Estudo do Campo Magnético em Circuitos e Materiais

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Relatório Campo Magnético
A. Ferreira (67893), A. Patrício (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)
LCET, Engenharia Física Tecnológica 2o ano,
IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal
(Dated: 14 de Abril de 2011)
Com uma sonda de Hall, estudámos o campo magnético ~B induzido por correntes estacionárias
em vários circuitos: bobine circular, bobines de Helmholtz e solenóides. Os modelos teóricos foram
obtidos por integração numérica, construindo-se cortes bidimensionais do campo para a bobine e
bobines de Helmholtz. Em geral, os dados coincidiram satisfatoriamente com os modelos teóricos.
Estudámos ainda a curva de histerese B(H) de um material ferromagnético, obtendo Bsat =
1.4 ± 0.1T , Brem = 0.80 ± 0.06T , Hc = 76.5 ± 3.7A.m−1 e µr(inicial) ≈ 13397, concluindo-se ser
a liga mais provável do núcleo do transformador de Fe− Si(96%− 4%).
I. INTRODUÇÃO TEÓRICA
Com base nas experiências de Ampére, estabeleceu-se que uma
carga q em movimento gera um campo magnético ~B, e que a força
exercida numa carga Q é dada pela lei de Lorentz:
~F = ~Felec. + ~Fmag = Q( ~E + ~v × ~B) (1)
Consideramos para estudo correntes estacionárias. Estas pro-
duzem campos magnéticos constantes no tempo, ∂ ~B/∂t = 0. Na
magnetoestática ∂ρ/∂t = 0 e, portanto, ∇ · ~J = 0.
Estabeleceu-se ainda a lei de Biot-Savart para(apenas) uma
corrente estacionária, análoga à de Coulomb na electroestática:
~B(~r) = µ0
4pi
∫
~J(~r′)× rˆ
r
2 dτ
′ (2)
onde r = ~r − ~r′, ~r é a posição de cálculo do campo e ~r′ é o
ponto onde se situa o elemento infinitesimal gerador do campo.
A lei de Biot-Savart permite-nos verificar de imediato que
a) ∇ · ~B = 0, b) ∇× ~B = µ0 ~J (3)
A equação 3 b),lei de Ampére, escreve-se em forma integral:∮
~B · d~l = µ0Ienc (4)
A condição ∇ · ~B permite, num 2-conexo, introduzir um po-
tencial vector ~A para o ~B, ~B = ∇× ~A, definido a menos de um
campo irrotacional. Escolhendo ~A de modo a ∇· ~A = 0, obtemos
∇2 ~A = −µ0 ~J ⇒ ~A(~r) = µ04pi
∫
~J(~r′)
r
dτ ′ (5)
Note-se, assim, que uma construção axiomática baseada nas
equações 1, 3a) e 3b) permitiria obter a lei de Biot-Savart.
Consideremos uma espira circular de raio R assente no plano
xy percorrida pela corrente estacionária I. Fixado um sistema
de coordenadas cilindricas, o campo gerado no ponto (r, θ, z) é
~B = µ0IR
4pi
∫ 2pi
0
(z cos θ′, z sin θ′, R− y sin θ′)
[(R cos θ′)2 + (y −R sin θ′)2 + z2] 32
dθ′ (6)
Se considerarmos duas espiras coaxiais de raio R, separadas de
d e percorridas pela corrente I no mesmo sentido, o campo sobre
o eixo admite uma expansão em série de potências(em torno de
z = 0) de α = z/d com termos em α e α2 nulos se R = d(bobines
de Helmholtz), sendo o campo no eixo e perto do centro
Bz(z) ≈ 8µ0I
R(5
3
2 )
, z ≈ 0 (7)
Já o campo gerado no eixo de um solenóide com n espiras por
unidade de comprimento percorridas por uma corrente I é
Bx =
µ0nI
2
(cos θ2 − cos θ1) (8)
sendo θ1, θ2 os ângulos entre o ponto e as espiras nas extre-
midades do solenóide e o sinal dado pela regra da mão direita.
Expandindo o potencial vector em multipolos(potências de
1/r), verificamos de imediato que o termo dipolar da expansão é
4pi
µ0
~Adip(~r) =
I
r2
∮
r′ cos θ′d~l′ = ~m× rˆ
r2
, ~m =
∮
(rˆ · ~r′)d~l′ = I~a
onde ~m é o momento dipolar magnético do loop de corrente.
Um pedaço de material à escala atómica possui peque-
nas correntes: electrões orbitando em torno do núcleo e
’girando’ em torno do seu eixo, considerados dipolos pu-
ros. Aplicado um campo ~B sobre o material, os di-
polos alinham-se e o material adquire uma magnetização
~M =momento dipolar por unidade de volume. O campo gerado
por ~M é igual ao de uma distribuição localizada de carga em vo-
lume e em superficie com densidades ~Jb = ∇× ~M e ~Kb = ~M × nˆ
(correntes de magnetização), sendo nˆ a normal unitária à super-
fície. Assim, no material, existem correntes livres e de magneti-
zação ~J = ~Jb + ~Jf , reescrevendo-se a lei de Ampére como
∇× ~H = ~Jf , ~H =
1
µ0
~B − ~M, →
∮
~H · d~l = Ifenc (9)
Em meios LHI, ~M = χm ~H. Assim, para um solenóide preen-
chido com material LHI, um modelo aproximado para ~B no eixo,
que considera M constante à superfície, é
~B = µ0
2
(ni+M)(cosθ2 − cosθ1) (10)
Nos materiais ferromagnéticos, ~M deve-se aos spins e cada di-
polo alinha-se no mesmo sentido dos que o rodeiam. Tal alinha-
mento ocorre em pequenas regiões, os domínios. Na ausência de
anteriores campos externos o alinhamento é aleatório e ~M = 0.[1]
Aplicando uma corrente I sobre espiras que rodeiam o
material, logo um campo ~B, os dipolos experienciam um torque
~N = ~m × ~B que os alinha com o campo e o efeito global é o
movimento das fronteiras dos domínios, crescendo os paralelos
ao campo. Eventualmente, todos os dipolos ficam alinhados e
atingimos a saturação M = Msat(b). Anulando I, permanece
uma magnetização residual Mres(c). Revertendo I, podemos
novamente tornar ~M = 0(d) e, se aumentarmos muito, aintigmos
a saturação(e). A curva obtida é o loop de histerese e evidencia
a dependência de ~M na história magnética do material. Para ter
unidades idênticas em ambos os eixos(T), costuma-se representar
(µ0, ~H, ~B) e designar ~Hc no ponto g por campo coercivo.
II. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
Estudámos os sistemas físicos presentes na figura seguinte:
Efectuámos a medição do campo ~B induzido com uma sonda
de efeito de Hall sobre uma base plástica forrada a papel mili-
mético(indicador de posição) num plano que contém o eixo das
bobines. Adoptámos um referencial com origem numa bobine,
eixo dos zz segundo o eixo das bobines e sentido positivo para a
outra bobine, eixo dos yy numa direcção radial ao eixo.
Começámos por colocar a zona activa da sonda no centro de
uma das bobines(raio de r = 0.068±0.001m e número de espiras
N = 320) com os eixos paralelos. Variámos a corrente I na
bobine de 0.1A a 1.5A com incrementos de 0.1A. A medição de
Bz e ajuste à eq. 6 permitiu concluir sobre a calibração da sonda.
De seguida,parte 2, ajustámos a fonte de tensão para que a
bobine fosse percorrida pela corrente I = 1A. Medimos Bz e By
no eixo da bobine, até à intensidade cair para 1/20 da original,
em intervalos de 1cm. Comparámos os dados com a eq. 6(y=0).
Na etapa 3, realizámos idêntico procedimento para y = 2.5cm.
A quarta parte consistiu na medição de By em z=0, em passos
de 0.5 cm. Os dados foram comparados com a eq. 6(z=0).
As partes 5 a 7 têm procedimento similar às 2 a 4, com ambas
as bobines percorridas por uma corrente de 1 A no mesmo sentido
e com o sistema de coordenadas transladado em z o centro das
bobines. Comparamos os dados com o campo teórico obtido por
sobreposição dos campos gerados por cada uma das duas espiras.
Na oitava e nona parte, medimos Bz em y = 0 e y = 1.5 cm,em
intervalos de 1 cm, até que a intensidade do campo caísse para
1/20 do valor em z=0. Confrontámos os resultados com a eq. 8)
A parte 9b do trabalho consiste na repetição da parte anterior
mas com um núcleo de ferro no espaço exterior ao solenóide.
Finalmente, montámos o circuito da figura seguinte:
A partir das tensões aos terminais das resistências conseguem-
se determinar o campo coercivo Hc, o campo de saturação BS e
o campo remanescente Br. Baseada nestes valores, faz-se uma
estimativa da permeabilidade relativa incremental µ do material.
III. RESULTADOS E TRATAMENTO DE DADOS
1-Calibração da sonda
Obtivémos os dados experimentais da tabela I e reali-
zámos o ajuste presente na figura 1. Obtivémos o de-
clive µ0N/(2R) = (2.89± 0.03)× 10−3N.A−2m−1, com desvio
de 1.0% à precisão e 2.2% à exactidão, e a ordenada na origem
b = (−3.0± 2.7)× 10−5 T , com desvio de 90% à precisão.
I (A) B(T) Desv. Precisão (%) Desv Exactidão (%)
0.101 2.7E-004 18.5% 9.6%
0.202 5.6E-004 8.9% 6.2%
0.306 8.6E-004 5.8% 4.9%
0.404 1.13E-003 4.4% 5.4%
0.503 1.42E-0033.5% 4.5%
0.603 1.71E-003 2.9% 4.1%
0.703 2.00E-003 2.5% 3.8%
0.803 2.30E-003 2.2% 3.1%
0.898 2.56E-003 2.0% 3.6%
0.999 2.85E-003 1.8% 3.5%
1.100 3.15E-003 1.6% 3.2%
1.202 3.45E-003 1.4% 2.9%
1.298 3.71E-003 1.3% 3.3%
1.397 4.02E-003 1.2% 2.7%
1.504 4.33E-003 1.2% 2.6%
Tabela I: Dados para verificação da calibração da sonda.
Figura 1: Ajuste da eq. 6) aos dados da tabela I).
O declive possui um desvio à exactidão um pouco superior ao
desvio à precisão, apesar dos cuidados em manter a zona activa
no centro da bobine e tarar o medidor a cada medição(evitar o
campo geomagnético da Terra, Bearth ≈ 44µT ). Tal diferença
não é significativa pois o valor usado como exacto baseia-se numa
medição do raio R com erro eR = 0.001m, pelo que o valor
tomado como exacto possui um desvio de 1.8% à precisão.
Já a ordenada na origem parece indicar-nos com o seu desvio à
precisão de quase 100% que uma estimativa do erro para o valor
indicado pela sonda de eB = 3 × 10−5 T é adequada. Foi este
o valor usado ao longo da experiência para todas as medições,
o qual virá omitido nas tabelas para poupança de espaço.
2- Campo magnético ~B ao longo do eixo da bobine
Registámos os valores da tabela II e o gráfico na fig.2 para uma
corrente I = 1.002 ± 0.005A. Os registos de By consideram-se
todos nulos, visto estarem todos abaixo do erro eB = 3×10−5 T .
Podemos verificar a boa adequação dos dados à curva teórica.
O erro na medição do campo cobre, para cada ponto experimen-
tal, o desvio em relação à curva téorica. Porém, devemos registar
o aparante começo de uma divergência dos valores experimentais
em relação aos teóricos à medida que z aumenta.
z (m)a Bz (T) D.Precisão(%) D.Exactidão(%) D. Prec- D. Exact.(%)
0.000 2.85E-03 1.8% 1.6% 0.1%
0.010 2.80E-03 1.8% 0.2% 1.6%
0.020 2.56E-03 2.0% 0.1% 1.9%
0.030 2.22E-03 2.3% 0.0% 2.2%
0.040 1.86E-03 2.7% 0.2% 2.4%
0.050 1.53E-03 3.3% 1.0% 2.3%
0.060 1.22E-03 4.1% 0.1% 4.0%
0.070 9.7E-04 5.2% 1.0% 4.1%
0.080 7.6E-04 6.6% 3.4% 3.1%
0.090 6.2E-04 8.1% 2.3% 5.7%
0.100 4.8E-04 10.4% 6.8% 3.6%
0.110 3.9E-04 12.8% 7.4% 5.4%
0.120 3.1E-04 16.1% 10.7% 5.4%
0.130 2.6E-04 19.2% 9.9% 9.3%
0.140 2.1E-04 23.8% 13.1% 10.7%
0.150 1.7E-04 29.4% 16.6% 12.8%
a Com um erro ez = 0.001m.
Tabela II: Campo magnético ao longo do eixo da bobine.
3- Campo magnético da bobine em y = 2.5 cm
Para I = 0.990 ± 0.005A, registámos os dados na tabela III
com os quais realizámos o gráfico na fig.3. Todos os desvios
ao valor exacto para By são cobertos pelos desvios à precisão.
Apesar do mesmo acontecer para Bz até z = 0.080m, para z >
0.080m observamos novamente um desvio à exactidão cada vez
mais acentuado e não coberto pelos desvios à precisão.
2
Figura 2: Curva teórica e pontos exp. para Bz em y = 0.
z (m) Bz(T) D.Prec(%) D.Exac(%) By(T) D.Prec(%) D.Exac(%)
0.000 3.15E-03 1.6% 0.7% 5E-05 100.0% -
0.010 3.00E-03 1.7% 0.8% 3.2E-04 15.6% 13.9%
0.020 2.70E-03 1.9% 1.9% 4.2E-04 11.9% 7.9%
0.030 2.25E-03 2.2% 2.6% 4.6E-04 10.9% 8.7%
0.040 1.76E-03 2.8% 0.2% 4.3E-04 11.6% 8.5%
0.050 1.40E-03 3.6% 0.1% 3.5E-04 14.3% 12.5%
0.060 1.08E-03 4.6% 2.9% 2.7E-04 18.5% 16.9%
0.070 8.3E-04 6.0% 6.3% 2.0E-04 25.0% 22.2%
0.080 6.6E-04 7.6% 7.0% 1.6E-04 31.3% 20.8%
0.090 5.1E-04 9.8% 11.0% 1.3E-04 38.5% 17.7%
0.100 4.1E-04 12.2% 12.2% 9E-05 55.6% 26.8%
0.110 3.2E-04 15.6% 16.7% 6E-05 83.3% 38.1%
0.120 2.6E-04 19.2% 18.2% 5E-05 100.0% 35.1%
0.130 1.9E-04 26.3% 28.3% 3E-05 166.7% 50.8%
0.140 1.4E-04 35.7% 37.2% 2E-05 250.0% 59.2%
Tabela III: Campo ~B em y = 0 e y = 2.5 cm para uma bobine.
Figura 3: Curva teórica e dados experimentais em y = 2.5cm.
4-Campo Bz no eixo radial da bobine em z=0
Com I = 0.993±0.005A, registámos os dados que se mostram
na tabela IV e elaborámos também o gráfico observável na fig.4.
y (m) By(T) eBy(T) D. Precisão(%) D. Exactidão(%)
0.000 2.80E-03 5E-05 1.8% 1.4%
0.005 2.83E-03 5E-05 1.8% 0.7%
0.010 2.86E-03 5E-05 1.7% 1.0%
0.015 2.90E-03 5E-05 1.7% 1.7%
0.020 2.96E-03 5E-05 1.7% 2.6%
0.025 3.10E-03 5E-05 1.6% 2.2%
0.030 3.30E-03 5E-05 1.5% 1.5%
0.035 3.52E-03 5E-05 1.4% 2.2%
0.040 3.81E-03 5E-05 1.3% 3.3%
0.045 4.18E-03 5E-05 1.2% 6.1%
0.050 4.90E-03 5E-05 1.0% 6.5%
0.055 5.98E-03 5E-05 0.8% 9.9%
Tabela IV: Campo Bz no eixo radial em z=0 para uma bobine.
Figura 4: Curva teórica e dados para By em z=0 na bobine.
Verificamos, mais uma vez, o padrão de divergência em relação
ao valor exacto para grandes valores de y, sendo, nesta etapa,
mais evidente este efeito e para baixos valores de y.
5, 6-Campo ~B nos eixos paralelos ao das bobines
Para I = 1.010± 0.005A(etapa 5) e I = 0.999± 0.005A(etapa
6), anotámos os dados na tabela V e realizámos o gráfico da
fig. 5, sendo os valores experimentais para By(y = 0) nulos.
z(m) Bz(y = 0)(T) D. Ex(%) Bz(y = 2.5cm)(T) D. Ex(%) By(y = 2.5cm) D. Ex(%)
0.000 4.20E-03 1.7% 4.04E-03 0.2% -1E-05 -
0.010 4.19E-03 1.9% 4.08E-03 0.0% -1.0E-04 327.3%
0.020 4.16E-03 1.9% 4.18E-03 0.2% -2E-05 766.7%
0.030 4.05E-03 1.8% 4.22E-03 1.4% 5E-05 71.8%
0.040 3.80E-03 2.0% 4.02E-03 2.4% 3.0E-04 27.0%
0.050 3.44E-03 1.7% 3.59E-03 3.5% 4.8E-04 17.9%
0.060 2.98E-03 1.8% 3.01E-03 3.6% 5.4E-04 15.8%
0.070 2.57E-03 0.7% 2.40E-03 1.7% 5.3E-04 12.0%
0.080 2.12E-03 1.0% 1.96E-03 3.5% 4.9E-04 5.4%
0.090 1.73E-03 1.4% 1.56E-03 3.0% 4.0E-04 5.9%
0.100 1.40E-03 1.4% 1.29E-03 6.0% 3.1E-04 8.6%
0.110 1.13E-03 1.1% 1.01E-03 2.6% 2.3E-04 14.2%
0.120 9.4E-04 3.4% 8.4E-04 4.7% 1.7E-04 19.4%
0.130 7.8E-04 4.8% 6.6E-04 0.2% 1.3E-04 21.7%
0.140 6.3E-04 2.6% 5.0E-04 8.4% 9E-05 31.8%
0.150 5.3E-04 3.8% 4.0E-04 12.3% 6E-05 42.9%
0.160 4.5E-04 5.1% 3.1E-04 19.3% 4E-05 52.4%
0.170 3.7E-04 2.3% 2.5E-04 23.3% 3E-05 55.9%
0.180 3.2E-04 4.0% 2.0E-04 28.3% 2E-05 64.3%
0.190 2.7E-04 2.4%
0.200 2.2E-04 3.3%
0.210 2.0E-04 1.2%
Tabela V: Campo ~B em y = 0, 2.5cm nas bobines de Helmholtz.
Figura 5: Curva teórica e dados em y=0;2.5cm na bobine .
Verificamos uma boa concordância dos resultados experimen-
tais relativos a y = 0 com a curva teórica, verificando-se pela
tabela que os desvios à exactidão são cobertos pelos desvios à
precisão. Apenas para os valores iniciais isto não ocorre, mas a
diferença é menor que 0.7%. Já os dados relativos a y = 0.025m
apresentam para Bz uma tendência idêntica às atrás verificadas e
para By um bom ajustamento à curva teórica para z ≥ 0.080m.
7-Campo ~Bz em z = 0 para as bobines
Com I = 0.998 ± 0.005A, registámos os dados na tab.VI e a
curva na fig.6, sendo os valores exp. para By(z = 0) nulos.
y (m) Bz(T) Desv. Precisão(%) Desv. Exactidão(%)
0.000 4.09E-03 1.2% 0.5%
0.005 4.08E-03 1.2% 0.3%
0.010 4.08E-03 1.2% 0.3%
0.015 4.07E-03 1.2% 0.1%
0.020 4.06E-03 1.2% 0.1%
0.025 4.04E-03 1.2% 0.2%
0.030 4.01E-03 1.2% 0.5%
0.035 3.95E-03 1.3% 0.9%
0.040 3.82E-03 1.3% 0.8%
0.045 3.67E-03 1.4% 2.0%
0.050 3.37E-03 1.5% 1.7%
0.055 2.97E-03 1.7% 1.3%
Tabela VI: Campo ~Bz em z = 0 para as bobines de Helmholtz.
Figura 6: Curva teórica e dados para Bz em z=0 nas bobines.
São razoáveis os valores, sendo quase todos os desvios ao exacto
cobertos pelo desvio à precisão. A diminuição da exactidão com
z também ocorre, mas é menos acentuado face às 3a e 4a etapas.
8,9 -Campo ~Bz para o solenóide com núcleo de ar
Para o solenóide, L = 0.185 ± 0.001m, R = 0.019 ± 0.001m,
n = 1290± 71espiras.m−1(40 espiras em 0.031m) e I = 1.001
3
±0.005A, anotámos os dados na tab.VII e construímos a fig.7.
z (m) Bz(y = 0)(T) D.Prec(%) D.Ex(%) Bz(y = 1.5cm)(T) D.Prec(%) D.Ex(%)
0.000 1.57E-03 3.2% 1.4% 1.64E-03 3.0% 3.0%
0.010 1.57E-03 3.2% 1.3% 1.63E-03 3.1% 2.4%
0.020 1.56E-03 3.2% 1.8% 1.64E-03 3.0% 3.2%
0.030 1.56E-03 3.2% 1.4% 1.64E-03 3.0% 3.6%
0.040 1.55E-03 3.2% 1.3% 1.63E-03 3.1% 3.6%
0.050 1.52E-03 3.3% 2.0% 1.61E-03 3.1% 3.4%
0.060 1.46E-03 3.4% 3.5% 1.56E-03 3.2% 2.0%
0.070 1.37E-03 3.6% 4.6% 1.49E-03 3.4% 0.9%
0.080 1.20E-03 4.2% 5.2% 1.32E-03 3.8% 3.5%
0.090 9.1E-04 5.5% 0.8% 9.4E-045.3% 7.7%
0.100 4.9E-04 10.2% 1.9% 2.3E-04 21.7% 32.6%
0.110 2.5E-04 20.0% 1.4% 1.0E-04 50.0% 43.4%
0.120 1.1E-04 45.5% 16.9% 5E-05 100.0% 52.6%
0.130 8E-05 62.5% 1.1% 3E-05 166.7% 55.8%
Tabela VII: Campo Bz no eixo do solenóide com núcleo de ar.
Figura 7: Curvas teóricas e dados no solenóide c. núcleo de ar.
A adequação dos dados à curva teórica para o campo no eixo
do solenóide é satisfatória, sendo todos os desvios à exactidão(por
defeito) cobertos pelos desvios à precisão. Não se observa nos er-
ros uma nítida passagem do interior para o exterior do solenóide.
Para Bz em y = 1.5cm, no interior o campo é superior ao pre-
visto e no exterior inferior. Tal está relacionado com a curvatura
das linhas de campo, superior no exterior do solenóide e muito
superior em y=1.5cm face a y=0.
9B -Campo Bz para o solenóide com núcleo de ferro
Sendo o comprimento L = 0.150± 0.001m, o raio R = 0.018±
0.001m e n = 1533 ± 53esp.m−1(23 espiras em 0.015m) e I =
0.999± 0.005A, registámos os dados na tab.VIII e na fig.8.
z (m) Bz(y = 0)(T) Desv.Precisão(%) Bz(y = 1.5cm)(T) Desv.Precisão(%)
0.083 3.15E-03 1.6% 3.48E-03 1.4%
0.093 2.22E-03 2.3% 2.37E-03 2.1%
0.103 1.51E-03 3.3% 1.65E-03 3.0%
0.113 1.05E-03 4.8% 1.06E-03 4.7%
0.123 7.5E-04 6.7% 8.1E-04 6.2%
0.133 5.3E-04 9.4% 6.1E-04 8.2%
0.143 4.3E-04 11.6% 4.9E-04 10.2%
0.153 3.4E-04 14.7% 4.0E-04 12.5%
0.163 2.8E-04 17.9% 3.2E-04 15.6%
0.173 2.1E-04 23.8% 2.6E-04 19.2%
0.183 1.7E-04 29.4% 2.3E-04 21.7%
0.193 1.2E-04 41.7% 1.9E-04 26.3%
0.203 1.0E-04 50.0% 1.3E-04 38.5%
Tabela VIII: Bz no solenóide c.núcleo de ferro, em y = 0, 1.5cm.
Figura 8: Curva teórica e dados no solenóide c. núcleo de ferro.
Verificamos um razoável ajustamento da curva teórica aos da-
dos para y = 0, com cerca de quatro pontos que não ‘tocam’ a
curva. Os dados em y = 2.5cm afastam-se mais da curva, sendo
que apenas dois deles a intersectam. A hipotética magnetização
constante à superficie obtida foi de M = 5774± 86A.m−1.
10 -Curva de Histerese B(H)
Na última parte, obtivémos os valores registados na tabela IX
Hc(A.m−1 Bsat(T) Brem(T) µr
89± 2 1.4± 0.1 0.80± 0.06 13397
Tabela IX: Dados relativos à curva de histerese do material.
IV. ANÁLISE SUMÁRIA E CONCLUSÕES
A medição de ~B no centro de uma das bobines permitiu testar
a calibração da sonda, tendo-se verificado que esta era satisfató-
ria e que a incerteza minima de medição era eB = 3 × 10−5 T .
Vimos que os valores obtidos para o campo em bobines seguiram
satisfatoriamente as curvas obtidas por integração numérica.
Porém, observámos um sistemático acentuar do desvio à exac-
tidão com o afastamento às espiras. Em geral, os pontos expe-
rimentais na ’cauda’ da curva situavam-se abaixo da mesma. A
aproximação conceptual de considerar o conjunto de N = 320 es-
piras como uma única percorrida pela corrente NI não justifica
tal desvio sistemático, uma vez que se espera ser a aproximação
tanto melhor quanto mais afastados das espiras. A hipótese da
causa ser um desvio de calibração da sonda está fora de ques-
tão(ver parte 1), pois não justifica o desvio observado na fig.4.
A única causa que parece plausível, cujos efeitos variem com a
distância z, y, é um mau alinhamento do eixo da bobine com o
marcado no papel milimétrico. De referir ainda que os valores
não nulos(nulos dentro do erro na medição, mas é visivel na sonda
um valor não nulo) obtidos para By segundo o eixo da espira po-
dem justificar-se por uma tensão residual na sonda de efeito de
Hall resultante da amplificação das tensões geradas pelo efeito.
Como esperado, vemos que as medições mais exactas foram as
realizadas no eixo do sistema de bobines de Helmholtz. Verifica-
se novamente um aumento dos desvios à exactidão, apesar de ser
menos acentuado que nos restantes casos. Esta maior exactidão,
mas mantendo a tendência de maiores desvios para maiores de z,
pode ser uma confirmação da causa apontada para os desvios sis-
temáticos, a saber, o mau alinhamento dos eixos das bobines e da
marcação no papel milimétrico. Como acrescento, apresentam-se
em anexo, nas figuras 9 e 10 os cortes 2-dimensionais do campo
teórico e experimental para uma e duas bobines, respectivamente.
Para o solenóide com núcleo de ar, observámos uma razoável
adequação dos dados no eixo do solenóide mas menos boa no
eixo paralelo. Podemos procurar justificação para isto na dificul-
dade em manter a sonda segundo o eixo a 1.5cm do central, pelo
facto de, por poupança de tempo, não termos tarado o medidor
a cada medição ou pela proximidade em demasia da zona activa
da sonda às espiras. Esta proximidade poderá induzir efeitos não
desejados e não englobados na análise teórica idealizada.
Quanto ao solenóide com núcleo de ferro, verificámos que o mo-
delo simplificado de considerar o material LHI e o tratar como
se de um solenóide com núcleo de ar cujo efeito do núcleo se con-
cretiza no aparecimento de uma corrente superficial de magneti-
zação, não é de todo despropositado. Já em y = 1.5cm, parece
impor-se a neessidade de um modelo teórico mais detalhado.
Os valores obtidos para Bsat e Brem situam-se num limite in-
ferior dos valores habituais para uma liga Fe-Si e Fe-Ni. Já Hc é
bastante superior aos tabelados, sendo mais próximo do de uma
liga Fe-Si. O valor de µr parece indicar que a liga se trata de
uma liga de Fe− Si. No entanto, parece-nos mais adequado as-
sumir que a liga é de Fe− Si porque a hipótese do material ser
LHI é pouco fundamentada, podendo o valor de µr depender for-
temente de uma orientação preferencial desta liga em concreto.
[1] D.J.Griffiths,Introduction to Electrodynamics, 3a ed., Reed College [2] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/cmagnet.pdf4
Apêndice A: Modelos Vectoriais Bidimensionais
Figura 9: Corte bidimensional do campo vectorial ~B para uma bobine.
Figura 10: Corte bidimensional do campo vectorial ~B para o sistema de Bobines de Helmholtz.5
	Relatório Campo Magnético
	Resumo
	Introdução Teórica
	Descrição Experimental
	Resultados e Tratamento de Dados
	4-Campo Bz no eixo radial da bobine em z=0
	5, 6-Campo nos eixos paralelos ao das bobines
	7-Campo em z=0 para as bobines
	8,9 -Campo para o solenóide com núcleo de ar
	9B -Campo Bz para o solenóide com núcleo de ferro
	10 -Curva de Histerese B(H)
	Análise Sumária e Conclusões
	Referências
	Modelos Vectoriais Bidimensionais