CAMPO MAGNÉTICO E MAGNETISMO_2018_C

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[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 1 
 
CAMPO MAGNÉTICO E MAGNETISMO 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (DEFIS-UFMA) 
INTRODUÇÃO 
Após ter realizado um estudo preliminar sobre as leis da eletrostática, neste capítulo 
iniciamos os estudos referentes à magnetostática, parte do eletromagnetismo que 
descreve as propriedades de campos magnéticos que não apresentam variação temporal, 
ou seja, não mudam com o tempo. Neste caso, nos ateremos principalmente à interação 
entre os campos magnéticos gerados por ímãs permanentes (materiais permanentemente 
magnetizados) e cargas elétricas ou fios de corrente. 
 
Magnetismo 
As origens do magnetismo remontam à Grécia antiga, onde foram observadas as 
propriedades das pedras de magnetita ( 3 4Fe O ), um óxido de ferro que atua como ímã natural 
(permanente), capaz de atrair pequenos pedaços de ferro. A este poder de atração, os gregos 
denominaram de magnetismo. A primeira descrição sistemática sobre o fenômeno do 
magnetismo foi dada por William Gilbert (médico da rainha da Inglaterra Elizabeth I ), que 
escreveu em 1600 o grande tratado “De Magnete”, um compêndio de todos os 
conhecimentos sobre magnetismo existentes até a época, escrito em nível fantástico riqueza 
de detalhes e explicações, e que constituiu a primeira abordagem científica sobre o tema. 
Nesta obra, a Terra foi descrita pela primeira vez como um grande ímã permanente, com 
pólos Norte (N) e Sul (S) magnéticos, o que explicava bem a existência do campo magnético 
terrestre, assim como o fato da agulha de uma bússola sempre apontar para o pólo norte. 
 
Fatos observacionais referentes aos ímãs: 
• Ímã permanente: estrutura composta por dois pólos magnéticos que apresentam 
comportamentos opostos (pólo Norte (N) e Pólo Sul (S)). 
 
• Pólos opostos se atraem: pólo norte e pólo sul (N – S) experimentam força de atração 
• Pólos iguais se repelem: pólo norte repele pólo norte (N – N) e pólo sul repele pólo sul 
(S – S). 
 
Do ponto de vista moderno, o termo magnetismo refere-se ao conjunto de fenômenos 
que envolvem os materiais magnéticos e o campo magnético por eles originado. Ímãs 
permanentes criam campo magnético, que é o elemento transmissor da interação 
magnética. 
 
Campo Magnético: 
O Campo magnético ( )B

 é a entidade físico-matemática que transmite a interação 
magnética ao longo do espaço entre dois corpos interagentes. Estes corpos podem ser 
dois magnetos ou um magneto e uma carga elétrica, ou dois fios com corrente elétrica. Na 
descrição do magnetismo, o campo magnético desempenha o mesmo papel que o campo 
elétrico na eletrostática, ou seja, de transmissor da interação física. Portanto, para estudar 
 N S 
 
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o magnetismo e a suas interações, é absolutamente necessário definir o conceito de 
campo magnético e suas propriedades. 
Uma pergunta básica, sem dúvida, é qual a origem do campo magnético gerado por 
um ímã. Do ponto de vista microscópico, o campo ( )B

 de um magneto é criado por cargas 
em movimento presentes dentro do material. Tais cargas geram corrente elétrica, que 
produz um pequeno dipolo magnético em escala atômica. Um dipolo magnético é qualquer 
estrutura composta por um pólo norte e sul, podendo ser microscópico (átomo) ou 
macroscópico (ímã). Certos átomos funcionam como pequenos dipolos magnéticos 
microscópicos, criados pelas correntes associadas aos movimentos dos elétrons (cargas) 
em torno do núcleo atômico. Um material magnetizado, tal como um ímã permanente, é 
formado por um conjunto de pequeninos dipolos magnéticos, cujo efeito global resultante 
(macroscópico) é a magnetização observada. Portanto, um ímã permanente é uma 
estrutura formada por uma enorme coleção de dipolos magnéticos microscópicos. 
Importante ressaltar que cargas estáticas criam apenas campo elétrico E

, enquanto que 
cargas em movimento criam campo magnético ( )B

 e campo elétrico E

 simultaneamente. 
Os efeitos de um ímã permanente estão diretamente associados à magnitude do 
campo magnético gerado pelo próprio ímã. Uma das formas de quantificar tais efeitos é 
determinando a força magnética que este campo consegue imprimir sobre cargas elétricas 
ou dipolos magnéticos a sua volta. Atualmente, os diversos efeitos magnéticos conhecidos 
são calculados através das leis quem regem o eletromagnetismo, formuladas por Oersted, 
Ampère, Faraday, Lenz e Maxwell, entre outros. 
 
• Linhas de campo magnético: são linhas que nascem no pólo norte e findam no pólo 
sul do magneto. Permitem determinar a direção do campo ( )B

em qualquer ponto do 
espaço, uma vez que este campo é sempre tangente a tais linhas. 
 
 
Toda linha de campo magnético já observada é fechada, pois nasce no pólo norte e 
morre no pólo sul. Não há linha de campo magnético aberta (não foi observada até o 
presente momento). Isto indica que o fluxo do campo magnético por uma superfície 
fechada S é nulo, ou seja: 
ˆ 0
S V
B ndS B dS⋅ = ⋅ =∫ ∫

 

. (CB1) 
O fato do fluxo do campo magnético por qualquer superfície fechada ser nulo, 
∫ =⋅=
S
M dSnB 0ˆ

ϕ , é uma conseqüência da inexistência de monoplos magnéticos. 
 
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• Figura 1: Ilustração das linhas de campo de um magneto permanente 
 
Figura 2: Linhas de campo magnético de ímã demarcadas por limalha de ferro 
 
Observe que um monopolo magnético teria consigo associado um perfil de linhas de campo 
magnético abertas, em simetria radial, tal como indicado pelos vetores da Fig. (3): 
 
Figura 3: Perfil de linhas de campo geradas por um monopolo magnético 
 
Importante destacar que se houvesse monopolos magnéticos na natureza (e linhas de campo 
magnético abertas), então teríamos: 
ˆ 0
S
B ndS⋅ ≠∫


. (CB2) 
A inexistência de monopolos magnéticos implica no fato do divergente do campo 
magnético ser nulo. Este resultado, que consiste na 2º equação de Maxwell, pode ser obtido 
diretamente do teorema da divergência de Gauss: ( )ˆ
S V
B ndS B dV⋅ = ∇ ⋅∫ ∫
  

. Como não existem 
 
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monopolos magnéticos, as linhas de campo magnético são sempre fechadas (saem do polo 
norte e chegam no polo sul). Em consequência, o fluxo do campo magnético por qualquer 
superfície S, fechada, englobando o dipolo, é sempre nulo, ou seja, ˆ 0
S
B ndS⋅ =∫


. O teorema 
de Gauss implica em 
( )ˆ 0
S V
B ndS B dV⋅ = ∇ ⋅ =∫ ∫
  

. (CB3)
 
Para a equação anterior ser sempre verdadeira, devemos ter:
 
 0B∇ ⋅ =
 
, (CB4) 
indicando que o divergente do campo magnético é nulo. 
 
