Livro pdf - Fundamentos de Matemática Financeira - Prof. MSc. Uanderson Rébula

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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
Fundamentos Básicos da 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
% 
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0,01%
R$ 5.000
juros 
TEMPO
Prof. Uanderson Rebula de Oliveira 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EMENTA. 
Capital, juros, montante, taxa de juros. Sistemas de juros simples. Operações de desconto 
Sistemas de juros compostos. Taxa nominal, efetiva e equivalente. Valor do dinheiro no tempo. 
Taxa mínima de atratividade versus inflação. Diagrama de fluxo de caixa. Análise do fluxo de 
caixa através do Payback Simples e Descontado. Análise do fluxo de caixa através do Valor 
Presente Líquido 
 
OBJETIVO. 
Compreender os conceitos e os princípios fundamentais da Matemática Financeira para resolver 
problemas que envolvam juros simples, compostos, desconto de títulos; Compreender o que é e 
para que serve um fluxo de caixa; Saber a diferença do dinheiro em deferentes épocas; Avaliar a 
viabilidade de um investimento através do Valor Presente Líquido e Payback. 
 
 
 
 
 
 
Produção Industrial e Automotiva
 
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrando em Engenharia (ênfase Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
 
Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da 
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do 
Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso 
de férias). Palestrante para Administradores (graduação). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração 
de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística 
Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, 
Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do 
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na 
CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de 
Siderurgia. 
 
Fundamentos Básicos da 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Campus Resende 
2010 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
NOTA DO PROFESSOR 
 
 
 
 
 
No mundo atual, extremamente complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo o 
momento no nosso cotidiano. 
 
Precisamos  ficar  atentos,  pois  utilizamos  diariamente  inúmeras  operações  para  tomarmos 
algumas decisões em relação ao dinheiro. São empréstimos, compra e venda, pagamentos de tarifas de 
luz, água, impostos, aplicações em bancos, tudo isso relacionado com a economia do país. 
 
É possível citar, também, as decisões importantes que tomamos quanto aos financiamentos para 
a aquisição de carros, casas, terrenos etc e aos financiamentos que as empresas fazem para aquisição 
de máquinas, equipamentos etc. 
 
 A oscilação do preço do financiamento representado pela elevação ou queda das taxas de juros, 
o estabelecimento de prazos para a conclusão das operações de  financiamento e de  investimento, o 
risco inerente a cada decisão são problemas financeiros latentes de solução.  
 
A Matemática Financeira oferece o instrumental ideal para lidar com os fatos citados. Há extrema 
necessidade  das  pessoas  em  geral  e,  especificamente  da  classe  estudantil,  tomarem  conhecimento 
desse poderoso instrumental para auxiliá‐los no entendimento e nas respostas a tais questões. 
 
 O  conhecimento  básico  das  operações  de  financiamento  e  investimento  habilita  o  cidadão  a 
escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐determinado. 
 
O objetivo desta apostila é apresentar de  forma  simples e objetiva os  fundamentos básicos da 
Matemática  Financeira.  Trata‐se  de  um  estudo  introdutório  visando  principalmente  a  sua  utilização 
como  apoio no  curso,  especialmente  a disciplina  “Gestão  Financeira de  Empresas”,  cujos  estudantes 
precisam no exercício de suas atividades dos conhecimentos básicos da matéria.  
 
Uanderson Rebula 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“No mundo atual, complexo e globalizado, 
as questões financeiras surgem a todo 
instante no cotidiano da população”. 
 
Bernardo Scisú 
 
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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira 
Sumário 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, 7 
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO, 10 
1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS, 15 
1.3.1 Conceito de juros simples, 15 
1.3.2 Conceito de juros compostos, 15 
1.3.3 Cálculo dos juros simples, 16 
1.3.4 Cálculo dos juros compostos, 19 
1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO, 21 
1.4.1 Desconto simples, 21 
1.4.2 Desconto composto, 22 
1.5 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE, 23 
UNIDADE 2 – FLUXO DE CAIXA                  
2.1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO, 26 
2.2. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA, 27 
REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS, 28 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A  matemática  financeira  surge  como  um  método  para  avaliar 
alternativas  e  ajudar  os  cidadãos  nas  decisões.  O  conhecimento 
básico das operações de financiamentos e  investimentos habilita o 
cidadão  a  escolher  caminhos  racionais  com  nível  de  risco  pré‐
determinado”. 
 
Bernardo Sicsú  
Economista, Especialista em Finanças e Mestre em Administração Financeira. 
 
 
 
 
 
 
Unidade 1 
 
FUNDAMENTOS DA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Segundo Halfeld (2008) os livros de Economia ensinam que há três fatores essenciais para a produção: 
 
• TRABALHO: A remuneração exigida por aquele que fornece trabalho é o SALÁRIO. 
• TERRA: Quem tem terra ou prédios exige um ALUGUEL para emprestá‐lo. 
• CAPITAL: A remuneração exigida por aquele que empresta dinheiro é o JURO.  
 
; Os  fatores  de  produção  são  elementos  básicos  utilizados  na  produção  de  bens  (como  carros,  móveis,  aço, 
eletrodomésticos etc.), e serviços (como telefonia, comunicação, manutenção, etc.). Esses fatores têm influencia 
direta na produção, os quais são utilizados para satisfazer as nossas necessidades. 
 
Assim, podemos visualizar a remuneração dos fatores de produção na figura abaixo: 
 
 
Capital x JURO – surgimento 
 
O conceito do fator de produção Capital x JURO surgiu com a criação de pequenas firmas que se comprometiam a 
guardar o dinheiro das pessoas. Nasciam, portanto, os primeiros “bancos”. Num espaço de tempo relativamente 
curto, acumulou‐se nos cofres dos bancos imensa quantidade de dinheiro.  
 
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não a consumiam  imediatamente, os banqueiros 
foram  se  ocupando de  uma nova  atividade:  guardar  e  emprestar  dinheiro.    Era  pouco  provável  que  todos  os 
proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exigissem a devolução imediata de todo seu dinheiro.  
 
