Aula 4 - Cálculo de eixos

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Prof. Paulo Luiz da Silva Barros Página 1 de 11 
paulo.barros@docente.unip.br 25/04/19 
Curso: Engenharia Mecânica 
Disciplina: Projeto de Elementos de Máquinas Aula: 4 
 
Transmissão de Potência através de Eixos, acoplamentos, Chavetas e 
Estrias 
 
1- Definição – são elementos de construção mecânica, que se destinam a suportar outros 
elementos como polias, engrenagens, rolamentos, rodas de atrito, etc, com a finalidade de 
transmitir movimentos. 
 
2- Tipos de eixos – são classificados em dois tipos: 
 
a) Eixo fixo – mais conhecidos como “eixo” 
 
Ex.: eixo dianteiro de um veículo de tração traseira. 
 
b) Eixo móvel – mais conhecidos como “eixos-árvores” 
 
 
 
 
 
 
 
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3- Materiais Indicados – para os eixos com diâmetros menores que 150 mm, são torneados ou 
trefilados à frio. Os materiais mais utilizados são: 
 
- Aço carbono: 
 
DIN ABNT/SAE Tensão de Ruptura 
σ (N/mm2) 
Tensão de Escoamento 
δ (N/mm2) 
Dureza Fornec. HB 
(N/mm2) 
ST 42,11 1025 500 230 1200 - 1400 
ST 50,11 1035 600 270 1400 - 1700 
ST 60,11 1045 700 300 1700 - 1950 
ST 70,11 1060 850 350 1950 - 2400 
 
- Aço Ligados: 
 
DIN ABNT/SAE Tensão de Ruptura 
σ (N/mm2) 
Tensão de Escoamento 
δ (N/mm2) 
Dureza Fornec. HB 
(N/mm2) 
20 Mn Cr4 4120 1000 600 207 
25 Mn Cr4 4130 1200 700 217 
50 Cr V4 6150 1200 700 220 
 
Para o aço ST 50,11 (ABNT 1035), recomenda-se a utilização das tensões admissíveis. 
 
σfadm 40 a 50 N/mm2 (flexão) 
 
δtadm 30 a 50 N/mm2 (torção) 
 
Para os demais aços, utilizar os seguintes coeficientes de segurança (k): 
 
5 ≤ k ≤ 7 (flexão) 
6 ≤ k ≤ 9 (torção) 
 
Obs.: Esses fatores serão aplicados em relação à tensão de escoamento do material (σe). 
 
4- Esforços nas transmissões – para uam engrenagem cilindrica de dentes retos (ECDR), temos 
as seguintes relações: 
 
 
 
Ft 
Fr 
Fn 
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a) Força Tangencial – é a força tangencial que atua na transmissão, é a carga responsável 
pelo movimento, sendo definido por meio de: 
 
 
Ft = 2 Mt ou Ft = P , onde: 
 do Vp 
 
Ft – força tangencial (N) 
Mt – torque ou momento torçor (N.mm) 
do – diâmetro primitivo da engrenagem (mm) 
P – potência (W) 
Vp – velocidade periférica (m/s) 
n – rotação (rpm) 
 
Definição de torque: Mt = 30.000 . P (N.mm) 
 π . n 
 
Velocidade periférica: Vp = π . do . n (m/s) 
 60 . 1000 
 
Diâmetro primitivo: do = m . Z1 (mm) , onde: 
 
Z1 = nº de desntes da engrenagem (adm) 
π = constante trigonométrica (adm) 
60 = constante, para resultado sair em segundos 
1000 = constante, para resultado sair em metros 
m = módulo da engrenagem (mm) 
 
b) Força Radial (Fr) – o acionamento da engrenagem motora dá origem a uma carga radial 
na engrenagem movida que por sua vez, reage na motora com uma carga de mesma 
intensida, porem com sentido contrario. 
A relação entre a carga radial e a tangencial resulta na tangente do ângulo de pressão (α) 
 
Fr = tgα → Fr = Ft . tgα (N) 
Ft 
 
c) Força resultante (Fn) – é a resultante das cargas radial e tangencial, que se obtem por 
meio de: 
 
Fn = √ Fr2 + Ft2 ou Fn = Ft ou Fn = Fr 
 cos α sen α 
 
5- Modos Prováveis de Falha nos Eixos 
 
A maioria dos eixos gira. As cargas transversais de engrenagens, rodas dentadas, polias e 
mancais montados em um eixo rotativo promovem tensões ciclicas completamente 
alternadas. Em alguns casos, cargas transversais também podem promover tensões de 
cisalhamento devidas ao cortante completamente alternadas. 
Em resumo, os principais modos de falha a serem considerados quando se projeta um eixo 
de transmissão de potência são: 
a) falha por fadiga – devido as cargas serem alternadas; 
b) falha por deformação elástica – induzidas por forças de desalinhamentos e ressoanãncias 
associadas a velocidades críticas; 
c) falha por desgaste – quando mancais de deslizamentos, dentes de engrenagens ou 
cames são características intrinsicas do eixo. 
 