Força magnética: 
 
À primeira vista, podemos dizer que a força magnética é a força (de atração ou 
repulsão) que um magneto exerce sobre outro magneto, situação familiar para a maioria das 
crianças curiosas. Entretanto, a força magnética não atua apenas entre ímãs, mas aparece 
numa ampla diversidade de situações envolvendo correntes elétricas e cargas em movimento. 
Fundamentalmente, podemos afirmar que existe força magnética entre dois corpos quando 
os mesmos são capazes de gerar e responder à ação de um campo magnético. Cargas 
elétricas em movimento são elementos que originam campos magnéticos e também sofrem 
ação dos mesmos. Portanto, concluímos que sistemas compostos por correntes elétricas e 
cargas em movimentos têm suas partes sujeitas à ação de força magnética. 
Para iniciarmoso estudo que permite quantificar a força magnética, devemos 
determinar a força magnética que atua sobre uma carga q puntiforme. Para isto, faz-se 
necessário conhecer o campo magnético 

B estabelecido na região do espaço onde tal carga 
se desloca com velocidade v . Esta força magnética é dada por: 
( )vmF q B= ×
 
 . (CB5) 
O sentido e direção de mF

 é dado pela regra da mão direita. 
 Notação: 



⊗
•
planonoentrando
planodosaindo
 
 
Sendo mF

um vetor axial (vetor dado pelo produto vetorial de 
dois outros vetores), mF

 terá a direção de um vetor ortogonal ao plano definido pelos vetores 
v e

B : v,F B⊥
 
 . O sentido de mF

é dado pela regra da mão-direita, cuja aplicação está 
ilustrada na Fig. (4), que mostra o dedão alinhado com a direção da velocidade, enquanto os 
outros dedos ficam alinhados com o campo B

, neste caso o sentido da força magnética é saindo 
da palma da mão. 
 
 
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• Figura 4: Regra da mão direita para a os vetores 
velocidade (V), campo magnético (B) e força 
magnética (F) 
 
• Figura 5: Força magnética, velocidade e campo 
magnético.
 
A Fig. (5) exibe uma situação geral em que o campo B

e vetor velocidade v formam um ângulo 
θ . Neste caso, o módulo da força magnética vale: vmF q Bsenθ=

. 
 
Na verdade, a força total que atua sobre uma carga imersa em um campo 
eletromagnético é dada pela força de Lorentz, soma da força elétrica com a força 
magnética: 
vL e mF F F qE q B= + = + ×
    
 , 
( v )LF q E B= + ×
  
 . (CB6) 
É a força de Lorentz que rege a evolução de uma carga numa região do espaço 
dotada de campo elétrico e magnético, simultaneamente. 
Unidade de campo magnético: a unidade do campo magnético pode ser obtida 
diretamente da fórmula da força magnética, sendo dada pelo Tesla (T) no S.I. e pelo Gauss 
(G) no C.G.S. Tomando a fórmula da força magnética na sua formulação dimensional, 
escrevemos: 
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]
v 
vm
F
F q B B
q
= ⇒ = . 
[ ] /
/ /
N Ns N CB
Cm s Cm m s
= = = 
1 /1 
/
N CT
m s
= . (CB8) 
No sistema CGS: A unidade de campo magnético é Gauss (G), em homenagem ao eminente 
Carl Friedrich Gauss, físico e matemático alemão que formulou a famosa lei de Gauss e 
também efetuou as primeiras medidas de campo magnético, dentre muitas outras 
contribuições importantes à Física e a Matemática. 
O Campo magnético da Terra vale aproximadamente 0,6B G≅ , enquanto o campo 
gerado por um pequeno magneto de ferro vale cerca de 100 G. Materiais de 
comportamento magnético pronunciado, tal como a liga nióbio-ferro-boro (NIB), são 
 
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capazes de originar campos bem mais intensos. Um pequeno ímã de NIB é capaz de criar 
um campo de 2000 G. Atualmente, existem grandes eletroímãs que produzem em 
laboratório campos tão intensos quanto 15.000 G. 
A conversão entre o Tesla e o Gauss é: 1T = 104G. Vemos assim que o Gauss é mais 
indicado para medida de campos de baixa intensidade, enquanto o Tesla é mais apropriado 
para medida de campos de alta intensidade. 
 
CARGA ELÉTRICA EM MOVIMENTO SOB AÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO 
UNIFORME 
 
a) Movimento Circular 
Um dos casos mais importantes relacionadas ao movimento de cargas em meio a 
campos magnéticos é o de uma carga elétrica pontual em um campo magnético uniforme 
(constante). Esta é uma situação de grande interesse devido a sua enorme aplicabilidade 
em diversos dispositivos com finalidade experimental, voltados para a detecção de 
partículas elementares e aplicações tecnológicas diversas. Devido ao fato da força 
magnética ser proporcional ao produto vetorial v B×

 , é fácil mostrar que uma carga elétrica 
q é impelida a realizar movimento circular uniforme (MCU) em meio a um campo magnético 
uniforme. 
 Além disto, o sentido da deflexão 
está atrelado ao sinal da carga elétrica: 
para cada configuração de campo B

 e 
velocidade inicial, v , existem dois 
sentidos opostos de deflexão 
associados ao sinal da carga elétrica. 
Ocorre que cargas elétricas de sinais 
opostos sofrem ação de forças 
magnética opostas. A Fig. (6) ilustra 
bem as duas possibilidades de deflexão 
para um campo magnético saindo do 
plano do papel. 
 
• Figura 6: Movimento de Carga q em 
campo magnético B 
 
A Fig. (7) ilustra em detalhes a situação em que uma carga elétrica q aproxima-se de 
uma região do espaço provida de um campo magnético uniforme (com sentido saindo do 
plano do papel), aqui representado por um conjunto de círculos concêntricos eqüidistantes 
um do outro. A uniformidade do campo está obviamente associada ao fato da densidade 
de linhas de campo magnético ser a mesma em todo espaço. Numa situação de campo 
não-uniforme, o campo é mais intenso na região onde há maior densidade de linhas de 
campo (linhas de campo mais próximas umas das outras). 
 
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 A carga segue em movimento retilíneo uniforme (MRU) até o momento que adentra a 
região permeada pelo campo magnético, quando então passa a sofrer ação da força 
magnética (sempre ortogonal ao plano delimitado pelos vetores v e B

), cujo sentido é 
dado pela regra da mão-direita. No momento inicial da interação carga-campo, a força 
magnética é vertical para baixo, o que faz o vetor velocidade inclinar-se para baixo. A partir 
de então a força magnética deixa de ser vertical, mantendo-se sempre ortogonal à 
velocidade, passando a atuar como força centrípeta, que altera a direção do movimento, 
mas não o módulo da velocidade. Com isto, a partícula passa a realizar um MCU enquanto 
tiver na região com campo magnético. No momento em que partícula abandona a região 
do campo, deixa de sofrer a ação de força magnética, volta a realizar um MRU, como ilustra 
a Fig. (7). 
 
 
• Figura 7: Movimento de uma carga q em uma região com campo magnético uniforme 
 
Ademais, é muito fácil determinar a freqüência angular do movimento circular descrito pela 
partícula na presença do campo magnético. Para isto, basta observar que a força magnética 
faz o papel da força centrípeta ( m cpF F= ), o que leva a: 
2vv sinq B m
R
θ = . (CB9) 
Como v B⊥

 , temos 90ºθ = , o que implica em: 
2v vv mq B m qB
R R
= ⇒ = . 
Desta última fórmula, obtemos o raio do movimento circular e a velocidade da partícula em 
MCU: 
vmR
qB
= , v qBR
m
= . (CB10) 
O raio R é conhecido como raio de Larmor. Observe que quanto maior a velocidade, maior 
o raio da trajetória (mantendo-se as outras variáveis - , ,B m q - constantes). Por outro lado, 
 
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mantendo-se v, ,m q constantes e aumentando-se a magnitude do campo B, então o raio 
da trajetória circular diminui. 
A freqüência angular ( v/Rω = ) pode ser então obtida diretamente da expressão da 
velocidade, fornecendo: 
qB
m
ω = , (CB11) 
sendo conhecida como frequência de Larmor ou frequência cíclotron. O período do 
movimento ( 2 /T π ω= ) é também facilmente obtido: 
2 mT
qB
π
 
=  
 
. (CB12) 
 
Vemos assim que a freqüência 
angular (e o período do movimento) é 
independente do raio e da velocidade da 
partícula. 
 
