MECANICA DOS FLUIDOS APLICADA MODULO 1 EAD UNIP CONTEUDO

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MÓDULO 1 – Equação da Quantidade de Movimento 
 
A equação da quantidade de movimento é a 2ª Lei de Newton da dinâmica 
modificada funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. Segundo essa Lei 
a aceleração de uma massa implica a existência de uma força resultante sobre ela 
que tem, em cada instante, a direção e o sentido da aceleração. Acelerar uma massa 
significa modificar sua velocidade em modulo e/ou direção, e por essa observação, 
que a velocidade de um fluido seja modificada em módulo ou direção, será necessário 
aplicar uma força provocada por algum agente externo, em geral uma superfície sólida 
em contato com o escoamento (Brunetti). 
Considerando a 2ª Lei de Netown da dinâmica: 
�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 
(1) 
A equação (1) é estabelecida para um sistema que tem, po definição, massa 
constante, logo: 
�⃗� =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚�⃗�) 
(2) 
 Como (𝑚�⃗�) é por definição a quantidade de movimento do sistema, então, 
pode-se dizer que a força resultante que age no sistema, é igual a variação com o 
tempo, da quantidade de movimento. 
 A Figura 1 mostra que a variação da quantidade de movimento deve ser 
entendida como a variação entre as seções (1) e (2) (Brunetti). 
 
 
Figura 1 – Apresentação da quantidade de movimento entre as seções (1) e (2) (Brunetti) 
 
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 Considerando as informações acerca do teorema da quantidade de movimento, 
a força resultante que age no fluido entre as seções (1) e (2) será: 
�⃗� =
𝑑𝑚2�⃗�2
𝑑𝑡
−
𝑑𝑚1�⃗�1
𝑑𝑡
 
(3) 
 Tal que: 
�⃗� = 𝑄𝑚2�⃗�2 − 𝑄𝑚1�⃗�1 (4) 
 
Levando em consideração o regime de escoamento ser permanente, ou seja, 
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2=𝑄𝑚 então a eq (4) é modificada como segue. 
�⃗� = 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) (5) 
 
A próxima etapa do estudo é a análise das forças componentes da força 
resultante �⃗� (Figura 2) (Brunetti). A superfície lateral o fluido está sujeito a ação das 
pressões e também das tensões de cisalhamento devido ao movimento do fluido em 
contato com um determinado 
meio. Tanto as pressões quanto 
as tensões de cisalhamento 
podem variar de um ponto para 
outro da superfície lateral. A 
resultante das pressões pode 
ser obtida adotando-se em cada 
ponto uma normal dirigida para 
fora, conforme a convenção 
adotada. 
Figura 2 – Análise das forças componentes da força 
resultante �⃗� (Brunetti). 
 
A resultante em cada elemento 𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 no entorno de um ponto da superfície 
lateral é apresentada pela eq (6). 
𝑑�⃗�𝑠 = −𝑃𝑙𝑎𝑡 �⃗⃗�𝑙𝑎𝑡𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + 𝜏𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 (6) 
Dessa forma a força resultante das pressões e tensões de cisalhamento na 
superfície lateral é representada pela eq (7). 
�⃗�𝑠 = ∫ −𝑃𝑙𝑎𝑡 �⃗⃗�𝑙𝑎𝑡𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 + ∫ 𝜏𝑑𝐴𝑙𝑎𝑡 
(7) 
 
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 A força resultante �⃗� que 
age no fluido entre (1) e (2) será a 
soma das componentes 
representada pela Figura 3 
(Brunetti). 
 
 
 
Figura 3 – Análise da força resultante �⃗� (Brunetti). 
 
Dessa forma, 
�⃗� = �⃗�𝑠
′ + (−𝑃1𝐴1�⃗⃗�1) + (−𝑃2𝐴2�⃗⃗�2) + �⃗� (8) 
 
Igualando-se as equações (5) e (8): 
�⃗�𝑠
′ − 𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 − 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + �⃗� = 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) (9) 
 
Reorganizando: 
 
�⃗�𝑠
′ = 𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1) − �⃗� (10) 
 
O interesse pela equação corresponde aos casos em que o fluido está em 
contato com uma superfície sólida (�⃗�𝑠 ), na superfície lateral entre (1) e (2), nessas 
condições a força �⃗�𝑠
′ representa a resultante das forças de contato da superfície sólida 
contra o fluido. Na prática: �⃗�𝑠 = −�⃗�𝑠
′, logo: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] + �⃗� (11) 
 