 
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6- Cálculo Algébrico de uma Transmissão 
 
 
 
Para o cálculo do diâmetro do eixo por flexo-torção, dividiremos as forças calculadas em dois 
planos. Neste caso obteremos dois momentos máximos, um em cada plano: 
 para o plano horizontal (PH) → Usaremos a força tangencial (Ft); 
 para o plano vertical (PV) → usaremos a força radial (Fr) 
 
A força resultante (Fn), utilizaremos para calcular o eixo por rigidez. 
 
 Pano Horizontal (PH) 
 
 
 
 
 
 
Reações: 
∑MA = 0 + 
-(a+b).RBH + a.Ft = 0 → RBH = a.Ft (N) 
 (a+b) 
∑Fy = 0 + 
 
RAH – Ft + RBH = 0 → RAH = Ft – RBH (N) 
 
Equações p/ cortante e Momentos 
 
0 < x < a 
Q = RAH 
 Se x = 0 MH = 0 
MH max = RAH . x Se x = a MH = RAH . a (N.mm) 
X 
 
 
 
 
Q 
M 
RAH 
RBH 
Ft 
RAH 
RBH 
Ft 
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 Plano Vertical (PV) 
 
 
 
7- Momento Resultante (MR) 
 
O momento resultante seria o momento máximo considerando os dois planos simultaneamente 
por flexão. 
 
MR = √ MH(max)2 + MV(max)2 (N.mm) 
 
 
8- Momento Ideal (Mi) 
 
Para o cálculo do momento ideal (Mi), temos que levar em conta o momento torçor no eixo e o 
coeficiente de Bach, que é a razão entre a tensão de flexão admissível pela tensão de torção 
admissível do material a ser utilizado. 
 
a = σfadm (adm) 
 δtadm 
 
Mi = √ MR2 + (a . Mt)2 (N.mm) 
 2 
 
9- Cálculo do diâmetro do eixo (d) 
 
Para esse cálculo, temos que saber antecipadamente o tipo de eixo que será utilizado, caso o 
eixo seja maciço, utilizaremos b=1, caso seja vazado, utilizaremos a seguinte fórmula: 
 
b = 1 
 
 1- d 4 
 D 
 
 
Reações: 
∑MA = 0 + 
-(a+b).RBV + a.Fr = 0 → RBV = a.Fr (N) 
 (a+b) 
∑Fy = 0 + 
 
RAV – Fr + RBV = 0 → RAV = Fr – RBV (N) 
 
Equações p/ cortante e Momentos 
 
0 < x < a 
Q = RAV 
 Se x = 0 MV = 0 
MVmax = RAV . x Se x = a MV = RAV . a (N.mm) 
X 
 
 
 
 
Q 
M 
RAV 
RBV 
Fr 
RAV 
RBV 
Fr 
 
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Disciplina: Elementos de Máquinas I Aula: 5 
 
Dimensionameno de eixo por rigidez 
 
10- Critérios para limitar a flexibilidade 
 
a) Genérico – é decorrente das características construtivas de algumas famílias de máquinas, 
os valores limites são definidos pelos setores industriais que representam o grupo de 
máquinas e equipamentos em questão. Estes valores em via de regra, são consequência da 
experiência dos projetistas. 
 
 
 
 
 Maquinas para construção civíl 
 
 
Maquina de fazer blocos Estruturas metálicas 
 
f = L/500 a L/1500 
 
 
 
 
 
 
 Maquinas de elevação e transporte 
 
 
Pontes rolantes Guindastes e gruas 
 
f = L/1200 a L/3000 
 
 
 
 
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 Maquinas operatrizes 
 
 
 
Torno mecânico ou CNC Fresadora convencional ou CNC 
 
f ≤ L/5000 
 
Onde: 
 
f – Flecha admissível (mm) 
L – Comprimento total do eixo (mm) 
 
b) Critérios específicos – são decorrentes de limitações existentes no funcionamento dos 
componentes utilizados na montagem do eixo. É uma característica de projeto desses 
componentes como: mancais de deslizamento ou rolamento, polias, engrenagens, etc. 
 
 Engrenagens 
 
 Mancais de deslizamentos 
 
 
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 Rolamentos 
 
 
 
 Rolamento esfera Rolamento autocompensador 
 
11- Condições de engastamento 
 
a) Eixo bi-apoiado com a ponta em balanço 
 
 
Para dimensionar eixo redondo utilizar momento de inércia: Jø = π d4/64 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Eixo bi-apoiado com carga centrada ou não 
 
 
Para dimensionar eixo redondo utilizar momento de inércia: Jø = π d4/64 
 
 
 
 
 
c) Eixo bi-apoiado com um momento em balanço 
 
 
 
Para dimensionar eixo redondo utilizar momento de inércia: Jø = π d4/64 
 
 
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Onde: 
P = carga aplicada (N) 
θ = deflexão angular (angulo) (rad) 
f = deflexão angular (flecha) (mm) 
E= modulo de elasticidade do material (N/mm2) 
J = momento de inércia (seção do material) (mm4) 
 
12- Exemplos de aplicações 
 
 
 
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