Figura 8: MCU de elétron em campo magnéticovertical 
 
 
• Figura 9: Esquema da força magnética 
cada ponto da trajetória circular da carga 
q em campo B 
 
As partículas mais rápidas (maior v) movem-se em círculos de maior raio, enquanto as 
partículas mais lentas movem-se em círculos de menor raio, todas, entretanto, 
completando a volta no mesmo tempo T (desde que possuam a mesma razão massa/carga 
- /q m ). Este importante resultado foi de fundamental importância para a construção do 
primeiro acelerador circular de partículas: o cíclotron de Lawrence, nos anos 40. A 
freqüência do movimento da partícula no campo magnético depende apenas da razão 
massa/carga - /q m e da magnitude do campo, B, sendo denominada de freqüência 
cíclotron. A Fig. (8) ilustra uma carga em MCU em meio a um campo magnético uniforme, 
exibindo a velocidade e força magnética em alguns pontos da trajetória. 
 
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b) Movimento Helicoidal em campo uniforme 
 
É importante destacar que o movimento da partícula só será perfeitamente circular quando 
a sua velocidade inicial (velocidade de entrada na região com campo) é exatamente 
perpendicular ao campo magnético. Se a partícula possui uma velocidade inicial paralela à 
direção do campo B, dada por //v
 , então ela continua em MRU ao longo da direção inicial o 
tempo todo, pois a componente de velocidade //v
 não implica em força magnética //(v 0)B× =


. Em uma situação genérica, a velocidade inicial da partícula v possui uma componente 
ortogonal ( v⊥
 ) e outra paralela ( //v
 ) ao campo magnético, sendo escrita como: //v v v⊥= +
   . 
Enquanto a componente ortogonal origina um movimento circular uniforme cujo raio é dado 
por v /R m qB⊥= , a componente longitudinal da velocidade mantém-se inalterada sob ação do 
campo, perpetuando um MRU, que ocorre simultaneamente ao MCU. A conjugação destes 
dois movimentos determina então uma trajetória helicoidal, que se estende na direção de //v

. Isto significa que ao adentrar na região com campo magnético, a partícula passa a descrever 
hélice com eixo central alinhado na direção do campo B. Vide Fig. (9). Será a magnitude da 
componente //v
 que determinará o passo da hélice (distância entre dois laços adjacentes), 
dado por: //vPassoS T∆ = , onde 2 /T π ω= é o período do movimento circular. Sendo /qB mω = , 
resulta: //2 v /PassoS m qBπ∆ = . Supondo-se que a partícula carregada adentra na região do 
campo com velocidade inicial que faz um ângulo α com a direção do campo, temos: 
//v vcos , v vsinα α⊥= =
 
. (CB13) 
 
Deste modo, o raio da hélice e o passo do movimento valem: 
( )vsin /R m qBα= , ( )2 vcos /PassoS m qBπ α∆ = . (CB14) 
 
Quanto maior //v
 , maior o passo, e 
mais aberta será a hélice (laços adjacentes 
mais espaçados entre si). Quando menor 
//v
 , menor o passo, e mais compacta é a 
hélice (laços adjacentes mais próximos 
entre si). A Fig. (10) ilustra uma situação 
em que o campo magnético aponta na 
direção do eixo-x, e a velocidade inicial da 
partícula possui ambas componentes não-
nulas. 
 
 
• Figura 10: movimento helicoidal em torno das linhas 
de campo magnético (B) constante
 
 
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Solução formal via equação diferencial: A solução para este problema pode também ser obtida 
diretamente da 2ª lei de Newton, que é escrita como: 
( )
2
2 v
d rm q B
dt
= ×


 . (CB15) 
Para (0,0, )B B=

, e v (v ,v ,v )x y= 
 , temos: ˆ ˆv v vy xB Bx By× = −

 , de modo que a equação de 
movimento é: ˆ ˆv vy xmr q Bx q By= −

 . Lembrando que ( ), ,r x y z= , e escrevendo os vetores em 
forma de matrizes colunas, temos: 
 
 0
x By
m y q Bx
z
   
   = −   
   
   
 
 

, (CB16) 
que implica em três equações diferenciais, 
,mx qBy=  (CB17A) 
,my qBx= −  (CB17B) 
0mz = , (CB17C) 
sendo as duas primeiras acopladas. Podemos iniciar pela solução da Eq. (CB17C), cuja 
integração temporal implica em z cte= ou vz cte= , ou seja, vzz = . Integrando novamente 
no tempo, obtemos: 
0( ) vzz t t z= + , (CB18) 
 sendo 0z uma constante. Esta solução confirma o que já sabemos: a partícula descrever um 
MRU (movimento retilíneo uniforme) ao longo o eixo em que aponta o campo magnético. 
Integrando a Eq. (CB17B), temos: 
qBy x a
m
= − + . (CB19) 
Substituindo na Eq. (CB17A), temos: 
2
,qB qBx x a
m m
 = − + 
 
 (CB20) 
Escolhendo 0a = , temos a equação do oscilador harmônico simples, 20 0x xω+ = , onde 
( )0 /qB mω = , cuja solução é: 
( )0( ) cosx t A tω= . (CB21) 
Substituindo esta solução na Eq. (CB20): 
 
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( )0cos
qBy A t
m
ω= − , (CB22) 
cuja integração leva a ( ) ( )0 0
0
( ) sin sin .qB Ay t t b A t b
m
ω ω
ω
= − + = − + Tomando 0b = , temos 
simplesmente: 
( )0( ) sin .y t A tω= − (CB23) 
Note que a Eq. (CB20) junto com a Eq. (CB22) representa um movimento circular de raio igual 
a A no plano x-y. De fato: 
2 2 2( ) ( )x t y t A+ = . (CB24) 
Este resultado certamente é compatível com o movimento helicoidal ao longo eixo-z, cuja 
projeção no plano x-y é círculo de raio A. Para compatibilizar melhor estas duas descrições, 
devemos mostrar que o raio do círculo, A, é dado por vmR
qB
= . Esta demonstração deve ser 
obtida dentro da solução das equações diferenciais (CB17A) - (CB17C). Considerando as 
Eqs. (CB21) e (CB23), temos as componentes da velocidade transversal v⊥
 : 
( )0 0( ) sinx t A tω ω= − , ( )0 0( ) sin .y t A tω ω= − Seu módulo quadrático vale: 2 2 2v x y⊥ = +

  , ou 
seja, 
2 2 2
0v A ω⊥ =

. (CB25) 
Esta velocidade coincide com aquela da Eq. (CB10), ou seja, 0v
qBR A
m
ω⊥ = = , o que leva 
simplesmente a: A R= , como esperado. 
 
 
Figura 11: Ilustração da entrada de uma 
partícula carregada q em um campo magnético 
uniforme B a partícula passa a descrever uma 
hélice em torno do eixo do campo magnético. 
 
