Eletromagnetismo Fluxo Eletrico Lei de Gauss e Divergência Parte 2

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CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 2/3
3. D deve ser normal com superfície gaussiana em cada ponto da superfície de
integração e 𝑑𝑆 aponta na direção de 𝐷.
2. A superfície de integração deve ser fechada.
4. O módulo de D (│D│ ) deve ser constante, para todos os pontos da superfície onde D
for normal.
Propriedades das superfícies gaussianas
AULA 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 2
Lei de Gauss
A lei de Gauss vale para cargas em movimento! (não é caso da lei de Coulomb).
A lei de Gauss é mais geral que a de Coulomb, já que esta última é empírica.
Lei de Gauss X Lei de Coulomb
Se não houver simetria, a lei de Gauss pode não ser útil para o cálculo de E.
Eletromagnetismo
ර𝐷.𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)
𝑑𝐹 = 𝐸. 𝑑𝑄 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)
X
𝝆𝒍 Τ𝑪 𝒎
𝒓
𝒅𝑺
𝟗𝟎°
𝑫 = 𝝐𝟎𝑬
𝑫
𝑫
𝟗𝟎°
𝟗𝟎°
𝒉
1. As configurações de cargas devem ser altamente simétricas (simetrias esféricas,
cilíndricas, etc.).
Obs: como 𝑫. 𝒅𝒔 é um produto escalar, então é importante observar o ângulo que o vetor
𝐷 faz com a superfície 𝑆. Se for 0° existirá campo e se for 90° o campo elétrico será nulo.
Casos de aplicações da lei de Gauss
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
1º Caso: linha infinita de carga, com densidade de carga uniforme 𝝆ℓ (C/m)
2º Caso: plano infinito de carga, com densidade de carga uniforme 𝝆𝑺 (C/ m2)
3º Caso: cargas e campos em um condutor em equilíbrio eletrostático
4º Caso: campo de uma distribuição esférica de cargas com densidade de carga uniforme 𝝆𝒗 (C/ m3)
Ou: 𝜓 = ර
𝑆
𝐄. 𝑑𝐒 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖0
R- O fluxo é igual a carga líquida da região, então aplicando a lei de Gauss: 
1º Caso: linha infinita de carga, com densidade de carga uniforme 𝝆ℓ (C/m)
Q - Como encontrar o fluxo?
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
𝜓 = ර𝐷. 𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
O campo elétrico E é normal (perpendicular) q linha e vale: 𝐸 =
𝜌ℓ
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟 z
y
x
-z
Base superior
Base inferior
O Fluxo nas bases é NULO: 𝐄 ⊥ a d𝐒
Só existe Fluxo 𝐧𝐚𝐬 𝐥𝐚𝐭𝐞𝐫𝐚𝐢𝐬 (direção 𝒂𝒓): 𝐄 ∥ a 𝐝𝐒
P- Para a simetria cilíndrica, em que regiões existe o fluxo elétrico?
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
[o produto escalar D.dS (𝜖0𝐸.dS) será zero, devido o ângulo ser 90
o]
[o produto escalar D.dS (𝜖0𝐸.dS) existirá, devido o ângulo ser 0
o ]
𝜓 = 𝐷. 2𝜋𝑟ℎ = 𝜌ℓ. ℎ 𝐸 =
𝜌ℓ
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟𝐷 =
𝜌ℓ
2𝜋𝑟
𝑎𝑟 𝐷 = 𝜖0𝐸
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌ℓ. ℎ 𝑆𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟. ℎ𝜓 = ර
𝑆
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
1º Caso: linha infinita de carga, com densidade de carga uniforme 𝝆ℓ (C/m) (Cont.)
P- Qual é valor do campo elétrico?
𝑫 = 𝝐𝟎𝑬
𝑫 = 𝝐𝟎𝑬
2º Caso: plano infinito de carga, com densidade de carga uniforme 𝝆𝑺 (C/ m2)
𝜓 = ර
𝑆
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝐷. (𝑆 + 𝑆) = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑠𝑆
𝐷. (2 𝑆) = 𝜌𝑠𝑆 𝐸 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑎𝑧𝐷 =
𝜌𝑠
2
𝑎𝑧
(Há outras?)