Assim, os bancos emprestavam parte deste dinheiro a quem pedisse,  sob a  condição de devolução num prazo 
determinado,  com  o  propósito  de  obter  alguma 
vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, 
era entregue, no vencimento do prazo estipulado, 
uma soma adicional, denominada “juro”. 
 
Desta  forma,  o  homem  percebeu  existir  estreita 
relação entre o dinheiro e o tempo  (prazo). Toda 
transação  financeira  previa  quando  (datas  de 
início e término da operação) e por quanto tempo 
(duração  da  operação)  se  dava  a  cessão  (o 
empréstimo) do capital  (dinheiro). Este prazo era 
expresso em determinada unidade de tempo (dia, 
mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.). 
 
A instituição bancária foi o elemento propulsor do 
surgimento  de  um  tratamento  matemático  na 
Economia,  que  exigia  um  cálculo  específico, 
considerando  o  juro  e  o  tempo,  e  o 
desenvolvimento  de  um  aspecto  particular  da 
matemática: a Matemática Financeira. 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. 
 
 
• Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira. 
 
• Não  é  necessário  esperar  o  tempo  passar  para  saber  o  resultado  de  uma  operação  financeira,  basta 
executar determinados cálculos matemáticos para antecipar o resultado! 
 
 
 
 
 
• O que se conhece como Matemática Financeira está muito mais próximo das pessoas do que se imagina. 
A Matemática Financeira faz parte do nosso dia a dia. 
 
Aplicações atuais da Matemática Financeira 
 
Atualmente a Matemática Financeira possui diversas aplicações no sistema econômico, algumas situações estão 
presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa pela caixa econômica federal, financiamentos 
de carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações na caderneta de 
poupança, CDB’s, investimentos em bolsas de valores, cálculos das taxas de inflação (perda do poder de compra) 
entre outras situações.  
 
Todas as movimentações  financeiras são baseadas na estipulação prévia de  taxas de  juros, considerando o  fato 
“tempo”. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de  juros,  isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor  inicial do empréstimo, a essa diferença 
damos o nome de juros. 
 
A matemática  financeira  também  é  utilizada  na  análise  de  investimentos  (Engenharia  Econômica),  pois  busca 
ajudar  na  decisão  de  onde  um  valor  deve  ser  aplicado,  considerando  estritamente  a  rentabilidade  que 
determinada operação resultará. Veremos este assunto em “Gestão Financeira de Empresas”. 
 
Fundamentos do uso da Matemática Financeira pelas empresas. Os conceitos abaixo são interessantes. 
 
PRÁTICA DAS PESSOAS FÍSICAS: 
 
ƒ APLICAR O DINHEIRO na aquisição de BENS que NÃO GERAM DINHEIRO; pelo contrário, 
tiram o dinheiro da conta bancária, como CARROS DE LUXO, CASA NA PRAIA etc.  (ou 
seja: CRIAR DESPESAS); 
 
ƒ TOMAR DINHEIRO EMPRESTADO de um banco e pagá‐lo, ao LONGO do TEMPO, para 
“COBRIR” as DESPESAS ou contrair “MAIS DESPESAS”. 
 
ƒ COMPRAR ou VENDER a VISTA/a PRAZO SEM uma análise  financeira de qual opção é 
mais vantajosa. 
Ex.: Se eu aplicar R$ 1.000 na caderneta de poupança por três anos, com juros de 7% ao ano, qual o 
valor total que receberei no final da aplicação? Eu não preciso esperar três anos para saber o valor 
total, basta efetuar simples cálculos oferecidos pela matemática financeira! 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
PRÁTICA DAS EMPRESAS: 
 
) APLICAÇÕES FINANCEIRAS  
Ao  invés de  contrair despesas, APLICAR O DINHEIRO EM UM BANCO, por exemplo, 
para que, APÓS ALGUM TEMPO, obtenham rendimentos (juros); 
 
) INVESTIMENTOS 
APLICAR  O  DINHEIRO  EM  IMÓVEIS  DE  RENDA,  SISTEMAS  PRODUTIVOS,  BOLSA  DE 
VALORES,  investirem  em  outras  empresas  etc.  para  que  APÓS  ALGUM  TEMPO 
obtenham rendimento; 
 
) FINANCIAMENTOS  
COMPRAR MÁQUINAS, equipamentos etc. parcelado e pagar ao LONGO DO TEMPO. 
“Pagar com o próprio lucro” obtido na operação; 
 
) EMPRÉSTIMOS  
Tomar dinheiro emprestado e aplicar na empresa e dar prosseguimento ou expansão 
das operações, e pagar ao LONGO DO TEMPO. 
 
) Efetuar  compras  ou  vendas  a  vista/a  prazo  com  análise  financeira  da  opção mais 
vantajosa. 
 
Como se vê, as empresas realizam a todo o momento operações financeiras que são as aplicações financeiras, os 
investimentos, financiamentos e empréstimos; e se envolvem com operações de compras e vendas a prazo/ a vista. 
Observe que todas essas operações envolvem tempo. A figura abaixo pode esclarecer as operações financeiras que 
envolvem as empresas:Considerações finais 
ƒ No quesito “TEMPO” tanto as empresas como as pessoas físicas necessitam de uma ferramenta precisa e eficaz 
para auxiliá‐las nos cálculos para TOMADA DE DECISÕES. 
ƒ Todo investidor busca a melhor rentabilidade de seus recursos, e para que se possa medir o seu retorno faz‐se 
necessária a aplicação de cálculos  financeiros que possibilitam a  tomada de decisão e a gestão  financeira das 
empresas. 
ƒ A Matemática  Financeira  surge  como  um MÉTODO  para AVALIAR ALTERNATIVAS  e  ajudar  na  TOMADA DE 
DECISÃO.  
ƒ Diante  das  situações  acima,  podemos  observar  que  o  estudo  da Matemática  Financeira,  com  todas  as  suas 
fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de urna certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, 
isto é, dos juros. Portanto: PALAVRA CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: “JUROS”. 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS e PRAZO 
 
O que estudaremos agora  faz parte do nosso vocabulário habitual com as mais diversas 
instituições bancárias, seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou solicitar um 
empréstimo;  também no nosso dia a dia, seja na hora de comprar ou vender um carro, 
eletrodoméstico etc.  
 
Para aplicação da Matemática Financeira precisamos entender algumas definições 
importantes,  tais como: capital, montante,  juros,  taxas de  juros e prazo. Mencionamos aqui 
para alinharmos estes conceitos. Para isto, vamos utilizar três exemplos práticos com situações 
diferentes, como segue: 
 
EXEMPLO 1 – CASO DE INVESTIMENTO 
 
UM INVESTIMENTO DE R$100 RETORNOU R$140 AO SEU INVESTIDOR APÓS 6 MESES. 
 
 
) CAPITAL1 é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$100.  
 
) MONTANTE2 é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$140 
 
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$40 ($140–$100). 
 
) TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                              No exemplo seria $40 = 0,40 ou 40% em 6 meses.                                                     CAPITAL                            
                                       $100 
 
) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seriam 6 meses. 
 
 
O EXEMPLO 1 PODE SER FACILMENTE VISUALIZADO ATRAVÉS DA FIGURA ABAIXO: 
 
 
 
Esses são os conceitos básicos em Matemática Financeira. 
 
___________________ 
1 Alguns autores definem capital como “valor presente”, “valor inicial”, “capital inicial”, “valor atual” ou “principal”. 
2 Alguns autores definem montante como “valor futuro” ou “valor final”, “capital final”.  
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
EXEMPLO 2 – CASO DE EMPRÉSTIMO 
EMPRÉSTIMO BANCÁRIO DE R$10, COM DEVOLUÇÃO DE R$15 APÓS 1 ANO. 
 
 
) CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$10.  
 
) MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria R$15 
 
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$5 (R$15–R$10). 
 
) TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                              No exemplo seria $5 = 0,50 ou 50% em 1 ano.                                                              CAPITAL                                               
                                     $10 
 
) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 1 ano 
 
 
EXEMPLO 3 – CASO DE COMPRA A PRAZO 
Um PEN DRIVE custa à vista R$100 ou a prazo em 6x de R$20, totalizando R$120. 
 
 
) CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $100.  
 
)  MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO.  No exemplo seria $120 ($100+$20) 
 
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $20 ($120–$100). 
 
) TAXA DE JUROS  é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS.  
                               No exemplo seria $20 = 0,20 ou 20% em 6 meses.                                                       CAPITAL.                                             
                                      $100 
) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES – JUROS E TAXAS DE JUROS 
 
JUROS 
JURO É O VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. Também conceituado por diversos autores como o 
“ALUGUEL QUE DEVE SER PAGO PELO USO DO DINHEIRO”; “REMUNERAÇÃO DO CAPITAL APLICADO”; 
“RENDIMENTO DE UMA OPERAÇÃO”. 
 
 
JUROS  = MONTANTE – CAPITAL 
JUROS    =        $120         –     $100 
JUROS    =        $20 
 
 
TAXA DE JUROS 
É a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO. Portanto, uma taxa de juros revela o acréscimo de valor do 
dinheiro em certo tempo, devido a concessão do uso deste dinheiro. 
 
9 ABREVIATURAS PARA PRAZOS E TAXAS DE JUROS 
Para facilitar a representação é usual no mercado a abreviatura dos prazos e taxas, a saber: 
 
Taxa e abreviatura  SIGNIFICADO 
5% a.d.  Significa uma taxa de juros de 5% ao dia. 
5% a.m.  Significa uma taxa de juros de 5% ao mês. 
5% a.s.  Significa uma taxa de juros de 5% ao semestre. 
5% a.a.  Significa uma taxa de juros de 5% ao ano. 
 
9 FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA DAS TAXAS DE JUROS: 
 
O MERCADO  financeiro APRESENTA  as  taxas  na  FORMA  PERCENTUAL  (0,3%  a.d.;  20%  a.a.). 
Porém, para efetuar os CÁLCULOS, opera‐se na FORMA UNITÁRIA (0,003, 0,20) Veja abaixo: 
 
APRESENTADA  CALCULADA 
FORMA PERCENTUAL 
TRANSFORMAÇÃO 
FORMA UNITÁRIA 
0,3% a.d.  0,3/100  0,003  
0,45% a.m.  0,45/100  0,0045  
2% a.s.  2/100  0,02  
20% a.a.  20/100  0,20  
 
ALTERAÇÃO PRÁTICA entre FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA: 
 
Forma percentual para UNITÁRIA 
FORMA PERCENTUAL  TRANSFORMAÇÃO  FORMA UNITÁRIA 
0,3%  0,3/100  0,003 
Ou pular duas casas decimais para 
ESQUERDA  
 
Forma unitária para PERCENTUAL 
FORMA UNITÁRIA  TRANSFORMAÇÃO  FORMA PERCENTUAL 
0,02  0,02x 100  2% 
Ou pular duas casas decimais para 
DIREITA 
 
 
 
 
DO EXEMPLO 3 (pág. 11) 
EXEMPLO 
O juro de um capital de $1.000 
aplicado a taxa de 20% a.a. será: 
 
$1.000 x 0,20 = $200 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
EXERCÍCIO 1 - EXERCITANDO OS CONCEITOS... 
 
1. Observe a propaganda ao lado e informe: 
 
Qual o capital?___________________________________________  
Qual o valor do montante? _________________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________  
Qual a taxa de juro?_______________________________________ 
Qual o prazo?____________________________________________ 
2. Observe a propaganda ao lado e informe: 
 
Qual o capital?___________________________________________  
Qual o valor do montante? _________________________________ 
Qual o valor do juro cobrado?_______________________________  
Qual a taxa de juro?_______________________________________ 
Qual o prazo?____________________________________________ 
 
3.  Um  Fusca  estava  sendo  vendido  à  vista  pelo  valor  de  R$8.000.  Robervaldocomprou  a  prazo 
pagando um valor total de $ 9.500, após 12 meses. 
 