Figura 12: Ilustração das componentes ortogonal 
( v⊥

) e paralela ( //v

) da velocidade ao 
campo magnético.
 
 
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c) Movimento Helicoidal em campo magnético variável 
 
Ao adentrar em um campo magnético não uniforme, com velocidade não ortogonal ao campo, 
a partícula continuará realizando movimento helicoidal, com eixo alinhado ao campo 
magnético. Só que a hélice não será uniforme: terá raio e passo variáveis, na medida em que 
o campo B muda de intensidade. Lembrando que ( )vsin /R m qBα= , 
( )2 vcos /PassoS m qBπ α∆ = , notamos que o raio e o passo da hélice diminuem com o 
aumento da magnitude do campo B. Deste modo, quando a partícula passa de uma região 
de menor para maior campo B, os círculos da hélice tornam-se menores (menor raio) e mais 
próximas umas das outras (menor passo). Noteque a diminuição do passo está associada à 
redução da velocidade na direção longitudinal ao campo B, que ocorre quando a partícula 
passa para uma região de maior campo magnético. 
Este tema é bastante importante no estudo de plasmas, estado da matéria constituído 
para partículas carregadas (elétrons, prótons e íons) dissociadas, sujeitas à ação de campos 
eletromagnéticos. 
 
 
• Figura 13: Ilustração do movimento helicoidal de uma partícula carregada que se desloca em um campo magnético 
crescente ao longo do eixo-z, ou seja, 0B
z
∂
>
∂
. 
 
O movimento de partículas carregadas em campo magnético variável encontra um 
laboratório natural nas camadas atmosféricas mais externas da Terra. De fato, a atmosfera 
terrestre é constantemente bombardeada por feixes de partículas carregadas advindas do Sol 
(vento solar) e do meio interestelar (raios cósmicos). 
Ao sofrer influência do campo magnético terrestre, tais partículas alinham-se com as 
linhas de campo, sendo aprisionadas em movimento helicoidal em torno das mesmas, tal 
como ilustrado na Fig. (12) e (13). Tais partículas são direcionadas para o pólo Norte ou polo 
Sul magnéticos, gerando o fenômeno da aurora boreal (no polo norte) e aurora austral (no 
polo norte), quando adentram as camadas mais internas da atmosfera. 
 
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As Fig. (12) e (13) representam ilustrações artísticas do movimento helicoidal de 
partículas carregadas no campo magnético da Terra. Note que os laços da hélice tornam-se 
maiores e mais afastados na região de menor campo magnético (mais distante da Terra). A 
região da atmosfera onde estas partículas são aprisionadas nestas órbitas helicoidais recebeu a 
denominação de cinturão de radiação de Van Allen, em homenagem a James Van Allen, que 
primeiro percebeu este fenômeno. 
 
• Figura 14: Ilustração do movimento helicoidal de 
partículas carregadas no campo magnético da Terra. 
 
 
• Figura 15: Ilustração da “entrada” de 
partículas carregadas na atmosfera da 
Terra, via aprisionamento nas linhas do 
campo magnético terrestre 
 
Há um cinturão mais externo, que aprisiona principalmente elétrons e um cinturão mais 
interno que aprisiona elétrons e prótons. As partículas que circulam nestes cinturões são 
prejudiciais aos satélites, que devem ser equipados com proteção de blindagem quando suas 
órbitas cruzam tais cinturões. A densidade de partículas nestes cinturões é bastante afetada pelo 
vento solar, sendo bastante aumentada em tempestades solares. 
 
DESCOBERTA DO POSITRON POR CARL ANDERSON 
 
A descoberta do pósitron, no inicio dos 
anos 30, é mais um caso de experimento que 
pode ser descrito simplesmente pela ação de 
um campo magnético sobre uma partícula 
carregada que atravessa a região de um 
detector chamado “câmara de Wilson”. 
Coube a Carl Anderson a descoberta do 
pósitron, anti-partícula do elétron, por volta 
de 1931 no Caltech. A descoberta ocorreu 
através da análise de trajetórias de raios 
cósmicos ou partículas criadas por raios 
cósmicos através de uma câmera de nuvens, 
onde foi observado a presença de partículas 
com trajetórias de curvatura igual a de 
elétrons, ou seja, partículas com a mesma 
razão carga/massa do elétron, porém com 
carga oposta, o que se adequava com a 
previsão de anti-partícula de Paul Dirac. A 
descoberta do pósitron foi mais um caso de 
experimento relevante que ocorreu na na 
chamada Câmara de Núvens de Wilson, um 
dispositivo que registrava a trajetória de 
partículas carregadas no interior de uma 
atmosfera suturada de vapor d´água, cuja 
invenção valeu o Prêmio Nobel de Física de 
1927 a Charles Wilson. 
http://en.wikipedia.org/wiki/James_Van_Allen
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 14 
 
 
 
Figura 16: Câmera de Nuvens de Wilson em 
exposição no Museu Cavendish, do Laboratório 
Cavendish (Universidade de Cambridge), onde 
foi primeiramente usado. 
 
A Câmara de Wilson foi inventada 
por Charles Thomson Rees Wilson, em 1897, 
na Universidade de Cambridge. É também 
denominada de câmara de nuvens, uma vez 
que contém uma câmara ou região limitada 
por uma campânula de vidro que contém 
uma atmosfera saturada de vapor d'água. 
Quando uma partícula carregada passa 
nesta atmosfera, causa ionização das 
gotículas de água adjacentes a sua trajetória, 
que agregam então outras gotículas por 
atração eletrostática, formando um rastro de 
pequenas gotas macroscópicas. Foi um 
instrumento importante em experimentos que 
revelaram a existências de partículas 
fundamentais da natureza, tais como os 
experimentos com raios catódicos Joseph 
John Thomson, no laboratório Cavendish por 
volta de 1897. 
 
EXPERIMENTO: Para um campo B entrando no plano do papel, temos: 
• Um elétron ( 0q < ) vindo de baixo para cima sofre deflexão lateral para direita. 
• Um elétron positivo ( 0q > ) vindo de cima para baixo, sofre deflexão também para a 
direita. 
 
Figura 17: Elétron ( 0q < ) vindo de baixo 
para cima sofre deflexão lateral para direita. 
 
Figura 18: Elétron positivo ( 0q > ) vindo de 
cima para baixo, sofre deflexão também 
para a direita. 
 
• Como a razão carga/massa é a mesma para o elétron e para o pósitron, Anderson sabia 
que tais partículas teriam trajetórias como mesmo raio e mesma curvatura em um campo 
magnético B conhecido. Isso geraria uma ambiguidade para a natureza da partícula que 
descrevia a trajetória. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Thomson_Rees_Wilson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 15 
 
 
Figura 19: Registro de trajetória de partícula de carga 
+ q na câmera de Wilson vindo de cima para baixo 
 
 
Figura 20: Registro de trajetória de partícula de carga 
+ q na câmera de Wilson vindo de baixo para cima 
 
• Para sanar a dúvida, uma vez que processo de formação da trajetória não era visualizado 
no detector, era necessário saber de onde vinha a partícula. Para saber o sentido de 
origem da partícula, e resolver essa ambiguidade, Anderson colocou uma placa de chumbo 
no meio da câmera de nuvens, de modo que ao passar por ela o elétron perderia 
velocidade e seu raio de curvatura diminuiria (trajetória torna-se-ia mais curva após passar 
através da placa), pois v /R m qB= . Quanto menor o raio, maior a curvatura, e vice-versa! 
• Carl Anderson concluiu então que havia trajetórias compatíveis com uma partícula 
de mesma massa do elétron e carga oposta (“elétron positivo”). Desta forma, foi 
descoberto o pósitron! Por esse feito, Anderson foi laureado com prêmio Nobel de 
Física de 1936. Carl Anderson também descobriu o múon, outra partícula da família 
dos léptons, em 1936. 
 