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
𝐸 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑎𝑧O campo elétrico E é perpendicular ao plano e vale para um plano infinito de carga: 
∴
Qual é valor do campo elétrico?
𝜓 = ර
𝑆
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
D é ⊥ ao plano e tem direção 𝑎𝑧 (𝐃 = 𝑫𝒛𝐚𝑧)
(Há outras?)
R - Sim. A simetria é um retângulo, com suas faces paralelas à lâmina (plano) de cargas.
A distribuição uniforme de cargas é dada por: 𝜌𝑠 Τ𝐶 𝑚
2
D é ⊥ à lâmina e tem direção 𝑎𝑧 (𝐃 = 𝐷𝑧𝐚𝑧)
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣. 𝑄𝑒𝑛𝑣. = 𝜌𝑠න𝑑𝑆
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝜌𝑠න𝑑𝑆
𝐷 න
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑑𝑆 + න
𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑑𝑆 = 𝜌𝑠න𝑑𝑆
𝐷 𝑆 + 𝑆 = 𝜌𝑠𝑆 𝐷 =
𝜌𝑠
2
𝐃 =
𝜌𝑠
2
𝑎𝑧 𝐄 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑎𝑧
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
lâmina (plano) de cargas 
𝝆𝒔 Τ𝑪 𝒎
𝟐
Área Superior
Área Inferior
Igualando:
Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de cargas 𝜌𝑙= 3μC/m, e
um cilindro circular reto, concêntrico com essa linha, com raio de 2m, sobre o
qual há uma distribuição com densidade 𝜌𝑠= (-1,5/4π) μC/m
2. Ambas são infinitas
e se estendem segundo z. Obtenha D em todas as regiões (0 < r < 2 e r > 2),
aplicando a lei de Gauss. As superfícies gaussianas estão indicadas por A e B.
Solução:
රD. 𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝐷 =
𝜌𝑙
2𝜋𝑟
𝐚𝑟 =
3𝜇𝐶
2𝜋𝑟
𝐚𝑟𝐷. (2𝜋𝑟𝑙) = 𝜌𝑙 . 𝑙
𝐷. 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
Z
A
⇓
𝐷 =
0,477
𝑟
a𝑟
𝜇𝐶
𝑚2
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
Exemplo
→
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑙 . 𝑙
∴
𝑨Superfície gaussiana
𝝆𝒍
𝑍
𝑟 = 2
𝑨
𝑩
𝒛
𝝆𝒍
𝝆𝒔
𝑨
𝑩
𝒛
𝝆𝒍
𝝆𝒔
𝐷. 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝐷. (2𝜋𝑟′𝑙) = 𝜌𝑠 . 𝑠 + 𝜌𝑙 . 𝑙 𝐷. (2𝜋𝑟′𝑙) = (𝜌𝑠 . 2𝜋𝑟(=2𝑚)𝑙) + 𝜌𝑙 . 𝑙
𝐷. (2𝜋𝑟′𝑙) = 𝑙. [(𝜌𝑠 . 4𝜋) + 𝜌𝑙 ] 𝐷 =
(𝜌𝑠 . 4𝜋) + 𝜌𝑙
2𝜋𝑟′
a𝑟
𝐷 =
(−1,5/4π)μ . 4𝜋 + 3μ
2𝜋𝑟′
a𝑟 𝐷 =
0,239
𝑟′
a𝑟
𝜇𝐶
𝑚2
𝐴
𝑍
𝜌𝑙
𝑩
𝝆𝒔
Superfície gaussiana
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
Solução:
→
∴
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑠 . 𝑠 + 𝜌𝑙 . 𝑙
Exemplo (Cont. da solução)
Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de cargas 𝜌𝑙= 3μC/m, e um
cilindro circular reto, concêntrico com essa linha, com raio de 2m, sobre o qual há uma
distribuição com densidade 𝜌𝑠= (-1,5/4π) μC/m2. Ambas são infinitas e se estendem
segundo z. Obtenha D em todas as regiões (0 < r < 2 e r > 2), aplicando a lei de Gauss. As
superfícies gaussianas estão indicadas por A e B.
