Apostila Estatística

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Estatística. 
 
1.0 - Dados Estatístico: no sentido da disciplina, a estatística ensina métodos racionais 
para a obtenção de informação a respeito de um fenômeno coletivo, alem de obter 
conclusões de válidas para o fenômeno e também permitir a tomada de decisões, através de 
dados estatísticos observados. 
 
Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: 
 
a) Estatística Descritiva – é a parte da Estatística que tem por objetivo descrever os dados 
observados. 
 
b) Estatística indutiva – é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar 
conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. 
 
1.2 - Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados , tem as seguintes 
atribuições 
a) Obtenção dos dados estatísticos – normalmente feita através de um questionamento ou 
de observações direta de uma população ou amostral. 
b) Organização dos dados – consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos valores 
observados, falhas humanas, omissões , abandono de dados duvidosos. 
c) Redução dos dados - o entendimento e compreensão de grande quantidade de dados 
através da simples leitura de seus valores individuais é uma tarefa extremamente árdua e 
difícil mesmo para o mais experimentado pesquisador. 
d) Representação dos dados - podem ser facilmente compreendidos quando apresentados 
através de uma representação gráfica o que permite uma visualização instantânea de todos 
os dados. 
 
1.2 - Dados Brutos. 
Quando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ou observamos as 
respostas a uma pergunta em uma coleção de n questionários, obtemos uma seqüência de n 
valores numéricos. Tal seqüência é denominados dados brutos. 
Representamos por X a característica observada no fenômeno coletivo o na pergunta dos 
questionários, então 𝑥1 representa o valor da característica obtida na primeira observação 
do fenômeno coletivo ou o valor de característica observado no primeiro questionário; 𝑥2 
representa o valor da característica X na segunda observação do fenômeno coletivo ou o 
valor da característica observada no segundo questionário e assim sucessivamente. 
Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X; 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, …… . 𝑥𝑛 
 
Dados brutos é uma seqüência de valores numéricos não 
organizados, obtidos diretamente da observação de um fenômeno 
coletivo 
 
 
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* Rol: 
Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os dados brutos passam a se 
chamar de Rol. 
 
Por definição Rol é uma seqüência ordenada dos dados brutos. 
 
Exemplo. Notas de uma avaliação de matemática 4 – 8 – 7,5 – 6 – 6,5. 
 
Neste exemplo, X representa as notas das avaliações e pode ser apresentadas na forma. 
X : 4 – 8 – 7,5 – 6 – 6,5 (dados brutos) 
X: 4 – 6 – 6,5 – 7,5 – 8 . (Rol ordenado) 
 
2 .0 - Séries estatísticas. 
 
2.1 – Apresentação dos dados Estatísticos: Quando lidamos com poucos valores 
numéricos, o trabalho estatístico fica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente 
teremos que trabalhar com grande quantidade de dados. Um dos objetivos da Estatística 
Descritiva neste caso, é obter uma significativa redução na quantidade de dados com os 
quais devemos operar diretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de 
apresentação destes dados. 
Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova e obtivermos os seguintes 
valores : 
X = 3,5 – 5 – 4,5 – 4 – 4,5 – 5 – 3,5 – 4 – 4 – 5 
 2 – 3 – 4,5 – 3,5 – 4 – 4,5 – 3 – 4 – 3 – 4 
 3,5 – 3,5 – 3,5 – 4 – 4 – 3 – 4 – 4 – 5 – 3. 
 
Se entendermos como freqüência simples de um elemento o numero de vezes que este 
elementos figura no conjunto de dados, podemos reduzir significativamente o número de 
elementos com os quais devemos trabalhar. Para isto organiza-se o conjunto de dados na 
forma de uma série chamada variável discreta. 
 
2.2 – Distribuição de freqüência – Variável discreta. 
É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira 
coluna em ordem crescente apenas os valores distintos da série e na segunda coluna 
colocamos os valores das freqüência simples correspondentes. 
Se usarmos 𝑓 para representar freqüência simples, a sequência simples pode ser 
representada pela tabela. 
𝑋𝑖 𝑓𝑖 
2 1 
3 5 
3,5 6 
4 10 
4,5 4 
5 4 
 
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2.3 - Construção da Variável Continua 
Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma proa nos conduzisse aos 
seguintes valores: 
X : 3 – 4 – 2,5 – 4 – 4,5 – 6 – 5 – 5,5 – 6,5 – 7 
 7,5 – 2 – 3,5 – 5 – 5,5 – 8 – 8,5 – 7,5 – 9 – 9,5 
 5 – 5,5 – 4,5 – 4 – 7,5 – 6,5 – 5 – 6 – 6,5 – 6 . 
 
Observando estes valores notamos grande número de elementos distintos, o que significa 
que neste caso a variável discreta não é aconselhável na redução de dados. 
Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixa de valores ficando a série com a 
seguinte apresentação. 
 
Classe Intervalo de classe 𝑓𝑖 
1 2 |-------- 4 4 
2 4 |-------- 6 12 
3 6 |-------- 8 10 
4 8 |-------- 10 4 
 
2.4 – Construção da Variável discreta. 
A construção de uma variável discreta é bastante simples. Basta observar quais são os 
elementos distintos da sequência, ordená-los, e colocá-los na primeira coluna da tabela. Em 
seguida computar a freqüência simples cada elemento distintos e colocá-los na segunda 
coluna da tabela. 
Exemplo: 
X : 0 – 2 – 0 – 1 – 1 – 0 – 0 – 0 – 3 – 2 – 1 – 0 – 1 – 2 – 0 – 1 – 3 – 2 – 2 – 0 . 
Valores distintos das sequência: 0, 1, 2 , 3 
As freqüências simples respectivamente: 8, 5, 5, 2. 
Portanto , a variável discreta representativa desta sequência é: 
𝑋𝑖 𝑓𝑖 
0 8 
1 5 
2 5 
3 2 
 
2.5 – Construção da variável contínua. 
A construção da variável continua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos 
estabelecer aproveitando a tabela abaixo para exemplificação: 
Classe Intervalo de classe 𝑓𝑖 
1 2 |-------- 4 4 
2 4 |-------- 6 12 
3 6 |-------- 8 10 
4 8 |-------- 10 4 
 
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1- Amplitude Total de uma Seqüência: é a diferença entre o maior e o menor elemento 
de uma seqüência. 
Representando a amplitude total por At , o maior elemento da seqüencia por X por Xmax e 
o menor por Xmin , a amplitude total e denotada por: 
 
 
 
 
No exemplo da sequencia que deu origem a tabela Xmax = 9,5 e Xmin =2 portanto 
 
At= 9,5 – 2 = 7,5 
 
A amplitude total representa o comprimento total da sequencia e é dada na mesma unidade 
de medida dos dados da sequência 
 
2 - Intervalo de Classe: : é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série estatística. 
No exemplo da tabela de variável contínua , subdividimos a amplitude total em quatro 
classe, obtendo os intervalos 2 |-----4 ; 4|----- 6 ; 6 |------ 8 ; 8|------ 10. 
Note que na realidade não trabalhamos com a At = 7,5 e sim com a amplitude total ajustada 
para 8 como justificaremos mais adiante. 
 
3 - Limite de classe: 
Definição: cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais. O menor é 
chamado de limite inferior de classe e será indicado por I ; O maior valor será chamado de 
limite de superior da classe e será chamado indicado por L. 
 Exemplo: 
 2 |------- 4 
Onde: 2 é o limite inferior “I” 
 4 é o limite superior “L” 
 
 
Lê –se :2 | ----- limite inferior fechado em 2 (com o valor de dois incluso) 
 ----- 4 limite superior aberto em 4 (com o valor de 4 não incluso) 
 
 
4 - Amplitude: 
Definição: Amplitude do intervalode classe, é a diferença entre os limites superior e o 
limite inferior de classe. Se usarmos a letra “h” para representar a amplitude do intervalo 
de classe, então podemos estabelecer que. 
 
 
 
 
 
𝐴𝑡 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 - Xmin 
𝑕 = 𝐿 − 𝐼 
 
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5 - Numero de Classe. 
O numero de classes a ser utilizados depende muito da experiência do pesquisador e das 
questões que ele pretende responder com a variável continua. 
Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz para a determinação do 
número de classes. 
 
Critério da Raiz. 
Se a seqüência estatística contém 𝒏 elementos e se indicarmos por 𝒌 o número de classes a 
ser utilizado, então pelo critério da raiz; 
 
 
 
Como o número de 𝒌 deve ser necessariamente um número inteiro e como dificilmente 𝑛 
,é um número inteiro, deixaremos como opção para o valor de 𝑘 o valor inteiro mais 
próximo de 𝑛 , uma unidade a menos ou a mais que este valor. 
 
A amplitude do intervalo de classe que designamos por 𝑕 é determinada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Fórmula de Sturges: existe outro critério para a determinação de número de classe, como a 
fórmula de Sturges apresentada abaixo. 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
1)Com base nas informações abaixo monte uma tabela de variável contínua 
 
Dados 
111 – 90 – 121 - 105 – 122 – 61 – 128 – 112 – 128 – 93 
108 – 138 – 88 – 110 – 112 – 112 – 97 - 128 – 102 – 125 
 87 – 119 – 104 – 116 – 96 – 114 – 107 – 113 – 80 – 113 
123 – 95 – 115 – 70 – 115 – 101 – 114 – 127 – 92 – 103 
78 - 118 – 100 – 115 – 116 – 98 – 119 – 72 – 125 – 109 
79 – 139 – 75 – 109 – 123 – 124 – 108 – 125 – 116 – 83 
94 – 106 – 117 – 82 – 122 – 99 – 124 – 84 – 91 – 130 . 
 
Resolvendo: 
 
n=70 
𝑘 = 𝑛 
𝑕 =
𝐴𝑡
𝑘
 
𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 
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Usando o critério da Raiz => 𝑘 = 𝑛 => 𝑘 = 70 => 𝑘= 8,37 ; como 𝑘 tem que ser um 
número inteiro adotamos o numero 8. 
 
O maior valor 𝑋𝑚𝑎𝑥 = 139 e 𝑋𝑚𝑖𝑛 = 61 
 
Calculando a Amplitude total : 𝐴𝑡 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 – Xmin => 𝐴𝑡 = 139 – 61 => 𝐴𝑡 = 78 
 
Obs. No entanto, sabemos que pelo fato de o critério adotado do intervalo de classe a ser 
semi-aberto à direita, devemos ajustar o valor. 
 
𝑕 =
𝐴𝑡
𝑘
 => 𝑕 =
80
8
 => 𝑕 = 10 
 
Portanto a tabela de variável continua terá 8 linhas com intervalo de classe de 10 em 10 
 
Classe Intervalo de classe 𝑓𝑖 
1 60 |---------- 70 1 
2 70 |---------- 80 5 
3 80 |---------- 90 6 
4 90 |---------- 100 10 
5 100 |---------- 110 12 
6 110 |---------- 120| 19 
7 120 |---------- 130 14 
8 130 |---------- 140 3 
 
 
 
Exercício 
 
1)Dados os valores brutos abaixo: 
X = 2 – 4 – 2,4 – 4 – 4,5 – 6 – 5 – 5,5 – 6 – 5 – 7 – 7,5 – 2 – 3,5 – 5 – 5,5 – 8 – 8,5 – 7,5 – 
9 – 9,5 – 5 – 5,5 – 4,5 – 4 – 7,5 – 6,5 – 5 – 6 – 6,5 – 6 . 
 
Pede-se 
a) Montar um rol ordenados crescente 
b) Uma tabela de freqüência 
c) Uma tabela com intervalo com intervalo de classe 3 em 3 (amplitude). 
 
2) Monte uma tabela de freqüência. 
 
a) Idade em “anos” em grupos de 10 pessoas. 
I 13 14 15 16 
Fa 3 2 4 1 
 
b) Altura em metros em um grupo de 21 pessoas. 
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Altura Fa 
1,61 |------- 1,65 3 
1,65 |------- 1,69 9 
1,73 |------- 1,77 4 
1,77 |------- 1,81 5 
Total 21 
 
 
Distribuição de Freqüência s – Variável Discreta. 
 
Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de uma distribuição de 
freqüência, ele poderá rapidamente obter algumas informações adicionais e úteis para a 
compreensão da série, se considerar os seguintes conceitos: 
 
 
Freqüência Relativa de um Elemento da série – 𝑓r. 
É a divisão da freqüência simples deste elemento pelo número total de elementos da série. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a variável discreta: 
 
Xi 𝑓i 
2 3 
3 7 
4 8 
6 6 
7 1 
 
O total de elementos desta série é 25. Portanto a freqüência relativa do primeiro elemento 
distinto da série, que é 2 vale: 
 
 𝑓r1 = f1 = 3 = 0,12 ou 12% 
 n 25 
 
A freqüência relativa do segundo elemento distinto que é 3 , vale : 
 
 𝑓r2 = f2 = 7 = 0,28 ou 28% 
 n 25 
fri = fi 
 n 
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 𝑓r3 = f3 = 8 = 0,32 ou 32% 
 n 25 
 𝑓r4 = f4 = 6 = 0,24 ou 24% 
 n 25 
 𝑓r5 = f5 = 1 = 0,04 ou 4% 
 n 25 
 
Freqüência Acumulada de um elemento da série - Fi 
É a soma da freqüência simples deste elemento com as freqüências simples dos elementos 
que o antecedem. 
 
Fi= f1 + f2 + ............fi 
Desta forma , a freqüência acumulada para os elementos 2, 3, 4 , 6 e 7 valem 
respectivamente: 
 
F1 = f1 = 3 
F2 = f1 + f2 = 3 + 7 = 10 
F3 = f1 + f2 + f3 =3 + 7 + 8 = 18 
F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 3 + 7 + 8 + 6 = 24 
F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 3 + 7 + 8 + 6 + 1 = 25 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguintes forma: 
- 3 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 2 
- 10 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 3 
- 18 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 4 
- 24 elementos componentes da serei são valores menores ou iguais a 6 
- 25 elementos componentes da serei são valores menores ou iguais a 7 
 
Freqüência Acumulada Relativa de um elemento da Série – Fri 
É a divisão da freqüência acumulada deste elemento pelo número total de elementos da 
série. 
 
 
 
Assim a freqüência acumulada relativa dos elementos 2,3,4,6 e 7 valem respectivamente: 
Fr1 = F1 = 3 = 0,12 ou 12% 
 N 25 
Fr2 = F2 = 10 = 0,4 ou 40% 
 N 25 
Fr3 = F3 = 18 = 0,72 ou 72% 
 N 25 
Fri = Fi 
 N 
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Fr4 = F4 = 24 = 0,96 ou 96% 
 N 25 
Fr5 = F5 = 25 = 1,00 ou 100% 
 N 25 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 
- 12% dos valores da série são menores ou iguais a 1 
- 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3 
- 72% dos valores da série são menores ou iguais a 5 
- 96% dos valores da série são menores ou iguais a 6 
- 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7 
 
Quando acrescentamos estes valores à tabela original, esta passa se chamar de distribuição 
de freqüência . Para o exemplo estabelecido, a distribuição de freqüência é: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
01) Construa a distribuição de freqüência para a serie representativa da idade de 50 alunos 
do primeiro ano de uma faculdade. 
 
Idade em anos 
Xi 
Nº de alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
 
2) Complete o quadro. 
Xi fi fri % Fi Fri % 
2 16 
5 24 
8 57 
10 76 
13 
 200 
Xi 𝑓i 𝑓ri % Fi Fri % 
2 3 12 3 12 
3 7 28 10 40 
4 8 32 18 72 
6 6 24 24 96 
7 1 4 25 100 
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03) Construa a distribuição de freqüência para a série abaixo que representa uma amostra 
dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa. 
Classe Salários US$ Números de funcionários 
1 1.000,00 |------- 1.200,00 2 
2 1.200,00 |------- 1.400,006 
3 1.400,00 |------- 1.600,00 10 
4 1.600,00 |------- 1.800,00 5 
5 1.800,00 |------- 2.000,00 2 
 
04) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso uma amostra de 40 revendedores 
autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades 
adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados. 
 
10 – 15 – 25 – 21 – 6 – 23 – 15 – 21 – 26 – 32 
9 – 14 – 19 – 20 – 32 – 18 – 16 – 26 – 24 – 20 
7 – 18 – 17 – 28 – 35 – 22 – 19 – 39 – 18 – 21 
15 – 18 – 22 – 20 – 25 – 28 – 30 – 16 – 12 – 20 
 
Pede-se : 
a) Organizar o rol de informações em ordem crescente 
b) Montar uma tabela de freqüência. 
c) Montar uma coluna de freqüência em porcentagem (𝑓𝑟𝑖) 
 
05) Uma industria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade 
selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. Obteve os seguintes dados. 
2 – 0 – 0 – 4 – 3 – 0 – 0 – 1 – 0 – 0 
1 – 1 – 2 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 
0 – 0 – 3 – 0 – 0 – 0 - 2 – 0 – 0 – 1 
1 – 2 – 0 – 2 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 1 – 0 . 
 
Pede-se : agrupe, por freqüência, estes dados. 
 
Distribuição de Freqüência – Variável Contínua. 
No caso da variável contínua, pelo fato de termos utilizados intervalo de classe, semi-
aberto à direita, as interpretações são diferentes. Portanto, redefiniremos este tipos de 
freqüência. 
 
Freqüência Relativa de uma Classe – 𝒇𝒓𝒊. 
É a divisão da freqüência simples desta classe pelo número total de elementos da série. 
 
 
 
𝑓𝑟i = 𝑓𝑖 
 n 
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Exemplo: Considerando a distribuição de freqüência . 
 
Classe Interv. Classe 𝐹𝑖 
1 2 |------- 4 6 
2 4 |------- 6 18 
3 6 |------- 8 10 
4 8 |------- 10 6 
 
O total de elementos desta série é 40. 
 
Portanto, a freqüência relativa da primeira classe é : 
 
𝑓𝑟1 = 𝑓1 = 6__ = 0,15 ou 15% 
 n 40 
A freqüência relativa da segunda classe é : 
 
𝑓𝑟2 = 𝑓2 = 18 = 0,45 ou 45% 
 n 40 
𝑓𝑟3 = 𝑓3 = 10 = 0,25 ou 25% 
 n 40 
𝑓𝑟4 = 𝑓4 = 6 = 0,15 ou 15% 
 n 40 
 
Obs. Estes valores representam a participação percentual dos elementos por classe . A 
interpretação para estes valores é : 
- 15% dos valores da série são maiores ou iguais 2 e menores que 4 
-45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que 6. 
-25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que 8. 
-15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que 10. 
 
Freqüência Acumulada de uma Classe – Fi 
É a soma da freqüência simples desta classe com as freqüências simples das classes 
anteriores. 
 
 
 
 
Desta forma, as freqüência acumuladas para estas classes são: 
 
F1 = f1 = 6 
F2= f1 + f2 = 6 + 18 = 24 
F3= f1 + f2 + f3 = 6 + 18 + 10 = 34 
F2= f1 + f2 + f3 + f4 = 6 + 18 + 10 + 6 = 40 
Fi = f1 + f2 +............+ fi 
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Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando que são todos maiores 
ou iguais a 2. 
- 6 dos elementos da série são valores menores que 4 . 
- 24 dos elementos da série são valores menores que 6 
- 34 dos elementos da série são valores menores que 8 
- 40 dos elementos da série são valores menores que 10. 
 
Freqüência Acumulada Relativa de uma Classe - Fri. 
 
É a divisão da freqüência acumulada desta classe pelo numero total de elementos da série. 
 
 
 
 
Deste modo, a freqüência acumulada relativa para cada classe é: 
 
Fr1 = F1 = 6 = 0,15 ou 15% 
 N 40 
 
Fr2 = F2 = 24 = 0,60 ou 60% 
 N 40 
 
Fr3 = F3 = 34 = 0,85 ou 85% 
 N 40 
 
Fr1 = F1 = 40 = 1,00 ou 100% 
 N 40 
 
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando que são todos maiores 
ou iguais a 2: 
- 15% dos valores da série são menores que 4. 
- 60% dos valores da série são menores que 6 
- 85% dos valores da série são menores que 8 
- 100% dos valores da série são menores que 10. 
Quando acrescentamos estes valores à tabela original, esta passa a se chamar Distribuição 
de Freqüências. Para exemplo estabelecido, a distribuição de freqüência è: 
 
Classe Int. classe fi fri % Fi Fri % 
1 2 |----- 4 6 15 6 15 
2 4 |----- 6 18 45 24 60 
3 6 |----- 8 10 25 34 85 
4 8 |----- 10 6 15 40 100 
Fri = Fi 
 N 
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Representação Gráfica de Séries Estatísticas. 
 
Definição. 
Existem muitas formas de se representar graficamente uma série estatística . Podemos citar 
entre elas : gráficos em linhas; em barras, em setores; e porcentagem; complementares; 
gráficos polares; gráficos pictóricos, cartogramas etc. 
 
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca 
substituir as tabelas estatísticas. 
 
Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e 
veracidade. 
 
Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, 
objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. 
 
São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais 
 
 
 
Gráficos de Análise 
 
Definição. 
São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à 
fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. 
 
Os gráficos de análise freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. 
 
Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos 
principais revelado pelo gráfico. 
 
 
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Diagramas: São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na 
representação de séries estatísticas. 
 Gráficos em barras horizontais 
 Gráficos em barras verticais 
 Gráficos em barras compostas 
 Gráficos em colunas superpostas 
 Gráficos em linhas ou lineares 
 Gráficos em setores 
 
ESTEREOGRAMAS: São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois 
representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. 
Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão 
que oferecem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PICTOGRAMAS: São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do 
fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, 
 
Leste Oeste Norte
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1
°
T
ri
m
Região
Metros cúbicos
Volume de Chuvas por Região
 Estatística 
 
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pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A 
desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não 
de detalhes minuciosos. 
 
 
 
CARTOGRAMAS: São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo 
desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas 
geográficas ou políticas. 
 
 
 
Gráfico de setores ou diagrama de setores. 
 O gráfico ou diagrama de setores representa freqüência relativas ou simples sob a forma 
de setores de círculo. Geralmente, sua aplicação somente deve ser feira quanto todo os 
dados analisados correspondem ao universo de observações. Não se deve usar por exemplo 
, um diagrama de setorespara representar dados distribuídos ao longo do tempo, como 
séries temporais. 
 Estatística 
 
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Para elaborar o gráfico, encontrando os ângulos da divisão de cada setor, basta uma regra 
de três do tipo: 
100 % está para 360º 
assim como 
x% esta para y º 
 
Exemplo: 
a) Feita uma pesquisa sobre os meios de comunicação de uma pequena cidade do interior 
de São Paulo e obteve as seguintes informações 
 
 
Variável Freqüência Freqüência relativa % 
Radio 276 46 
Televisão 210 35 
Jornal 72 12 
Revista 42 7 
 600 
Montando o gráfico; 
46% = 0,46 . 360 = 165,6 º 
35% = 0,35 . 360 = 126º 
12% = 0,12 . 360 = 43,2º 
7 % = 0,07 . 360 = 25,2º 
 7% 
 
 
 12 % 46% 
 
 
 35 % 
 
 
Exercícios. 
 
01) Construa a distribuição de freqüência para a série representativa da idade de 50 alunos 
do primeiro ao de faculdade. 
 Estatística 
 
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Idade (anos) 
 Xi 
Nº de alunos 
 fi 
fri % Fi Fri% 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
02) Complete o quadro. 
Xi fi Fri % Fi Fri% 
2 25 
5 24 
8 60 
10 40 
13 
 250 
03) Construa um histograma para a distribuição de freqüência. 
 
Xi fi 
1 2 
2 3 
3 5 
4 4 
5 3 
6 1 
 
 
04) Construa a distribuição de freqüência para a série abaixo que representa o saldo de 25 
contas de pessoas físicas em uma agencia em determinado dia. 
 
Classe Saldo US$ Nº de funcionários 
1 0 |------ 10.000,00 5 
2 10.000,00 |------ 20.000,00 10 
3 20.000,00 |------ 30.000,00 8 
4 30.000,00 |------ 40.000,00 2 
 
 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
Medidas de Tendência Central. 
No estudo de uma série estatística é conveniente o calculo de algumas medidas que a 
caracterizam. Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informações 
muitos valiosas com respeito a série estatística. 
 Estatística 
 
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Somatória – Notação Sigma ( ∑ ) 
Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo X1 + X2 + .....+ Xn, podemos 
codifica-la através da expressão: 
 
Onde: 
 ∑ - é utilizada para representar as operações de adição entre as parcelas. 
 Xi – é a parcela genérica. 
 
 
Exemplo: 
 5 
1) X1 + X2 + .X3 + X4 + X5 = 𝑋𝑖 
 i=1 
 
 5 
2) X1 + X2
 
 + X3 + X4 + X5 = Xi 
 i=1 
 
 8 
3) 2 X4 +2 X5 + 2X6 + 2X7 + 2X8 = (2 Xi) 
 i=5 
 
O somatório de uma soma é a soma dos somatórios. 
 
 n n n 
 ( Xi + Yi) = Xi + Yi 
i=1 i=1 i=1 
 
O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios. 
 n n n 
 ( Xi − Yi) = Xi - Yi 
 i=1 i=1 i=1 
 
 
Médias. 
Do ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculados para uma massa de 
dados. 
 
Média Aritmética Simples 
 n 
X1 + X2 + .....+ Xn = 𝑋𝑖 
 i=1 
 Estatística 
 
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Para a seqüência numérica X : X1, X2, ........ Xn a média aritmética simples, que 
designaremos por X é definida por: 
 
__ 𝑥𝑖 
X = 
 N 
 
Exemplo : Se X: 2; 0; 5; 3 então 𝑥 = 2 + 0 + 5 + 3 => 𝑥 = 2,5 
 4 
Média Aritmética Ponderada: 
Para uma seqüência numérica X: X1, X2, ........ Xn, a média aritmética simples, que 
designaremos por X, e definida por: 
 
__ 𝑥𝑖.𝑝𝑖 
X = 
 𝑝𝑖 
Exemplo: 
1) Se X: 2 , 4 , 5 com pesos 1,2,3 respectivamente, então: 
 
 𝑥𝑖.𝑝𝑖 
𝑥 = = 2 x1 + 4 x 3 + 5 x 2 = 2 + 12 + 10 = 4 
 𝑝𝑖 1 + 2 + 3 6 
 
 
Médias Geométricas Simples 
 
Para uma seqüência numérica X : X1, X2, ........ Xn, a média geométrica simples, que 
designaremos por Xg,é definida por: 
 
𝑋𝑔 = 𝑥𝑖 × 𝑥2 × … .× 𝑥𝑛
𝑛
 
 
 
Exemplo: Se X = 2,3,6,9 
 
𝑋𝑔 = 2 . 4 . 6 . 9 
4
=> Xg = 432
4
=> 𝑋𝑔 = 4,559 
 
 
Cálculo da Média Aritmética. 
 
1º Caso – Dados Brutos ou Rol 
 
 
 
Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20. 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
 
 Estatística 
 
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 __ 
Solução : X = 3 + 5 + 8 + 12 + +7 + 12 + 15 + 18 + 20 + 20 = 120 = 12 
 10 10 
 
Interpretação: O valor médio desta sério é 12, ou seja os valores desta série concentram-se 
em torno do valor 12. 
 
2º Caso – Variável Discreta. Se os dados estão apresentados na forma de uma variável 
discreta utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples 
como sendo as ponderações dos elementos Xi correspondentes. 
 
 
 𝑥 =
 𝑥𝑖𝑓𝑖
 𝑓𝑖
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Determinar à media da distribuição: 
Xi fi 
2 1 
5 4 
6 3 
8 2 
 
Solução: 
Multiplicar o xi pelo fi linha por linha 
2 x 1 = 2 
5 x 4 = 20 
6 x 3 = 18 
8 x 2 = 16 
 
Adicionar os resultados obtidos na 3ª coluna (Xi fi) 
 
Xi fi Xi fi 
2 1 2 
5 4 20 
6 3 18 
8 2 16 
 𝑓𝑖 = 10 𝑥𝑖𝑓𝑖= 56 
 
Na seqüência substituímos estes valores na expressão 𝑋 obtendo: 𝑋 = 56 = 5,6 
 10 
Interpretação: O valor médio da série é 5,6 , isto é 5,6 é o ponto de concentração dos 
valores da série. 
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3º Caso – Variável Contínua 
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, utilizaremos a média 
aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as 
ponderações desta classe. 
 
O ponto médio, de cada classe é definido por: 
 
 PM = I + L onde: I limite inferior e L limite superior. 
 2 
 
A fórmula de cálculo de X passa a ser escrito como: 
__ 
X = 𝑋𝑖 𝑓𝑖 
 𝑓𝑖 
 
 
Exemplo: Determinar á média da distribuição. 
 
Classe Inter. Classe 𝑓i 
1 2 |-------- 5 1 
2 5 |-------- 8 10 
3 8 |-------- 11 8 
4 11|-------- 14 1 
 
Solução: 
Inicialmente, devemos somar a coluna das freqüência simples 𝑓𝑖 = 20. 
 
Na seqüência, calcularmos os pontos médios de classe: o ponto médio da primeira classe 
2 + 5 / 2 = 3,5 ; na segunda classe 5 + 8 / 2 = 6,5 ;o terceiro ponto 8 + 11 / 2 = 9,5 e o 
quarto classe 11 + 14 / 2 = 12,5 
 
Classe Inter. Classe 𝑓i Xi Xi 𝑓i 
1 2 |-------- 5 1 3,5 3,5 
2 5 |-------- 8 10 6,5 65 
3 8 |-------- 11 8 9,5 76 
4 11|-------- 14 1 12,5 12,5 
 𝑓𝑖 = 20 𝑋𝑖 𝑓𝑖 = 157 
 
Portanto, X = 𝑋𝑖 𝑓𝑖 = 157 = 7,85 
 𝑓𝑖 20 
 
Calculo da Mediana. 
 Estatística 
 
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É um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número 
de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central 
em uma série. 
 
1º - Caso – Dados Brutos ou Rol. 
Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol. 
Em seguida determinar o número n de elementos do Rol. 
 
1.1- Se n é impar – O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posição
 
Fórmula (𝑛 + 1)/2 onde n é o numero de elementos e o numero 2 é constante da 
fórmula 
O valor do elemento que ocupa esta posição é a mediana. 
 
Exemplo: Determinar a mediana do conjunto X : 2, 20 , 12, 23, 20 , 8, 12. 
 
Solução: 
1º- Ordenar os elementos: 2, 8, 12 , 12, 20 , 20, 23 
2º- O numero de elementos é n = 7 (impar), a posição do termo central é 
 Md = 
7+1
2
 = 4 ou seja 4º elemento da séria nesse caso nº 12 
 
Então a mediana é o quarto elemento do Rol: md =12 
 
1.2 - Se n é par – Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições 
 
𝑛
2
 e 
𝑛
2
+ 1 . A mediana é convencionada como sendo a média dos valores que 
ocupam estas posições centrais 
 
Exemplo: Determinar a mediana da serei X : 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13. 
 
Solução: Ordenar estes elementos, obtendo o rol X: 7 , 8 , 9, 10, 13, 13, 15, 21. 
O numero de elementos é n = 8 (par) 
As posições centrais são: 
 
8
2
 = 4º e 
8
2
+ 1 = 5º, os elementos que ocupa a quarta posição na série é 10 e o 
 
elemento que ocupa a quinta posição é 13. Portanto md =
10+13
2
= 11,5 
 
Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a 11,5 e 50% dos 
valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5. 
 
2º Caso - Variável Discreta: 
Exemplo: Determinar a mediana da série. 
Xi fi 
2 1 
 Estatística 
 
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5 4 
8 10 
10 6 
12 2 
 
Solução: O numero da série é n = 𝑓𝑖 = 23 (impar), portanto a série admite apenas um 
termo central que ocupa a posição ( 23 + 1 / 2) = 12º termo. 
 
Construindo a freqüência acumulada podemos localizar com facilidade o décimo segundo 
elemento da série. 
 
Xi fi Fi 
2 1 1 
5 4 5 
8 10 15 
10 6 21 
12 2 23 
 
Note que o elementos iguais a 5 . Estes elementos ocuparam na serie as posições de 
segundo ao quinto. 
 Depois aparecem mais dez elementos iguais a 8 que ocupam na série as posições de sexto a 
décimo quinto. 
Conseqüentemente, o elemento que ocupa a décima segunda posição vale 8 e podemos 
afirmar que md = 8. 
 
Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais a 8 e 50% dos valores da 
série são maiores ou iguais a 8. 
 
Variável Contínua. 
Se os dados são apresentados na forma de uma variável contínua o raciocínio anterior não 
pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a posição da mediana na série, o valor 
do elemento da série que ocupa esta posição não é identificável 
Considere a distribuição de freqüência; 
Classe Int. Classe fi 
1 3|------- 6 2 
2 6|------- 9 5 
3 9|------- 12 8 
4 12|------- 15 3 
5 15|------- 18 1 
 
O número de elemento da série é n = 𝑓𝑖 = 19 
 
A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em dois grupos, contendo 
cada um deles 50% dos elementos. 
 Estatística 
 
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Portanto, a posição da mediana na série é n/2 . No exemplo (19/2) = 9,5 o valor decimal 9,5 
indica que a mediana é um elemento posicionado entre o nono e décimo elemento da série. 
 
Construiremos a freqüência acumulada para identificar em qual classe estão situados o 
nono e o décimo elemento da série. 
 
Classe Int. Classe fi fa 
1 3|------- 6 2 2 
2 6|------- 9 5 7 
3 9|------- 12 8 15 
4 12|------- 15 3 18 
5 15|------- 18 1 19 
 𝐹𝑖 = 19 
 
Note que o nono e o décimo elementos estão posicionados na terceira classe, o que índica 
que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12. A classe que contém a mediana será 
identificada como classe mediana. 
 
 7ª 9,5 15ª 
 |---------|--------| 
9 
x
 md 12 
 
Ou seja: 15 – 7 = 9,5 – 7 simplificando: 8 = 9,5 – 7 x = 9,5 – 7 . 3 
 3 x 3 x 8 
Portanto: md + x 
 
 
 
 
 
Md = 9,9375 
 
Observando na formula em destaque acima que: 
- 9 é o limite inferior da classe mediana 
-9,5 é a metade dos elementos da série, isto é, n/2 
- 7 é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana 
- 8 é a freqüência simples da classe mediana. 
- 3 é amplitude do intervalo de classe, poderemos generalizar a fórmula de cálculo da 
mediana para variável contínua: 
 
 
 
 
 
Md = 9 + 9,5 – 7 . 3 
 8 
Md = 
𝑛
2
−𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑚𝑑
 × 𝑕 
 Estatística 
 
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Onde: 
Md (me) = mediana 
Imd = limite da mediana inferior 
Fant = freqüência acumulada anterior 
Fmd = freqüência da mediana 
 h = amplitude 
n/2 = número de elementos 
 
 
Moda 
É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados . 
Notação : A moda será denotada por Mo 
 
Cálculo da Moda 
 
1º Caso – Dados Brutos ou Rol. 
Basta identificar o elemento de maior freqüência . 
Exemplos: 
a) X : 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1 
 
O elemento de maior freqüência é 5. Portanto mo = 5 
É uma seqüência unimodal. 
 
b) X: 6,10, 5, 6, 10, 2 . 
Esta seqüência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como elemento de maior 
freqüência . Portando mo = 6 e mo = 10 . É uma seqüência bimodal 
 
Podemos encontrar seqüência trimodal, tetramodal e assim sucessivamente. Estas 
seqüências serão chamadas de forma genérica por seqüência polimodal. 
 
2º Caso – Variável discreta. 
Este caso é ainda mais simples. Basta identificar o elemento de maior freqüência. 
 
Exemplos. 
a) 
Xi fi 
0 2 
2 5 
3 8 
4 3 
5 1 
 
 Estatística 
 
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A maior freqüência observada na segunda coluna é 8 e corresponde ao elemento 3 da série. 
Portanto, é uma série unimodal com mo= 3 
 
b) 
Xi fi 
1 2 
2 5 
3 4 
4 5 
5 1 
 
A maior freqüência observada na segunda coluna é 5 e corresponde aos valores 2 e 4. 
Portanto, é uma série bimodal com mo = 2 e mo = 4. 
 
3º Caso - Variável Contínua. 
Para determinar a moda de uma variável continua , podemos optar por vários processos. 
Daremos destaque a moda de Pearson. 
 
 
1º Processo Moda de Pearson 
 
Mo = 3 md – 2 𝑥 
 
Exemplo: Calcule a moda de Pearson para a distribuição de freqüência . 
 
Classe Inter. Classe fi 
1 0 |-------- 10 1 
2 10 |-------- 20 3 
3 20 |-------- 30 6 
4 30 |-------- 40 2 
 
 
Classe Inter. Classe fi Xi Xi fi 
1 0 |-------- 10 1 5 5 
2 10 |-------- 20 3 15 45 
3 20 |-------- 30 6 25 150 
4 30 |-------- 40 2 35 70 
 𝐹𝑖=12 𝑥𝑖. 𝑓𝑖 = 270 
 
 
 𝑥 = 𝑋𝑖 𝑓𝑖=> 𝑥 = 270 = 22,5 
 𝑓𝑖 12 
 
 
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Calculo da mediana: 
 
 
 
n = 12 => n = 12 = 6 
 2 2 
 
A mediana corresponde ao sexto elemento da série está na terceira classe. Esta classe 
mediana vale: 
md = 20 + 6 – 4 . 10 => md = 23,33 
 6 
 
2º Processo Moda de KING. 
KING levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência simples da classe anterior e a 
freqüência simples da classe posterior à classe modal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde : 
Imo = limite inferior da classe 
fpost = freqüência simples da classe posterior a classe modal 
fant = freqüência simples da classe anterior à classe modal 
h = amplitude do intervalo de classe. 
 
Exemplo: Calcular a moda de King para a distribuição. 
Classe Int. classe fi 
1 0 |--------- 10 1 
2 10 |--------- 20 3 
3 20 |--------- 30 6 
4 30 |-------- 40 2 
Classe Inter. Classe fi Fa 
1 0 |-------- 10 1 1 
2 10 |-------- 20 3 4 
3 20 |-------- 30 6 10 
4 30 |-------- 40 2 12 
Md = 
𝑛
2
−𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑚𝑑
 × 𝑕 
 
 fpost 
mo = Imo + . h 
 fant + fpost 
 Estatística 
 
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 Solução: 
A classe modal é a que mais se repete (maior ) freqüência portanto é a terceira classe e a 
moda vale: 
 
Mo = 20 + 2 . 10 = 24 
 3 + 2 
 
 
3º Processo Moda de Czuber: 
Czuber levou em consideração, em sua fórmula a freqüência simples da classe anterior, a 
freqüência da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal. 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Imo = limite inferior da classe modal 
fmo = freqüência simples da classe modal 
fant = freqüência simples da classe anterior da classe modal 
fpost = freqüência simples da classe posterior à classe modal. 
h = amplitude 
 
 
Exemplo: 
Classe Int. classe Fi 
1 0 |--------- 10 1 
2 10 |--------- 20 3 
3 20 |--------- 30 6 
4 30 |-------- 40 2 
 
Solução : A classe modal é a terceira classe,portanto a moda vale: 
 
mo = Imo (20) + fmo (6) – fant (3) . ho (10) 
 2.fmo (6) - (fant (3) + fpost (2) ) 
 
mo = 20 + 6 – 3 . 10 => mo = 24,29 
 2(6) – (3 +2) 
 
mo = Imo + f mo - fant . h 
 2 fmo - ( fant + fpost) 
 Estatística 
 
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Exercícios. 
1) Calcule a moda das séries abaixo: 
a) X : 2 ;3 ;5 ;4 ;5 ;2 ;5 ;7. 
b) Y : 4; 12 ; 5 ; 9 ; 12; 4; 3. 
c) J : 7 ;7 ; 7; 7 ;7 . 
d) Z : 4,5 ;6 ,6 ;6 ,7 ; 8, 8; 8, 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11. 
e) T : 2 ;5 ;9 ;8 ;10 ; 12 
 
2) Calcule a moda da distribuição: 
Xi Fi 
2 1 
3 7 
4 2 
5 2 
 
3) Calcule a moda de King para a série de distribuição representativa dos salários de 25 
funcionários selecionados em uma empresa. 
Classe Salários R$ Nº de funcionário 
1 1.000,00 |------- 1.200,00 2 
2 1.200,00 |------- 1.400,00 6 
3 1.400,00 |------- 1.600,00 10 
4 1.600,00 |------- 1.800,00 5 
5 1.800,00 |------- 2.000,00 2 
 
4) Calcule a moda de Czuber para a tabela anterior. 
 
05) Calcule a moda de Czuber para a distribuição abaixo que representa a nota de 60 alunos 
em uma prova de matemática. 
Classe Notas dos alunos Nº de alunos 
1 0 |------ 2 5 
2 2 |------ 4 20 
3 4 |------ 6 12 
4 6 |------ 8 20 
5 8 |------ 10 3 
 
06) Calcule a moda de King para a tabela anterior. 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão Absoluta. 
 Estatística 
 
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Amplitude total: é a diferença entre o maior e o menor valor da seqüência. 
 
Cálculos da Amplitude total: basta identificar o maior e o menor valor da seqüência e 
efetuar a diferença entre estes valores. 
 
Exemplo: Determinar a amplitude total da seqüência X ; 11, 12, 09, 10, 10 e 15 
 
Solução O maior valor desta seqüência é 15 e o menor é 9 ; portanto At = 15 – 9 = 6 
unidades 
 
Variável Discreta. 
Como os valores já se apresentam ordenados, a amplitude total é a diferença entre o último 
e o primeiro elemento da série. 
 
Exemplo: Determine a amplitude total da série. 
 
Xi fi 
2 1 
3 6 
5 10 
7 3 
 
Solução: O maior valor da série é o 7 e o menor valor da série é o 2 ; portanto At = 7 – 2 = 
5 unidades. 
 
 
Variável Contínua. 
Nesta situação, por desconhecer o maior e o menor valor da série devemos fazer um cálculo 
aproximado da amplitude total da série. 
Considerando como maior valor da série o ponto médio da última classe e como menor 
valor da série o ponto médio da primeira classe . A amplitude total é a diferença entre estes 
valores. 
 
Exemplo: Determinar a amplitude total da série: 
 
Classe Inter. Classe fi 
1 02 |------ 04 5 
2 04 |------ 06 10 
3 06 |------ 08 20 
4 08 |------ 10 7 
5 10 |------ 12 2 
 
 Estatística 
 
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Solução: O ponto médio da última classe é 11 e o ponto médio da primeira classe é 3; 
portanto, At= 11 – 3 = 8 unidades. 
 
 
Desvio Médio Simples. 
O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. 
A dispersão dos dados em relação à média de uma seqüência pode ser avaliada através dos 
desvios de cada elemento em relação a média da seqüência. 
O desvio médio simples que indicaremos por DMS é definido como sendo uma média 
aritmética de cada elemento da série para média da série. 
 
 
Calculo do Desvio Médio Simples. 
Dados Brutos: Calcular inicialmente a média da seqüência , em seguida identificarmos a 
distancia de cada elemento da seqüência para a sua média e finalmente calculamos a média 
desta distancia. 
 
Fórmula. 
 
 DMS = | 𝑥𝑖 − 𝑥 | 
 n 
Exemplo: 
Calcule o DMS para a seqüência: 
X : 2 , 8 , 5 , 6. 
 
Solução: Determinamos inicialmente a média da série. 
 
𝑥 = 𝑋 𝑖 = 2 + 8 + 5 + 6 = 5,25 
 n 4 
 
 
Em seguida determinamos a distancia de cada elemento da série para a média da série: 
 
| X1 – 𝑥 | = | 2 – 5,25 | = 3,25 
 
| X1 – 𝑥 | = | 8 – 5,25 | = 2,75 
 
| X1 – 𝑥 | = | 5 – 5,25 | = 0,25 
 
| X1 – 𝑥 | = | 6 – 5,25 | = 0,75 
 
O DMS é a média aritmética simples deste valores. 
 
DMS = 3,25 + 2,75 + 0,25 + 0,75 = 7 = 1,75 
 4 4 
 Estatística 
 
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Interpretação: Em média, cada elemento da seqüência esta afastado do valor 5,25 por 
1,75 unidades. 
 
 
Variável Discreta. 
No caso da apresentação de uma variável discreta, lembramos que a freqüência simples de 
cada elemento representa o numero de vezes que este valor figura na série, e 
conseqüentemente haverá repetições de distancias iguais de cada elemento distinto da 
série para a média da série, para este caso usamos a notação Desvio Médio Absoluto ou 
DMA. 
 
Fórmula. 
 
 DMA = xi − xi . fi 
 𝑓𝑖 
 
Exemplo: Determine o DMA para a série: 
 
Xi fi 
1 2 
3 5 
4 2 
5 1 
 
Solução: O numerode elementos da série n = 𝑓𝑖 = 10 
A média da série é: 
 
X = 𝑥𝑖 𝑓𝑖 
 𝑓𝑖 
 
 
Xi fi xi fi 
1 2 2 
2 5 15 
4 2 8 
5 1 5 
 𝑓𝑖 = 10 𝑥𝑖 𝑓𝑖 =30 
 
A média da série é: 
__ 
X = 𝑥𝑖 𝑓𝑖 = 30 = 3 
 𝑓𝑖 10 
 
O DMA é dado por: DMA = xi − xi . fi 
 Estatística 
 
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 𝑓𝑖 
 
Incluiremos outra coluna para efetuar este cálculo 
 
Xi fi xi fi | Xi - X | fi 
1 2 2 4 
2 5 15 0 
4 2 8 2 
5 1 5 2 
 𝑓𝑖 = 10 𝑥𝑖 𝑓𝑖 =30 |𝑥𝑖 – 𝑥 | 𝑓𝑖 = 8 
 
O desvio médio absoluto é: 
 
DMS = | 𝑥𝑖 − 𝑥 | 𝑓𝑖 = 8 = 0,8 
 𝑓𝑖 10 
 
Variável Contínua. 
Nesta situação , por desconhecer os valores individuais dos elementos componentes da 
série, substituiremos estes valores xi , pelos pontos médios da classe. 
 
Desta forma, o desvio médio absoluto tem por cálculo a fórmula; 
 
 DMA = xi − xi . fi onde o xi é o ponto médio da classe i 
 𝑓𝑖 
 
Exemplo: Determine o DMA para a série. 
 
Classe Inter. Classe fi 
1 02 |------ 04 5 
2 04 |------ 06 10 
3 06 |------ 08 4 
4 08 |------ 10 1 
 
 
 
Acrescentar a coluna dos pontos médios das classes. 
 
Classe Inter. Classe fi Xi 
1 02 |------ 04 5 3 
2 04 |------ 06 10 5 
3 06 |------ 08 4 7 
4 08 |------ 10 1 9 
 𝑓𝑖 = 20 
Calcular a média da série . 
 Estatística 
 
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Classe Inter. Classe fi Xi Xi fi 
1 02 |------ 04 5 3 15 
2 04 |------ 06 10 5 50 
3 06 |------ 08 4 7 28 
4 08 |------ 10 1 9 9 
 𝑓𝑖 = 20 𝑥𝑖 𝑓𝑖 =102 
 
Á média da série é: 𝑋 = 102 = 5,1 
 20 
 
 
O DMA será. 
 
Classe Inter. Classe fi Xi Xi fi |xi – x| fi 
1 02 |------ 04 5 3 15 10,50 
2 04 |------ 06 10 5 50 1,00 
3 06 |------ 08 4 7 28 7,60 
4 08 |------ 10 1 9 9 3,90 
 𝑓𝑖 = 20 𝑥𝑖 𝑓𝑖 =102 |𝑥𝑖 – 𝑥 | 𝑓𝑖 = 23 
 
DMA = xi − xi . fi = 23 = 1,15 unidades 
 𝑓𝑖 20 
 
 
 
Variância e Desvio Padrão. 
 
Para dados brutos ou rol. 
 
1) Se a seqüência representa uma população, a variância é calculada pela formula: 
 
 
𝜎2(x) = 𝜎 (𝑥i - 𝑥 )2 
 n 
 
 Exemplo 
a) Calcular a variância e o desvio padrão da seqüência X: 4 ,5 , 8 , 5 
a seqüência contém n = 4 elementos e tem por média; 
 
 X = 𝑥𝑖 => 4 + 5 + 8 + 5 = 22 = 5,5 
 n 4 4 
 __ 
Os quadrados das diferenças ( Xi – X )
2 
valem: 
(𝑋1 – 𝑥 )2 = ( 4 – 5,5 )2 = 2,25 
(𝑋2 – 𝑥 )2 = ( 5 – 5,5 )2 = 0,25 
 Estatística 
 
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(𝑋3 – 𝑥 )2 = ( 8 – 5,5 )2 = 6,25 
(𝑋4 – 𝑥 )2 = ( 5 – 5,5 )2 = 0,25 
 
Somando-se estes valores obtém - se: (𝑋𝑖 – 𝑥 )2 = 9 
 
Substituindo esses valores na fórmula da variância, teremos: 
 
 𝜎2 (x) = ( 𝑋𝑖 – 𝑋 )2 = 9 = 2,25 
 n 4 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
𝜎(x) = 𝜎2 => 𝜎(x) = 2,25 = 1,5 unidades 
 
 
Se a seqüência anterior representasse apenas uma amostra a variância seria denotada por 
s
2
(x) e o desvio padrão por s(x) 
 
Neste caso; 
 
s
2
(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 e s(x) = 𝑠2 (𝑥) 
 n – 1 
 
 
Note que a única diferença entre a formula de 𝜎2 (x) ( indicado para populações) e s2 
(indicado para amostras) é o denominador. 
 
 
Assim 
s
2
(x) = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2 = 9 => 3 e o desvio padrão s(x) = 3 = 1,73 
 n – 1 3 
 
 
Variável Discreta: 
Como há repetições de elementos na série, definimos a variância como sendo uma média 
aritmética dos desvios dos elementos da série média da série. 
 
a) Se a variável discreta é representativa de uma população, então a variância é dada por: 
 
 
Fórmula. 𝜎2(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 𝑓𝑖 
 𝑓𝑖 
 
O desvio padrão é ; 𝜎(x) = 𝜎2(𝑥) 
 
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b) Se a variável discreta é representativa de uma amostra, então a variância é: 
 
Fórmula; . s
2
(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 𝑓𝑖 
 𝑓𝑖 - 1 
 
e do desvio padrão é : s(x) = 𝑠2(𝑥) 
 
 
Exemplo 1: Calcular a variância da série abaixo, representativa de uma população. 
 
Xi fi Xifi (xi – x)
2
.fi 
2 3 6 8,1675 
3 5 15 2,1125 
4 8 32 0,9800 
5 4 20 7,2900 
 𝑓𝑖= 20 𝑥𝑖.𝑓𝑖 = 73 (𝑥𝑖 – 𝑥 )2.fi = 18,55 
 
A variância é : 
 𝜎2(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 𝑓𝑖 = 18,55 = 0,9275 e o desvio padrão = 0,9275 = 0,963 
 𝑓𝑖 20 
 
Exemplo 2 : Se a variável discreta fosse representativa de uma amostra, a variância seria 
indicada por ; 
 
 
 
 s
2
(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 𝑓𝑖 => 18,55 = 0,9763 e o desvio padrão 0,9763 = 0,988 
 𝑓𝑖 – 1 19 
 
 
 
Variável contínua. 
Novamente, por desconhecer os particulares valores de Xi da série, substituiremos nas 
fórmulas anteriores estes valores pelos pontos médios de classe. 
 __ 
Fórmula : 𝜎2(x) = (Xi - X )2 fi 
 𝑓𝑖 
 
Se a variável contínua representa uma amostra então a variância é denotada por s
2
(x) e a 
sua formula de cálculo é : 
 
Exemplo 1 : Calcular a variância e o desvio padrão para a série representativa de uma 
população: 
 
 Estatística 
 
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Classe Int. cl. fi Xi Xifi (xi – x)
2
fi 
1 0 |----- 4 1 2 2 40,96 
2 4 |----- 8 2 6 18 17,28 
3 8 |----- 12 5 10 50 12,80 
4 12 |----- 16 1 14 14 31,36 
 𝑓𝑖 =10 xifi = 84 (𝑥𝑖 – 𝑥)2.𝑓𝑖 = 102,4 
A variância é portanto: 
 
𝜎2(x) = (Xi − 𝑥 )2 fi = 102,4 => 10,24 e o desvio padrão é = 10,14 = 3,2𝑓𝑖 10 
 
 
Exemplo 2: Se a variância contínua fosse representativa de uma amostra, a variância seria 
indicada por s
2
(x) e sua fórmula do cálculo seria: 
 
 s
2
(x) = (𝑋𝑖 − 𝑥 )2 𝑓𝑖 
 𝑓𝑖 - 1 
 
Desta forma s
2
(x) = 102,4 = 11,38 e o desvio padrão s(x) = 11,38 = 3,373. 
 9 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1) A produção de manteiga dos últimos seis meses do Laticínio Sabor de Leite Ltda. Está 
apresentada a seguir. Com base nós números apresentados, calcule : (a) média; (b) desvio 
médio ; (c) variância populacional; o desvio padrão populacional . 
Produção mensal de manteiga em toneladas: {11; 8; 4; 10; 9; 12 } 
 
 
2) As notas de um determinado aluno em estatística foram iguais 5, 3, 2 e 4. Pergunta-se: 
qual o desvio médio destas notas ? 
 
 
 
03) Empregando os dados disponibilizados na tabela a seguinte, pede-se obter à média, o 
desvio médio simples, a variância (amostral e populacional) e o desvio padrão (amostral e 
populacional). 
 
xi 𝑓i 
2 1 
4 3 
 Estatística 
 
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6 4 
10 3 
12 3 
16 6 
 
04) Os dado a seguir apresentam a quantidade (em milhares) de passageiros transportados 
em diferentes épocas do ano por uma grande empresa de transporte urbano. Com base nos 
números apresentados, pede-se obter: 
a – a média aritmética 
b –o desvio médio 
c – variância (amostral e populacional) 
d – desvio padrão (amostral e populacional) 
 
 
 
 
 
Intervalo de 
Classe 
𝑓i 
 1,5 |------- 4,5 5 
 4,5 |------- 7,5 10 
 7,5 |------- 10,5 12 
10,5|------- 13,5 6 
13,5|------- 16,5 7