ƒ Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
ƒ Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
ƒ Qual o prazo?_________________ 
 
4. Para um empréstimo de $500 foram pagos, além do valor do empréstimo, mais $70 de acréscimo, 
após 6 meses. 
 
ƒ Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
ƒ Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
ƒ Qual o prazo?_________________ 
 
5. A quantia de $2.000 foi aplicada em um banco e, após 1 mês, retornou ao investidor $2.040: 
 
ƒ Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
ƒ Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
ƒ Qual o prazo?_________________ 
 
 
R$718,80 
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6. Numa aplicação na caderneta de poupança obtive um rendimento de $200 em 6 meses. Sabendo‐se 
que o valor aplicado foi de $1.600, informe: 
 
ƒ Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________ 
ƒ Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________ 
ƒ Qual o prazo?_________________ 
 
7. Qual foi o valor dos  juros resultante de uma operação em que foi  investido um capital de $1.225 e 
que gerou um montante de $1.487? 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
8. Qual  o  valor  do  investimento  em  um  banco  que  gerou  um  resgate  de  $1.500,  sabendo‐se  que  o 
rendimento desta aplicação foi de $378? 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
9. Converta as taxas a seguir da forma percentual para a forma unitária, e vice‐versa:   
 
a) 25%___________ b) 5%___________ c) 1,5%___________ d) 0,5%__________ e) 0,18%___________           
f) 0,16___________ g) 0,0034___________ h) 0,07___________ i) 0,5__________ j) 0,65____________           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
A partir de agora passaremos a explorar o tema “JURO” com mais profundidade. No Mercado 
Financeiro existem 2 tipos de juros: os juros “simples” e “compostos”.  
 
1.3.1 CONCEITO DE JURO SIMPLES 
 
É AQUELE CALCULADO SOMENTE SOBRE O CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO. 
 
EXEMPLO A: 
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À 
TAXA DE JUROS SIMPLES DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR? 
 
Mês  CAPITAL INÍCIO EMPREGADO  JUROS  MONTANTE (ou valor futuro) 
1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)  10.500 (10.000+500) 
2º     500 (10.000 x 0,05)  11.000 (10.500+500) 
3º     500 (10.000 x 0,05)  11.500 (11.000+500)  
 
Observe  que  os  juros  foram  calculados  somente  sobre  o  CAPITAL  NO  INÍCIO  EMPREGADO 
($10.000);  isso quer dizer que os JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS SOBRE UM ÚNICO VALOR. 
Nesse caso, os juros são simples e que o valor a ser pago no final do 3º mês é de $11.500. 
 
Juros simples são largamente usados em países em que a inflação (perda do poder de compra) é muito baixa, ou 
em contextos em que as taxas de juros anuais são muito pequenas, pois nestes casos, a perda ao longo dos tempos 
é relativamente insignificante. (SANTOS, 2001, p. 14). 
 
1.3.2 CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS 
 
É AQUELE CALCULADO SEMPRE SOBRE O MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR. 
 
EXEMPLO B: 
JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À 
TAXA DE JURO COMPOSTO DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR? 
 
Mês  CAPITAL   JUROS  MONTANTE (ou valor futuro) 
1º   10.000  500 (10.000 x 0,05)   10.500 (10.000 + 500)  
2º   10.500  525 (10.500 x 0,05)   11.025 (10.500 + 525)  
3º   11.025  551 (11.025 x 0,05)  11.576 (11.025 + 551) 
 
Observe que os juros dos meses 2º e 3º ($525 e $551) foram calculados sobre o MONTANTE DO 
PERÍODO ANTERIOR ($10.500 e $11.025, respectivamente). Daí afirmamos que neste regime são 
calculados  “JUROS  SOBRE  JUROS”. Nesse  caso,  o  valor  a  ser  pago  no  3º mês  é  de  $11.576, 
superior ao calculado pelos juros simples. 
 
Juros compostos são  largamente usados no Mercado Financeiro. Um exemplo é a caderneta de poupança, em 
que você aplica seu dinheiro e, após um mês, já apresente o capital acrescido de juros. Observe que a partir do 1º 
mês, mesmo que você não aplique nada mais, continuará rendendo juros sobre o montante do período anterior. 
 
NOTAS: 
) O crescimento do dinheiro ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO. 
) Chamamos de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO a maneira como os juros evoluem ao longo do 
tempo, podendo ser REGIME de JUROS SIMPLES e REGIME de JUROS COMPOSTOS. 
 
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EXERCÍCIO 2 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE SISTEMAS DE JUROS. 
 
1. Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o montante no final 
de cada período pelos sistemas de juros simples e compostos. 
 
1.a. Sistema de Juros Simples: 
 
Mês  CAPITAL no INÍCIO  JUROS   MONTANTE (ou valor futuro) 
1       
2       
3       
 
1.b. Sistema de Juros Compostos: 
 
Mês  CAPITAL   JUROS   MONTANTE (ou valor futuro) 
1       
2       
3       
 
1.3.3 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES: 
 
A Matemática Financeira utiliza determinadas “FÓRMULAS PADRÃO” para cálculo de  juros. A 
forma de cálculo que estudamos foi apenas para entendimento do conceito.  
 
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS 
c  = capital     
M  = montante    J = c.n.i 
J  = juros    e/ou 
i  = taxa de juro unitária    M = c(1 +  i.n) 
n  = prazo     
 
EXEMPLO – CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO A (pág. 15) 
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
 
    CÁLCULO DETALHADO 
C  = 10.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05.3) 
i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1  +  0,15) 
n  = 3 meses    M = 10.000 (1,15) 
      M = 11.500  
 
Observe que M=11.500 é o mesmo resultado do exemplo A, da página 15, quando fizemos passo a passo. 
 
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EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a. (pág. 16) 
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final 
do período pelo sistema de juros simples. 
 