→
Observe que raio delimitada pelo cilindro é 𝑟 = 2𝑚, enquanto o delimitado pela
superfície gaussiana é 𝑟′.
Resposta a seguir...
Q- Qual é o fluxo em qualquer superfície fechada interna 
ao condutor?
3º Caso: cargas e campos em um condutor em equilíbrio eletrostático
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
há ausência de movimento de cargas.
𝐄 = 0
R- “qualquer carga desbalanceada em um condutor em
equilíbrio se distribui em sua superfície.
R- “tem que ser normal à mesma, pois do contrário
haveria correntes de superfície”.
R- NULO. Pois . . .
R- NULO. Pois . . .
Q- Como se distribuem as cargas em um condutor?
Q- Como deve ser o campo E na superfície de um
condutor?
Q- Qual deve ser o campo E dentro de um
condutor?
𝜓 = ර
𝑆
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑠. 𝑆zero
𝐷. 𝑆 = 𝜌𝑠 . 𝑆 𝐸 =
𝜌𝑠
𝜖0
Seja a superfície gaussiana (na figura): partilha de dimensões
infinitesimais, com uma base no interior e a outra no exterior
do condutor e com densidade superficial de cargas 𝜌𝑠.
⟹ 𝐄 é constante e normal em cada superfície da partilha!
Bases Laterais: E e dS fazem 90° (Prod. escalar = 0)
Base interna: E = 0 (dentro do condutor).
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
∴
Base Lateral
Base Interna
𝜌𝑠
Base Externa
𝟐 ⟹
3º Caso: cargas e campos em um condutor em equilíbrio eletrostático (cont.)
ර
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐃. 𝑑𝐒 + ර
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐃. 𝑑𝐒 +ර
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
𝐃. 𝑑𝐒 + ර
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝐷. 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣⟹
𝜓 = ර
𝑆
𝐄. 𝑑𝐒 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖0
= 0
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
3º Caso: (cont.) - Exemplo:
Então, igualando as duas expressões:
𝑄𝑒𝑛𝑣. = න
𝑣
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 (𝐶)
Outra representação da Lei de Gauss
ර
𝑆
𝐷. 𝑑𝑆 = න
𝑣𝑜𝑙
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 (𝐶)
ර
𝑆
𝐷. 𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.
AULA 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Lei de Gauss
Eletromagnetismo
4º Caso: campo de uma distribuição esférica de cargas com densidade de carga uniforme 𝝆𝒗 (C/ m
3)
Para densidade volumétrica de carga:
Lei de Gauss:
D = ε0 E
Substituindo 𝑄𝑒𝑛𝑣., na equação do campo elétrico:
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
׬
𝑣
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 𝐶
𝑟2
a𝑟 𝐸 = න
𝑣
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣
4𝜋𝜖0𝑟
2a𝑟
então: 𝐷 = න
𝑣
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣
4𝜋𝑟2
a𝑟
Representação do campo elétrico e da densidade de fluxo elétrico em
função da densidade volumétrica de carga
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑄
𝑟2
a𝑟
Considere uma esfera de “raio a” com uma distribuição uniforme de cargas dada por 𝝆𝒗 𝐶/𝑚
3. Determinar D em qualquer
ponto, dentro e fora da esfera (𝒓 ≤ 𝒂 e 𝒓 ≥ 𝒂). Analise graficamente os resultados em função do raio (𝒓).
