Eletromagnetismo Fluxo Eletrico Lei de Gauss e Divergência Parte 3

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CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3/3
A variação de um campo vetorial no espaço, através de dois modos característicos:
- Divergência (ou divergente): aplicado nos estudos de campos elétricos.
- Rotacional: aplicado em estudos de campos magnéticos.
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Divergência (∇)
Divergência (∇)
É um cálculo matemático para aplicação da Lei de Gauss quando não existir nenhum tipo de simetria.
Eletromagnetismo
O divergente é determinado através do operador divergência ou operador Del, representado por ∇ [símbolo grego nabla].
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Divergência
✓ Em cálculo vetorial o operador divergência ∇ (ou operador Del) é um escalar que mede a dispersão ou divergência dos
vetores de um campo num determinado ponto.
Operador divergência ∇
Define-se o operador Del, em coordenadas cartesianas, pela expressão:
Quando nabla multiplica escalarmente um vetor A, o resultado é a divergência de A:
Produto escalarnabla vetor A
Eletromagnetismo
Escreveremos daqui pra frente a divergência de um campo vetorial A, div A, como 𝛁. 𝑨
C. Cartesianas ∇. 𝐴 =
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
C. Cilíndricas ∇. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
∇. 𝐴 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2𝐴𝑟 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝐴𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴∅
𝜕∅
C. Esféricas
Divergência em Coordenadas Cartesianas, Cilíndricas e Esféricas
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Divergência
Eletromagnetismo
Dado o campo vetorial 𝐴 = 5𝑥2 𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
2
a𝑥 , encontre div A em x=1.
Solução:
A função A não contém componentes de y e de z. Logo, suas derivadas parciais são nulas.
Coordenadas cartesianas
Exemplo de cálculo do divergente
∇. 𝐴 =
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
∇. 𝐴 =
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥
= 5𝑥2
∴
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Divergência
Eletromagnetismo
Entendimento físico da divergência:
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Eletromagnetismo
• Exemplo: Falta Fase-Terra (curto-circuito monofásico) no 
SEP (Sistema Elétrico de Potência)
➢ A divergência pode ser positiva (fonte) ou negativa
também chamada de convergência (sorvedouro)
Divergência (∇)
Em campos eletrostáticos existe uma correspondência entre
divergência positiva, fontes e cargas elétricas positivas.
O fluxo elétrico ψ (psi) tem como origem as cargas positivas.
Logo, se uma dada região contém cargas positivas, conterá
também as fontes de ψ. Portanto, a divergência do vetor
densidade de fluxo elétrico D será positiva nessa região.
Falta fase-terra
A forma diferencial da Lei de Gauss
• Constitui uma das equações de Maxwell para campos estáticos, supondo-se 𝝐 constante na região de interesse.
A divergência da densidade de fluxo elétrico é igual a densidade de carga estabelecida.
𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
Eletromagnetismo
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Divergência
• Só há divergência onde existir carga elétrica.
Divergência
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
O campo D devido a uma carga pontual.
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2𝐴𝑟 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝐴𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴∅
𝜕∅
A simetria para uma cargas pontual, é uma esfera.
𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
Em coordenadas esféricas, para uma carga pontual:
Então, para r > 0:
⟹ tem divergência nula. 
𝛻. 𝐷 =
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝑄
4𝜋𝑟2
=
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑄
4𝜋
∴ 𝛻. 𝐷 = 0
O campo D para uma linha uniformemente carregada
A simetria para uma linha de cargas uniformemente carregada, é um cilindro, sendo
o campo elétrico dado por:
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Divergência
Eletromagnetismo
𝛻.𝐃 = 𝜌 𝛻. 𝐄 =
𝜌
𝜖
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Então:
⟹ tem divergência nula, pois não depende do raio, isto é, fora do raio do condutor.
𝜌𝑣 está somente em função de ∅. Comparando 1,π/4,3 com r, ∅, z , se verifica que ∅ = π/4
𝝆𝒗 = 𝛻.𝐷 =
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Solução (a)
Em (1, π/4, 3): 𝜌𝑣 = 1. 𝑐𝑜𝑠
2(π/4) 𝜌𝑣 = 0,5 (
𝐶
𝑚3
)
Sendo 𝐷 = 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅a𝑧 Τ𝐶 𝑚
3, calcule: (a) a densidade de cargas em (1, Τ𝜋 4 , 3) e (b) a carga total encerrada no cilindro de raio 1 m
com −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 𝑚.