Para a facilidade dos cálculos não será utilizado o peso do fluido G, entretanto 
é necessário ressaltar aqui que nem sempre esse termo pode ser considerado 
desprezível e, nas aplicações práticas, deverá, as vezes, ser calculado. 
Um caso típico de utilização da equação da quantidade de movimento que se 
pode apresentar é a determinação da força do jato d’água de um injetor de uma turbina 
Pelton sobre a pá da turbina. As Figuras 4 e 5 apresentam o esquema de uma turbina 
Pelton, do injetor e da pá da turbina. Esse tipo de turbina é utilizado em inúmeras 
 
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usinas hidroelétricas brasileiras. Pode-se verificar, por essa figura, que o jato que sai 
do injetor atinge a pá e o seu movimento segue o caminho do perfil da peça. 
 
Figura 4 – Imagem das pás de uma turbina pelton (http://www.kelvin.it/img/galleriafoto/galleria-
equilibratura-turbina-pelton.htm ) 
 
 
Figura 5 – Imagem que simula o funcionamento das pás de uma turbina pelton ao receber 
água (http://www.ansys.com/ ) 
 
 
 
 
 
http://www.kelvin.it/img/galleriafoto/galleria-equilibratura-turbina-pelton.htm
http://www.kelvin.it/img/galleriafoto/galleria-equilibratura-turbina-pelton.htm
http://www.ansys.com/
 
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EXEMPLOs 
 
Exemplo 1 – Conduto com redução gradual de seção – Determinar a equação da força 
que o fluido exerce sobre o conduto nas direções x e y. 
 
Resolução 
A resolução será apresentada considerando-se o fluido incompressível, 
propriedades uniformes nas seções e regime permanente de escoamento. Para o 
trecho (1)-(2) podemos escrever a equação da força que o fluido exerce no conduto 
(eq. 11), como segue: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção x 
(Fsx) será: 
𝐹𝑠𝑥 = −[𝑃1𝐴1(−1) + 𝑃2𝐴2(+1) + 𝑄𝑚(𝑣2 − 𝑣1)] 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 + 𝑄𝑚(𝑣1 − 𝑣2) 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 + 𝜌𝑄(𝑣1 − 𝑣2) 
 
A projeção da componente da força na direção y (Fsy) será nula porque não 
temos componentes na direção y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 – A grande maioria das aplicações da quantidade de movimento dos fluidos 
está associada a escoamentos permanentes do fluido de trabalho, isto é, que não 
variam com o tempo, com o compressor, o ventilador e a bomba e os respectivos 
sistemas funcionando em regime estável, sem oscilações temporais significativas das 
características operacionais. Considerando uma aplicação de um conduto com 
redução de seção e 
direção, determine o 
esforço vertical e horizontal 
do fluido e a força 
resultante que o fluido 
exerce sobre a superfície 
com redução de seção e 
mudança de direção. 
 
Resolução 
A resolução será apresentada considerando-se o fluido incompressível, propriedades 
uniformes nas seções e regime permanente de escoamento. Da mesma forma como 
resolvemos o trecho (1)-(2) no exemplo anterior, podemos escrever a equação da 
força que o fluido exerce no conduto (eq. 11), como segue: 
�⃗�𝑠 = −[𝑃1𝐴1�⃗⃗�1 + 𝑃2𝐴2�⃗⃗�2 + 𝑄𝑚(�⃗�2 − �⃗�1)] 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção x 
(Fsx) será: 
𝐹𝑠𝑥 = −[𝑃1𝐴1(−1) + 𝑃2𝐴2(cos 𝜃) + 𝑄𝑚(𝑣2 cos 𝜃 − 𝑣1)] 
𝐹𝑠𝑥 = 𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 cos 𝜃 + 𝑄𝑚(𝑣1 − 𝑣2 cos 𝜃) 
 
A equação que representa a projeção da componente da força na direção y 
(Fsy) será: 
𝐹𝑠𝑦 = −[0 + 𝑃2𝐴2(sen 𝜃) + 𝑄𝑚(𝑣2 sen 𝜃 − 0)] 
𝐹𝑠𝑦 = −𝑃2𝐴2 cos 𝜃 − 𝜌𝑄𝑣2 cos 𝜃 
A equação da força resultante que o fluido exerce sobre o conduto será: 
𝐹𝑠 = √𝐹𝑠𝑥
2 + 𝐹𝑠𝑦
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