TE 2 - 1 Estruturas Hiperestáticas (ok)

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Teoria das Estruturas 2 – Prof. Tiago Toitio 
Capítulo 1 – Estruturas Hiperestáticas 
1.1 – INTRODUÇÃO 
As equações de equilíbrio da estática fornecem as condições necessárias e suficientes para o 
equilíbrio. Quando todas as forças em uma estrutura podem ser determinadas somente com 
as equações de equilíbrio, a estrutura é denominada estaticamente determinada 
(isostática). Estruturas que têm mais forças desconhecidas do que as equações de 
equilíbrio são denominadas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas). 
Algumas características das estruturas hiperestáticas: 
✓ Análise estrutural mais trabalhosa e complicada 
✓ Estrutura mais rígida (menores deformações) 
✓ A estrutura tem capacidade para redistribuir esforços para os apoios redundantes 
✓ As deformações causadas por variações de temperatura ou por recalque de apoio 
ocasionam tensões adicionais na estrutura 
 
 
Figura 1.1 – Viga Isostática. (a) Modelo real. (b) Modelo estrutural. 
 
 
Figura 1.2 – Viga Hiperestática. (a) Modelo real. (b) Modelo estrutural. 
A Figura 1.3 mostra uma comparação, do comportamento estrutural, entre uma viga 
isostática e uma viga hiperestática. As duas vigas têm o mesmo vão L e o mesmo 
carregamento q, diferindo nas condições de apoio. A viga isostática é apoiada por duas 
articulações, e a viga hiperestática por dois engastes. O módulo de rigidez à flexão da viga 
foi considerado com o valor E.I = 108.106 N.m². 
 
 
Figura 1.3 – Comparação entre viga isostática e hiperestática. (a) Modelo estrutural das 
vigas. (b) Reações de apoio. (c) Diagramas de momento fletor. (d) Deflexões máximas. 
 
A viga isostática apresenta maior momento fletor no meio do vão, porém momento fletor 
nulo nas extremidades. Por outro lado, a viga hiperestática apresenta menor momento 
fletor no meio do vão, mas apresenta momento fletor nas extremidades, que são absorvidos 
pelos apoios (pilares, por exemplo). 
Quanto à deflexão, as estruturas hiperestáticas são mais rígidas, apresentando menores 
deflexões. Como em estruturas de grandes vãos a deflexão é crítica, é mais eficaz utilizar 
vigas contínuas hiperestáticas. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Exercício Proposto 1.1. Classificar as vigas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas) 
quanto ao grau de indeterminação. 
 
 
 
1.2 – MÉTODOS DE ANÁLISE 
Ao se analisar uma estrutura hiperestática, é necessário satisfazer as seguintes exigências: 
✓ Equilíbrio – as forças de reação devem manter a estrutura em repouso 
✓ Compatibilidade – a estrutura deve se ajustar (não podem existir lacunas) e a forma 
defletida deve ser coerente com as restrições impostas pelos apoios 
✓ Relação força-deslocamento 
Em geral, há duas maneiras de satisfazer essas exigências: 
✓ Método das Forças (Flexibilidade) 
✓ Método dos Deslocamentos (Rigidez) 
O Método das Forças foi originalmente desenvolvido por James C. Maxwell em 1864 e mais 
tarde aperfeiçoado por Otto Mohr e Heinrich Müller-Breslau. Foi um dos primeiros métodos 
disponíveis para análise de estruturas hiperestáticas. O método consiste em escrever 
equações que satisfazem as exigências de força-deslocamento e compatibilidade para a 
estrutura a fim de determinar as forças redundantes. Ou seja, as incógnitas são as forças 
redundantes. 
O Método do Deslocamento é baseado em primeiro escrever as relações de força-
deslocamento para os elementos da estrutura e então satisfazer as exigências de equilíbrio 
para a estrutura. Nesse caso, as incógnitas são os deslocamentos. Uma vez que os 
deslocamentos tenham sido obtidos, as forças são obtidas a partir das equações de força-
deslocamento e compatibilidade. 
Dentro do conjunto de métodos dos deslocamentos temos, entre outros, o Método da 
Inclinação-Deflexão, o Método de Cross e o Método da Rigidez Direta utilizando 
formulação matricial. 
 
Leitura Indicada – Referência [1] (Hibbeler, 2013): 
▪ Item 10.1 (Estruturas Estaticamente Indeterminadas) do Capítulo 10 
 
Referências Bibliográficas: 
[1] Hibbeler, R. C. – Análise das Estruturas. 8ª Ed. 2013. Pearson Prentice Hall. 
[2] Leet, K. M. et al. – Fundamentos da Análise Estrutural. 3ª Ed. 2009. McGraw-Hill.