GARRAFA MAGNÉTICA 
A garrafa magnética (magnetic bottle) é um dispositivo formado por duas bobinas paralelas 
(coins), que funcionam como eletroímãs, que criam um campo magnético não uniforme na região 
entre as mesmas, sendo mais intenso nas proximidades das duas bobinas. Tal campo aprisiona 
partículas carregadas, que executam movimentos circulares de raio e passo maior na região onde 
a magnitude do campo B é menor, e vice-versa. Na ilustração que se segue, percebemos que o 
raio do movimento circular e espaçamento entre as voltas cresce nas regiões onde o campo é 
menos intenso e vice-versa. 
A “garrafa magnética” é um dispositivo onde ocorre a reflexão magnética, na qual uma 
partícula carregada inverte seu momento devido à ação de um campo magnético anisotrópico, 
num processo ou mecanismo que chamamos de “espelho magnético”. A reflexão magnética é um 
fenômeno bastante importante em física de plasmas, com repercussões em modelos astrofísicos, 
onde a reflexão especularde partículas em nuvens magnéticas é uma das ideias de base do 
chamado Mecanismo de Fermi para aceleração de raios cósmicos ultra-energéticos. 
 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 16 
 
 
Figura 21: Ilustração da garrafa magnética 
 
 
Carga elétrica em movimento sob ação de um campo magnético e elétrico uniformes 
 Neste caso, o movimento da partícula será regido pela força de Lorentz. Sabemos que 
a força magnética originará um movimento circular ao longo do plano que contém os 
vetores v e mF

. Por outro lado, há também força elétrica, que gera um movimento 
uniforme (“drift motion”) ao longo da direção do vetor E B×
 
, com velocidade de 
deslocamento dada por ( ) 2E B B×  . O movimento resultante helicoidal da carga será uma 
combinação do movimento circular e do retilíneo uniforme ao longo do eixo dado pelo vetor 
E B×
 
. 
INCOMPLETO 
 
Considere uma carga pontual q submetida à ação de um campo eletromagnético constituído por 
campos E e B ortogonais, dados por: ˆ ˆ, E Ei B Bz= =
 
. (a) Escreva a segunda lei de Newton para esta 
partícula, obtendo as equações diferenciais que regem seu movimento no espaço. (b) Considerando 
uma velocidade inicial dada por 0 0 0ˆ ˆy zu u y u z= +
 , determine as velocidades ( ), ( ), ( )x y zu t u t u t da 
partícula. 
INCOMPLETO 
 
 
FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO DE CORRENTE 
 
Em 1820, Oersted observou que um fio de corrente é capaz de defletir a agulha de 
uma bússola. A explicação óbvia para este fenômeno é dada em termos de um campo 
magnético, criado pelo fio de corrente. Este campo magnético então gera uma força 
magnética sobre a agulha da bússola, que nada mais é que um magneto (ímã com pólos norte 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 17 
 
e sul), deslocando-a da posição inicial. Então podemos assim resumir o efeito observado por 
Oersted: um fio de corrente gera campo magnético que exerce força magnética sobre um 
pequeno ímã. Da mesma forma, o efeito reverso é também observado, ou seja, um campo 
magnético externo gera força sobre um fio de corrente. 
A origem da força magnética sobre um fio de corrente advém da força do campo 
magnético sobre os elétrons livres de condução do metal. Podemos inicialmente escrever a 
força magnética sobre um elétron de condução (do fio condutor), que vale: v ,mF e B= − ×
 

onde v é a velocidade média de deslocamento dos elétrons dentro do condutor. A Fig. 
(16) retrata uma pequena porção de um fio condutor, onde se observa os elétrons em 
movimento translacional com velocidade v . 
 
Figura 22: Portadores de carga com velocidade <v> (drift velocity) em volume v de condutor. 
 
 
Figura 23: Força sobre portador de carga 
(positivo) dentro de condutor de corrente 
Podemos escrever a força sobre elétrons 
contidos num volume V∆ , vmF Ne B= − ×
 
 , 
onde N n V= ∆ é o número de elétrons livres no 
volume V∆ , e n é a densidade de portadores 
de carga (em um metal: 2210≅n átomos/cm3). 
Dividindo a força mF

 pelo elemento de volume 
V∆ , obtemos a densidade de força 
magnética ( )mf

, dada por: 
vm
F Nf e B
V V
= = − ×
∆ ∆



 , 
vmf ne B= − ×


 . 
 
Sabendo que vnej 

−= é a densidade de corrente elétrica, obtemos: 
mf j B= ×



. 
Para calcular a força magnética sobre um condutor de corrente, é necessário primeiro 
escrever o elemento de força infinitesimal que age sobre um elemento de fio de 
comprimento dl, dado por: m mdF f V= ∆


, onde AdlV =∆ . Substituindo a expressão da 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 18 
 
densidade de força magnética, obtemos o elemento de força magnética sobre os elétrons 
contidos no volume V∆ . Temos assim: 
( )m mdF f Adl j B Adl= = ×

 

, 
( )mdF jA Bdl Ajdl B= × = ×
  
 
, 
mdF Ajdl B idl B= × = ×
 
  
, 
onde foi usado i Aj= e dljdlj =

, pois a densidade de corrente tem a mesma direção do 
vetor dl . Portanto, mdF idl B= ×

 
 é o elemento de força sobre um pedaço de fio de tamanho 
infinitesimal dl . 
De posse do elemento de força infinitesimal mdF

, podemos agora obter a força 
magnética que atua sobre um condutor de comprimento L por integração, ou seja, 
integrando-se o elemento de força mdF

 ao longo de todo o fio: 
0
L
m mF dF idl B= = ×∫ ∫

  
. 
No caso elementar em que o fio é retilíneo e o campo magnético é constante, a integral 
C
dl∫

 fornece simplesmente a dimensão (extensão) do fio, levando a: 
mF iL B= ×
  
, 
 que é o resultado encontrado em textos secundaristas para a força magnética entre o 
campo e fio condutor. Observe que esta fórmula é válida apenas para o caso simplificado 
de um fio de corrente retilíneo sujeito à ação de um campo magnético uniforme. 
 Para um circuito de forma arbitrária C, a força é dada por: ( )m CF i dl B= ×∫

 
. Como a 
corrente i que flui pelo circuito é a mesma em toda sua extensão, pode ser retirada 
integral, levando a: 
( )m
C
F i dl B= ×∫

 
, 
onde C representa a forma do circuito (caminho de integração). No caso em que o circuito é 
fechado, temos: 
m C
F i dl B= ×∫

 

. 
Sendo o campo magnético constante, cteB =

, então este campo também sai da 
integral, que é realizada apenas sobre o elemento dl , ou seja: 
( )m CF i dl B= ×∫

 

. 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 19 
 
Vale observar que em geral a integral 
C
dl∫


 não equivale simplesmente ao tamanho 
do fio, uma vez que trata-se de uma integração de um elemento vetorial ( dl