Construiremos duas superfícies gaussianas (simetria esféricas) separadamente, para 𝒓 ≤ 𝒂 e 𝒓 ≥ 𝒂
4º Caso: campo de uma distribuição esférica de cargas com densidade de carga uniforme 𝝆𝒗 (C/ m3)
AULA 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Lei de Gauss
Eletromagnetismo
Exemplo:
Solução:
𝑟
𝑎
Superfície 
gaussiana
𝒓 ≤ 𝒂 𝑟𝑎
Superfície 
gaussiana
𝒓 ≥ 𝒂
ර
𝑆
𝐷. 𝑑𝑆 = න
𝑣𝑜𝑙
𝜌𝑣. 𝑑𝑣 𝐶 =𝑄𝑒𝑛𝑣
• Para 𝑟 ≤ 𝑎 a carga total encerrada pela superfície esférica e o fluxo são: 
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න𝜌𝑣𝑑𝑣 = 𝜌𝑣𝑣 𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑣
4
3
𝜋𝑟3
𝐃 =
𝑟
3
𝜌𝑣 𝐚𝑟 Τ𝐶 𝑚
2 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝐚
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Lei de Gauss
Eletromagnetismo
∴
𝑟
𝑎
Superfície 
gaussiana
Solução (Cont.):
Ψ = ර𝐷. 𝑑𝑺 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 𝐷. 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 𝐷. (4𝜋𝑟
2) = 𝜌𝑣
4
3
𝜋𝑟3
• Para 𝑟 ≥ 𝑎 a carga total encerrada pela superfície esférica é a carga total distribuída na esfera de raio 𝑎:
𝑟𝑎
Superfície 
gaussiana
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝜌𝑣
4
3
𝜋𝑎3
𝐷4𝜋𝑟2 = 𝜌𝑣
4
3
𝜋𝑎3
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න𝜌𝑣𝑑𝑣 = 𝜌𝑣𝑣
Ψ = ර𝐷. 𝑑𝑺 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 𝐃 =
𝑎3
3𝑟2
𝜌𝑣𝐚𝑟 Τ𝐶 𝑚
2 𝒓 ≥ 𝒂∴
(O raio varia de 0 até r na
superfície e na esfera)
(O raio varia de 0 até r na superfície
e de 0 até a na esfera)
Esfera
Esfera
⟹ ⟹
⟹
Portanto, 
Gráfico de |D| em função de r, para uma
esfera uniformemente carregada.
AULA 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Lei de Gauss
Eletromagnetismo
𝑟𝑎
Superfície gaussiana
𝐃 =
𝑟
3
𝜌𝑣a𝑟 0 < 𝑟 ≤ 𝑎
𝐃 =
𝑎3
3𝑟2
𝜌𝑣a𝑟 𝑟 ≥ 𝑎
0 𝑎
𝑎
3
𝜌𝑣
𝐃
𝒓
𝑟
3
𝜌𝑣
𝑎3
3𝑟2
𝜌𝑣
𝑟
𝑎
Superfície gaussiana
(ENAD-2011) Considere uma esfera de raio R carregada com uma densidade volumétrica de carga
elétrica dada por g(r) = Ar2, em que A é uma constante positiva e r é a coordenada radial. Sabendo-
se que o elemento de volume, em coordenadas esféricas, satisfaz a condição, dv= 4πr2dr, então a
carga total da esfera e o módulo do campo elétrico produzido pela esfera a uma distância b > R do
centro da esfera são dados respectivamente, por:
Exemplo
AULA 8: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 3
Lei de Gauss
Eletromagnetismo
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න𝜌𝑣𝑑𝑣
Carga total da esfera:
𝑄𝑒𝑛𝑣 = න
0
𝑅
(𝐴𝑟2). (4𝜋𝑟2 𝑑𝑟)
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝐴4𝜋
𝑅5
5
𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝐴4𝜋
𝑅5
5
−
05
5
Solução:
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
.
(
𝐴4𝜋𝑅5
5
)
𝑏2
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
.
𝑄
𝑟2
𝐸 =
𝐴𝑅5
5𝜖0𝑏2
Portanto, a alternativa E é a correta!
Módulo do campo elétrico produzido pela esfera
a uma distância b > R do centro da esfera: