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EXERCÍCIOS GERAIS – TÓPICOS DE MATEMÁTICA 
 
 
1°) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura 
está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do 
ponto de partida? 
(Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27). 
 
 
 
 
 
 
 
 
2°) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que 
5
3
cos  e o segmento BC é 
igual a 10 m. 
 
 
 
 
 
 
 
3°) Uma rampa lisa com 10 m de comprimento faz ângulo de 15º com o plano horizontal. Uma pessoa que 
sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a quantos metros? 
 ( use: sen.15º = 0,26 , cos 15º = 0,97 ) 
 
 
 
 
 
 
4°) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo de 20º, como nos mostra a figura. Determine a 
altura h da torre. ( sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0, 94 . tg 20º = 0, 36 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5°) Uma escada de pedreiro de 10m está apoiada numa parede e forma com o solo um ângulo de 40º. Qual a 
altura atingida pelo ponto mais alto da escada? Obs: sen 40º  0,64. 
 
 
6°) Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6m de altura, no instante em que os raios 
solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º. 
 
 
7°) Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio é 80 
m. determine a altura da pipa em relação ao solo. 
 
 
8°) Qual é a altura h do poste representado pela figura abaixo? 
x 
 
 
10 m 
15º 
20º 
h 
 
 
9°) Uma rampa lisa com 10 m de comprimento faz ângulo de 15º com o plano horizontal. Uma pessoa que 
sobe a rampa inteira eleva – se verticalmente a quantos metros?(Use: sen 15º = 0,26; cos 15º = 0,97; tg 15º = 
0,27.) 
 
 
10°) Qual é a largura do rio representado pela figura abaixo?(Use: sen 53º = 0,80; cos 53º = 0,60; tg 53º = 
1,32.) 
 
 
11°) O ao topo da encosta? ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60º. 
Sabendo – se que a árvore está distante 50 m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para 
ligar a base da árvore 
 
 
12°) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 20 m do atirador. 
Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 10º em relação à horizontal, calcule a que distância o 
alvo se encontra do chão.(Dado: sen 10º = 0,17; cos 10º = 0,98 e tg 10º = 0,18). 
 
 
 
13º) Em uma farmácia que fica aberta 24h, o número médio de clientes varia de acordo com a função c(h) = 
20 – 15 . cos , em que h é a hora do dia, com 0 < h 24, e c é a quantidade aproximada de clientes na 
farmácia na hora h. Qual é a quantidade de clientes nesta farmácia as 18h? 
 
14º) Um determinado triangulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice A, tem AB = 6 cm, AC = , BC = 
12 cm. Calcule os valores dos ângulos B e C. 
 
15º) Um balão está preso a uma corda esticada formando com o solo um ângulo de 45º. Sabendo que o 
comprimento da corda é de 100 m, calcule há que altura se encontra o balão. 
 
16º) Uma escada deverá ser apoiada em um prédio de 60 m de altura formando com o solo um ângulo de 
60º. Determine quantos metros precisa ter a escada. 
 
17º) Calcule a largura de um rio em que a distância entre dois pontos A e B na mesma margem é de 100m. 
Do ponto A avista-se perpendicular a margem um ponto C na outra margem e obteve-se um ângulo de 30º 
graus com o ponto C. 
 
18) (UERJ) Observe a bicicleta e tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual 
a 120cm e os raios PA e QB medem respectivamente 25cm e 52cm. De acordo com a tabela, qual o valor 
do ângulo POA

? 
 
a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º 
 
 
 
 
 
19) (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele 
se aproxima 160m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100m, como mostra o esquema: 
A altura da torre, em metros, equivale a: 
 
a) 96 
 
b) 98 
 
c) 100 
 
d) 102 
 
 
20) (UERJ) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período 
da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de 
tomates seja dado pela função   7,2101t.
360
2
sen.8,0)t(P 







 na qual t é o número de dias contados de 1º 
de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse tempo, calcule: 
 
a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates; 
 
b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$3,10. 
 
 
21) (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B 
igual a 11cm, como mostra o esquema.Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo 
em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A 
medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: 
 
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 
 
 
 
 
 
 
 
22) (UERJ Se α, β e α + β são três ângulos diferentes de Zk,k
2

 , então  
  


tg.tg1
tgtg
tg . 
Se a, b e c são três ângulos agudos, sendo 2tgb  e  
5
4
cbatg  , calcule  cbatg  . 
 
23) (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta. O esquema abaixo representa a vela da asa-
delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de 
AB corresponde ao comprimento da quilha. 
Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2. Suponha que, para planar, a relação 
ideal seja de 10dm2 de vela para cada 0,5kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15kg que 
planará com uma pessoa de 75kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é 
igual à raiz quadrada de: 
 
a) 9 cos b) 18 sen 
c) 
cos
9 d) 
sen
18 
 
 
 
24) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão 
dentro da câmara de combustão está representado na figura. 
 
A função h(t) = 4 + 4sen definida para t ≥ 0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, 
da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas 
figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos. O valor do parâmetro β, que é dado 
por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o 
motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do 
funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os 
cálculos, utilize 3 como aproximação para π. O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma 
que o motor a ser construído tenha boa potência, é: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8 
 
 
25) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura 
representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras: 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se 
a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo 
segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao 
solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico: 
 
A expressão da função altura é dada por: 
a) f(t) = 80sen(t) + 88 b) f(t) = 80cos(t) + 88 c) f(t) = 88cos(t) + 168 
d) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t) e) f(t) = 88sen(t)+ 168cos(t) 
 
26) O esquema mostra o percurso de um barco ao longo de todo o seu trajeto. 
 
O barco mantém-se semprena mesma direção, perpendicular à correnteza. Porém, devido à ação desta, sua 
trajetória é direcionada para o ponto C, no outro lado da margem, a 100 metros do ponto inicial de destino B. 
Sabe-se também que o ângulo formado entre o novo trajeto e a direção perpendicular à margem, no ponto A, 
é de 30°. A distância, em metro, percorrida pelo barco é de 
a) b) c) d) 
 
27) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, 
conforme indica a figura. Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses 
raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = K· sen(x) sendo k uma constante, e 
supondo-se que x está entre 0° e 90°. 
 
Quando x = 30°, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo? 
a) 33% b) 50% c) 57% d) 70% e) 86% 
 
28) A quantidade de certa espécie de crustáceos, medida em toneladas, presente num trecho de mangue, foi 
modelada pela equação: 
 
onde t representa o número de meses transcorridos após o início de estudo e w é uma constante. O máximo 
e o mínimo de toneladas observados durante este estudo são, respectivamente: 
a) 600 e 100 
b) 600 e 150 
c) 300 e 100 
d) 300 e 60 
e) 100 e 60 
 
29) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último 
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando 
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, 
Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu 
após o cumprimento do tempo previsto de medição. 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e 
o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a 
primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura 
aproximada em que se encontrava o balão? 
a)1,8 km b) 1,9 km c)3,1 km d)3,7 km e)5,5 km 
30) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de 
Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 144 
m (a altura é indicada na figura como o segmento AB.) Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, 
descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço: 
a) Menor que 100 m2 b)Entre 100 m2 e 300 m2 c)Entre 300 m2 e 500 m2 
d)Entre 500 m2 e 700 m2 e)Maior que 700 m2 
 
31) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de 
cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2√3 e 
que sua lateral fará um angulo de 60° com o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada 
devera cobrir uma área de: 
 
a) 12 m² b) 108 m² c) (12 + 2√3)² π m² d) 300 π e) (24+2√3)²π m² 
 
32) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em 
segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas 
pressões máximas. Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi 
a) P(t) 99 + 21 cos(3π t) b)P(t) 78 + 42cos(3π t) c)P(t) 99 + 21 cos(2π t) 
d) P(t) 99 + 21 cos(t) e) P(t) 78 + 42cos(t) 
 
33) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está 
desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função: 
 
sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite (0 ≤ h ≤ 24) e A e B os parâmetros que o técnico 
precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26°C, a mínima 18°C, 
e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã. Quais devem ser os valores de A 
e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido? 
a) A = 18 e B = 8 b) A = 22 e B = -4 c) A = 22 e B = 4 
d) A = 26 e B = -8 e) A = 26 e B = 8 
 
34) O lado extremidade de um ângulo de amplitude -2538º pertence ao: 
 
(A) 1º quadrante (B) 2º quadrante (C) 3º quadrante (D) 4º quadrante 
 
 
35) O círculo da figura tem raio 2. Se 150º  , as coordenadas do ponto P são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A)  3,1 (B) 3 1,
2 2
 
  
 
 (C)  1, 3 (D) (-0,87;0,5) 
 
36) Num determinado quadrante, o co-seno é negativo e crescente. Nesse quadrante: 
 
 (A) a tangente é decrescente (B) a tangente é negativa 
 (C) o seno é crescente (D) o seno é negativo 
 
37) A figura representa o círculo trigonométrico e  é a amplitude do ângulo AOB. A expressão que 
representa o perímetro do rectângulo [ABCD], em função de  , é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 4sen 2cos  (B) 4 2sen cos  (C) 2sen cos  (D) 2sen 4cos  
 
 
38) Qual das seguintes equações tem uma única solução sendo 0º x 360º  ? 
 
(A) cos x 0 (B) senx 1  (C) tg x 0 (D) tg x 1 
 
 
39) Sendo 
1
sen x
3
  , qual das afirmações é verdadeira? 
(A) 
2
cos x
3
 (B) 
1
sen( x)
3
   (C) 
1
sen( x)
3
   (D) 
1
cos x
2 3
 
   
 
 
 
 
40) Qual dos seguintes pares é constituído por equações equivalentes em  ? 
 
(A) 
1
sen x
2
 e 
3
cos x
2
 (B) sen x 1 e cos x 0 
(C) tg x 1 e sen x cosx (D) tg x 0 e cos x 1 
 
 
41) Os braços de um compasso medem 11cm. Quando fazem um ângulo de 
3

 radianos, qual é, em 
centímetros, o perímetro da circunferência que permite desenhar? 
 
(A) 5,5 (B) 11 (C) 19 (D) 22 
 
 
42) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46) No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática 
que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático 
italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. 
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta. 
 
 
 
a) o conjugado de (1 + i) é (1 i) 
b) 2i1  
c) (1 + i) é raiz da equação 02z2z2  
d) (1 + i)–1 = (1– i) 
e) (1 + i)2 = 2i 
 
 
 
 
47) Se i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então o complexo (4 · i3 + 3 · i2 + 2 · i + 
1) é: 
a) 6 + 4i 
b) 1 + 2i 
c) 2 + 2i 
d) – 2 + 2i 
e) – 2 – 2i 
48) Considere o número complexo z= (1 + 3i) / (1 − i). A forma algébrica de z é dada por: 
a) z = –1 + 2i 
b) z = 1 – 2i 
c) z = –2 + 1 
d) z = –2 + 4i 
e) z = –1 + 4i 
49) Considere os números complexos z = 2 · (cos 30° + isen 30°) e u = z5. Os pontos P e Q são os afixos (ou 
imagens) dos complexos z e u, respectivamente.O ponto médio do segmento tem coordenadas iguais a: 
50)Considere os números complexos z = 3 · (cos6° + isen6°) e u = 5 · (cos50° + isen50°). A forma 
trigonométrica do complexo z · u é igual a: 
51)O número complexo (1 + i)36 é: 
a) – 218 
b) 218 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
e) 1 
52) Considere o número complexo z = (a – 3) + (b – 5)i, em que a e b são números reais, e i é a unidade 
imaginária dos conjuntos dos números complexos. A condição para que z seja um número real não nulo é 
que: 
a) b ≠ 5. 
b) a = 3 e b ≠ 5. 
c) a ≠ 3 e b ≠ 5. 
d) a = 3 e b = 5. 
e) a ≠ 3 e b = 5. 
53) O complexo (K + i) / (1 – Ki) , em que k é um número real e i é a unidade imaginária dos números 
complexos, é: 
a) Ki 
b) 1 
c) – 1 
d) i 
e) – i 
54) Considere o número complexo z = 1 + 8i. O produto z · , em que é o conjugado de z, é: 
a) – 63 + 16 i 
b) – 63 – 16 i 
c) – 63 
d) 2 
e) 65 
55) Considere o complexo z = 1 + i, em que i é a unidade imaginária. O complexo z14 é igual a: 
a) 128i 
b) – 128i 
c) 0 
d) 2 
e) -128 
56) Considere o complexo z = (1 + i) . (3 − i) . i, em que i é a unidade imaginária do conjunto dos números 
complexos. O conjugado de z é o complexo: 
a) −2−4i 
b) −2+4i 
c) 2−4i 
d) −2+2i 
e) −2−2i 
 57) (UNIFESP) A divisão de um polinômio P(x) por um polinômio k(x) tem Q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente 
e R(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de P(x) 
por x é: 
a) 10 b) 12 c) 17 d) 25 e) 70 
 
 
58) (ESPM) As retas r, s e t do plano cartesiano representam as variações do comprimento, largura e altura 
de um paralelepípedo reto-retângulo em função da variável x (0 < x < 6). Assinale o polinômio que representa 
a variação do volume desse paralelepípedo em função de x: 
 
a) V(x) = x3 − 18x2 + 6 
 
b) V(x) = x3 − 12x 
 
c) V(x) = − x3 + 36x 
 
d) V(x) = − x3 + 12x − 6 
 
e) V(x) = x3 − 9x2 + 18x 
 
 
59) (UERJ) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8dm de 
lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustração. 
Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo 
retângulo, de altura x, como mostram os esquemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x = 2dm, o volume da caixa é igual a 8dm3. Determine outro valor de x para que a caixa tenha 
volume igual a 8dm3. 
 
 
60) (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é 
dada por e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em 
segundos, em que a, b e c são números reais fixos. No instante em que o ciclista parte da posição zero, o 
corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine 
a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.