Dados: 
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Eletromagnetismo
Exemplo
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
𝝆𝒗 = 𝒓𝒄𝒐𝒔
𝟐∅
Divergência
Como só existe a componente de z, então:
Trata-se de sistema em coordenadas cilíndricas. 𝐴 = 𝐷 = 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅a𝑧 Τ𝐶 𝑚
3
=
𝜕 𝑧𝑟𝑐𝑜𝑠2∅
𝜕𝑧
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Solução (b):
Eletromagnetismo
Determinação da carga (volume do cilindro em Coordenadas cilíndricas): 𝝆𝒗= 𝒓𝒄𝒐𝒔
𝟐∅
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑧=−2
2
𝑑𝑧න
∅=0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2∅𝑑∅න
𝑟=0
1
𝑟2𝑑𝑟 = 4. 𝜋. Τ1 3
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑣
𝜌𝑣𝑑𝑣 = න
𝑣
𝑟𝑐𝑜𝑠2∅ 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧 = න
𝑣
𝑟2 𝑐𝑜𝑠2∅𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 =
4𝜋
3
𝐶∴
Divergência
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O Teorema da Divergência
Resultado este conhecido como “teorema da
divergência de Gauss”, ou “teorema da
divergência”,
ර𝐃.𝑑𝐒 = න𝜌 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.
𝑄𝑒𝑛𝑣. = ර𝐃.𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣Como 𝛻.𝐃 = 𝜌 , então: 
Divergência
Onde, o volume 𝑣 é limitado, pela superfície S.
ර
𝑠
𝐀. 𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐀 𝑑𝑣
O Teorema é aplicável a qualquer campo vetorial. 
O Teorema da Divergência e a Lei de Gauss
Eletromagnetismo
➢ O exemplo a seguir mostra o poder desse teorema, o qual visa facilitar a determinação da carga envolvida em figuras
geométricas de maior complexidade, se conhecida a função do divergente do problema.
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Dado D = (10r3/4)ar (C/m
2) em coordenadas cilíndricas, desenvolva ambos os lados do teorema da
divergência para o volume limitado por r=1m, r=2m, z=0 e z=10m, conforme a figura.
ර𝐃.𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣Dados: 𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Exemplo Divergência
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
Eletromagnetismo
Obs: o cilindro é completo e maciço entre raio = 1 e 2; e é oco entre 0 e 1. A parte pontilha é apenas
para enxergar o interior do cilindro.
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑∅𝑑𝑧
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Solução:
ර𝐃. 𝑑𝐒 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝛻. 𝐷 =
1
𝑟
𝜕 𝑟
10
4 𝑟
3
𝜕𝑟
= 10𝑟2
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Exemplo Divergência
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋
න
𝑟=1
2
(10𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 750𝜋 𝐶
Eletromagnetismo
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
ර𝐃. 𝑑𝐒 = න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
2 3 𝑎𝑟 . 2 𝑑∅𝑑𝑧 𝑎𝑟 −
ර𝐃. 𝑑𝐒 = −
200𝜋
4
+ 16
200𝜋
4
න
𝑣
𝛻.𝐃 𝑑𝑣 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 750𝜋 𝐶
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑∅𝑑𝑧
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
D não possui componentes z, 𝐃. 𝑑𝐒 = 𝟎 para a base e topo da superfície.
No interior da superfície, d𝐒 (= 𝑟𝑑∅𝑑𝑧) tem direção −𝑎𝑟 e não depende da variação de r.
න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
1 3 𝑎𝑟 . 1 𝑑∅𝑑𝑧 𝑎𝑟
ර𝐃. 𝑑𝐒 = න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
𝑟 3 𝑎𝑟 . [ 𝑟 𝑑∅𝑑𝑧 𝑎𝑟 ] + න
𝑧=0
10
න
∅=0
2𝜋 10
4
𝑟 3 𝑎𝑟 . [𝑟𝑑∅𝑑𝑧 −𝑎𝑟 ]
Pelo teorema da divergência: 
D = (10r3/4)ar (C/m
2) 
r=1m, r=2m, z=0 e z=10m
Externamente à superfície, d𝐒 (= 𝑟𝑑∅𝑑𝑧) tem direção +𝑎𝑟 e não depende da variação de r.
A carga líquida (envolvida) é a soma das cargas na região entre os raios 2m e 1m.