). Em se 
tratando de um circuito fechado, esta integral de linha do elemento vetorial dl

 fornece 
resultado nulo, 0
C
dl =∫


, acarretando força magnética nula sobre o circuito fechado. 
Portanto, se B cte= , a força magnética resultante sobre o circuito é nula, 0mF =

, uma 
Resultado: a força magnética exercida por um campo magnético constante sobre um 
circuito de corrente fechado é nula, independentemente da forma do circuito. Este 
resultado pode ser entendido também através decomposição vetorial do produto dl B×


. 
Tomemos o campo magnético constante ao longo do eixo-x, ˆB Bx=

, e consideraremos o 
circuito C uma linha fechada contido no plano x-y. Desta forma, ˆ ˆdl xdx ydy= +

, de modo 
que ˆ( )dl B Bdy z× = −


. Note então que : 
( ) 00 0
M
M
y
C y
dl B Bdy Bdy× = + =∫ ∫ ∫



, 
onde My designa a coordenada máxima do circuito C no eixo-y (ponto de maior 
coordenada-y), justificando o resultado nulo. Note que se o campo B apontasse no eixo-
y, ˆB By=

, teríamos: 
( ) 00 0
M
M
x
C x
dl B Bdx Bdx× = + =∫ ∫ ∫



. 
 
 
TORQUE MAGNÉTICO SOBRE FIO E CIRCUITO DE CORRENTE 
 
Apesar da força magnética ser NULA sobre um circuito fechado de corrente (no caso de 
B cte=

), o torque da força magnética costuma ter implicações apreciáveis sobre o circuito 
fechado, sendo NÃO-NULO sempre que o campo magnético é não ortogonal ao plano que 
contém o circuito. Uma situação bastante comum de torque não-nulo ocorre em um circuito 
cujos lados opostos sofrem ação de força magnética de sentidos opostos. Tais forças 
constituem um sistema BINÁRIO, cujo torque não-nulo causa ROTAÇÃO. 
 
EXEMPLO RESOLVIDO: cálculo da força e torque magnético sobre circuito de corrente 
retangular. 
Considere a Fig. (18), onde se observa um circuito retangular de lados a e b, por onde passa 
uma corrente i constante. Por fins didáticos, este circuito é dividido em quatro lados: 1,2,3,4. 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de FísicaIII – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 20 
 
No caso, admitimos a presença de um campo magnético uniforme apontando ao longo do 
eixo- jBBy ˆ: =

 (não representado na figura). 
 
• Figura 24: Espira de corrente retangular sob ação de campo magnético. 
Iniciamos calculando a força magnética sobre o lado 1 do circuito, 
11 0,F i dl B= × =∫

 
 
que é nula, 1 //pois dl B


. Pelo mesmo argumento ( 3 //dl B


), concluímos que a força sobre o 
lado 3 também é nula: 
33 0,F i dl B= × =∫

 
 
Cálculo da força sobre o lado 2: 22F i dl B= ×∫

 
, onde 2 ˆdl zdl=

. Temos então: 
2 ˆ ˆˆ ( )F i dlz By i Bdl z y iBx dl= × = × = −∫ ∫ ∫


 , 
2 ˆF iBbx= −

. 
 
Agora vamos proceder ao cálculo do torque da força magnética sobre o circuito retangular. 
Para isto, vamos supor que as forças 42 FeF atuam exatamente sobre o ponto médio dos 
lados 2 e 4, representados aqui por A e B, sendo A o ponto médio do lado 4, onde atua F4 , e 
B o ponto médio do lado 2, onde atua F2. Observe que as forças 42 FeF são ortogonais ao 
plano do circuito, a primeira entrando no plano do papel, a segunda saindo do plano. 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 21 
 
 
• Figura 25: Representação esquemática dos pontos 
de aplicação das forças 
Cálculo da força sobre o lado 4: 
44 0F i dl B= × =∫

 
, onde 4 2dl dl= −
 
.
24 ˆF i dl B iBbx= − × =∫

 
. 
A força resultante sobre o circuito vale: 
1 2 3 4 2 4,RF F F F F F F= + + + = +
      
 
ˆ ˆ 0RF iBbx iBbx= − + =

 
Vemos assim que força resultante sobre 
um circuito fechado é nula ( 0RF =

). 
 
Da Fig. (19), temos: B Ar r a= +
  
, e B Ar r a− =
  
, sendo a o vetor que liga os pontos A e B. O 
torque sobre o circuito é então dado por: 
4 2 ,A Br F r Fτ = × + ×

 
  
onde 4 2F F= −
 
. Temos então: 2 2 2( ) ( ) ,A B B Ar F r F r r Fτ = × − + × = − ×

  
    que conduz a: 
2a Fτ = ×


 , 
com 2ˆ ˆ a aj e F iBbx= = −

 . Temos assim: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, iay Bbx iaBby x iaBbzτ τ= − × = × =
 
, o que leva 
a: 
ˆiSBzτ =

, 
onde S ab= é área do circuito de corrente. Podemos agora mostrar que o torque pode ser 
escrito em termos de um novo vetor: o momento magnético do circuito considerado. 
 
MOMENTO MAGNÉTICO DE UM CIRCUITO ( )m : grandeza vetorial definida como o produto 
da corrente pela área de um circuito, apontando na direção ortogonal ao plano do circuito, ou 
seja, 
niSm ˆ= , 
onde n̂ é o versor normal ao plano da área do circuito, cujo sentido é dado pela regra da 
mão direita (tendo os dedos no sentido da circulação da corrente, e o dedão na direção de n̂
). Outra maneira equivalente de descobrir a orientação de n̂ é a seguinte: alinhando-se em 
direção frontal ao versor n̂ , a corrente circula em sentido anti-horário. 
O momento magnético do circuito da Fig. (16), é dado por: ˆ ˆ m iSn m iabx= ⇒ =  
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 22 
 
Lembrando que o torque sobre o circuito vale, ˆiSBzτ =

, podemos mostrar o que o mesmo pode 
ser escrito em termos do momento de dipolo: ˆ ˆˆ ˆ ˆiSx Bj iSBx j iSBzτ = × = × = . Vemos assim que 
vale: 
m Bτ = ×



. 
 
Ideia Física: quanto maior é o modulo de m , maior é o torque que o circuito sofre num campo 
B

, e maior o efeito do campo sobre o mesmo. Portanto, vemos que o efeito de um campo 
magnético sobre um circuito de corrente é diretamente proporcional à magnitude do momento 
magnético do circuito. Quanto maior for m , maior será o torque sobre o circuito. Associada 
ao torque m Bτ = ×


 , existe uma energia potencial magnética: 
( )U m B= − ⋅  , 
que torna-se mínima na configuração de equilíbrio estável do momento magnético. A força 
sobre um dipolo magnético pode também ser escrita como: 
( )F m B= ∇ ⋅  . 
 
A visão geral do momento 
magnético associado com um pequeno 
circuito de corrente está ilustrada na Fig. 
(17). 
 
• Figura 26: Momento magnético m de um 
circuito de corrente: ortogonal ao plano do 
circuito, com sentido dado pela regra da 
mão direita adaptada (dedão paralelo a m e 
dedos no sentido da corrente). 
 
Sob ação de um campo magnético externo, 
o momento magnético m sofre torque, 
tendendo a alinhar-se com o campo B

. 
Neste sentido, há duas posições de 
equilíbrio: (1) momento magnético paralelo 
e alinhado com o campo B

- equilíbrio 
estável (energia potencial mínima); (2) 
momento magnético antiparalelo ao campo 
B

- equilíbrio instável (energia potencial 
máxima). 
 