    CÁLCULO  
C  = 1.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1.3) 
i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,3) 
n  = 3 meses    M = 1.300 
 
EXEMPLO 3 
Apliquei $2.000 à taxa de juros simples de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
    CÁLCULO  
C  = 2.000     
J  = ?    J = c.n.i 
i  = 6% → 0,06    J = 2.000 . 2 . 0,06n  = 2 anos    J = 240 
 
EXEMPLO 4 
A que TAXA DE JUROS simples foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro? 
 
    CÁLCULO  
C  = 2.000    J = c.n.i 
J  = 240    240 = 2.000 . 2 . i 
i  = ?    240 = 4000i 
n  = 2 anos        i  = 0,06 ou 6% 
 
EXEMPLO 5 
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.  
no regime de juro simples? 
 
    CÁLCULO 
C  = ?    M = c(1 +  i.n) 
M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08.3) 
i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,24c 
n  = 3 anos     C = 12.096 
 
EXEMPLO 6 
Um  comerciante,  após  uma  consulta  de  preços  para  a  aquisição  de  um  carro,  recebeu  a  seguinte 
proposta: pagamento à vista de $15.000 ou 18.000, após 2 meses. Qual é a TAXA DE JUROS simples? 
 
    CÁLCULO 
C  = 15.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = 18.000    18.000 = 15.000(1  +  i.2) 
i  = ?    18.000 = 15.000  +  30.000i 
n  = 2 meses     18.000 ‐ 15.000 = 30.000i 
      3.000 = 30.000i  
      i= 0,10 ou 10% 
 
EXEMPLO 7 
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros simples de 5% a.m. 
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? 
 
    CÁLCULO  
C  = 6.000    M = c(1 +  i.n) 
M  = 7.800    7.800 = 6.000 (1  +  0,05.n) 
i  = 5% → 0,05     7.800 = 6.000  +  300n) 
n  = ?    7.800 ‐ 6.000 = 300n 
      1.800 = 300n 
      n = 6 meses 
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EXERCÍCIO 3 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS SIMPLES  
1 ‐ Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses à taxa de 1,5% a.m., para obtermos $441 de juro? (CRESPO, p88) 
C= $9.800 
 
 
 
 
2  ‐ Tomou‐se emprestada a  importância de $1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de  juros simples de 30% a.a. 
Qual será o valor do juro a ser pago? (CRESPO, p81). 
j=$720 
 
 
 
 
3 ‐ Calcule o Capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à 
taxa de 3,5% a.m. para se conseguir um Montante de $190. (SICSÚ, p9). 
C = $148 
 
 
 
 
4 ‐ Temos um capital de $12.000 e o aplicamos a uma taxa de juros de simples de 2,4% a.m. Qual o valor a ser 
resgatado ao final de 10 meses? (SENAC, p21). 
M = 14.480 
 
 
 
 
 
5 ‐ Qual o capital que, aplicado por 1 ano e 6 meses (18 meses), à taxa 1,2% a.m., rendeu $19.008? (CRESPO, p88). 
C=$88.000 
 
 
 
 
 
6 ‐ Um investidor aplicou $200 por 4 meses à taxa de juros simples 1% a.m. Qual o montante? (Adapt. SICSÚ, p.15). 
M = $208 
 
 
 
 
 
7 ‐ Se, ao final de 4 meses, Luís deve pagar $ 1.200 por um empréstimo, à taxa de juros simples de 3% a.m., qual 
foi o valor do seu empréstimo? (SENAC, p13). 
C = 1.071 
 
 
 
8 ‐ Quantos meses são necessários para se obter um montante de $7.000, sabendo‐se que o capital investido foi 
de $5.000 à taxa de juros simples de 4% a.m. (PROFESSOR). 
n = 10 meses 
 
 
 
 
 
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1.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS: 
 
Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS  Usadas para: 
c  = capital       
M  = montante    M = c (1 + i)n  M, c, j 
J  = juros    * i = (M/c) 1/n  ‐ 1  i 
i  = taxa de juro unitária  * n = log(M/c) ÷ log(1+i)  n 
n  = prazo       
 
EXEMPLO 1– CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO B (pág. 15) 
João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 5% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
 
    CÁLCULO DETALHADO 
C  = 10.000    M = c (1 + i)n 
M  = ?    M = 10.000 (1  +  0,05)3 
i  = 5% → 0,05    M = 10.000 (1,05)3 
n  = 3 meses    M = 10.000 (1,1576) 
      M = 11.576  
 
Observe que M=11.576 é o mesmo resultado do exemplo B, da página 15, quando fizemos passo a passo. 
 
EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.b. (pág. 16) 
Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final 
do período pelo sistema de juros compostos. 
 
    CÁLCULO  
C  = 1.000    M = c (1 + i)n 
M  = ?    M = 1.000 (1  +  0,1)3 
i  = 10% → 0,10     M = 1.000 (1,1)3 
n  = 3 meses    M = 1.331 
 
 
EXEMPLO 3 
Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a.  
no regime de juro composto? 
 
    CÁLCULO 
c  = ?    M = c (1 + i)n 
M  = 15.000    15.000 = c(1  +  0,08)3 
i  = 8% → 0,08    15.000 = 1,2597c 
n  = 3 anos     C = 11.907 
 
EXEMPLO 4 
Apliquei $2.000 à taxa de juros composta de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
    CÁLCULO  
c  = 2.000    M = c (1 + i)n 
J  = ?    M = 2000 (1 + 0,06)2 
i  = 6% → 0,06    M = 2000 (1,06)2 
n  = 2 anos    M = 2247 
      J=M‐C  →  2247‐2000  → J=247 
 
____________ 
*SENAC, 2008, p.18 
Para  calcular  (1,05)3 basta dispor
de  uma  calculadora  eletrônica 
que apresente a tecla Xy  ou ^.  
 
Procedimento: 
Introduza 1,05 Xy  3 = 1,1576 
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EXEMPLO 5 
A que TAXA DE JUROS composta  foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de 
juro? 
 