Relembrando
Divergência
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercícios Resolvidos
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
ER1 – Cargas estão distribuídas em uma lâmina com densidade 𝜌𝑆 = 40𝜇𝐶/𝑚
2 e
localizada em 𝑧 = −0,5𝑚.Uma linha uniforme de cargas com densidade 𝜌𝑙 = −6𝜇𝐶/
𝑚 situa-se ao longo do eixo y. Determine o fluxo total através de um cubo de aresta de
2𝑚, centrado na origem, conforme mostrado na figura?
Exercícios Resolvidos
Eletromagnetismo
Solução:
Ψ =?
𝜌𝑆 = 40𝜇𝐶/𝑚
2
𝜌𝑙 = −6𝜇𝐶/𝑚
lâmina
cubo
Por definição, o fluxo elétrico é igual a carga envolvida (carga líquida da região, que é a soma das cargas), ou seja, 𝜳 = 𝑸𝒆𝒏𝒗.
Nesse caso há duas cargas envolvidas: a do plano e a da linha.
Então:
-Carga líquida no plano, será delimitada pela área do cubo: 𝑄 = 𝜌𝑠 . 𝑆𝑐𝑢𝑏𝑜 = (40𝜇 Τ𝐶 𝑚
2) . (2𝑚 . 2𝑚) = 160𝜇𝐶
-Carga líquida na plano, será delimitada pela face do cubo, por onde 
está passando a linha:
𝑄 = 𝜌𝑙. 𝑙𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 = −6𝜇 Τ𝐶 𝑚 . 2𝑚 = −12𝜇𝐶
𝜳 = 𝑸𝒆𝒏𝒗 = 160 + (−12) = 148𝜇𝐶
Portanto:
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
ER2 – Dados que D = 10xax (C/m
2), calcule o fluxo que atravessa uma área de 1m2 normal ao eixo x, para x = 3m.
Solução:
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
Relembrando a aula &:
𝐷 = [ 10 . 3. a𝑥 ](1a𝑥) = 30𝐶
A área S é constante, logo a integral de 𝑑𝑆 é S.
𝜓 = 𝐷𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜓 = 𝐷𝑆𝑐𝑜𝑠0° = 𝐷𝑆
𝒅𝝍 = 𝐃. 𝐝𝐒 𝝍 = න𝐃. 𝐝𝐒
𝐷. 𝑑𝑆 é um produto escalar, e ambos os vetores tem a mesma
direção, no caso a𝑥, pois 𝐷 é constante e normal (perpendicular)
sobre a área, e por definição, 𝑑𝑆 é também normal à área
(conforme aula 7). Portanto, 𝐃 e 𝐝𝐒 são paralelos (tem um ângulo
de zero graus entre si) e tem a mesma direção. Logo:
Obs: o produto escalar de
a𝑥. a𝑥 = 1, conforme aula 3.
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
ER3 – Há duas distribuições lineares uniformes de cargas idênticas, dispostas ao longo dos eixos x e y, com densidade de cargas ρl =
20μC/m. Determine o campo D em (3, 3, 3).
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
𝑥
𝑦
𝑧
3
3 3
(3, 3, 3)
Z=3
X=3
𝑟1 = 3 − 3 a𝑥 + 3 − 0 a𝑦 + 3 − 0 a𝑧 = 3a𝑦 + 3a𝑧
𝑟2 = 3 − 0 a𝑥 + 3 − 3 a𝑦 + 3 − 0 a𝑧 = 3𝑥 + 3a𝑧
Z=3
Y=3a𝑟1 =
3a𝑦 + 3a𝑧
32 + 32
=
3(a𝑦 + a𝑧)
3 2
=
(a𝑦 + a𝑧)
2
𝑟2𝑟1
a𝑟2 =
(a𝑥 + a𝑧)
2
Solução:
𝐷 =
𝜌ℓ
2𝜋𝑟
a𝑟Para uma linha com carga uniforme:
𝐷1 =
𝜌ℓ1
2𝜋𝑟1
a𝑟1 =
20𝜇𝐶/𝑚
2𝜋(3 2)
.
(a𝑦 + a𝑧)
2
𝑟1 = 32 + 32 = 3 2
No eixo x:
𝐷1 =
𝜌ℓ2
2𝜋𝑟2
a𝑟2 =
20𝜇𝐶/𝑚
2𝜋(3 2)
.
(a𝑥 + a𝑧)
2
No eixo y:
𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2
𝐷 =
20𝜇𝐶/𝑚
2𝜋(3 2 𝑚)
.