OBS.: Numa situação em que ocorre variação de corrente ou de área do circuito, o momento 
magnético deve ser calculado observando a corrente i que circula em cada fragmento de área 
dS do circuito, ou seja, 
dm idS=


 ou m i dS= ∫


. 
 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 23 
 
Existem situações em que o momento de dipolo será melhor dado como: ( )dm S di=


, onde 
S

 é a área delimitada pelo elemento de corrente di . 
 
EXEMPLO RESOLVIDO: (a) Considere um disco de raio R, composto por material isolante, possui 
espessura desprezível (muito fino). O disco possui carga total Q e densidade superficial de carga σ , 
e gira em torno do seu eixo central com velocidade angular ω . Determine o momento de dipolo gerado 
pelo disco em rotação. (b) considere que o disco girante de raio R possui densidade superficial de carga 
σ linearmente crescente com o raio. Determine o momento magnético. 
 
SOLUÇAO: (a) Neste caso, o disco pode ser visto como um conjunto de sucessivos anéis de raio r e 
espessura dr, em sequência, com conteúdo de carga fixa em cada um deles, uma vez que se trata de 
um material isolante (as cargas não se movem através do disco). Em cada anel de raio r e espessura 
dr contém um elemento de carga igual a: 
(2 )dq rdrσ π= , 
que irá gerar uma contribuição infinitesimal de corrente, di , dada por: 
 
(2 ) ( )dq rdrdi rdr
dt T
σ π σ ω= = = , 
onde 2 /T π ω= é o período de revolução do disco. Quanto ao momento de dipolo magnético, cada 
anel de corrente de raio r e espessura dr, por onde circula uma corrente di , possui área 2 ˆS r nπ=

 . 
Logo, irá criar um elemento de momento magnético: ( )dm S di=


, dado a seguir: 
2 ˆ( )dm Sdi r rdr nπ σ ω= =


, cuja integração resulta em: 
 3
0
ˆ
R
m n r drσω π= ∫

, 
4 2
ˆ ˆ
4 4
R Rm n Q nσωπ ω= = . 
 
OBS.: Vale observar que o resultado obtido não é igual ao simples produto da corrente total pela área 
da espira. De fato, a corrente total associada ao disco girante é igual a: 
2 2
00 2 2
R R
Ti rdr r R
σω σωσω= = =∫ . 
A área total do circuito é igual a 2Rπ , de modo que o produto da corrente total pela área vale: 
4 2( )
2 2T
Qi area R Rπσω ω= = . Notamos que esse produto é ½ do momento magnético obtido por 
integração do elemento 2 ˆ( )dm Sdi r rdr nπ σ ω= =

 . Esse fato é corriqueiro em sistemas que possuem 
quantidades não constantes. 
 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 24 
 
(b) Para o disco girante de raio R com densidade superficial de carga linearmente crescente com o 
raio, podemos escrever: ( )r rσ α= . Lembrando que 2(2 ) 2dq rdr r drσ π α π= = e a carga total do 
disco é Q, vale: 
3
2
0
2 2
3
R RQ r drα π πα= =∫ . 
Quanto ao momento de dipolo magnético, em cada anel de corrente de raio r e espessura dr, circula 
uma corrente, dada por: 
2
2(2 ) ( )dq r drdi r dr
dt T
α π α ω= = = . Tal anel encerra uma área de área 
2 ˆS r nπ=

. Logo, irá criar um elemento de momento magnético:( )dm S di=


, dado por 
2 2 ˆ( )dm r r dr nπ α ω= , cuja integração resulta em: 
 
5
4
0
ˆ ˆ
5
R Rm n r dr nαωπ αωπ= =∫

. 
3 2 23 3ˆ ˆ2
3 10 10
R R Rm n n Qω πα ω
 
= =  
 

, 
23 ˆ
10
Rm Q nω= . 
Note que esse momento magnético é 20% maior que o obtido no caso da distribuição homogênea de 
carga. Esse maior momento é de fato esperado, uma vez que quando ( )r rσ α= a carga estará mais 
concentrada nos anéis mais externos do disco, o que gera correntes ainda maiores nestes anéis, que 
também possuem áreas maiores. A integração reflete uma média ponderada onde a maior contribuição 
vem dos anéis mais externos. 
 
DINÂMICA DO MOMENTO MAGNÉTICO EM UM CAMPO B EXTERNO 
 
É importante DISTINGUIR entre dois cenários relevantes em um campo magnético 
externo: 1) o comportamento do momento magnético de um ímã permanente; 2) o 
comportamento de momento magnético de um átomo, partícula ou sistema quântico. 
 
• 1) No primeiro caso, o momento magnético m sofre torque, que causa rotação, 
fazendo esse vetor alinhar-se com o campo B

. Esse é o cenário ilustrado na Fig. (21), 
muito similar ao que ocorre com um momento de dipolo elétrico p sob ação de um 
campo elétrico externo. 
 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 25 
 
 
Figura 27: A primeira ilustração mostra um dipolo magnético sob ação de campo magnético constante, sofrendo 
torque que causa rotação e alinhamento com as linhas do campo magnético. A segunda ilustração mostra um 
dipolo magnético sofrendo força em um campo magnético não uniforme, em que o produto escalar m B⋅


é não 
constante também. Neste caso, a força tem o mesmo sentido do gradiente do campo magnético, ou seja, aponta 
no sentido em que o campo magnético aumenta. 
 
Figura 28: Ilustração do momento magnético em campo magnético B

 externo 
 
• 2) No segundo caso, o momento magnético m sofre torque, que também causa 
rotação. Mas como neste caso m é proporcional ao momento angular da partícula 
que gera a corrente, 2 ˆL m r zω=

, o vetor m não se alinhará com o campo B

! Em 
vez disto, realizará movimento de precessão em torno do eixo do campo magnético. 
 
No contexto do mundo atômico, átomos e partículas elementares possuem momento 
magnético, sendo essa uma propriedade de partículas, átomos, moléculas, importante para 
descrever a verdade do mundo subatômico em sua riqueza de detalhes. O momento 
magnético de átomos é o elemento de magnetismo gera “magnetização” macroscópica, sendo 
responsável por diversas propriedades magnéticas da matéria (magnetismo, diamagnetismo, 
paramagnetismo). É fácil ilustrar como um átomo pode exibir momento magnético. Tomemos 
como exemplo o átomo de hidrogênio, ilustrado na Fig. (23). 
 
O movimento orbital do elétron em torno do núcleo, que ocorre com frequência ν , gera uma 
corrente i igual a: i eν= . O momento angular está dado por: 2 ˆL m r zω=

, sendo o eixo-z 
vertical. Por sua vez, o momento magnético é dado por: ˆ( )iS zµ = − ou 2 ˆ( )i r zµ π= − . 
Substituindo i eν= , resulta: 2 ˆ( )e r zµ νπ= − . Comparando estes últimos resultados, decorre: 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 26 
 
e L
m
νµ π
ω
= −


 , 
2
e L
m
µ = −


, 
2
q L
m
µ =


 
onde usamos 2ω πν= . Para uma carga q, esta última fórmula pode ser escrita como: 
 
Figura 29: Ilustração do momento angular (L) e momento magnético µ do átomo de hidrogênio. 
Ilustração típica para carga elétrica negativa. 
Vamos agora considerar o momento magnético atômico sob a influência de um campo 
magnético externo, tal qual ilustrado na Fig. (23). O diferencial essencial é que agora o 
momento magnético é proporcional ao momento angular, e torque é a derivada temporal do 
momento angular. 
Como Bτ µ= ×



, escrevemos: 
2
dL q L B
dt m
= ×

 
. 
Sendo a variação do momento angular, ,dL

 um vetor que aponta no plano ortogonal a L

 e 
B

, será sempre ortogonal ao vetor L

. Isto significa que o torque não causará mudança no 
módulo do momento angular, e sim apenas mudança de direção no vetor L

. Tal mudança 
ocorrerá sempre no plano ortogonal L

 e B

, causando a precessão (rotação) do vetor 
momento magnético em torno do campo magnético, tal qual ilustrado na Fig. (24) 
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 27 
 
De acordo com esta figura, onde θ é o ângulo que o vetor L

 forma com o eixo-z, a variação 
do vetor L será dada por: 
( )sindL L θ φ= ∆

, 
sendo φ o ângulo descrito pela ponta do vetor L

 no círculo na extremidade do cone varrido 
por L

. Importante notar que a variação do momento angular é equivalentemente dada por: 
sin
2
qdL LB dt
m
θ=

. 
Igualando as duas últimas formas, ( )sin sin
2
qL LB t
m
θ φ θ∆ = ∆ , resulta: 
2
qB
t m
φ ω∆ = =
∆
. 
Esta é a chamada frequência de Larmor de precessão, que descreve o ritmo do movimento 
precessional do momento magnético em torno do campo magnético. Essa frequência pode 
ser medida com grande precisão experimental em diversos experimentos, sendo uma 
grandeza simplesmente fundamental em sistemas quânticos de partículas com spin em 
campo magnético. 
 
• Figura 30: Ilustração do movimento de precessão do momento magnético em torno do campo B

 
 
EFEITO HALL 
O chamado efeito Hall, foi descoberto em 1879 por Edwin Herbert Hall durante o desenvolvimento do 
seu doutorado em física (sob a orientação de Henry Rowland, na Universidade Johns Hopkins - USA), 
quando realizava ensaios experimentais acerca da influência do campo magnético sobre os portadores 
de carga em circuitos de corrente elétrica. Essa foi uma descoberta baseada no uso da força de Lorentz, 
realizada quase 20 anos antes da descoberta do elétron por J.J.Thomson. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Henry_Augustus_Rowland
https://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_Johns_Hopkins
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 28 
 
Durante seus estudos de doutorado, Edwin Hall buscava entender qual a influência de um campo 
magnético externo sob um fio condutor. Tentava elucidar se a força devido a este campo externo atuaria 
apenas sobre os portadores de corrente elétrica ou sobre o fio como um todo. Hall, a princípio, 
acreditava que essa força magnética atuaria sobre os portadores de carga fazendo com que a corrente 
se deslocasse para uma determinada região do fio, fazendo, portanto, a resistência elétrica do fio 
aumentar. Apesar de não observar o aumento na resistência elétrica em seus experimentos, Hall 
desconfiava que de alguma forma a corrente elétrica era alterada. Ele então propôs a presença de um 
estado de “stress” em uma determinada região do condutor, devido ao acúmulo de portadores de carga, 
que originaria uma diferença de potencial transversal à direção da corrente, mais tarde denominada 
de tensão de Hall. 
 
O efeito Hall clássico consiste na geração de uma d.d.p. (d.d.p. Hall, tensão ou voltagem Hall) na 
direção transversal ao fluxo de corrente, devido à aplicação de um campo magnético externo, também 
ortogonal ao condutor. A magnitude do efeito é proporcional à magnitude da voltagem Hall induzida no 
condutor, que é uma medida do produto da densidade de corrente com o campo magnético aplicado. 
Como a corrente decorre da existência de um campo elétrico dentro do condutor, concluímos que o 
efeito Hall está associado a campos E e B ortogonais (cruzados). 
Para estudar o efeito Hall, vamos tomar como ponto de partida aparato experimental padrão em que 
esse efeito foi inicialmente investigado. 
 
 
 
Neste esquema, a bateria V cria um campo elétrico xE, que gera densidade de corrente xj

 e 
corrente i. Aplica-se então um campo magnético B

, que aponta na direção do eixo-z, ortogonal ao 
fluxo de corrente, e irá exercer força magnética sobre os portadores de carga e sobre a densidade de 
corrente. Como sabemos, a força magnética vale vmf ne B= − ×


 . Dado que vj ne= −

 é a 
densidade de corrente elétrica, obtemos: mf j B= ×



. Desta forma, a força magnética irá será sempre 
no sentido do produto vetorial j B×


, sejam os portadores de carga negativos ou positivos. No caso de 
elétrons, a velocidade dos mesmos v aponta sempre no sentido oposto ao da densidade de corrente, 
convenção que está apropriadamente capturada no sinal negativo da relação . 
Para densidade de corrente fluindo no eixo-x e campo magnético apontando ao longo do eixo-z, 
temos: ˆ( )m x xf j B j B y= × = −



. Podemos também escrever a força magnética sobre cada portador de 
carga: vmF q B= ×
 
. No esquema Figura anterior, as cargas negativas sofrerão força no sentido de 
ŷ− , que causará um acúmulo de elétrons na lateral direita do condutor (do ponto de vista de quem 
trafega no sentido da corrente no condutor). O acúmulo de carga negativa do lado direito gera acúmulo 
igual de cargas positivas (ausência de cargas) do lado esquerdo. Essa segregação de cargas na 
dimensão transversal à corrente, gera um campo elétrico Hall nesta dimensão. O acúmulo de cargas 
vnej 

−=
 
[Prof. Manoel M. Ferreira Jr Notas de aula de Física III – Campo magnético, força magnética e 
movimento em campo magnético] 29 
 
se estabiliza quando o campo elétrico produz uma força que se iguala e anula a força magnética, 
vmF q B= ×
 
, ou seja, vhallqE q B= ×
 
 , de modo que: 
vhall
jE B B
nq
= × = ×

  
 . 
OBS.: Importante mencionar que se a corrente for composta por cargas positivas em deslocamento, o 
acúmulo de cargas ocorre da mesma forma, e o campo elétrico Hall aponta no mesmo sentido. Essa 
informação é relevante em vários materiais, como os supercondutores, onde os portadores de cargas 
(buracos) são positivos. 
A d.d.p. Hall é dada simplesmente por (largura)hallE × , ou seja, o produto deste campo pela 
largura do condutor na dimensão onde ocorre o estabelecimento do mesmo. De acordo com o 
esquema da figura, temos: 
hall hall
jBV E W W
nq
= = . 
O chamado “coeficiente Hall” é definido como a razão entre o campo elétrico Hall e a força 
magnética atuante no sistema, ou seja: 
hall
hall
ER
jB
= ou 1hallR nq
= , 
sendo uma medida do produto nq do condutor. 
 
Importante mencionar que a f.e.m. Hall é bastante diminuta, sendo medida apenas em 
experimentos com sensibilidade adequada. Como exemplo, tomemos um condutor de seção retangular 
de 5mm de largura por 1 mm de espessura, com 2910 portadores de carga por m3, onde há uma 
corrente de 1A, num campo magnético de elevada intensidade (B=1T). A densidade de corrente neste 
condutor vale: 
6 2
2 7 2
1,0 1,0 2,0 10
0.5 5 10
ij Am
S mm m
−
−= = = = ××
 
6 4
3 7
29 19 10
2.0 10 1 105 10 6 10
10 1.6 10 10 1.6hall
V Volt− −−
× ×
= × × = ×
× × ×
 .