    CÁLCULO  
c  = 2.000    i = (M/c) 1/n  ‐ 1 
M  = 2240    i = (2240/2000) 
1/2  ‐ 1 
i  = ?    i = (1,12) 1/2  ‐ 1 
n  = 2 anos    i = (1,12) 0,5  ‐ 1 
      i = 1,0583 – 1   →  0,058 ou 5,8% 
 
 
EXEMPLO 6 
A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros composto de 5% a.m. 
Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? 
 
    CÁLCULO  
      n = log(M/c) ÷ log(1+i) 
c  = 6.000    n = log(7800/6000) ÷ log(1+0,05) 
M  = 7.800    n = log(1,3) ÷ log(1,05) 
i  = 5% → 0,05     n = 0,1139 ÷ 0,0211 
n  = ?    n = 5,4 meses 
      0,4 x 30 = 12 dias 
      5 meses e 12 dias 
 
Usamos o logaritmo “log” para calcular períodos. No exemplo acima basta clicar 
na calculadora eletrônica Log  1,3 = 0,1139  e  Log  1,05 = 0,211   
 
___________________________________________________________________________________ 
 
EXERCÍCIO 4 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS 
 
1‐ Luis Inácio toma emprestado do Banco Real $15.000 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juro composto de 3% ao 
mês. Qual o MONTANTE a pagar? 
 
2‐ Apliquei $3.000 no banco  a uma  taxa de  5% a.m. durante  8 meses. Determine o MONTANTE no  final do 
período pelo sistema de juros compostos. 
 
3‐ Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $30.000 daqui a 5 anos, a uma taxa de 12% a.a.  no 
regime de juro composto? 
 
4 ‐ Apliquei $25.000 à taxa de juros composta de 14 % a.a. por 7 anos. Quanto de JUROS recebi? 
 
5‐A que taxa de juros composta foi empregado o capital de $5.000 que rendeu em 4 anos $1.000 de juro? 
 
6‐ Fiz um empréstimo bancário de $55.000 pelo prazo de 7 anos, à  taxa de  juro composto de 3% a.a. Qual o 
montante a pagar? 
 
7‐ Apliquei $100.000 em  títulos do governo  federal a uma  taxa de 0,9% a.m. durante 11 meses. Determine o 
montante no final do período pelo sistema de juros compostos. 
 
8‐ Quanto preciso hoje para ter um montante de $90.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 9% a.a.  no regime de 
juro composto? 
 
 
 
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1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO 
 
A QUANTIA A SER ABATIDA DO MONTANTE, QUANDO O PAGAMENTO É FEITO ANTES DO DIA DO 
VENCIMENTO É DENOMINADA DESCONTO. 
 
• Todo título de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques etc.) tem uma data de vencimento; porém, 
o devedor pode realizar o pagamento antecipadamente, obtendo com  isso um abatimento denominado 
desconto. Portanto, quando o devedor efetua o pagamento antes do dia predeterminado, ele se beneficia 
(tem uma recompensa) com um abatimento correspondente ao  juro que seria gerado por esse dinheiro 
durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.  
 
• A operação consiste na aplicação de uma taxa de juros, denominada taxa de desconto, sobre o montante, 
durante um determinado período, reduzindo‐lhe o valor. 
 
• Ora, o credor pode precisar do dinheiro antes da data de vencimento do título e para isso ele concede um 
desconto sobre o valor que ele tenha a receber. 
 
• Regra fundamental: A TAXA DE DESCONTO INCIDE SOBRE O MONTANTE. 
 
Basicamente, existem dois sistemas de descontos: Desconto simples e Desconto composto.  
 
1.4.1 Desconto Simples 
 
O desconto comercial simples pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA 
D  = valor do desconto     
M  = Montante (ou valor nominal)    D = M * i *n 
i  = taxa de desconto unitária     
n  = prazo ou tempo     
 
Exemplo  1.  Qual  o  desconto  simples  de  um  título  no  valor  de  R$  50.000  se  ele  for  pago  2 meses  antes  do 
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual? 
 
D  = ?    D = M * i *n 
M  = 50.000    D = 50.000 * 0,05 * 2 
i  = 5% → 0,05    D = 5.000 
n  = 2 meses     
 
Valor atual = M‐D 
Valor atual = 50.000 – 5.000 = 45.000 
 
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Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um 
desconto simples com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual? 
 
D  = ?    D = M * i *n 
M  = 10.000    D = 10.000 * 0,035 * 3 
i  = 3,5% → 0,035    D = 1.050 
n  = 3 meses     
 
Valor atual = M‐D   |    Valor atual = 10.000 – 1.050 = 8.950 
 
1.4.2 Desconto Composto 
 
O desconto racional composto é utilizado basicamente em operações de longo prazo. Pode ser calculado 
aplicando a seguinte expressão matemática: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULA BÁSICA 
Va  = valor atual     
M  = Montante (ou valor nominal)    Va =     M 
i  = taxa de desconto unitária                (1+ i)n 
n  = prazo ou tempo     
 
Exemplo  1. Qual o desconto  composto de um  título no  valor de R$  50.000  se  ele  for pago 2 meses  antes do 
vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual? 
 
Va  = ?    Va =     M 
M  = 50.000                (1+ i)n 
i  = 5% → 0,05         Va =  50.000    =   45.351 
n  = 2 meses                 (1+0,05)2 
 
Valor atual = 45.351      |      Desconto = 50.000 – 45.351 = 4.649, 
 
Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um 
desconto composto com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual? 
 
Va  = ?    Va =     M 
M  = 50.000                (1+ i)n 
i  = 3,5% → 0,035         Va =  10.000    =   9.019, 
n  = 3 meses                 (1+0,035)3 
 
Valor atual = 9.019    |    Desconto = 10.000 – 9.019   =  981, 
_____________________________________________________________________________________ 
EXERCÍCIO 5 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE DESCONTOS 
 
1. Qual o desconto  simples e  composto de um  título no  valor de R$ 40.000  se ele  for pago 4 meses antes do 
vencimento à uma taxa de 4 % a.m.? Quais  os valores atuais? 
 
2. Um título de $80.000 vence daqui a 6 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto 
com taxa de 2% ao mês. Qual o valor de desconto simples e composto? Quais os valores atuais? 
 
3. Determine o valor atual de um título de $800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 
2% a.m.. Considerar simples e composto. (Crespo, p.128). 
 
4. Qual o desconto que um título de $5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 
2,5% a.m. Considerar simples e composto. (Crespo, p. 128) 
 
 
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1.5 TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE 
 
Taxa efetiva 
 
É aquela em que a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. 
 
Exemplos: 
 
1% ao mês com capitalização mensal  7% ao ano com capitalização anual 
 
Taxa Nominal 
 
É aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos 
de capitalização. 
 
Exemplos: 
 
3% ao mês com capitalização anual  12% ao ano com capitalização mensal 
 
Taxa Equivalente 
 
É aquela que, no regime de juros compostos, ao ser aplicada ao mesmo capital, num mesmo  intervalo 
de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo: 
 
 
1% ao mês é equivalente a 12,68% ao ano. 
 
; Informar a um poupador que um título rende 12% a.a. ou 1% a.m. não está correto. Na realidade, 1% 
a.m. equivale a 12,68% a.a, em função dos juros compostos. 
; Informar ao poupador que um título rende 36% a.a. ou 3% a.m. também não procede. Na realidade, 
36% a.a. é o mesmo que 2,6% a.m. 
; O comerciante quando diz ao prestamista que a taxa de  juros será 4% ao mês ou 48% ao ano, está 
dando uma falsa informação. Na verdade, 4% ao mês equivale a 60,1% ao ano. 
 
A equivalência das taxas indica uma simples mudança na unidade de contagem do tempo da operação. 
Expressões matemáticas básicas e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas são: 
 
ELEMENTOS    FÓRMULAS RELACIONADAS 
ia    tx anual  Ib tx bimestral     
is  tx semestral  im  tx mensal    (1+ia)
1  => (1+is)
2  => (1+it)
4  => (1+ib)
6  => (1+im)
12  => (1+id)
360   
it  tx trimestral  id Tx dária     
 
 
(1+ia)
1 → Um ano  (1+ib)
6 → Um ano têm 6 bimestres 
(1+is)
2 → Um ano têm 2 semestres  (1+im)
12→ Um ano têm 12 meses Considerando que: 
(1+it)
4 → Um ano têm 4 trimestres  (1+id)
360 → Um ano têm 360 dias 
 
Observe que essas fórmulas se relacionam. Assim, se eu quero saber a taxa anual e tenho a taxa mensal, usarei a 
seguinte expressão: (1+ia)
1 => (1+im)
12.  Caso eu tenha a taxa anual e queira saber a taxa mensal, usarei a mesma 
expressão. 
 
Portanto, podemos montar uma tabela orientativa, com as seguintes fórmulas relacionadas: 
 
Ano para mês → (1+ia)
1 => (1+im)
12   Ano para bimestre → (1+ia)
1 => (1+ib)
6  
Ano para semestre →  (1+ia)
1 => (1+is)
2    Ano para dia → (1+ia)
1 => (1+id)
360  
Ano para trimestre → (1+ia)
1 => (1+it)
4    
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
Exemplo 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% 
ao mês? 
 
      (1+ia)
1  => (1+im)
12  
ia  = ?    (1+ia) = (1+0,01)
12   
im  = 1% → 0,01    ia  =  1,01
12 ‐ 1 
      ia = 0,1268 ou 12,68%Exemplo 2. Qual a taxa mensal de  juros equivalente a 
12,68% ao ano?   
(1+ia)
1  => (1+im)
12  
ia  = 12,68% → 0,1268    (1+0,1268)
1 = (1+im)
12 
im  = ?    (1,1268) 
1/12 – 1 = im   
      im = 0,0099 ou 1% 
       
 
Exemplo 3. Qual a taxa anual de juros equivalente a 3% 
ao mês? 
 
      (1+ia)
1  => (1+im)
12  
ia  = ?     (1+ia) = (1+0,03)
12   
im  = 3% → 0,03    ia  =  1,03
12 ‐ 1 
      ia = 0,4257 ou 42,57% 
Exemplo 4. Qual a taxa mensal de  juros equivalente a 
36% ao ano? 
 
(1+ia)
1  => (1+im)
12  
ia  = 36% →0,36    (1+0,36)
1 = (1+im)
12  
im  = ?    (1,36) 
1/12 – 1 = im   
      im = 0,026 ou 2,6% 
 
Exemplo 5. Qual a taxa semestral de juros equivalente 
a 12% ao ano? 
 
      (1+ia)
1  => (1+is)
2  
ia  = 12% → 0,12     (1+0,12)
1 = (1+is)
2   
is  = ?    1,12 
1/2 – 1 = is 
      is = 0,0583 ou 5,83% 
Exemplo 6. Qual a taxa trimestral de juros equivalente 
a 30% ao ano? 
 
(1+ia)
1  => (1+it)
4  
ia  = 30% → 0,30    (1+0,3)
1 = (1+it)
4  
it  = ?    (1,3) 
1/4 – 1 = im   
      it = 0,0677 ou 6,77% 
       
 
Exemplo 7. Qual a taxa mensal de  juros equivalente a 
40% ao semestre? 
 
 
 
 
    (1+is)
2  => (1+im)
12 
im  = ?     (1+0,4)
2  = (1+im)
12 
is  = 40% →0,40    (1,4)
2/12 ‐ 1 =  im 
      im = 0,0576 ou 5,75% 
Nota:  A  taxa  equivalente  também  pode  ser  obtida  pela 
fórmula abaixo, desde que partindo de uma taxa maior para 
uma menor (por exemplo, ano para mês ou mês para dia): 
 
ieq = (1+i)
n/360 ‐ 1 
 
ieq = taxa equivalente procurada. 
i = taxa dada. 
n = quant. dias da taxa procurada. 
 
Ex.Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano? 
ieq = (1+i)
n/360 – 1  
ieq = (1+0,36)
30/360 – 1        
ieq = 2,6% a.m. 
 
EXERCÍCIO 6 - EXERCITANDO CONCEITOS DE TAXAS EQUIVALENTES 
 
1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 4% ao mês? 
 
 
2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 47% ao ano? 
 
 
3. Qual a taxa semestral de juros equivalente a 18% ao ano? 
 
 
4. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 25% ao ano? 
 
 
5. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 35% ao semestre? 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em Finanças, o fluxo de caixa (designado em inglês por "cash 
flow"), refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por 
uma empresa durante um período de tempo definido, algumas 
vezes ligado a um projeto específico. 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2 
 
FLUXO DE CAIXA 
 
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2.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
 
“Tempo é dinheiro”. Sem sombra de dúvida, o dinheiro tem valor no tempo.  
 
Deve‐se  ter em mente que o capital  (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes em datas 
diversas. Esta idéia é de fundamental importância.  
 
Inflação 
A disponibilidade de R$100,00 hoje não é equivalente a se ter R$100,00 daqui a 
um ano. Pois o que se compra hoje com este valor, pode não ser mais adquirido 
daqui a um ano com a mesma quantia, em decorrência da  inflação  (perda do 
poder de compra) 
 
Para  países  com  economias  inflacionárias  históricas,  como  é  o  caso  brasileiro,  este  fato  é  de  fácil 
aceitação. Mesmo que se desconsiderem os efeitos da inflação, a concepção permanece.  
 
Aplicações no mercado financeiro 
 
Imagine a questão por outra ótica: R$100,00 hoje, podem  ser aplicados no 
mercado financeiro a uma taxa de  juros de 10% a.a., por exemplo. Daqui a 
um  ano,  a  pessoa  terá  um  saldo  de  R$110,00.  Portanto,  diferente  de 
R$100,00 iniciais. Pela mesma razão, um empresário investe um determinado 
capital numa oportunidade de negócio, esperando que, após algum  tempo, 
haja um montante de capital superior ao inicialmente investido 
 
No mercado  financeiro, R$100,00 hoje  será  igual R$100,00 daqui a um ano,  somente  se permanecer 
guardado num cofre ou depositado em conta corrente não remunerada de um banco comercial. Nesta 
segunda  situação,  é  ignorar  a  possibilidade  de  se  aplicar  o  valor  em  operações  financeiras,  como: 
caderneta de poupança, certificado de depósito bancário, fundo de renda fixa, entre outras, pelo prazo 
de um ano.  
 
Portanto, um capital numa data terá o mesmo valor em outra data somente não havendo alternativa de 
investimento. Em países com escassez de  recursos  financeiros e uma  infra‐estrutura deficiente,  isso é 
particularmente mais verdadeiro. Em outras palavras, nessa situação, haverá uma demanda superior à 
oferta  de  capital.  Em  conseqüência,  geralmente  ocorre  uma  disposição  para  tomar  dinheiro  por 
empréstimo, mediante o pagamento de juro.  
 
De outra forma: uma pessoa dispõe de um dado capital: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numa data futura, espera ter: 
 
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2.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
 
Na verdade, de uma forma  ligeira  já vimos alguns fluxos de caixa nesta apostila, mas não conforme as 
regras da Matemática Financeira. O conceito de fluxos de caixa é muito ilustrativo e vale a pena estudá‐
lo,  já  que  todas  as  operações  financeiras  podem  ser  representadas  por  eles  de  uma  forma  simples, 
elegante e sintética.  
 
A palavra  fluxo nos dá a  idéia de movimento. A palavra caixa contém a  idéia de capital, de dinheiro. 
Assim,  uma  possível  expressão  sinônima  para  fluxo  de  caixa  seria  MOVIMENTO  DE  CAPITAL.  O 
movimento de capital a cada período, então, é considerado um fluxo de caixa. Assim, ao  longo de um 
certo prazo, poderemos ter vários fluxos de caixa, o que representaremos através de um diagrama de 
fluxos de caixa.  
 
Vamos ilustrar um diagrama de fluxo de caixa com exemplo de um investimento de $100, que retornou 
$150, após 6 meses: 
 
Observe que, de uma  forma geral, um diagrama é  composto de uma  linha horizontal  ‐ a  linha do  tempo  ‐ que 
mostra os períodos  relevantes para o mesmo. Nestes períodos,  temos  flechas verticais que  sinalizam os  fluxos, 
respeitando‐se a seguinte convenção: 
 
; evento  que  significa  saída  de  caixa  (investimento)  arbitrar‐se  negativo  e  o  representa  por  seta 
descendente (para baixo ↓); 
; evento que significa entrada de caixa (direito) são representados por setas ascendentes (para cima ↑). 
 
O fluxo de caixa também pode ser representado da seguinte forma: 
 
Período  Saídas  Entradas 
JAN  $100   
FEV    ‐ 
MAR    ‐ 
ABR    ‐ 
MAI    ‐ 
JUN    ‐ 
JUL    $150 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Fundamentos Básicos da Matemática Financeira
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
COLI, Luis Eurico Junqueira. Textos acadêmicos: Matemática financeira. 
Lavras: MG. UFLA/FAEPE, 2004. 213p. 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. 11 ed. 
São Paulo: Saraiva, 1996. 238 p. 
HALFELD, Mauro. Investimentos: como administrar melhor seu dinheiro. 
3 ed. São Paulo: Fundamento, 2008. 167p. 
MARTINS, José Pio. Educação financeira ao alcance de todos. São Paulo: 
Fundamento, 2004. 104 p.MINELLO, Roberto; RODRIGUES, Marcelo. Matemática financeira e 
comercial. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009. 280 p. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 427 p. 
SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira com a calculadora HP12. São Paulo: Villipress, 2001. 135p 
SENAC. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SENAC Nacional, 2008. 88p. 
SICSÚ, Bernardo. Fundamentos da Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Fundo de cultura, 2004. 88 p. 
 
 
LIVROS PUBLICADOS POR 
Uanderson Rébula de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Uanderson Rébula. Doutorando em 
Engenharia. Professor universitário. Vivência 
de 21 anos em ambiente industrial. 
Além disso, você pode imprimir, desenhar, 
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