(a𝑦 + a𝑧)
2
+
20𝜇𝐶/𝑚
2𝜋(3 2 𝑚)
.
(a𝑥 + a𝑧)
2
=
20𝜇
2𝜋(3 2)
a𝑥 + a𝑦 + a𝑧
2
𝐷 = 2,25
a𝑥 + a𝑦 + 2a𝑧
6
𝜇𝐶/𝑚2
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
ER4 – Em coordenadas cilíndricas, o volume entre r=2m e r=4m contém uma densidade uniforme
de cargas ρ (C/m3). Use a lei de Gauss para calcular D em todas as regiões: 0 < r < 2 m; 2 m ≤ r ≤ 4
m; r > 4 m.
Exercícios Propostos
Eletromagnetismo
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.
𝑄𝑒𝑛𝑣. = 𝐷. 𝑆
• Para 0 < r < 2 m 𝑄𝑒𝑛𝑣. = 𝐷.(2𝜋𝑟𝐿)
Área do cilindro: 2𝜋𝑟𝐿
𝑫 = 0 (não há carga, o cilindro é oco nessa região)
• Para 2 m ≤ r ≤ 4 m
A carga envolvida será a área da base multiplicada por L (altura), para se definir 
o volume, e daí multiplicar pela densidade de carga volumétrica ρ (C/m3), o qual 
deverá ser igualado com Densidade x Área (do cilindro), de forma a se trabalhar 
com a área, que é uma exigência da lei de Gauss.
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ú𝑙𝑡𝑖𝑙 = 𝜋𝑟
2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑎𝑙 = 𝜋2
2 = 𝜋4
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜋(𝑟
2-4)
𝑄𝑒𝑛𝑣. = 𝐷.(2𝜋𝑟𝐿)
[𝜋(𝑟2-4)].[L]. 𝜌 = 𝐷. (2𝜋𝑟𝐿)
D =
ρ
2r
(r2−4)ar( ΤC m
2)
• Para r > 4 m
𝑄𝑒𝑛𝑣. = 𝐷.(2𝜋𝑟𝐿)
𝐷 =
6𝜌
𝑟
a𝑟 ( ΤC m
2)
[𝜋(42- 22 )].[L]. 𝜌 = 𝐷. (2𝜋𝑟𝐿)
12 𝜋 L ρ = 𝐷. (2𝜋𝑟𝐿)
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Solução:
ER5 – Dado que D = (10r3/4)ar (C/m
2) na região 0 < r ≤ 3 m, em coordenadas cilíndricas, e que D = (810/4r)ar em todo o resto do
espaço (r > 3), determine a densidade de cargas ρ.
Para 0 < r ≤ 3
Para r > 3
Dado:
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Exercícios Resolvidos
Eletromagnetismo
𝛻.𝐃 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
10𝑟3
4
𝛻.𝐃 = 𝜌
𝛻. 𝐃 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
810
4𝑟
⟹
⟹
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
• Considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se
movendo.
Se o ar é aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções. Então a divergência do campo de
velocidade nesta região será positivo pois, se observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do
que entrando nesse volume.
Se o ar resfria e se contrai, a divergência é negativa pois há, na região, uma convergência de ar: teremos mais ar entrando
do que saindo neste pequeno volume.
Outro exemplo para o entendimento físico da divergência.
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Divergência
Eletromagnetismo
LEITURA OBRIGATÓRIA
Em coordenadas cilíndricas, um campo vetorial é dado or
Encontre div A em (1/2; π/2, 0).
∇. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴∅
𝜕∅
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
Solução:
Teoria Eletromagnética 1
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Divergência
Outro exemplo de cálculo de divergente (em coordenadas cilíndricas)
LEITURA OBRIGATÓRIA
A forma diferencial da Lei de Gauss
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Divergência
• Só há divergência onde existir carga elétrica.
Q
Neste ponto o campo elétrico
diverge e sua divergência é
diferente de zero devido existir
carga Q: 𝝆 > 𝟎
O campo elétrico diverge
e sua divergência é zero
devido não existir carga Q:
𝝆 = 𝟎
O campo elétrico não diverge
e sua divergência não é nula
devido existir carga Q:
𝝆 > 𝟎
O campo elétrico não diverge e a
sua divergência é zero devido
não existir carga Q: 𝝆 = 𝟎
Apêndice da unidade 3 – Leitura obrigatória
Leitura Obrigatória
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Leitura Obrigatória
Eletromagnetismo
AULA 9: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3