x comprimento 
largura x comprimento = 1800 / 6 
largura x comprimento = 300 
 
 Portanto, devemos ter uma base cuja multiplicação da largura pelo 
comprimento tenha resultado 300. Analisando as alternativas, vemos que na 
alternativa B isto ocorre, pois 20 x 15 = 300. 
Resposta: B 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
 
11. CONSULPLAN – PREF. ITAPIRA – 2011) Um aquário tem formato cúbico, cuja 
soma das arestas é igual a 1200cm. Sabendo-se que o aquário contém 80% de sua 
capacidade preenchida com água, quantos litros de água há no aquário? 
A) 960 litros. 
B) 800 litros. 
C) 820 litros. 
D) 860 litros. 
E) 740 litros. 
RESOLUÇÃO: 
 Um cubo tem um total de 12 arestas. Como a soma das arestas é 1200cm, 
cada aresta mede 1200 / 12 = 100cm. O seu volume total é: 
V = 1003 = 1.000.000 cm3 
 
 Lembrando que 1dm3 = 1 litro, podemos converter este volume para dm3 e 
então obtê-lo em litros: 
V = 1.000.000 / 1000 = 1.000 dm3 = 1.000 litros 
 
 Como 80% contém água, então a água tem o volume de: 
Volume de água = 80% x 1000 
Volume de água = 0,80 x 1000 
Volume de água = 800 litros 
Resposta: B 
 
12. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Qual das desigualdades 
a seguir é verdadeira? 
A) 0,2m3 < 200.000ml 
B) 10dm2 > 0,2m2 
C) 35cm < 340mm 
D) 22cm3 > 0,23dm3 
E) 15mm2 > 0,13cm2 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos avaliar cada alternativa, convertendo o primeiro valor para a mesma 
unidade do segundo valor, para então poder comparar. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
A) 0,2m3 < 200.000ml  0,2m3 = 0,2 x 1000 litros = 200 litros = 200.000ml. A 
desigualdade está incorreta, pois 0,2m3 é igual a 200.000ml, e não menor. 
 
B) 10dm2 > 0,2m2  10dm2 = 10 / 100 m2 = 0,1m2 < 0,2m2  desigualdade 
incorreta. 
 
C) 35cm < 340mm  35cm = 35 x 10 mm = 350mm > 340mm  incorreto. 
 
D) 22cm3 > 0,23dm3  22cm3 = 22 / 1000 dm3 = 0,022dm3 < 0,23dm3  Incorreto. 
 
E) 15mm2 > 0,13cm2  15mm2 = 15 / 100 cm2 = 0,15cm2 > 0,13cm2  correto. 
Resposta: E 
 
13. CONSULPLAN – PREF. LONDRINA – 2011) Um paralelepípedo tem como 
comprimento, largura e altura as raízes quadradas de 21cm, 14cm e 6cm, 
respectivamente. O volume desse paralelepípedo é igual a: 
A) 36cm3 
B) 42cm3 
C) 38cm3 
D) 54cm3 
E) 48cm3 
RESOLUÇÃO: 
 O volume deste paralelepípedo é: 
Volume = comprimento x largura x altura 
Volume = raiz(21) x raiz(14) x raiz(6) 
Volume = raiz(1764) 
Volume = 42cm3 
Resposta: B 
 
14. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir representa um bloco retangular com 
320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. Será retirado desse 
bloco um bloco menor, também retangular, com 80 cm de comprimento, 30 cm de 
largura e 15 cm de altura. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, a razão entre o volume retirado e o 
volume total do bloco é igual a 
(A) 1/5 
(B) 1/10 
(C) 1/15 
(D) 1/20 
(E) 1/40 
RESOLUÇÃO: 
 O volume total é: 
Vtotal = 320x60x75 cm3 
 
 O volume retirado é: 
Vretirado = 80x30x15 cm3 
 
 A razão é: 
Vretirado / Vtotal = (80x30x15)/(320x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x15)/(4x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x1)/(4x60x5) 
Vretirado / Vtotal = (1x1x1)/(4x2x5) 
Vretirado / Vtotal = 1/40 
RESPOSTA: E 
 
15. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir mostra um cubo de aresta a = 3 cm, 
no qual foram colocados, no centro de todas as faces, novos cubos com arestasmedindo 1 cm. Este processo pode ser continuado, ou seja, em uma segunda 
iteração, pode-se colocar, no centro das faces dos novos cubos, outros cubinhos 
com aresta igual a 1/3 da aresta anterior, e assim sucessivamente. 
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De acordo com o raciocínio apresentado, o volume do sólido, em cm3, obtido após a 
segunda iteração é igual a: 
(A) 299/9 
(B) 301/9 
(C) 307/9 
(D) 309/9 
(E) 316/9 
RESOLUÇÃO: 
 O volume do primeiro cubo é V = 33 = 27cm3. O volume de cada um dos 6 
cubos menores obtidos na primeira iteração V = 13 = 1 cm3, totalizando 6x1 = 6cm3. 
O volume de cada um dos cubos com aresta medindo 1/3 é igual a: 
V = (1/3)3 = 1/27 cm3 
 
 Veja que teremos um total de 30 cubinhos com aresta 1/3, pois em cada um 
dos cubos com aresta igual a 1 nós conseguimos fixar 5 desses cubinhos menores 
(um no centro de cada face exposta). Ao todo temos o volume 30 x (1/27)cm3. 
 
 Somando todos os volumes: 
27 + 6 + 30x(1/27) = 
33 + 30/27 = 
33 + 10/9 = 
297/9 + 10/9 = 
307/9 cm3 
RESPOSTA: C 
 
16. UFG – UEAP – 2014) Um fabricante de cereais utiliza embalagens na forma de 
um prisma reto, de altura 13 cm, cuja base é um octógono regular que pode ser 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
inscrito numa circunferência de raio 7 cm. De acordo com essas informações, o 
volume dessa embalagem, em cm³, é: 
: 2 1, 4Use  
(A) 137,2 
(B) 960,4 
(C) 1783,6 
(D) 3567,2 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a base do prisma, que é um octógono inscrito em uma circunferência de 
raio 7cm: 
 
 
 Note que esse octógono é formado por 8 triângulos como o que eu tracei em 
vermelho. Como uma volta completa é 360 graus, dividindo por 8 temos 360/8 = 45o. 
Este é o ângulo do vértice central de cada triângulo, como coloquei na figura. Assim, 
a área de cada triângulo é: 
1 2 ( )
2
lado lado senÁrea   
7 7 (45 )
2
osenÁrea   
27 7 2
2
Área
 
 
1,47 7 2
2
Área
 
 
7 7 0,7
2
Área   
17,15Área  cm2 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
 A área do octógono é 8 x 17,15 = 137,2. Multiplicando essa área da base do 
prisma pela sua altura (13), temos o volume: 
V = 13 x 137,2 = 1783,6 cm³ 
RESPOSTA: C 
 
17. UFG – UEAP – 2014) A embalagem das amostras grátis de certo medicamento 
tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo. A embalagem desse mesmo 
medicamento vendida ao público mantém o mesmo formato e a mesma altura da 
amostra grátis, mas cada uma das dimensões da base são 10% maiores. Nessas 
condições, o volume da caixa do medicamento vendido ao público excede, em 
porcentagem, o volume das caixas das amostras grátis em 
(A) 0,21 
(B) 1,21 
(C) 12,1 
(D) 21,0 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de C, L, A o comprimento, largura e altura da caixa de 
amostra grátis. Assim, seu volume é: 
Vamostra = C x L x A 
 
 Para aumentar cada medida em 10%, basta multiplicar por (1+10%), ou seja, 
por 1,10. Deste modo, a caixa normal tem comprimento 1,10C e largura 1,10L. 
Somente a altura permanece sendo A. O seu volume é: 
Vvenda = 1,10C x 1,10L x A 
Vvenda = 1,21 x C x L x A 
Vvenda = 1,21 x Vamostra 
Vvenda = (1 + 0,21) x Vamostra 
Vvenda = (1 + 21%) x Vamostra 
 
 Portanto, veja que o volume vendido é 21% maior que o volume da amostra. 
RESPOSTA: D 
 
18. UFG – UEAP – 2014) A figura a seguir foi construída empilhando-se cubos com 
2 cm de lado. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
 
Nestas condições, o volume da figura, em cm³, é igual a 
(A) 96 
(B) 72 
(C) 48 
(D) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Tente reproduzir mentalmente a montagem da figura acima, empilhando 
cubinhos de 2cm de lado cada. Note que, no sentido da altura, temos uma altura 
máxima de 4 cubinhos (repare nos pontinhos usados para fazer a marcação). Esta é 
a pilha mais alta. Temos outra pilha com 3 cubinhos (a segunda mais alta), 2 pilhas 
com 2 cubinhos cada, e mais 1 cubinho isolado à esquerda. Ao todo são 4 + 3 + 2x2 
+ 1 = 12 cubinhos. Como o volume de cada um deles é V = 23 = 8cm3, o volume 
total é 12x8 = 96cm3. 
RESPOSTA: A 
 
19. UFG – IF/GO – 2014) Um sabonete tem a forma de um paralelepípedo reto 
retângulo com dimensões 10 cm x 5 cm x 4 cm. Considere que esse sabonete perca 
2% do seu volume cada vez que é usado para banho. Nessas condições, a 
quantidade de banhos necessários para reduzir o sabonete à metade do seu volume 
inicial é: 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 40 
(D) 50 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヵ 
 Sendo V o volume inicial do sabonete, ao chegar a metade de seu volume 
teremos apenas 50%xV. Sabemos que o sabonete perde 2%xV a cada banho. 
Portanto, chamando de “n” o número de banhos necessários para reduzir o 
sabonete à sua metade, temos: 
Metade do volume = Volume inicial – n x Volume perdido a cada banho 
50%V = V – nx2%V 
0,5 = 1 – n x 0,02 
n x 0,02 = 1 – 0,5 
n = 0,5 / 0,02 
n = 25 
RESPOSTA: B 
 
20. VUNESP – TCE/SP – 2015) Procurando encontrar o tom exato da cor solicitada 
pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas, A, B e C. Usou certa lata 
como medida e misturou, em um balde, 3
5
 de lata de tinta A, 2
3
 de lata de tinta B e 
4
3
 de lata de tinta C. Da mistura preparada, reservou uma quantidade equivalente a 
duas latas (medida) completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar 
uma área de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de 
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura permite 
pintar uma área igual, em m², a 
(A) 12,5. 
(B) 11,8. 
(C) 11,4. 
(D) 10,8. 
(E) 10,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L a capacidade da lata usada como medida, podemos dizer que a 
mistura total teve volume: 
Volume total = 3L/5 + 2L/3 + 4L/3 
Volume total = 3L/5 + 6L/3 
Volume total = 3L/5 + 2L 
Volume total = 3L/5 + 10L/5 
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Volume total = 13L/5 
 
 Tirando 2 latas, ou seja, 2L, sobra: 
13L/5 – 2L = 
13L/5 – 10L/5 = 
3L/5 
 Essa sobra foi capaz de pintar 6,3 metros quadrados. Assim, podemos obter 
a área pintada com 1 lata (ou 1L) em uma regra de três simples: 
3L/5 ————— 6,3 metros quadrados 
L —————— A metros quadrados 
(3L/5) x A = L x 6,3 
(3/5) x A = 1 x 6,3 
(3/5) x A = 6,3 
A = 6,3 x 5 / 3 
A = 10,5 metros quadrados 
RESPOSTA: E 
 
21. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando as notações: 
dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m = metro; h = hora, min = 
minuto, L = litro, mL = mililitro, kg = quilograma, mg = miligrama, assinale a 
alternativa correta. 
a) 35,6 dm = 35.600 mm 
b) 5,75 km = 57.500 m 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min 
d) 450 mL = 4,5 L 
e) 3.750 mg = 3,75 g 
RESOLUÇÃO: 
 Façamos as conversões: 
a) 35,6 dm = 356cm = 3560mm (e não 35.600 mm) 
b) 5,75 km = 57,5hm = 575dam = 5750m (e não 57.500 m) 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 5h e 82min = 6h e 22 min (e não 6 h e 12 min) 
d) 450 mL = 45cL = 4,5dL = 0,45L (e não 4,5 L) 
e) 3.750 mg = 375cg = 37,5dg = 3,75 g (CORRETO) 
RESPOSTA:E 
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22. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) Uma fita retangular de 2 cm de largura 
foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192 ヾ 
cm3 de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo 
abaixo. 
 
A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm2, igual a 
(A) 8 ヾ 
(B) 12 ヾ 
(C) 16 ヾ 
(D) 24 ヾ 
(E) 32 ヾ 
RESOLUÇÃO: 
 O volume da lata é: 
Volume = área da base x altura 
192 ヾ = área da base x 12 
192 ヾ = ヾ.R2 x 12 
192 = R2 x 12 
16 = R2 
R = 4 cm 
 
 Assim, o comprimento da fita é igual ao comprimento da circunferência da 
lata, cujo raio é R = 4cm: 
Comprimento = 2. ヾ.R 
Comprimento = 2. ヾ.4 
Comprimento = 8 ヾ cm 
 
 Veja que se estendermos a fita, ela será um retângulo de comprimento 8 ヾ 
cm e largura igual a 2cm. Assim, sua área é: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
Área da fita = largura x comprimento 
Área da fita = 2 x 8 ヾ 
Área da fita = 16 ヾ cm2 
RESPOSTA: C 
 
23. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Sabe-se que a base circular de um tanque 
cilíndrico possui raio igual a 3 metros. Esse tanque foi colocado dentro de um 
tanque esférico, cujo raio é igual a 5 metros. O volume máximo, em metros cúbicos, 
que o tanque cilíndrico pode ter é 
(A) 90  
(B) 72  
(C) 54  
(D) 45  
(E) 36  
RESOLUÇÃO: 
 Observe a figura abaixo. Ela mostra um corte lateral da esfera com um 
cilindro dentro, sendo o cilindro maior possível, tanto que ele toca as paredes da 
esfera: 
 
 
 O segmento CA tem o mesmo comprimento do raio da base do cilindro, ou 
seja, CA = 3m. Já o segmento CB tem o mesmo comprimento do raio da esfera, 
pois ele vai do centro da esfera até a sua parede. Assim, CB = 5m. Portanto, pelo 
teorema de pitágoras: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
CB2 = CA2 + AB2 
52 = 32 + AB2 
25 = 9 + AB2 
16 = AB2 
AB = 4m 
 
 O segmento AB representa a metade da altura do cilindro. Portanto, o cilindro 
tem 8 metros de altura e 3 metros de raio da base. O seu volume é: 
V = altura x área da base 
V = 8 x  x32 
V = 8 x  x9 
V = 72 m3 
RESPOSTA: B 
 
24. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Uma loja vende reservatórios de água em 
três tamanhos: pequeno, médio e grande. A capacidade do reservatório médio 
corresponde a 4
5
 da capacidade do reservatório grande. A capacidade do 
reservatório pequeno, por sua vez, corresponde a 1
2
 da capacidade do reservatório 
grande. 
A capacidade do reservatório pequeno corresponde a que fração da capacidade do 
reservatório médio? 
a) 3
10
 
b) 2
5
 
c) 5
8
 
d) 13
20
 
e) 9
10
 
RESOLUÇÃO: 
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 Chamando de P, M e G as capacidades dos reservatórios pequeno, médio e 
grande, respectivamente, podemos escrever: 
M = (4/5) x G 
P = (1/2) x G 
 
 Nesta última equação podemos escrever: 
2P = G 
 
 Substituindo na primeira equação podemos encontrar uma relação entre P e 
M: 
M = (4/5) x G 
M = (4/5) x 2P 
M = (8/5) x P 
M x (5/8) = P 
 
 Portanto o reservatório pequeno corresponde a 5/8 do reservatório médio. 
RESPOSTA: C 
 
25. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) A densidade volumétrica de um objeto é 
definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-se que dois cubos 
sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, sendo que um deles tem as 
arestas medindo 10 cm, o outro tem as arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo 
menor é igual a 750 gramas. 
 
A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
(C) 6,0 
(D) 3,0 
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(E) 1,5 
RESOLUÇÃO: 
 O volume de um cubo cujo lado mede L é: 
V = L3 
 
 O volume de cada cubo é: 
Volume menor = 103 = 1000cm3 
Volume maior = 203 = 8000cm3 
 
 Repare que o volume do cubo maior é 8 vezes maior do que o volume do 
cubo menor. Portanto, a massa do cubo maior será oito vezes superior, ou seja, 
Massa do cubo maior = 8 x 750 = 6000g = 6kg 
RESPOSTA: C 
 
26. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) Para montar um cubo, dispõe-se de 
uma folha de cartolina retangular, de 30 cm de comprimento e 20 cm de largura. As 
faces do cubo, uma vez recortadas, serão unidas com fita adesiva. Qual é, em 
centímetros, a medida máxima da aresta desse cubo? 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que podemos cortar 6 quadrados com 10cm de lado cada um: 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
 
 Cada quadrado será uma das 6 faces do cubo, cujas arestas vão medir 
10cm. 
RESPOSTA: D 
 
27. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe o retângulo. 
 
As medidas dos lados a, b e c, em cm, são expressas por x2 + 2x – 1, x + 1 e 3x + 1, 
nessa ordem. Sabendo-se que a medida do lado a é igual à soma das medidas dos 
lados b e c, então, o volume do retângulo, em cm3, é 
A) 60. 
B) 72. 
C) 180. 
D) 420. 
E) 560. 
RESOLUÇÃO: 
 Como a = b + c, então: 
x2 + 2x – 1 = x + 1 + 3x + 1 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
x2 – 2x – 3 = 0 
2( 2) ( 2) 4.1.( 3)
2.1
x
     
 
2 4 1 2
2
x    
x = 3 ou x = -1 
 
 Como os lados devem ser todos positivos, é preciso usar x = 3. Assim, 
temos: 
a = 32 + 2.3 – 1 = 14 
b = 3 + 1 = 4 
c = 3.3 + 1 = 10 
 
 O volume é: 
V = a x b x c 
V = 14 x 4 x 10 = 560cm3 
RESPOSTA: E 
 
28. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe a planificação 
dos cilindros A e B nas figuras, com medidas dadas em centímetros. 
 
A razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A é 
A) 1/10. 
B) 1/2. 
C) 2. 
D) 5. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base e sua altura. 
Assim, 
3
2 5 5( . ).
3 3
X XVa X   
2 3 35 25 50. .6 .6
3 9 3
X X XVb X      
 
 
 
 Repare que: 
3510 10
3
XVb Va
 
  
 
 
10Vb
Va
 
RESPOSTA: E 
 
29. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava organizando um evento e 
calculou que seriam necessários 150 copos, de 200 mL, de suco. No mercado, 
havia duas marcas diferentes do mesmo suco, sendo que uma era vendida, em lata 
de 350 mL, por R$ 3,85 e outra, em garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o 
suco da marca mais barata e gastou 
(A) R$ 307,00. 
(B) R$ 330,00. 
(C) R$ 326,00. 
(D) R$ 315,00. 
(E) R$ 300,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos calcular o preço de um litro de cada suco usando regras de três 
simples: 
 
- suco em lata: 
0,350 litro -------------- 3,85 reais 
1 litro --------------------- P 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴンヵ 
P x 0,350 = 1 x 3,85 
P = 11 reais 
 
- suco em garrafa: 
2 litros -------------- 21 reais 
1 litro --------------------- P 
 
P x 2 = 1 x 21 
P = 10,50 reais 
 
 Portanto, o suco mais barato é aquele em garrafa. O volume necessário é de 
150 copos de 200mL, ou seja, de 0,2 litros, totalizando: 
Volume = 150 x 0,2 = 30 litros 
 
 Como 1 litro custa 10,50 reais, então 30 litros custam 30 x 10,50 = 315 reais. 
RESPOSTA: D 
 
30. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Uma garrafa de vidro tem a forma de 
dois cilindros sobrepostos, ambos com 8 cm de altura e bases com raios R e r, 
conforme mostra a figura. 
 
O volume de água, quando seu nível atinge 6 cm de altura, é igual a 96  cm3. 
Quando totalmente cheio, o volume da água é igual a 178  cm3. Desse modo, é 
correto afirmar que R e r medem, em centímetros, respectivamente, 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
a) 4,0 e 2,0. 
b) 4,0 e 2,5. 
c) 5,0 e 3,0. 
d) 6,25 e 4,0. 
e) 6,25 e 4,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe o cilindro com raio da base igual a R e altura igual a 6cm. O seu 
volume é de 96  cm3, ou seja, 
2 6Volume R  
296 6R   
296 6R  
216 R 
4R cm 
 
 O volume total é a soma do volume dos dois cilindros, ou seja, 
Volume total = Volume do cilindro pequeno + Volume do cilindro grande 
2 2178 8 8r R      
2 2178 8 4 8r       
2178 8 128r     
2178 128 8r     
250 8r   
250 8r  
26,25 r 
2,5r cm 
RESPOSTA: B 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
31. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Uma piscina com 5 metros de comprimento, 2 
metros de largura e 1 metro de altura possui uma capacidade total de 
armazenamento de água, em litros, equivalente a: 
A) 500 
B) 1.000 
C) 2.000 
D) 5.000 
E) 10.000 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que esta piscina corresponde a um paralelepípedo, cujo volume é 
dado pela multiplicação de suas dimensões: 
V = 5 x 2 x 1 = 10m3 
 
 Para converter para litros, basta lembrar que 1 litro = 1 dm3. Portanto, 
10m3 = 10.000dm3 = 10.000 litros 
Resposta: E 
 
32. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Em uma marmoraria, o preço da bancada de 
granito para pia de cozinha é proporcional ao peso da peça. Sabe-se que uma peça 
de granito de 1,6m de comprimento, 0,5m de largura e 3cm de espessura custa 
R$1200,00. Então, uma outra peça do mesmo granito com 2,0m de comprimento, 
0,6m de largura e 2cm de espessura custará: 
A) R$1200,00 
B) R$1280,00 
C) R$1350,00 
D) R$1440,00 
E) R$1500,00 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que as bancadas são, simplesmente, paralelepípedos. O volume é 
dado pela multiplicação entre largura, altura e comprimento, ou seja: 
 
Volume da primeira bancada = 1,6 x 0,5 x 0,03 = 0,024m3 
Volume da segunda bancada = 2 x 0,6 x 0,02 = 0,024m3 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
 Como ambas as bancadas têm o mesmo volume, é de se supor que elas 
possuem o mesmo peso. E como o preço é proporcional ao peso, então ambas 
devem possuir também o mesmo preço: 1200 reais. 
Resposta: A 
 
33. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Um cubo de prata maciça com 4cm de aresta 
vale hoje R$1600,00 no mercado de metais. Então um cubo de prata maciça com 
5cm de aresta valerá: 
A) R$2000,00 
B) R$2500,00 
C) R$2875,00 
D) R$3125,00 
E) R$3465,00 
RESOLUÇÃO: 
 O volume de um cubo cuja aresta mede “a” é V = a3. Portanto, o cubo cuja 
aresta mede a = 4cm tem o volume V = 43 = 64cm3. Já o cubo cuja aresta mede a = 
5cm tem o volume V = 53 = 125cm3. 
 É de se supor que, quanto maior o volume do cubo de prata, maior será o 
seu valor. Portanto, temos a regra de três: 
64cm3 ------------------- 1600 reais 
125cm3 ---------------- X reais 
 
64X = 125 x 1600 
X = 3125 reais 
Resposta: D 
 
34. IBFC – Pref. João Pessoa – 2012) O volume de um objeto, em forma de 
paralelepípedo de base ABCD, é de 60000cm3, sendo que a altura do 
paralelepípedo mede 50 cm. A área da base ABCD desse paralelepípedo, em cm2, 
é equivalente a: 
a) 1200 
b) 1500 
c) 2000 
d) 2400 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que: 
Volume = Área da base x Altura 
60000 = Área da base x 50 
Área da base = 1200cm2 
Resposta: A 
 
35. IBFC – ABDI – 2008) Um bloco sólido de alumínio no formato de um 
paralelepípedo reto de arestas 16 cm; 4 cm e 19 cm é levado a um processo de 
fusão. Com o alumínio líquido obtido, são moldados dois blocos sólidos: um cubo de 
aresta igual a x cm e outro paralelepípedo reto de dimensões iguais a 50 cm; 2 cm e 
10 cm. Nestas condições, o valor de x é: 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 10 cm 
d) 8 cm 
RESOLUÇÃO: 
 O volume do bloco original é: 
V = 16 x 4 x 19 = 1216cm3 
 
 Este volume será dividido em dois: um cubo e outro paralelepípedo. O 
volume do paralelepípedo formado é: 
V = 50 x 2 x 10 = 1000cm3 
 
 Portanto, o volume do cubo é: 
V = 1216 – 1000 = 216cm3 
 
 Para obter este volume, é preciso de um cubo com aresta “x” tal que: 
216 = x3 
x = 6cm 
Resposta: B 
 
36. IBFC – MPE/SP – 2011) João construiu uma piscina em sua casa com 1,5m de 
profundidade. O formado da piscina era em L, onde todos os lados menores 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ 
mediam 3m. Quando encheu completamente a piscina pela primeira vez, observou 
que utilizou: 
a) 27000 litros de água 
b) 36000 litros de água 
c) 39500 litros de água 
d) 40500 litros de água 
RESOLUÇÃO: 
 Se a piscina é um L com lados menores medindo 3m, temos o seguinte 
desenho: 
 
 
 Repare que os lados maiores desta figura devem medir 3 + 3 = 6m. Para 
calcular a área desta piscina, podemos separar em um retângulo e um quadrado: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヱ 
 A área do retângulo é 3 x 6 = 18m2, e a área do quadrado é 32 = 9m2, 
totalizando 27m2 para a piscina. Como ela tem 1,5m de profundidade, o seu volume 
é: 
V = 1,5 x 27 = 40,5m3 = 40500 litros 
Resposta: D 
 
37. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
 
No modelo acima, estão representadas três caixas iguais (paralelepípedos reto-
retângulos), de dimensões a, a e h. Se o conjunto ocupa 162 cm3, qual é, em cm2, a 
área total de cada caixa? 
 a) 54 
 b) 72 
 c) 90 
 d) 108 
 e) 144 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo desenho, veja que h = 2a: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ 
 
 O volume de cada caixa é dado pela multiplicação a x a x h. Assim, como o 
volume das 3 caixas é 162cm3: 
V = 3 x a x a x h 
162 = 3a2h 
a2h = 54 
 Lembrando que h = 2a, temos: 
a2 x 2a = 54 
a3 = 27 
a = 3 
h = 2a = 6 
 
 A área de cada caixa é a soma das áreas de 4 faces retangulares com 
comprimento h e altura a, e 2 faces quadradas com lados medindo a. Isto é, 
Área total = 2 x área do quadrado + 4 x área do retângulo 
Área total = 2a2 + 4ah 
Área total = 2 x 32 + 4 x 3 x 6 
Área total = 90cm2 
Resposta: C 
 
38. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Os tablets são aparelhos eletrônicos 
portáteis, maiores que um celular e menoresque um netbook, ideais para a leitura 
de livros e jornais. Um dos primeiros tablets lançados no mercado americano tem a 
forma aproximada de um paralelepípedo reto-retângulo de 26,4 cm de comprimento, 
18,3 cm de largura e 1 cm de espessura. Qual é, em cm3 , o volume aproximado 
desse aparelho? 
 a) 274,20 
 b) 483,12 
 c) 795,16 
 d) 1.248,24 
 e) 1.932,48 
RESOLUÇÃO: 
 O volume é dado pela multiplicação da altura, largura e comprimento do 
paralelepípedo: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン 
V = 1 x 18,3 x 26,4 = 483,12cm3 
Resposta: B 
 
39. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2012) 
 
A figura mostra um cone e um cilindro que possuem alturas iguais a 60 cm e bases 
circulares com o mesmo raio. O cone está completamente cheio de água e o cilindro 
está vazio, apoiado sobre uma mesa horizontal. Despejando-se toda a água contida 
no cone dentro do cilindro, o nível de água no cilindro ficará a uma altura, contado a 
partir de sua base inferior, igual a 
 a) 45 cm 
 b) 30 cm 
 c) 20 cm 
 d) 15 cm 
 e) 10 cm 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Ab a área da base do cone. Assim, o volume de água contida no cone é: 
1 1 60 20
3 3
V Ab h Ab Ab     
 
 Ao transferir esta água para o cilindro, ela ocupará o mesmo volume. Como o 
cilindro tem a mesma área da base Ab, então: 
V = Ab x h 
20Ab = Ab x h 
h = 20 cm 
Resposta: C 
 
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40. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Uma torta de chocolate foi dividida em 
12 fatias iguais, das quais foram consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto 
de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, em cm3, o volume correspondente às 
fatias que sobraram? 
 a) 450ヾ 
 b) 900ヾ 
 c) 1.350ヾ 
 d) 1.800ヾ 
 e) 3.600ヾ 
RESOLUÇÃO: 
 A área da base do cilindro (isto é, da torta) é: 
2 2
2 30 225
2 2
dÁrea r            
   
 
 
 Portanto, o volume do cilindro é: 
225 6 1350V Área altura       
 
 Este volume total corresponde às 12 fatias. Como sobraram 8 fatias, o 
volume restante é: 
12 fatias -------------------------- 1350 
8 fatias --------------------------- X 
 
X = 81350 900
12
   
Resposta: B 
 
41. FGV – PGM/RJ – 2004) O volume, em m³ ,da caixa d’água representada na 
figura é de: 
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A) 5,28 
B) 4,71 
C) 3,82 
D) 3,00 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um cilindro com altura h = 1,5m e diâmetro da base d = 2m. Portanto, 
o raio da base é r = 1m. 
 A área da base, que é um círculo, é: 
2 21Ab r    
 Usando a aproximação 3,14  , temos: 
2 23,14 1 3,14Ab m   
 Multiplicando a área da base pela altura, temos o volume do cilindro: 
V = Ab x h = 3,14 x 1,5 = 4,71m3 
Resposta: B 
 
42. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico? 
(A) 103 
(B) 1 
(C) 10−3 
(D) 10−6 
(E) 10−9 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui devemos começar nos lembrando que 1 litro equivale a 1 decímetro 
cúbico: 
1 litro -------------------------- 1dm3 
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 Sabemos também que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml). Fazendo 
essa substituição na relação acima, temos: 
1000ml -------------------------- 1dm3 
 
 Por outro lado, 1dm3 equivale a 1000cm3, que equivale a 1.000.000mm3. 
Fazendo essa substituição na relação acima, temos: 
1000ml -------------------------- 1000000mm3 
 
ou melhor, 
103ml ---------------------106mm3 
 
 Igualando essas duas grandezas, temos: 
103ml = 106mm3 
 
 Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir ambos os 
lados da equação acima por 106. Veja: 
3 6 3
3 6
3
6 6
3 3
10 10
10 10
10 10
10 1
ml mm
ml mm
ml mm



 
 
 Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml. 
Resposta: C 
 
43. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3 
de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão 
constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para 
que a caixa fique cheia é de: 
a) 2 horas 
b) 2 horas e 20 minutos 
c) 2 horas e 40 minutos 
d) 3 horas 
e) 3 horas e 30 minutos 
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RESOLUÇÃO: 
 Veja que o volume da caixa está em metros cúbicos, enquanto a vazão 
(quantidade de água que jorra da torneira por minuto) está em litros. Devemos 
trabalhar com apenas 1 unidade. Neste caso, vamos transformar 2,4m3 em litros. 
Veja: 
1m3------------------------------------------1000 litros 
2,4m3-------------------------------------------X litros 
1 2,4 1000
2400
X
X litros
  

 
 Agora sim, observe que a torneira é capaz de encher 15 litros em 1 minuto. 
Para calcular o tempo que ela leva para encher 2400 litros, usamos a regra de três 
abaixo: 
15 litros ---------------------------------------- 1 minuto 
2400 litros ------------------------------------ T minutos 
15 2400 1
2400 160min.
15
T
T
  
 
 
 Portanto, a torneira leva 160 minutos para encher a caixa. Entretanto, as 
respostas estão em horas e minutos. Sabemos que 60 minutos correspondem a 1 
hora, 120 minutos a 2 horas, e 180 minutos a 3 horas. Portanto, temos 2 horas e 
mais 40 minutos (letra C). 
Resposta: C. 
 
44. FGV – CODESP/SP – 2010) Um contêiner tipo Dry Box 40 pés tem medidas 
internas aproximadas de 12,03m x 2,28m x 2,34m e suporta uma carga máxima de 
26527kg. Há uma carga com grande quantidade de caixas rígidas, que podem ser 
empilhadas, com dimensões externas de 1,70m x 0,70m x 1,10m e pesando 650kg 
cada uma. O número máximo dessas caixas que podem ser colocadas em um 
contêiner tipo Dry Box 40 pés, atendendo a suas especificações de carga, é: 
a) 39 
b) 38 
c) 40 
d) 42 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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e) 41 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos um desenho do contêiner e de uma caixa: 
 
 
 
 Veja que, no sentido do comprimento (maior dimensão) do contêiner, cabem 
7 caixas, pois 7 x 1,70 = 11,9m. Sobram, portanto, 0,13m não ocupados. 
 No sentido da largura do contêiner (2,28m) cabem 3 vezes a largura da 
caixa(0,70 x 3 = 2,10), sobrando 0,18m. Mas veja que, ao invés disso, cabem 
também 2 vezes a altura da caixa (1,10 x 2 = 2,20), sobrando apenas 0,08m não 
ocupados. Vamos dar preferência para este segundo arranjo, pois nele sobra menos 
espaço vazio. Portanto, estamos colocando as caixas nessa posição: 
 
 Desta forma, no sentido da altura do contêiner (2,34m) cabem 3 caixas (pois 
3x0,70m = 2,10m), sobrando 0,24m. 
 Veja que, até aqui, foi possível empilhar 7 caixas no sentido do comprimento, 
por 2 caixas no sentido da largura, por 3 caixas no sentido da altura do contêiner. 
Ao todo, temos 7 x 2 x 3 = 42 caixas. 
ヲがンヴ 
ヲがヲΒ 
ヱヲがヰン 
ヱがヱヰ 
ヰがΑヰ ヱがΑヰ 
ヰがΑヰ 
ヱがヱヰ ヱがΑヰ 
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 Como cada caixa pesa 650kg, essas 42 caixas pesam 650x42 = 27300kg. 
Isso é mais do que o contêiner suporta (26527kg). Devemos, portanto, tirar algumas 
caixaspara evitar sobrecarregar o contêiner. 
 Tirando uma caixa, o peso total passa a ser 27300 – 650 = 26650kg, que 
ainda é superior ao valor suportado pelo contêiner. Tirando mais uma caixa, temos o 
peso de 26000kg, que é suportado pelo contêiner. Portanto, foi preciso tirar 2 das 42 
caixas, restando 40 caixas no contêiner. Este é o número máximo de caixas que 
podemos empilhar. 
Resposta: C 
 Obs.: veja que aqui estávamos diante de uma restrição de volume (quantas 
caixas cabiam no espaço interno do contêiner) e de uma restrição de peso (qual o 
peso máximo suportado pelo contêiner). Neste caso, é sempre preciso verificar se 
as duas restrições estão sendo respeitadas. Na resolução do exercício, 
primeiramente analisamos a restrição volumétrica e, a seguir, verificamos a restrição 
de peso. Você poderia calcular, de início, a restrição de peso, dividindo o peso 
máximo suportado (26527kg) pelo peso de cada caixa (650kg), encontrando 40,81 
caixas. Arredondando para baixo, temos que o número máximo de caixas suportado 
é de 40. Com isso você já eliminaria as alternativas D e E. 
 
45. FUNDATEC – FISCAL TAPEJARA/RS – 2011) Um galão de tinta de 3,6 litros é 
suficiente para pintar 45m2 de uma parede. Quantos litros de tinta vou gastar para 
pintar as quatro paredes de uma sala com 7m de largura, 8m de comprimento e 3m 
de altura? 
A) 3,6 litros 
B) 5 litros 
C) 7,2 litros 
D) 3 litros 
E) 6 litros 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 4 paredes na sala. Todas elas são retângulos com 3 metros de altura 
(que é a altura da sala). O que varia é o comprimento de cada retângulo: dois deles 
tem 8m de comprimento, nas laterais da sala, e outros dois tem 7 metros de 
comprimento, nos lados menores. 
 A soma das áreas é: 
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Área total = 2.(Área da parede menor) + 2.(Área da parede maior) 
Área total = 2.(7 x 3) + 2.(8 x 3) 
Área total = 90m2 
 
 Sabendo que 3,6 litros pintam 45m2, que é metade do total que precisa ser 
pintado (90m2), então ao todo será necessário o dobro de tinta, isto é, 7,2 litros. 
Para confirmar, veja a regra de três abaixo: 
 
3,6 litros ------------- 45m2 
X litros ---------------- 90m2 
 
X = 7,2 litros 
Resposta: C 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos no próximo encontro. 
Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
Instagram: @ProfArthurLima 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
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1. QUADRIX – CRP14/MS – 2012) Comprei três frascos de shampoo, cada um com 
500ml, pelo preço total de R$21,90. Se eu tivesse comprado 2,5 litros, quanto eu 
deveria pagar? 
a) R$ 33,30 
b) R$ 36,50 
c) R$ 39,90 
d) R$ 42,10 
e) R$ 45,00 
 
2. FUNCAB – CODATA – 2013) Uma obra de aterro consumiu 14 mil metros 
cúbicos de brita que foram transportadas em caminhões basculantes com volume 
interno de 8 metros cúbicos. O número mínimo de caminhões basculantes utilizados 
foi: 
A) 1 250 
B) 1 480 
C) 1 550 
D) 1 675 
E) 1 750 
 
3. ESAF – SUSEP – 2010) Um aquário em forma de cubo possui capacidade para 
abrigar 20 peixinhos coloridos por metro cúbico. Sabendo-se que uma diagonal de 
face desse aquário mede 10 metros, então o volume do aquário, em metros cúbicos 
(m3), e o número aproximado de peixinhos que podem ser abrigados neste aquário 
são, respectivamente, iguais a: 
a) 250 2 m³ ; 250 800 peixes 
b) 250 2 m³ ; 500 2 peixes 
c) 50 2 m³ ; 250 800 peixes 
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d) 50 20 m³ ; 250 800 peixes 
e) 50 20 m³ ; 250 400 peixes 
 
4. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Considere um cubo C no qual a área de cada 
face mede 4 cm2. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que 
une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C 
mede, em centímetros: 
a) 2 3 . 
b) 2 2 . 
c) 4 2 . 
d) 3 3 . 
e) 3 2 . 
 
5. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Se o volume de um cone de altura h e 
diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro 
da base 2d é: 
a) 2V. 
b) 4V. 
c) ヾV. 
d) 2V2. 
e) V3. 
 
6. CONSULPLAN – AVAPE – ARAÇATUBA/SP – 2013) O número de arestas dos 
poliedros convexos A, com 4 vértices e 4 faces; B, com 8 vértices e 6 faces; e C, 
com 12 vértices e 8 faces, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão r. O valor de r, tal que r א R, é 
A) 2. 
B) 4. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
 
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7. CONSULPLAN – PREF. BARRA VELHA/SC – 2012) Uma torneira A despeja 18 
litros em 15 segundos, e uma torneira B despeja 25 litros em 24 segundos. A 
diferença de vazão entre essas duas torneiras é 
A) 9,5 litros/minuto. 
B) 8,2 litros/minuto. 
C) 8,9 litros/minuto. 
D) 8,5 litros/minuto. 
E) 9,2 litros/minuto. 
 
8. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008 – adaptada) Uma torneira mal fechada 
goteja cem vezes a cada 5 minutos. Admitindo-se que todas as gotas têm a 
capacidade de 3ml, a quantidade de água que vaza por hora é: 
 a) menor que 1 litro. 
 b) maior que 1 litro. 
 c) igual a 1 litro. 
 d) maior que 10 litros. 
 e) igual a 10 litros. 
 
9. CONSULPLAN – SDS/SC – 2008) A uma caixa d’água de forma cúbica com 1 
metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de 
comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-
se a água pelo cano até que fique cheio. Qual é o valor aproximado da altura, em 
cm, da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? 
 a) 90 
 b) 92 
 c) 94 
 d) 96 
 e) 98 
 
10. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Uma caixa em forma de 
paralelepípedo apresenta volume igual a 1,8dm3 e altura igual a 6cm. Qual das 
alternativas a seguir pode representar as possíveis dimensões da base dessa 
caixa? 
A) 18cm e 10cm 
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B) 20cm e 15cm 
C) 22cm e 12cm 
D) 16cm e 14cm 
E) 25cm e 16cm 
 
 
11. CONSULPLAN – PREF. ITAPIRA – 2011) Um aquário tem formato cúbico, cuja 
soma das arestas é igual a 1200cm. Sabendo-se que o aquário contém 80% de sua 
capacidade preenchida com água, quantos litros de água há no aquário? 
A) 960 litros. 
B) 800 litros. 
C) 820 litros. 
D) 860 litros. 
E) 740 litros. 
 
12. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Qual das desigualdades 
a seguir é verdadeira? 
A) 0,2m3 < 200.000ml 
B) 10dm2 > 0,2m2 
C) 35cm < 340mm 
D) 22cm3 > 0,23dm3 
E) 15mm2 > 0,13cm2 
 
13. CONSULPLAN – PREF. LONDRINA – 2011) Um paralelepípedo tem como 
comprimento, largura e altura as raízes quadradas de 21cm, 14cm e 6cm, 
respectivamente. O volume desse paralelepípedo é igual a: 
A) 36cm3 
B) 42cm3 
C) 38cm3 
D) 54cm3 
E) 48cm3 
 
14. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir representa um bloco retangular com 
320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. Será retirado desse 
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bloco um bloco menor, também retangular, com 80 cm de comprimento, 30 cm de 
largura e 15 cm de altura. 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, a razão entre o volume retiradoe o 
volume total do bloco é igual a 
(A) 1/5 
(B) 1/10 
(C) 1/15 
(D) 1/20 
(E) 1/40 
 
15. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir mostra um cubo de aresta a = 3 cm, 
no qual foram colocados, no centro de todas as faces, novos cubos com arestas 
medindo 1 cm. Este processo pode ser continuado, ou seja, em uma segunda 
iteração, pode-se colocar, no centro das faces dos novos cubos, outros cubinhos 
com aresta igual a 1/3 da aresta anterior, e assim sucessivamente. 
 
De acordo com o raciocínio apresentado, o volume do sólido, em cm3, obtido após a 
segunda iteração é igual a: 
(A) 299/9 
(B) 301/9 
(C) 307/9 
(D) 309/9 
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(E) 316/9 
 
16. UFG – UEAP – 2014) Um fabricante de cereais utiliza embalagens na forma de 
um prisma reto, de altura 13 cm, cuja base é um octógono regular que pode ser 
inscrito numa circunferência de raio 7 cm. De acordo com essas informações, o 
volume dessa embalagem, em cm³, é: 
: 2 1, 4Use  
(A) 137,2 
(B) 960,4 
(C) 1783,6 
(D) 3567,2 
 
17. UFG – UEAP – 2014) A embalagem das amostras grátis de certo medicamento 
tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo. A embalagem desse mesmo 
medicamento vendida ao público mantém o mesmo formato e a mesma altura da 
amostra grátis, mas cada uma das dimensões da base são 10% maiores. Nessas 
condições, o volume da caixa do medicamento vendido ao público excede, em 
porcentagem, o volume das caixas das amostras grátis em 
(A) 0,21 
(B) 1,21 
(C) 12,1 
(D) 21,0 
 
18. UFG – UEAP – 2014) A figura a seguir foi construída empilhando-se cubos com 
2 cm de lado. 
 
Nestas condições, o volume da figura, em cm³, é igual a 
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(A) 96 
(B) 72 
(C) 48 
(D) 24 
 
19. UFG – IF/GO – 2014) Um sabonete tem a forma de um paralelepípedo reto 
retângulo com dimensões 10 cm x 5 cm x 4 cm. Considere que esse sabonete perca 
2% do seu volume cada vez que é usado para banho. Nessas condições, a 
quantidade de banhos necessários para reduzir o sabonete à metade do seu volume 
inicial é: 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 40 
(D) 50 
 
20. VUNESP – TCE/SP – 2015) Procurando encontrar o tom exato da cor solicitada 
pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas, A, B e C. Usou certa lata 
como medida e misturou, em um balde, 3
5
 de lata de tinta A, 2
3
 de lata de tinta B e 
4
3
 de lata de tinta C. Da mistura preparada, reservou uma quantidade equivalente a 
duas latas (medida) completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar 
uma área de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de 
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura permite 
pintar uma área igual, em m², a 
(A) 12,5. 
(B) 11,8. 
(C) 11,4. 
(D) 10,8. 
(E) 10,5. 
 
21. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando as notações: 
dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m = metro; h = hora, min = 
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minuto, L = litro, mL = mililitro, kg = quilograma, mg = miligrama, assinale a 
alternativa correta. 
a) 35,6 dm = 35.600 mm 
b) 5,75 km = 57.500 m 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min 
d) 450 mL = 4,5 L 
e) 3.750 mg = 3,75 g 
 
22. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) Uma fita retangular de 2 cm de largura 
foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192 ヾ 
cm3 de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo 
abaixo. 
 
A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm2, igual a 
(A) 8 ヾ 
(B) 12 ヾ 
(C) 16 ヾ 
(D) 24 ヾ 
(E) 32 ヾ 
 
23. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Sabe-se que a base circular de um tanque 
cilíndrico possui raio igual a 3 metros. Esse tanque foi colocado dentro de um 
tanque esférico, cujo raio é igual a 5 metros. O volume máximo, em metros cúbicos, 
que o tanque cilíndrico pode ter é 
(A) 90  
(B) 72  
(C) 54  
(D) 45  
(E) 36  
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24. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Uma loja vende reservatórios de água em 
três tamanhos: pequeno, médio e grande. A capacidade do reservatório médio 
corresponde a 4
5
 da capacidade do reservatório grande. A capacidade do 
reservatório pequeno, por sua vez, corresponde a 1
2
 da capacidade do reservatório 
grande. 
A capacidade do reservatório pequeno corresponde a que fração da capacidade do 
reservatório médio? 
a) 3
10
 
b) 2
5
 
c) 5
8
 
d) 13
20
 
e) 9
10
 
 
25. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) A densidade volumétrica de um objeto é 
definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-se que dois cubos 
sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, sendo que um deles tem as 
arestas medindo 10 cm, o outro tem as arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo 
menor é igual a 750 gramas. 
 
A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
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(C) 6,0 
(D) 3,0 
(E) 1,5 
 
26. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) Para montar um cubo, dispõe-se de 
uma folha de cartolina retangular, de 30 cm de comprimento e 20 cm de largura. As 
faces do cubo, uma vez recortadas, serão unidas com fita adesiva. Qual é, em 
centímetros, a medida máxima da aresta desse cubo? 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
27. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe o retângulo. 
 
As medidas dos lados a, b e c, em cm, são expressas por x2 + 2x – 1, x + 1 e 3x + 1, 
nessa ordem. Sabendo-se que a medida do lado a é igual à soma das medidas dos 
lados b e c, então, o volume do retângulo, em cm3, é 
A) 60. 
B) 72. 
C) 180. 
D) 420. 
E) 560. 
 
28. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe a planificação 
dos cilindros A e B nas figuras, com medidas dadas em centímetros. 
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A razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A é 
A) 1/10. 
B) 1/2. 
C) 2. 
D) 5. 
E) 10. 
 
29. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava organizando um evento e 
calculou que seriam necessários 150 copos, de 200 mL, de suco. No mercado, 
havia duas marcas diferentes do mesmo suco, sendo que uma era vendida, em lata 
de 350 mL, por R$ 3,85 e outra, em garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o 
suco da marca mais barata e gastou 
(A) R$ 307,00. 
(B) R$ 330,00. 
(C) R$ 326,00. 
(D) R$ 315,00. 
(E) R$ 300,00. 
 
30. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Uma garrafa de vidro tem a forma de 
dois cilindros sobrepostos, ambos com 8 cm de altura e bases com raios R e r, 
conforme mostra a figura. 
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O volume de água, quando seu nível atinge 6 cm de altura, é igual a 96  cm3. 
Quando totalmente cheio, o volume da água é igual a 178  cm3. Desse modo, é 
correto afirmar que R e r medem, em centímetros, respectivamente,a) 4,0 e 2,0. 
b) 4,0 e 2,5. 
c) 5,0 e 3,0. 
d) 6,25 e 4,0. 
e) 6,25 e 4,5. 
 
31. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Uma piscina com 5 metros de comprimento, 2 
metros de largura e 1 metro de altura possui uma capacidade total de 
armazenamento de água, em litros, equivalente a: 
A) 500 
B) 1.000 
C) 2.000 
D) 5.000 
E) 10.000 
 
32. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Em uma marmoraria, o preço da bancada de 
granito para pia de cozinha é proporcional ao peso da peça. Sabe-se que uma peça 
de granito de 1,6m de comprimento, 0,5m de largura e 3cm de espessura custa 
R$1200,00. Então, uma outra peça do mesmo granito com 2,0m de comprimento, 
0,6m de largura e 2cm de espessura custará: 
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A) R$1200,00 
B) R$1280,00 
C) R$1350,00 
D) R$1440,00 
E) R$1500,00 
 
33. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Um cubo de prata maciça com 4cm de aresta 
vale hoje R$1600,00 no mercado de metais. Então um cubo de prata maciça com 
5cm de aresta valerá: 
A) R$2000,00 
B) R$2500,00 
C) R$2875,00 
D) R$3125,00 
E) R$3465,00 
 
34. IBFC – Pref. João Pessoa – 2012) O volume de um objeto, em forma de 
paralelepípedo de base ABCD, é de 60000cm3, sendo que a altura do 
paralelepípedo mede 50 cm. A área da base ABCD desse paralelepípedo, em cm2, 
é equivalente a: 
a) 1200 
b) 1500 
c) 2000 
d) 2400 
 
35. IBFC – ABDI – 2008) Um bloco sólido de alumínio no formato de um 
paralelepípedo reto de arestas 16 cm; 4 cm e 19 cm é levado a um processo de 
fusão. Com o alumínio líquido obtido, são moldados dois blocos sólidos: um cubo de 
aresta igual a x cm e outro paralelepípedo reto de dimensões iguais a 50 cm; 2 cm e 
10 cm. Nestas condições, o valor de x é: 
a) 5 cm 
b) 6 cm 
c) 10 cm 
d) 8 cm 
 
MATEMÁTICA Pっ PMどSP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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36. IBFC – MPE/SP – 2011) João construiu uma piscina em sua casa com 1,5m de 
profundidade. O formado da piscina era em L, onde todos os lados menores 
mediam 3m. Quando encheu completamente a piscina pela primeira vez, observou 
que utilizou: 
a) 27000 litros de água 
b) 36000 litros de água 
c) 39500 litros de água 
d) 40500 litros de água 
 
37. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
 
No modelo acima, estão representadas três caixas iguais (paralelepípedos reto-
retângulos), de dimensões a, a e h. Se o conjunto ocupa 162 cm3, qual é, em cm2, a 
área total de cada caixa? 
 a) 54 
 b) 72 
 c) 90 
 d) 108 
 e) 144 
 
38. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Os tablets são aparelhos eletrônicos 
portáteis, maiores que um celular e menores que um netbook, ideais para a leitura 
de livros e jornais. Um dos primeiros tablets lançados no mercado americano tem a 
forma aproximada de um paralelepípedo reto-retângulo de 26,4 cm de comprimento, 
18,3 cm de largura e 1 cm de espessura. Qual é, em cm3 , o volume aproximado 
desse aparelho? 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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 a) 274,20 
 b) 483,12 
 c) 795,16 
 d) 1.248,24 
 e) 1.932,48 
 
39. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2012) 
 
A figura mostra um cone e um cilindro que possuem alturas iguais a 60 cm e bases 
circulares com o mesmo raio. O cone está completamente cheio de água e o cilindro 
está vazio, apoiado sobre uma mesa horizontal. Despejando-se toda a água contida 
no cone dentro do cilindro, o nível de água no cilindro ficará a uma altura, contado a 
partir de sua base inferior, igual a 
 a) 45 cm 
 b) 30 cm 
 c) 20 cm 
 d) 15 cm 
 e) 10 cm 
 
40. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Uma torta de chocolate foi dividida em 
12 fatias iguais, das quais foram consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto 
de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, em cm3, o volume correspondente às 
fatias que sobraram? 
 a) 450ヾ 
 b) 900ヾ 
 c) 1.350ヾ 
 d) 1.800ヾ 
 e) 3.600ヾ 
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41. FGV – PGM/RJ – 2004) O volume, em m³ ,da caixa d’água representada na 
figura é de: 
 
A) 5,28 
B) 4,71 
C) 3,82 
D) 3,00 
 
42. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico? 
(A) 103 
(B) 1 
(C) 10−3 
(D) 10−6 
(E) 10−9 
 
43. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3 
de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão 
constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para 
que a caixa fique cheia é de: 
a) 2 horas 
b) 2 horas e 20 minutos 
c) 2 horas e 40 minutos 
d) 3 horas 
e) 3 horas e 30 minutos 
 
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44. FGV – CODESP/SP – 2010) Um contêiner tipo Dry Box 40 pés tem medidas 
internas aproximadas de 12,03m x 2,28m x 2,34m e suporta uma carga máxima de 
26527kg. Há uma carga com grande quantidade de caixas rígidas, que podem ser 
empilhadas, com dimensões externas de 1,70m x 0,70m x 1,10m e pesando 650kg 
cada uma. O número máximo dessas caixas que podem ser colocadas em um 
contêiner tipo Dry Box 40 pés, atendendo a suas especificações de carga, é: 
a) 39 
b) 38 
c) 40 
d) 42 
e) 41 
 
45. FUNDATEC – FISCAL TAPEJARA/RS – 2011) Um galão de tinta de 3,6 litros é 
suficiente para pintar 45m2 de uma parede. Quantos litros de tinta vou gastar para 
pintar as quatro paredes de uma sala com 7m de largura, 8m de comprimento e 3m 
de altura? 
A) 3,6 litros 
B) 5 litros 
C) 7,2 litros 
D) 3 litros 
E) 6 litros 
 
 
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